Ecoulements cellulaires de Stokes générés par rotation dans un canal coaxial

Z. angew. Math. Phys. 49 (1998) 934–9540044-2275/98/060934-21 $ 1.50+0.20/0c© 1998 Birkhauser Verlag, Basel

Zeitschrift fur angewandteMathematik und Physik ZAMP

Ecoulements cellulaires de Stokes generes par rotationdans un canal coaxial

Mohamed Hajjam

Resume. On etudie numeriquement la structure cellulaire d’une categorie d’ecoulements bidi-mensionnels de Stokes, generes par la rotation d’un cylindre dans l’entrefer d’un canal forme dedeux cylindres circulaires fixes et concentriques. La naissance et le developpement des cellulesde recirculation, resultant du phenomene de decollement induit dans ce type d’ecoulements, sontanalyses en detail a travers l’evolution des lignes de courant et plus particulierement des lignesseparatrices, pour differents rapports d’obturation et quelle que soit la position de la source demouvement dans l’entrefer.

Abstract. The cellular structure of two-dimensional Stokes flows induced by a rotating cylinderin an annular tank made of concentric circular cylinders is studied numerically. The occurrenceand development of the recirculating-cells resulting from the separation phenomenon are thor-oughly analysed through the evolution of streamlines and streamline separation patterns, fordifferent obstruction ratios whatever the position of the source of motion in the gap may be.

Keywords. Least-squares, cellular structure, secondary flow, annular tank, Stokes flow, cells,rotating circular cylinder.

I. Introduction

Il n’apparaıt plus surprenant de parler de decollement en regime de Stokes. Eneffet, il est maintenant bien etabli que les phenomenes de decollement ne sontpas uniquement dus aux effets croissants de l’inertie. Sous certaines conditions,pres d’une singularite par exemple, des mouvements a lignes de courant fermees,souvent nommes cellules, peuvent etre observes ; ils sont le resultat du phenomenede decollement du a la viscosite du fluide.

Dans la pratique, ces cellules peuvent etre nefastes (voir Shen et Floryan [1],Ribicki et Floyran [2] et Higdon [3]) et sont, de ce fait, rarement recherchees carsusceptibles d’alterer la qualite des produits et le rendement des mecanismes.

Les premiers a avoir pressenti ce type de mouvements sont Dean et Montagnon[4] dans le cas du diedre. Plus tard, en utilisant des fonctions propres, Moffatt [5]interprete et esquisse la forme des cellules, montrant en fait l’existence, suffisam-

Vol. 49 (1998) Ecoulements cellulaires de Stokes 935

ment pres de l’angle, d’une sequence infinie de cellules dont l’intensite et la tailledecroissent rapidement au fur et a mesure que l’on se rapproche du sommet dudiedre.

Depuis, de nombreuses etudes, utilisant des fonctions similaires, ont ete con-sacrees aux ecoulements de recirculation se developpant dans des configurationsgeometriques planes ou axisymetriques variees (cavite rectangulaire, secteur semi-circulaire, cone, etc. ...) et induits par diverses sources de mouvement (gradient detemperature, profil de vitesse, mouvement d’obstacles, etc. ...). A titre d’exemples,on peut citer pour les ecoulements axisymetriques l’etude de Schwiderski et al. [6]qui se rapporte a l’ecoulement genere dans une zone en forme de cone, ceux deBourot [7] et de Davis et al. [8] qui montrent respectivement que des cellules nais-sent dans la zone de rebroussement d’un corps de meridienne cardioıde et entredeux spheres en contact. Pour les ecoulements plans, on trouve les travaux deBurgraff [9], Yu et Nanstell [10], Shankar [11] pour une cavite de forme rectan-gulaire ou semi-circulaire, Davis et O’Neill [12] pour l’ecoulement de cisaillementautour d’un cylindre en contact avec un plan, O’Neill [13], Bourot [14], Hellou etCoutanceau [15], Hajjam & al. [16], Moreau et Bourot [17] pour un canal a paroisparalleles et tout recemment, Jana et al. [18] pour une geometrie proche de lanotre. Enfin, Hackborn [19], adaptant les fonctions propres, traite le cas d’uneclasse d’ecoulements asymetriques tridimensionnels entre des plans paralleles.

Hormis les travaux de Jana et al [18], rares sont les etudes qui se sont interesseesaux influences respectives du confinement et de la position de la source de mou-vement, en presence d’un debit, sur la structure de tels ecoulements. Ainsi nousest-il apparu interessant, en utilisant la meme technique des fonctions propres, decontribuer a la connaissance de ces influences sur les ecoulements induits par larotation uniforme d’un cylindre qui plonge verticalement dans l’entrefer d’une cuveformee de deux parois circulaires concentriques et nommee canal coaxial. Il est anoter que cette forme a ete retenue par Jana et al pour etudier les phenomenes debifurcation.

II. Position du probleme

II-1. Hypotheses et equations

On considere l’ecoulement genere par la rotation, a faible vitesse , d’un cylindre desection circulaire et de rayon R, positionne de maniere quelconque dans l’entrefer ed’une cuve cylindrique formee de deux parois circulaires et concentriques de rayonsr1 et r2 et remplie d’un fluide incompressible et newtonien de viscosite dynamiqueµ (voir figure 1).

Dans ces conditions, l’ecoulement est suppose plan et en regime de Stokes; ens’affranchissant des caracteristiques physiques du fluide et geometriques du canal etde la source du mouvement par l’emploi des grandeurs de references (R0 =

√r1r2

936 M. Hajjam ZAMP

Rax R

w

R0

r2

r1

y

x

e

q p=

q = 0

q

Figure 1.Position du probleme

V0 = Rω; µ), l’equation de la dynamique qui regit un tel ecoulement est donneedans le repere (r, θ) par:

∆∆ψ(r, θ) = 0 (1)

Soit ψ(r, θ) la fonction de courant recherchee; nous appelons ”antisymetrique”et ”symetrique” par rapport a r les champs hydrodynamiques qui verifient respec-tivement les conditions suivantes:

ψ(r, θ)r

= ±ψ(r′, θr′

avec r′ =1r

(2)

La recherche de ψ(r, θ), sous forme de produits de Laplace, conduit a desfonctions biharmoniques satisfaisant aux conditions d’adherence (3), quel que soitθ:

ψ′r(r1, θ) = ψ′θ(r1, θ) = ψ′r(r2, θ) = ψ′θ(r2, θ) = 0 (3)

Ces fonctions sont donnees par:

ψ(r, θ) = Re∑n

(Cn cos(anθ) +Dn sin(anθ))fn(r) Re(): Partie reelle (4)

Pour les champs hydrodynamiques antisymetriques en r, nous obtenons:

fan(r) = r[(r−an+1

1 + ran−11 )(r−an−1 + ran+1)

− (r−an−11 + ran+1

1 )(r−an+1 + ran−1)]

(5)

sh(an lnr2r1

) = −an(r2r1− r1r2

) lnr2r1

(5.1)


Figure 2.Les lignes de courant : Premiere famille n = 1 a) canal coaxial, b) diedre

et, pour les champs symetriques:

fsn(r) = r[(r−an+1

1 − ran−11 )(r−an−1 − ran+1)

− (r−an−11 − ran+1

1 )(r−an+1 − ran−1)]

(6)

sh(an lnr2r1

) = an(r2r1− r1r2

) lnr2r1

(6.1)

Cn et Dn sont des coefficients complexes arbitraires qui seront determines parles conditions aux limites liees au probleme considere; les an sont les racines com-plexes des equations (5.1) ou (6.1) qui sont des fonctions propres permettantd’assurer l’adherence du fluide aux parois du canal. Elles ont ete obtenues enannulant le determinant du systeme homogene issu de (3).

A chaque racine an d’ordre n est associee une famille de meme ordre (voirBourot [14]). Nous avons montre en [20] que , quelle que soit la forme du canal -diedre pour Moffatt, plan pour Bourot ou coaxial pour nous - les lignes de courantde ces familles sont similaires tout en etant modelees par la forme des parois. Lesfigures 2 et 3, ou nous donnons les lignes de courant des deux premieres famillessymetriques et antisymetriques pour les differents canaux, illustrent nos propos.

Ces figures montrent que les lignes de courant obtenues sont en effet en accordavec celles proposees par Moreau et Bourot [17] pour le canal plan.

La superposition de ces deux champs – symetrique et antisymetrique – per-met de calculer des ecoulements quelconques engendres par differentes sources demouvement, a condition que le debit moyen soit nul [14]. Or, notre ecoulement,antisymetrique en θ et general en r, presente un debit moyen non nul. Pour en tenircompte, il est necessaire d’ajouter une fonction complementaire ψ0 representant ledebit et devant satisfaire, elle aussi, les conditions d’adherence du fluide aux fron-tieres r1 et r2 de l’entrefer. Elle est obtenue par integration de (1) et s’exprime

938 M. Hajjam ZAMP

Figure 3.Les lignes de courant : Deuxieme famille n = 2 a) canal coaxial, b) diedre

par:

ψ0 =q[4 ln r2

r1ln r − r2(r2

2 − r21 + 2r2

2 ln r2r − 2r2

1 ln r1r )]

(r22 − r2

1)2 − 4 ln2 r2r1

(7)

q est un coefficient arbitraire qui represente le debit.De sorte que la fonction de courant la plus generale (8) est donnee par la

superposition des fonctions de courant antisymetrique ψa, symetrique ψs et dedebit ψ0:

ψ(r, θ) = ψa(r, θ) + ψs(r, θ) + ψ0(r) (8)

II-2. Conditions aux limites et resolution

Les conditions de frontieres exterieures (vitesse nulle sur les parois r1 et r2) sontsatisfaites par chacun des termes de la serie (8). Il reste une seule condition asatisfaire qui est l’adherence du fluide sur le cylindre tournant R (voir figure 4(a,b)). En effet, la vitesse tangentielle doit avoir la meme valeur V0 en tout pointdu cylindre tournant. La vitesse V0 etant prise comme reference, cette conditionse traduit pour la vitesse tangentielle adimensionnee V par:

V =V0V0

= 1 sur R (9)

Selon la position du point sur R (I ou II), on a:

(I)→{Vr0 = sin(βI)Vθ0 = − cos(βI)

(II)→{Vr0 = sin(βII)Vθ0 = cos(βII)


R

RR

0

r2

V0

Vr0

Vr0(II)

(I)

bI

bII

V

VVq0

Vq0

r1

y

y

x x

q p=

q = 0

q

A

A

B

B

q

CC

D

D

E

F

e

O

D–

D+

r

r

Figure 4.a) positions des domaines D+ et D−; b) condition d’adherence a R

Or, comme l’ecoulement que nous avons a calculer ne possede aucune symetrieen r (general en r), mais presente une antisymetrie en θ, on peut limiter le do-maine de calcul a la moitie du canal, D+ ou D−, moyennant des conditions sup-plementaires qui rendent le domaine de calcul connexe, a savoir les egalites descontraintes et des vitesses sur les segments AB, CD et EF. Ces conditions serontsatisfaites si l’on annule sur ces memes segments la vitesse radiale Vr et le gradientde la pression P : {

Vr(r, θ) = 0∂P (r,θ)∂r = 0

(10)

Dans ces conditions, les expressions definitives des fonctions de courant elementaires(ψs, ψa, ψ0) s’ecrivent :

ψa(r, θ) = Re∑NC C1n cos(anθ)fan(r)

ψs(r, θ) = Re∑NC C2n cos(anθ)fsn(r)

ψ0 =q[4 ln r2

r1ln r−r2(r22−r

21+2r22 ln r2

r −2r21 ln r1r

](r22−r

21)2−4 ln2 r2

r1

(11)

Les autres grandeurs necessaires ou non a l’ecriture des conditions aux limites(vitesse, vorticite, pression) se determinent aisement a partir des relations sui-vantes:

V

{Vr = 1

r∂ψ∂θ

Vθ = −∂ψ∂r; ζ = −∆ψ;

∂P

∂r=

1r

∂(∆ψ)∂θ

(12)

940 M. Hajjam ZAMP

Pour satisfaire les conditions (9) et (10) avec l’approximation desiree, on retientNC termes dans les series (11) et on decompose les coefficients complexes C1n etC2n respectivement en A1n, B1n et A2n, B2n. Les 4NC+1 coefficients disponibles(A1n, B1n, A2n, B2n, q) necessaires a l’obtention de la precision souhaitee sontobtenus en minimisant, sur la moitie du cylindre tournant et sur les segmentsAB et CD, la somme des ecarts quadratiques entre les valeurs fournies par les so-lutions approchees et les donnees aux limites (9) et (10). Sur le segment EF, situea θ = 0, la condition (10) est naturellement verifiee. Ceci s’exprime en rendantminimale la quantite positive:

I =∫

Γ1

((Vr − Vr0)2 + (Vθ − Vθ0)2

)dΓ1 +

∫Γ2

((∂P∂r

)2 + V 2r

)dΓ2 (13)

ou Γ1 et Γ2 designent respectivement l’element d’arc du cylindre tournant etl’element de segment (AB et CD).

Dans cette integrale (13), les coefficients Ain , Bin (i = 1, 2) sont les seulesinconnues. Pour la rendre minimale, il faut que sa derivee par rapport aux incon-nues soit nulle. Cette condition permet d’obtenir un systeme de 4NC+1 equationslineaires a 4NC+1 inconnues.

La resolution de ce systeme permet l’obtention des coefficients inconnus. Parla suite, nous verifions la satisfaction des conditions aux limites en calculant lamoyenne, en chacun des points des frontieres Γ1 et Γ2, des ecarts quadratiques ε1et ε2 donnes par:

ε1 =√

(Vr − Vr0)2 + (Vθ − Vθ0)2

ε2 =

√(∂P∂r

)2 + V 2r

(14)

La precision est consideree comme bonne si cette moyenne des ecarts quadra-tiques est tres faible. Cette technique numerique de minimisation quadratique aete initialement proposee pour ecrire les conditions aux limites par Bourot [21]; elleest depuis lors utilisee avec succes pour traiter des problemes divers: Coutanceauet Thizon [22] pour le comportement des bulles et gouttes en presence de paroi,Bouard et Coutanceau [23] pour le cylindre en translation, Maalouf et Bouard [24]pour les milieux poreux, etc. . . . . Ce succes est du a la facilite de sa mise en œuvreet surtout a la grande precision relative qu’elle permet d’obtenir (voir Bourot etMoreau [25]). Ainsi, dans notre cas, cette precision, definie comme la moyenne desecarts quadratiques, avoisine les 10−5 dans le cas le plus favorable et 10−3 dans lecas contraire.

III. Resultats et commentaires

Afin de rendre notre etude independante des dimensions reelles du canal et dela source de mouvement, nous avons introduit les parametres adimensionnels sui-vants : le rapport d’obturation λ et le decentrement algebrique de la source de


mouvement dec%. Ce dernier est positif si la source de mouvement se deplace versla paroi exterieure r2 du canal et negatif dans le cas contraire:

λ = 2Re

dec% = 2·yre−2·R100; yr = Rax −

(r2+r1

2

)k = r2

r1

(15)

ou e = r2− r1 represente la largeur de l’entrefer du canal, Rax la position absoluedu cylindre tournant de rayon R et yr sa position relative par rapport au centrede l’entrefer.

Nous avons examine successivement les evolutions de la structure generale del’ecoulement et du debit q en fonction du rapport d’obturation λ et du decentrementdec% a travers la forme des lignes de courant et plus particulierement celle deslignes de decollement (ou de separation). Dans un second temps, afin de mettre enevidence l’influence des modifications impliquees par le debit, nous avons annulecelui-ci par l’interposition dans l’entrefer d’une paroi solide situee a θ =0. Enfin,pour montrer les possibilites de notre methode, nous avons examine le cas ou lasource de mouvement est multiple.

III-1. Cas centre (dec% = 0)

Afin de mieux apprehender les modifications dues au decentrement sur la structuregenerale de l’ecoulement, nous considerons en premier lieu le cas ou la source demouvement est positionnee au centre de l’entrefer du canal.

A titre d’exemples, nous donnons sur la figure 5 (a,b) la structure des lignes decourant ainsi que la forme des lignes de separation, pour deux valeurs du rapportd’obturation λ:

Quelle que soit la valeur du rapport d’obturation λ examinee, la structure del’ecoulement que nous avons obtenue se compose d’un ecoulement principal localiseautour de la source de mouvement et confine par une ligne de separation attachee ala paroi r1 (ψr1), d’un ecoulement cellulaire forme de deux cellules situees de partet d’autre de l’ecoulement generateur et confinees par une autre ligne de separationattachee cette fois a la paroi r2 (ψr2) et enfin d’un courant de contournements’etablissant entre ces deux lignes separatrices. Ce dernier est la materialisationdu debit q qui existe dans cette configuration. Le courant de contournement et lescellules forment l’ecoulement secondaire qui est induit par l’ecoulement principal.Ces resultats sont en accord avec les visualisations experimentales presentees dans[20].

III-2. Cas decentres

A present, considerons un decentrement de la source de mouvement successivementdans le sens positif et negatif et examinons les modifications correspondantes.

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Figure 5.Lignes de courant et lignes de separation pour k=4 et pour deux rapports d’obturation a) λ = 1/3et b) λ = 1/2

III-2-1. Cas des decentrements positifs (dec%> 0).

a) dec%= +2%b) dec%= +16%c) dec%= +20%

(I) λ = 1/3d) dec%= +2%e) dec%= +16%f) dec%= +25%

II) λ = 1/2

La figure 6 montre, des les faibles decentrements (dec%=+2%) et quel que soitle rapport d’obturation λ que nous avons examine, nous avons observe des modi-fications importantes de la forme des lignes de courant ainsi que de la position deslignes de separation ψr1 et ψr2. En effet, comme l’illustrent les reseaux 6a et 6d,


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Figure 6.Evolution des lignes de courant et des lignes de separation ψr1 et ψr2 en fonction d’un decentrementdec% positif, pour k = 4 et pour deux rapports d’obturation: (I): λ = 1/3 et (II): λ = 1/2


l’ecoulement principal est confine par la ligne de separation ψr2 et l’ecoulementcellulaire (les deux cellules) par ψr1 , alors que dans le cas centre nous avions con-state le contraire. Ce fait remarquable temoigne de l’instabilite de la structure del’ecoulement quand la source de mouvement est centree : le moindre decentrementpositif implique un phenomene de bifurcation. Si l’on continue a decentrer posi-tivement la source de mouvement, on constate une augmentation en valeur absoluedu debit q et donc du courant de contournement. Cette augmentation est d’autantplus importante que le rapport d’obturation λ est petit ; le tableau I temoigne dece fait:Tableau I: evolution du debit en fonction du decentrement pour k = 4 et pour differents rapportsd’obturation

dec% −30% −20% −10% 0% +10% +20% +30%

q = 4/50.4120E − 10.2779E − 10.1421E − 30.9039E − 1−0.1370E − 1−0.3122E − 1−0.4031E − 1q = 3/50.7551E − 10.5028E − 10.2541E − 40.3448E − 1−0.2228E − 1−0.4763E − 1−0.7155E − 1q = 1/20.8457E − 10.5741E − 10.2860E − 30.8802E − 1−0.2609E − 1−0.5394E − 1−0.8338E − 1q = 2/50.9136E − 10.6020E − 10.3159E − 10.1548E − 1−0.2610E − 1−0.5820E − 1−0.8982E − 1

Cette croissance du debit q entraıne une forte reduction de la ligne de separationψr1 qui confine les zones de recirculation (voir figure 6 (a,b,c,d,e)). On peut memeobtenir une disparition complete de ces zones de recirculation dans le cas ou lavaleur du rapport d’obturation est inferieure a 0.7, et le decentrement tel que ledonne le tableau (II):

Tableau II. decentrements pour lesquels il y a disparition de la ligne de separationψr1 pour k = 4 en fonction du rapport d’obturation λ

λ 1/10 1/6 1/3 1/2 3/5

dec%+7%+12%+22%+43%+66%

Sur ce tableau, nous constatons que plus le rapport λ est petit plus le decentrementnecessaire a la suppression de la ligne ψr1 est faible. Ce resultat est logique, car lareduction voire la disparition des cellules donc de la ligne ψr1 est due a l’importanceque prend le courant de contournement et donc le debit q, dont l’intensite est elle-meme d’autant plus grande que le rapport λ est petit (voir tableau I). Enfin,pour les fortes valeurs du decentrement et pour des rapports λ superieurs a 0.7, leconfinement de l’ecoulement generateur par la ligne de separation ψr2 est tel qu’ildevient presque parietal.III-2-2. Cas des decentrements negatifs ( dec%< 0). La figure 7 (a,b,c,d,e) nouspermet de suivre l’evolution des lignes de courant et des lignes de separation enfonction d’un decentrement negatif.

Contrairement au cas du decentrement positif, nous n’avons pas observe d’instabilite.En effet, les lignes ψr1 et ψr2 paraissent moins sensibles au decentrement negatif.

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Figure 7.Evolution des lignes de courant et des lignes separatrices ψr1 et ψr2 en fonction d’un decentrementdec% negatif, pour k = 4 et pour deux rapports d’obturation: (I): λ = 1/3 et (II): λ = 1/2

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La figure 7 (a,b,c,d,e,f) montre que la forme de ces lignes reste similaire au cascentre; par contre, leur taille diminue, leur valeur change ainsi que leur positiondans le canal. Chacune se rapproche de la paroi a laquelle elle est attachee. Laligne ψr2 fortement reduite finit par disparaıtre pour des rapports d’obturationinferieurs a 0.6 et pour des decentrements tels que les donne le tableau (III).

Tableau III. decentrements pour lesquels il y a disparition de la ligne de separationψr2 pour k = 4 en fonction du rapport d’obturation λ

λ 1/10 1/6 1/3 1/2

dec%−11%−16%−33%−68%

La ligne ψr1 continue d’exister et confine fortement l’ecoulement generateur sile rapport d’obturation est superieur a 0.6, de telle sorte que, la aussi, il devientpresque parietal.

Quel que soit le decentrement et le rapport d’obturation que nous avons ex-amines, nous avons trouve que le rapport des valeurs de la fonction de courantdes lignes de separation est constant et vaut: ψr2

ψr1= 1.8440 ; nous n’avons observe

aucun phenomene de coalescence comme c’est le cas dans le canal rectangulaire(voir Hellou et Coutanceau [15] et Hajjam et al [16]).

Enfin, pour tous les rapports d’obturation λ que nous avons examines, sile decentrement est important (dec%≥ ±80%), nous constatons la disparitiondes zones de recirculation, la forte reduction de l’ecoulement generateur et lapredominance du courant de contournement.

III-3. Cas des ecoulements a debit moyen nul

Nous avons voulu savoir quelle etait la structure de l’ecoulement qu’on obtiendraiten annulant le debit q. Ce resultat peut etre obtenu de deux facons :

* la premiere consiste a interposer une paroi solide EF dans l’entrefer du canalcoaxial a θ = 0 (voir figure 8). Cette paroi bloque le passage du fluide et annulede ce fait le debit qui pourrait s’y etablir :

En l’absence du debit q, la fonction de courant est donnee par :

ψ(r, θ) = ψa(r, θ) + ψs(r, θ) (16)

En plus des conditions (9) et (10), on ecrit au sens des moindres carres l’adherencedu fluide tout au long du segment EF.

L’ecoulement que nous avons obtenu est donne sur la figure 9 :Ainsi, on constate que cette structure est composee d’un ecoulement principal

localise autour de la source de mouvement et d’un ecoulement cellulaire formetheoriquement d’une sequence infinie de cellules, mais dont on ne voit sur la figure


R

R0

r2

V0

r1

y

x

q p=

q = 0

q

A

B

C

D

E

F

e

O

D–

D+

r

Figure 8.Position de la paroi EF dans l’entrefer du canal

9 que les deux premieres, qui sont situees de part et d’autre du cylindre tournant.Hormis la forme modelee par celle des parois du canal, cet ecoulement est ana-logue a celui qu’on obtiendrait en canal plan (voir Hellou et Coutanceau [15]). Endecentrant la source de mouvement, positivement ou negativement, nous consta-tons egalement la similarite de comportement avec le canal plan. En effet, ainsique l’ont decrit Hajjam et al. [16], nous observons le rapprochement et la coales-cence des premieres cellules formant une cellule unique presentant deux noyaux ettrois points (P1,P2,P3) de vitesse nulle (voir figure 9). On peut donc conclure quetous les ecoulements cellulaires a debit moyen nul ont une structure similaire. Ilapparaıt donc que c’est la presence du debit qui provoque la scission des lignes deseparation classiques en deux lignes distinctes, chacune etant attachee a l’une desparois du canal.

* la seconde facon de reduire fortement le debit, sans pour autant arriver al’annuler, est la recherche d’une position de la source de mouvement telle que ledebit moyen soit le plus faible possible. Cette position est voisine du centre del’entrefer, pour les valeurs de λ que nous avons examinees, comme le montre letableau I. Les lignes de courant obtenues sont exposees sur la figure 10 :

L’importance du role du debit sur la structure des ecoulements cellulaires seconfirme en examinant l’ecoulement calcule en gardant l’expression la plus generalede la fonction de courant et en agissant uniquement sur la position du cylindretournant. La structure ainsi obtenue est similaire, sans etre identique, a celledonnee sur la figure 9. En effet, sur la figure 10 ou le debit est tres faible, onobserve la naissance d’une seconde cellule comme dans le cas de la figure 9 ou ledebit est nul. Les lignes de separation des deux figures sont tres differentes etillustrent bien nos propos.

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Figure 9.Lignes de courant et lignes de separation pour k = 4, pour un rapport d’obturation λ = 1/3 etpour differents decentrements

Figure 10.Lignes de courant et de separation pour k = 4, pour un rapport d’obturation λ = 0.6, un debitq = −0.3448 · 10−4 et un decentrement nul

III-4. Extensions possibles

L’algorithme que nous avons elabore est susceptible de traiter egalement desecoulements generes soit par la translation d’un cylindre, soit par la rotation con-comitante de deux cylindres dans l’entrefer d’un canal coaxial. C’est ce dernier


Figure 11.Lignes de courant et de separation pour λ = 1/3 et k = 4; lorsque les deux cylindres sont disposesde maniere centree et symetrique

cas que nous avons choisi pour illustrer nos propos, d’une part parce qu’il se situedans la continuite de nos preoccupations et d’autre part pour mettre en evidenceles differences par rapport au canal plan traite par Moreau et Bourot [17].III-4-1. Cas de la source de mouvement multiple Nous avons calcule l’ecoulementgenere par la rotation a faible vitesse de deux cylindres de meme rapport d’obturationλ = 1/3, disposes de maniere centree et symetrique dans l’entrefer. Les resultatsque nous avons obtenus sont exposes sur la figure 11:

L’ecoulement ainsi obtenu semble similaire par sa composition ( ecoulementgenerateur, cellulaire et debit) a celui genere par une source unique de mouvement,hormis le fait que la ligne de separation ψr1, qui confine l’ecoulement principalgenere par les deux cylindres, presente un decollement supplementaire situe du coteoppose aux sources de mouvement. La forme des lignes de courant est equivalentea celle decrite par Moreau et Bourot [17] dans le cas du canal plan.

IV. Conclusion

Nous avons donc calcule l’ecoulement genere par la rotation a faible vitesse d’uncylindre de section circulaire qui plonge verticalement dans l’entrefer d’un canalforme par deux parois circulaires et concentriques. Nous montrons que la positionde la source de mouvement influence notablement la structure de l’ecoulement.Quand le cylindre tournant est centre (dec%=0%), nous observons un ecoulementprincipal localise autour de la source de mouvement, et un ecoulement secondaireforme de deux ecoulements distincts separes par des lignes de courant singulieres.L’un, de forte importance, est compose de cellules symetriques situees de part etd’autre de la source de mouvement ; l’autre, d’importance moindre, la contourneen passant entre les deux lignes separatrices ; qualifie de courant de contournement,il est a l’origine du debit qui s’etablit dans ce canal.

Quand la source de mouvement n’est plus positionnee au centre de l’entrefer du

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canal, nous avons distingue deux comportements suivant le signe du decentrement:

� Pour les decentrements positifs (dec%> 0):

Des le debut du decentrement (dec%=+2%), nous mettons en evidence ledeplacement des cellules vers la paroi circulaire interne et son ”emprisonnement”par le courant de contournement. L’ecoulement principal localise autour de lasource de mouvement semble inchange par rapport au cas centre. Le courant decontournement prend le pas sur l’ecoulement cellulaire. Ce fait s’amplifie avecl’augmentation du decentrement; le courant de contournement, dont le debit aug-mente, reduit de plus en plus la taille des cellules qui se rapprochent davantage dela paroi interne du canal. Au-dela de dec%=+10%, on assiste a leur disparition eta la predominance du courant de contournement sur l’ecoulement principal, dontle domaine se reduit fortement pour des rapports d’obturation λ > 0.7.

� Pour les decentrements negatifs (dec%< 0):

Des les faibles decentrements de la source de mouvement vers la paroi internedu canal, on observe l’augmentation du debit du courant de contournement et lareduction de la taille des cellules, qui sont repoussees vers la paroi externe du canal;l’ecoulement principal se reduit moderement par rapport au cas centre. Au-dela(dec% allant de -20% a -100%), le phenomene s’accentue, entraınant la disparitiondes cellules si le rapport λ < 0.5. Le courant de contournement et l’ecoulementprincipal subsistent.

En examinant le cas des ecoulements a debit moyen nul, nous trouvons quel’absence du debit conduit a une structure cellulaire de type classique : sequenceinfinie de cellules, coalescence si le decentrement est suffisant; cette structure semodifie fortement meme pour une faible valeur du debit. Le courant de con-tournement predomine et donc le debit augmente des que l’on conjugue les effetsdes petits rapports d’obturation et ceux des forts decentrements.

Enfin, l’absence de travaux qui tiennent compte du debit nous amene a en-visager de prolonger ce travail par l’etude des ecoulements generes soit par latranslation circulaire d’un cylindre, soit par la rotation simultanee d’une serie decylindres regulierement espaces dans l’entrefer du canal.

Remerciements

L’auteur remercie le Professeur Madeleine Coutanceau, ancien directeur du labo-ratoire de mecanique des fluides de l’Universite de Poitiers (U.R.A. 191), pour lesprecieux conseils dont il a beneficie lors de la redaction de cet article.


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Mohamed HajjamLaboratoire de Mecanique des Solides(C.N.R.S. U.M.R. 6610)Universite de Poitiers4 Avenue de Varsovie 16021 ANGOULEME cedex(e-mail: [email protected])

(Received: March 22, 1997; revised: October 7, 1997 and January 7, 1998)

Documents

Ecoulements cellulaires de Stokes générés par rotation dans un canal coaxial