ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

BNIAICHE EL Amine

ITSMAERB

Département : « Gestion & Maîtrise de l’Eau »

2013

I-GÉNÉRALITÉS:

I.1- Caractéristiques d’un canal:

Section du canal: géométrie du canal dans un plan perpendiculaire à son axe.

Tirant d’eau (y): distance de la section libre /au point le plus bas de la section du canal

Section mouillée (S): la partie de la section limitée par les parois et la surface libre

Largeur au miroir (L): largeur de S au niveau de la surface libre.

Périmètre mouillé (Pm): périmètre de la section mouillée en contact avec les parois.

Rayon hydraulique (Rh): Rh=S/Pm

Vitesse moyenne (V): V=Q/S.

Pente du canal (I): géométrie du canal dans un plan perpendiculaire à son axe.

12

12

xxZZ

I ff

Zf1 et Zf2 cotes du fond aux points 1 et 2

Zf2

Z

Fond du canal

Zf1

x2x1

Pente I

Surface libre

Section mouillée

sindxdzIpente

Z

x

Radier = Fond du canal

LRayon hydraulique : P

SRh

Exemples calcul rayon hydraulique :

y

y

si infiniment large

yLyLRh .2

.

Le rayon hydraulique est le paramètre qui permet de prendre en compte l'influence du frottement du liquide sur les parois de la canalisation.Plus il est grand plus la section de passage est grande par rapport au périmètre "frottant".La perte de charge sera d'autant plus faible, que le rayon hydraulique sera grand.

Cas d’un canal rectangulaire:

b: largeur du fond du canalB: largeur au miroirY: tirant d’eauRev: revanche: angle des talusm: coefficient de pente de talus

ymybmybyS

Section

)(

mouillée 2

ymbPmmposons

mybP

Périmètre

m

'2'

2

12

12

mouillé

ymb

mybyPSR

Rayon

mh '

2

ehydrauliqu

EXEMPLE:

Déterminons le rayon hydraulique d’un canal

trapézoïdal si la largeur du canal de fond b= 8 m,

le tirant d’eau dans le canal y= 2,5 m, le

coefficient de la pente du talus m= 1,5.

24,295,2*)5,2*5,18()( mymybS

mmybPm 02,175,115,2*2812 22

mPSRm

h 73,102,174,29

y

b

B

a

m

Rev

1

Cas d’un canal trapézoïdal:

DDP

mouilléPérimète

m 22

:

sin8

sin*8

*8

2cos*

2sin*

4*

82cos*

2sin2*

21

2*

4

:

222

222

DDD

DDRRDS

mouilléeSurface

sin14

2

sin8

: ydraulique 2

D

D

D

PSR

hRayon

mh

Cas d’un canal partiellement plein:

I.2- Charge en un point, charge moyenne et charge spécifique:

Charge en un point:

gV

gPZH MM

MM 2

2

Charge moyenne dans une section:

)(:

:2

21

21

2

22

SLlibresurfaceladeCoteZ

moyennevitesseVavecgVZH

dSg

VS

Zg

VgPZ

SH MMM

M

12,11 pratiqueengVZHm 2

2

Z

x

MZM

Z

z

M

MM

gy

gyzyzgP

M

MM

Poù d' 1cos faible très

cosP cos

;

gVyZHAinsi M

MMM 2

2

yM

Patm

Charge spécifique dans une section:C’est la charge mesurée par rapport au radier au niveau de la section d’écoulement:

gVyzHH fs 2

2

Pente I

Surface libreLigne piézométrique

Types d’écoulement:Ecoulement permanent

Ecoulement transitoireRégime

uniformeRégime

variéRégime permanent

à Q variable

Q= Cste Q= Cste Q= Q (x) Q= Q(x,t)

v= v0 v= v(x) v= v (x) V= v (x,t)

Y=Y0 Y=Y (x) Y=Y (x) Y= Y (x,t)

Types d’écoulement

Variabilité dans le tempsOn parle d'un écoulement permanent si la profondeur hydraulique et les vitesses moyennes et ponctuelles de l'écoulement du canal ne varient pas dans le temps. l'écoulement est considéré non-permanent si la profondeur hydraulique varie dans le temps

Variabilité dans l'espaceL'écoulement d'un canal est uniforme si la profondeur hydraulique et la vitesse restent invariables dans les diverses sections du canal. L'écoulement d'un canal est non-uniforme si la profondeur hydraulique et la vitesse change d'une section à l'autre du canal.

1-Ecoulement Uniforme2-Ecoulement graduellement varié3-Ecoulement rapidement varié

Déversoir

Déversoir

Seuil du déversoir

Ressauts

Ecoulement uniforme dans un canal trapézoïdal

Ecoulement uniforme dans un canal semi circulaire

Chute Écoulement au-dessous d’une vanne

Ressauts hydrauliques

Ressauts hydrauliques

Ecoulement torrentiel

Ecoulement fluvial

y1

y2

II-ECOULEMENT UNIFORME:y, S, V, Q sont constants (géométrie, pente et nature de parois constantes)

II.1- Equation du régime uniforme:Considérons 2 section de fluide 1 et 2; d’après le théorème de Bernoulli, la perte de charge unitaire entre 1 et 2 est:

dxdH

xHHj

21

gVyZ

gVZHavec f 22

22

y= et V = Cstes

dxdZ

IordxdZ

dxdH ff

ChézydeFormuele

hRCVjI 2

2

C: coefficient de Chézy (nature de paroi)

)(

3/42

2

/1aleExpérimentStricklerManningdeFormuele

hRnVjI

n: Coefficient de rugosité)

IRSn

Q h3/21

StricklerManningdeéquationltrouveonRn

C h ' ,1 remplçant en ou 6/1

Ou 3/21hRIn

V et

x

Z

x

1

2

x1 x2

Pente I

Zf

y

ZSL

Ij Equation du régime uniforme

Nature des parois n 1/n Béton lisse 0.0133 75,19 Canal en terre, enherbé 0.02 50 Rivière de plaine, large, végétation; peu dense

0.033 30,3

Rivière à berges étroites très végétalisées

0.1-0.066 10-15,15

Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30 Lit majeur en forêt < 0.1 < 10

Problèmes de calculs hydrauliques des canux trapézoïdaux:VtiquesCaractéris m, y, b, I, n, Q, :

met y b, n, I,sachant et QDéfinir :èr type 1 de Problème V

:problèmes de typesPrincipaux

Solution:

222 3,505,3*25,15,3*10 mmybyS

mmybPm 2,2125,115,3*21012 22

mPSRm

h 37,22,213,50

smISRn

IkSRQ hh /6,500002,037,2*3,50*025,011 33/23/23/2

Exemple:Déterminer Q et V dans un canal trapézoïdal, si n=0,025, I= 0,0002, m = 1,25, b= 10 m, y = 3,5 m ?

y

b

B

m1

(estimé)

(estimé)m

k k quand succesives ionsapproximatpar résolution laarrêter

k ,P S, détermineon y;ou b de valeursles simulonset I

QK calcule

met y)b(ou n, I,Q,sachant et b)(ou y Définir : typeème 2 de Problème

etROn

V

h

Exemple:Déterminer la largeur b du fond d’un canal trapézoïdal et la vitesse moyenne v de l’eau, si Q= 5,2 m3/s, n=0,025, I= 0,0006, m = 1, y = 1,2 m ?

Solution:

smIQKkSRsi

IkSRQ

h

h

/2130006,02,5 K 33/2

3/2

b (m) S (m2) Pm (m) Rh (m) Rh2/3

(m) 1/n K (m3/s)

0 1,44 3,39 0,424 0,565 40 32,5220,5 2,04 3,89 0,524 0,650 40 53,0281 2,64 4,39 0,601 0,712 40 75,189

1,5 3,24 4,89 0,662 0,760 40 98,4432 3,84 5,39 0,712 0,797 40 122,461

2,5 4,44 5,89 0,753 0,828 40 147,0353 5,04 6,39 0,788 0,853 40 172,025

3,5 5,64 6,89 0,818 0,875 40 197,3364 6,24 7,39 0,844 0,893 40 222,900

En prenant une série de valeurs de b, on calcule

, ,

et K=1/n.

On dresse les résultats dans le tableau ci-contre.

D’après les données du tableau on trouve que b

recherché est égal à 3,8 m

ymybS )( 212 mybPm m

h PSR

y

b

B

m1

22 12QS :équations 2 de systèmeUn

met n, I,, Q,sachant bet y Définir : typeème 3 de Problème

mybRSPetmyby

V

V

hm

Exemple:Déterminer les paramètres de la section liquide du canal trapézoïdal, si Q= 19,6 m3/s, n=0,025, I= 0,0007, m = 1, V = 1,30 m/s ?

Solution:

mInV

IkVRet

smIVkRIkRV

h

hh

36,1

/13,49

2/32/3

3/23/2

1,1511,15QS 222 ybyouybymybyV

1,1182,222121,11 2 ybouybmybRSPh

m

Solution du système: b= 5,5 m et y= 2,02 m

II.3- Calcul de la section économique ou optimale:

y

L

La construction d’un canal pour transporter un débit Q, avec une pente I et uncoefficient de rugosité n, coûtera d’autant moins cher que la section, S, sera optimale càd correspondant à la valeur minimale du périmètre mouillé.

Une même section mouillée peut correspondre à des périmètres mouillés différents

mP

mS

m 5,2125,0

5,015,0

1

21

mP

mS

m 25,021

5,05,01

2

22

y = 1 m

b = 0,5 m

y = 0,5 m

b = 1 m

Connaissant I et α, d’un canal trapézoïdal quelle est de toutes les sections ayant la même surface celle qui donne Qmax ? Les variables étant b et y

min.max

3/2

3/53/211'

²12

1

21

21

21

32

m

mm

mHm

H

PQP

SISIPSQoùd

PSRmybPymybS

SIRQ

y

b

B

m1

mmymymybymybm

ymyb

dydbydbdymybdb

bSdy

ySdS

mdydbdbdymdb

bPdy

yPdP

dScsteSdPPm

²122²122²12

2020

²120²120

0;0min.

²122

²12²12²12P

économique mouillé Périmètre

²12²12

2²12

économique mouilléeSection

m

2

mmy

mymmymyb

mmyymymy

ymymymyymybS

2 ²122

²12:'2 y

mmymmy

PSRoùdm

H

Exemple

Trouver les caractéristiques de la section la plus avantageuse d’un canal rectangulaire transportant un débit de 10 m3/s sous une pente de 0,0001. Le coefficient de Manning est pris égal à 0,019.

my

mIQy

yIySIRQ

yA

mmybetmmyS

yR

H

H

54,577,222b0m irerectangulaSection

77,210

10019,022

22

11

20m irerectangulaSection

²12²122

83

318

33

1

32

32

4

2

2

2

Solution

Exemple

Trouver les caractéristiques de la section la plus avantageuse d’un canal trapézoïdal (m = 2) transportant un débit de 10 m3/s sous une pente de 0,0001. Le coefficient de Manning est pris égal à 0,019.

my

mIQy

yIySIRQ

ybetyS

mmybetmmyS

yR

H

H

20,155,2252252b

55,21015

10019,0215

2

1522

11

2521522m : apézoïdaleSection tr

²12²122

83

318

33

1

32

32

4

2

2

2

Solution

III-ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE:Q = constant ; S, V et y sont fonction de x ; Pente du fond pente de la surface libre

III.1- Equation du régime :

yn yc

FLUVIAL

TORRENTIEL

yn1y

dxdHj

sff HZgVyZ

gVZH

22

22

dxdHIj

dxdH

dxdZ

dxdH ssf

BdydSdSgSQdydH

gSQy

gVyH

s

s

3

2

2

22

223

2

1gSBQ

dydH s

Equation du régime graduellement varié

jIdxdH s (1)

(2)

(1)/(2) 3

2

1gSBQjI

dxdy

Relation permettant de suivre l’évolution de la profondeur de l’eau dans le canal (y) en fonction de (x)

III.2- Profondeur normale & profondeur critique:

III.2.1- Profondeur normale (yn):

Valeur de yn pour laquelle I - j = 0. Il correspond au tirant d’eau de l’écoulement uniforme

)(3/422

2

3/42

2

ynyn RSkQ

RkVjI

III.2.2- Profondeur critique (yc):

c)(

3

2

)(3

2

y critique valeur laoù d' ;101 ycyc

s

gSBQ

gSBQ

dydH

Valeur de y pour laquelle 0dydH s

Pour Q donné, c’est la valeur de y pour laquelle Hs est minimale

Hs

y

yc

0dydH s

0dydH s

yH s

)(2

22

22 yss gS

QyHougVyH

H0et ;01

0H;10

oblique

s2

verticlae

s2

asymptote

ss

asymptote

s

yyHHS

ysi

HS

ysi

d’où on peut tirer la valeur de yn

III.2.4- Pente critique (Icr):

Valeur de la pente I pour laquelle yn = ycr.

)(3/422

2

3/42

2

crcr yhyhcr RSk

QRkVjI

crcrh

cr

yc

cr

BRkgSgSBQtConnaissan

3/42)(

cr

)(3

2

I alors

critique régimeen 1

III.2.3- Nombre de Froude (régimes d’écoulement)

Posons: 23

2

1 FdydHF

gSBQ s

TorrentielRégimeyydydHFSi

fluvialRégimeyydydHFSi

critiqueRégimeyydydHFSi

cs

cs

cs

01

01

01

EXEMPLE

Un canal rectangulaire 12 m de large débite 14 m3/s sous une profondeur de 1,22 m.

1. Quel est le régime d’écoulement dans ces conditions si le coefficient de Manning est pris égal à 0,017?

2. Calculer la pente critique de ce canal.3. Quelle pente faut il donner à ce canal pour produire un écoulement uniforme sous

une profondeur de 1,22 m?

fluvial Régime128,0

1222,181,91412

:écoulementd' Régime-1

3

2

3

2

F

gSBQF

SOLUTION

4

2

2

105,2

22,11222,1212

22,112

14017,01

:uniforme Pente-3

32

32

32

SRQISIRQh

h

3

34

2

23

2

3

223

3

2

34

2

1095,312476,0

21,681,9017,0:'

476,052,0212

21,62

52,01221,6

21,681,9141211

:critique Pente-2

c

cc

ch

c

ccccc

cc

cc

c

c

c

cc

Ioùd

myB

SR

mBSyyBS

mgQBS

gQBS

gSQBF

BR

gSI

c

cH

FLUVIAL

TORRENTIEL

RESSAUT

Longueur du ressaut :

IV-ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE:

Le ressaut hydraulique est une surélévation brusque de la surface libre d’unécoulement permanent qui se produit lors du passage du régime torrentiel au régime fluvial. Il est accompagné d’une agitation marquée et de grandes pertes d’énergie.

Les hauteurs y1 et y2 sont appelées « profondeurs conjuguées du ressaut ». La perte de charge est représentée par Δh.

1y2yh

IV.1- Définition:

Section amont du ressaut

2V2pF

2y

1y 1pF 1V

Ressaut hydraulique

P

frF(faible) 1 2Section aval du ressaut

On ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli entre la section 1 et 2. La perte decharge n’est pas connue et les formules du régime uniforme ne sont pas applicables. C’est le théorème d’Euler qui permet de résoudre le problème.En raisonnant, suivant un tube de courant en régime permanent, les forces quiagissent sur cet élément sont :

IV.2- Détermination des profondeurs conjuguées:

En écrivant le théorème de la quantité de moment: )( 12 VVQF

)( 1221 VVQFFFP frpp

En négligeant la force de pesanteur et les forces de frottement, on a :

)( 122211 VVQygSygS GG

21

212

22

21

12

2

12

22

21

12

22

21

1222

11

yyyy2:'

y1

y1

yy22

:débit lepar vitessesles remplaçons

VV22

VV22

gqyyoùd

gqqq

gqyy

gqyy

bqbyygbyyg

Soit q: débit unitaire (l/h/m)

1

211

31

2111

31

21

2

12

2

221

221

2

1222

21

21

2

21

8112

8112

8112

y

: versaou vise )f(yy extrayons

02yy2yyyy12

gyVy

gyyVy

gyqy

gqyy

gqyy

gqyy

2

22

1 8112

y rFy 2

11

2 8112

y rFy

y1 et y2 sont appelées profondeurs conjuguées du ressaut.

et

Finalement on obtient:

D’après l’expérimentation, cette longueur (m) peut être calculée à partir de la formule de Miami:

22

21

22

21

2

2122

21

21

22

2

21

22

21

2

2122

221

2

2

2122

21

2

21

22

21

21

22

2

21

1

22

2

21

121

22

112

112

112

222222

yyyy

gqyy

yyyy

gqyyh

yygqyy

ybybgQyy

SSgQyyh

gV

gVyy

gVy

gVy

gVy

gVyHHh ss

12y6L y y1

y2

2g

21V

2g

22V

Ligne de chargeH

L

IV.3- Longueur du ressaut:

IV.4- Pertes de charge d’un ressaut:

21

221

2121

2122

21

21

21

212

22

21

2

2121

21

21

212

21

41

4

22yyyy

2

yyyyyy

yyyyyyyyh

yyyy

qyyg

gqyy

yyyy

gqyyh

21

312

y4yh yy

D’où:

EXEMPLE

Un canal rectangulaire 10 m de large se compose de 3 tronçons. Le premier a une pente I1 , le deuxième a une pente I2 = 0,02 et le fond du troisième est horizontal. Le canal est en béton avec un coefficient de rugosité de Manning de 0,0133. Le débit étant de 100 m3/s.

1. Calculer la profondeur et la pente critiques de ce canal.2. Si la profondeur uniforme dans le 1er tronçon est 5 m, Quel

est le régime d’écoulement dans ce tronçon? Calculer son nombre de Froude.

3. Quel est le régime d’écoulement dans le 2ème tronçon ? Calculer son nombre de Froude.

4. Calculer la profondeur à l’aval immédiat du ressaut qui se forme dans le tronçon horizontal.

5. Schématiser la ligne d’eau dans tout le canal.

SOLUTION

2232

2

2

32

2

3

2

2

223

1

l torrentieRégime02,0et1017,2

:2 tronçon le dans Froude de nombreet Régime-3

gyByQ

ygBQ

BygQB

gSQB

F

IIII

r

cc

3

34

2

34

2

32

2

32

23

23

2

3

2

1017,21051,1

17,21081,90133,0

51,117,2210

17,21022

et

17,281,910

1001

:canaldu critiques penteet Profondeur-1

c

c

c

cc

cH

c

cc

cc

I

myB

ByyB

SRBR

gSI

mgB

QyBygBQS

gBQ

gSBQ

c

cH

28,0

51081,910010

fluvial Régime5et17,2

:1 tronçon le dans Froude de nombreet Régime-2

3

2

3

2

1

11

gSQB

F

yymymy

r

cc

mFr 94,301,38112

1,048112yy

:ressautdu immédiat avall' à Profondeur-4

222

23

l torrentieEcoulement101,304,181,9

104,110

1001

2026,02027,0)(04,104,12026,02058,0)(05,1

2026,01907,0)( 1:équation cette de itérative résolution la à Procédons

2026,02

)(

21002,0

1000133,0

22

1

211

211

211

:Strickler -Manning de formule lapar y Calculons

222

2

22

222

22

32

2

35

22

32

2

35

2

35

21

32

2

35

2

35

21

2

35

21

232

2

35

2

35

221

2

32

2

35

221

2

32

222

1

2

32

2

222

1

232

2

2

rr FgyBy

QF

yfymyyfy

yfy

yB

yyf

yB

y

yB

y

BI

QBIyB

yQ

ByIyB

SIyB

SIyB

SSIRQH

Tronçon 1Tronçon 2

Tronçon 3

y2 = 1,04 my3 = 3,94 m

yc = 2,17 m

Ecoulement fluvial Ecoulement torrentiel

Ressaut hydraulique

y1 = 5 m

5- Schéma de la ligne d’eau: