Dyn_en_exo

Exercices de dynamique du point, avec énergie I81.

Départ arrêté, une automobile de masse m = 1000 kg parcourt = 400 m en T = 16 s, avec une accélération constante. L’air freine la voiture avec une force constante Ff = 700 N. Quelle est la force motrice Fm subie par l’automobile ? Qui applique cette force motrice à l’automobile ? Quel est le travail produit par le moteur pendant T ? II84.

α 1

2

h= 0,1 m

g = 9,8 m.s–2. Les deux corps 1 et 2 de masses m1 = 1 kg et m2 = 2 kg sont liés par un fil qui

passe dans la gorge d'un poulie idéale de masse négligeable et d’axe fixe. Le corps 1 glisse sans frottement sur un plan incliné sur l'horizontale d'un angle α = 30°. On lâche le système sans vitesse initiale.

1) Calculer les accélérations prises par les deux corps, la tension T du fil et la force exercée par le plan incliné sur le corps 1.

2) Calculer les vitesses des deux corps lorsque le corps 2 heurte le sol. 3) Le corps 2 s'immobilise alors et le fil se détend. Quelle distance le corps 1 parcourt-il encore avant de s'arrêter ?

III38. Plan incliné et frottement. Lancé sur un plan incliné de α = 30° à la vitesse v0 = 7 m/s, un corps parcourt = 4 m avant de s'arrêter et de

redescendre. 1) A quelle vitesse repasse-t-il à son point de départ si le frottement obéit à la loi de Coulomb ? 2) Quel est le coefficient de frottement du corps sur le plan incliné ?

IV43. Chute freinée par l’air. Pesanteur g = 10 m.s–2. Un mobile pesant de masse m se meut verticalement ; on note z son altitude et v sa vitesse à l'instant t. L'air exerce

sur lui une force de freinage Ff de module kv2 , où k est une constante positive. 1) Ecrire l'équation différentielle satisfaite par v(t) pour une phase du mouvement : a) ascendante ; b) descendante. 2) Un des mouvements possibles a lieu à vitesse constante. Dans quel sens ? Quelle est l'expression de la valeur

absolue v1 de sa vitesse ? Pour un mouvement quelconque, que représente v1 ? 3) On suppose dorénavant v1 = 100 m/s. On lance à l'instant 0 le mobile depuis l'altitude 0 avec la vitesse v0 dirigée

vers le haut, et on ne s'intéresse qu'à la phase ascendante du mouvement. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par v(t) en fonction des seuls paramètres v1 et g.

4) En déduire une expression de t en fonction de v . On utilisera 2 arctan1du uu=

+∫ et un changement de variable

approprié. 5) Calculer le temps tM mis par le mobile pour atteindre son altitude maximale. AN : v0 = 100 m/s. 6) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour une variation élémentaire dz de l'altitude. 7) En déduire la relation entre z et v. On utilisera un changement de variable approprié pour intégrer. 8) Calculer l'altitude maximale zM atteinte. AN : v0 = 50 m/s. 9) Calculer la fraction α d'énergie cinétique transformée en chaleur au cours de la montée. AN : v0 = 100 m/s.

V58. Pendule. Un point matériel pesant de masse m est attaché par un fil de longueur L à un point fixe O. Soit θ l'angle du fil avec

la verticale. On lâche ce mobile alors que le fil est tendu et horizontal.

1) Exprimer ddtθθ = en fonction de θ , L et de la pesanteur g .

2) Exprimer la période T du mouvement en fonction de L et g . On donne : 20

2,62cosdxx

π

=∫ .

VI24. Deux boules dans l’Espace (d’après mines de Douai 1974). Deux boules homogènes ont même rayon a/4, même masse volumique ρ = 7800 kg m–3 et même masse m ; dans un

référentiel galiléen, leurs centres O, fixe et M, mobile, sont sur un axe Ox aux abscisses 0 et x > 0. La seule force appliquée à la boule de centre M est la force gravitationnelle exercée par l’autre boule. Cette force est

la même que si l’on remplaçait les boules par deux points matériels O et M, chacun situé au centre de la boule correspondante et de même masse que la boule.

1) Exprimer la mesure sur Ox de la force subie par M en fonction de m, x, et de la constante de la gravitation G = 6,67 10–11 N m2 kg–2.

Exercices de dynamique, avec énergie, page 1

2) A l'instant 0, l'on abandonne avec une vitesse nulle la boule mobile, son centre M étant à l'abscisse a. Exprimer sa vitesse quand M se trouve à l'abscisse x.

3) Calculer l'instant t pour lequel M se trouve à l'abscisse x. On donne :

( ) ( )3/2 1 arctan 11 1dx x x a

f x aa a x

x a

⎡ ⎤= = − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦−∫

4) Que vaut quand les boules se heurtent ? Exprimer l’instant du choc en fonction de G et ρ. x 1t5) Calculer numériquement . 1t6) En réalité, il n’y a pas de raison que la boule de centre O reste immobile. Ecrire l'équation différentielle du second

ordre à laquelle obéit la distance x entre les centres des deux boules. Montrer que cette équation se déduit de celle qu'on a étudié jusque maintenant en y remplaçant G par 2G. En déduire l’instant où ces deux boules se heurtent. Application numérique : la même qu'en 5).

2t

7) Le choc entre les boules est élastique. Décrire qualitativement leur mouvement ultérieur. Indiquer un temps caractéristique de ce mouvement.

8) On suppose au contraire que le choc est mou, la moitié de l’énergie cinétique étant convertie en chaleur par le choc. Décrire qualitativement le mouvement ultérieur.

VII52. Un projectile P de masse m est lancé d’un point O vers le haut avec la vitesse . Il monte d’une hauteur , puis

retombe en O avec la vitesse . 0v 1z

2vOn note l’accélération de la pesanteur. Outre le poids, le projectile est soumis à la force de freinage par l’air g

2f kv= proportionnelle au carré de sa vitesse v .

1) Soit a et b deux constantes. Montrer que 1 lndx ax bax b a

= ++∫ .

2) Si ce corps était en chute dans l’air depuis très longtemps, sa vitesse tendrait vers une vitesse limite v . Exprimer la constante k en fonction de , et v . m g

3) Soit z OP= l’abscisse de P pendant la montée sur un axe orienté vers le haut. Exprimer le théorème de l’énergie cinétique pour un petit déplacement en fonction de dz , , v , v , g . ( )2d v

4) En déduire une expression de en fonction de v , g et . 1z 0v5) Soit P1 le point le plus haut. Pendant la descente, on repère P par 1x P P= mesuré sur un axe orienté vers le bas.

Exprimer le théorème de l’énergie cinétique pour un petit déplacement en fonction de dx , , , v , . ( )2d v v g6) En déduire x en fonction de v , g et v . 7) En déduire la vitesse de retombée en O. 2v8) Justifier les limites de cette expression pour : a) ; 0v vb) . 0v v9) Commenter l’inégalité entre et . 2v 0v

VIII3. Un mobile P coulisse dans un tube fin d’équation en coordonnées cylindriques r et z h , z étant l’altitude

et R et h deux constantes positives. Le tube exerce sur P une force dont la composante parallèle au tube est opposée au mouvement et a une valeur déterminée

R= = θ

f s’il y a mouvement. On abandonne le mobile en A ( ). Au bout de combien de temps parvient-il en B ( ) ? Discuter selon la valeur de

4θ = π0θ = f .

IX39. Force de marée. P

OO

θ

On donne ( )cos 54,74 1/ 3° = . Soit G la constante de la gravitation, la masse du Soleil, O et S les

centres de la Terre et du Soleil, le point courant, D , r , SM

P OS= OP=( ,OS )OPθ = . La force massique f de marée due au Soleil au point dérive

de l’énergie potentielle massique

P

( )2 2

3

3 cos 1

2S

pGM r

eD

θ −= − .

S

1) Calculer les coordonnées sphériques ( ), ,rf f fθ ϕ de f .

2) Pour quelle valeur, en degrés, de comprise entre 0 et 0θ θ 90° f est-il horizontal ?


3) Compléter le tableau qui suit par les expressions des composantes de la force massique de marée : θ 0 0θ /2π 0π − θ π

( )3/ /r sf GM r D

( )3/ /sf GM r Dθ

4) Reproduire la figure ci-dessus et y dessiner f aux cinq positions correspondantes.

X39. Projectile freiné par l’air, d’après ENAC pilotes 1981. L'espace est repéré par rapport à un trièdre fixe Oxyz de vecteurs unitaires kji ,, (Oz axe vertical ascendant). Le

champ de gravitation terrestre est considéré comme uniforme et noté g g= − k . Soit trois constantes positives. On considère un mobile de masse , que l'on assimilera à un point matériel,

lancé du sommet d’une montagne O au temps

, ,b c h m

0=t avec une vitesse initiale 0v bi c= + k . On admet que la force de résistance de l'air, dans le domaine considéré, est de la forme −hv où v est la vitesse du mobile.

1) Montrer que le mouvement est plan. 2) Déterminer en fonction de b , c , g , du temps t et des quantités u m et τ les composantes de /g h= = /m h

v . 3) Exprimer en fonction des mêmes grandeurs les coordonnées du mobile. 4) Donner une signification aux quantités u m et τ . /g h= = /m h5) Montrer que la trajectoire admet une asymptote. On suppose la montagne assez élevée et escarpée pour que la

retombée au sol ne se produise que quand le mobile est très proche de cette asymptote. 6) On appelle hodographe le lieu du point P tel que OP v= . Déterminer la forme de l’hodographe et ses deux

extrémités, A correspondant au lancer et B au mouvement asymptotique. 7) A quel point de l’hodographe correspond le sommet de la trajectoire ? Exprimer la vitesse v à ce sommet en

fonction de b , c et u . s

8) A quel point de l’hodographe correspond le minimum v de la norme de la vitesse ? Exprimer v en fonction de b , c et u .

min min

9) A présent, on suppose que la force de résistance de l’air, toujours opposée à la vitesse, est fonction croissante, mais non nécessairement linéaire, de cette vitesse. Montrer, en utilisant le théorème de la puissance cinétique, que le minimum de la vitesse a lieu après le sommet de la trajectoire.


XI29. O1O2 est un segment vertical de longueur 2 . Soit I son milieu. Un petit corps, de masse , qu’on assimile à un point matériel M, glisse sur une piste située dans un plan vertical et

formée de deux arcs de cercle de même rayon r , de centres O

rm

1 et O2 et se raccordant en I. On lâche M sans vitesse au point M0 situé à l'altitude au-dessus de I. On repère la position de M par son altitude z par rapport à I ou par

hx IH=

<>

2=

1−=

= dt

compté positivement vers le bas, H étant la projection de M sur O1O2, ou par l’angle que fait la normale à la piste avec la verticale.

θ

O1

M1h M0 I

O2

h

r

r

1) M glisse sans frottement et décolle au point M1 d'altitude − . h1.a) Exprimer la vitesse de M en fonction de . x1.b) Exprimer la réaction R de la piste sur M si x en fonction de θ , v et des constantes du problème. 01.c) Exprimer la réaction de la piste sur M si x en fonction de et des constantes du problème. R 0 x1.d) Calculer . /h r2) M glisse avec frottement et décolle à l'altitude − . Montrer que, si h r , alors h h . h ′ / 0, ′ >

XII28. Variation de la masse du Soleil. Vitesse de la lumière : c ; masse initiale du Soleil : ; durée initiale de l’année :

; masse de la Terre : m .

83.10 m.s 300 2.10 kgM =

70 3,16.10 sT =1) La masse m d’un corps est liée à son énergie E par la formule . Par conséquent, le Soleil, qui rayonne

avec la puissance , voit sa masse M varier au cours du temps t . Exprimer dM .

2E mc=264.10 wattsP /

2) Cette variation est assez lente pour qu’on puisse considérer l’orbite de la Terre comme un cercle dont le centre est le Soleil et dont le rayon r ne varie que très lentement. Déduire de la loi fondamentale de la dynamique une relation entre M , r , la constante de la gravitation G et la vitesse v de la Terre.

3) Pourquoi ne peut-on pas écrire à priori que la somme de l’énergie cinétique de la Terre et de son énergie potentielle de gravitation reste constante au cours du temps ?

4) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à un petit déplacement, écrire une relation entre dr et dv . 5) En déduire que rv reste constant au cours du temps.

6) Justifier autrement cette conservation en appliquant le théorème du moment cinétique. 7) Exprimer v en fonction de sa valeur initiale , de M et de la valeur initiale de M . 0v 0M8) Exprimer r en fonction de sa valeur initiale , de M et de . 0r 0M9) Exprimer la durée de l’année T en fonction de sa valeur initiale , de M et de . 0T 0M10) Calculer la différence entre la durée d’une année et celle de la précédente ? T∆11) Quel autre motif fait décroître la masse du Soleil ? 12) En pratique, pourquoi la durée de l’année varie ?

XIII49. Rayon de la Terre ; pesanteur à sa surface . 66, 4.10 mR = 29, 8m.sg −=On considère que tout point matériel de masse situé à l'intérieur de la Terre, à une distance r du centre C de la

Terre supérieure à , est attiré par le centre de la Terre avec une force dirigée vers le centre de la Terre et de valeur constante en module mg .

m/2R

1) Quelle est l'énergie potentielle associée à cette force, en la prenant nulle à la surface de la Terre ?

2) On considère (cf. fig. 5) un tunnel rectiligne ne passant pas par C et traversant la Terre. La distance du tunnel au centre de la Terre est et on note la longueur du tunnel. Un corps de masse m s’y meut sous la seule action de la pesanteur et en l’absence de frottement. Décrire qualitativement son mouvement dans le tunnel, s’il est abandonné sans vitesse initiale à la surface de la Terre.

66,2.10 mCH d= = 02x

3) Calculer sa vitesse maximum dans ce mouvement. 4) Quel est l’ordre de grandeur (le calcul rigoureux est difficile) de la durée d’un voyage entre les deux extrémités du

tunnel s’il est effectué de la sorte ? 5) Quel est l’intérêt de ce mode de transport ? Quelle est sa plus grande difficulté de réalisation ?

Réponses I. 2

2 3825Nm fmF FT

= + = appliquée par le sol ; . 61,53.10 Jm mW F= =

II. 1) , 1 cos 8, 49NR m g= α = 2 1 2

2 1

sin4,9m.s

m ma g

m m−− α= =

+ et ;

2) ; 3)

( )2 9, 8NT m g a= − =

10,99m.sv −=2

0,1m2 sinvxg

= =α

.

III. 21 04 sin 5,4m/sv g v= − =α ;

20 tan 0,144

2 cosv

fg

= − =αα

.

IV. 1) a) 2dvm mgdt= − − kv ; b) 2dvm m ; 2) vers le bas ; g kv

dt= − + 1

mgv est la limite de la vitesse quand

le temps t tend vers l’infini ; 3)

k=

2

21

1dv ; 4) vgdt v

⎛ ⎞⎟⎜= − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠1 0

1 1arctan arctan

v v vg v v⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠t ; 5) 1 7, 85 s

4M

vt ;

6)

gπ

= =

2 212( ) ( )v mg kv dz= − +d m ; 7)

2 21 1

21

ln2v v v20

2g v v+=+

z ; 8)21 ln2 347m2Mv

z ; 9) g

= =20

20

230,7%Mv gz

v−= =α .

V. 1) 2 cosd ; 2) D’où gdt= ±θ θ 10,48

2T .

g=

VI. 1) 2

2GmF ; 2) x

= − ( )1 12v G ; 3) m

x a= − −

( )

2f xt ; 4) Gm

= −2ax ; = ( )1

3 22

t ;

5) t ; 6)

G= π +

πρ

=1 4926 s ( )2 2

2 22d x Gmm ; dt x

= − 2 1 / 2 3483 st t ; 7) période 2 ; 8) au bout d’un certain temps les

boules s’immobilisent au contact l’une de l’autre.

= = t2

VII. 2) 2mg

kv

= ; 3) ( )2

2

22 1

d vdz ; 4)

vgv

= −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

2 20

1 2ln 12v v

z ; 5) g v

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠( )2

2

22 1

d vdx ;

vgv

=⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

6) 2 2

2ln 12v v

x ; 7) g v

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 2

2 20

11 1

v ; 8.a) v ; 8.b) ; 9) v v .

v v

=+

v 0 <2 2v v 2 0


VIII.

2 2 2 2

8t gh fR h m R h

π=−

+ +

si 2

mghf

R h<

+ 2, sinon le mobile reste immobile.


IX. 1) ( )2

3

3 cos 1srGM r

fD

θ −= ; 3

3 cos sinsGM rfDθ

θ θ= − ;

0fϕ = ; 2) . 54,74θ = °X. 2) ; ( )exp /x b t= − τ

( ) ( )exp /z u c u t= − + + − τ ; 3) ( )( )1 exp /x b t= τ − − τ ;

( ) ( )( )1 exp /z ut c u t= − + + τ − − τ ; 4) durée d’évolution de la vitesse ; u vitesse limite ;

5) lim ; 6) segment AB ; A ( ; B ( ; 7) S ;

τ

t x b→∞ = τ ) ),b c 0, u− Sbu

vc u

=+

; 8) H ;

( )min 2 2

buv

b c u=

+ + ; 9) voir corrigé .

θ S

x

H S

A

B

O

XI.. 1.a) La conservation de l’énergie s’écrit : ( )2v g h x= + ; 1.b) 2

cosvR m mgr

= + θ ;

1.c) ( )2 3mg r h xR

r− −= ; 1.d)

5rh = .

XII. 1) 2dM Pdt c= − ; 2) 2 GMv

r= ; 3) l'énergie potentielle doit être une fonction de la seule position ;

4) dr dvr v

− = ; 7) 00

Mv v

M= ; 8) 0

0Mr rM

= ; 9) 20

0 2MT TM

= ; 10) 2

62

2 4, 4.10 sPTTMc

−∆ = ; 11) Le vent

solaire ; 12) actions exercées sur la Terre par les astres autres que le Soleil. XIII. 1) ; 2) il oscille entre les deux extrémités du tunnel ;

3)

(pE mg r R= − )

( ) 1max 2 1980m.sv g R d −= − = ; 4) 0

max

2 3200 s/2xt

v≈ = ; 5) très rapide ; mais pression trop grande.

Corrigé I.

2 22 2

1 2 2 400 3,125m.s2 16

x at aT

−×= = = = .

700 1000 3,125 3825Nm f m fF F ma F F ma− = ⇒ = + = + × = . Cette force est appliquée par le sol aux roues motrices. Si la transmission est une machine simple idéale, qui conserve le travail, le moteur fournit le travail de la force

motrice . 63825 400 1,53.10 Jm mW F= = × =

II. 1) Comme la longueur du fil est constante, les deux corps ont à chaque instant même déplacement, donc même

vitesse et même accélération. En leur appliquant la loi fondamentale de la dynamique : . 1 1 1 2sin cos 0T m g m a R m g m g T m a− α = − α = − = 2

D’où la réaction du plan incliné , 1 cos 8, 49NR m g= α = 2 1 2

2 1

sin4,9m.s

m ma g

m m−− α= =

+ et la tension du fil

. ( )2 9, 8NT m g a= − =

2) ( )2 12 2

1 0,99m.s2m v m g T h v −= − ⇒ = .

3) 2

21 1

10 sin2 2

vm v m gx xg

− = − α ⇒ = =α

0,1msin

.

III. Projetons sur la normale au plan incliné la loi fondamentale de la dynamique : cosnR mg ma R mg α+ = ⇒ = Selon la loi de Coulomb du frottement solide, la composante tangentielle de la réaction du plan incliné est

. cosntR fR fmg α= =

Résolution 1. Cette composante est constante en valeur absolue, donc son travail est le même à la montée et à la descente.

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à ces deux phases successives : fW

212 0

2 21 12 2 01 1

2 21201

0 sin

0 sin sin sin

4 sin 4 9,8 4 7 5,4m/s

f

f

mv mg W

mv mg W mv mg mg mv

v g v

α

α α

α

− = − +

− = + + ⇒ = + −

= − = × × × − =

212α

212 0 2 2

0

sin7 1

tan 0,144cos cos 2 cos 3 32 9, 8 4

2

f

t

n

W mv mgvR

fR mg mg g

α

αα α α

−−

= = = = − = − =× × ×

Résolution 2. Le théorème de l’énergie cinétique entre le lancer et l’arrêt s’écrit :

212 0

2 20

0 sin cos

7tan tan 30 0,1442 cos 2 9,8 4 cos 30

mv mg fmg

vf

g

α α

αα

− = − −

= − = − ° =× × °

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre le lancer et le retour : 2 21 1

2 2 01

2 201

2 2 cos

4 cos 7 4 0,144 9, 8 4 cos 30 5, 4m/s

tmv mv R fmg

v v fg

α

α

− = − = −

= − = − × × × × ° =

IV. 1) a) 2dvm mg

dt= − − kv ; b) 2dvm mg

dt= − + kv .

2) La vitesse est constante si elle est dirigée vers le bas et vaut 1

mgvk

= ; représente la limite de la vitesse

quand le temps t tend vers l’infini. 1v

3) 2

21

1dv vgdt v

⎛ ⎞⎟⎜= − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠


4) Posons . 1 1/u v v dv v du= =

0

1 1 12 2

121

1 1 0

1 1 1

1 arctan arctan11

arctan arctan arctanv

v

v v vdv du vt ug v g u g g v

v

v v vv vtg v g v v

= − = − = − = − +++

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥= − = − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ cste

5) 1 7, 85 s4M

vt

gπ

= = .

6) 2 212( ) ( )d mv mg kv dz= − +

7) 2

2

21

( )

2 1

d vz

vgv

= − ⎛ ⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫ ⎞ qui s’intègre en faisant le changement de variable 22

2 21 1

( )1

d vvu duv v

= + = .

0

2 2 21 1

21

2 2201 1

2 21 1

ln 12 2

ln 1 ln2 2

v

v

v vdu vz cg u g v

v vvzg v g v

⎛ ⎞⎟⎜= − = − + +⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎡ ⎛ ⎞⎤ +⎟⎜⎢ ⎥= − + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎢ ⎥ +⎝ ⎠⎣ ⎦

∫2 21

2

ste

v vv

8) Si ,0v =2 21 100 ln2ln2 347m

2 20M

vz z

g= = = = .

9) L’énergie 212mv mgz+ n’est pas conservée, elle passe de 21

2 0mv à ; la fraction convertie en chaleur est Mmgz21

2 021

2 0

1 ln2 30,7%Mmv mgzmv

α−

= = − = .

V. 1) La conservation de l’énergie 21

2mv mgz+ entre le lâcher et une position quelconque s’écrit

2 212

2cos 0 cosd gm mgdtθθ θ− = ⇒ = ± θ .

2) En une période, le pendule décrit deux allers et deux retours de la verticale à l’horizontale. D’où /2

010, 48

4 2 cosT d

dt Tg g

π θθ

= = =∫ ∫ 2.

VI.

1) 2

2GmFx

= − .

2) On peut :

• soit appliquer le théorème de l’énergie cinétique : ( )22 21 1

2

xx

a a

Gmmv Fdx Gmx x

1a

⎡ ⎤⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

• soit exploiter l’existence de l’énergie potentielle 2

pGmEx

= − et la conservation de l’énergie

2 221

2Gm Gmmvx a

− = − .

Comme la boule mobile est attirée par l’autre boule, sa vitesse est négative, d’où ( )1 12v Gm

x a= − − .

3) ( ) ( )[ ]( )1 1

1 12 2x x

a a

dx dx dx f xv t f x f a

dt v Gm Gm Gmx a

= = = − = − − = −−

∫ ∫ 2 puisque ( ) 0f a = .

4) Les boules se heurtent quand 2ax = . D’autre part, ( )

3343 4 48a am πρ= π ρ = et ( ) (3/2 1

2 4a

f aπ= − + )2 . D’où

( ) ( )3

1 31 3

2 .4 2 2

248

at

GaG

π= + = π +πρπρ

.


5) ( )1 113 2 4926 s

2 7800 6,67.10t −= π + =

π× ×.

6) Le centre de masse des deux boules, situé en leur milieu, est fixe et les deux boules se meuvent symétriquement par rapport à ce centre. Si x est la distance entre les deux boules, leurs abscisse sont et la loi fondamentale de la

dynamique est :

x±

( )2 2

22d x Gmdt x

= −2m au lieu de 2 2

2d x Gmmdt x= − 2 . Le mouvement se déduit donc de celui qu'on a

étudié jusque maintenant en y remplaçant G par 2G. D’où l’instant du choc 2 1 / 2 3483 st t= = . 7) Si le choc entre les boules est élastique, il est réversible et change les vitesse des boules en l’opposé. Les deux

boules rebondissent s’écartent symétriquement jusqu’à la distance a , puis recommencent le même mouvement, qui est périodique et a pour période . 22t

En pratique, un petit écart transversal est amplifié à chaque choc et le mouvement ne reste pas rectiligne et est probablement chaotique.

8) Si le choc est mou, les deux boules rebondissent avec une vitesse divisée par 2 et s’écartent de façon symétrique jusqu’à une distance inférieure, puis reviennent s’entrechoquer ; les chocs se succèdent, suivis à chaque fois d’un rebond plus petit, si bien qu’au bout d’un certain temps les boules s’immobilisent au contact l’une de l’autre.

VII.

1) Faisons le changement de variable u : ax b du adx= + =/ 1 1ln ln

du adx u axax b u a a

= = =+

b+∫ ∫

2) Si la vitesse tend vers une limite, la force totale tend vers zéro, soit 220mg

mg kv kv

− = ⇒ = .

3) ( ) ( ) ( )222 21

2 2 2

2

12 1

d vvd mv mg kv dz mg dz dz

v vgv

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − − = − + ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

4) ( )

00

02 2 2 220 01 2 22

2

ln 1 ln 12 2

2 1v

v

d v v v vvz

g gv vvgv

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟= − = − + = +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫

5) ( ) ( ) ( )222 21

2 2 2

2

12 1

d vvd mv mg kv dx mg dx dx

v vgv

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = − ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

6) ( )2 2 22 2

2 2200

2

1ln 1 ln 1

2 2 21

vv d v v vv v

xg g gv vv

v

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟= = − − = − −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

∫

7) 2 2 22 2 2

01 22 2 2 2 2 2 2

0 02 22 2 200

1 1 1ln 1 ln 1 1 1

2 2 1 11 1 1

v v vv v vx z v

g gv v v v v v vv vv v v

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⇒ − − = + − = = − = =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ++ + −

1

8.a) Si , . 0v v 2v v8.b) Si , . 0v v 2 0v v9) Entre le lancer et la retombée, le théorème de l’énergie cinétique donne 2 21 1

022 2mv mv W− = , où W , travail de la force totale est aussi le travail de la force de freinage, puisque le poids est une force conservative. Ce travail étant toujours négatif, . 2 0v v<


VIII. Supposons qu’il y a mouvement. Explicitons le théorème de la puissance cinétique :

( )

( )

( )

212

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0

( 0

d mvmg f v

dt

v R v R h mg v mgh f v f R h

h

m R h mgh f R h

= + ⋅

= θ = + θ ⋅ = − θ ⋅ = + θ θ <

θ

+ θθ = − θ + + θ

)

Éliminons la solution parasite , il reste 0θ = 2 2 2 2

gh fR h m R h

θ = − ++ +

.

( )0210 2

2 2 2 2

2 8t t gh fR h m R h

θ − θ πθ = θ + θ = =θ −

+ +

, valable si 2 2

mghf

R h<

+.

Sinon le mobile reste immobile.

IX.

1) ( )2

3 3

3 cos 1 1 3 cos sin 10

sinsp p s

rGM re e GM r

f f fr rD Dθ ϕ

θ −∂ ∂ θ θ= − = = − = − = − =∂ ∂θ

per

∂θ ∂ϕ

.

2) f est horizontal si 10 arccos 54,

3rf = ⇒ θ = = 74° .

θ S3)

θ 0 0θ /2π 0π − θ π( )3/ /r sf GM r D 2 0 –1 0 2

( )3/ /sf GM r Dθ 0 0 2+ 0 2− 4) Voir ci-contre.

X. D’après ENAC pilotes 1981.

L’équation du mouvement est dvmg hv mdt

− = , soit ⎪⎪⎨⎪

L’équation caractéristique commune à ces trois équations différentielles a pour racine r .

/ 0

/ 0

/

x x

y y

z z g

⎧⎪ + τ =⎪⎪+ τ =

⎪⎪ + τ = −⎪⎪⎩= − τ1/ 0r + τ = 1/

1) La solution générale de l’équation en y est ( )exp /y A . La condition initiale y donne A , d’où y y qui montre que le mouvement a lieu dans le plan xO .

t= − τ = =0cste y= = = =

)t= − τ b=t= − τ

0 0 0

00 z

2) La solution générale de l’équation en x est x B . La condition initiale x donne B b , donc x b .

(exp / 0 =( )exp /

La solution générale de l’équation en z est la somme de ( )exp /z C , solution générale de l’équation sans second membre et de la solution particulière z g . La condition initiale z c donne

, d’où

t= − τu C u= = −= − τ = − 0

C c u= + ( ) ( )exp /z u . c u t= − + + − τ

dt b t= = τ − − τ∫3) x x .

.

( )( )0

1 exp /t

( ) ( )( )0

1 exp /t

z zdt ut c u t= = − + + τ − − τ∫4) τ est l’ordre de grandeur de la durée d’évolution de la vitesse. u est la vitesse limite ; c’est la limite de la vitesse

quand t ; pour cette vitesse, le poids et la résistance de l’air se neutralisent. → +∞5) Quand t , x et z , donc x est une asymptote. → +∞ b→ τ → −∞ b= τ z

x

HS

A

B

O 6)

( )

( ) ( )( )exp /

exp /

x b t c u xzbz u c u t

⎧ = − τ⎪ +⎪⎪ ⇒ = −⎨⎪ = − + + − τ⎪⎪⎩u

)

qui est l’équation d’une droite. Quand t

augmente, x et varient de façon monotone (ils diminuent), donc l’hodographe est le segment qui joint le point A de coordonnées ( au point B de coordonnées ( ) .

z,b c 0, u−


7) Au sommet de la trajectoire, ; le sommet correspond au point S où l’axe Ox coupe l’hodographe. 0z =

Alors, ( ) ( ) ( )exp / 0 exp / Su b

u c u t t vc u c u

− + + − τ = ⇒ − τ = =+ +

u .

8) Le minimum de la vitesse correspond au point H, pied de la perpendiculaire abaissée de O sur l’hodographe.

( )( )

min 2 2sin , OH b buBO BH v

BO BA b c u= = ⇒ =

+ +.

Si l’on n’utilise pas l’hodographe, il faut considérer ( )( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 exp / exp /v x z b t u c u t= + = − τ + − + + − τ qui est une fonction de ( )exp /w t= − τ de la

forme où , et . Comme , cette fonction est

minimum quand sa dérivée s’annule, soit pour

2w wα + β + γ ( )2 2b c uα = + + ( )2u c uβ = − + 2uγ = 0α >

min 2w w β= = −

α :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2 2 222 2min 2 22 2

min 2 2

42 2 4 4

u c u u bv ub c u b c u

buvb c u

β β β += α − + β − + γ = γ − = − =α α α + + + +

=+ +

2

Il faut vérifier que le minimum calculé fait partie de l’intervalle physique de variation de w ; quand t varie de 0 à

l’infini, w varie de 1 à ; 0( )

( )min 2 2

u c uwb c u

+=+ +

qui est positif ; il est inférieur à 1 si

qui est toujours vérifié.

( ) ( )2 2u c u b c u+ < + +

9) ( ) ( )212 z

dmv mg R v mgv Rv

dt= + ⋅ = − − .

Tant que le mobile monte et jusqu’au sommet compris, , donc 0zv ≥ ( )210

2d

mvdt

< : la vitesse décroît. Par

conséquent, c’est après le passage par le sommet que la vitesse est minimum.

XI. 1.a) La conservation de l’énergie s’écrit : ( )21 2

2mv mgx mgh v g h x− = ⇒ = + .

1.b) Projetons la loi fondamentale de la dynamique sur la radiale : 2

cosvR mg ma R m mgr

+ = = + θ

1.c) De même ( )( )2 2 3cos 2v m r x mg rR m mg g h x mg

r r r r− − −= − + θ = − + + = h x .

1.d) Le mobile décolle quand , ce qui a lieu pour x , d’où 0R = h=5rh = .

2) A cause du frottement, l’énergie 212mv mgx− décroît, donc ( )2 21 2

2mv mgx mgh v g h x− < ⇒ < + .

La loi fondamentale de la dynamique s’écrit 2 2

cosv vR m mg m mgr r

−= − + θ = − + r xr

)

.

Le mobile décolle pour , soit . D’où 0R = (2v g r x= − ( ) ( )223

r hg r x g h x x x h−− < + > > (cqfd).

XII. 1) Le Soleil possède l'énergie , donc 2E Mc= 2dE dMP c

dt dt= − = − , d’où 9 1

2 4, 4.10 kg.sdM Pdt c

−= − = − .

2) F ou ma=2

2GMm vm

rr= , d’où 2 GMv

r= .

3) L'énergie potentielle n'existe pas parce que, la force étant fonction de la masse du Soleil, donc du temps, le travail dépend du temps, alors que l'énergie potentielle doit être une fonction de la seule position.

4) ( 212

F dr d mv⋅ = ) . La force est radiale, de mesure algébrique 2GMmr

− et le déplacement a pour composante

radiale dr ; d'où : 2GM dr vdvr

− = ; en éliminant GM , on obtient dr dvr v

− = .

5) En intégrant, il vient , soit rv , ou . ln lnr v cs− = + te cste ′= 0 0rv r v=

6) Si L r mv= ∧ , 0dL r Fdt= ∧ = car r et F sont parallèles. Par conséquent L rv

m= est constant au cours

du temps. Exercices de dynamique, avec énergie, page 10

7) En remplaçant r par 2GMv

, cette relation devient 02 20

GM GMv vv v= ou 0

0

Mv v

M= .

8) 00Mr rM

= .

9) 20

0 22 r MT Tv Mπ= = .

10)

( )( )( )

222 2 260 6

0 02 2 2 230 800 2

2 2 4.10 3,16.101 1 1 4, 4.102.10 3.10

M PT PTT T TM c McPTM

c

−−⎛ ⎞⎛ ⎞ × ×⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜∆ = − = − − = =⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜⎜⎜ ⎝⎝ ⎠ ⎠⎟ ×⎜ ⎟⎜ − ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

7s

)

.

11) Le vent solaire, qui éjecte de la matière dans l'espace. 12) La durée de l'année varie principalement à cause des actions exercées sur la Terre par les astres autres que le

Soleil, principalement la Lune et Jupiter.

XIII. 1) ( ) (; 0p p p pdE mg dr mgdr E mgr cste E r R E mg r R= − ⋅ = ⇒ = + = = ⇒ = −

2) Comme l’énergie cinétique ne peut être négative, le corps se déplace dans la région où son énergie, nulle à cause des conditions initiales, est supérieure à son énergie potentielle : il oscille entre les deux extrémités du tunnel.

3) C’est en C que l’énergie potentielle est minimum, donc que la vitesse est maximum. La conservation de l’énergie

donne ( ) ( ) ( )2 6 1max max

1 0 2 2 9, 8 6, 4 6,2 .10 19802mv mg d R v g R d −+ − = ⇒ = − = × × − = m.s

4) ( )2 2 2 2 6

0

max max

2 2 4 6,4 6,2 .10 3200 s 1heure/2 /2 2000x R dt

v v− −≈ = = = ≈ . Un calcul plus précis donne 2529 s.

5) Ce transport est très rapide. Il est impossible de réaliser le tunnel, car ses parois ne résisteraient pas à la pression de 60 000 atmosphères

(P ) qui règne à 200 km de profondeur, d’autant que, pour éviter le freinage par l’air, il faut faire le vide dans le tunnel, donc ses parois doivent être étanches.

g= µ h

Autres objections, moins décisives : comme la température augmente avec la profondeur, les passagers éventuels risqueraient d’être réduits en cendre ; toutefois, on peut envisager un système de refroidissement, qui nécessite toutefois le stockage de la chaleur excédentaire dans le train ; pour s’affranchir des frottements, le véhicule est à suspension magnétique, mais cette suspension est difficile à réaliser à haute température.


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