Ecoulements à plusieurs phases en milieux poreux par la méthode de Boltzmann sur

réseau

A. Pazdniakou, P.M. Adler

Sisyphe, UPMC

Momas, Lyon, 5-6 sept. 2008

Objectifs

• Renouvellement des codes ILB à une et deux phases

disponibles dans l’équipe: 1995:

problèmes de conditions aux limites aux interfaces solides et donc aux interfaces fluide-fluide

Two major steps: propagation and collision

Rappel: codes initiaux

Améliorations:

- Réseaux dans l’espace 3d: D3Q15, D3Q19

- Opérateurs de collision un peu différents

- Condition d’adhérence sur des surfaces solides

- Procédure aux interfaces liquide-liquide

Plan

• Méthodologie de la méthode de Boltzmann sur réseau• Ecoulements en milieu poreux: généralités• Ecoulements à une phase • Ecoulements à deux phases• Conclusion

Discrétisation des vitesses

+

Méthodologie de la méthode de Boltzmann sur réseau

Discrétisation de l’espace

+

+ Discrétisation du temps

Equation de Boltzmann sur réseau

=

Equation continue de Boltzmann

Description de la méthode de Boltzmann sur réseau à une phase

Equation de Boltzmann sur réseau

Equation de Navier-Stokes incompressible

dé

com

po

sitio

n d

e C

ha

pm

an

-En

sko

g

fonction d’équilibre

Loi de conservation locale

A - matrice de collision

M matrice de transformation reliant les f i à leurs moments

S – matrice de collision diagonalisée

Conditions aux limites: adhérence aux parois

Rebond

Condition classique:

Mais la vitesse n’est pas nulle au milieu des deux points: Ginzbourg et Adler (1994)

Multiréflection

D’où de nouvelles conditions:

Conditions aux limites: adhérence aux parois

Interpolation linéaire

Interpolation quadratique

Cas particuliers:

Ecoulements en milieux poreux

Equation de Boltzmann sur réseau

décomposition de Chapman-Enskog

+

Equation de Stokes

Loi de Darcy

K - perméabilité

Résolution + moyenne sur la cellule unité

réseau cubique de sphères

empilement aléatoire de sphères

milieu poreux reconstruit

Milieux poreux spatialement périodiques

Application de la méthode de Boltzmann sur réseau: écoulement de Poiseuille

Solution analytiqueL’équation de Stokes se simplifie!

Ecoulement de Poiseuille

Profil de vitesse parabolique

Résultats d’application de la méthode de Boltzmann sur réseau

Effets de la discrétisation

La précision augmente avec la résolution

réseau cubique simple de sphères

perméabilité analytique

l - longueur unité,a – dimension du cube élémentaireL - cellule unitaire,l.u. - longueur unité de réseau

/a2/a

Résultats d’application de la méthode de Boltzmann sur réseau

perméabilité de réseau cubique de sphèresréseau cubique simple de sphères

perméabilité indépendante de la viscosité du liquide

Résultats d’application de la méthode de Boltzmann sur réseau

réseau cubique simple de sphères perméabilité de réseau cubique simple de sphères

Erreur relative < 1.35%

réseau cubique centré de sphères perméabilité de réseau cubique centré de sphères

- multiréflection MR meilleure que BB rebond: erreur relative MR < 0.87%; erreur relative BB > 1%.

Performances du programme

Mémoire

Temps

Les caractéristiques du programme

réseau cubique simple de sphères Résultats de programmes différents: old = GA, new = PA

Performances comparées des programmes

Performances du programme

milieu poreux reconstruit utilisé

Résultats et performances des différents programmes

32x32x32 64x64x64

Ecoulements à plusieurs phases

Modèle de Rothman et Keller (1988)

• premier modèle d’écoulement à plusieurs phases• collision de particules rouges et bleues

Modèle de Gunstensen et al.(1991)

• modification du modèle de Rothman et Keller• modèle heuristique

Modèle de Shan et Chen(1994)

• modèle pseudo potentiel• forces d’interaction non locales entre les particules

modèle d’énergie libre (1995)

• Swift et al.• premier modèle thermodynamiquement stable

Modèle de He-Shan-Doolen (1998)

• Couplage intermoléculaire• Fonction d’indexation• modèle thermodynamiquement stable

Loi de Darcy à deux phases

Une zoologie simplifiée:

= base des anciens programmes

Description de la méthode de Boltzmann sur réseau à deux phases

Equation de Boltzmann sur réseau pour les liquides rouges et bleus

propagation

fonction d’équilibre

Equation de Boltzmann sur réseau sur interface

ségrégation des phases après la collision

collision

addition des liquides

gradient de couleur

Tension superficielle et loi de Laplace

Vérification de la loi de Laplace sur une bulle

sphérique

Insertion de la tension superficielle

via une force de tension superficielle

Calcul de

Erreur relative = 1.62% Erreur relative = 2.46% Erreur relative = 5.67%

coalescence de deux gouttes

Mouillabilité et angle de contact

Etat initial

goutte sur un mur

Etat après 10000 itérations

intermédiaireliquide mouillant liquide non mouillant

mouillabilité

Pour intrroduire la mouillabilité , une certaine masse de liquide de la couleur désirée est mise sur l’interface solide. Cette masse est ensuite insérée dans la force de tension superficielle

Ecoulement de Poiseuille plan

Excellente comparaison dans tous les cas

Solution analytique

Ecoulements à plusieurs phases en milieux poreux, calculation de perméabilité

Loi de Darcy à deux phases

Loi de Darcy àune phase

K - perméabilité

milieu poreux reconstruit

Krk - perméabilité relative

réseau cubique simple de sphères

Calculation de perméabilité relative

perméabilités relatives

Résultats d’application de la méthode de Boltzmann sur réseau

milieu poreux reconstruit Distribution des phases

perméabilités relatives pour des conditions différentes

Comparaison avec ancien code

Bon accord pour phase mouillante, médiocre pour phase non mouillante

• code multiphasique en cours de test

• codes non optimisés

• performances et amélioration des résultats un peu décevantes

• codes à paralléliser

Conclusions