JEAN-PHILIPPE VEILLEUX DÉTERMINATION PRÉCISE DES VITESSES ET DES ACCÉLÉRATIONS D’UN ATHLÈTE PAR MESURES

GPS PRISES À HAUTE FRÉQUENCE

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval

dans le cadre du programme de maîtrise en sciences géomatiques pour l’obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)

DÉPARTEMENT DES SCIENCES GÉOMATIQUES FACULTÉ DE FORESTERIE ET DE GÉOMATIQUE

UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC

DÉCEMBRE 2006 © Jean-Philippe Veilleux, 2006

Résumé Comparativement aux méthodes traditionnelles de mesure de performances sportives, le

grand avantage de la technologie GPS est d’offrir des mesures de performances à très haute

résolution temporelle. Par contre, les premiers équipements GPS utilisés pour mesurer

précisément les performances sportives étaient compliqués à utiliser, lourds, encombrants

et dispendieux. L’objectif du présent projet est de développer une solution GPS optimale,

en termes de précision, coût et poids des équipements, afin de déterminer à haute fréquence

les vitesses et les accélérations d’un athlète. Les différents paramètres analysés afin de

définir une stratégie optimale d’acquisition et de traitement de données GPS sont : i) le

mode de traitement qui est soit en absolu (un seul récepteur) ou en relatif (par rapport à une

station de référence) ; ii) le type du (des) récepteur(s) GPS soit double fréquence ou simple

fréquence ; ainsi que iii) la qualité du récepteur qui peut être soit de type géodésique ou bas

de gamme. La programmation d’un logiciel de traitement a permis de tester d’autres

paramètres comme : i) les algorithmes d’exploitation des mesures de phase et des mesures

de fréquence Doppler plutôt que l’utilisation des positions pour le calcul des vitesses et des

accélérations ; ii) l’application de matrices de poids en fonction de l’angle d’élévation du

satellite ou en fonction de la qualité du signal reçu par le récepteur ; ainsi que iii)

l’utilisation de filtres avec une moyenne mobile ou une transformée de Fourier.

Deux systèmes de mesure de performances sportives par GPS sont proposés dans cette

recherche. Le premier système est une solution performante et offre à une fréquence

d’acquisition de 10 Hz des précisions de 2 à 3 cm/s pour les vitesses planimétriques et de

quelques dm/s2 pour les accélérations planimétriques (probabilité de 68%). Le deuxième

système, plus compacte et économique, se compose d’un seul récepteur GPS bas de gamme

et offre, à une fréquence d’acquisition de 5 Hz (et 10 Hz dans le futur), des précisions de 3

à 4 cm/s pour les vitesses planimétriques et de quelques dm/s2 pour les accélérations

planimétriques (probabilité de 68%).

Résumé (court)

L’objectif de cette étude est de développer une solution GPS optimale, en termes de

précision, coût, et poids de l’équipement, afin de déterminer à une fréquence élevée les

vitesses et les accélérations d’un athlète. Le mémoire est divisé en trois parties distinctes.

Premièrement, la théorie relative aux calculs de la vitesse à partir de mesures GPS est

présentée. Deuxièmement, la théorie relative aux calculs des accélérations est exposée.

Troisièmement, les résultats relatifs aux tests terrain sont présentés. Ces tests ont permis de

comparer différents paramètres servant à définir une méthodologie GPS optimale. Les

principaux paramètres sont : le mode de traitement qui est soit en absolu ou en relatif ; les

algorithmes de traitement exploitant les positions, les mesures de fréquence Doppler ou les

mesures de phase ; les méthodes de pondération des observations ; les techniques de

filtrage ; ainsi que les récepteurs GPS de diverses qualités.

Abstract

The main objective of this research is to develop an optimal solution in terms of precision,

cost and weight of the equipment for computing the athlete’s velocities and accelerations

using high data rate GPS measurements. This thesis is divided into three major sections.

First, the theory about the computation of velocity is presented. Then, the theory about the

computation of acceleration is shown. Finally, results of field tests are given. These tests

were conducted to compare different parameters used to define an optimal strategy to

obtain precise velocities and accelerations. The principal parameters tested are:

computation modes (stand-alone or differential); processing algorithms using pre-computed

positions, Doppler frequencies or carrier phase measurements; weighted observation

matrices using satellites elevation angles or signal/noise ratio; filtering techniques using a

moving average or Fast Fourier Transform; and GPS receivers of different quality (low cost

receiver or geodetic receiver).

Avant-Propos

Les remerciements m’avaient souvent paru sans intérêt et parfois trop flatteurs. Par contre,

je comprends maintenant que la réalisation d’un projet de maîtrise ne se fait pas

uniquement avec des prières et des louanges. Il s’agit en fait d’un long parcours qu’on ne

peut pas cheminer seul.

Je remercie premièrement le professeur Rock Santerre pour avoir supervisé mes études

graduées. Il a su orienter mon parcours à l’aide de son constant soutien scientifique,

financier (subvention CRSNG) et moral qui a été très apprécié tout au long du projet. Je

remercie également mon codirecteur, le professeur Yvan Bédard pour ses conseils et son

expérience ainsi que Mélanie Lambert, étudiante à la maîtrise, qui a aussi collaboré au

projet.

Mes remerciements vont aussi aux techniciens du Laboratoire de métrologie et géodésie,

MM. Guy Montreuil et Jean-Claude Brière pour avoir adapté à maintes reprises les

équipements GPS. Je tiens également à remercier le professeur Normand Teasdale et M.

Vincent Cantin de la Division de kinésiologie de l’Université Laval pour leur participation

active au niveau des tests terrain ainsi que le Centre national multisport - Montréal

(CNMM) pour leur contribution financière.

J’aimerais aussi remercier mes collègues de travail : Stéphanie Bourgon pour son aide et

ses conseils ainsi que Simon Banville, Daniel Macias-Valadez, Philippe Lamothe et

plusieurs autres pour les moments partagés ensemble.

Finalement, sur une note plus personnelle, je remercie sincèrement mes parents pour leurs

encouragements ainsi que leur enseignement éthique et moral qui m’ont permis d’aller

aussi loin.

Table des matières

Résumé ....................................................................................................................................i

Résumé (court) ...................................................................................................................... ii

Abstract................................................................................................................................. iii

Avant-Propos.........................................................................................................................iv

Table des matières.................................................................................................................. v

Liste des tableaux................................................................................................................viii

Liste des figures.....................................................................................................................ix

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION.....................................................................................1 1.1 MISE EN CONTEXTE .........................................................................................................................1 1.2 TRAVAUX ANTERIEURS D’APPLICATION DU GPS AUX SPORTS.............................................3 1.3 PROBLEMATIQUE .............................................................................................................................6 1.4 BUT ET OBJECTIFS............................................................................................................................7 1.5 METHODOLOGIE...............................................................................................................................8 1.6 CONTRIBUTIONS DE LA RECHERCHE..........................................................................................10 1.7 STRUCTURE DU MEMOIRE ............................................................................................................11

CHAPITRE 2 : ÉQUIPEMENT GPS ADAPTE AUX SPORTS ...................................12 2.1 DISCIPLINES SPORTIVES IDENTIFIEES........................................................................................12 2.2 CRITERES D’EVALUATION DES RECEPTEURS GPS .................................................................13 2.3 RECEPTEUR GEODESIQUE.............................................................................................................13 2.4 RECEPTEUR BAS DE GAMME........................................................................................................16

CHAPITRE 3 : CALCUL DE LA VITESSE PAR MESURES GPS.............................18 3.1 LOGICIELS DE TRAITEMENT.........................................................................................................18 3.2 CALCUL DE LA VITESSE AVEC LES METHODES INDIRECTE ET DIRECTE.............................19

3.2.1 Calcul de la vitesse avec la méthode indirecte ............................................................. 19 3.2.2 Calcul de la vitesse avec la méthode directe ................................................................. 23

3.3 ÉQUATION D’OBSERVATIONS DES MESURES DOPPLER .........................................................26 3.3.1 Vitesse radiale entre le récepteur et le satellite............................................................ 26 3.3.2 Dérive de l’horloge du récepteur...................................................................................... 31

vi

3.4 ÉQUATION D’OBSERVATIONS DES MESURES DE DIFFERENCE TEMPORELLE DE PHASE

(δφ ).................................................................................................................................................32 3.4.1 Différence temporelle de la distance récepteur-satellite ........................................... 35

3.5 SOURCES D’ERREURS ET MODELISATION POUR L’ESTIMATION DES VITESSES PAR MESURES GPS.................................................................................................................................38

3.5.1 Erreurs de position du récepteur et de position du satellite ..................................... 39 3.5.2 Erreur de vitesse du satellite.............................................................................................. 39 3.5.3 Erreurs de la dérive de l’horloge du satellite et de l’effet relativiste..................... 40 3.5.4 Variations temporelles des effets atmosphériques ....................................................... 42 3.5.5 Variation temporelle des multitrajets .............................................................................. 44 3.5.6 Bruits des mesures................................................................................................................. 44 3.5.7 Bilan d’erreurs ....................................................................................................................... 46

3.6 COMPENSATION PAR MOINDRES CARRES .................................................................................48 3.7 PONDERATION DES MESURES GPS ............................................................................................53

3.7.1 Matrice de poids en fonction de l’angle d’élévation du satellite............................. 54 3.7.2 Matrice de poids en fonction du rapport signal/bruit des mesures......................... 55

CHAPITRE 4 : CALCUL DE L’ACCELERATION PAR MESURES GPS................59 4.1 CALCUL DE L’ACCELERATION AVEC LA METHODE INDIRECTE ...........................................60 4.2 CALCUL DE L’ACCELERATION A PARTIR DES MESURES DOPPLER......................................61 4.3 CALCUL DE L’ACCELERATION A PARTIR DES MESURES DE PHASE .....................................66 4.4 SOURCES D’ERREURS POUR L’ESTIMATION DES ACCELERATIONS PAR MESURES GPS.69 4.5 COMPENSATION PAR MOINDRES CARRES .................................................................................71

CHAPITRE 5 : RESULTATS ET ANALYSES DES EXPERIMENTATIONS ET TESTS TERRAIN....................................................................................73

5.1 PRECISION DES VITESSES..............................................................................................................74 5.1.1 Comparaison des différentes stratégies d’acquisition et de traitement de

données GPS ........................................................................................................................... 74 5.1.2 Choix d’une matrice de poids des observations ........................................................... 77 5.1.3 Résultats des vitesses en mode cinématique .................................................................. 78

5.2 PRECISION DES ACCELERATIONS................................................................................................83 5.2.1 Résultats des accélérations en mode statique ............................................................... 83 5.2.2 Résultats des accélérations en mode cinématique ....................................................... 86

5.3 FILTRAGE DES ACCELERATIONS .................................................................................................90 5.3.1 Moyenne mobile ..................................................................................................................... 93 5.3.2 Transformée de Fourier....................................................................................................... 94

5.4 VITESSES ET ACCELERATIONS OBTENUES AVEC UN RECEPTEUR GPS BAS DE GAMME 96 5.4.1 Résultats en mode statique.................................................................................................. 96 5.4.2 Résultats en mode cinématique.......................................................................................... 99

vii

CHAPITRE 6 : CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS .................................103 6.1 CONCLUSIONS...............................................................................................................................103 6.2 RECOMMANDATIONS ..................................................................................................................106

6.2.1 Premier système : la solution performante .................................................................. 106 6.2.2 Deuxième système : la solution économique ............................................................... 107

6.3 TRAVAUX FUTURS .......................................................................................................................109

REFERENCES..................................................................................................................112

ANNEXE A : CALCUL DE LA POSITION ET DE LA VITESSE D’UN SATELLITE A PARTIR DES PARAMETRES ORBITAUX RADIODIFFUSES ...116

A.1 CALCUL DE LA POSITION INSTANTANEE D’UN SATELLITE .................................................116 A.2 CALCUL DE LA VITESSE INSTANTANEE D’UN SATELLITE....................................................119

ANNEXE B : ACCELERATION LE LONG D’UNE TRAJECTOIRE CIRCULAIRE....................................................................................................................124

Liste des tableaux

Tableau 3.1 : Bilan d’erreurs affectant l’estimation des vitesses par mesures GPS en mode absolu lorsque la disponibilité sélective est désactivée. Adapté d’après Van Graas et Soloviev [2004]. .........................................................47

Tableau 5.1 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence

d’acquisition de 20 Hz. .................................................................................75 Tableau 5.2 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence

d’acquisition de 10 Hz. .................................................................................75 Tableau 5.3 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence

d’acquisition de 1 Hz. ...................................................................................75 Tableau 5.4 : Précisions des vitesses planimétriques à 20 Hz obtenues sans

pondération ( I ), avec pondération selon l’angle d’élévation du satellite ( EP ) ou avec pondération selon le rapport signal/bruit (

0/ NCP ). .................78 Tableau 5.5 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une

fréquence d’acquisition de 20 Hz. ................................................................84 Tableau 5.6 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une

fréquence d’acquisition de 10 Hz. ................................................................84 Tableau 5.7 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une

fréquence d’acquisition de 1 Hz. ..................................................................84 Tableau 5.8 : Précisions des accélérations planimétriques à 10 Hz obtenues sans

pondération ( I ), avec pondération selon l’angle d’élévation du satellite ( EP ) et avec pondération selon le rapport signal/bruit (

0/ NCP ). ..................86 Tableau 5.9 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence

d’acquisition de 1 Hz pour le récepteur NovAtel et les récepteurs Garmin. .........................................................................................................98

Tableau 5.10 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz pour le récepteur NovAtel et les récepteurs Garmin.........................................................................................98

Tableau 5.11 : Écarts des magnitudes des vitesses planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles obtenues du récepteur NovAtel. ...100

Tableau 5.12 : Écarts des magnitudes des accélérations planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles obtenues du récepteur NovAtel. ...101

Tableau 6.1 : Fiche technique de la solution performante. ...............................................107 Tableau 6.2 : Fiche technique de la solution économique. ...............................................109

Liste des figures

Figure 1.1 : Tests effectués par Mathieu Lambert en patinage de vitesse à l’anneau de glace Gaétan-Boucher avec un système GPS de type RTK [Lambert, 2002]. .................................................................................................................4

Figure 1.2 : Équipement GPS de type RTK porté par un patineur de vitesse [Lambert, 2002]. .................................................................................................................5

Figure 1.3 : Montre GPS « Forerunner » du fabricant Garmin [Garmin, 2006]. ..................6 Figure 1.4 : Modules composants le système de mesure des performances sportives par

GPS. ...................................................................................................................9 Figure 2.1 : Récepteur NovAtel DL-4 avec antenne NovAtel profilée à double

fréquence [NovAtel, 2006]. .............................................................................14 Figure 2.2 : Sac à dos adapté pour la collecte des mesures GPS pour différents sports.....15 Figure 2.3 : Vue en 3D du modèle numérique de terrain du vélodrome Louis-Garneau

avec un code de couleur pour la pente [Lambert, 2002]..................................15 Figure 2.4 : Récepteur Garmin GPS 48 avec antenne hélicoïdale d’origine ainsi qu’une

antenne profilée Marconi (modèle : AT 575-32W) et un ordinateur de poche................................................................................................................17

Figure 3.1 : Trajectoire d’un patineur à l’anneau de glace Gaétan-Boucher. ......................20 Figure 3.2 : Positions obtenues par mesures GPS pour trois époques consécutives

représentées par les temps t1, t2 et t3. ...............................................................20 Figure 3.3 : Mesure Doppler perçue par une antenne GPS. ................................................24 Figure 3.4 : Vitesse radiale entre le récepteur et le satellite. ...............................................27 Figure 3.5 : Calcul de la différence temporelle avec trois mesures de phase. .....................33 Figure 3.6 : Positions d’un récepteur et d’un satellite GPS aux temps t1 et t3. ...................35 Figure 3.7 : Variances des mesures de phase issues du modèle de pondération avec

l’angle d’élévation du satellite [Akrour, 2002]................................................55 Figure 3.8 : Variances des mesures de phase sur L1 pour une session de 48 heures

calculées avec les mesures 0/NC et les angles d’élévation [Akrour, 2002]....57 Figure 4.1 : Positions obtenues par mesures GPS pour trois époques

consécutives représentées par les temps t1, t2 et t3. ..........................................60 Figure 4.2 : Géométrie relative d’un récepteur et d’un satellite GPS aux époques t1 et t3

pour le calcul de l’accélération radiale à partir des mesures Doppler. ............63 Figure 5.1 : Trajectoire d’un patineur de vitesse pour un tour effectué à l’anneau de

glace Gaétan-Boucher, le 9 mars 2004. ...........................................................79 Figure 5.2 : Vitesses planimétriques calculées à partir des positions avec ambiguïtés

fixées à un taux d’enregistrement de 20 Hz.....................................................80 Figure 5.3 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures

Doppler à un taux d’enregistrement de 20 Hz. ................................................80

x

Figure 5.4 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δφ à un taux d’enregistrement de 20 Hz. ..............................................................80

Figure 5.5 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δφ à un taux d’enregistrement de 10 Hz (0,2 s). ...................................................82

Figure 5.6 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δφ à un taux d’enregistrement de 5 Hz (0,4 s). .....................................................82

Figure 5.7 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δφ à un taux d’enregistrement de 1 Hz (2 s). ........................................................82

Figure 5.8 : Accélérations planimétriques calculées à partir des positions avec ambiguïtés fixées à un taux d’enregistrement de 5 Hz (0,2 s). ..........................................88

Figure 5.9 : Accélérations planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures Dδ à un taux d’enregistrement de 10 Hz (0,2 s). .............................88

Figure 5.10 : Accélérations planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δδφ à un taux d’enregistrement de 5 Hz (0,2 s). ..............................88

Figure 5.11 : Vitesses et accélérations planimétriques calculées en mode absolu à partir des mesures δδφ . ............................................................................................90

Figure 5.12 : Vitesses planimétriques et accélérations planimétriques pour un tour complet de l’anneau, calculées à partir des mesures δφ et δδφ à un taux d’enregistrement de 10 Hz. ..............................................................................92

Figure 5.13 : Accélérations planimétriques brutes pour le segment droit ouest de l’anneau de glace. ............................................................................................93

Figure 5.14 : Accélérations planimétriques filtrées avec la technique de la moyenne mobile sur trois époques. .................................................................................93

Figure 5.15 : Spectre des fréquences composant le signal des magnitudes des accélérations planimétriques pour le segment droit ouest de l’anneau............94

Figure 5.16 : Spectre des fréquences composant le signal des magnitudes des accélérations planimétriques lorsque l’antenne du récepteur GPS est statique. ............................................................................................................95

Figure 5.17 : Accélérations planimétriques filtrées avec la technique de la transformée de Fourier en conservant uniquement les fréquences de moins de 3 Hz. ........95

Figure 5.18 : Équipements GPS lors de la cueillette des jeux de données du 14 mars 2005. ................................................................................................................97

Figure 5.19 : Vitesses planimétriques et accélérations planimétriques du véhicule, sur une trajectoire rectiligne, calculées à partir des mesures δφ et δδφ obtenues du récepteur NovAtel et des récepteurs Garmin.............................100

Figure 5.20 : Écarts entre les magnitudes des vitesses planimétriques et des accélérations planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles calculées avec le récepteur NovAtel....................................................101

Figure 6.1 : Récepteur Garmin GPS 18 avec une fréquence d’acquisition de 5 Hz

[Garmin, 2006]...............................................................................................108 Figure B.1 : Géométrie relative à l’accélération d’un patineur de vitesse dans une

courbe.............................................................................................................125

Chapitre 1

Introduction

Ce premier chapitre présente une revue des travaux antérieurs d’application du GPS aux sports ainsi que la problématique qui leurs est associée. Les objectifs de la recherche sont ensuite décrits ainsi que la méthodologie utilisée pour les atteindre. Enfin, les différentes contributions scientifiques de cette étude sont présentées de même qu’une description du contenu de ce mémoire.

1.1 Mise en contexte Le monde du sport olympique est un milieu très compétitif. Les gagnants sont ceux qui par

leurs stratégies et leurs soifs de la victoire viennent retrancher des millièmes de seconde à

leur temps de parcours. Dans cette optique, les entraîneurs désirent connaître précisément

les vitesses et les accélérations de leurs athlètes afin d’améliorer leurs performances en

entraînement et lors des compétitions. Pour ce faire, les entraîneurs doivent disposer

d’outils de mesure de performances sportives les plus précis possibles. Les analyses

qualitatives par vidéo sont parfois utilisées pour mesurer les performances d’athlètes. Par

contre, les images vidéo ne permettent pas une représentation précise des déplacements

d’un athlète. Actuellement, les instruments les plus utilisés pour mesurer la vitesse d’un

2

athlète sont le chronomètre et les cellules photoélectriques. Ces instruments identifient à

quel moment un athlète franchit un point particulier sur une piste. Par exemple, en patinage

de vitesse des cellules photoélectriques peuvent êtres réparties à la ligne de départ et

d’arrivée ainsi qu’à différents endroits le long de l’anneau de glace. La cellule

photoélectrique agit comme un œil électronique, c’est-à-dire qu’elle détecte le passage de

l’athlète et enregistre le temps à cet instant. Par exemple, si une cellule photoélectrique

était positionnée à la ligne d’arrivée, il y aurait une mesure prise à chaque fois que le

patineur traverse la ligne d’arrivée. À ce moment, l’intervalle de temps nécessaire à

l’athlète pour effectuer un tour de piste serait calculé. Finalement, connaissant la longueur

d’un tour de piste, la vitesse moyenne du patineur pour ce tour de piste pourrait être

obtenue. Avec cette méthode, il est par contre impossible de détecter le moment et

l’endroit où se produisent de brèves variations de vitesses et d’accélérations. Ces variations

pouvant servir à détecter un problème technique comme, par exemple, une mauvaise entrée

ou sortie d’une courbe en patinage de vitesse.

Avec ces outils conventionnels, l’obtention précise et à haute fréquence des vitesses et des

accélérations d’un athlète demeure inaccessible. Par exemple, pour déterminer à une

fréquence de 10 Hz les vitesses et les accélérations d’un patineur de vitesse à partir de

cellules photoélectriques, il faudrait placer au minimum une cellule photoélectrique à tous

les mètres le long de la piste. À ce moment, cet outil de mesure de performances

deviendrait trop coûteux et difficile d’utilisation.

Pour déterminer les performances sportives d’athlètes de façon précise et à haute fréquence,

différents chercheurs ont alors commencé à s’intéresser au système de positionnement par

satellites GPS (Global Positioning System). La technologie GPS permet en effet la prise de

mesures à partir d’un récepteur et d’une antenne GPS portés par l’athlète à une fréquence

d’acquisition aussi élevée que 100 Hz [JAVAD, 2006]. Les informations cinématiques

recueillies à haute résolution temporelle permettent ensuite d’apprécier des séquences de

mouvements qui n’avaient jamais pu être étudiées auparavant et qui, dans la majorité des

cas, ne sont pas perceptibles à l’œil nu. Ces informations étant essentielles pour développer

une compréhension objective des performances motrices. L’utilisation de récepteurs GPS

s’annonce alors très intéressante pour mesurer les performances d’athlètes pratiquants des

3

sports de vitesse extérieurs tels que le cyclisme sur piste et sur route, le patinage de vitesse,

le ski alpin, le ski de fond, le canoë et le kayak. De plus, ce système a déjà fait ses preuves

au niveau du positionnement et de la navigation pour des domaines aussi variés que

l’aviation, le transport maritime, la course automobile, les applications militaires et bien

entendu l’arpentage et la géodésie.

1.2 Travaux antérieurs d’application du GPS aux sports Au cours de dernières années, certains chercheurs à travers le monde ont commencé à

utiliser le système de positionnement par satellites GPS pour étudier les performances

sportives d’athlètes.

Au Département des sciences géomatiques de l’Université Laval, les premiers tests

effectués pour l’analyse de la performance sportive à partir du système GPS ont été

exécutés par Maltais et Santerre [1999]. Les vitesses et les accélérations étaient calculées

en post-traitement avec des différences de positions prises à une fréquence de 1 Hz. Le

sport étudié était le patinage de vitesse.

Aux États-Unis, des tests ont été effectués pour combiner le système GPS et des mesures de

rythme cardiaque pour l’entraînement de coureurs de cross-country afin de mettre en

relation les données spatio-temporelles avec des données physiologiques [Miller et al.,

2000].

À l’École polytechnique fédérale de Lausanne, en Suisse, des tests en ski alpin ont été

réalisés avec un système GPS de type RTK (Real Time Kinematic) qui permet de connaître

les positions et les vitesses d’un skieur en temps réel à une fréquence de 1 Hz [Ladetto et

al., 2000]. Ils ont aussi réalisé une séquence vidéo en réalité virtuelle 3D permettant de

recréer la descente du skieur. Un reportage présentant des test effectués avec un skieur de

descente a aussi été télédiffusé sur la chaîne SF1 en Suisse [EPFL, 2001].

Par la suite, Lambert [2002], du Département des sciences géomatiques de l’Université

Laval, a réalisé un mémoire de maîtrise sur l’utilisation du GPS pour l’analyse des

performances sportives. Dans ses recherches, il a démontré que le système GPS permettait

de mesurer précisément des détails d’une performance sportive comme, par exemple, la

4

cadence à laquelle un kayakiste pagaille [Lambert, 2002; Lambert et Santerre, 2004a;

Lambert et Santerre, 2004b]. Lors de ces travaux, le système GPS RTK en mode inversé

était utilisé et permettait de connaître les positions de l’athlète à une précision de quelques

centimètres en temps réel [Thales, 2006]. Par la suite, les vitesses étaient dérivées des

différences de positions avec une précision meilleure que 1 cm/s à une fréquence de 1 Hz.

À une fréquence de 10 Hz, la précision des vitesses calculées en post-traitement et dérivées

des positions était d’environ 4 cm/s. Un système GPS de type RTK est par contre

complexe d’utilisation, car il nécessite l’utilisation de deux récepteurs géodésiques

fonctionnant simultanément. La figure 1.1 illustre un des deux récepteurs qui doit être

placé sur un point connu afin de calculer les corrections qui sont nécessaires afin de

localiser avec une précision centimétrique le deuxième récepteur GPS porté par l’athlète.

Un lien radio doit également être utilisé afin de transmettre les corrections du premier

récepteur au deuxième récepteur. La figure 1.2 montre le deuxième récepteur GPS installé

sur le dos d’un patineur.

Figure 1.1 : Tests effectués par Mathieu Lambert en patinage de vitesse à l’anneau de glace

Gaétan-Boucher avec un système GPS de type RTK [Lambert, 2002].

5

Figure 1.2 : Équipement GPS de type RTK porté par un patineur de vitesse [Lambert,

2002].

En 2003, au « Structure and Motion Lab » de l’Université de Londres des tests ont été

réalisés avec un récepteur GPS RoyalTek (REB 2100 GPS) pouvant fournir des vitesses en

format NMEA à une fréquence de 1 Hz. Ces tests avaient pour but de comparer les vitesses

d’un cycliste obtenues par GPS avec celles obtenues avec un indicateur de vitesses pour

vélo. Ces analyses ont permis de valider que les écarts obtenus entre les vitesses se situent

à l’intérieur des précisions des vitesses garanties par le fabricant du récepteur GPS soit 10-

20 cm/s [Witte et Wilson, 2004].

Récemment, des études en aviron ont été réalisées au « Department of Geospatial Science »

de l’Université RMIT à Melbourne en Australie. Des tests ont été effectués avec des

récepteurs GPS géodésiques et des récepteurs GPS bas de gamme afin de comparer ces

deux types de récepteurs. Un récepteur bas de gamme étant un récepteur GPS peu coûteux

puisque les circuits électroniques et l’horloge sont de moindre qualité que ceux d’un

récepteur géodésique. Il a été démontré qu’un seul récepteur bas de gamme offrait des

vitesses avec une précision de 4-5 cm/s à une fréquence de 1 Hz [Zhang et al., 2003].

Plus récemment, le fabricant de récepteurs GPS Garmin a mis sur le marché la montre GPS

« Forerunner » (voir figure 1.3). Selon les spécifications fournies par le fabricant, cette

montre permet aux coureurs d’enregistrer leurs trajectoires avec une précision de 15 m et de

connaître leur vitesse à une précision de 0.1 noeud (RMS), soit 5 cm/s, à une fréquence de

1 Hz [Garmin, 2006]. Les positions et les vitesses sont moins précises qu’avec un système

6

GPS RTK par contre, une montre GPS coûte seulement 160 $ US et ne pèse que 80

grammes.

Figure 1.3 : Montre GPS « Forerunner » du fabricant Garmin [Garmin, 2006].

1.3 Problématique Il existe plusieurs façons de déterminer la vitesse et l’accélération d’un mobile à partir de

mesures GPS. Par exemple, les mesures de la fréquence Doppler ainsi que les mesures de

phase peuvent être utilisées. Par contre, pour la majorité des systèmes décrits à la section

1.2, les positions sont d’abord calculées à partir de mesures GPS, puis les vitesses et les

accélérations sont dérivées des positions. Cependant, avec cette méthode, l’utilisation de

récepteurs géodésiques fonctionnant en mode différentiel est nécessaire. Puisque pour

obtenir une précision centimétrique des positions de l’athlète, un second récepteur GPS

positionné sur un point connu est requis afin de corriger les erreurs systématiques affectant

les mesures prises par le récepteur GPS porté par l’athlète. Par exemple, des équipements

de haute précision de type RTK peuvent être utilisés. Ils permettent de résoudre en temps

réel les ambiguïtés des mesures de phase afin d’obtenir une précision centimétrique sur les

positions. Par contre, un système de ce type est non seulement complexe d’utilisation, mais

l’équipement porté par l’athlète est lourd et volumineux puisqu’il doit inclure un lien radio

en plus du récepteur GPS, de l’antenne GPS et de la pile. Enfin, le coût d’acquisition d’un

tel système est d’environ 40 000 $US, ce qui dépasse souvent le budget dont dispose les

équipes sportives. Quant aux systèmes d’aide à l’entraînement qui utilisent un seul

récepteur GPS bas de gamme, ils sont légers, petits et peu coûteux. Par contre, ils offrent

des vitesses moins précises que les récepteurs géodésiques et pour l’instant ils permettent

uniquement une faible fréquence d’acquisition (généralement 1 Hz). Un taux de 1 Hz est

insuffisant puisqu’en patinage de vitesse, par exemple, la cadence des poussées d’un

7

patineur de vitesse est d’environ une par seconde (1 Hz). À ce moment, une fréquence

d’acquisition minimale de 5 Hz est requise afin de distinguer, pour chaque poussée,

l’augmentation de la vitesse du patineur suivie d’une diminution de celle-ci. À une

fréquence d’acquisition de 10 Hz les poussées du patineur sont d’autant plus perceptibles et

peuvent être étudiées plus en détails.

Ainsi, les systèmes actuels de mesure des performances sportives par GPS utilisent

différents récepteurs GPS, mais aussi différentes stratégies d’acquisition et de traitement de

données avec leurs avantages et leurs inconvénients. La problématique peut alors se

résumer par la question suivante : Quelle serait la solution (type d’équipement GPS et type

d’algorithmes de traitement) à privilégier afin d’obtenir des vitesses et des accélérations les

plus précises possibles, à une fréquence de 10 Hz ou plus tout en minimisant le poids, le

volume et le coût des équipements?

1.4 But et objectifs Le but de cette recherche est de définir une solution idéale, réaliste et tenant compte des

contraintes du milieu sportif pour permettre aux entraîneurs de mesurer les performances de

leurs athlètes.

Un premier objectif est de développer un système optimal incluant un ou des récepteurs

GPS, un logiciel de traitement ainsi qu’un module de filtrage des vitesses et des

accélérations. Ce système doit procurer, à une fréquence de 10 Hz ou plus, des vitesses et

accélérations les plus précises possibles. Il doit aussi être simple à utiliser et l’équipement

porté par l’athlète doit être compact et léger. Finalement, le système doit être le moins

coûteux possible afin de le rendre accessible aux équipes sportives qui ont souvent un

budget limité. Un tel système de mesure des performances sportives deviendrait un outil

très intéressant d’aide à l’entraînement pour les athlètes de haut niveau. En connaissant

précisément leurs performances, ils pourront identifier leurs forces ainsi que certaines

faiblesses à corriger pour progresser plus rapidement au fil des entraînements. En patinage

de vitesse par exemple, une mauvaise technique de patinage serait facilement détectable

puisqu’elle entraînerait une grande variation de la vitesse et de l’accélération pour chacune

8

des poussées. De faibles variations des vitesses sont en effet souhaitées puisqu’elles

permettent au patineur de conserver une vitesse moyenne plus élevée.

Un second objectif consiste à déterminer et à comparer les précisions des vitesses et des

accélérations obtenues selon différentes stratégies d’acquisition et de traitement de mesures

GPS. Pour identifier les récepteurs GPS et la méthode d’acquisition des mesures qui

offrent les meilleurs résultats, les paramètres à analyser sont : i) le mode de traitement soit

en absolu (un seul récepteur) ou en relatif (par rapport à une station de référence) ; ii) la

fréquence d’acquisition des mesures (20 Hz, 10 Hz, 5 Hz, 1 Hz) ; iii) le type du (des)

récepteur(s) GPS soit double fréquence ou simple fréquence ; ainsi que iv) la qualité du

récepteur qui peut être soit de type géodésique ou bas de gamme. Au niveau du traitement

des données GPS, un premier paramètre à tester est la méthode de calcul des vitesses et des

accélérations. Avec la première méthode, les positions sont d’abord calculées à partir des

mesures GPS, puis les vitesses et les accélérations sont calculées à partir des variations

temporelles des positions. La seconde méthode calcule les vitesses et les accélérations

directement à partir des mesures brutes enregistrées par le(s) récepteur(s) GPS, soit les

mesures Doppler ou les mesures de phase. Lorsque les vitesses et les accélérations sont

déterminées par cette méthode, le gain de précision obtenue par l’utilisation d’une matrice

de poids en fonction de l’angle d’élévation du satellite ou de la qualité du signal enregistré

par le récepteur peut être analysé. Finalement, afin d’éliminer une partie du bruit présent

dans les vitesses et les accélérations, un filtre avec une moyenne mobile ou une transformée

de Fourier peut être appliqué.

1.5 Méthodologie Le développement d’un système de mesure des performances sportives a permis de

répondre aux objectifs de cette recherche. La figure 1.4 illustre les trois modules qui

composent ce système.

9

Figure 1.4 : Modules composants le système de mesure des performances sportives par

GPS.

Le premier module du système est composé du matériel GPS : récepteur(s), antenne(s),

pile(s), câbles et sac à dos. Le matériel GPS choisi doit fournir des mesures de code, de

fréquence Doppler et de phase à une fréquence d’acquisition de 10 Hz ou plus.

Concrètement, ce premier module doit permettre l’acquisition et le stockage des mesures

GPS brutes et des éphémérides des satellites. Il doit aussi être léger, compact, facile

d’utilisation et peu coûteux.

Le deuxième module du système est le logiciel de traitement des mesures. Dans ce module,

les mesures GPS brutes et les éphémérides des satellites sont traitées par un programme

développé dans le cadre de cette recherche. Ce logiciel calcule, à l’aide des mesures

effectuées et de différents algorithmes, les positions, les vitesses et les accélérations des

satellites puis, les positions, les vitesses et les accélérations de l’antenne du récepteur GPS.

La conception d’un logiciel de traitement est nécessaire puisque peu de logiciels

commerciaux calculent des vitesses et pratiquement aucun ne fournit des accélérations. Ce

logiciel de traitement offre aussi une plus grande flexibilité que les logiciels commerciaux.

Avec un programme « maison », il est possible de tester toutes les méthodes d’acquisition

et tous les algorithmes de traitement des données qui semblent intéressants. Par la suite, les

différentes stratégies d’acquisition et de traitement des données peuvent être comparées

afin de déterminer celle qui procure les vitesses et les accélérations les plus précises

possibles.

ÉÉqquuiippeemmeenntt GGPPSS

ˆˆT

δφ δφ k-1X X(k -1)U = A P W +P X

-1 0 0 0 0 00 -1 0 0 0 01 0 -1 0 0 00 1 0 -1 0 00 0 1 0 -1 00 0 0 1 0 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

LLooggiicciieell ddee ttrraaiitteemmeenntt FFiillttrraaggee

10

La troisième composante du système est le module de filtrage des vitesses et des

accélérations. Le deuxième module permet de calculer deux séries temporelles soit la

vitesse et l’accélération de l’athlète en fonction du temps. Par contre, ces résultats sont

affectés par le bruit des observations et par les erreurs non modélisées. Plus la présence de

bruit est importante, plus le filtrage devient utile. Le filtrage permet d’éliminer une partie

des erreurs aléatoires et de conserver un signal moins bruité. Différentes techniques

d’estimation et de filtrage seront étudiées et comparées afin de déterminer celles qui

permettent de mieux faire ressortir les vitesses et les accélérations réelles de l’athlète.

Finalement, deux systèmes de mesure des performances sportives seront proposés et

comparés afin de mieux répondre aux besoins des athlètes et des entraîneurs. Puisque les

besoins peuvent changer d’un sport extérieur à l’autre, le système conseillé peut varier. En

cyclisme sur route par exemple, les fluctuations des vitesses étant moins rapides qu’en

patinage de vitesse, un système d’acquisition fonctionnant à 1 Hz pourrait être suffisant

tout en étant plus économique. Dans cette optique, un premier système offre une solution

très performante mais plus dispendieuse tandis qu’un deuxième système présente une

solution plus économique lorsque les besoins sont moins élevés et/ou lorsque le budget

d’une équipe sportive est limité.

1.6 Contributions de la recherche Cette recherche apporte les éléments clés pour définir un outil plus performant que les

techniques actuellement utilisées pour mesurer les vitesses et les accélérations d’un athlète.

Une seconde contribution de ce projet est de développer un logiciel de traitement de

mesures GPS pour le calcul précis des vitesses et des accélérations d’un mobile. Le projet

présente aussi une étude comparative des diverses méthodes d’acquisition et de traitement

de mesures GPS pour le calcul de vitesses et d’accélérations à haute fréquence. Notons que

les ouvrages scientifiques portant sur ce sujet sont peu nombreux. Finalement, la recherche

présente une comparaison intéressante des vitesses et des accélérations mesurées avec des

récepteurs GPS bas de gamme (avec extraction de mesures de phase) par rapport à celles

obtenues avec des récepteurs de type géodésique.

11

1.7 Structure du mémoire Ce mémoire est structuré sous forme de six chapitres. Le contenu de ces chapitres se

résume comme suit :

Le chapitre deux aborde le premier module du système GPS d’analyse des performances,

soit les techniques d’acquisition proposées ainsi que les équipements GPS sélectionnés.

Le chapitre trois comprend la première partie du deuxième module visant le traitement des

données. Dans ce chapitre, les différents algorithmes développés et utilisés pour le calcul

des vitesses à partir des mesures GPS sont traités en détails.

Le chapitre quatre présente la seconde partie du module de traitement des données. Les

différents algorithmes pour le calcul des accélérations à partir des mesures GPS sont décrits

dans ce chapitre.

Le chapitre cinq décrit les tests effectués et compare les précisions des vitesses et des

accélérations obtenues suite aux essais de différentes stratégies d’acquisition et de

traitement des données GPS. Les résultats relatifs au troisième module composant le

système GPS sont ensuite présentés. Il s’agit des résultats obtenus suite au filtrage des

vitesses et des accélérations avec des moyennes mobiles et des transformées de Fourier.

Finalement, les vitesses et les accélérations obtenues de récepteurs GPS bas de gamme sont

comparées avec celles obtenues de récepteurs GPS de type géodésique.

Le sixième et dernier chapitre de ce mémoire présente les conclusions ainsi que les

recommandations sur l’utilisation du système GPS pour la détermination précise des

vitesses et des accélérations d’un athlète. Finalement sont énumérées des pistes pour des

travaux futurs afin de continuer à perfectionner les systèmes de mesure de performances

sportives.

Deux annexes complètent cette étude. L’annexe A est complémentaire aux chapitres trois

et quatre et présente explicitement les calculs des composantes du vecteur position et du

vecteur vitesse instantanée d’un satellite obtenues à partir des paramètres orbitaux émis par

les satellites. L’annexe B complète le chapitre cinq et présente une méthode pour calculer

l’accélération d’un mobile le long d’une trajectoire curviligne.

Chapitre 2

Équipement GPS adapté aux sports Ce chapitre décrit le premier module du système de mesure de performances sportives. Ce module permet l’acquisition des mesures GPS à partir des équipements GPS. Les sports visés et les récepteurs GPS utilisés au cours du projet sont présentés dans ce chapitre.

2.1 Disciplines sportives identifiées Au cours du projet, plus d’un gigaoctet d’observations GPS brutes ont été recueillies afin

de mesurer des performances sportives. La plupart des tests ont été effectués à l’hiver 2004

en patinage de vitesse à l’anneau de glace Gaétan-Boucher de Sainte-Foy. Plus d’une

quinzaine de patineurs expérimentés de l’équipe québécoise et canadienne de patinage de

vitesse avaient participé aux tests permettant ainsi la cueillette de données GPS sur plus de

250 tours de pistes. Durant l’hiver 2004, d’autres tests avaient aussi été effectués en ski

alpin au centre de ski Stoneham ainsi qu’à l’hiver 2005 en ski de fond à la base militaire de

Valcartier. À l’été 2004, des données avaient été recueillies en cyclisme sur piste au

vélodrome Louis-Garneau, situé à Saint-Augustin-de-Desmaures et quelques tests avaient

été effectués en patinage à roues alignées à l’anneau Gaétan-Boucher. Il existe aussi

13

d’autres sports comme le canoë, le kayak, ainsi que le cyclisme sur route qui se prêtent bien

à la collecte d’observations GPS, mais ceux-ci n’ont pas été expérimentés au cours de cette

étude.

2.2 Critères d’évaluation des récepteurs GPS Le choix des récepteurs GPS représente une décision importante à prendre puisque les

autres composantes du système de mesure des performances découlent des observations

prises par le(s) récepteur(s) GPS. Les principaux critères à considérer étaient le type de

mesures disponibles, le taux d’échantillonnage, le poids et le volume de l’équipement, le

support mémoire et le coût d’achat.

Puisqu’un des objectifs de cette étude est de comparer les résultats obtenus selon

différentes stratégies d’acquisition et de traitement alors d’autres critères s’ajoutaient au

choix des récepteurs. Des récepteurs GPS très performants qui enregistrent tous les types

de mesures étaient alors nécessaires puisqu’ils permettaient d’expérimenter toutes les

différentes stratégies d’acquisition et de traitement des observations GPS.

2.3 Récepteur géodésique Les récepteurs GPS qui ont été choisis pour effectuer la majorité des tests sont deux

récepteurs double fréquence NovAtel DL-4 avec deux antennes NovAtel profilées. Il s’agit

de récepteurs GPS de type géodésique qui enregistrent les mesures de code, mais surtout les

mesures de phase et les mesures de fréquence Doppler qui sont beaucoup plus précises que

les mesures de code. Ces récepteurs captent les signaux GPS sur les deux fréquences (L1 et

L2) et permettent un positionnement relatif centimétrique en mode cinématique. La

fréquence d’acquisition des données est de 20 Hz afin de calculer des vitesses et des

accélérations à haute fréquence. À ce taux d’échantillonnage, la cadence de l’athlète se

discerne facilement. Les récepteurs NovAtel DL-4 s’avéraient un choix judicieux

puisqu’en plus de permettre une haute fréquence d’acquisition, ils sont compacts et ne

requièrent aucun carnet de note. Ils permettent l’enregistrement des données directement

sur une carte mémoire de type « Compact Flash » ce qui facilite l’utilisation et le transfert

des données à un ordinateur personnel. Le coût d’achat d’un tel récepteur GPS avec son

14

antenne est de 11 000 $ US et le poids d’un ensemble incluant une pile externe est de 1,7

kg [NovAtel, 2006]. La figure 2.1 illustre un de ces deux récepteurs avec son antenne.

Figure 2.1 : Récepteur NovAtel DL-4 avec antenne NovAtel profilée à double fréquence

[NovAtel, 2006].

L’utilisation de deux récepteurs permet de travailler en mode relatif, c’est-à-dire avec un

récepteur positionné sur un point de coordonnées connues à proximité du site

d’entraînement. Ce récepteur calcule des corrections qui permettent d’éliminer plusieurs

erreurs systématiques qui affectent les mesures du deuxième récepteur porté par l’athlète.

L’équipement a ensuite été adapté afin d’être porté confortablement par un athlète. Pour le

patinage de vitesse, l’antenne était initialement fixée sur un casque de cycliste que portait

l’athlète. Par contre, le casque était lourd, instable et gênait l’athlète dans sa course.

L’antenne GPS a par la suite été installée sur le sac à dos porté par le patineur de vitesse.

Ceci a permis d’éliminer l’utilisation du casque sans toutefois créer d’obstruction à

l’antenne puisque lorsqu’un athlète patine son dos est pratiquement à l’horizontale. La

figure 2.2 illustre le sac à dos utilisé pour réaliser l’ensemble des tests. Il a été conçu de

façon à être léger, stable, confortable et de dimension adéquate afin de contenir à la fois le

récepteur GPS, une pile d’alimentation, les câbles de connexion et l’antenne GPS fixée sur

une petite tige pivotante.

15

Figure 2.2 : Sac à dos adapté pour la collecte des mesures GPS pour différents sports.

Ce sac à dos est aussi utilisé en ski alpin et en ski de fond. Pour d’autres sports où l’athlète

a une posture moins penchée, une tige plus longue est utilisée afin de surélever l’antenne et

la dégager des obstructions qui pourraient être causées par la tête de l’athlète. En cyclisme

sur piste, un angle d’inclinaison est donné à l’antenne afin de la garder le plus possible à

l’horizontale lorsque le cycliste parcourt les courbes du vélodrome. Le modèle numérique

de terrain présenté à la figure 2.3 montre que le vélodrome Louis-Garneau possède des

pentes abruptes pouvant aller jusqu’à 52˚ et ainsi provoquer une importante inclinaison de

l’antenne GPS.

Figure 2.3 : Vue en 3D du modèle numérique de terrain du vélodrome Louis-Garneau avec

un code de couleur pour la pente [Lambert, 2002].

Pente (º)

16

2.4 Récepteur bas de gamme Les récepteurs GPS bas de gamme sont beaucoup moins coûteux et plus légers que les

récepteurs de type géodésique. Les coûts d’achat sont plus faibles puisque les circuits

électroniques et l’horloge d’un récepteur bas de gamme sont de moins bonne qualité que

ceux d’un récepteur de type géodésique. Par contre, un grand désavantage des récepteurs

bas de gamme est qu’ils n’exploitent habituellement pas les mesures de phase des ondes

porteuses comme les récepteurs GPS de type géodésique. Toutefois, depuis quelques

années, il est possible de se procurer des logiciels qui permettent d’extraire les mesures

brutes, y comprit les mesures de phase, prises par un récepteur GPS bas de gamme de type

Garmin. Le logiciel GRINGO [GRINGO, 2002] est un produit commercial conçu par

« Institute of Engineering Surveying and Space Geodesy (IESSG) » de l’Université de

Nottingham au Royaume-Uni. Il permet d’obtenir les mesures brutes de pseudodistance et

de phase de récepteurs GPS Garmin. Le logiciel Rhino [Rhino, 2006], produit par « US

Positioning Group », est aussi un logiciel commercial qui permet d’extraire les mesures

brutes d’un récepteur bas de gamme et de les enregistrer sur un ordinateur de poche. Dans

le cadre de cette étude, le logiciel utilisé pour l’extraction des mesures de pseudodistance,

de phase et de la fréquence Doppler est celui du Dr Galán de l’Université de Madrid

[gar2rnx, 2001]. Le principal avantage de ce logiciel est que la version exécutable ainsi

que le code source, en langage C, sont disponibles gratuitement. Dr Galán a conçu et rend

disponible sur son site internet deux programmes. Le premier appelé « async » permet de

lire les mesures GPS brutes d’un récepteur Garmin et de les enregistrer dans un format

binaire sur un ordinateur personnel. Le deuxième programme « gar2rnx » permet de

convertir le fichier binaire en un fichier RINEX (Receiver INdependant Exchange Format).

Le fichier RINEX est écrit en code ASCII (American Standard Code for Information

Interchange) et contient les mesures de code C/A, les mesures de phase sur L1 ainsi que les

mesures de fréquence Doppler sur L1 pour chaque satellite observé. Ce programme permet

aussi de créer un deuxième fichier qui comprend les éphémérides de ces satellites.

Le récepteur Garmin GPS 48 a été utilisé pour réaliser les tests. Il s’agit d’un récepteur bas

de gamme, simple fréquence et avec une fréquence d’acquisition de 1 Hz. Bien que le but

de cette recherche est de définir une solution permettant de mesurer des vitesses et des

17

accélérations à une fréquence de 10 Hz ou mieux, le récepteur Garmin a tout de même été

testé afin de vérifier le niveau de précision pouvant être obtenue avec un récepteur de type

bas de gamme. Puisque les progrès sont très rapides dans le domaine des récepteurs bas de

gamme, des récepteurs GPS peu dispendieux et permettant une fréquence d’acquisition de

10 Hz ou plus devraient être disponibles dans les prochaines années. Le récepteur Garmin

GPS 48 fonctionne avec quatre piles AA pour un poids total de 270 g. Ces dimensions sont

de 5 cm x 15 cm x 1,2 cm et son coût est d’environ 120 $ US [Garmin, 2006].

L’antenne de ce récepteur étant amovible, elle peut être enlevée et remplacée par une

antenne externe.

Finalement, un ordinateur portable, ou préférablement un ordinateur de poche que l’athlète

peut transporter facilement, a servi à exécuter le programme « async » pour extraire et

enregistrer les observations brutes mesurées par le récepteur GPS Garmin. La figure 2.4

illustre le récepteur GPS 48 avec son antenne d’origine de même qu’une antenne Marconi

simple fréquence et un ordinateur de poche qui ont été utilisés pour effectuer certains des

tests.

Figure 2.4 : Récepteur Garmin GPS 48 avec antenne

hélicoïdale d’origine ainsi qu’une antenne profilée Marconi (modèle : AT 575-32W) et un ordinateur de poche.

Chapitre 3

Calcul de la vitesse par mesures GPS

Ce chapitre présente la première partie du deuxième module du système de mesure de performances sportives. Le premier module permettait l’acquisition des mesures GPS à partir des équipements GPS alors que le deuxième module vise le traitement de ces mesures pour le calcul des vitesses et des accélérations de l’athlète. Dans un contexte théorique, une revue détaillée des différents algorithmes pour le calcul des vitesses est exposée. Tandis que la théorie relative au calcul des accélérations sera abordée au chapitre quatre.

3.1 Logiciels de traitement Une fois que la collecte et le transfert des mesures GPS brutes sont réalisés, le calcul des

vitesses peut débuter. Il existe plusieurs logiciels de traitement commerciaux pour calculer

les positions d’un mobile à partir de mesures GPS. Par contre, très peu de ceux-ci

déterminent les vitesses du mobile et pratiquement aucun ne calcule les accélérations. Pour

pallier à ce manque, un logiciel de traitement appelé « VA » pour vitesse et accélération a

été programmé en langage C. Un grand avantage de l’utilisation d’un programme

« maison », comparativement aux logiciels de traitement commerciaux, est qu’il permet

d’implanter, de tester et de comparer tous les algorithmes de calcul des vitesses et des

19

accélérations désirés. Les algorithmes utilisés par les logiciels de traitement commerciaux

ne sont pas modifiables et sont souvent inconnus puisque les fabricants demeurent très

discrets à ce niveau. De plus, la programmation du logiciel de traitement élimine les frais

associés à l’achat d’un programme de traitement. Un logiciel « maison » permet aussi la

gestion des droits de diffusion du programme aux utilisateurs. Toutefois, certains logiciels

de traitement commerciaux comme EzSurv de Viasat GeoTechnologies [Viasat, 2006],

GeoGenius de TerraSat (maintenant une filiale de Trimble), Trimble Geomatic Office de

Trimble [Trimble, 2006] ainsi que GrafNav de Waypoint Consulting [Waypoint, 2006]

(maintenant une filiale de NovAtel) ont été employés afin de calculer des positions

précises. Le programme GrafNav a aussi été utilisé afin de valider les vitesses calculées

avec notre programme VA.

3.2 Calcul de la vitesse avec les méthodes indirecte et directe La vitesse se définit comme une variation, positive ou négative, de la position d’un mobile

par unité de temps. Elle s’exprime dans le Système international d’unités (SI) en mètre par

seconde (m/s).

3.2.1 Calcul de la vitesse avec la méthode indirecte La méthode indirecte, aussi appelée méthode positions, est une façon rapide et simple de

calculer la vitesse à l’aide des positions obtenues par mesures GPS. Elle consiste à calculer

la distance parcourue entre deux positions consécutives de l’antenne GPS puis de faire le

rapport entre cette distance et le temps pris pour la parcourir. Par exemple, la figure 3.1

illustre en ligne continue les corridors de l’anneau de glace Gaétan-Boucher et en ligne

pointillée la trajectoire d’un patineur de vitesse où chacun des points est la position

enregistrée à toutes les 0,1 seconde.

20

Figure 3.1 : Trajectoire d’un patineur à l’anneau de glace Gaétan-Boucher.

La figure 3.2 présente les positions d’un patineur pour trois époques consécutives.

Figure 3.2 : Positions obtenues par mesures GPS pour trois époques

consécutives représentées par les temps t1, t2 et t3.

où

(1 2)d − : vecteur entre la position au temps t1 et la position au temps t2 (m) ;

(2 3)d − : vecteur entre la position au temps t2 et la position au temps t3 (m) ; et

jt : temps de l’époque j (j = 1, 2, 3) (s). Une vitesse moyenne sur l’intervalle de temps entre les deux positions est obtenue avec une

différence temporelle de deux positions. Par exemple, sur l’intervalle de temps [t1, t2], la

vitesse moyenne du patineur se calcule comme suit :

(1 2)(1 2)

2 1

dv

t t−

− =−

(3.1)

(2 3)d −(1 2)d −

1t2t

3t

21

où (1 2)v − : vitesse moyenne sur l’intervalle de temps [t1, t2] (m/s). La vitesse peut aussi être déterminée à partir des positions de trois époques consécutives

associées respectivement aux temps t1, t2 et t3. De cette façon, la vitesse calculée est

associée à une époque d’enregistrement, soit celle au temps t2. Une différence de positions

entre deux époques donne une vitesse associée à un temps entre deux époques

d’enregistrement. La vitesse calculée avec trois époques s’obtient en calculant une

moyenne de la vitesse sur l’intervalle de temps [t1, t2] et de la vitesse sur l’intervalle de

temps [t2, t3]. Une pondération peut être appliqué en donnant plus de poids à la vitesse

calculée sur un plus court laps de temps tel qu’illustré à l’équation (3.2).

3 2 2 12 (1 2) (2 3)

3 1 3 1

( ) t t t tv t v vt t t t− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.2)

(1 2) (2 3)3 2 2 12

2 1 3 1 3 2 3 1

( )d dt t t tv tt t t t t t t t

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.3)

où )( 2tv : vitesse calculée au temps t2 (m/s). Lorsque l’écart de temps ( tΔ ) entre deux époques est constant :

ttttt Δ=−=− 2312 (3.4) ttt Δ=− 213 (3.5)

L’équation (3.2) se simplifie et la vitesse calculée au temps t2 est alors donnée par :

(1 2) (2 3) (1 3)2( )

2 2d d d

v tt t

− − −+= =

Δ Δ (3.6)

où (1 3)d − : vecteur entre la position au temps t1 et la position au temps t3 (m). La vitesse calculée avec trois époques consécutives est ainsi une vitesse moyenne sur la

période de temps [t1, t3]. Elle devient ainsi équivalente à la vitesse obtenue d’une

22

différence des positions de deux époques successives lorsque le taux d’échantillonnage est

deux fois plus faible. Pour un même taux d’enregistrement, les vitesses obtenues avec trois

positions sont alors deux fois plus précises que celles calculées avec deux positions,

puisque l’erreur des positions est répartie sur une période deux fois plus longue. Par contre,

les vitesses obtenues avec trois positions sont de vitesses moyennes sur une période deux

fois plus longue que celles calculées avec deux positions. Une variation rapide de la vitesse

d’un athlète est alors plus difficile à mesurer lorsque les vitesses sont déduites de trois

positions consécutives.

La précision de la vitesse calculée avec deux positions s’obtient par :

(1 2)(1 2)

dv

tσ

σ −− =

Δ (3.7)

où (1 2)vσ − : précision de la vitesse calculée avec deux positions (m/s) ; et

(1 2)dσ − : précision du vecteur (1 2)d − (m). La précision de la vitesse calculée avec trois positions est :

(1 3)(1 3) 2

dv

tσ

σ −− =

Δ (3.8)

où (1 3)vσ − : précision de la vitesse calculée avec trois positions (m/s) ; et

(1 3)dσ − : précision du vecteur (1 3)d − (m).

En considérant que la précision des positions est égale d’une époque à l’autre, la précision

des déplacements est aussi égale :

(1 3) (1 2)d dσ σ− −= (3.9)

L’équation précédente permet alors d’exprimer l’équation (3.8) comme suit :

(1 2 )(1 3) 2

dv

tσ

σ −− =

Δ (3.10)

23

soit

(1 2 )(1 3) 2

vv

σσ −

− = (3.11)

L’algorithme du calcul des vitesses avec la méthode des différences de positions est rapide

et simple. Par contre, il nécessite que les positions soient précises ou qu’à tout de moins la

variation entre celles-ci le soit. Selon Bruton et al. [2002], cette méthode est peu

performante lorsque les positions sont imprécises comme lorsqu’elles sont calculées à partir

d’une solution avec ambiguïtés libres. Avec ce type de solution, les ambiguïtés de phase

n’ont pas été fixées à des valeurs entières et les positions ne sont précises qu’à 20 cm

entraînant ainsi des calculs de déplacements imprécis. Des positions calculées à partir des

mesures de code sont aussi peu intéressantes puisque les positions obtenues avec les

mesures du code C/A traitées en mode relatif ne sont précises qu’à 2-3 m [NovAtel, 2006].

3.2.2 Calcul de la vitesse avec la méthode directe Le calcul des vitesses peut aussi se faire directement avec les mesures de fréquence

Doppler ou les mesures de phase prisent par le récepteur GPS, d’où le nom de méthode

directe. La méthode directe est plus complexe que la méthode de calcul des vitesses avec

les différences de positions. Par contre, la précision des vitesses dépendra de la qualité des

mesures brutes plutôt que de la qualité des positions. Puisque des positions précises ne sont

plus requises, la laborieuse détermination des ambiguïtés de phase à des valeurs entières

n’est plus nécessaire. De plus, l’utilisation des mesures GPS brutes plutôt que des résultats

intermédiaires (positions) permet d’appliquer des pondérations sur les mesures.

Selon Seeber [2003], la fréquence Doppler se définit comme la différence entre la

fréquence de l’onde reçue en un point et la fréquence nominale transmise par la source

soit :

srD fff −= (3.12)

où Df : fréquence Doppler (Hz) ; rf : fréquence du signal reçu à l’antenne GPS (Hz) ; et sf : fréquence nominale du signal émis au satellite (Hz).

24

Tel qu’illustré à la figure 3.3, lorsqu’un satellite s’éloigne de l’antenne GPS, la fréquence

reçue de l’onde GPS est plus petite que la fréquence nominale et ainsi la mesure de

fréquence Doppler est négative.

Figure 3.3 : Mesure Doppler perçue par une antenne GPS.

De la même manière, si le satellite et l’antenne GPS se rapprochent, alors la fréquence

reçue est plus grande que la fréquence nominale et la mesure de fréquence Doppler est

positive. Si la distance entre le récepteur et le satellite reste constante la fréquence reçue

est la même que la fréquence nominale et la mesure de fréquence Doppler devient nulle.

La mesure de fréquence Doppler qui s’exprime en Hertz, peut aussi être définie comme une

vitesse en mètre par seconde lorsque la fréquence Doppler est multipliée par la longueur

d’onde du signal [Xu, 2003]. Pour ce mémoire, le terme « mesure Doppler » est utilisé

lorsque la mesure de fréquence Doppler est convertie en mètre par seconde. La relation

entre la mesure de fréquence Doppler et la mesure Doppler est donc la suivante :

sDD f λ= (3.13)

où s

s

cf

λ = (3.14)

et D : mesure Doppler (m/s) ; sλ : longueur d’onde nominale du signal (m) ; et c : vitesse de la lumière dans le vide (m/s).

25

Selon Serrano et al. [2004a] la mesure Doppler observée par un récepteur GPS peut être

interprétée comme une mesure de la vitesse radiale topocentrique instantanée puisqu’elle

est observée sur un très court intervalle de temps.

Les mesures de phase peuvent aussi être utilisées pour déterminer la vitesse d’un mobile. Il

est possible de créer une mesure appelée différence temporelle de phase qui, comme la

mesure Doppler est une mesure de la vitesse de rapprochement ou d’éloignement entre le

récepteur et le satellite. Une mesure de phase additionnée à un nombre entier de cycles,

exprimée en mètre, donne la distance entre le récepteur et le satellite à une époque donnée.

En supposant qu’il n’y ait pas eu de saut de cycle entre deux époques consécutives, la

différence entre deux mesures de phase consécutives permet d’éliminer le nombre entier de

cycle (l’ambiguïté de phase). Cette différence de mesures de phase, contient le changement

de distance (le rapprochement ou l’éloignement) entre le récepteur et le satellite pour

l’intervalle de temps entre les deux prises de mesure. Pour obtenir de l’information sur la

vitesse radiale entre le récepteur et le satellite, la différence de deux mesures de phase est

divisée par le temps écoulé entre les deux mesures. Cette mesure est appelée la différence

temporelle de phase. La précision de la mesure de différence temporelle de phase ainsi que

la précision de la mesure Doppler seront discutées à la section 3.5.6.

Notons qu’une mesure de différence temporelle de code pourrait aussi être formée. Par

contre, la précision des mesures de code C/A étant typiquement de 1 m, la précision d’une

différence temporelle de code oscillerait alors autour de 1,4 m/s, lorsque l’intervalle de

temps entre les mesures est d’une seconde. Cette précision est alors nettement insuffisante

pour étudier des performances sportives. Ainsi, au cours de l’étude, seules les mesures

Doppler et de différence temporelle de phase ont été utilisées pour le calcul des vitesses

avec la méthode directe.

26

3.3 Équation d’observations des mesures Doppler La méthode directe pour calculer des vitesses à partir des mesures Doppler suit le même

principe que le calcul des positions à partir des mesures de code. C’est-à-dire que la vitesse

de l’antenne du récepteur est estimée en solutionnant les équations d’observations des

mesures Doppler avec une compensation par moindres carrés (section 3.6). L’équation

d’observations des mesures Doppler exprimée en m/s est définie par [Peyton, 1990; Jekeli

et Garcia, 1996; Santerre, 2002; Serrano et al., 2004b] :

( )ii DDii mtTITdtdcD ερ +++−−+= (3.15)

où

iD : mesure Doppler sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s) ; ρ : vitesse radiale entre le récepteur et le satellite (m/s); td : dérive de l’horloge du satellite (s/s) ; Td : dérive de l’horloge du récepteur (s/s) ; iI : variation temporelle du délai ionosphérique sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s) ;

T : variation temporelle du délai troposphérique (m/s) ; iDmt : erreur des multitrajets sur la mesure Doppler sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s) ; et

iDε : bruit de la mesure Doppler sur la bande Li (i = 1, 2) et des effets résiduels non modélisés (m/s).

3.3.1 Vitesse radiale entre le récepteur et le satellite La vitesse radiale topocentrique est la variation temporelle de la distance entre le récepteur

et le satellite. Il s’agit d’un scalaire qui représente la vitesse d’éloignement ou de

rapprochement entre le récepteur et le satellite. Il peut s’interpréter comme la projection de

la différence du vecteur vitesse du satellite et du vecteur vitesse du récepteur sur le vecteur

reliant le récepteur et le satellite [Tsui, 2000; Xu, 2003]. La figure 3.4 illustre la vitesse

radiale topocentrique ( SRρ ) entre le récepteur et le satellite :

27

Figure 3.4 : Vitesse radiale entre le récepteur et le satellite.

où

RSS

R XxX −= (3.16) et S

RX : vecteur de la différence du vecteur vitesse du satellite et du vecteur vitesse du récepteur (m/s) ;

Sx : vecteur vitesse du satellite au temps de transmission (m/s) ; RX : vecteur vitesse du récepteur au temps de réception (m/s) ; et S

Re : vecteur unitaire entre le récepteur et la satellite. La vitesse radiale topocentrique ( S

Rρ ) peut aussi être définie mathématiquement par la

dérivation temporelle de la distance géométrique ( SRρ ) entre le récepteur et le satellite.

Sachant que SRρ s’exprime de la façon suivante :

SR

SR X=ρ (3.17)

et

RSS

R XxX −= (3.18) où S

RX : vecteur de la différence du vecteur position du satellite et du vecteur position du récepteur (m) ;

Sx : vecteur position du satellite au temps de transmission (m) ; et RX : vecteur position du récepteur au temps de réception (m).

RX−

RX

SRX

Sx

SRρ

SRe

SRe−

28

La distance géométrique SRρ peut aussi s’exprimer de la façon suivante [Jekeli et Garcia,

1996] :

SR

SR

SR Xe ⋅=ρ (3.19)

où S

S RR S

R

XeX

= (3.20)

L’expression S

RSR Xe ⋅ signifie le produit scalaire entre le vecteur S

Re et le vecteur SRX .

La première dérivée temporelle de la distance géométrique est :

SR

SR

SR

SR

SR XeXe ⋅+⋅=ρ (3.21)

( )S S S S S SR R R R R Re X e e Xρ = ⋅ + ⋅ (3.22)

Il est ensuite possible de démontrer que le vecteur unitaire S

Re et sa dérivée temporelle SRe

sont orthogonaux, sachant que :

12

==⋅ SR

SR

SR eee (3.23)

En dérivant l’équation (3.23), l’équation suivante est obtenue :

0S S S SR R R Re e e e⋅ + ⋅ = (3.24)

( )2 0S SR Re e⋅ = (3.25)

ce qui prouve que SR

SR ee ⊥ (3.26)

L’équation (3.22) devient alors :

S S SR R Re Xρ = ⋅ (3.27)

Finalement, une fois le vecteur SRX (équation (3.16)) substitué dans l’équation (3.27), la

vitesse radiale entre le récepteur et le satellite s’écrit :

( )S S SR R Re x Xρ = ⋅ − (3.28)

29

Tel qu’illustré à la figure 3.4, la vitesse radiale est effectivement obtenue par la projection

de la différence du vecteur vitesse du satellite et du vecteur vitesse du récepteur sur le

vecteur unitaire.

Pour calculer SRρ dans le système de coordonnées terrestre moyen (TM), il faut

préalablement appliquer une matrice de rotation ZR , autour de l’axe z du système TM, au

vecteur position et au vecteur vitesse du satellite. Cette matrice permet de prendre en

considération le mouvement de rotation de la Terre (c.-à-d. du système TM) entre le temps

de transmission du signal au satellite et le temps de réception du signal au récepteur. La

rotation du vecteur position du satellite pour une époque donnée s’effectue de la façon

suivante :

SZ

S xRx )(' θ= (3.29) où

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000)cos()sin(0)sin()cos(

)( θθθθ

θZR ; (3.30)

Sx ' : vecteur position du satellite au temps de transmission dans le système TM tel qu’orienté au temps de réception (m) ;

Sx : vecteur position du satellite au temps de transmission dans le système TM tel qu’orienté au temps de transmission (m) ; et

θ : angle de rotation de la Terre pendant la durée de transmission du signal (rad). Sachant que l’angle θ est très petit, les simplifications suivantes peuvent être faites :

θθ =)sin( (3.31) 1)cos( =θ (3.32)

L’angle de rotation de la Terre pendant la durée de transmission du signal se calcule

comme suit :

T

SR

cωρθ = (3.33)

où Tω : vitesse angulaire de la Terre (rad/s).

30

Puisque S

Rρ (équation (3.19)) est fonction de Sx ' qui est aussi fonction de θ , il faut

procéder par itérations pour déterminer θ . La valeur de départ ( SR0ρ ) est obtenue de la

façon suivante :

( ) ( ) ( )2220 R

SR

SR

SSR ZzYyXx −+−+−=ρ (3.34)

où

),,( SSS zyx : composantes du vecteur position du satellite ( Sx ) dans le système TM au temps de transmission (m) ; et

),,( RRR ZYX : composantes du vecteur position du récepteur ( RX ) dans le système TM au temps de réception (m).

Le vecteur vitesse du satellite au temps de transmission dans le système TM tel qu’orienté

au temps de réception ( Sx ' ) s’exprime quant à lui comme la dérivée temporelle du vecteur Sx ' . Le vecteur position ( Sx ' ) et le vecteur vitesse ( Sx ' ) du satellite seront ceux utilisés

pour calculer la distance ( SRρ ) et la vitesse radiale topocentrique ( S

Rρ ) (équations (3.19) et

(3.28)).

Finalement, la vitesse radiale instantanée entre le récepteur et le satellite exprimée

explicitement dans un système de coordonnées TM, en prenant en considération la rotation

de la Terre pendant la durée de transmission du signal, est la suivante :

SRZ

SRY

SRX

SR ZeYeXe ++=ρ (3.35)

où

SR

RSS

XXyxe

ρθ )( −+

= SR

RSS

yYxye

ρθ )( −−

= SR

RS

ZZze

ρ)( −

=

S S SR RX x y Xθ= + − S S S

R RY y x Yθ= − − S SR RZ z Z= −

R

SSSSR XyyxX −++= θθ R

SSSSR YxxyY −−−= θθ R

SSR ZzZ −=

( ) ( ) ( )222R

SR

SSR

SSSR ZzYxyXyx −+−−+−+= θθρ (3.36)

31

SR

Tcρθ ω= (3.37)

θ : variation temporelle de l’angle de rotation de la Terre durant la

transmission du signal (rad/s) ; ),,( ZYX eee : composantes du vecteur unitaire ( S

Re ) dans le système TM au temps de réception ;

( , , )S S SR R RX Y Z : composantes du vecteur entre le récepteur et le satellite ( S

RX ) dans le système TM au temps de réception (m) ;

),,( SR

SR

SR ZYX : composantes du vecteur vitesse entre le récepteur et le satellite ( S

RX ) dans le système TM au temps de réception (m/s) ;

),,( SSS zyx : composantes du vecteur vitesse du satellite ( Sx ) dans le système TM au temps de transmission (m/s) ; et

),,( RRR ZYX : composantes du vecteur vitesse du récepteur ( RX ) dans le système TM au temps de réception (m/s).

Puisque S

Rρ (équation (3.35)) est fonction de θ et que θ est aussi fonction de SRρ , il faut

procéder par itérations pour déterminer θ . La valeur de départ ( 0S

Rρ ) est obtenue de la

façon suivante :

( )0 , ,S S S S S S SR R R R Re x y X y x Y z Zρ θ θ= ⋅ + − − − − (3.38)

Dans l’équation (3.36), les trois premiers paramètres inconnus sont les composantes du

vecteur vitesse du récepteur au temps de réception. Tel qu’il sera présenté à la section

3.5.1, les composantes du vecteur position du récepteur peuvent être calculées à partir des

mesures de code C/A avec une précision suffisante sans nuire au calcul des vitesses. Les

composantes du vecteur position du satellite au temps de transmission se calculent à partir

des paramètres orbitaux contenus dans le message radiodiffusé par chacun des satellites

GPS. La vitesse du satellite est obtenue de la dérivation temporelle des paramètres

orbitaux. L’annexe A présente, sous forme explicite, le calcul des composantes du vecteur

position et du vecteur vitesse du satellite.

3.3.2 Dérive de l’horloge du récepteur La dérive de l’erreur d’horloge du récepteur est le quatrième paramètre inconnu des

équations d’observations des mesures Doppler (équation (3.15)). Cette dérive ne peut pas

32

être ignorée. Suite à différents tests effectués au cours de cette étude, l’écart type de la

dérive de l’horloge des récepteurs GPS géodésiques NovAtel DL-4 était de 0,3 ns/s (9

cm/s). Avec des récepteurs bas de gamme de type Garmin l’écart type de la dérive était de

30 μs/s ce qui représente une erreur de 9 000 m/s.

3.4 Équation d’observations des mesures de différence temporelle de phase (δφ )

Tel que mentionné à la section 3.2.2, la différence temporelle de phase (δφ ) procure une

mesure du même type qu’une mesure Doppler. Cette mesure s’obtient par la différence de

deux mesures de phase entre deux époques consécutives divisée par l’intervalle de temps

entre les deux mesures. Le symbole δ sera utilisé pour signifier une différence de deux

valeurs divisée par l’intervalle de temps entre les deux valeurs. Ainsi, δφ se calcule

comme suit :

12

12 )()(tt

ttt −

−=

ΔΔ=

φφφδφ (3.39)

où φΔ : différence entre deux mesures de phase consécutives (m) ; tΔ : intervalle de temps tΔ entre les mesures (s) ;

)( jtφ : mesure de phase au temps jt (j = 1, 2) (m) ; et

jt : temps à l’époque j (j = 1, 2) i.e. deux époques consécutives (s).

Contrairement à la mesure Doppler, δφ n’est pas une mesure de la vitesse radiale

instantanée, mais une mesure de la vitesse radiale moyenne sur l’intervalle de temps entre

les deux prises de mesures de phase. Si l’intervalle de temps entre les prises de mesures

augmentait, par exemple à 10 secondes, la vitesse radiale obtenue serait une vitesse

moyenne sur une période de 10 secondes. Dans ce cas, les variations de vitesses de

l’athlète pendant cette période de 10 secondes ne seraient plus perceptibles.

L’observation δφ peut aussi se déterminer à partir d’une différence de trois mesures de

phase. La figure 3.5 montre le scénario du déplacement d’un patineur par rapport à un

satellite aux époques 1, 2, 3…n.

33

Figure 3.5 : Calcul de la différence temporelle avec trois mesures de phase.

Dans la figure 3.5, le calcul de δφ à l’époque t2 avec trois mesures de phase est en fait une

moyenne pondérée de (1 2)δφ − obtenu sur l’intervalle de temps [t1, t2] et de (2 3)δφ − calculé sur

l’intervalle de temps [t2, t3]. Une pondération est effectuée en donnant plus de poids à

l’observation δφ qui a été calculée sur un plus court intervalle de temps. L’observation δφ

à l’époque 2t se calcule alors selon l’équation suivante :

)()(

)()()(

)()()(

)(13

12

23

23

13

23

12

122 tt

tttt

tttttt

ttttt

−−

−−

+−−

−−

=φφφφδφ (3.40)

Dans le cas où le taux d’échantillonnage est constant, l’équation (3.40) se simplifie ainsi :

ttttt Δ=−=− 2312 (3.41) ttt Δ=− 213 (3.42)

et

t

ttt

ttt

Δ−

+Δ−

=2

)()(2

)()()( 2312

2φφφφδφ (3.43)

3 1

2( ) ( )( )

2t tt

tφ φδφ −=

Δ (3.44)

Époque Mesure de phase (m)

Différence temporelle de mesures de phase (m/s)

)( 1tφ

(1 2)δφ − (2 3)δφ −

1t 2t 3t nt)( 2tφ )( 3tφ

Distances récepteur-satellite

34

Dans le cadre de cette étude, l’observation de la différence temporelle des mesures de phase

sur trois époques a été privilégiée. L’avantage de procéder ainsi est que l’observation δφ

est associée au temps intermédiaire, soit l’époque 2t , un temps qui a été échantillonné et

pour lequel une position a été calculée. Avec une différence temporelle de deux mesures de

phase un nouvel échantillonnage doit être fait afin d’associer la mesure de différence

temporelle à un temps intermédiaire qui ne fait pas partie de l’échantillonnage original des

prises de mesures GPS. Le désavantage d’utiliser les mesures de phase sur trois époques

est que la vitesse calculée est une vitesse moyenne sur une période deux fois plus longue.

Tel que démontré à l’équation (3.44), une différence temporelle de trois mesures de phase

est équivalente à une différence temporelle avec deux mesures de phase consécutives

lorsque le taux d’échantillonnage est deux fois moins élevé.

L’équation d’observation d’une mesure de différence temporelle de phase (δφ ) s’écrit

ainsi :

iimtTIdTdtc ii φφ δεδδδδδδρδφ +++−−+= )( (3.45)

où

iδφ : différence temporelle de mesures de phase sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s) ; δρ : différence temporelle de la distance entre le récepteur et le satellite (m/s) ; dtδ : différence temporelle de l’erreur d’horloge du satellite (s/s) ; dTδ : différence temporelle de l’erreur d’horloge du récepteur (s/s) ;

iIδ : différence temporelle du délai ionosphérique sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s) ; Tδ : différence temporelle du délai troposphérique (m/s) ;

imtφδ : différence temporelle de l’erreur des multitrajets des mesures de phase sur la

bande Li (i = 1, 2) (m/s) ; et iφδε : bruit de la mesure de différence temporelle des mesures de phase sur la bande

Li (i = 1, 2) et des effets résiduels non modélisés (m/s). Contrairement à l’équation d’observation des mesures Doppler (équation (3.15)), les termes

qui composent l’équation (3.45) ne sont plus des dérivées temporelles instantanées, mais

des variations temporelles moyennes sur l’intervalle de temps entre les prises de mesures.

Pour une différence temporelle de deux mesures de phase consécutives, le symbole

δ signifie une variation temporelle sur l’intervalle de temps [t1, t2]. Pour une différence

35

temporelle de trois mesures de phase consécutives, le symboleδ signifie une variation

temporelle sur l’intervalle de temps [t1, t3].

3.4.1 Différence temporelle de la distance récepteur-satellite Le calcul de la différence temporelle de la distance récepteur-satellite (δρ ) s’effectue

différemment du calcul de la vitesse radiale avec les mesures Doppler (équation (3.15)).

Puisque l’observation δφ n’est pas une mesure instantanée comme la mesure Doppler, le

calcul de δρ doit prendre en considération le déplacement du satellite et du récepteur

durant l’intervalle de temps entre les deux prises de mesures. Lorsque la différence

temporelle est calculée avec les mesures de phase sur trois époques, il s’agit de l’intervalle

de temps entre le temps t1 et le temps t3.

La figure 3.6 présente la géométrie relative d’un récepteur et d’un satellite GPS au temps t1

et au temps t3.

Figure 3.6 : Positions d’un récepteur et d’un satellite GPS aux temps t1

et t3.

où )( jS tx : vecteur position du satellite au temps de transmission pour l’époque j

(j = 1, 3) (m) ; )( jR tX : vecteur position du récepteur au temps de réception pour l’époque j (j = 1, 3) (m) ;

)( jSR tX : différence du vecteur position du satellite et du vecteur position du

récepteur pour l’époque j (j = 1, 3) (m) ; et

RXΔ : vecteur du déplacement du récepteur entre les époques 1 et 3 (m).

Origine

Satellite à t1 Satellite à t3

)( 1tx S

)( 3txS

)( 1tX R

)( 3tX R

Récepteurà t1

Récepteur à t3

)( 1tX SR

RXΔ

)( 3tX SR

36

Les inconnues à déterminer sont les composantes du vecteur vitesse moyenne du récepteur

( RXδ ) pour l’intervalle de temps [t1, t3] et elles s’obtiennent à partir du vecteur RXΔ et de

l’équation suivante :

)( 13 ttXX R

R −Δ=δ (3.46)

Par la suite, en assumant un taux d’échantillonnage des mesures constant, la différence

temporelle de la distance radiale avec trois époques s’exprime ainsi :

13

13 )()(2 tt

ttt

SR

SR

SRS

R −−

=Δ

Δ=

ρρρδρ (3.47)

Sachant des équations (3.17) à (3.19) que la distance entre le récepteur et le satellite peut se

calculer comme suit :

( ) 3,1,)()()()()( =−⋅== jtXtxtetXt jRjS

jSRj

SRj

SRρ (3.48)

où

)()(

)()()(

jRjS

jRjS

jSR

tXtx

tXtxte

−

−= (3.49)

( )S

R je t : vecteur unitaire entre le récepteur et le satellite pour l’époque j (j = 1, 3). Alors, la différence entre deux époques de la distance récepteur-satellite ( S

RρΔ ) prend la

forme suivante :

3 1( ) ( )S S SR R RX t X tρΔ = − (3.50)

( ) ( )3 3 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S SR R R Re t x t X t e t x t X t= ⋅ − − ⋅ − (3.51)

3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )S S S S S

R R Re t x t e t x tρΔ = ⋅ − ⋅

3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )S SR R R Re t X t e t X t− ⋅ + ⋅ (3.52)

37

Dans l’équation (3.52), la position du récepteur au temps t3 ( )( 3tX R ) peut être exprimée en

terme de la position du récepteur au temps t1 ( )( 1tX R ) et du déplacement du récepteur pour

l’intervalle de temps [t1, t3] ( RXΔ ) :

RRR XtXtX Δ+= )()( 13 (3.53)

À partir de l’équation (3.53), les deux derniers termes de l’équation (3.52) peuvent être

transformés afin d’exprimer la position du récepteur au temps t3 en fonction de l’inconnue à

déterminer soit RXΔ . Ce changement se traduit par :

)()()()( 1133 tXtetXte RSRR

SR ⋅+⋅−

( ) )()()()( 1113 tXteXtXte RSRRR

SR ⋅+Δ+⋅−= (3.54)

RSRR

SRR

SR XtetXtetXte Δ⋅−⋅+⋅−= )()()()()( 31113 (3.55)

De cette façon, le terme à déterminer ( RXΔ ) a pu être isolé. Par la suite, en substituant les

deux derniers termes de l’équation (3.52) par ceux de l’équation (3.55), SRρΔ est

déterminée comme suit [Van Graas et Soloviev, 2004] :

RSR

SR XteGS Δ⋅−Δ−Δ=Δ )( 3ρ (3.56)

où )()()()( 1133 txtetxteS SS

RSS

R ⋅−⋅=Δ ; et (3.57)

)()()()( 1113 tXtetXteG RSRR

SR ⋅−⋅=Δ (3.58)

Le terme SΔ s’interprète comme le changement de la distance récepteur-satellite qui est

principalement créé par le mouvement du satellite. Le terme GΔ s’interprète comme la

différence de distance causée par le changement d’orientation du vecteur SRe (c.-à-d. le

changement de géométrie) durant l’intervalle de temps [t1, t3]. Sur un intervalle d’une

seconde, cette différence de distance atteint des valeurs centimétriques pour les satellites à

angles d’élévation élevés et de plusieurs décimètres pour les satellites à angles d’élévation

bas [Van Graas et Soloviev, 2004]. À l’équation (3.56), le vecteur unitaire 3( )SRe t est celui

38

sur lequel le vecteur RXΔ est projeté afin de déterminer le changement de distance entre le

récepteur et le satellite causé par le déplacement du récepteur (vecteur RXΔ ).

La différence temporelle de distance récepteur-satellite ( SRδρ ) sur l’intervalle de temps [t1,

t3] prend alors la forme suivante :

RSR

SR XteGS δδδδρ ⋅−−= )( 3 (3.59)

À l’époque t2, les trois composantes du vecteur vitesse moyenne du récepteur pendant

l’intervalle de temps [t1, t3] sont les inconnues à déterminer et sont représentées par le terme

RXδ .

Par la suite, pour calculer SRδρ dans le système de coordonnées terrestre moyen, il faut

préalablement appliquer la matrice de rotation ZR , définie à l’équation (3.30), au vecteur

position du satellite à l’époque t1 ainsi qu’au vecteur position du satellite à l’époque t3.

Cette matrice de rotation permet de prendre en considération le mouvement de rotation de

la Terre (c.-à-d. du système TM) entre le temps de transmission du signal au satellite et le

temps de réception du signal au récepteur. La matrice de rotation ZR est différente à

chaque époque puisque la durée de propagation du signal varie d’une époque à l’autre.

3.5 Sources d’erreurs et modélisation pour l’estimation des vitesses par mesures GPS

Dans les paragraphes qui suivent les erreurs les plus importantes qui affectent les mesures

Doppler et de différences temporelles de phase (δφ ) ainsi que les modèles de correction,

lorsqu’ils existent, seront présentés. Avec l’équation des mesures Doppler, les variations

instantanées des erreurs doivent être modélisées tandis qu’avec l’équation des mesures δφ ,

ce sont les différences temporelles des erreurs (m/s) pour l’intervalle de temps entre les

mesures qui doivent être modélisées. Selon Van Graas et Soloviev [2004], la dérive de

l’erreur d’horloge du satellite, la variation de l’effet relativiste et la variation des délais

atmosphériques sont faibles et varient très lentement. Dans ce cas, les variations

temporelles de ces erreurs (définies à l’équation (3.45)) peuvent être considérées

39

équivalentes aux variations instantanées de ces erreurs telle que définies avec l’équation

d’observations des mesures Doppler (équation (3.15)).

3.5.1 Erreurs de position du récepteur et de position du satellite Tel que montré avec les équations de la vitesse radiale (équations (3.28) et (3.59)), la

position du récepteur et du satellite est nécessaire afin de calculer la vitesse radiale entre le

récepteur et le satellite. Selon Serrano et al. [2004a], une erreur de position du récepteur de

100 m peut engendrer un biais de 4 cm/s sur l’estimé de la vitesse de l’antenne du

récepteur. Ce biais affecte principalement la composante verticale de la vitesse. Toutefois,

ils affirment aussi qu’une erreur de position de 10 m n’entraîne pas de biais sur les vitesses,

puisque les erreurs engendrées sur les équations d’observations sont de l’ordre de quelques

mm/s. Dans cette optique, des positions calculées en mode absolu (avec un seul récepteur),

à partir du code C/A offre une précision meilleure que 15 m à une probabilité de 95%

[Garmin, 2006] ce qui suffirait au calcul de vitesses précises, particulièrement lorsque

seulement des vitesses planimétriques sont désirées.

De la même manière, une erreur de position des satellites peut entraîner un biais sur la

vitesse calculée du récepteur. Les paramètres orbitaux radiodiffusés par un satellite

permettent de calculer la position du satellite avec une précision de 2 m et ces paramètres

sont représentatifs d’un arc de deux heures [IGS, 2006]. Cette précision demeure toutefois

meilleure que celle de la position du récepteur. Selon Serrano et al. [2004b], une précision

de la position des satellites meilleure que 10 m est suffisante pour obtenir des vitesses avec

une précision de l’ordre du mm/s.

3.5.2 Erreur de vitesse du satellite L’erreur sur la vitesse du satellite biaise aussi le calcul de la vitesse radiale entre le

récepteur et le satellite. Le vecteur vitesse d’un satellite est calculé à partir des dérivées

temporelles des paramètres orbitaux (voir l’annexe A). Puisque la précision de l’orbite

calculée avec ces paramètres n’est pas parfaite (±2 m), des tests ont été réalisés par Serrano

et al. [2004b] afin d’évaluer la précision des vitesses des satellites calculées avec les

paramètres orbitaux. Les vitesses obtenues des éphémérides précises en format SP3 du

NGA (National Geospatial-Intelligence Agency) ont servi de valeurs de référence pour

40

effectuer la comparaison. Selon ces tests, les vitesses obtenues des éphémérides

radiodiffusées ont une précision de 1 à 2 mm/s ce qui entraînerait une erreur de la même

magnitude sur les vitesses du récepteur. Le calcul des vitesses des satellites peut alors se

faire à partir des éphémérides transmises.

3.5.3 Erreurs de la dérive de l’horloge du satellite et de l’effet relativiste Tel que présenté dans les équations d’observations des mesures Doppler ou de différence

temporelle de phase (équations (3.15) et (3.45)), ce ne sont pas les erreurs d’horloge qui

affectent les mesures Doppler ou δφ , mais la variation temporelle de celles-ci. La dérive

de l’horloge atomique d’un satellite est beaucoup plus faible que celle de l’horloge au

quartz d’un récepteur GPS puisque l’horloge atomique est plus stable et plus précise que

celle au quartz. Les coefficients d’horloge transmis dans l’éphéméride radiodiffusée par un

satellite GPS permettent de corriger la dérive de l’horloge pour ce satellite. Lors des tests

effectués dans cette étude avec plusieurs jeux d’éphémérides, la moyenne des dérives

d’horloge des satellites étaient de 3 ps/s (±1 mm/s). La correction se calcule à partir de

l’équation suivante [Santerre, 2002]:

( )toctaatd −−−= 21 2 (3.60) où

cpTt /−= (3.61) et td : dérive de l’horloge du satellite (s/s) ; 1a : dérive de l’horloge au temps toc (s/s) ; 2a : variation temporelle de la dérive de l’horloge au temps toc (s-1) ; t : temps de transmission sur l’échelle de temps du satellite (s) ; toc : temps de référence des coefficients d’horloge du satellite (s) ; T : temps de réception indiqué par l’horloge du récepteur GPS (s) ; et p : mesure de pseudodistance entre le récepteur et le satellite (m). La variation de l’effet relativiste engendre aussi un biais sur les mesures Doppler et δφ .

L’effet relativiste total est causé par la relativité générale ainsi que par la relativité

restreinte. La relativité générale vient du fait que l’attraction gravitationnelle n’est pas la

même au satellite qu’au sol. Cette dernière a pour impact que les horloges des satellites

prennent une avance de 45,7 µs par jour par rapport à l’horloge d’un récepteur GPS au sol.

41

La relativité restreinte peut s’expliquer par la théorie de la relativité qui affirme qu’en

considérant deux horloges A et B synchrones en un lieu; si B reste en ce lieu, alors que A

se déplace avec une vitesse constante le long d'une courbe fermée qui la ramène finalement

en B, alors il est démontré par le calcul et par le raisonnement que l'horloge A retarde sur

l'horloge B. Les horloges des satellites GPS se déplacent à près de 4 km/s et subissent ainsi

un retard par rapport aux horloges terrestres d’environ 7 µs par jour. Globalement, il y a

une avance de 38,5 µs par jour (soit 4,46x10-10 s/s entre l’heure indiquée par les horloges

des satellites GPS et celle d’un récepteur GPS au sol [ICD, 2006]. La plus grande partie de

l’effet relativiste est corrigée en réglant la fréquence fondamentale des horloges des

satellites à 10,22999999543 MHz soit 4,5674x10-3 Hz de moins que la fréquence nominale

de 10,23 MHz telle que captée par un observateur au sol [ICD, 2006]. Par contre, dû à

l’excentricité de l’orbite d’un satellite GPS, une autre correction doit être appliquée. Pour

les jeux de données traités lors de cette étude, la valeur typique de cette dernière correction

était de l’ordre de 5x10-9 s, soit 1,5 m. Selon Ashby et Spilker [1996], l’équation

correctrice de l’effet relativiste causé par l’excentricité de l’orbite du satellite est :

krel EaFet sin=Δ (3.62)

où kE est déterminer itérativement à l’aide de l’équation de Kepler [Seeber, 2003] :

kkk EeEM sin−= (3.63)

et 2

2cGMF = (3.64)

kk tna

GMMM ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ++= 30 (3.65)

reltΔ : correction relativiste de l’horloge du satellite (s) ; GM : constante gravitationnelle géocentrique de la Terre (m3/s2) ; c : vitesse de la lumière dans le vide (m/s) ; e : excentricité de l’orbite du satellite ; a : demi-grand axe de l’orbite du satellite (m) ; kE : anomalie excentrique du satellite (rad) ; kM : anomalie moyenne du satellite (rad) ; 0M : anomalie moyenne au temps de référence des paramètres orbitaux (rad) ; nΔ : correction au mouvement moyen (rad/s) ; et

42

kt : différence de temps entre le temps de transmission et le temps de référence des paramètres orbitaux (s).

Par la suite, la variation temporelle de la correction relativiste peut s’exprimer par la

dérivée temporelle de la correction relativiste et se calcule comme suit :

kkrel EEaFet cos=Δ (3.66) où

EeM

E kk cos1−

= (3.67)

et na

GMM k Δ+= 3 (3.68)

reltΔ : variation temporelle de la correction relativiste (s/s) ;

kE : variation temporelle de l’anomalie excentrique (rad/s) ; et

kM : variation temporelle de l’anomalie moyenne (rad/s).

Selon Van Graas et Soloviev [2004], lorsque la variation temporelle de la correction

relativiste n’est pas prise en considération, elle biaise les mesures Doppler et δφ de l’ordre

du mm/s, ce qui entraîne une erreur de l’ordre du mm/s sur les vitesses de l’antenne du

récepteur.

3.5.4 Variations temporelles des effets atmosphériques La variation temporelle des délais troposphériques et des délais ionosphériques influencent

aussi les mesures Doppler et de différence temporelle de phase. Le délai troposphérique

ainsi que sa variation temporelle peuvent être calculés à partir du modèle troposphérique de

Hopfield simplifié. Des mesures GPS ont été recueillies en mode statique, puis traitées

avec le programme développé dans le cadre de ce projet afin de connaître l’amplitude des

variations temporelles des effets atmosphériques. Ces tests ont révélé que la variation

temporelle du délai troposphérique affecte les mesures Doppler et δφ de moins de 1 mm/s

pour les satellites à angles d’élévation élevés dans le ciel et jusqu’à 2 à 3 cm/s pour les

satellites à angles d’élévation bas. La variation du délai troposphérique peut se modéliser

en calculant la dérivée du modèle de Hopfield simplifié. Toutefois, l’effet de cette erreur

peut être abaissé à une quantité négligeable sur la vitesse estimée du récepteur lorsqu’un

43

poids moins important est attribué aux satellites à angles d’élévation bas (voir section

3.7.1).

Lorsqu’un récepteur GPS double fréquence est utilisé, il permet de corriger la variation

temporelle du délai ionosphérique sur les mesures Doppler et δφ de la même façon que le

délai ionosphérique est corrigé sur les mesures de pseudodistance. Sachant que le délai

ionosphérique sur la bande L1 peut s’exprimer par la relation suivante [Misra et Enge,

2004] :

[ ]2

21 1 1 1 2 2 22 2

1 2

( ) ( )fI N Nf f

φ λ φ λ⎛ ⎞

= − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠ (3.69)

où 1I : délai ionosphérique sur la bande L1 (m) ;

if : fréquence de la porteuse Li (i = 1, 2) (Hz) ;

iλ : longueur d’onde de la porteuse Li (i = 1, 2) (m) ;

iφ : mesure de phase sur la bande Li (i = 1, 2) (m) ; et

iN : ambiguïté de phase sur la bande Li (i = 1, 2) (cycle). Les variations temporelles du délai ionosphérique sur la bande L1 ( 1LIδ et 1LI ) s’obtiennent

respectivement par une différence temporelle de l’équation (3.69) et par la dérivée première

de l’équation (3.69). Les termes 1Iδ et 1I se calculent alors de la façon suivante :

22

1 1 22 21 2

( )fIf f

δ δφ δφ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟−⎝ ⎠ (3.70)

22

1 1 22 21 2

( )fI D Df f

⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(3.71)

Suite à des tests réalisés au cours de cette étude, à partir des équations (3.70) et (3.71) ainsi

que de mesures Doppler et δφ recueillies en mode statique, l’écart type de la variation

temporelle du délai ionosphérique pouvait atteindre près de 5 mm/s. Par contre, une perte

de précision était remarquée au niveau de la vitesse estimée du récepteur sachant que la

valeur réelle de la vitesse est de zéro puisque le récepteur est immobile. Ceci s’expliquerait

par le fait que la combinaison de la mesure Doppler, ou δφ , sur L1 avec celle sur L2

44

amplifie le bruit d’un facteur de 3,2 par rapport au bruit associé à la mesure Doppler, ou

δφ , sur L1 [Santerre, 2001]. Ainsi, la modélisation de cette erreur augmente le bruit des

observations à un niveau plus élevé que la magnitude de l’erreur elle-même. Il est alors

mieux de ne pas modéliser cette erreur afin de ne pas entraîner une perte de précision sur le

calcul des vitesses. Selon Van Graas et Soloviev [2004], la variation temporelle de l’effet

ionosphérique est de l’ordre du mm/s et a un impact négligeable sur le calcul de la vitesse

de l’antenne du récepteur.

3.5.5 Variation temporelle des multitrajets Un multitrajet est une onde qui a été déviée par une surface réfléchissante avant de parvenir

à l’antenne GPS. Une variation temporelle des multitrajets engendre une erreur sur la

mesure Doppler ou δφ . La variation temporelle des multitrajets est difficilement

modélisable. Serrano et al. [2004b] ont tenté de mesurer l’impact des multitrajets sur les

mesures δφ dans un environnement riche en multitrajets. Toutefois, les tests réalisés n’ont

pas permis de détecter des effets ou signatures des variations temporelles des multitrajets.

Selon Van Graas et Soloviev [2004] les variations temporelles des multitrajets à une

fréquence d’acquisition de 1 Hz sont négligeables et peuvent engendrer au plus des

variations de l’ordre du mm/s sur l’estimé des vitesses du récepteur. Par contre, pour les

mesures δφ , l’erreur causée par la variation temporelle des multitrajets augmente lorsque la

fréquence d’acquisition augmente [Van Graas et Soloviev, 2004]. Afin de quantifier cette

augmentation, d’autres investigations sont nécessaires.

3.5.6 Bruits des mesures Les mesures Doppler ne sont pas parfaites puisqu’elles sont bruitées, c’est-à-dire qu’elles

contiennent des erreurs aléatoires qui ne peuvent être modélisées. Afin de quantifier l’ordre

de grandeur du bruit des mesures Doppler, des tests de calcul de vitesses ont été effectués

au cours de cette étude à partir des mesures Doppler prisent avec un récepteur NovAtel

DL-4 en mode statique. Lorsque les erreurs systématiques les plus importantes sont

corrigées, l’écart type des résiduelles des observations Doppler étaient de 1,5 cm/s ce qui

indiquerait que la précision des mesures Doppler serait du même ordre de grandeur pour ce

type de récepteur.

45

Les mesures de différences temporelles de phase (δφ ) sont elles aussi bruitées.

Contrairement aux mesures Doppler, le bruit associé aux mesures δφ varie en fonction du

taux d’échantillonnage des mesures de phase. Puisque les observations δφ sont calculées

sur un plus long intervalle de temps que les mesures Doppler, elles ont l’avantage d’être

moins bruités que ces dernières [Serrano et al., 2004b]. La précision d’une différence

temporelle de deux mesures de phase peut se déterminer en appliquant la loi de la

propagation des erreurs aléatoires à l’équation générale de formation de la mesure δφ

(équation (3.39)). En supposant que la fréquence d’acquisition est constante, que la

précision des mesures de phase est la même d’une époque à l’autre et qu’il n’y a pas de

corrélation physique entre les mesures de phase, la précision de la mesure δφ est :

(1 2)2 ( )( )

tσ φσ δφ − =Δ

(3.72)

où (1 2)( )σ δφ − : précision associée à la mesure δφ obtenue deux mesures de phase

consécutives (m/s); ( )σ φ : précision d’une mesure de phase (m) ; et tΔ : intervalle de temps entre deux mesures de phase consécutives (s).

La précision de la mesure δφ obtenue avec trois mesures de phase s’obtient en appliquant

la loi de la propagation des erreurs aléatoires à l’équation du calcul de δφ avec trois

époques (équation (3.44)). En supposant que la fréquence d’acquisition est constante, que

la précision des mesures de phase est la même d’une époque à l’autre et qu’il n’y a pas de

corrélation physique entre les mesures de phase, la précision de la mesure δφ obtenue avec

trois mesures de phase est :

(1 3)( )( )2 t

σ φσ δφ − =Δ

(3.73)

soit (1 2 )

(1 3)

( )( )

2σ δφ

σ δφ −− = (3.74)

où (1 3)( )σ δφ − : précision associée à la mesure δφ obtenue de trois mesures de phase (m/s).

46

Selon Hoffmman-Wellenhof et al. [2001], une mesure de phase peut être mesurée à une

précision meilleure que 0,01 cycle ce qui correspond à une précision millimétrique. Selon

Van Graas et Soloviev [2004], pour un taux d’échantillonnage de 1 Hz, le bruit de la

mesure de différence temporelle de mesures de phase est négligeable et entraîne au plus une

variation de l’ordre du mm/s sur la vitesse du récepteur. Lorsque la fréquence d’acquisition

des mesures augmente, le bruit des mesures de phase reste le même, mais le bruit de la

mesure δφ augmente. Puisque la période de temps entre deux mesures de phase

consécutives est plus courte à une fréquence élevée qu’à une basse fréquence d’acquisition.

Par exemple, lors d’une différence temporelle de deux mesures de phase obtenues à une

fréquence d’acquisition de 10 Hz, le bruit des mesures de phase se répartit sur une période

de temps de 0,1 seconde, soit 10 fois plus courte que celle d’une fréquence d’acquisition de

1 Hz (période de 1 seconde). À ce moment, en supposant qu’il n’y a pas de corrélation

physique entre les mesures de phase consécutives, le bruit associé à la mesure δφ est

approximativement 10 fois plus grand à une fréquence d’acquisition de 10 Hz que de 1 Hz.

Au cours du projet, des tests ont été effectués à partir de mesures GPS prises en mode

statique avec des récepteurs NovAtel DL-4. Lorsque les erreurs systématiques les plus

importantes sont corrigées, l’écart type des résiduelles des équations d’observations δφ

(calculées avec deux mesures de phase) étaient de 9 mm/s à une fréquence de 10 Hz. Ce

qui signifierait que la précision des mesures δφ obtenues à une fréquence de 10 Hz est de

l’ordre de 1 cm/s pour ce type de récepteur. L’avantage des mesures δφ obtenues à une

fréquence de 10 Hz est d’offrir une résolution temporelle 10 fois plus élevée que les

mesures δφ obtenues à une fréquence de 1 Hz. Pour l’étude de mouvements rapides

comme les déplacements d’un athlète, une résolution temporelle de 0,1 s ou plus courte est

indispensable.

3.5.7 Bilan d’erreurs Le tableau 3.1 résume la magnitude des erreurs provenant de la variation temporelle des

erreurs systématiques, du bruit des observations et des multitrajets. Ces erreurs sont celles

affectant les mesures Doppler et δφ lorsque la disponibilité sélective est désactivée. La

disponibilité sélective avait été introduite le 25 mars 1990 et entraînait des erreurs

d’approximativement 20 cm/s sur la mesure de vitesse radiale nécessitant ainsi l’utilisation

47

du mode relatif [Van Graas et Soloviev, 2004]. Lorsque la disponibilité sélective a été

désactivée le 2 mai 2000, le plein potentiel du calcul de la vitesse en mode absolu a été

rétabli. Dans le tableau 3.1, le terme négligeable est utilisé pour des biais et des écarts

types plus petits que 1 mm/s.

Tableau 3.1 : Bilan d’erreurs affectant l’estimation des vitesses par mesures GPS en mode absolu lorsque la disponibilité sélective est désactivée. Adapté d’après Van Graas et Soloviev [2004].

Sources d’erreur affectant la mesure Doppler et de différence temporelle

de mesures de phase (δφ )

Biais sur la mesure Doppler et δφ

Écart type de la vitesse du récepteur

(PDOP < 5) Erreur de position du satellite < 2m Négligeable Négligeable Erreur de position du récepteur < 10 m (10 m < erreur de position < 50 m)

Négligeable (mm/s)

Négligeable (Négligeable)

Erreur de la vitesse du satellite mm/s Négligeable Dérive de l’horloge du satellite mm/s – cm/s mm/s Variation de l’effet relativiste mm/s mm/s Variation du délai ionosphérique (lors de fortes activités ionosphériques)

mm/s (cm/s)

Négligeable (mm/s)

Variation du délai troposphérique Négligeable Négligeable Bruit des mesures Doppler: cm/s

δφ (1 Hz) : nég. δφ (10 Hz) : cm/s

Doppler: cm/s δφ (1 Hz) : mm/s δφ (10 Hz) : cm/s

Variation des multitrajets Doppler: cm/s δφ (1 Hz) : nég.

Doppler: cm/s δφ (1 Hz) : mm/s

Le tableau 3.1 montre que le bruit des observations δφ est plus élevé à une fréquence

d’acquisition de 10 Hz que de 1 Hz. De la même manière, une augmentation de la

fréquence d’acquisition entraîne une amplification de la magnitude des variations

temporelles des multitrajets. La magnitude de cette erreur est toutefois difficile à

quantifier. Différents tests devraient être réalisés afin de mesurer l’impact des variations

temporelles des multitrajets sur le calcul des vitesses du récepteur lorsque les mesures δφ

sont recueillies à haute fréquence dans un milieu avec une forte présence de multitrajets.

Ainsi, le bruit des observations δφ et les variations temporelles des multitrajets dépendent

en partie de la fréquence d’acquisition des mesures de phase. De ce fait, une fréquence

d’acquisition plus élevée augmente alors la contribution du bruit et des variations

temporelles des multitrajets sur le bilan d’erreurs.

48

3.6 Compensation par moindres carrés Les équations d’observations des mesures Doppler et des différences temporelles de phase

(δφ ) contiennent quatre paramètres inconnus. C’est-à-dire les composantes

tridimensionnelles du vecteur vitesse de l’antenne du récepteur (contenues dans le terme ρ

ou δρ ) et la dérive de l’erreur d’horloge du récepteur ( Td ou dTδ ). Afin de déterminer

ces paramètres, un minimum de quatre équations d’observations est nécessaire. Lorsque

plus de quatre équations sont disponibles, il y a une surabondance d’information et une

compensation par moindres carrés suivant la méthode de variation des paramètres doit être

effectuée. Dans cette méthode, le nombre de paramètres estimés dans la compensation

équivaut au nombre minimum d’observations nécessaires pour obtenir une solution aux

paramètres inconnus. Le système d’équations normales de la compensation par moindres

carrés est donné par [Gagnon, 1997] :

)1(

1

)()1(ˆ

×

−

××=

uuuuUNX (3.75)

où )()()()( unnn

T

nuuuAPAN××××

= ; (3.76)

)1()()()1( ××××

=nnn

T

nuuWPAU ; (3.77)

et X̂ : vecteur des corrections à apporter aux valeurs approchées des paramètres ; A : matrice des dérivées partielles des équations d’observations par rapport aux

paramètres ; P : matrice de poids des observations ; W : vecteur des écarts entre les valeurs observées et les valeurs théoriques

contenues dans les équations d’observations (vecteur de fermeture) : n : nombre d’observations ; et u : nombre de paramètres inconnus.

Le vecteur des paramètres compensés ( X̂ ) est obtenu en additionnant les valeurs

approchées des paramètres ( 0X ) aux corrections ( X̂ ) à apporter aux paramètres approchés.

Ce qui se traduit par :

XXX ˆˆ 0 += (3.78)

49

Par la suite, les valeurs des paramètres compensés ( X̂ ) peuvent devenir les valeurs

approchées des paramètres ( 0X ) afin de procéder à une seconde itération de la

compensation. S’il y a convergence des valeurs des paramètres, des itérations sont

effectuées jusqu’à ce que les valeurs absolues des corrections deviennent inférieures à un

certain seuil.

La matrice A des équations d’observations des mesures Doppler (équation (3.15)) et des

équations d’observations des mesures δφ (équation (3.45)) est la même que pour le

positionnement à partir des équations d’observations des mesures de pseudodistance. La

matrice A pour n équations d’observations est définie de la façon suivante :

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−−−−−

=

ceee

ceeeceee

A

nZ

nY

nX

ZYX

ZYX222

111

(3.79)

où SXe , S

Ye , SZe : composantes du vecteur unitaire récepteur satellite exprimé dans le

système de coordonnées terrestre moyen ; et c : vitesse de la lumière dans le vide (m/s). À noter que dans le cas des équations d’observations des mesures δφ sur trois époques, les

vecteurs unitaires qui composent la matrice A sont ceux de l’époque t3 (voir équation

(3.59)).

La matrice P de poids des mesures Doppler est une matrice diagonale composée de

l’inverse de )(2 Dσ . Pour les mesures δφ , lorsque les corrélations mathématiques entre les

mesures δφ d’époques successives ne sont pas prisent en considération, la matrice P est

également une matrice diagonale composée de l’inverse de )(2 δφσ . Les termes )(Dσ et

)(δφσ sont respectivement les précisions des mesures Doppler et des mesures δφ . Les

mesures Doppler et δφ auraient également pu être combinées dans une seule matrice de

poids. De cette façon les mesures Doppler et δφ seraient utilisées simultanément dans une

même compensation par moindres carrés pour le calcul des vitesses. Par contre, la

combinaison de ces deux types de mesures au sein d’une même compensation n’a pas été

50

envisagée. Puisque les mesures Doppler permettent le calcul de la vitesse instantanée du

récepteur tandis que les mesures δφ permettent le calcul de la vitesse moyenne du

récepteur sur un intervalle de temps qui est fonction de la fréquence d’acquisition du

récepteur. Les matrices de poids associées aux deux types de mesures ainsi que différentes

techniques de pondération des observations seront vues plus en détails à la section 3.7.

Le vecteur de fermeture (W ) pour n observations Doppler prend la forme suivante :

( )( )

( )

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

( )

( )

( )

i i

i i

n n n n n ni i

D c dt dT I T

D c dt dT I TW

D c dt dT I T

ρ

ρ

ρ

⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.80)

Pour les observations δφ , le vecteur de fermeture (W ) est donné par :

( )( )

( )

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

( )

( )

( )

i i

i i

n n n n n ni i

c dt dT I T

c dt dT I TW

c dt dT I T

δφ δρ δ δ δ δ

δφ δρ δ δ δ δ

δφ δρ δ δ δ δ

⎡ ⎤− + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥− + − − +

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.81)

Si à une époque donnée, deux récepteurs GPS observent les mêmes satellites, il est possible

de déterminer la vitesse relative du récepteur mobile par rapport à un récepteur de référence

(mode relatif). Le récepteur de référence est situé sur un point dont la position est connue.

Une différence simple entre récepteurs des observations Doppler ou δφ prisent par le

récepteur de référence avec celles prisent par le récepteur mobile permet d’éliminer les

erreurs communes aux deux sites d’observations. Lorsque la disponibilité sélective était

activée, elle engendrait d’importantes erreurs dans le calcul de la vitesse en mode absolu

(voir section 3.5.7) et le mode relatif était pratiquement incontournable afin de corriger

cette erreur délibérée. Le mode relatif permet aussi d’éliminer d’autres erreurs, soit la

dérive de l’erreur d’horloge du satellite ainsi que la portion commune aux deux sites de la

variation temporelle des délais atmosphériques. La différence simple entre récepteurs se

fait en créant le vecteur de fermeture WΔ de la façon suivante :

51

réfWWW −=Δ (3.82) où réfW se détermine de la même façon que W (équation (3.80) ou (3.81)) en utilisant par

contre les observations de la station de référence de coordonnées connues.

L’autre modification à apporter pour le mode relatif concerne la matrice de poids des

observations Doppler ou δφ en différence simple. Les éléments de la diagonale de la

matrice de poids sont composés de l’inverse de la variance associée aux mesures Doppler

ou δφ en différence simple. Les variances des mesures en différence simple ( )(2 DΔσ ou

)(2 δφσ Δ ) se calculent avec les équations suivantes :

)()()( 222 DDD réf σσσ +=Δ (3.83)

)()()( 222 δφσδφσδφσ +=Δ réf (3.84)

Dans lesquelles )( réfDσ et )( réfδφσ sont respectivement la précision de la mesure Doppler

et la précision de la mesure δφ au récepteur de référence, tandis que )(Dσ et )(δφσ sont

les précisions de la mesure Doppler et de l’observation δφ (équation (3.73)) au récepteur

mobile.

Par la suite, l’équation normale en mode relatif devient :

)()(ˆ 1 WPAAPAX TT Δ= Δ−

Δ (3.85)

où ΔP : matrice de poids des observations en différence simple.

La précision des paramètres compensés ( X̂ ), en mode absolu ou relatif, correspond à la

racine carrée des éléments de la diagonale de la matrice de variances-covariances X̂

Σ̂ .

Pour le mode relatif, il suffit de remplacer W par WΔ et P par ΔP dans les équations

(3.87) à (3.89). La matrice X̂

Σ̂ se calcule comme suit :

)(ˆ

20

)(ˆ ˆˆ

uuX

uuX

Q××

=Σ σ (3.86)

52

où 20σ̂ est le facteur de variance a posteriori. Il donne un estimé du réalisme de la matrice

de poids des observations ( P ) à partir de la magnitude des résiduelles (V̂ ). La matrice des

coefficients des poids X

Q ˆ est obtenue en appliquant la loi de propagation des variances-

covariances au système d’équations normales. Ces deux termes sont déterminés de la façon

suivante :

unVPV T

−=

ˆˆˆ 2

0σ (3.87)

où WXAV −= ˆˆ (3.88)

et 11

ˆ )( −− == NPAAQ TX

(3.89)

Lors d’une compensation d’observations GPS, les calculs sont effectués dans le système de

coordonnées terrestre moyen (TM). Cependant, il est plus utile et familier d’exprimer les

composantes du vecteur vitesse estimée dans un repère topocentrique géodésique local

(Nord, Est, Verticale). La transformation d’un vecteur entre le système terrestre moyen et

le repère géodésique local (GL) s’effectue à l’aide de deux matrices de rotation YR , ZR et

d’une matrice de réflexion YT [Gagnon, 2000] :

TMZYYGL XRRTX ˆ)180()90(ˆ −−= λϕ (3.90) où

GLX̂ : composantes du vecteur vitesse exprimé dans le repère géodésique local ;

TMX̂ : composantes du vecteur vitesse exprimé dans le système terrestre moyen ; et λϕ, : latitude et longitude géodésique de l’antenne GPS. Les précisions des composantes du vecteur vitesse peuvent également être exprimées dans

le repère géodésique local ( ˆˆ

GLXΣ ). La loi de la propagation des variances-covariances

appliquée à la sous-matrice (3x3) de la partie supérieure gauche de la matrice de variances-

covariances (TMX̂

Σ̂ ) de l’estimé des paramètres, définie dans le système terrestre moyen,

donne :

53

TXX

JJTMGL

)33(

ˆ

)33(

ˆˆˆ

××

Σ=Σ (3.91)

où )180()90( −−= λϕ ZYY RRTJ . (3.92)

La matrice Jacobienne ( J ) (3x3) correspond à la matrice de transformation entre le

système de coordonnées terrestre moyen et le repère géodésique local.

Les facteurs DOP « Dilution Of Precision » sont utilisés afin de décrire l’effet de la

distribution des satellites dans le ciel sur la précision de la solution. Ces facteurs sont

évalués à partir des éléments de la diagonale de la sous-matrice GLX

S ˆ :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

==×× 2

,,

,2

,

,,2

)33(

ˆ

)33(

ˆ

VEVNV

VEENE

VNENNT

XX

SSSSSSSSS

JSJSTMGL

(3.93)

où 1ˆ )( −= AAS T

XTM. (3.94)

La sous-matrice TMX

S ˆ est la partie supérieure gauche de la matrice des coefficients

TMXQ ˆ dans laquelle aucune pondération des observations n’est appliquée afin de faire

ressortir uniquement l’information géométrique.

La géométrie des satellites dans le ciel affecte le vecteur des paramètres estimés selon la

composante Nord (facteur NDOP), la composante Est (facteur EDOP), la composante

Verticale (facteur VDOP), la composante Horizontale (facteur HDOP) et l’ensemble des

composantes (facteur PDOP). Ces facteurs DOP sont calculés de la façon suivante :

NDOP = 2NS , EDOP = 2

ES , VDOP = 2VS , HDOP = 22

EN SS + , PDOP = 222VEN SSS ++

3.7 Pondération des mesures GPS Dans la plupart des logiciels commerciaux de traitement de données GPS, les mesures sont

considérées d’égale précision et non corrélées. Dans ce cas, la matrice de poids des

mesures est une matrice diagonale où tous les éléments de la diagonale ont la même valeur.

54

Alors, la matrice de poids n’a aucun effet dans le calcul de la solution GPS à partir de

l’équation normale (équation (3.75)) [Akrour, 2002].

Dans la réalité, puisque les signaux GPS ne suivent pas la même trajectoire dans le ciel, le

niveau de réfraction, de diffraction, de réflexion et de bruit est différent d’un signal GPS à

un autre. Le bruit ainsi que les délais qui contaminent les mesures sont alors différents

pour chaque satellite et chaque époque. Pour ces raisons, il est plus juste d’accorder une

variance différente à chaque mesure.

3.7.1 Matrice de poids en fonction de l’angle d’élévation du satellite Une première façon d’accorder des précisions différentes aux mesures Doppler ou δφ est

d’utiliser l’angle d’élévation sous lequel le satellite est observé [Hartinger et Brunner,

1999]. Cette pondération suppose que les mesures provenant des satellites à angles

d’élévation bas sont sujettes à de plus grandes erreurs que celles provenant de satellites à

angles d’élévation élevés. En négligeant l’imprécision associée à l’angle d’élévation,

l’expression de la variance des mesures est donnée par l’équation suivante :

SS

Eob 2

2

sin1)( =σ (3.95)

où )(2 Sobσ : variance de la mesure Doppler ou δφ pour le satellite s ; et SE : angle d’élévation du satellite s (˚). Dans l’équation (3.95), puisque la variance )(2 Sobσ est sans unité, il faut appliquer un

facteur de conversion qui a les mêmes unités que la variance des mesures. Par exemple, la

figure 3.7 présente le graphique des variances des mesures de phase ( EΣ ) en fonction de

l’angle d’élévation avec un facteur conversion de 1 mm2.

55

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Élévation (°)

Var

ianc

es Σ

E (m

m2 )

Figure 3.7 : Variances des mesures de phase issues du modèle de pondération avec l’angle

d’élévation du satellite [Akrour, 2002].

Pour les mesures Doppler et δφ , un facteur de conversion de 1 cm2/s2 sera utilisé afin

d’exprimer les variances avec les bonnes unités et de manière réaliste (voir section 3.5.6).

En supposant qu’il n’y ait pas de corrélation entre les mesures, la matrice de poids ( EP ) des

mesures pondérées avec l’angle d’élévation du satellite pour n satellites est :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(10000

0)(

10

00)(

1

2

22

12

n

E

ob

ob

ob

P

σ

σ

σ

(3.96)

3.7.2 Matrice de poids en fonction du rapport signal/bruit des mesures La pondération utilisant l’angle d’élévation accorde des poids identiques à deux signaux

provenant de satellites avec des angles d’élévation identiques même si l’un des deux

signaux peut être plus bruité ou bien subir l’effet des multitrajets. La mesure du rapport de

la puissance du signal de l’onde porteuse sur la densité de bruit ( 0/NC ), permet ainsi de

56

prendre en considération le bruit réel des mesures. À ce moment, une pondération des

mesures GPS avec les mesures 0/NC est plus exacte qu’une pondération avec les angles

d’élévation des satellites. Le bruit peut être défini comme les perturbations non désirées

qui viennent se superposer au signal et qui interfèrent avec l’information contenue dans ce

dernier [Langley, 1997]. Les mesures 0/NC (dB-Hz) sont enregistrées par les récepteurs

géodésiques dans le fichier binaire en même temps que les mesures de code, de phase et de

fréquence Doppler. Les termes S1 et S2 sont utilisés dans les fichiers RINEX pour

désigner les mesures 0/NC de la mesure de phase sur L1 et sur L2.

La relation entre la mesure 0/NC et la variance d’une mesure de phase ( )(2 φσ ) est donnée

par [Langley, 1997] :

10/)/(2

22 010

4)(

SNCS B −=πλφσ (3.97)

où )(2 Sφσ : variance d’une mesure de phase pour le satellite s (mm2) ; B : largeur de bande du circuit de verrouillage (Hz) ; λ : longueur d’onde de la porteuse (mm) ; et S

NC )/( 0 : rapport du signal de l’onde porteuse sur la densité de bruit du satellite s (dB-Hz).

L’équation (3.97) est une forme simplifiée de l’équation originale, formulée par Langley

[1997], et est valide lorsque les signaux sont assez forts ( 0/NC ≥ 35 dB-Hz). Pour le type

de récepteurs GPS utilisés dans la présente recherche, la largeur de bande B a été établie à

2 Hz.

La figure 3.8 présente les variances des mesures de phase sur L1 en utilisant les mesures

0/NC pour une session d’observation de 48 heures [Akrour, 2002]. La courbe EΣ des

variances des mesures de phase en fonction de l’angle d’élévation est aussi présentée.

57

Figure 3.8 : Variances des mesures de phase sur L1 pour une session de 48 heures

calculées avec les mesures 0/NC et les angles d’élévation [Akrour, 2002]. La figure 3.8 montre que pour de petits angles d’élévation, les variances issues des mesures

0/NC sont plus petites que celles calculées à partir des angles d’élévation. Ainsi, les

mesures obtenues des satellites à angles d’élévation bas ont un poids assigné plus élevé

avec une pondération basée sur les mesures 0/NC qu’avec une pondération en fonction de

l’angle d’élévation.

Il faut par contre noter que les variances exprimées à la figure 3.8 sont celles des mesures

de phase. Pour les variances des mesures Doppler, elles peuvent être obtenues en

appliquant un facteur de conversion de 1 s-2 aux variances des mesures de phase ( )(2 φσ ).

Les valeurs des variances des mesures Doppler obtenues seront optimistes, toutefois les

pondérations relatives entre les mesures Doppler seront réalistes. À ce moment, la matrice

de poids des mesures pondérées en fonction des mesures 0/NC est adéquate à un facteur

échelle près.

La variance de la mesure δφ s’obtient à l’aide de la loi de propagation des variances-

covariances appliquée à l’équation d’une différence temporelle de trois mesures de phase

(équation (3.44)). La variance de δφ se calcule de la façon suivante :

23

2

21

2

22

4)()(

4)()()()(

tt

ttt

SSS

Δ+

Δ=

φσφσδφσ (3.98)

58

où )()( 2

2 tSδφσ : variance de la mesure δφ au temps t2 pour le satellite s (mm2/s2) ; 2 ( )( )S

jtσ φ : variance de la mesure de phase au temps tj (j = 1, 3) pour le satellite s (mm2) ; et

tΔ : intervalle de temps entre deux prises de mesures (s). En supposant qu’il n’y ait pas de corrélation entre les mesures, la matrice de poids (

0/ NCP )

des mesures δφ pondérées à partir des mesures 0/NC pour n satellites devient :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(10000

0)(

10

00)(

1

2

22

12

/ 0

n

NCP

δφσ

δφσ

δφσ

(3.99)

Chapitre 4

Calcul de l’accélération par mesures GPS Ce chapitre présente la seconde partie du deuxième module du système de mesure de performances sportives. La première partie du deuxième module a été présentée au chapitre trois et visait le traitement des données pour le calcul des vitesses. Dans cette seconde partie, la théorie relative aux calculs de l’accélération de l’athlète à partir des mesures GPS sera présentée. Ce chapitre introduit aussi le troisième et dernier module du système de mesure de performances sportives. Ce troisième module concerne le filtrage des vitesses et des accélérations. La théorie ainsi que les résultats relatifs à ce dernier module seront abordés au chapitre cinq. De manière générale, l’accélération se définit comme une variation, positive ou négative,

de la vitesse d’un mobile par unité de temps. Elle s’exprime dans le Système international

d’unités (SI) en mètre par seconde par seconde (m/s2). Dans la littérature portant sur le

calcul de l’accélération par mesures GPS, le Gal et le mGal sont fréquemment utilisés pour

mesurer de subtils changements d’accélération. Un Gal représente une accélération de 1

cm/s2 et ainsi un mGal est égal à une accélération de 0,01 mm/s2.

60

4.1 Calcul de l’accélération avec la méthode indirecte Le calcul de l’accélération d’un mobile peut s’effectuer avec la méthode indirecte, c’est-à-

dire à partir des positions obtenues par mesures GPS. Lorsque trois positions consécutives

sont disponibles, telles que présentées à la figure 4.1, la vitesse du mobile peut être calculée

à partir d’une différence temporelle de deux positions (voir l’équation (3.1)). Le vecteur

(1 2)v − représente la vitesse moyenne du mobile pour l’intervalle de temps [t1, t2], tandis que

le vecteur (2 3)v − représente la vitesse moyenne du mobile pour l’intervalle de temps [t2, t3].

L’accélération du mobile peut ensuite être calculée, selon l’équation (4.1), à partir d’une

différence temporelle des deux vecteurs vitesse.

Figure 4.1 : Positions obtenues par mesures GPS pour trois époques

consécutives représentées par les temps t1, t2 et t3.

(2 3) (1 2)2

3 1

( )( ) / 2

v va t

t t− −−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (4.1)

(2 3) (1 2)2

3 2 2 1 3 1

1( )( ) / 2

d da t

t t t t t t− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.2)

où )( 2ta : accélération moyenne sur la période de temps 2/)( 13 tt − correspondant à la deuxième époque (m/s2) ;

(1 2)d − : vecteur entre la position du récepteur au temps t1 et au temps t2 (m) ;

(2 3)d − : vecteur entre la position du récepteur au temps t2 et au temps t3 (m) ; et

jt : temps de l’époque j (j = 1, 2, 3) (s).

Lorsque l’écart de temps tΔ entre deux positions consécutives est constant :

ttttt Δ=−=− 2312 (4.3) ttt Δ=− 213 (4.4)

L’accélération moyenne du récepteur sur la période de temps tΔ pour l’époque 2t est alors

donnée par l’équation suivante :

32−d21−d

1t2t

3t

61

(2 3) (1 2)2 2( )

d da t

t− −−

=Δ

(4.5)

Lorsque des positions précises sont disponibles, les accélérations du récepteur GPS sont

déduites facilement et rapidement à l’aide de l’équation (4.5). Par contre, une mauvaise

précision des positions affecte la qualité des accélérations. Bruton et al. [2002] affirment

qu’il est important de calculer les positions en mode relatif. Ils ont aussi démontré qu’une

solution de positionnement avec ambiguïtés fixées donne de meilleurs résultats pour le

calcul des vitesses qu’une solution avec ambiguïtés libres sur L1. Les accélérations

calculées à partir de différences temporelles de positions offrent par contre une précision

moins bonne que celle obtenue de différences temporelles de mesures de phase (méthode

présentée à la section 4.3) [Kennedy, 2002]. Cette situation est particulièrement vraie

lorsque le récepteur GPS subit une importante dynamique [Bruton et al., 1999].

4.2 Calcul de l’accélération à partir des mesures Doppler Le calcul de l’accélération d’un mobile peut aussi se faire avec les méthodes directes. Ces

méthodes permettent de déterminer l’accélération du mobile à partir des mesures

d’accélérations radiales entre un récepteur et un satellite. L’accélération radiale peut

s’obtenir d’une différence temporelle des mesures Doppler ( Dδ ) d’époques consécutives.

Il s’agit du même principe, présenté à la section 3.4, où une différence temporelle des

mesures de phase était nécessaire afin d’obtenir une mesure de la vitesse radiale. Une

différence temporelle de deux mesures Doppler d’époques successives ( )( 1tD et )( 2tD )

donne une mesure d’accélération moyenne, en m/s2, sur l’intervalle de temps [t1, t2].

L’observation Dδ prend la forme suivante :

12

12 )()(tt

tDtDtDD

−−=

ΔΔ=δ (4.6)

Lorsque la mesure Dδ est formée à partir des mesures Doppler de trois époques

successives (t1, t2, t3) elle peut être associée à l’époque intermédiaire t2. À ce moment, deux

mesures Dδ sont calculées soit : une pour l’intervalle de temps [t1, t2] et une autre pour

l’intervalle de temps [t2, t3]. Une pondération des deux mesures Dδ est ensuite effectuée

62

en donnant plus de poids à celle qui a été calculée sur un plus court intervalle de temps.

L’observation Dδ créée à partir de trois époques consécutives et associée à l’époque t2 se

calcule selon l’équation suivante :

)()(

)()()()(

)()()(13

12

23

23

13

23

12

122 tt

tttt

tDtDtttt

tttDtDtD

−−

−−+

−−

−−=δ (4.7)

Dans le cas où l’intervalle de temps entre les époques ( tΔ ) est constant :

ttttt Δ=−=− 2312 (4.8) ttt Δ=− 213 (4.9)

et ainsi : t

tDtDtD

Δ−

=2

)()()( 13

2δ (4.10)

L’observation Dδ est alors une observation d’accélération radiale moyenne sur l’intervalle

de temps [t1, t3] c.-à-d. tΔ2 . Elle devient équivalente à une observation Dδ effectuée avec

les mesures Doppler de deux époques consécutives lorsque l’intervalle de temps entre les

mesures Doppler est deux fois plus grand.

L’équation d’observation d’une mesure de différence temporelle de mesures Doppler ( Dδ )

s’écrit ainsi :

( )ii DDii mtTITdtdcD δεδδδδδρδδ +++−−+= (4.11)

où

iDδ : différence temporelle des mesures Doppler sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ; ρδ : différence temporelle de la vitesse radiale topocentrique entre le récepteur et le

satellite (m/s2) ; tdδ : différence temporelle de la dérive de l’erreur d’horloge du satellite (s-1) ; Tdδ : différence temporelle de la dérive de l’erreur d’horloge du récepteur (s-1) ; iIδ : différence temporelle de la variation temporelle du délai ionosphérique sur la

bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ; Tδ : différence temporelle de la variation temporelle du délai troposphérique (m/s2) ;

iDmtδ : différence temporelle de l’erreur des multitrajets sur la mesure iD de la bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ; et

iDδε : bruit de la mesure iDδ sur la bande Li (i = 1, 2) et des effets résiduels non modélisés (m/s2).

63

La figure 4.2 présente la géométrie relative d’un récepteur et d’un satellite GPS à l’époque

t1 et à l’époque t3.

Figure 4.2 : Géométrie relative d’un récepteur et d’un satellite GPS aux époques t1 et t3

pour le calcul de l’accélération radiale à partir des mesures Doppler.

où

)( jR tX : vecteur vitesse du récepteur à l’époque j (j = 1, 3) (m/s) ;

)( jS tx : vecteur vitesse du satellite à l’époque j (j = 1, 3) (m/s) ;

)( jSR te : vecteur unitaire entre le récepteur et le satellite à l’époque j (j = 1, 3) ;

)( jSR tρ : magnitude de la vitesse radiale entre le satellite et le récepteur à

l’époque j (j = 1, 3) (m/s). Les inconnues à déterminer sont les composantes du vecteur accélération moyenne du

récepteur ( RXδ ) pour l’intervalle de temps [t1, t3] et elles s’obtiennent à partir de la relation

suivante :

)( 13 ttXX R

R −Δ

=δ (4.12)

Le vecteur RXΔ représente le changement du vecteur vitesse du récepteur entre le temps t1

et t3. Sa signification mathématique est la suivante :

)()( 13 tXtXX RRR −=Δ (4.13)

Satellite à t3

3( )RX t−

3( )RX t

)( 3txSSatellite à t1

1( )RX t−

1( )RX t

)( 1tx S

1( )SR tρ

3( )SR tρ

3( )SRe t

1( )SRe t

Récepteur à t1

Récepteur à t3

64

Pour déterminer le vecteur RXδ , il est d’abord nécessaire de calculer la différence

temporelle de la vitesse radiale ( SRρδ ). L’expression pour déterminer S

Rρδ entre l’époque t1

et l’époque t3 est très semblable à celle permettant le calcul de SRδρ présentée à la section

3.4.1. Le terme SRρδ entre l’époque t1 et l’époque t3 se calcule selon l’équation suivante :

13

13 )()(2 tt

ttt

SR

SR

SRS

R −−

=Δ

Δ=

ρρρρδ (4.14)

Sachant que :

( )( ) ( ) ( ) ( ) , 1, 3S S SR j R j j R jt e t x t X t jρ = ⋅ − = (3.28)

la différence de la vitesse radiale ( SRρΔ ) est déterminée comme suit :

( ) ( ))()()()()()( 111333 tXtxtetXtxte RSS

RRSS

RSR −⋅−−⋅=Δρ (4.15)

3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )S S S S SR R Re t x t e t x tρΔ = ⋅ − ⋅

3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )S SR R R Re t X t e t X t− ⋅ + ⋅ (4.16)

Selon l’équation (4.13), le vecteur vitesse du récepteur au temps t3 ( )( 3tX R ) peut être

exprimé à partir des termes )( 1tX R et RXΔ de la façon suivante :

RRR XtXtX Δ+= )()( 13 (4.17)

À partir de l’équation précédente, les deux derniers termes de l’équation (4.16) peuvent être

redéfinis comme suit :

3 3 1 1( ) ( ) ( ) ( )S SR R R Re t X t e t X t− ⋅ + ⋅

( ) )()()()( 1113 tXteXtXte RSRRR

SR ⋅+Δ+⋅−= (4.18)

RSRR

SRR

SR XtetXtetXte Δ⋅−⋅+⋅−= )()()()()( 31113 (4.19)

65

De cette façon, le vecteur à déterminer ( RXΔ ) a pu être isolé. Par la suite, en substituant les

deux derniers termes de l’équation (4.16) par ceux de l’équation (4.19), le scalaire SRρΔ est

évalué comme suit :

RSR

SR XteGS Δ⋅−Δ−Δ=Δ )( 3ρ (4.20)

où )()()()( 1133 txtetxteS SS

RSS

R ⋅−⋅=Δ ; et (4.21)

)()()()( 1113 tXtetXteG RSRR

SR ⋅−⋅=Δ (4.22)

Le terme SΔ est interprété comme le changement de la valeur de la vitesse radiale entre le

récepteur et le satellite qui est principalement dû au mouvement du satellite. Le terme GΔ

est interprété comme le changement de la valeur de la vitesse radiale causé par le

changement d’orientation du vecteur unitaire SRe (c.-à-d. le changement de la géométrie)

durant l’intervalle de temps [t1, t3].

L’équation de la différence temporelle de la vitesse radiale ( SRρδ ) sur l’intervalle de temps

[t1, t3] prend alors la forme suivante :

)()( 23 tXteGS RSR

SR δδδρδ ⋅−−= (4.23)

À l’époque t2, les trois composantes du vecteur accélération moyenne du récepteur durant

l’intervalle de temps [t1, t3] sont les inconnues à déterminer et sont représentées par le terme

)( 2tXRδ .

Enfin, pour calculer SRρδ dans le système TM, il faut préalablement appliquer la matrice de

rotation ZR (définie à l’équation (3.30)) aux vecteurs positions et vitesses du satellite à

l’époque t1 ainsi qu’aux vecteurs positions et vitesses du satellite à l’époque t3. Cette

rotation est effectuée afin de prendre en considération la rotation du système TM entre le

temps de transmission du signal par le satellite et le temps de réception du signal au

récepteur.

66

4.3 Calcul de l’accélération à partir des mesures de phase Afin d’obtenir une mesure d’accélération radiale à partir des mesures de phase, une double

différence temporelle (représentée par le symbole δδ ) est nécessaire. La double différence

temporelle de phase (δδφ ) se calcule en (m/s2) comme suit [Peyton, 1990] :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−

−=

ΔΔ=

)()()(

)()()(

)2

(

1)(12

12

23

23

132 tt

tttt

ttttt

tφφφφδφδδφ (4.24)

)2

)((

)()(

)2

)((

)()()(

1312

12

1323

232 tt

tt

tttt

tt

ttt

−−

−−−

−

−= φφφφδδφ (4.25)

où

δφΔ : différence entre deux mesures consécutives de différence temporelle de mesures de phase (m/s) ;

tΔ : intervalle de temps tΔ entre les mesures de phase (s) ; )( 2tδδφ : double différence temporelle de trois mesures de phase consécutives à l’époque 2t (m/s2) ;

)( jtφ : mesure de phase à l’époque j (j = 1, 2, 3) (m) ; et

jt : temps à l’époque j (j = 1, 2, 3) c.-à-d. trois époques consécutives (s). Lorsque l’intervalle de temps tΔ entre les mesures de phase est constant :

ttttt Δ=−=− 2312 (4.26) ttt Δ=− 213 (4.27)

L’équation de formation de la mesure δδφ devient alors :

2123

2)()(2)(

)(t

tttt

Δ+−

=φφφδδφ (4.28)

La mesure δδφ contient de l’information sur l’accélération radiale moyenne pour

l’intervalle de temps tΔ et rattachée à l’époque 2t c.-à-d. le temps intermédiaire de cet

intervalle. Il est intéressant de noter que la mesure δδφ calculée avec trois époques

(équation (4.28)) est une mesure d’accélération radiale moyenne sur une période deux fois

plus courte que celle calculée avec les mesures Doppler sur trois époques (équation (4.10)).

67

À un une même fréquence d’acquisition, les mesures δδφ calculées avec trois époques

permettront de détecter des variations d’accélérations rapides d’un athlète qui ne pourraient

être perçues avec les mesures Dδ calculées avec trois époques.

L’équation d’observation d’une mesure de double différence temporelle de phase (δδφ ) est

définie ainsi :

iimtTIdTdtc ii φφ δδεδδδδδδδδδδδδρδδφ +++−−+= )( (4.29)

où iδδφ : double différence temporelle des mesures de phase sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ;

δδρ : double différence temporelle de la distance radiale topocentrique entre le récepteur et un satellite (m/s2) ;

dtδδ : double différence temporelle de l’erreur d’horloge du satellite (s-1) ; dTδδ : double différence temporelle de l’erreur d’horloge du récepteur (s-1) ;

iIδδ : double différence temporelle du délai ionosphérique sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ;

Tδδ : double différence temporelle du délai troposphérique (m/s2) ;

imtφδδ : double différence temporelle de l’erreur des multitrajets sur la mesure de

phase sur la bande Li (i = 1, 2) (m/s2) ; et iφδδε : bruit de la mesure de double différence temporelle des mesures de phase

sur la bande Li (i = 1, 2) et des effets résiduels non modélisés (m/s2).

La double différence temporelle de la distance radiale ( SRδδρ ) sur trois époques t1, t2 et t3

s’exprime ainsi :

)2

( 13

)21()32(

ttt

SR

SR

SRS

R −−

=Δ

Δ= −− δρδρδρδδρ (4.30)

Le terme S

R )21( −δρ est la différence temporelle de la distances radiale pour l’intervalle de

temps entre l’époque t1 et l’époque t2. Selon l’équation (3.59), SR )21( −δρ se définit comme

suit :

)21(2)21()21()21( )( −−−− ⋅−−= RSR

SR XteGS δδδδρ (4.31)

68

où 12

1122)21(

)()()()(tt

txtetxteSSS

RSS

R

−⋅−⋅=−δ ; (4.32)

12

1112)21(

)()()()(tt

tXtetXteG RSRR

SR

−⋅−⋅

=−δ ; et (4.33)

)21( −RXδ : vitesse moyenne de l’antenne du récepteur pour l’intervalle de temps [t1, t2] (m/s).

Le terme S

R )32( −δρ est la différence temporelle de la distance radiale pour l’intervalle de

temps entre l’époque intermédiaire t2 et l’époque t3. Ce dernier terme est exprimé à partir

de l’équation (3.59) qui a été modifiée afin que le vecteur )32( −RXδ soit multiplié

scalairement avec le vecteur SRe à l’époque t2 plutôt qu’à l’époque t3. Pour effectuer ce

changement, il s’agit d’exprimer le vecteur position du récepteur à l’époque t2 ( )( 2tX R ) en

fonction de la position du récepteur à l’époque t3 ( )( 3tX R ) ainsi que du changement de

position du récepteur ( )32( −Δ RX ) entre l’époque t2 et t3. C’est-à-dire que l’équation (3.53)

est remplacée par la suivante :

)32(32 )()( −Δ−= RRR XtXtX (4.34)

L’équation (3.59) est alors modifiée et l’expression de SR )32( −δρ devient :

)32(2)32()32()32( )( −−−− ⋅−−= RSR

SR XteGS δδδδρ (4.35)

où 23

2233)32(

)()()()(tt

txtetxteS

SSR

SSR

−⋅−⋅

=−δ ; (4.36)

23

3233)32(

)()()()(tt

tXtetXteG R

SRR

SR

−⋅−⋅

=−δ ; et (4.37)

)32( −RXδ : vitesse moyenne de l’antenne du récepteur pour l’intervalle de temps [t2, t3] (m/s).

La différence temporelle entre S

R )21( −δρ et SR )32( −δρ sur l’intervalle de temps tΔ devient

ainsi :

69

)()( 22 tXteGS RSR

SR δδδδδδδδρ ⋅−−= (4.38)

où t

SSS

Δ−

= −− )21()32( δδδδ ; et (4.39)

t

GGG

Δ−

= −− )21()32( δδδδ . (4.40)

Les trois composantes du vecteur accélération moyenne du récepteur sur la période de

temps tΔ sont les inconnues à déterminer et sont représentées par le terme )( 2tX Rδδ . À

noter que l’accélération moyenne du récepteur est associée à l’époque t2 soit le temps

intermédiaire de l’intervalle de temps 2

13 ttt

−=Δ .

Par la suite, pour calculer SRδδρ dans le système TM, il faut préalablement appliquer une

matrice de rotation ZR (définie à l’équation (3.30)) aux vecteurs positions du satellite pour

les époques t1, t2 et t3.

4.4 Sources d’erreurs pour l’estimation des accélérations par mesures GPS

De la section 3.5.1 à la section 3.5.4, il a été démontré que les variations temporelles des

erreurs systématiques affectent légèrement les mesures Doppler ( D ) et de différence

temporelle de mesures de phase (δφ ). Pour les observations d’accélération radiale Dδ et

δδφ , ce sont les dérives des variations temporelles des erreurs systématiques (ou

l’accélération des erreurs systématiques) qui affectent ces observations. Les amplitudes des

accélérations des erreurs systématiques sont encore plus faibles que les amplitudes des

variations temporelles des erreurs systématiques. Par exemple, Jekeli [1994] mentionne

que les mesures δδφ sont pratiquement exemptes d’erreurs causées par l’accélération de

l’erreur d’horloge du satellite lorsque la disponibilité sélective est désactivée. Kennedy

[2003] ajoute que les positions des satellites peuvent être déduites des éphémérides

transmises et que la précision du récepteur peut être de l’ordre de plusieurs mètres sans

entraîner une perte de précision pour le calcul de l’accélération précise du récepteur. Les

erreurs systématiques ont alors une contribution très faible sur le bilan d’erreur par rapport

à l’erreur provenant du bruit des mesures d’accélérations radiales. Notons que le bruit des

70

observations Dδ et δδφ calculées à haute fréquence est particulièrement élevé. Pour cette

raison, les accélérations des erreurs systématiques ne seront pas détaillées. Pour de plus

amples informations sur ces erreurs, se référer à différents ouvrages qui ont été réalisés sur

la détermination précise d’accélération à partir de mesures GPS enregistrées à un taux

d’échantillonnage de 1 Hz [Peyton, 1990; Jekeli, 1994; Jekeli et Garcia, 1996; Bruton et al.,

2002; Kennedy, 2002; Kennedy, 2003; Serrano et al., 2004a].

Le bruit des mesures d’accélération radiale n’est pas négligeable et s’amplifie plus le taux

d’échantillonnage est élevé. La précision de la mesure Dδ calculée sur trois époques

s’obtient en appliquant la loi de la propagation des erreurs aléatoires à l’équation de

formation de la mesure Dδ (équation (4.10)). Lorsque l’intervalle de temps ( tΔ ) entre les

mesures est constant, que la précision des mesures Doppler est constante et qu’il n’y a pas

de corrélation physique entre les mesures Doppler, la précision de la mesure Dδ devient :

(1 3)( )( )2DD

tσσ δ − =

Δ (4.41)

où (1 3)( )Dσ δ − : précision de la mesure Dδ calculée avec trois mesures Doppler

successives (m/s2) ; et ( )Dσ : précision d’une mesure Doppler (m/s). La précision de la mesure δδφ est obtenue de la loi de propagation des erreurs aléatoires

appliquée à l’équation (4.28). Lorsque l’intervalle de temps ( tΔ ) entre les mesures est

constant, que la précision des mesures de phase est constante et qu’il n’y a pas de

corrélation physique entre les mesures de phase, la précision de la mesure δδφ se calcule

comme suit :

(1 3) 2

6 ( )( )tσ φσ δδφ − =

Δ (4.42)

où

(1 3)( )σ δδφ − : précision de δδφ obtenue de trois mesures de phase consécutives (m/s2) ; et ( )σ φ : précision d’une mesure de phase (m).

71

La double différence temporelle des mesures de phase entraîne une amplification du bruit

de la mesure de phase d’un facteur 6 . De même que l’augmentation de la fréquence

d’acquisition des mesures de phase d’un facteur de deux entraîne un intervalle de temps

entre les mesures deux fois plus court ayant ainsi pour effet de quadrupler le bruit de la

mesure δδφ .

À haute fréquence d’acquisition, par exemple 10 Hz, le bruit des mesures Dδ et δδφ

atteint plusieurs dm/s2 et entraîne une importante perte de précision des accélérations

déduites de ces mesures. Pour palier à ce problème, des techniques de filtrage ont été

testées au cours du projet afin de réduire le bruit présent dans les vitesses et

particulièrement les accélérations obtenues par mesures GPS. Le filtrage est appliqué une

fois que les vitesses et les accélérations de l’athlète sont calculées. La théorie relative aux

techniques de filtrage et les résultats du filtrage sont présentés à la section 5.3.

4.5 Compensation par moindres carrés L’estimé de l’accélération à partir des équations d’observations Dδ ou δδφ se fait par une

compensation par moindres carrés telle que présentée à la section 3.6.

La matrice des dérivées partielles des équations d’observations par rapport aux paramètres

inconnus (matrice A ) est la même que pour l’estimé des vitesses (équation (3.79)). Pour

les équations d’observations Dδ sur trois époques, les vecteurs unitaires qui composent la

matrice A sont ceux de l’époque t3 (voir équation (4.23)). Pour les équations

d’observations δδφ sur trois époques, les vecteurs unitaires qui composent la matrice A

sont ceux de l’époque t2 (voir équation (4.38)).

La matrice de poids des observations ( P ) est une matrice diagonale composée de l’inverse

de )(2 Dδσ ou )(2 δδφσ . Les termes )( Dδσ et )(δδφσ sont respectivement les précisions

des observations Dδ et δδφ au récepteur mobile telles que définies aux équations (4.41) et

(4.42). Les précisions des mesures Doppler et des mesures de phase, servant aux calculs de

)( Dδσ et )(δδφσ , peuvent être définies en fonction de l’angle d’élévation du satellite ou

du rapport signal / bruit tel que présenté à la section 3.7.

72

Le vecteur de fermeture W contient les écarts entre les valeurs observées Dδ ou δδφ et les

valeurs théoriques (termes de droite des équations d’observations) basées sur les valeurs

approchées des paramètres inconnus (équation (4.11) ou équation (4.29)). Bien que les

amplitudes des erreurs systématiques qui affectent les mesures d’accélérations radiales

soient très petites, le mode relatif permet de corriger la majorité de ces erreurs

systématiques. En mode relatif, le vecteur de fermeture WΔ est créé de la façon suivante :

réfWWW −=Δ (3.82) où réfW se détermine avec les équations d’observations des mesures Dδ ou δδφ à la

station de référence.

Les éléments de la diagonale de la matrice de poids en mode relatif ( ΔP ) sont calculés avec

l’inverse de la variance associée aux observations Dδ ou δδφ en différence simple. Les

variances des mesures en différence simple ( )(2 Dδσ Δ ou )(2 δδφσ Δ ) se calculent avec les

équations suivantes :

)()()( 222 DDD réf δσδσδσ +=Δ (4.43)

)()()( 222 δδφσδδφσδδφσ +=Δ réf (4.44)

Dans lesquelles )( réfDδσ et )( réfδδφσ sont respectivement la précision de l’observation

Dδ et la précision de l’observation δδφ au récepteur de référence.

Pour les équations d’observations des mesures d’accélérations radiales, le vecteur des

paramètres compensés ( X̂ ) contient les trois composantes du vecteur accélération de

l’antenne GPS et la variation temporelle de la dérive de l’erreur d’horloge du récepteur

GPS. Le vecteur X̂ ainsi que la matrice des précisions associées aux paramètres

compensés (X̂

Σ ) s’obtiennent avec les équations (3.78) et (3.86) présentées à la section 3.6.

Chapitre 5

Résultats et analyses des expérimentations et tests terrain

Ce chapitre expose les résultats et les analyses obtenus des différents tests terrain effectués avec les équipements GPS présentés au chapitre deux. Les jeux de données GPS ont été recueillis en modes absolu et relatif ainsi qu’en modes statique et cinématique. Ils ont permis de mettre à l’épreuve les trois modules qui composent le système de mesure de performances sportives. Dans un premier temps, sont présentées les précisions des vitesses et des accélérations obtenues suite aux essais de différentes stratégies d’acquisition et de traitement des données GPS. Ensuite, les résultats relatifs au filtrage des vitesses et des accélérations sont étalés. Finalement, les vitesses et les accélérations obtenues avec un récepteur bas de gamme sont comparées à celles obtenues avec un récepteur de type géodésique. Pour l’ensemble des résultats de ce chapitre, seules les vitesses et les accélérations

planimétriques sont présentées. Bien que les vitesses et les accélérations verticales

indiquent les déplacements verticaux de l’athlète, ce sont les vitesses et les accélérations

planimétriques qui définissent la performance d’un athlète pour les sports pratiqués sur une

piste plane comme le patinage de vitesse. Il faut également noter que lorsqu’il s’agit de

résultats en mode statique, une nouvelle vitesse et une nouvelle accélération sont calculées

pour chaque époque du jeu de données comme s’il s’agissait d’un traitement en mode

cinématique. Dans cette étude, le mode statique ne signifie pas un traitement où les

observations des époques sont cumulées. Le mode statique signifie plutôt que l’antenne du

74

récepteur GPS est immobile ce qui permet de comparer les résultats obtenus avec les

valeurs exactes des vitesses et des accélérations de l’antenne qui sont de zéro.

5.1 Précision des vitesses

5.1.1 Comparaison des différentes stratégies d’acquisition et de traitement de données GPS

Les trois méthodes testées pour le calcul des vitesses ont été présentées au chapitre 3. La

première est la méthode indirecte, c’est-à-dire la différence temporelle de trois positions

(méthode positions). Les deux autres sont les méthodes indirectes soit : l’utilisation de la

mesure Doppler sur L1 (méthode Doppler) et l’utilisation de la différence temporelle de

trois mesures de phase sur L1 (méthode δφ ). Ces trois méthodes ont été testées, en mode

absolu comme en mode relatif, à partir de différents jeux de données. Le premier jeu de

données présenté a été enregistré le 5 novembre 2003 avec deux récepteurs GPS NovAtel

DL-4 double fréquence. Les récepteurs étaient mis en station au-dessus de deux points

géodésiques de même altitude et distants de 110 mètres. Les données brutes ont été

collectées sans masque d’élévation à une fréquence d’acquisition de 20 Hz. Pour ce jeu de

données, la moyenne du facteur NDOP est de 0,8 et la moyenne du facteur EDOP est de

0,6. Durant la session d’une durée de 10 minutes, les récepteurs étaient immobiles ce qui

permet de valider les vitesses obtenues puisque celles-ci devraient être nulles. Les vitesses

planimétriques (en 2 dimensions) ont été calculées avec les trois méthodes en mode absolu

(A) et en mode relatif (R). Lors du traitement des données, puisque aucune pondération des

observations n’a été effectuée, un masque d’élévation de 15˚ a été appliqué. Un masque

d’élévation de 15˚ était plus approprié qu’un masque d’élévation de 10˚ car il permettait

d’éliminer un plus grand nombre de satellites à angles d’élévation bas. Sachant que les

signaux GPS provenant des satellites à angles d’élévation bas sont plus bruités et plus

affectés par les erreurs systématiques que les signaux GPS des satellites à angles

d’élévation élevés. Les tableaux 5.1 à 5.3 présentent les précisions des vitesses

planimétriques ayant été calculées pour des fréquences d’acquisition de 20 Hz, 10 Hz et 1

Hz. Pour les méthodes positions et δφ , les intervalles de temps entre parenthèses

indiquent que les vitesses obtenues sont des vitesses moyennes sur ces intervalles de temps,

tandis qu’avec la méthode Doppler, les vitesses obtenues sont pratiquement instantanées.

75

Tableau 5.1 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

Positions (0,1 s) Doppler δφ (0,1 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (cm/s)

0,2 0,0 0,3 0,0 0,3 0,0

Précision 4

(cm/s) 5,6 2,3 1,9 2,5 1,6 2,2

Tableau 5.2 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 10 Hz.

Positions (0,2 s) Doppler δφ (0,2 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (cm/s)

0,2 0,0 0,3 0,0 0,3 0,0

Précision 4

(cm/s) 3,5 1,2 1,9 2,5 0,9 1,1

Tableau 5.3 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz.

Positions (2 s) Doppler δφ (2 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (cm/s)

0,2 0,0 0,3 0,0 0,3 0,0

Précision 4

(cm/s) 1,2 0,2 1,9 2,5 0,3 0,2

¹ Les positions ont été obtenues avec le logiciel GrafNav 7.01 de Waypoint Consulting Inc. Elles ont été calculées en mode absolu (A) avec une solution avec ambiguïtés libres.

² Les positions ont été obtenues avec le logiciel GrafNav 7.01 de Waypoint Consulting Inc. Elles ont été calculées en mode relatif (R) avec une solution avec ambiguïtés fixées.

³ La moyenne est la magnitude du vecteur moyen des vecteurs vitesse planimétrique obtenus (la valeur théorique est de 0).

4 La précision est l’écart type, par rapport à 0 à 1σ (68% des cas), des magnitudes des vecteurs vitesse planimétrique.

Une analyse des résultats précédents montre que, peu importe la fréquence d’acquisition et

le mode de traitement (absolu ou relatif), les vitesses sont plus précises lorsqu’elles sont

obtenues à partir des mesures δφ qu’avec les mesures Doppler ou bien avec la méthode

positions. Pour les vitesses déduites avec la méthode positions et la méthode δφ , la

précision s’améliore lorsque la fréquence d’acquisition diminue. La précision des vitesses

76

est en effet meilleure à une fréquence d’acquisition de 1 Hz qu’à une fréquence de 10 Hz et

20 Hz. Puisque l’influence du bruit amplifié par la différence temporelle des positions ou

des mesures de phase s’atténue lorsque l’intervalle de temps entre les mesures est plus

grand. Par contre, une basse fréquence d’acquisition entraîne des vitesses moyennes sur un

intervalle de temps plus grand. Quant aux mesures Doppler, puisqu’elles ne nécessitent pas

de différences temporelles, elles sont indépendantes de la fréquence d’acquisition. Les

mesures Doppler procurent ainsi des vitesses instantanées avec une précision indépendante

de la fréquence d’acquisition.

Un second constat est que pour une fréquence d’acquisition plus élevé que 1 Hz, les

méthodes directes (méthodes Doppler et δφ ) utilisées en mode relatif dégradent les

précisions des vitesses de près de 40% comparativement à celles obtenues en mode absolu.

Les précisions associées aux mesures Doppler et δφ en différence simple (équations (3.83)

et (3.84)) sont en effet plus élevées d’un facteur 1,4 ( 2 ) que les précisions des

observations Doppler et δφ en mode absolu. À une fréquence d’acquisition élevée, le

mode relatif crée ainsi une amplification du bruit des mesures qui est plus importante que la

magnitude des corrections des erreurs systématiques. Le mode absolu offre en plus

l’avantage de ne pas nécessiter l’utilisation d’un récepteur GPS de référence. La collecte

des données en mode absolu permet de réduire l’équipement GPS de moitié et de faciliter

l’acquisition et le traitement des données. Par contre, le mode relatif est essentiel pour

obtenir des vitesses précises avec la méthode positions et ce peu importe la fréquence

d’acquisition. À ce moment, les méthodes directes (Doppler et δφ ) sont beaucoup plus

avantageuses que la méthode positions puisqu’elles ne nécessitent pas une collecte des

données en mode relatif, à une fréquence d’acquisition plus élevée que 1 Hz.

L’analyse des résultats amène également une troisième constatation au niveau de la

moyenne des vitesses planimétriques en mode statique. Il est intéressant de noter

qu’indépendamment de la méthode de calcul et de la fréquence d’acquisition, les résultats

obtenus en mode absolu sont tous légèrement biaisés de deux à trois mm/s. Les résultats

obtenus en mode relatif ne sont pas biaisés, mais ils sont par contre plus bruités. La

présence de ces biais en mode absolu serait attribuable aux variations temporelles des

77

erreurs systématiques affectant les mesures GPS telles que présentées à la section 3.5.

Avec le mode relatif, les erreurs communes aux deux sites sont éliminées permettant ainsi

de corriger les variations temporelles des erreurs systématiques dans le calcul des vitesses.

La stratégie d’acquisition et de traitement de données GPS qui semble procurer les vitesses

les plus précises lorsque la fréquence d’acquisition est plus grande que 1 Hz est l’utilisation

de la méthode δφ en mode absolu. Par contre, pour une fréquence de 1 Hz ou moins,

l’influence du bruit des différences temporelles de mesures de phase est plus faible.

L'accroissement du bruit causé par le mode relatif devient alors moins important que la

magnitude de la variation temporelle des erreurs systématiques. Ainsi, lorsque la fréquence

d’acquisition est plus basse que 1 Hz, l’utilisation de la méthode δφ en mode relatif

donnerait les meilleurs résultats.

5.1.2 Choix d’une matrice de poids des observations Le premier jeu de données ainsi qu’un second jeu de données GPS ont été traités afin

d’analyser quel type de matrice de poids parmi celles présentées à la section 3.7 donne les

vitesses de meilleure précision. Les matrices de poids testées sont : la matrice identité ( I )

c.-à-d. toutes les observations ont le même poids, la matrice de poids en fonction de l’angle

d’élévation du satellite ( EP ) et la matrice de poids en fonction du rapport signal/bruit

(0/ NCP ). Le second jeu de données a été enregistré le 10 juin 2004 à l’anneau de glace

Gaétan-Boucher avec un récepteur GPS NovAtel DL4 double fréquence. Les données

brutes ont été collectées sans masque d’élévation à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

Durant la session d’une durée de 15 minutes, le récepteur était immobile ce qui permettait

de valider les vitesses obtenues puisque celles-ci devraient être nulles. Lors de la collecte

de ce jeu de données, de neuf à dix satellites étaient visibles pendant la session. La

moyenne du facteur NDOP est de 0,8 et la moyenne du facteur EDOP est de 0,7. Pour les

jeux 1 et 2, les vitesses planimétriques ont été calculées avec la méthode δφ en mode

absolu en utilisant les différentes matrices de poids. Un masque d’élévation de 10˚ a été

appliqué plutôt qu’un masque d’élévation de 15˚ afin de conserver un plus grand nombre de

satellites. Une méthode de pondération efficace est à ce moment essentielle afin de

pondérer adéquatement les satellites à angles d’élévation bas. Le tableau 5.4 présente pour

78

ces jeux de données les précisions des vitesses planimétriques obtenues à une fréquence

d’acquisition de 20 Hz.

Tableau 5.4 : Précisions des vitesses planimétriques à 20 Hz obtenues sans pondération ( I ), avec pondération selon l’angle d’élévation du satellite ( EP ) ou avec pondération selon le rapport signal/bruit (

0/ NCP ).

I EP 0/ NCP

Jeu 1 Précision (cm/s) ¹ 1,8 1,5 1,4 Jeu 2 Précision (cm/s) ¹ 1,9 1,8 1,7 ¹ La précision est l’écart type, par rapport à 0 à 1σ (68% des cas), des magnitudes des vecteurs vitesse

planimétrique. L’interprétation de ces résultats indique qu’avec un masque d’élévation de 10˚, l’utilisation

d’une matrice de poids en fonction de l’angle d’élévation du satellite apporte un gain de

précision des vitesses planimétriques entre 5% et 17% par rapport à une pondération où

toutes les observations ont le même poids. Avec l’utilisation d’une matrice de poids en

fonction du rapport signal/bruit, un gain de précision entre 10% et 22% est obtenu.

5.1.3 Résultats des vitesses en mode cinématique Les tests en mode statique à un taux d’enregistrement élevé semblent témoigner que

l’utilisation de la méthode δφ en mode absolu avec une pondération en fonction du rapport

signal/bruit procure des vitesses planimétriques de meilleure précision Par contre, il est

nécessaire de valider cette méthode lorsque le récepteur est en mouvement, comme

lorsqu’un athlète se déplace. En effet, en mode cinématique, le récepteur perd quelque peu

de sa précision puisqu’il doit élargir la largeur de sa bande de fréquence ce qui a pour effet

d’augmenter le niveau de bruit des signaux GPS captés. Le risque d’obstructions et de

coupures de signaux est aussi plus grand lorsque le récepteur est en mouvement que

lorsqu’il est immobile. Le troisième jeu de données a été enregistré le 9 mars 2004 à

l’anneau de glace Gaétan-Boucher à Sainte-Foy avec deux récepteurs GPS NovAtel DL4

double fréquence. Un récepteur était mis en station au-dessus d’un point de référence au

centre de l’anneau et l’autre récepteur était transporté par l’athlète. Les données brutes ont

été collectées sans masque d’élévation à une fréquence d’acquisition de 20 Hz. Pour ce jeu

de données, le facteur NDOP est de 0,9 et le facteur EDOP est de 0,7. La session est d’une

durée de 40 secondes soit le temps nécessaire pour que l’athlète exécute un tour de

l’anneau. La figure 5.1 illustre la trajectoire du patineur de vitesse de haut niveau

79

superposée aux limites des corridors de l’anneau de glace. L’encadré de droite montre plus

spécifiquement une séquence de cinq secondes du patineur alors qu’il quittait la courbe sud

et parcourait la première moitié du 100 mètres.

Figure 5.1 : Trajectoire d’un patineur de vitesse pour un tour effectué à l’anneau de glace

Gaétan-Boucher, le 9 mars 2004.

Pour cette séquence de cinq secondes, les magnitudes des vitesses planimétriques du

patineur à une fréquence d’acquisition de 20 Hz sont présentées de la figure 5.2 à la figure

5.4. Elles ont été calculées selon les différentes méthodes de traitement (positions, Doppler

et δφ ). Pour la méthode positions, les positions ont été calculées avec le logiciel

« GrafNav » en appliquant un masque d’élévation de 10˚ et un traitement en mode relatif

était nécessaire afin de fixer les ambiguïtés de phase et obtenir des positions et des vitesses

de meilleure qualité qu’en mode absolu. Pour les méthodes Doppler et δφ seules les

vitesses obtenues en mode absolu sont présentées puisqu’elles étaient de meilleure qualité

que celles calculées en mode relatif. Un masque d’élévation de 10˚ a été appliqué et une

pondération en fonction du rapport signal/bruit a été utilisée avec les deux dernières

méthodes. Pour chacune des figures, les poussées de l’athlète se distinguent nettement

puisque les pics de vitesses sont causés par une alternance de coups de patin du pied droit et

du pied gauche.

80

Figure 5.2 : Vitesses planimétriques calculées à partir des positions avec

ambiguïtés fixées à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

Figure 5.3 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des

mesures Doppler à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

Figure 5.4 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir

des mesures δφ à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

81

Les trois méthodes offrent des résultats relativement semblables en particulier pour la

méthode positions et la méthode δφ . Par contre, la méthode positions nécessite les

mesures d’un récepteur GPS de référence. Les méthodes Doppler et δφ sont plus

avantageuses puisqu’un seul récepteur GPS est nécessaire. Pour la méthode Doppler, la

principale distinction se note au niveau des valeurs maximales et minimales des pics de

vitesses. Les amplitudes des pics de vitesses obtenues avec la méthode Doppler dépassent

légèrement celles obtenues avec les méthodes positions ou δφ . Puisque les mesures

Doppler procurent des vitesses pratiquement instantanées, il est possible de mesurer des

vitesses maintenues durant un très court intervalle de temps comme par exemple les

vitesses maximales et les vitesses minimales de l’athlète.

Il a également été remarqué que lors du calcul des vitesses avec la méthode δφ , les

résiduelles obtenues sont trois fois plus grandes pour le troisième jeu de données (recueilli

en mode cinématique) que celles obtenues avec le premier jeu de données qui avait été

recueilli en mode statique. Pour les deux jeux de données, les magnitudes des facteurs

DOP étaient semblables et le même récepteur avait été utilisé. À ce moment, la précision

des vitesses planimétriques obtenue en mode cinématique serait trois fois moins bonne que

celle obtenue en mode statique. Ainsi, une précision des vitesses planimétriques de 4 à 5

cm/s serait obtenue en mode cinématique avec l’utilisation des observations δφ traitées en

mode absolu, à une fréquence d’acquisition de 20 Hz et avec une pondération en fonction

du rapport signal/bruit. À une fréquence d’acquisition de 10 Hz, une précision des vitesses

planimétriques de 2 à 3 cm/s est réaliste en mode cinématique, tandis qu’à une fréquence

d’acquisition de 1 Hz, une précision de 1 cm/s ou mieux est attendue en mode cinématique.

Le même jeu de données a par la suite servi à calculer des vitesses planimétriques à partir

de mesures δφ avec différentes fréquences d’acquisition. Les vitesses planimétriques

obtenues à une fréquence d’acquisition de 10 Hz, de 5 Hz et de 1 Hz sont illustrées de la

figure 5.5 à la figure 5.7. Les vitesses présentées sont des vitesses moyennes sur les

intervalles de temps indiqués entre parenthèses dans les titres des figures.

82

Figure 5.5 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des

mesures δφ à une fréquence d’acquisition de 10 Hz (0,2 s).

Figure 5.6 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des

mesures δφ à une fréquence d’acquisition de 5 Hz (0,4 s).

Figure 5.7 : Vitesses planimétriques calculées en mode absolu à partir des

mesures δφ à une fréquence d’acquisition de 1 Hz (2 s).

83

Les traitements ont été effectués en mode absolu avec une pondération en fonction du

rapport signal/bruit et un masque d’élévation de 10˚ a été appliqué. Ces tests avaient pour

but de constater l’effet, sur les vitesses, d’une diminution de la fréquence d’acquisition des

mesures. Pour une fréquence d’acquisition de 10 Hz ou plus élevée, la cadence des

poussées d’un patineur est très évidente. À une fréquence de 5 Hz, les amplitudes des

vitesses maximales et minimales diminuent et la cadence est tout juste perceptible. Enfin, à

une fréquence d’acquisition plus petite que 5 Hz, les vitesses obtenues sont des vitesses

moyennes sur un trop long intervalle de temps pour qu’il ne soit possible de déterminer la

cadence du patineur.

Si un récepteur GPS ne peut pas offrir une fréquence d’acquisition de 10 Hz ou plus, il

pourrait être intéressant de calculer les mesures δφ à partir de deux mesures de phase

plutôt que de trois mesures de phase. De cette manière, les vitesses obtenues de différences

temporelles de deux mesures de phase seraient des vitesses moyennes sur une période deux

fois plus courte que si elles étaient obtenues de différences temporelles de trois mesures de

phase. Par exemple, à une fréquence d’acquisition de 5 Hz, l’utilisation de mesures δφ

calculées avec trois mesures de phase consécutives procure des vitesses moyennes sur un

intervalle de 0,4 seconde. Pour la même fréquence d’acquisition, les vitesses obtenues des

mesures δφ calculées avec deux mesures de phase consécutives sont des vitesses

moyennes sur un intervalle de 0,2 seconde.

5.2 Précision des accélérations

5.2.1 Résultats des accélérations en mode statique Le premier jeu de données a permis de déterminer la précision des accélérations

planimétriques obtenues lorsque le récepteur GPS est immobile. Les accélérations

planimétriques ont été calculées selon trois méthodes présentées au chapitre 4. La première

est la méthode indirecte, c’est-à-dire que l’accélération du mobile est obtenue à partir d’une

double différence temporelle de trois positions (méthode positions). Les deux autres sont

les méthodes directes soit : la méthode de la différence temporelle de trois mesures Doppler

sur L1 (méthode Dδ ) ou la méthode d’une double différence temporelle de trois mesures

de phase sur L1 (méthode δδφ ). Le traitement des données a été fait en mode absolu

84

comme en mode relatif. Les tableaux 5.5 à 5.7 présentent les précisions des accélérations

planimétriques du premier jeu de données à des fréquences d’acquisition de 20 Hz, 10 Hz et

1 Hz. Les intervalles de temps entre parenthèses indiquent que les accélérations obtenues

sont des accélérations moyennes sur ces intervalles de temps.

Tableau 5.5 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 20 Hz.

Positions (0,05 s) Dδ (0,1 s) δδφ (0,05 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (mm/s2)

0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Précision 4

(cm/s2) 470 160 30 40 110 150

Tableau 5.6 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 10 Hz.

Positions (0,1 s) Dδ (0,2 s) δδφ (0,1 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (mm/s2)

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Précision 4

(cm/s2) 89 37 13 18 27 37

Tableau 5.7 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz.

Positions (1 s) Dδ (2 s) δδφ (1 s) Mode A¹ R² A R A R Moyenne ³ (mm/s2)

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Précision 4

(cm/s2) 1,94 0,43 1,34 1,83 0,40 0,49

¹ Les positions ont été obtenues avec le logiciel GrafNav 7.01 de Waypoint Consulting Inc. Elles ont été calculées en mode absolu (A) avec une solution avec ambiguïtés libres.

² Les positions ont été obtenues avec le logiciel GrafNav 7.01 de Waypoint Consulting Inc. Elles ont été calculées en mode relatif (R) avec une solution avec ambiguïtés fixées.

³ La moyenne est la magnitude du vecteur moyen des vecteurs accélération planimétrique obtenus (la valeur théorique est de 0).

4 La précision est l’écart type, par rapport à 0 à 1σ (68% des cas), des magnitudes des vecteurs accélération planimétrique.

85

À noter que lors du traitement des données, puisque aucune pondération des observations

n’a été effectuée, un masque d’élévation de 15˚ a été appliqué. Un masque d’élévation de

15˚ était plus approprié qu’un masque d’élévation de 10˚ car il permettait d’éliminer un

plus grand nombre de satellites à angles d’élévation bas. Sachant que les signaux GPS

provenant des satellites à angles d’élévation bas sont plus bruités et plus affectés par les

erreurs systématiques que les signaux GPS des satellites à angles d’élévation élevés.

Kennedy [2002] affirme que la méthode δδφ apporte une amélioration de près de 15%

comparativement à la méthode positions pour le calcul d’accélération à un taux

d’enregistrement de 1 Hz. Les tableaux précédents confirment que la méthode δδφ en

mode absolu donne de meilleurs résultats que la méthode positions en mode absolu comme

en mode relatif et ce peu importe le taux d’enregistrement. De plus, pour le calcul des

accélérations avec les mesures δδφ ou Dδ à une fréquence de 1 Hz et plus, le mode relatif

dégrade la précision des accélérations de près de 40% comparativement aux accélérations

obtenues en mode absolu.

À des fréquences de 20 Hz et 10 Hz, les résultats indiquent que la méthode Dδ donne de

meilleures précisions que la méthode δδφ . Par contre, tel que mentionné à la section 4.2,

les accélérations obtenues des mesures Dδ calculées avec trois mesures Doppler

consécutives à une fréquence d’acquisition de 20 Hz, sont des accélérations moyennes sur

un intervalle de 0,1 seconde. Pour une fréquence d’acquisition de 20 Hz, la méthode

positions (section 4.1) et la méthode δδφ (section 4.3) procurent des accélérations

moyennes sur un intervalle de 0,05 seconde. Il est alors plus juste de comparer la précision

des accélérations obtenues des mesures Dδ à une fréquence de 20 Hz avec la précision des

accélérations calculées à partir des mesures δδφ à une fréquence de 10 Hz. Les

accélérations calculées à partir des mesures δδφ à une fréquence de 10 Hz sont en effet

légèrement plus précises que celles obtenues des mesures Dδ à une fréquence de 20 Hz.

Pour la méthode δδφ en mode absolu, une pondération a ensuite été effectuée afin

d’améliorer la précision des accélérations obtenues. Le premier et le second jeu de données

GPS ont été traités avec une pondération identique pour toutes les observations ( I ), une

86

pondération en fonction de l’angle d’élévation du satellite ( EP ) et une pondération en

fonction du rapport signal/bruit (0/ NCP ). Le tableau 5.8 présente les précisions des

accélérations obtenues avec la méthode δδφ pondérée pour une fréquence d’acquisition de

10 Hz et un masque d’élévation de 10˚.

Tableau 5.8 : Précisions des accélérations planimétriques à 10 Hz obtenues sans

pondération ( I ), avec pondération selon l’angle d’élévation du satellite ( EP ) et avec pondération selon le rapport signal/bruit (

0/ NCP ).

I EP 0/ NCP

Jeu 1 Précision (cm/s2) ¹ 32 26 24 Jeu 2 Précision (cm/s2) ¹ 33 30 29 ¹ La précision est l’écart type, par rapport à 0 à 1σ (68% des cas), des magnitudes des vecteurs

accélération planimétrique.

Une pondération en fonction de l’angle d’élévation du satellite apporte un gain de précision

des accélérations planimétriques d’environ 14% par rapport à une pondération ou toutes les

observations ont le même poids. Avec une pondération en fonction du rapport signal/bruit,

l’amélioration de la précision des accélérations est encore plus intéressante avec un gain de

précision d’environ 19%. Les précisions des accélérations demeurent toutefois nettement

moins bonnes que celles obtenues avec les vitesses. Puisque, tel que présenté à la section

4.4, la double différence temporelle des mesures de phase entraîne une amplification du

bruit des mesures de phase d’un facteur 6 . De même que l’augmentation de la fréquence

d’acquisition d’un facteur deux entraîne une diminution de moitié de l’intervalle de temps

entre les mesures ayant ainsi pour effet de quadrupler l’influence du bruit des observations

δδφ .

5.2.2 Résultats des accélérations en mode cinématique Lorsqu’un patineur de vitesse parcourt les courbes de l’anneau de glace Gaétan-Boucher,

une portion importante de l’accélération mesurée par GPS est causée par l’accélération

transversale nécessaire au virage de l’athlète. Par contre, pour l’étude des performances

87

d’un athlète, il est plus intéressant d’analyser uniquement l’accélération longitudinale.

L’accélération longitudinale est définie comme l’accélération de l’athlète le long de son

parcours. L’annexe B présente une méthode pour calculer l’accélération longitudinale à

partir de l’accélération mesurée par GPS. Les accélérations planimétriques présentées aux

sections 5.2.2 et 5.3 sont des accélérations planimétriques longitudinales.

Le troisième jeu de données GPS recueilli en patinage de vitesse, le 9 mars 2004, a aussi

servi aux calculs d’accélérations en mode cinématique. Pour la séquence de cinq secondes,

définie à la figure 5.1, les magnitudes des accélérations planimétriques moyennes sur un

intervalle de 0,2 seconde sont présentées de la figure 5.8 à la figure 5.10. Elles ont été

calculées selon les différentes méthodes de traitement (positions, Dδ et δδφ ). Pour la

méthode positions, les positions ont été calculées avec le logiciel GrafNav en appliquant un

masque d’élévation de 10˚. Le traitement a été réalisé en mode relatif afin de fixer les

ambiguïtés de phase et obtenir des positions, des vitesses et de accélérations de meilleure

qualité qu’en mode absolu. Pour les méthodes Doppler et δδφ seules les accélérations

obtenues en mode absolu sont présentées puisqu’elles étaient de meilleure qualité que

celles calculées en mode relatif. Un masque d’élévation de 10˚ a été appliqué aux

observations et une pondération en fonction du rapport signal/bruit a été utilisée avec les

deux dernières méthodes. Tel que mentionné à la section 4.2, les accélérations obtenues

des mesures Dδ calculées avec trois mesures Doppler sont des accélérations moyennes sur

une période deux fois plus longue que l’intervalle de temps entre les mesures. À ce

moment, afin de présenter des accélérations moyennes sur un intervalle de 0,2 seconde, il

est plus juste de comparer les accélérations obtenues des mesures Dδ à une fréquence de

10 Hz avec les accélérations calculées à partir des mesures δδφ , ou à partir des positions, à

une fréquence de 5 Hz.

88

Figure 5.8 : Accélérations planimétriques calculées à partir des positions avec

ambiguïtés fixées à une fréquence d’acquisition de 5 Hz (0,2 s).

Figure 5.9 : Accélérations planimétriques calculées en mode absolu à partir

des mesures Dδ à une fréquence d’acquisition de 10 Hz (0,2 s).

Figure 5.10 : Accélérations planimétriques calculées en mode absolu à partir

des mesures δδφ à une fréquence d’acquisition de 5 Hz (0,2 s).

89

Les figures précédentes montrent que les accélérations planimétriques du patineur semblent

relativement bruitées même si la fréquence d’acquisition a été diminuée à 5 Hz afin de

minimiser l’influence du bruit. La précision des accélérations planimétriques est tout de

même suffisamment satisfaisante pour évaluer la cadence du patineur.

Il a également été remarqué que lors du calcul des accélérations avec la méthode δδφ , les

résiduelles obtenues sont de deux à trois fois plus grandes pour le troisième jeu de données

(recueilli en mode cinématique) que celles obtenues avec le premier jeu de données qui

avait été recueilli en mode statique. Pour les deux jeux de données les magnitudes des

facteurs DOP étaient semblables et le même récepteur avait été utilisé. À ce moment, la

précision des accélérations planimétriques obtenue en mode cinématique serait de deux à

trois fois moins bonne que celle obtenue en mode statique. Ainsi, une précision des

accélérations planimétriques de 5 dm/s2 serait obtenue en mode cinématique avec

l’utilisation des observations δδφ traitées en mode absolu, à une fréquence de 10 Hz et

avec une pondération en fonction du rapport signal/bruit. À une fréquence de 1 Hz, une

précision des accélérations planimétriques meilleure que 1 cm/s2 est attendue en mode

cinématique.

La figure 5.11 illustre les magnitudes des vitesses planimétriques du patineur (figure 5.4)

superposées aux magnitudes des accélérations planimétriques (figure 5.10) pour la

séquence de cinq secondes.

90

Figure 5.11 : Vitesses et accélérations planimétriques calculées en mode absolu

à partir des mesures δδφ .

Sur la figure 5.11, les lignes pointillées indiquent chacun des pics d’accélération permettant

ainsi d’identifier le moment où la poussée du patineur était la plus puissante. D’une

poussée à l’autre, ce moment correspond à l’instant où la vitesse de l’athlète est à mi-

chemin entre la vitesse minimale et la vitesse maximale, soit un peu moins de 9,4 m/s. Il

existe également une excellente corrélation entre les moments où l’accélération est nulle et

les instants où la vitesse est constante, c’est-à-dire lorsque la vitesse est maximale ou

minimale.

5.3 Filtrage des accélérations Deux techniques de filtrage ont été testées afin d’éliminer une partie du bruit qui contamine

les vitesses et les accélérations calculées. Les paragraphes qui suivent présentent

uniquement les résultats du filtrage des accélérations puisque lorsque la fréquence

d’acquisition est élevée, les accélérations sont beaucoup plus bruitées que les vitesses.

Un quatrième jeu de données a permis de mettre à l’essai et de comparer les deux

techniques de filtrage. La première est la moyenne mobile et elle consiste à estimer

91

l’accélération à une époque donnée à partir d’une moyenne de la valeur calculée à cette

époque avec celles des époques voisines. La seconde technique de filtrage testée est la

transformée de Fourier. Le théorème de Fourier stipule qu’il est possible d’exprimer une

série temporelle par une sommation de fonctions sinusoïdales de différentes fréquences. La

transformée de Fourier permet de connaître les fréquences dominantes qui composent une

série temporelle. Par exemple, la cadence des poussées d’un patineur de vitesse est la

fréquence dominante dans une série temporelle des vitesses du patineur. Lorsque les

fréquences dominantes sont connues, il est possible d’éliminer les autres fréquences qui

peuvent être engendrées par le bruit des mesures. Cette méthode est très intéressante

lorsqu’une série temporelle est stationnaire, c.-à-d. que les fréquences qui composent le

signal ne changent pas en fonction du temps. Pour le patinage de vitesse, les vitesses et les

accélérations du patineur sont des séries temporelles stationnaires lorsque celui-ci conserve

la même cadence. Lors du parcours d’une courbe, la technique et la cadence du patineur ne

sont cependant pas les mêmes que lorsqu’il parcourt un segment droit. À ce moment, il est

nécessaire de fractionner un jeu de données en segments afin de dissocier les vitesses et les

accélérations sur un segment droit de celles dans une courbe.

Les signaux des magnitudes des vitesses et des accélérations du quatrième jeu de données

GPS sont des exemples de signaux où la cadence du patineur est très évidente. Ce jeu de

données a été enregistré le 11 mars 2004 à l’anneau de glace Gaétan-Boucher. La session

est d’une durée de 38 secondes, soit le temps nécessaire à l’athlète pour effectuer un tour

complet de l’anneau. Les données brutes ont été collectées sans masque d’élévation à une

fréquence d’acquisition de 20 Hz avec un récepteur GPS NovAtel DL4 double fréquence.

Pour ce jeu de données, le facteur NDOP est de 1,2 et le facteur EDOP est de 0,7. La figure

5.12 présente les magnitudes des vitesses planimétriques et des accélérations

planimétriques du patineur obtenues en mode absolu selon les méthodes δφ et δδφ . Le

traitement a été effectué à un taux d’échantillonnage de 10 Hz avec une pondération des

observations en fonction des mesures du rapport signal/bruit et un masque d’élévation de

10˚ a été appliqué.

92

Figure 5.12 : Vitesses planimétriques et accélérations planimétriques pour un tour complet

de l’anneau, calculées à partir des mesures δφ et δδφ à un taux d’enregistrement de 10 Hz.

La figure 5.12 montre que la vitesse moyenne du patineur a diminué lors du parcours du

segment droit est de l’anneau, mais que sa vitesse moyenne a augmenté de près d’un m/s

lors du parcours de la courbe nord. Au segment droit ouest de l’anneau, la vitesse moyenne

du patineur a diminué sensiblement de la même amplitude que pour le segment droit est.

Enfin, le patineur a conservé sa vitesse moyenne au passage de la courbe sud. La cadence

du patineur peut se mesurer par le nombre de pics de vitesse ou d’accélération par seconde.

Ce jeu de données montre que la cadence du patineur est plus rapide lorsqu’il parcourt une

courbe que lors du passage d’un segment droit. Dans les courbes, il semble aussi que la

magnitude de la décélération suite à une poussée est moins grande pour une jambe que pour

l’autre. Les sections qui suivent présentent, pour ce jeu de données, les résultats obtenus

suite au filtrage des accélérations avec chacune des deux techniques.

93

5.3.1 Moyenne mobile La technique de la moyenne mobile ou de l’anglais « moving average » permet de filtrer

l’accélération à une époque donnée à partir d’une moyenne de l’accélération calculée à

cette époque et de celles calculées aux époques voisines. La figure 5.13 présente les

magnitudes des accélérations planimétriques brutes du segment droit ouest de l’anneau,

tandis que la figure 5.14 illustre les magnitudes des accélérations planimétriques filtrées

avec une moyenne mobile sur trois époques.

Figure 5.13 : Accélérations planimétriques brutes pour le segment droit ouest de l’anneau

de glace.

Figure 5.14 : Accélérations planimétriques filtrées avec la technique de la moyenne mobile

sur trois époques.

La moyenne mobile entraîne un lissage des accélérations puisque les changements

d’accélérations rapides s’estompent et la magnitude des accélérations maximales et

minimales diminue. Une moyenne des accélérations crée le même effet qu’une diminution

94

du taux d’enregistrement. C’est-à-dire que la précision s’améliore, mais les accélérations

obtenues sont des accélérations moyennes sur un intervalle de temps plus long.

5.3.2 Transformée de Fourier La transformée de Fourier a ensuite été appliquée à la série temporelle des accélérations

planimétriques brutes pour le segment droit ouest. Les calculs relatifs à la transformée de

Fourier ont été effectués à l’aide de l’environnement de calculs techniques MatLab 6.5

[MathWorks, 2006]. La figure 5.15 donne le spectre des fréquences contenues dans cette

série temporelle tel que calculé avec la transformée de Fourier.

Figure 5.15 : Spectre des fréquences composant le signal des

magnitudes des accélérations planimétriques pour le segment droit ouest de l’anneau.

Tel qu’indiqué sur la figure 5.15, la fréquence qui domine est de 0,78 Hz. Cette fréquence

est la cadence du patineur et elle signifie qu’il exécute 0,78 poussée par seconde ou plutôt

une poussée à toutes les 1,3 secondes. Deux autres fréquences près de 1,5 Hz et 2,3 Hz se

démarquent aussi de l’ensemble des fréquences. Par la suite, il est nécessaire de distinguer

les fréquences qui décrivent l’accélération réelle de l’athlète de celles qui sont causées par

le bruit des mesures. Les mesures prises durant la séquence de 38 secondes par un second

récepteur GPS statique, identique à celui transporté par l’athlète, ont permis de mieux faire

ressortir l’accélération réelle due au mouvement du patineur. L’antenne de ce second

récepteur était immobile (accélération nulle) et située au centre de l’anneau de glace. Les

accélérations calculées pour ce récepteur sont alors uniquement causées par les erreurs et le

bruit qui affectent les mesures δδφ . La figure 5.16 présente le spectre des fréquences

95

contenues dans le signal des magnitudes des accélérations planimétriques du récepteur

immobile durant la séquence de 38 secondes.

Figure 5.16 : Spectre des fréquences composant le signal des

magnitudes des accélérations planimétriques lorsque l’antenne du récepteur GPS est statique.

Sur la figure 5.16, une légère partie des accélérations planimétriques, lorsque le récepteur

est immobile, est composée des fréquences entre 2 Hz et 3Hz, mais ce sont principalement

les fréquences de plus de 3 Hz qui composent le bruit des accélérations planimétriques. Le

spectre des fréquences de la figure 5.15 a été tronqué afin de conserver uniquement les

fréquences de moins de 3 Hz. La figure 5.17 montre les magnitudes des accélérations

planimétriques obtenues à partir du spectre tronqué.

Figure 5.17 : Accélérations planimétriques filtrées avec la technique de la transformée de

Fourier en conservant uniquement les fréquences de moins de 3 Hz.

96

Comparativement à la moyenne mobile, la transformée de Fourier a permis de mieux

conserver la magnitude des accélérations maximales et minimales ainsi que de diminuer

l’intensité du bruit par rapport aux accélérations brutes présentées à la figure 5.13.

5.4 Vitesses et accélérations obtenues avec un récepteur GPS bas de gamme

Les récepteurs GPS bas de gamme de type Garmin ont été présentés à la section 2.4.

L’avantage d’utiliser un récepteur Garmin plutôt qu’un autre fabricant est qu’il est possible

d’extraire les mesures brutes enregistrées par ce récepteur à l’aide des programmes

« async » et « gar2rnx » [gar2rnx, 2001]. Le programme « async » permet de lire les

mesures GPS brutes d’un récepteur Garmin et de les enregistrer dans un format binaire sur

un ordinateur personnel. Le deuxième programme « gar2rnx » permet de convertir le

fichier binaire en un fichier RINEX contenant les mesures de code, Doppler et de phase sur

la bande L1. Les mesures de phase extraites d’un récepteur Garmin permettent ensuite de

former les observations δφ et δδφ afin de calculer les vitesses et les accélérations de

l’antenne du récepteur.

5.4.1 Résultats en mode statique Le cinquième jeu de données GPS a été collecté le 14 mars 2005 et a permis de comparer la

précision des vitesses et des accélérations obtenues avec un récepteur Garmin à celles

calculées avec les mesures prisent par un récepteur NovAtel. Tel qu’illustré sur la figure

5.18, ce cinquième jeu de données comprend les mesures provenant de trois récepteurs

GPS.

97

Figure 5.18 : Équipements GPS lors de la cueillette des jeux de données du 14 mars 2005.

Deux récepteurs Garmin GPS 48 ont été utilisés afin d’évaluer le gain potentiel obtenu sur

les précisions des vitesses et des accélérations avec l’utilisation d’une antenne simple

fréquence Marconi. Pour l’antenne Marconi, la position du centre de phase est connue plus

précisément que celle d’une antenne bas de gamme comme l’antenne hélicoïdale d’origine

du récepteur Garmin. L’antenne Marconi offre aussi un meilleur gain de l’antenne et une

plus grande résistance aux multitrajets qu’une antenne hélicoïdale. Les mesures des trois

récepteurs ont été recueillies simultanément pendant une durée de sept minutes lorsque le

véhicule était immobile. Les données brutes ont été collectées sans masque d’élévation à

une fréquence d’acquisition de 1 Hz. Pour ce jeu de données, la moyenne du facteur NDOP

est de 1,1 et la moyenne du facteur EDOP est de 0,7. Les vitesses et les accélérations des

antennes ont été calculées en mode absolu selon les méthodes δφ et δδφ avec un masque

d’élévation de 10˚ et une fréquence d’acquisition de 1 Hz. Une pondération des

observations en fonction des mesures du rapport signal/bruit a été effectuée pour les

mesures prisent avec le récepteur NovAtel. Une pondération en fonction des angles

d’élévation des satellites a été appliquée aux observations obtenues avec les récepteurs

Garmin puisque les mesures du rapport signal/bruit ne sont pas disponibles pour ce type de

98

récepteur. Le tableau 5.9 et le tableau 5.10 présentent les précisions des vitesses

planimétriques et des accélérations planimétriques obtenues pour chacun des récepteurs.

Tableau 5.9 : Précisions des vitesses planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz pour le récepteur NovAtel et les récepteurs Garmin.

NovAtel Garmin (antenne Marconi)

Garmin (antenne d’origine)

Moyenne ¹ (cm/s)

0,3

0,7 0,6

Précision ² (cm/s)

0,3 0,8 0,7

Tableau 5.10 : Précisions des accélérations planimétriques en mode statique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz pour le récepteur NovAtel et les récepteurs Garmin.

NovAtel Garmin (antenne Marconi)

Garmin (antenne d’origine)

Moyenne ¹ (cm/s2)

0,0

0,0 0,0

Précision ² (cm/s2)

0,3 1,0 0,9

¹ La moyenne est la magnitude du vecteur moyen des vecteurs vitesse, ou accélération, planimétrique obtenus (la valeur théorique est de 0).

² La précision est l’écart type, par rapport à 0 à 1σ (68% des cas), des magnitudes des vecteurs vitesse, ou accélération, planimétrique.

Les précisions obtenues avec les récepteurs bas de gamme Garmin sont environ trois fois

moins bonne que celles obtenues avec le récepteur haut de gamme NovAtel. Les mesures

de phase sont en effet moins précises avec les récepteurs Garmin. Une importante

différence entre un récepteur haut de gamme et un récepteur bas de gamme réside au niveau

de la qualité des circuits électroniques et de l’horloge du récepteur. Par exemple, pour le

cinquième jeu de données la valeur moyenne des erreurs d’horloge avec le récepteur

NovAtel était de l’ordre de 0,1 μs tandis qu’elle était au-dessus de 10 ms pour les

récepteurs Garmin.

99

5.4.2 Résultats en mode cinématique Le sixième jeu de données a permis de déterminer les précisions des vitesses et des

accélérations calculées à partir des mesures prises par les récepteurs Garmin lorsqu’ils sont

en mouvement. Ce jeu de données a été collecté le 14 mars 2005. Il est d’une durée de 32

secondes et contient les mesures enregistrées par les trois récepteurs GPS illustrés sur la

figure 5.18. Pendant cette séquence, le véhicule se trouvait sur l’autoroute et suivait une

trajectoire rectiligne. Afin de comparer précisément les vitesses et accélérations obtenues

des différents récepteurs, il est essentiel que le véhicule n’effectue pas de virage. Les trois

antennes n’étant pas fixées au même endroit sur le toit du véhicule, de légères variations de

vitesse et d’accélération entre les antennes sont perceptibles dans les courbes. Au début de

la séquence, la vitesse du véhicule était supérieure à 90 km/h et vers la fin de la séquence,

le véhicule subit une décélération afin d’emprunter une sortie de l’autoroute. Pour ce jeu de

données, la moyenne du facteur NDOP est de 1,1 et la moyenne du facteur EDOP est de

0,8. Les vitesses et les accélérations des antennes ont été calculées en mode absolu selon

les méthodes δφ et δδφ avec un masque d’élévation de 10˚ et une fréquence d’acquisition

des mesures de 1 Hz. Une pondération des observations en fonction des mesures du rapport

signal/bruit a été effectuée pour les mesures prises avec le récepteur NovAtel. Pour les

récepteurs Garmin, une pondération en fonction des angles d’élévation des satellites a été

appliquée aux mesures puisque ce type de récepteur ne procure pas d’information sur le

rapport signal/bruit. La figure 5.19 illustre les vitesses planimétriques et les accélérations

planimétriques obtenues avec chacun des récepteurs pour le sixième jeu de données.

100

Figure 5.19 : Vitesses planimétriques et accélérations planimétriques du véhicule, sur

une trajectoire rectiligne, calculées à partir des mesures δφ et δδφ obtenues du récepteur NovAtel et des récepteurs Garmin.

Le tableau 5.11 et le tableau 5.12 présentent les écarts entre les magnitudes des vitesses et

des accélérations obtenues des récepteurs Garmin par rapport aux magnitudes des vitesses

et des accélérations de référence calculées avec le récepteur NovAtel. Tandis que la figure

5.20 illustre ces écarts de magnitudes en fonction du temps.

Tableau 5.11 : Écarts des magnitudes des vitesses planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles obtenues du récepteur NovAtel.

Garmin (antenne Marconi)

Garmin (antenne d’origine)

Moyenne ¹ (cm/s)

0.3 0.3

Écart type ² (cm/s)

0.4 0.4

101

Tableau 5.12 : Écarts des magnitudes des accélérations planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles obtenues du récepteur NovAtel.

Garmin (antenne Marconi)

Garmin (antenne d’origine)

Moyenne ¹ (cm/s2)

-0,1

0,0

Écart type ² (cm/s2)

0.8

0.6

¹ La moyenne des écarts de magnitudes des vitesses ou des accélérations par rapport à celles obtenues avec le récepteur NovAtel.

² L’écart type à 1σ (68% des cas) des écarts de magnitudes des vitesses ou des accélérations par rapport à celles obtenues avec le récepteur NovAtel.

Figure 5.20 : Écarts entre les magnitudes des vitesses planimétriques et des

accélérations planimétriques obtenues des récepteurs Garmin par rapport à celles calculées avec le récepteur NovAtel.

Les vitesses et les accélérations planimétriques du sixième jeu de données ont été obtenues

en mode cinématique à une fréquence d’acquisition de 1 Hz. Mentionnons également que

les écarts types du tableau 5.11 et du tableau 5.12 ne donnent pas les précisions réelles des

vitesses et des accélérations obtenues à partir des récepteurs Garmin. Les écarts de

102

magnitudes des vitesses et des accélérations contiennent les erreurs aléatoires engendrées

par le récepteur NovAtel en plus de celles engendrées par le récepteur Garmin. D’autre

part, la différence des magnitudes des vitesses et des accélérations entraîne l’élimination

des erreurs systématiques communes entre les récepteurs Garmin et le récepteur NovAtel.

Bien que le centre de phase de l’antenne Marconi est connu plus précisément que celui de

l’antenne d’origine du récepteur Garmin, les résultats précédents prouvent, en mode

cinématique comme en mode statique, que l’utilisation de l’antenne Marconi n’apporte pas

de gain de précision au niveau du calcul des vitesses ou des accélérations. Les mesures δφ

et δδφ sont en effet affectées par la variation temporelle du centre de phase de l’antenne et

non par l’erreur du centre de phase elle-même. Un des facteurs provoquant la variation

temporelle du centre de phase est le changement des angles d’élévation des satellites.

Zhang et al. [2003] affirment, suite à différents tests réalisés en mode cinématique, que la

précision des vitesses planimétriques obtenues avec un récepteur bas de gamme est de 4,4

cm/s (68% des cas). Les vitesses étaient calculées à partir de différences temporelles de

positions échantillonnées à un taux de 1 Hz. Selon le tableau 5.11, à une fréquence

d’acquisition de 1 Hz, l’écart type des vitesses planimétriques calculées en mode

cinématique à partir de mesures de phase extraites d’un récepteur bas de gamme par rapport

aux vitesses planimétriques obtenues d’un récepteur de type géodésique est d’environ 0,4

cm/s (68% des cas). Ces derniers résultats montrent que les récepteurs GPS bas de gamme

offrent une possibilité intéressante pour obtenir des vitesses et des accélérations précises à

faible coût.

Chapitre 6

Conclusions et recommandations

Ce chapitre résume les principales conclusions relatives à la détermination d’une stratégie optimale pour obtenir à haute fréquence les vitesses et les accélérations d’un athlète à partir de mesures GPS. Par la suite, deux systèmes de mesure de performances sportives sont recommandés. En dernier lieu, des suggestions de travaux futurs sont exposées afin d’améliorer globalement l’efficacité des systèmes de mesure de performances sportives par GPS.

6.1 Conclusions Les premiers tests pour le calcul des positions et des vitesses d’un athlète à partir de

mesures GPS ont seulement eu lieu au cours des dernières années. Les entraîneurs

d’équipes sportives n’ont ainsi qu’une très vague idée de l’apport d’un système de mesure

de performances par GPS. Le grand avantage de cette nouvelle technique est d’offrir des

mesures de performance à très haute résolution temporelle comparativement aux méthodes

couramment utilisées par les équipes sportives. Par exemple, un récepteur GPS NovAtel

permet d’obtenir 20 mesures par seconde tandis que l’utilisation d’un chronomètre en

patinage de vitesse donne souvent qu’une seule vitesse moyenne pour un tour entier de

104

piste. Les informations cinématiques recueillies à haute résolution temporelle permettent

d’apprécier des séquences de mouvement qui ne pouvaient pas être étudiées auparavant et

qui, dans la majorité des cas, ne sont pas perceptibles à l’œil nu. Ces nouvelles

informations sur les performances sportives sont en effet très révélatrices sur les forces et

faiblesses d’un athlète et amènent déjà plusieurs réflexions et débats à l’intérieur de la

communauté sportive.

La réalisation de ce projet a permis de concevoir l’ensemble des composantes d’un système

optimal de mesure de performances sportives par GPS. Le premier module permet

l’acquisition des données GPS. Il est composé des équipements GPS ayant été adaptés

pour être facilement transportés par l’athlète. Le deuxième module comprend le logiciel de

traitement développé dans le cadre de cette recherche. Ce programme permet le calcul

précis des vitesses et des accélérations à partir des mesures GPS enregistrées par le

récepteur. Finalement, le dernier module permet d’éliminer une partie du bruit qui

contamine les vitesses et les accélérations à l’aide de techniques de filtrage.

Cette recherche a aussi permis de tester et de comparer différentes stratégies d’acquisition

et de traitement de données GPS. Pour mettre à l’épreuve ces différentes stratégies, plus

d’un gigaoctet de données GPS brutes ont été saisies lors de tests terrain effectués en modes

statique et cinématique. La majorité des données cinématiques ont été collectées en

patinage de vitesse et quelques tests ont été effectués en cyclisme sur piste, en patinage à

roues alignées, en ski de fond, en ski alpin ainsi qu’en voiture.

L’analyse de plusieurs jeux de données, dont ceux présentés dans ce rapport, a conduit à

plusieurs conclusions. Les paragraphes qui suivent présentent celles reliées à la

détermination de la méthodologie d’acquisition et de traitement de données GPS qui

procure des vitesses et des accélérations de meilleures précisions possibles avant filtrage.

1) Pour un même mode de traitement (absolu ou relatif) et une même fréquence

d’acquisition des mesures, les vitesses et les accélérations calculées avec la

méthode des mesures de phase donnent de meilleurs résultats qu’avec la méthode

des mesures Doppler ou la méthode des positions.

105

2) Pour une fréquence d’acquisition des mesures plus élevée que 1 Hz, les méthodes

directes (méthode des mesures de phase et méthode des mesures Doppler) utilisées

en mode relatif dégradent les précisions des vitesses et des accélérations d’environ

40% comparativement à celles obtenues en mode absolu.

3) Le bruit des vitesses obtenues avec la méthode des mesures de phase ou la méthode

des positions subit une augmentation proportionnelle à l’augmentation de la

fréquence d’acquisition des mesures. Cependant, le bruit des vitesses obtenues avec

la méthode des mesures Doppler n’est pas affecté par la fréquence d’acquisition des

mesures.

4) Le bruit des accélérations obtenues avec la méthode des mesures de phase ou la

méthode des positions subit une augmentation proportionnelle au carré de

l’augmentation de la fréquence d’acquisition des mesures. Le bruit des

accélérations obtenues avec la méthode des mesures Doppler subit une

augmentation proportionnelle à l’augmentation la fréquence d’acquisition des

mesures.

5) Une pondération en fonction de l’angle d’élévation du satellite apporte un gain des

précisions des vitesses et des accélérations d’environ 12% par rapport à une

pondération où toutes les observations ont le même poids et qu’un masque

d’élévation de 10˚ est appliqué. Une pondération en fonction du rapport signal/bruit

est encore plus efficace avec une amélioration des précisions des vitesses et des

accélérations d’environ 18%.

Les résultats relatifs aux techniques de filtrage présentées à la section 5.3 permettent

d’affirmer que la transformée de Fourier est une technique intéressante pour diminuer le

bruit des vitesses et des accélérations d’un athlète qui exécute des mouvements répétitifs

avec une cadence constante.

106

6.2 Recommandations Cette étude a permis d’identifier deux systèmes de mesure de performances sportives par

GPS. Le premier système est orienté vers une solution performante qui permet de mesurer

à haute fréquence et le plus précisément possible les vitesses et les accélérations d’un

athlète pratiquant un sport extérieur. Le deuxième système est fort intéressant puisque le

coût, la dimension et le poids des équipements GPS sont largement inférieurs au premier

système. Ce second système est par contre moins précis et offre une fréquence

d’acquisition moins élevée que la solution performante.

6.2.1 Premier système : la solution performante Ce système est composé du logiciel de traitement développé dans le cadre de ce projet et

d’un seul récepteur géodésique simple fréquence permettant une fréquence d’acquisition

d’au moins 10 Hz. Un récepteur double fréquence n’est en effet d’aucune utilité pour la

correction de la variation temporelle du délai ionosphérique elle-même. Comme présentée

à la section 3.5.4, la combinaison de la bande L1 et de la bande L2 pour former une bande

sans effet ionosphérique crée une amplification du bruit des mesures plus importante que la

magnitude de la correction de l’effet ionosphérique.

Ce système offre, avant filtrage, des vitesses planimétriques en mode cinématique avec une

précision de 2 à 3 cm/s à une fréquence d’acquisition de 10 Hz. À une fréquence

d’acquisition de 1 Hz, une précision de 1 cm/s ou mieux est attendue en mode cinématique.

Ces précisions sont obtenues à partir de différences temporelles de trois mesures de phase

sur L1 (δφ ) traitées en mode absolu avec à une pondération en fonction du rapport

signal/bruit. La précision des accélérations planimétriques, avant filtrage, en mode

cinématique est de l’ordre de quelques dm/s2 à une fréquence d’acquisition de 10 Hz et elle

est meilleure que 1 cm/s2 à une fréquence d’acquisition de 1 Hz. Ces précisions sont

obtenues de doubles différences temporelles de trois mesures de phase sur L1 (δδφ )

traitées en mode absolu avec à une pondération en fonction du rapport signal/bruit. Les

positions sont précises à quelques mètres avec l’utilisation des corrections WAAS. Pour

obtenir une précision centimétrique des positions, il faudrait modifier le système afin

d’utiliser deux récepteurs GPS double fréquence (un récepteur mobile et un récepteur de

107

référence). Un logiciel commercial permettant de fixer les ambiguïtés de phase devrait

aussi être acheté. Les coûts relatifs à l’équipement GPS passeraient alors de 6 850 $ US à

22 400 $ US [NovAtel, 2006]. Il faudrait aussi ajouter approximativement 5 000 $ US

pour l’achat d’un logiciel commercial [Waypoint, 2006]. Le tableau 6.1 présente la fiche

technique du système de mesure de performances sportives où les précisions des vitesses et

des accélérations sont priorisées.

Tableau 6.1 : Fiche technique de la solution performante.

Composante Poids (kg)

Coût ($ US)

Récepteur géodésique GPS simple fréquence NovAtel avec option WAAS

1,07 6 500

Antenne GPS profilée simple fréquence Marconi 0,10 350 Carte mémoire 128 Mo - 40 Batteries 12 V, 1,1 Ah 0,59 15 Sac à dos 0,92 75 Logiciel de traitement des vitesses et des accélérations développé dans le cadre du projet

- -

Total (arrondi) 2,7 7 000 ($ US) 8 000 ($ CA)

6.2.2 Deuxième système : la solution économique Sachant que le budget d’une équipe sportive est limité et que pour certaines disciplines

sportives les besoins en termes de précisions et résolutions temporelles peuvent être moins

élevés, une solution plus économique peut s’avérer très avantageuse. La solution

économique est composée du logiciel de traitement développé dans le cadre de cette étude

et d’un récepteur bas de gamme Garmin GPS 18 permettant une fréquence d’acquisition de

5 Hz [Garmin, 2006]. Il faut aussi ajouter un ordinateur de poche qui permet d’exécuter le

programme « async » afin d’extraire et d’enregistrer les observations brutes mesurées par le

récepteur. Avec le récepteur GPS 18, Garmin est l’un des premiers fabricants à mettre sur

le marché un récepteur GPS bas de gamme avec un taux d’échantillonnage de plus de 1 Hz.

Les progrès sont très rapides dans ce domaine et des récepteurs GPS peu dispendieux et

permettant une fréquence d’acquisition de 10 Hz ou plus devraient être disponibles dans les

prochaines années. Une fréquence d’acquisition de 5 Hz est tout de même très intéressante

particulièrement si les vitesses sont calculées à partir d’une différence temporelle de deux

108

mesures de phase plutôt que de trois mesures de phase (voir section 3.4). Tel qu’illustré sur

la figure 6.1, le récepteur et l’antenne GPS sont intégrés dans un même boîtier de la forme

d’une rondelle de six centimètres de diamètre et de deux centimètres de hauteur et d’un

poids de seulement 54 grammes.

Figure 6.1 : Récepteur Garmin GPS 18 avec une fréquence d’acquisition de 5 Hz [Garmin,

2006].

Tel que présenté à la section 5.4, un récepteur Garmin bas de gamme utilisé en mode

cinématique et à un taux d’échantillonnage de 1 Hz permet à une probabilité de 68% une

précision des vitesses planimétriques meilleure que 2 cm/s ainsi qu’une précision des

accélérations planimétriques meilleure que 2 cm/s2. Ces précisions sont obtenues à partir

des mesures δφ et δδφ qui ont été formées à partir des mesures de phase extraites du

récepteur. Les mesures δφ et δδφ ont été traitées en mode absolu avec à une pondération

en fonction de l’angle d’élévation de chacun des satellites. Bien que le récepteur Garmin

GPS 18 n’ait pas été testé lors de cette recherche, il est possible d’émettre des prédictions

sur les précisions des vitesses et des accélérations pouvant être obtenues à une fréquence

d’acquisition de 5 Hz. Les tableaux 5.1 à 5.3 montrent le ratio de perte de précisions causé

par une augmentation de la fréquence d’acquisition. Selon ce ratio, des précisions de 3 à 4

cm/s pour les vitesses planimétriques et de quelques dm/s2 pour les accélérations

planimétriques sont réalistes. Avec cette solution économique, la précision des positions

est meilleure que trois mètres (95% des cas) avec l’utilisation des corrections WAAS

[Garmin, 2006]. Le tableau 6.2 présente la fiche technique de la solution économique.

109

Tableau 6.2 : Fiche technique de la solution économique.

Composante Poids (kg)

Coût ($ US)

Récepteur bas de gamme Garmin GPS 18 à 5 Hz, simple fréquence et avec option WAAS

0,16 (avec câble)

200

Ordinateur de poche (Pocket PC) 0,15 200 Sac de taille 0,10 50 Prototype d’extraction des mesures de phase du récepteur GPS

- -

Logiciel de traitement des vitesses et des accélérations développé dans le cadre du projet

- -

Total 0,41 450 ($ US) 510 ($ CA)

Bien que cette solution offre une précision de deux à trois fois moins bonne que la solution

performante, la solution économique demeure une avenue intéressante. Ce système est en

effet très léger et son coût d’achat est 16 fois moins élevé que la solution performante. De

plus, la dimension de l’équipement GPS (qui peut loger dans le creux de la main) plaira aux

athlètes. D’ici à ce que des récepteurs GPS bas de gamme permettent une fréquence

d’acquisition de 10 Hz, la solution économique offre tout de même une fréquence

d’acquisition de 5 Hz. Cette fréquence peut suffire pour mesurer les performances

d’athlètes pratiquant des sports pour lesquels les variations de vitesses sont moins rapides

que pour le patinage de vitesse. Par exemple, la solution économique peut être utilisée pour

des sports comme le cyclisme sur route ainsi que le cyclisme sur piste.

6.3 Travaux futurs À la suite de ce projet, de nouvelles recherches pourraient être effectuées afin d’offrir un

système de mesure de performances sportives qui permettrait un positionnement de l’ordre

du décimètre ou mieux en utilisant qu’un seul récepteur GPS. Les techniques de

positionnement en mode absolu ou positionnement ponctuel de précision (PPP) sont de plus

en plus raffinées et très prometteuses pour le futur. Le lancement graduel à partir de 2008

d’une nouvelle génération de satellites GPS permettra l’ajout d’une troisième fréquence

civile, connue sous le nom de L5. La bande L5 apportera ainsi deux nouvelles

combinaisons de phase, avec les bandes L1 et L2, qui faciliteront la résolution des

ambiguïtés de phase même en mode absolu.

110

Des investigations ont été réalisées au cours de cette étude afin de tenir compte de l’effet

des corrélations mathématiques engendrées par les différences temporelles des mesures de

phase. Le programme développé dans le cadre du projet avait été modifié afin d’utiliser

une matrice de poids prenant en considération les corrélations mathématiques entre les

mesures d’époques successives. Les tests réalisés ont montré qu’une pondération avec

cette matrice n’avait pas d’impact sur le calcul des vitesses et des accélérations, mais que

les précisions associées à ces quantités étaient légèrement plus élevées. Les précisions

étant obtenues de la matrice de variances-covariances créées lors de la compensation par

moindres carrés. Une investigation plus approfondie devrait être faite afin de confirmer ces

résultats préliminaires. Un avantage à utiliser cette pondération est qu’elle permettrait un

filtrage des observations à la source plutôt qu’au niveau des résultats des vitesses et des

accélérations.

Différents tests pourraient être réalisés afin de mesurer l’effet des variations temporelles

des multitrajets sur le calcul des vitesses et des accélérations du récepteur. Il serait d’autant

plus intéressant de connaître l’impact des variations temporelles des multitrajets lorsque les

mesures δφ sont recueillies à haute fréquence dans un milieu avec une forte présence de

multitrajets. Il serait intéressant de comparer les vitesses et les accélérations obtenues en

mode statique de deux sessions différentes, mais collectées au même endroit et ayant la

même constellation GPS. Lors de la première session un environnement riche en

multitrajets serait volontairement créé. Lors de la seconde session, le jour suivant et quatre

minutes plus tôt que le jour précédent, l’environnement serait libre de multitrajets.

Lorsque des séries temporelles de vitesses ou d’accélérations ne sont pas stationnaires, une

analyse en ondelette, de l’anglais « wavelet analysis », pourrait être effectuée afin de filtrer

les vitesses et les accélérations. La particularité de l’analyse en ondelette est que les

différentes fréquences qui composent la série temporelle sont fonction du temps, permettant

ainsi d’exprimer adéquatement une série temporelle non-stationnaire.

L’outil de mesure de performances sportives par GPS développé dans le cadre de cette

étude pourrait être plus complet avec quelques ajouts. Il serait intéressant d’intégrer

d’autres senseurs qui permettraient de fournir de l’information physiologique et mécanique.

111

Par exemple, un senseur du rythme cardiaque ainsi qu’un senseur permettant de connaître la

pression exercée par un patineur de vitesse sur les semelles de ses patins.

L’ajout d’un accéléromètre couplé à un système inertiel miniaturisé MEMS (Micro Electro

Mechanical Systems) pourrait améliorer les précisions des vitesses et particulièrement des

accélérations calculées à haute fréquence.

L’ajout d’un module de gestion, de diffusion et d’analyse des données de performances

pourrait aussi être très utile pour compléter le système de mesure de performances. Cette

application permettrait aux entraîneurs de visualiser et d’analyser facilement les positions,

les vitesses et les accélérations d’un athlète pour plusieurs entraînements, courses ou

segments particuliers. À ce sujet, un projet utilisant le SOLAP (Spatial On-Line Analytical

Processing) a été réalisé au Centre de recherche en géomatique de l’Université Laval par

Mélanie Lambert [Lambert, 2005]. Le SOLAP permet aux entraîneurs d’obtenir

facilement et rapidement des statistiques concrètes afin de connaître précisément la

performance d’un athlète et surtout les variations de cette performance à l'intérieur d'une

course, dans le temps (jours, semaines, années) et par rapport à d’autres athlètes.

Finalement, au rythme auquel la technologie des récepteurs GPS évolue, il sera

probablement possible au cours des prochaines années de se procurer des récepteurs GPS

bas de gamme permettant une fréquence d’acquisition de 10 Hz. À ce moment, les

entraîneurs et équipes sportives pourront profiter d’un système de mesure de performances

sportives compact, léger, peu dispendieux et offrant une résolution temporelle élevée.

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Annexe A

Calcul de la position et de la vitesse d’un satellite à partir des paramètres orbitaux radiodiffusés

Cette annexe présente explicitement les composantes du vecteur position du satellite obtenues à partir des paramètres orbitaux émis par le satellite. Le développement menant à la détermination de la vitesse instantanée du satellite à partir de la dérivation temporelle du vecteur position du satellite est ensuite exposé. Les vitesses instantanées des satellites peuvent ensuite être utilisées pour le calcul de la vitesse radiale instantanée entre le récepteur et un satellite GPS tel que présenté à la section 3.3.1. D’autre part, les positions des satellites sont nécessaires à tous les calculs de vitesses et d’accélérations radiales présentés dans cette étude.

A.1 Calcul de la position instantanée d’un satellite La position d’un satellite GPS peut s’exprimer à l’aide des paramètres orbitaux contenus

dans le message radiodiffusé par les satellites. Le « GPS Interface Control Document »

(ICD-GPS-200) est un document fournissant les équations nécessaires aux calculs de la

position d’un satellite dans le système de coordonnées terrestre moyen (TM). Ce document

est distribué sur le site Web de la Garde côtière américaine [ICD, 2006]. Ces paramètres

sont représentatifs d’un arc d’orbite de deux heures. Les 16 paramètres orbitaux

117

nécessaires aux calculs des positions des satellites sont présentés dans les lignes qui suivent

en utilisant la même notation que celle du document ICD-GPS-200.

oet : temps de référence des paramètres orbitaux (compté en secondes depuis le début de la semaine GPS) ;

2/1)(A : racine carrée du demi grand axe ;

0M : anomalie moyenne au temps oet ; nΔ : correction au mouvement moyen ;

e : excentricité de l’orbite ; ω : argument du périgée ;

0i : inclinaison du plan orbital au temps de référence oet ; i : taux de variation temporelle de l’inclinaison du plan orbital ;

ucc : coefficient du polynôme (terme en cosinus) de la correction à l’argument de latitude ;

usc : coefficient du polynôme (terme en sinus) de la correction à l’argument de latitude ;

rcc : coefficient du polynôme (terme en cosinus) de la correction au rayon orbital ;

rsc : coefficient du polynôme (terme en sinus) de la correction au rayon orbital ;

icc : coefficient du polynôme (terme en cosinus) de la correction à l’inclinaison ;

isc : coefficient du polynôme (terme en sinus) de la correction à l’inclinaison ;

0Ω : « longitude » du nœud ascendant au temps de référence oet ; et Ω : taux de variation temporelle de la « longitude » du nœud ascendant. Les étapes de calculs de la position d’un satellite sont les suivantes :

1) Calcul de la différence de temps ( kt ) entre le temps ( t ) où la position du satellite est

désirée et le temps de référence des paramètres orbitaux ( oet ) :

oek ttt −= (A.1)

2) Calcul de l’anomalie moyenne ( kM ) avec l’équation suivante :

( )0k kM M n n t= + + Δ (A.2)

où 3

GMnA

= ; et (A.3)

GM : constante gravitationnelle géocentrique tel que définie dans le « World Geodetic System (WGS-84) ».

118

3) Résolution itérative de l’équation de Kepler pour déterminer l’anomalie excentrique

( kE ). L’équation de Kepler est :

kkk EeEM sin−= (A.4)

4) Ensuite, le calcul de l’anomalie vraie ( kv ) peut s’effectuer avec l’équation suivante :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=eEEev

k

kk cos

sin1arctan2

(A.5)

5) L’argument de latitude ( ku ), le rayon orbital ( kr ), l’inclinaison ( ki ) ainsi que la

« longitude » du nœud ascendant ( kΩ ) sont calculés de la façon suivante :

)(2sin)(2cos kuskuckk vcvcvu +++++= ωωω (A.6)

)(2sin)(2cos)cos1( krskrckk vcvcEeAr ++++−= ωω (A.7)

)(2sin)(2cos0 kiskickk vcvctiii +++++= ωω (A.8)

oeekek tt Ω−Ω−Ω+Ω=Ω )(0 (A.9)

où eΩ est la vitesse de rotation de la Terre telle que définie dans le WGS-84.

6) Finalement, la position du satellite ( Sx ) au temps t dans le système TM se calcule

de la façon suivante :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−Ω−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00)()()()(k

kZkXkZ

k

k

kS

ruRiRR

zyx

tx (A.10)

Explicitement, les composantes du vecteur position du satellite dans le système TM

s’expriment comme suit :

kkkkkkkk iururx Ω−Ω= sincossincoscos (A.11)

119

kkkkkkkk iurury Ω+Ω= coscossinsincos (A.12)

kkkk iurz sinsin= (A.13) ou bien,

kkORkk

ORkk iyxx Ω−Ω= sincoscos (A.14)

kkORkk

ORkk iyxy Ω+Ω= coscossin (A.15)

kORkk iyz sin= (A.16)

dans lesquelles ORkx et OR

ky sont les composantes du vecteur position du satellite

représenté dans le système orbital. Ces composantes sont définies de la façon

suivante :

kkORk urx cos= (A.17)

kkORk ury sin= (A.18)

A.2 Calcul de la vitesse instantanée d’un satellite Les composantes du vecteur vitesse instantanée du satellite ( Sx ) peuvent s’obtenir par la

dérivation temporelle des composantes du vecteur position du satellite ( Sx ) [Remondi,

2004].

Composante kx :

Sachant que :

cos cos sinOR ORk k k k k kx x y i= Ω − Ω (A.14)

alors

cos sinOR ORk k k k k kx x x= Ω − Ω Ω

( cos sin )sin cos cosOR OR ORk k k k k k k k k ky i y i i y i− − Ω − Ω Ω (A.19)

cos ( cos sin )sinOR OR ORk k k k k k k k kx x y i y i i= Ω − − Ω

( sin cos cos )OR ORk k k k k kx y i− Ω + Ω Ω (A.20)

120

Par la suite, puisque le terme kz (équation (A.16)) et le terme ky (équation (A.15)) se

retrouve dans l’équation (A.20), kx devient :

kkkkkkORkk

ORkk yiziyxx Ω−Ω−−Ω= sin)cos(cos (A.21)

Composante ky :

Sachant que :

kkORkk

ORkk iyxy Ω+Ω= coscossin (A.15)

alors

sin cosOR ORk k k k k ky x x= Ω + Ω Ω

( cos sin )cos cos sinOR OR ORk k k k k k k k k ky i y i i y i+ − Ω − Ω Ω (A.22)

sin ( cos sin )cosOR OR OR

k k k k k k k k ky x y i y i i= Ω + − Ω ( cos cos sin )OR OR

k k k k k kx y i+ Ω − Ω Ω (A.23)

Les termes kz et kx (équations (A.16) et (A.14)) permettent ensuite de simplifier

l’équation (A.23), c.-à-d. :

kkkkkkORkk

ORkk xiziyxy Ω+Ω−+Ω= cos)cos(sin (A.24)

Composante kz :

Sachant que :

kORkk iyz sin= (A.16)

kkORkk

ORkk iiyiyz cossin += (A.25)

Les dérivées temporelles des paramètres orbitaux composant kx , ky et kz qui n’ont pas été

données précédemment sont définies par les équations suivantes :

121

Calcul de kE :

Sachant que :

kkk EeEM sin−= (A.4) et

( )0k kM M n n t= + + Δ (A.2) alors

kkkk EEeEM cos−= (A.26)

k

kk Ee

ME

cos1−= (A.27)

et ainsi

1 coskk

n nEe E+ Δ=

− (A.28)

Calcul de kv :

Sachant que :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=eEEev

k

kk cos

sin1arctan2

(A.5)

alors

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+−−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−−+

= 2

22

22 )(cos

sin1sincos1)(cos

cossin11

1eE

EeEEEEeeE

eEEe

vk

kkkkkk

k

k

k (A.29)

)cos1)(1()(cos1sincos1)(cos

222

222

kk

kkkkkk EeeE

eEEEEeeEv−−+−

−+−−= (A.30)

kkkk

kkkkkkkk EeEeeEeE

eEEeEEEeeEeEv 222222

222222

coscos1cos2cos1cos1cos11cos

+−−++−−−−+−−−= (A.31)

2

2

)cos1()cos1(1

k

kkk Ee

EeeEv

−−−

= (A.32)

122

et finalement en remplaçant kE par sa valeur (équation (A.28)) et en simplifiant les termes :

2

2

)cos1)(cos1()cos1(1)(

kk

kk EeEe

Eeennv

−−−−Δ+

= (A.33)

2

2

)cos1(1)(

kk Ee

ennv−

−Δ+= (A.34)

Calcul de ku :

Sachant que :

)(2sin)(2cos kuskuckk vcvcvu +++++= ωωω (A.6) alors

kkuskkuckk vvcvvcvu )(2cos2)(2sin2 +++−= ωω (A.35)

Calcul de kr :

Sachant que :

)(2sin)(2cos)cos1( krskrckk vcvcEeAr ++++−= ωω (A.7) alors

kkrskkrck

kk vvcvvcEe

nnEAer )(2cos2)(2sin2cos1

sin +++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ+= ωω (A.36)

Calcul de ki :

Sachant que :

)(2sin)(2cos0 kiskickk vcvctiii +++++= ωω (A.8) alors

kkiskkickk vvcvvcitii )(2cos2)(2sin2 +++−+= ωω (A.37)

puisque la magnitude de i est négligeable et n’est pas incluse dans les paramètres orbitaux

émis par les satellites GPS, ki devient :

123

kkiskkick vvcvvcii )(2cos2)(2sin2 +++−= ωω (A.38)

Calcul de kΩ :

Sachant que :

oeekek tt Ω−Ω−Ω+Ω=Ω )(0 (A.9)

alors kek tΩ+Ω−Ω=Ω (A.39)

puisque la magnitude de Ω est négligeable et n’est pas incluse dans les paramètres orbitaux

émis par les satellites GPS, kΩ devient :

ek Ω−Ω=Ω (A.40)

Calcul de ORkx et OR

ky :

Sachant que :

kkORk urx cos= (A.17)

et kk

ORk ury sin= (A.18)

alors

kkkkkORk uururx sincos −= (A.41)

k

ORkkk

ORk uyurx −= cos (A.42)

ainsi que

kkkkkORk uurury cossin += (A.43)

k

ORkkk

ORk uxury += sin (A.44)

Annexe B

Accélération le long d’une trajectoire circulaire

Cette annexe présente le calcul de l’accélération d’un mobile le long de sa trajectoire circulaire (accélération longitudinale). Les résultats présentés aux sections 5.2.2 et 5.3 sont des accélérations longitudinales de patineurs de vitesse. Pour les entraîneurs, il est intéressant de connaître l’accélération de l’athlète le long de sa

trajectoire (accélération longitudinale). Par contre, l’accélération calculée à partir de

mesures GPS est l’accélération totale de l’athlète. Cette accélération ne contient pas

uniquement l’accélération longitudinale de l’athlète, mais aussi l’accélération transversale

permettant le virage de l’athlète. Par exemple, lorsqu’un patineur de vitesse parcourt une

courbe de l’anneau de glace Gaétan-Boucher, une portion importante de l’accélération

mesurée par GPS est causée par l’accélération transversale nécessaire au virage de l’athlète

dans la courbe. La figure B.1 illustre à un instant donné le vecteur vitesse (v ) et le vecteur

accélération totale ( Ta ) d’un athlète, représenté par le point noir, dans une courbe de

l’anneau de glace. Les composantes du vecteur accélération totale sont également

125

présentées soit : le vecteur accélération transversale ( a⊥ ) permettant le changement

d’orientation du vecteur vitesse et le vecteur accélération longitudinale ( La ) provoquant

une variation temporelle de la longueur algébrique du vecteur vitesse de l’athlète.

Figure B.1 : Géométrie relative à l’accélération d’un patineur de vitesse dans une courbe.

Le vecteur accélération longitudinale ( La ) est parallèle au vecteur vitesse ( v ) et la

longueur algébrique de l’accélération longitudinale ( ( )Ll a ) est donnée par le produit

scalaire du vecteur accélération totale avec le vecteur unitaire du vecteur vitesse, c.-à-d. :

( )L Tvl a av

= ⋅ (B.1)

Lorsque l’accélération totale est calculée à partir des mesures provenant de trois époques

successives ( 1t , 2t et 3t ), le vecteur accélération longitudinale à l’époque 2t est parallèle au

vecteur vitesse à l’époque 2t . La longueur algébrique de l’accélération longitudinale à

l’époque 2t s’obtient comme suit :

( ) 22 2

2

( )( ) ( )( )L T

v tl a t a tv t

= ⋅ (B.2)