Ecole Nationale Superieure d’Informatique et de Mathematiques Appliquees de GrenobleTravaux d’etudes et de recherche

Encadrant: Guillaume James

Modelisation mathematique des mouvements de foule

Aurelia SPANNEUT

le 29 mai 2010

Table des matieres

1 Introduction 3

2 Etude d’un flot de pietons en 1D 32.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Description du modele 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Reformulation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Etude de la stabilite du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Mise en place du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4.2 Etablissement du seuil d’instabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.3 Analyse du coefficient critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Etude de l’instabilite du systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.1 Quelques caracteristiques de l’instabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.2 Application numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Le modele 1D en pratique 83.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Probleme a resoudre et conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Conditions initiales et introduction d’irregularite . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Configurations considerees pour les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Resultats obtenus et analyse de resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Problemes rencontres lors de la resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Analyse globale des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.3 Etude plus detaillee de l’instabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Etude d’un flot de pietons en 2D 144.1 Differences entre le modele 1D et le modele 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Resultats de l’implementation 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Conclusion 17

6 Remerciements 17

2

1 Introduction

L’etude des comportements collectifs de groupes d’individus releve de differents domainesscientifiques tels que la physique, la biologie, les mathematiques et les sciences cognitives. Lecomportement d’une foule de pietons dans une situation de panique a deja ete etudie dansl’article [2] ou un modele non lineaire decrivant la dynamique d’un groupe de pietons a etepropose. Ce modele fait intervenir des forces d’interaction entre chaque pieton et ses voisins,qui dependent de la distance qui le separe des autres. Cependant dans ce modele, on accordeautant d’importance aux interactions arriere qu’aux interactions avant. Ceci ne semble pas tresrealiste dans la mesure ou un individu ne peut pas se rendre compte reellement de la distancequi le separe des personnes le suivant. Il a donc ete interessant de voir comment evolue cemodele si on differencie les interactions avant et arriere. Apres une etude de ce nouveau modeleadapte en dimension 1, on remarque que le systeme est tres similaire a celui introduit dansl’article [1] dans le contexte du traffic routier. Seule la forme des termes non lineaires differe.Or l’article [1] met en evidence que lorsqu’on perturbe legerement une solution d’equilibredes phenomenes d’instabilite responsables d’embouteillages peuvent apparaıtre. On s’est alorsdemande si l’on pouvait retrouver de tels phenomenes dans le cas de notre modele de foule1D. L’analyse theorique a permis de definir un temps de relaxation vers l’equilibre critique audessus duquel les faibles perturbations de la solution d’equilibre entraınent des phenomenesd’instabilite. Cependant en implementant le modele sous matlab, on se rend compte que matlabn’arrive pas a resoudre le systeme d’equations lorsque les termes non lineaires des interactionsdeviennent trop raides. Par ailleurs, le comportement du modele devient non physique car lavitesse des pietons au sein d’un embouteillage devient toujours negative et semble diverger avecle temps. Pour y remedier, il faudrait alors ameliorer le modele en y ajoutant d’autres forces quisaturent ces effets non lineaires. Mais ce probleme se situe hors du cadre de ce TER. D’autrepart, un retour en dimension 2 a semble etre interessant. En effet, il est utile de savoir si onrencontre les memes phenomenes d’instabilite qu’en dimension 1. Mais le temps a manque pourfinaliser un code 2D et les resultats obtenus pour le moment ne sont pas concluants.

2 Etude d’un flot de pietons en 1D

2.1 Introduction

On s’interesse ici au comportement d’une foule de pietons. Nous avons tout d’abord travailleen une dimension. Nous avons au depart N pietons qui se deplacent le long d’une ligne droite.Dans ce travail, nous allons nous interesser au mouvement de chaque pieton et particulierementa l’instabilite d’un tel flot de pietons uniforme.

Pour modeliser le mouvement d’un pieton i, nous sommes partis du modele utilise dansl’article ”Simulating dynamical features of escape panic”[2] que nous avons transpose en unedimension d’espace.

2.2 Description du modele 1D

Chaque pieton est en interaction avec ses voisins de devant et derriere. En effet, il va adaptersa vitesse en fonction de la distance qui le separe de ses voisins. On peut alors representer cesdeux interactions par deux forces :

– Ff force d’interaction repulsive avec le pieton de devant,– Fb force d’interaction repulsive avec le pieton de derriere.

3

Figure 1 – Representation des forces qui s’appliquent sur le pieton i.

Dans chacune de ces forces, on peut distinguer deux termes, une force de repulsion psycho-logique qui decroit lorsqu’on augmente la distance entre deux pietons et une force de contactlorsque deux pietons se touchent.

Ainsi pour chaque pieton i, i = 1..N , le mouvement de celui-ci est regi par l’equationsuivante :

mid2xi

dt2= mi

V ◦i −dxi

dtτ

+ Abiexp

(ri + ri−1 − (xi − xi−1)

Bi

)−Af

i exp

(ri + ri+1 − (xi+1 − xi)

Bi

)+ k(g(ri + ri−1 − (xi − xi−1)) + g(ri+1 + ri − (xi+1 − xi))) (1)

avec des conditions aux limites periodiques

xn+N (t) = xn(t) + L. (2)

Nous utilisons les notations suivantes :xi position du pieton i,N nombre de pietons,L longueur de la piste,mi masse du pieton i,ri largeur du pieton i,

ri + ri−1 distance pour laquelle les pietons i et i− 1 se touchent,

Abiexp

(ri + ri−1 − (xi − xi−1)

Bi

)force de repulsion entre le pieton i et le pieton i− 1,

Afi exp

(ri+1 + ri − (xi+1 − xi)

Bi

)force de repulsion entre le pieton i et le pieton i+ 1,

kg(x) ={

0 si x < 0kx si x ≥ 0

fonction qui represente la force de contact entre deux pietons voisins,

V ◦i vitesse desiree du pieton.

4

2.3 Reformulation du systeme

Afin de comparer ce modele a un modele de traffic routier, on modifie quelque peu l’equationprecedente. Tout d’abord, on considere que les coefficients Af

i , Abi , Bi, ri, mi, V ◦i , τi ne dependent

pas du pieton i. On obtient donc l’equation suivante :

d2xi

dt=

V ◦ − dxi

dtτ

+Ab

mexp

(2r − (xi − xi−1)

B

)−Af

mexp

(2r − (xi+1 − xi)

B

)+

k

m(g(2r − (xi − xi−1)) + g(2r − (xi+1 − xi))). (3)

On pose maintenant ui =xi

B.

Le systeme devient alors :

τ ui + ui =V ◦

B

+Abτ

mBexp

(2rB− (ui − ui−1)

)−Afτ

mBexp

(2rB− (ui+1 − ui)

)+

kτ

m(g(

2rB− (ui − ui−1))− g(

2rB− (ui+1 − ui))). (4)

On pose

U◦ =V ◦

B, (5)

Ub(x) =Abτ

mBexp

(2rB− x), (6)

Uf (x) =− Afτ

mBexp

(2rB− x). (7)

Le systeme s’ecrit donc

τ ui + ui = U◦ + Ub(ui − ui−1) + Uf (ui+1 − ui) +kτ

m(g(

2rB− (ui − ui−1))− g(

2rB− (ui+1 − ui))). (8)

On retrouve un modele de traffic routier introduit dans [1], avec cependant des forces d’in-teractions differentes dans notre cas, car celles-ci deviennent plus grandes lorsque la distanceentre pietons diminue.

2.4 Etude de la stabilite du systeme

2.4.1 Mise en place du systeme

On considere les conditions aux limites periodiques. Une solution d’equilibre ideale dusysteme correspond a un flot de pietons qui avancent tous a la meme vitesse et gardent lameme distance l = L/N (avec l > 2r). Cette solution uniforme s’ecrit donc

Ui(t) = ilu + (U◦ + Ub(lu) + Uf (lu))︸ ︷︷ ︸U(lu)

t

avec lu =L

NB=

l

B.

5

On veut voir comment evolue le systeme lorsque l’on perturbe un peu cette solution.On suppose que

ui(t) = Ui(t) + Φi(t). (9)

Si on injecte (9) dans l’equation du systeme et on linearise, on obtient :

τ φi(t) + φi(t) = U′f (lu)(φi+1(t)− φi(t))− U

′b(lu)(φi−1(t)− φi(t)). (10)

On retombe sur une equation similaire a celle de l’article [1]

Nous voulons maintenant etudier la stabilite lineaire de la solution d’equilibre (9).

2.4.2 Etablissement du seuil d’instabilite

Le systeme (10) etant lineaire, on peut ecrire les solutions a l’aide de series de Fourier commeune superposition d’ondes planes ou ”modes normaux”. Chaque onde plane elementaire solutionde l’equation (10) est de la forme

φn(t) = eikn+zktφ (11)

avec k =2πNj, j = 0, · · · , N − 1, ou

k represente le nombre d’onde et zk est la frequence complexe associee. Apres avoir introduitl’equation (11) dans l’equation (10), on obtient la relation suivante pour zk, appelee relation dedispersion.

τz2k + zk = (U

′f (lu)− U ′

b(lu))(cos(k)− 1) + i(U′f (lu) + U

′b(lu))sin(k). (12)

La stabilite de la solution φn va dependre du signe de la partie reelle de zk. En effet, si celle-ciest superieure a 0, la solution sera instable.Notons donc zk = ck + iωk.De cette formulation, on peut en deduire les deux equations suivantes :

τ(c2k − ω2

k) + ck = (U′f (lu)− U ′

b(lu))(cos(k)− 1),

2τckωk + ωk = (U′f (lu) + U

′b(lu))sin(k).

On s’interesse au moment ou l’on passe d’un systeme stable a un systeme instable.On considere alors que |ck| � 1.On obtient donc en negligeant les termes d’ordre 2 en ck :

ωk =(U

′f (lu) + U

′b(lu))sin(k)

1 + 2τck≈ (U

′f (lu) + U

′b(lu))sin(k)(1− 2τck). (13)

A partir de l’equation precedente, on obtient la relation suivante pour ck :

ck =2sin2(

k

2)

1 + 4τ2(U ′f (lu) + U

′b(lu))2sin(k)2

(2τ(U′f (lu) + U

′b(lu))2cos(

k

2)2 − (U

′f (lu)− U ′

b(lu))). (14)

Le flot uniforme de pietons est stable si

2τ(U′f (lu) + U

′b(lu))2cos(

k

2)2 − (U

′f (lu)− U ′

b(lu)) > 0.

6

On obtient alors la condition de stabilite suivante :

a =1τ> 2

(U′f (lu) + U

′b(lu))2

U′f (lu)− U ′

b(lu). (15)

En utilisant les relations 6 et 7, on a

1τ>

2τmB

(Af −Ab)2

Af +Abexp

(2rB− lu

).

On obtient alors le coefficient critique ci-dessous qui ne doit pas depasser 1/τ afin que l’equilibre(9) soit stable, dans la limite N → +∞ (quand les modes de Fourier forment un continuum).

1τ>

√2mB

(Af −Ab)2

Af +Abexp

(2rB− lu

)︸ ︷︷ ︸

acritique

. (16)

On notera τcritique =1

acritique.

2.4.3 Analyse du coefficient critique

Dans cette partie, nous allons faire une analyse du coefficient critique

acritique =

√2mB

(Af −Ab)2

Af +Abexp

(2rB− lu

)On remarque que ce coefficient depend fortement de la difference Af −Ab.

1. Cas ou Af = Ab

On considere ici que le pieton reagit de la meme maniere avec le pieton de devant qu’avecle pieton de derriere. Dans ce cas, acritique = 0, le flot uniforme de pietons est stable pourune faible pertubation par rapport a la solution uniforme. C’est le cas considere dansl’article [2] qui ne fait pas mention de phenomenes d’instabilite.

2. Cas ou Af > Ab

On considere maintenant que le pieton reagit plus a l’ecart avec le pieton de devant qu’avecle pieton de derriere. C’est la situation qui paraıt la plus probable dans la vie generalecar un pieton ne voit pas forcement quelle est la distance entre lui et son voisin de derriere.

Dans ce cas, il y a des situations d’instabilite.Application numerique : 1 :En prenant Af = 2000 N, Ab = 500 N, B = 0.08 m, r = 0.3 m, k = 1.2 ∗ 105kg.s−2,

m = 80 kg, L = 93 m, N = 100, τ = 0.5s,on a acritique = 4.55. D’ou τcritique = 0.47sOn a dans ce cas,

τ > τcritique

ce qui met en evidence une instabilite du flot uniforme de pietons.

1. Donnees numeriques issues de l’article de Nature [2] sauf pour Ab

7

2.5 Etude de l’instabilite du systeme.

2.5.1 Quelques caracteristiques de l’instabilite

Nous avons mis en evidence dans le paragraphe precedent des cas ou notre flot uniforme depietons est instable. Cette instabilite va se traduire en pratique par une onde qui va se propageren diminuant la vitesse des pietons lorsque cette onde arrive a leur niveau. Il est donc interessantd’etudier plus precisement cette instabilite en determinant quel est le nombre d’onde le plusinstable, et quelle est la vitesse de phase de cette onde. En effet, c’est le mode le plus instablequi va etre le plus visible au debut du phenomene d’instabilite (voir section 3.3.3).

Le mode le plus instable correspond au mode qui a la valeur propre zk de plus grande partiereelle. Or nous avons

φn(t) = eikn+zktφ

avec zk = ck + iωk. D’ou

φn(t) = eik(n+

ωk

kt)+ckt

(17)

avec2πk

la longueur d’onde du mode considere etwk

kla vitesse de phase correspondante.

Ainsi pour trouver le mode le plus instable, on cherche k qui maximise ck avec k =2πNj, j =

0, · · · , N − 1. Une fois, k trouve, il est donc aise de determiner la vitesse de propagation de

l’ondeωk

ket sa longueur d’onde

2πk

.

2.5.2 Application numerique

On cherche a determiner numeriquement le mode le plus instable et la vitesse de phase pourles parametres precises precedemment. Pour ces valeurs numeriques, nous sommes tres prochesdu seuil d’instabilite. L’hypothese pk � 1 consideree pour l’etablissement des equations (14) et(13) est donc verifiee.

Apres calculs, on trouve que le mode le plus instable correspond au 8eme mode(j = 7). On

a alors k =2 ∗ 7πN

' 0.44 (ici N = 100 correspond au nombre de pietons). La periode spatiale

est donc egale a λ =2πk

= 14.3 D’autre part, la vitesse de phase de cette onde est de 1.8s−1

3 Le modele 1D en pratique

Pour verifier l’etude theorique, le modele decrit dans la partie precedente a ete implementesous matlab. Nous allons voir dans cette partie les points cles de cette implementation. Nousetudierons ensuite les resultats obtenus.

3.1 Implementation

3.1.1 Probleme a resoudre et conditions limites

On considere N pietons qui marchent le long d’une piste de longueur L. On fixe la positionet vitesse initiale de chaque pieton et on veut voir comment chaque pieton evolue sur la piste.

Pour implementer le systeme d’equation (1), des conditions aux limites periodiques (cf eq(2)) ont ete considerees. En pratique, cela revient a dire que les pietons marchent le long d’une

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piste circulaire comme on peut le voir sur le schema 2. Ainsi, le N ieme pieton va adapter savitesse en fonction du 1er et du (N − 1)ieme pieton.D’autre part, on considere pour se rapprocher le plus de l’etude theorique que tous les pietons

Figure 2 – Illustration des conditions aux limites periodiques pour 7 pietons.

ont les memes caracteristiques (Afi , Ab

i , Bi, ri, mi, V ◦i , τi independants du pieton i).

3.1.2 Conditions initiales et introduction d’irregularite

Pour etudier au mieux la stabilite, il faut que les conditions initiales ne representent qu’unelegere perturbation de la solution d’equilibre ideale (cf paragraphe 2.4.1 page 5). Au depart, ondecide donc que pour chaque pieton i, (i = 0 · · · (N − 1))

xi(0) =iL

Nmod L

xi(0) = v0 + ψn, avec ψn ∈ [−0.1, 0.1],

ou ψn represente ici une legere perturbation de la vitesse determinee aleatoirement (loi deprobabilite uniforme sur [-0.1,0.1]).

3.1.3 Resolution du systeme

Le systeme d’equation a ete resolu avec le solveur de matlab ode45 avec pour erreur relative1e− 4 et absolue 1e− 5. Ce solveur se base sur une formule explicite de Runge-Kutta.

3.2 Configurations considerees pour les tests

Le programme a ete teste pour differentes valeurs des parametres. Nous allons nous concen-trer ici sur trois configurations differentes. Pour passer d’une configuration a l’autre, nous allons

jouer sur la valeur des coefficients Ab et Af et du rapport l =L

N.

Les autres parametres sont donc les memes pour chaque configuration.Leurs valeurs sont les suivantes : B = 0.08 m, r = 0.3 m, k = 1.2 ∗ 105kg.s−2, m = 80 kg,τ = 0.5 s, N = 100.

1. Cas ou Ab = Af .C’est le cas etudie dans l’article [2]. Il etait donc utile de voir si tout se passait bien dans

9

cette configuration.Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 2000 N, L = 93 m.

2. Cas ou Ab 6= Af et1τ> acritique.

Nous sommes dans la configuration ou le flot uniforme de pietons est stable theoriquement.Nous verrons ici si c’est bien le cas et nous comparerons notamment le temps mis par lespietons pour que leur vitesse arrive a la vitesse d’equilibre pour differentes valeurs de l (laet lb).Donnees numeriques prises :– Configuration 2.a : Af = 2000 N, Ab = 500 N, La = 96 m.– Configuration 2.b : Af = 2000 N, Ab = 500 N, Lb = 115 m.

3. Cas ou Ab 6= Af et1τ< acritique. Nous sommes dans la configuration ou le flot uniforme

de pietons est instable d’apres l’analyse theorique precedente. L’objectif est de voir si onpeut mettre en evidence cette instabilite numeriquement.Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 500 N, L = 93 m.

3.3 Resultats obtenus et analyse de resultats

3.3.1 Problemes rencontres lors de la resolution

Certains problemes sont apparus lors de la resolution du probleme sous matlab. En effet,pour certaines configurations critiques, le solveur matlab utilise n’a pas reussi a integrer lesequations. Pour etre plus exact, il n’arrive pas a respecter les tolerances d’integration (erreurrelative et erreur absolue). Le fait de changer le solveur ou de reduire les tolerances d’integrationn’y a rien change. Par exemple, pour la configuration 3, le solveur arrive a integrer pendant80 s environ puis apres s’arrete (illustration graphe 6). On en a deduit que cela etait du a unprobleme trop raide lorsque la distance entre deux pietons voisins est tres proche de 2r.

Nous analyserons donc la configuration 3 sur un laps de temps inferieur a ce temps maximal.

3.3.2 Analyse globale des resultats

Pour mieux voir comment evolue la vitesse des pietons selon les configurations mentionneesprecedemment, nous allons nous concentrer sur un pieton en particulier et representer sa vitesseainsi que les distances qui le separent du pieton de devant et du pieton de derriere.Sur les graphes 3, 4, 5 et 6, on remarque que la vitesse du pieton s’adapte bien par rapport a ladistance qui le separe du pieton avant et arriere. En effet, l’allure des courbes est quasiment lameme a un decalage en temps pres. D’autre part, on remarque sur le graphe 3 que le systemearrive tres vite a l’equilibre (environ 5 s). Cette configuration est celle consideree par l’article de[2]. Il est alors coherent que l’equilibre soit atteint tres rapidemment puisque le pieton adaptesa vitesse en faisant autant attention au pieton de devant qu’au pieton de derriere.

On s’interesse desormais a la configuration 2. On constate tout d’abord sur les graphes 4et 5 que l’equilibre est bien atteint asymptotiquement. Ce resultat corrobore bien les resultatstheoriques. D’autre part, si on compare ces deux courbes, on constate que l’equilibre est atteintbeaucoup plus lentement pour la configuration 2a que pour la configuration 2b. Ceci est coherentavec les resultats theoriques puisque τ est plus proche du coefficient critique pour la configuration2a que 2b.

Si on considere maintenant la configuration instable, on remarque qu’au bout d’une soixan-taine de secondes, la vitesse decroit soudainement puis la courbe s’arrete. Cette figure est l’illus-tration du probleme evoquee dans le paragraphe 3.3.1 Cependant, si on trace les memes courbespour le 59emepieton, on remarque que la vitesse de celui-ci devient negative alors qu’il n’est pas

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Figure 3 – CONFIGURATION 1 - Evolution de la vitesse du 50eme pieton et des distances leseparant de ses voisins selon le temps. Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 2000 N,L = 93 m.

en contact avec ses voisins. Ce resultat aberrant nous montre que le probleme semble mal definilorsque les pietons sont assez proches. En effet, l’instabilite conduit a une dynamique non phy-sique.

Figure 4 – CONFIGURATION 2a - Evolution de la vitesse du 50eme pieton et des distances leseparant de ses voisins selon le temps. Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 500 N,L = 96 m.

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Figure 5 – CONFIGURATION 2b - Evolution de la vitesse du 50eme pieton et des distances leseparant de ses voisins selon le temps. Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 500 N,L = 115 m.

Figure 6 – CONFIGURATION 3 - Evolution de la vitesse du 50eme pieton et des distances leseparant de ses voisins selon le temps. Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 500 N,L = 93 m.

3.3.3 Etude plus detaillee de l’instabilite

Dans le paragraphe 2.5.2 (page 8), nous avons calcule quel etait le mode le plus instableainsi que la vitesse de phase de l’onde la plus instable pour les donnees numeriques considereesdans cette configuration. Nous allons verifier si on obtient des resultats numeriques coherentsavec cette analyse. Pour cela, le graphique 8 represente la vitesse en niveau de gris en fonctiondu temps et des pietons. On y met en evidence la presence de vagues d’acceleration ou dedeceleration qui se propagent au sein des pietons. On remarque d’ailleurs que ces vagues sepropagent environ toutes a la meme vitesse. D’autre part, la vitesse de phase d’une de ces vaguescorrespond a la pente de celle-ci. Ainsi, pour comparer la vitesse de phase trouvee theoriquement

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Figure 7 – CONFIGURATION 3 - Evolution de la vitesse du 59eme pieton et des distances leseparant de ses voisins selon le temps. Donnees numeriques prises : Af = 2000 N, Ab = 500 N,L = 93 m.

et celle issue de l’implementation, on trace sur le graphique 8 une droite de pente 1.8s−1 (valeurtrouvee dans 2.5.2). On remarque que les vagues d’acceleration ou de deceleration sont a peupres paralleles a cette droite. On retrouve alors le resultat demontre theoriquement.

Figure 8 – Representation en niveau de gris de la vitesse des pietons en fonction du temps etdes pietons. Af = 2000 N, Ab = 500 N, L = 93 m.

D’autre part, il est interessant de tracer la courbe en niveaux de gris sur un laps de tempsplus long. On peut ainsi reperer en noir en haut a droite du graphe 9 la formation d’un bouchon

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assez important. C’est aussi a partir de ce moment que l’on obtient des resultats aberrants(vitesse negative). Le modele semble donc mal defini lorsqu’un embouteillage commence a seformer.

Figure 9 – Representation en niveau de gris de la vitesse des pietons en fonction du temps (sur80s) et des pietons . Af = 2000 N, Ab = 500 N, L = 93 m.

On veut desormais verifier que l’on retrouve bien la periode spatiale pour le mode le plusinstable. Pour cela, on trace sur le graphe 10 pour t = 76 s, la vitesse en fonction des pietons.On ajoute sur ce graphe des droites verticales espacees de la periode spatiale λ (cf partie 2.5.2).On remarque alors que le graphe obtenu correspond a ce que l’on attend. En effet, la periode

spatiale approximative de la vitesse est tres proche de2πk

, ou k = 0.44 correspond au mode leplus instable.

4 Etude d’un flot de pietons en 2D

Nous allons dans cette partie evoquer le modele 2D. Nous ne rentrons pas dans les detailsdu modele car l’implementation n’a pas pu etre terminee.

4.1 Differences entre le modele 1D et le modele 2D

Dans le cas de la dimension 2, les forces d’interactions entre chaque pietons sont un peuplus complexes que celle de la dimension 1. On retrouve les termes d’interactions normalesdu modele 1D auxquels on y ajoute une composante tangentielle. Les forces tangentielles quiapparaissent vont ainsi permettre au pieton de se decaler eventuellement s’il se rapproche tropdangereusement d’un autre pieton.D’autre part, l’environnement qui entoure le pieton a ici une influence sur le mouvement de celui-ci. En effet, on tient compte ici d’une interaction repulsive du pieton avec les murs. Chacune deces forces est illustree sur le schema 11.

4.2 Resultats de l’implementation 2D

Comme on peut le voir dans la partie precedente, le modele 2D fait intervenir de nouvellesforces qui rendent l’implementation en matlab plus complexe. Pour le moment, l’implementationn’est pas tres concluante. Lorsque l’on considere des pietons peu rapproches (l� 2r)et alignes

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Figure 10 – Vitesse a l’instant t = 76s en fonction des pietons. Af = 2000 N, Ab = 500 N,L = 93 m.

Figure 11 – Illustration des forces type qui s’appliquent sur le pieton i.

au depart, les resultats obtenus comme on peut le voir sur le graphe 12 sont coherents. En effet,ces quatre graphes representant la position des pietons a des instants successifs nous illustrentbien le comportement d’un pieton qui se rapproche trop dangereusement d’un autre. On voitpar exemple sur le premier graphe de la figure 12, que les pietons 10 et 9 sont assez proches.On remarque alors, que pour les graphes suivants, les deux pietons ont adapte leur vitesse pours’ecarter l’un de l’autre. Ce comportement semble coherent avec la realite meme s’il ne prend

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pas en compte que l’on est en dimension 2 (pas de decalage sur les cotes). Cependant pour desconfinements plus importants, les resultats obtenus sont aberrants, ce qui peut provenir d’uneerreur de programmation.

Figure 12 – Representation de la position des pietons pour des temps successifs t1 = 15,17s,t2 = 15,32s, t3= 15,57s et t4 = 16,18s. Conditions au depart : les pietons sont alignes et sontsepares de 1.5 m.

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5 Conclusion

Lors de ce travail, l’etude s’est portee sur des hypotheses de modelisation differentes decelles considerees dans l’article [2]. Le fait d’avoir considere Af > Ab a permis de mettre enevidence des instabilites du flot uniforme de pietons lorsque l’on perturbe legerement la solutiond’equilibre ideale mais aussi un caractere non physique de la dynamique lorsque cette instabilitese developpe. Une des solutions possible serait d’ameliorer le modele en y ajoutant d’autresforces. Il serait aussi interessant de voir si le meme probleme d’integration se pose en dimension2. Malheureusement, le temps m’a manque pour venir a bout de l’implementation.D’autre part, on peut considerer que notre modele n’est pas assez complet pour decrire unefoule reelle. En effet, celui-ci considere que les pietons se deplacent de maniere isolee. Or selonl’article [3] , 50 a 70% des personnes qui sont dans une foule voyagent en petit groupe. Ainsi,pour modeliser une foule de pietons, il ne faudrait pas tenir compte que des contraintes physiquesdues aux autres pietons mais aussi des interactions sociales entre chaque individu.

6 Remerciements

Je tiens a remercier Guillaume James pour m’avoir encadre et bien aide durant ce travailde recherche.

References

[1] Gaididei, Berkemer, Caputo, Christiansen, Kawamoto, Shiga, Sorensen, and Starke. Ana-lytical solutions of jam pattern formation on a ring for a class of optimal velocity trafficmodels. New Journal of Physics, 11, 2009.

[2] Dirk Helbing, Illes Farkas, and Tamas Vicsek. Simulating dynamical features of escapepanic. Nature, 407 :487–490, 2000.

[3] Mehdi Moussaıd, Niriaska Perozo, Simon Garnier, and Dirk Helbing et Guy Theraulaz. Thewalking behaviour of pedestrian social groups and its impact on crowd dynamics. PLoSONE 5, 2010.

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