E M

L ’unité est le centimètre. La figure n ’est pas à l ’échelle .On ne demande pas de reproduire la figure.

Les points E,M,A,B sont alignés dans cet ordre, les points F,P,A,C sont alignés dans cet ordre.Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.AM = 6 ; MP = 4,8 ; AP = 3,6 ; EF = 6 ; AC = 4,5 ; AB = 7,5

1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.2) Calculer AE et en déduire la longueur ME.3) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.4) Démontrer que les angles CBA et AMP sont égaux.

FP

A

C

B

Le côté le plus long du triangle AMP est AM = 6 cm.

Je compare

AM² = 6²AM² = 36

AP² + MP² = 3,6² + 4,8²AP² + MP² = 12,96 + 23,04AP² + MP² = 36

D’après le théorème réciproque de Pythagore ce triangle est rectangle en A.

1) Le triangle AMP est-il rectangle ?

E M

FP

A

C

B

6

4,83,6

Les mesures des trois côtés sont connues.

On cherche à savoir si l ’égalité de Pythagore est vérifiée.

L’égalité de Pythagore est vérifiée : on applique le théorème réciproque de

Pythagore.

E M

FP

A

C

BE M

FP

A

C

B

6

4,83,66

Les droites (MP) et (EF) sont parallèles donc les triangles AMP et AEF sont en situation de THALES. L’égalité de THALES s ’écrit :

AEAM

AFAP

EFMP

2) On demande de calculer AE et EM.Sur ce croquis on sait que les droites (MP) et (EF) sont parallèles. On connaît AM = 6 AP = 3,6 MP = 4,8 et EF = 6 .

Petit côtégrand côté parallèle

Petit côtégrand côté parallèle

Petit côtégrand côté parallèle

A est le point opposé aux deux côtés parallèles.

AEAM

AFAP

EFMP

68,46,36

AFAM

Pour calculer MN je choisis

68,46

AM

4,8 AM = 36: 4,8 AM = 36/4,8

AM = 7,5 cmLes points A,M et E sont alignés donc EM =AE - AM donc EM =1,5cm

E M

FP

A

C

BE M

FP

A

C

B

6

4,83,66

E M

FP

A

C

B6

3,6

4,5

7,5

3) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.

Les points M,A,B d ’une part et les points P,A et C d ’autre part sont alignés dans le même ordre, donc si

AMAP

ABAC

Alors les droites (MP) et (BC) sont parallèles.

Je vérifie AMAP

6,066,3

ABAC

6,05,75,4

L ’égalité est vérifiée donc les droites (MP) et (BC) sont parallèles d ’après le théorème réciproque de THALES.

E M

FP

A

C

B

4) Démontrer que les angles CBA et AMP sont égaux.

D ’après la question précédente, les droites (MP) et (BC) sont parallèles et coupent les deux sécantes (MB) et (PC)

donc elles déterminent deux angles alternes-internes de même mesure.