MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS DES …

République Algérienne Démocratique et populaire Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche Scientifique

MEMOIRE Présenté

Pour l’obtention du diplôme de

MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE

DES ECOULEMENTS DES FLUIDES

Option : Thermique Et Physique De Bâtiments

Par : Mr Omar ARBI LADMI

Soutenue : décembre 2010 Devant le Jury :

Président le jury Mme BENDHINA SABEUR Amina M.C.A U.S.T.O Examinateur Mr Bachir IMIN M.C.A U.S.T.O Examinateur Mr Driss NEHARI M.C.A U. Mostaghanem Promoteur Mr Mabrouk RABHI M.C.A U. Béchar Co-Promoteur Mr Rachid TAIBI M.A.A U. Béchar

Etude numérique du transfert

thermique dans les systèmes à mur

capteur-accumulateur

Université de Béchar

Université des sciences et de la technologie d’Oran « Mohamed Boudiaf »

Avant tout nous remercions mon dieu

D’avoir m’aider à finir mes études

J'adresse à tous mes sincères remerciements à monsieur le professeur de l’U. de

Bechar DRAOUI BELKACEME directeur de laboratoire d’énergétique en zone Arides

(ENERGARID), à qui j’exprime mes vifs remerciements pour ces conseils et ces

encouragements et pour sa disponibilité et qui m’a permis de mener à bien ce travail.

Le présent travail a été réalisé au Laboratoire d’université de Béchar

(ENERGARID), sous la direction de monsieur TAIBI. Rachid et monsieur REBHI

Mabrouk Qu’ils me soit permis de luis exprimer ma profonde gratitude et mes

sincères remerciements de m’avoir guidé et encouragé tout au long de ce travail.

Madame S.BENDHINA, maître de conférences à U.S.T. Oran m’a fait l’honneur

d’accepter la présidence du jury, malgré ses multiples occupations, qu’il veuille

trouver ici, l’expression de ma gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail.

Je suis très sensible à l’honneur que me fait monsieur IMIN Bachir, maître de

conférences à l’U.Béchar, en acceptant, malgré ses nombreuses charges, de participer à

ce jury.

Je suis extrêmement reconnaissant à monsieur NEHARI DRISS, maître de

conférences à l'U. Mostaghaneme, et je le remercie d’avoir bien voulu accepter de juger

ce travail.

Enfin, je ne saurais oublier mes collègues du laboratoire, et tous mes amis qui, aux

diverses circonstance ces, m’ont apporté leur aide dans le déroulement de ce travail.

Il n’est pas convenable, en ce moment de présenter mes

dédicaces

À

Mes chers parents qui je prie dieu à les gardes pour moi

Mes frères et sœurs, et les petits

Tous mes proches,

Tous mes amis,

Tous ceux qui m’ont aidé et encouragé.

Résumé

Le secteur du logement porte une part non négligeable des responsabilités dans

la consommation d’énergie et dans la pollution que cela engendre. Il y a donc lieu

d’élaborer des stratégies qui ont recours à la sobriété, l’efficacité et la renouvelabilité

énergétique. Le mur Trombe est un système simple et intéressent de captage de

l’énergie solaire. Il est constitué d’un mur vertical en maçonnerie lourde orienté vers le

sud et muni de deux orifice permettant la circulation de l’air entre le local et la serre

formée par la surface réceptrice du mur et le vitrage qui le précède. Dans le présent

travail ont étudie numériquement le phénomène de convection mixte dans un système

de murs capteur‐accumulateur utilisés dans les systèmes de chauffage et ventilation

passifs des logements. Notre but étant d’améliorée les performances thermiques

(nombre de Nusselt) de ce mur qui dépendent de plusieurs paramètres, à savoir :

nombres de Rayleigh, Reynolds et Richardson, l’épaisseur de la paroi solide (mur), les

dimensions des ouvertures (orifices), le rapport des conductivités thermique air/mur et

le facteur de forme. La simulation numérique est basée sur trois algorithmes venant de

la méthode de volumes finis. Un code numérique généralisé en langage FORTRAN 6.6 a

été élaboré, qui permettra de résoudre les équations de Navier‐Stokes pour les

coulements visqueux incompressibles ainsi que la convection‐diffusion d’un scalaire. é

Mots clés : mur Trombe, convection mixte, volumes finis, maillage cartésien Co‐

localisée, SIMPLE, maillage triangulaire, pas fractionnaire

Abstract

The sector of housing takes a considerable share of the responsibilities in

consumption of energy and pollution that generates. So it is necessary to elaborate

strategies which have sobriety, effectiveness and the energy renewability. The wall

Trombe is a simple system and interest of collecting of solar energy. It consists of a

vertical massive wall fronts to the south and supplied with two opening allowing the air

circulation between the room and the greenhouse which is formed by the receiving

surface of the wall and the glazing which precedes it. For this work we have numerically

studies the mixed convection phenomenon in a simplified system of walls Trombe used

in the systems of passive heating and ventilation of the buildings. Our goal of being

improved the thermal performances (Nusselt number) of this wall which depend on

several parameters, namely: Rayleigh number Ra, Reynolds number Re, (or Richardson

number, Ri), the massive wall thickness, the exit port height (openings), the ratio of

thermal conductivities (wall /air) and the aspect ratio. The numerical simulation is

based on three algorithms proceeding from the finite volume method. A generalized

code in language FORTRAN 6.6 was elaborate, which will make it possible to solve the

equations of Nervier ‐ Stokes for the incompressible viscous flows as well as the

convection ‐ diffusion of a scalar.

Keywords: Trombe Wall, mixed convection, finite volume methods, triangular mesh,

Collocated Cartesian Grids, SIMPLE, fractional step method

Liste des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Introduction Générale 1

I- Généralités et Revue Bibliographique 5

I.1 Généralité ………………………………………………………………….……… 5

I.1.1 Énergie solaire……………………………………………………………… 7

I.1.2 Chauffage solaire passif ………………………………………………… 8

I.1.3 Le mur Trombe‐Michel ………………………………………………….. 10

I.1.4 maison passive…………………..………………………………………….. 11

I.1.4.1 Apports gratuits ……..…………………...…………………….. 12

I.1.4.2 isolation thermique ……..………...………………………….. 13

I.1.4.3 ventilation ………..…..………………………………………….. 15

I.1.4.5 étanchéité à l’air..…..………………………………………….. 16

I.1.5 conclusion..…..…………………………………………….………………….. 16

I.2 Revue bibliographique…………………………………….………………..….. 17

II- Etablissement du Modèle Mathématique 24

II.1. Configuration étudiée…………………………………….………………..….. 24

SOMMAIRE

Sommaire

II.2. Hypothèses simplificatrices………………………………………………… 26

II.3. Equations gouvernantes sous forme dimensionnel ……………… 26

II.4. Equations gouvernantes sous forme adimensionnel………...…… 27

II.5. Les conditions initiales et aux limites ………...………………………... 29

III- Procédure de Simulation Numérique 31

III.1. Généralité sur le CFD………………………………………………………… 31

III.2. Méthode de projection sur un maillage non structures……… 35

III.2.1 Discrétisation en temps……………………………………. 35

III.2.2 Discrétisation en espace…………………………………… 36

III.2.3 Traitement des conditions aux limites………………. 41

III.2.4 Discrétisation de l’équation de poisson……………. 43

III.2.5 Discrétisation des équations de projection…………. 48

III.2.6 Discrétisation de l’équation de l’énergie……………… 49

III.2.7 Organigramme…………………………………………………… 53 III.3. Algorithme SIMPLE sur un maillage triangulaire…………………. 54

III.3.1 Discrétisation des équations de mouvement………… 54

III.3.2 Correction des vitesses et de pression………..………… 60

III.3.3 Équation de Pression de correction…………..………… 61

III.3.4 Discrétisation de l’équation de l’énergie……………….. 66

III.3.4 Organigramme…………………………………………………….. 67

III.3.5 Les maillages……………………………………………………….. 68

III.3.6 Le nombre de Courant…………………………………………. 70

III.4. Algorithme SIMPLE sur un maillage cartésien Co‐localisé…… 72

III.4.1 La discrétisation de l’équation de transport………. 72

III.4.2 Correction des vitesses et de pression…………………. 78

III.4.3 Résolution des systèmes linéaires par la méthode ADI

……………………………………………………………………….……………………. 85

III.4.4 Évaluation des résiduels………………………………….. … 86

III.4.5 Traitement des conditions aux limites……………...…… 87

III.4.6 Organigramme …………………………………………..……….. 89

Sommaire

III.4.7 Structure du programme………………………………….. 90

IV- Résultats et Discussions 94

IV.1 Validation du code de calcul…………………………………………………. 94

IV.2 Test de sensibilité aux maillages…………………………………………... 95

IV.3 Les paramètres étudiés ……………………………………………………….. 97

IV.3.1 Influence de rapport des conductivités………………... 97

IV.3.2 Influence de nombre de Rayleigh ……………………….. 99

IV.3.3 Influence de nombre de Richardson………………......... 100

IV.3.4 Influence de l’épaisseur de paroi………………………... 106

IV.3.5 Influence de la hauteur de sortie d’air ……………......... 107

IV.3.6 Influence du facteur de forme……………………………... 109

Conclusion 111

Références bibliographique 114

Annexe 118

Figure(I.1) : chauffage passive …………………………………………………………………. 9

Figure(I.2) : schéma de principe d’un mur Trombe‐Michel ……………………… 10

Figure (II.1) : Schéma représentant la forme générale…………………..……………… 25

Figure (II.1) : Schéma représentant la forme simplifié de la configuration étudiée... 25

Figure (III .1.1) : Volume de contrôle pour les flux convectifs traversant les

faces………………………………………………………………………………………………………………… 37

Figure (III.1.2) : Volume de contrôle pour le flux diffusif…………………………………….. 39

Figure (III.1.2) : Illustration des conditions aux limites type Neumann……………….. 41

Figure (III.1.3) : Volume de contrôle pour l’équation de Poisson………………………… 43

Figure (III.1.4) : Interpolation de la pression aux sommets des éléments…………… 45

Figure (III.1.5) : Illustration des conditions aux limites de pression……………………. 47

Figure (III .1.6) : Volume de contrôle pour équation de projection………………………. 49

Figure (III.1.7) : Volume de contrôle pour l’équation d’énergie…………………………... 50

Figure (II.2.1) : volume de contrôle pour l’équation de mouvement…………………... 54

Figure (II.2.2) : volume de contrôle auxiliaire…………………………………………………… 56

Figure(III.2.3) : Interpolation des vitesses aux centres des éléments………………… 59

LISTE DES FIGURES

Liste des figures

Figure (III .2.3) : volume de contrôle pour l’équation de pression de correction…… 61

Figure (III.2.4) : volume de contrôle auxiliaire……………………………………………………. 62

Figure (III.2.5) : connectivité de maillage ………………………………………………………..…… 69

Figure(III.3.1) : Représentation schématique de volume de contrôle…………………... 73

Figure(III.3.2) : Illustration des conditions aux limites………………………………………... 83

Figure (IV.1) : Test de sensibilité des résultats au maillage……………………………….. 96

Figure (IV.2) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de rapport de

conductivité Pour le cas A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Re=100………………………………….. 98

Figure (IV.3) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de rapport de

conductivité Pour le cas A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Re=1000….……………………………. 98

Figure (IV.4) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de nombre de

Rayleigh Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)……………………………………….. 99

Figure (IV.5) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de nombre de

Richardson Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)…………………………………… 100

Figure (IV.6) : les isothermes pour déférent nombre de Richardson Pour le cas

(A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)……………………………………………………………………. 102

Figure (IV.7) : les lignes de courant pour déférent nombre de Richardson Pour le cas

(A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20) ……………………………………………………………………. 103

Figure (IV.8) : composant de vitesse U pour déférent nombre de Richardson Pour le

cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20) ……………………………………….................................. 104

Figure (IV.9) composant de vitesse V pour déférent nombre de Richardson Pour le

cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20) ………………………………………….............................. 105

Figure (IV.8) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de l’épaisseur du

mur Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, Kr=20, Re=100)………………………………………….… 106

Figure (IV.9) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de l’épaisseur du

mur Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, Kr=20, Re=1000)…………………………………….……. 107

Liste des figures

Figure (IV.10) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de la hauteur de

sortie Pour le cas (A=15, l1/L=1.05, Kr=20, Re=100)………………………………………….. 108

Figure (IV.11) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de la hauteur de

sortie Pour le cas (A=15, l1/L=1.05, Kr=20, Re=1000)…………………………………….…… 108

Figure (IV.12) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de facteur de

forme A Pour le cas (h1/l=1.05, l1/L=1.05, Kr=20, Re=100)……………………………….. 109

Figure (IV.13) : évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de facteur de

forme A Pour le cas (h1/l=1.05, l1/L=1.05, Kr=20, Re=1000)………………………………. 110

Tableau (II.1) : Présentation des différents termes de l'équation de transport pour les

différentes équations de conservation…………………………………………………………………. 29

Tableau (II.2) : Conditions aux limites sous formes adimensionnelles…………..... 30

Tableau (III.1) : les techniques de simulation…...……………………………………………… 34

Tableau (III.2) : Nombre de Courant…………………………………………………………………. 71

Tableau (IV.1) : Validation numérique de Nos résultats avec des résultats de

référence…………………………………………………………………………………………………………….. 95

Tableau (IV.2) : Les écarts maximaux du nombre de Nusselt moyen en fonction de

maillage………………………………………………………………………………………………......................... 96

Tableau (IV.3) : Les paramètres utilisés pour la simulation numérique………………… 98

LISTE DES TABLEAUX

NOMENCLATURE

Chaleur sp constante. PC écifique du fluide à pression J k ‐1 g‐1 K

g Accélération de la pesanteur m s‐2

rK Rappor mique t de la Conductivité ther San sion s dimen

λ Conductivité thermique W.m .K‐1 ‐1p Pression Pa

P Pressi nelle on adimension Sans dimension

T Température °C

θ Températur ensionnelle e adim Sans dimension

t temps s

τ temps adimensionnelle Sans dimension vu, Composantes du vecteur vitesse m.s‐1

VU , Co e mposantes adimensionnelles du vecteur vitess Sans dimension

VU ′′, correction ur vitesse des composantes de vecte Sans dimension

yx, Cordonnées cartésiennes m

YX , Cordonnée sionnelles s cartésiennes adimen Sans m nsion di e

α Diffusivité thermique m2.s‐1

υ Viscosité cinématique m2.s‐1

Γ Coe on fficient de diffusi Sans sion dimen

ρ Masse volumique Kg.m ‐3

q ′′ flux solaire w ‐2 .m

0U vitesse d’entrée m.s‐1

Nomenclature

0T Température de référence °C

TΔ Différ ence de température λHqT ′′=Δ Sans dimension

Pr Nombre de Prandtl αυ=Pr Sans dimension

Ra Nombre de Rayleigh fHqgRa ′β υαλ4′= Sans dimension

Re Nombre de Reynolds υHU 0Re = Sans dimension

Nu Nombre de Nusselt moyen Sans dimension

Ri Nombre de Richardson υHURe 0= Sans dimension

P′ Corre sion ction de pres Sans dimension

τΔ Pas de temps S

La première crise pétrolière du début des années 1970 a totalement modifié le

rapport des pays occidentaux avec l'énergie. L'énergie, abondante et bon marché, est

devenue un bien rare et cher. Les efforts ont été concentrés, d'une part sur la baisse du

coût de l'énergie, et d'autre part sur la réduction de la consommation énergétique.

Ensuite les préoccupations environnementales, ainsi que la prise de conscience du

caractère fini des énergies fossiles ont pris une part croissante dans la gestion

énergétique mondiale. Le réchauffement climatique global, dû aux émissions de gaz à

effet de serre, et plus particulièrement au CO2 provenant de la combustion des énergies

fossiles. La raréfaction des ressources mondiales en énergie fossile, bien que la date de

la fin du pétrole ne soit pas l'objet d'un consensus, est un phénomène qui va

nécessairement favoriser la hausse du coût de l'énergie. Ces deux facteurs obligent à

repenser à l'utilisation et la production de l'énergie.

Le secteur du logement porte une part non négligeable des responsabilités dans

la consommation d’énergie et dans la pollution que cela engendre. Il y a donc lieu

d’élaborer des stratégies qui ont recours à la sobriété, l’efficacité et la renouvelabilité

énergétique.

Sur le plan technique, le principe de base de maisons passives est de limiter les

pertes énergétiques avant toute chose. Les facteurs clés sont donc l’isolation thermique,

l’étanchéité à l’air et à la ventilation. Il n’est donc pas question de technologie

sophistiquée mais juste d’une optimisation de principes déjà existants. La bonne gestion

INTRODUCTION GENRALE

Introduction Générale Page | 2

de ces facteurs permet de se passer du système de chauffage traditionnel : la norme

impose un maximum de 15kWh/m².an.

L’utilisation de l’énergie solaire dans le domaine de l’habitat pour réduire sa

consommation énergétique a fait l’objet de plusieurs études. Une technique de chauffage

se basant sur un système de captation solaire, de stockage et de restitution de la chaleur

a été développée au C.N.R.S (France) par le Professeur Trombe.

Le mur Trombe est un système simple et intéressent de captage de l’énergie

solaire. Il est constitué d’un mur vertical en maçonnerie lourde orienté vers les sud et

muni de deux orifices permettant la circulation de l’air entre le local et la serre formée

par la surface réceptrice du mur et le vitrage qui le précède.

Le mur transmet l’énergie solaire captée par les trois moyens de transfert de

chaleur, une partie est transmise par conduction à travers le mur qui la restitue à

l’intérieur du local par convection, la deuxième partie se transmet par circulation de l’air

chaud se trouvant dans la cheminée solaire à travers les orifices. Alors que la troisième

se transmet par rayonnement.

Toute différence de température au sein du fluide, liquide ou gaz, modifie sa

densité et un mouvement de brassage apparaîtra. Ce mouvement dans lequel les parties

les plus chaudes du fluide ont tendance à s’élever et les parties froides et denses à

descendre, s’appelle convection. C’est le phénomène observé entre un fluide en

mouvement et une paroi, phénomène principal dans la plupart des échangeurs de

chaleur.

Même si les trois processus peuvent avoir lieu simultanément, l’un des

mécanismes est habituellement prépondérant. Parmi eux, les échanges convectifs

assurent une part prépondérante du transfert de chaleur, puisque les phénomènes de

convection sont omniprésents dans la vie quotidienne.

Il existe plusieurs sortes de convection : naturelle (ou libre), forcée et mixte. La

convection est dite naturelle quand elle se déclenche et se poursuit spontanément due à

des différences de températures qui à leur tour engendrent des différences de densité au

sein de la masse fluide.


La convection forcée est obtenue en soumettant le fluide à une augmentation de

pression par des moyens mécaniques comme des pompes ou des ventilateurs. Enfin,

lorsque les sources thermiques (convection naturelle) et les sources mécaniques

(convection forcée) coexistent avec des ordres de grandeur comparables, nous sommes

en présence de la convection mixte. Rigoureusement, nous pouvons affirmer que la

convection naturelle et la convection forcée sont les deux cas particuliers de la

convection mixte.

La convection mixte peut être soit aidée (ou favorable) quand les effets de la

convection libre et de la convection forcée sont dans le même sens soit contrariée (ou

défavorable) quand les effets de la poussée d’Archimède et le mouvement du fluide

imposé par un système mécanique s’opposent. Par exemple, dans un canal vertical, nous

rencontrons la convection mixte aidée lorsque l’écoulement ascendant est chauffé ou

lorsque l’écoulement descendant est refroidi sur une partie du tube. Au contraire, quand

l’écoulement ascendant est refroidi ou l’écoulement descendant est chauffé, on se

retrouve dans le cas classique de convection mixte contrariée.

L’étude, présentée dans ce travail, s’inscrit dans le cadre de la modélisation

numérique en utilisant la technique CFD de la convection mixte appliquée au mur

Trombe. Notre but étant d’améliorée les performances thermiques (nombre de Nusselt)

de ce mur qui dépendent de plusieurs paramètres, à savoir : nombres de Rayleigh,

Reynolds et Richardson, l’épaisseur de la paroi solide (mur), les dimensions des

ouvertures (orifices), le rapport des conductivités thermique air/mur et le facteur de

forme.

Ce mémoire est composé de quatre chapitres dont le premier chapitre est consacré

à une généralité et revue bibliographique : une synthèse bibliographique des travaux

théoriques, expérimentaux et numériques traitant la convection thermique dans les

systèmes solaire passive, pour diverses configurations (cavité, canal et tube) et pour

différentes conditions aux limites qui ont développées.

Le modèle physique choisi, les équations gouvernantes ainsi que les conditions aux

limites associées constituent le deuxième chapitre.


Le troisième chapitre abordera la résolution numérique des équations de Navier‐

stokes par la méthode de volume finis, représenté par trois algorithmes différents à

savoir:

1‐ Schéma à pas de temps fractionnaire sur un maillage triangulaire non structurés

décalée.

2‐ basée sur l’application de l’algorithme de correction de pression (SIMPLE) sur un

maillage triangulaire non structuré semi décalée.

3‐ L’ algorithme SIMPLE lié à un maillage Co‐localisés.

Un code numérique généralisé en langage FORTRAN 6.6 a été élaboré, qui

permettra de résoudre les équations de Navier‐Stokes pour les écoulements visqueux

incompressibles ainsi que la convection‐diffusion d’un scalaire.

Le quatrième chapitre regroupe les résultats essentiels de cette étude : lignes de

courant, les isothermes, le champ de vitesse et Nusselt sont bien présentés et commentés.

Nous achevons ce travail par une conclusion qui résume les principales

recommandations à retenir lorsqu’ on applique l’énergie solaire passif dans le secteur de

l’habitat.

I.1 Généralité

Par définition, les énergies dites renouvelables sont potentiellement inépuisables. La

nature peut les reconstituer assez rapidement, contrairement au gaz, au charbon et au

pétrole, dont les réserves, constituées après des millions d'années, sont limitées. Les

énergies : solaire, éolienne, hydraulique, géothermique et de biomasse en sont les formes

les plus courantes.

Au monde, les énergies (solaire, éolienne, hydraulique et de biomasse) sont les plus

exploitables. L'énergie lumineuse du Soleil peut être convertie en électricité grâce à des

générateurs photovoltaïques capables d'alimenter une multitude d'appareils électriques.

L'énergie du Soleil (lumière, chaleur, rayonnement ultraviolet) peut être transformée en

chaleur à l'aide de convertisseurs héliothermiques. La chaleur produite peut chauffer de

l'eau ou l'intérieur des bâtiments. On peut exploiter la force du vent et de l'eau en

mouvement pour faire tourner des turbines électriques. Les arbres produisent du bois de

chauffage et des matériaux de construction ; des céréales telles que le maïs et le blé peut,

après fermentation, produire de l'éthanol, un combustible que l'on peut utiliser pour

alimenter les automobiles.

GENERALITES ET REVUE

BIBLIOGRAPHIQUE

Généralités et Revue Bibliographique Page | 6

Les énergies renouvelables sont exploitées depuis très longtemps. Jusqu'au milieu

du dix‐neuvième siècle, le bois et la tourbe étaient les principales sources d'énergie. En

Europe et en Amérique du Nord, durant la Révolution industrielle, de nombreuses

manufactures devaient leur existence à un cours d'eau capable de leur fournir de l'énergie.

Les combustibles fossiles, principalement le charbon et le pétrole, se sont imposés dans les

usines uniquement dans la seconde partie du dix‐neuvième siècle, après l'avènement du

moteur à vapeur. À partir de ce moment‐là, les industriels, n'étant plus obligés de

construire leur usine près d'un cours d'eau, ont pu s'établir à proximité de leurs marchés,

des sources de matières premières et des ports maritimes.

Trois facteurs militent en faveur des énergies renouvelables :

La sauvegarde de l'environnement

L'épuisement inévitable des ressources limitées de la planète.

Les considérations économiques.

Les énergies renouvelables ne peuvent pas remplacer dès aujourd'hui toutes les

énergies conventionnelles, mais elles peuvent suppléer l'énergie produite par les services

publics et enrichir la gamme des énergies exploitées à l'heure actuelle. Le changement

climatique attribuable à la pollution, et à ses effets sur le milieu naturel, est au premier rang

des préoccupations environnementales depuis le Sommet de la Terre, qui a eu lieu à Rio de

Janeiro, en 1992. En outre, les deux crises du pétrole des années 70 ont contraint les pays

industrialisés à bien examiner l'emploi qu'ils font de leurs ressources et à prendre des

mesures pour ne plus dépendre quasi uniquement des hydrocarbures pour leurs besoins en

combustibles. Ces pays entreprennent des recherches poussées pour trouver des substituts

écologiques aux combustibles fossiles.

Les progrès techniques réalisés au cours des vingt dernières années se sont traduits

par une nette amélioration du rapport coût‐efficacité des applications auxquelles se prêtent

les énergies renouvelables. Sur une petite échelle, toutefois, les énergies renouvelables ne

sont pas concurrentielles comparativement à la production en bloc d'énergie. Elles ont


cependant des applications pratiques dans plusieurs créneaux novateurs (biens de

consommation et télécommunications, par exemple). Le coût des techniques diminuera

lorsqu'un pourcentage important de la population aura pris conscience des bienfaits des

énergies renouvelables, notamment sur les plans de la conservation des ressources et de la

prévention de la pollution.

L'atmosphère terrestre agit un peu comme le vitrage d'une serre : la lumière solaire

peut la traverser, mais la chaleur qui en résulte ne peut s'échapper. Le dioxyde de carbone

et d'autres gaz emprisonnent particulièrement bien la chaleur. Lorsqu'on brûle du charbon,

du pétrole et des gaz naturels, on augmente la quantité de dioxyde de carbone libérée dans

l'atmosphère et, par conséquent, la température moyenne de la planète. L'utilisation accrue

des énergies renouvelables devrait réduire le besoin des centrales fonctionnant aux

combustibles fossiles, grandes productrices de gaz à effet de serre.

I.1.1 Énergie solaire

L'homme utilise l'énergie solaire depuis l'antiquité. Archimède aurait fait brûler les

navires romains assiégeant Syracuse en focalisant les rayons du Soleil sur leurs voiles à

l'aide de 70 miroirs.

Au XVIIIème siècle, le chimiste français Antoine Laurent de Lavoisier crée un four

solaire permettant d'atteindre une température de 1755°C. En 1872, un distillateur solaire

de 5000 m2 est construit au Chili pour produire 20 000 litres d'eau douce par jour et en

1878, le professeur de mathématiques Augustin Mouchot crée une machine solaire à vapeur

qui sert à actionner l'imprimerie de l'Exposition Universelle.

A cette époque, l'énergie solaire n'est pas développée car elle n'est pas assez

rentable par rapport aux énergies fossiles. Il faut attendre 1954 et la conquête spatiale pour

voir apparaître les premières cellules photovoltaïques. D'abord construites pour alimenter

les satellites, elles ne seront utilisées dans le civil que plus tard, lors de la crise du pétrole.


L'énergie solaire est aujourd'hui utilisée pour produire de l'électricité (à des fins

industrielles ou domestiques), pour chauffer les habitations ou encore pour dessaler l'eau

de mer.

I.1.2 Chauffage solaire passif

Le chauffage solaire passif fonctionne comme suit : l'énergie lumineuse du Soleil qui

pénètre à l'intérieur des pièces par les fenêtres est absorbée par les murs, les planchers et

les meubles, puis libérée sous forme de chaleur. Pour exploiter au maximum les bienfaits du

Soleil, les fenêtres doivent être en plein sud ; on obtient cependant des résultats acceptables

à l'intérieur d'un angle de 30 degrés de part et d'autre du sud. Une fois que la chaleur

pénètre à l'intérieur du bâtiment, on utilise plusieurs techniques pour la distribuer.

Pour capter efficacement l'énergie solaire, l'aire des fenêtres doit idéalement

représenter environ 8% de la surface de plancher. Ce pourcentage semble bien petit, mais il

faut se rappeler qu'il est établi par rapport à la superficie des planchers, qui est beaucoup

plus grande que la superficie des murs. D'ailleurs, la prévention d'un chauffage excessif

pose toujours un défi.

Une fois la chaleur captée, il faut la conserver le plus possible, d'où l'importance d'une

bonne isolation. Dans les bâtiments conventionnels, une bonne part de la chaleur s'échappe

par les fenêtres, même les fenêtres à double vitrage. C'est pourquoi les bâtiments qui

exploitent l'énergie solaire emploient des fenêtres ultra‐isolantes. Serties dans un cadre

isolant, ces fenêtres sont caractérisées par un triple vitrage scellé avec cales d'espacement

isolant ; l'espace entre les panneaux est rempli d'un gaz inerte, et le verre est traité d'un

revêtement à faible émissivité. De telles fenêtres peuvent réduire les pertes de chaleur de

50 à 75%. Les fenêtres éco‐énergétiques permettent de conserver efficacement la chaleur

solaire et de réduire au minimum l'emploi d'appareils de chauffage. Il suffit souvent d'un

simple ventilateur de plafond ou du ventilateur d'un générateur pulser d'air chaud (le

brûleur étant bien entendu hors fonction) pour distribuer la chaleur dans les pièces. Une

bonne isolation thermique permet à l'énergie solaire de fournir jusqu'à 25% de la chaleur

requise.

Gén

cons

abso

et irr

utilis

mort

paro

maço

un fe

néralités et

Les mat

server la ch

orber l'éner

radier l'éne

se de préfé

tier d'arase

oi de Placo

onnerie. Le

eu de bois i

Revue Bib

ériaux des

haleur apr

rgie, préven

ergie therm

érence des

ement ; on

oplatre. On

es briques e

intense, ma

bliographiq

murs et de

ès la tomb

nir le chau

mique petit

s pierres o

utilise pou

n peut en

et les pierr

ais de court

Figur

que

es plancher

bée du jour

ffage exces

t à petit ap

ou des carr

ur les murs

outre insta

res du foye

te durée, et

re(I.1) : cha

rs aident à

r. Ils doive

ssif durant

rès la tomb

reaux de ca

une paroi

aller, à un

r absorben

t la libère le

auffage pas

à prévenir l

ent avoir u

les heures

bée du jou

arrière éte

continue d

n endroit c

nt l'énergie

entement d

ssive

le chauffag

une certain

s de grand a

r. Pour les

endus sur

de briques o

central, un

thermique

dans la pièc

Page | 9

e excessif e

e masse p

apport sola

planchers,

un sol fait

ou une dou

foyer fait

e produite

ce.

et à

our

aire

, on

t de

uble

en

par


I.1.3 Le mur TrombeMichel :

Il doit son nom au Professeur Félix Trombe, célèbre pour ses travaux sur les fours

solaires, et à l'architecte Jacques Michel, qui ont tous deux participé à son élaboration.

Le mur Trombe‐Michel est un système directement incorporé au mur d'une maison.

Une des parties d'un mur extérieur est remplacé par du double vitrage derrière lequel est

situé un mur de béton (le mur de béton se trouve donc dans la maison).

Figure(I.2) : schéma de principe d’un mur Trombe‐Michel

C'est encore le principe de l'effet de serre qui est utilisé ; le mur capte la chaleur et en utilise

une partie pour chauffer l'air situé entre le mur de béton et le double vitrage. L'air chaud

étant moins dense que l'air froid, il monte. C'est cette circulation qui assure le chauffage de


la maison (dans la pièce, l'air froid est chassé par l'air chaud entre le mur et le double

vitrage).

L'épaisseur du mur est telle qu'elle permet de conserver une partie de la chaleur

absorbée durant le jour et de la restituer plus tard (la nuit par exemple). Donc le chauffage

se fait :

• soit directement par l'air ;

• soit par rayonnement lent (infrarouge) : le mur transmet lui‐même par rayonnement

IR à l'air de la maison une partie de la chaleur qu'il a reçue du soleil.

Il est important de préciser que ces systèmes sont dans la plupart des cas complétés par un

système d'appoint (résistance placée dans le chauffe‐eau ou chauffage classique) afin de

compléter si nécessaire les besoins énergétiques.

I.1.4 maison passive

Les maisons passives sont des bâtiments qui assurent un climat intérieur confortable

en été comme en hiver sans avoir recours à un système conventionnel de chauffage ou de

refroidissement.

Le terme de maison « passive » a été choisi principalement parce que l’usage « passif »

des énergies ambiantes (rayonnement solaire à travers les vitrages) et des sources de

chaleur internes (appareils et habitants) suffit à maintenir dans le bâtiment une

température intérieure agréable durant toute l’année.

La norme « maison passive » offre donc une manière intéressante de réduire au

minimum la demande énergétique des nouveaux bâtiments, répondant ainsi à l’objectif de

durabilité. Sur cette base, il est possible de satisfaire la demande énergétique restante

uniquement à partir de sources d’énergie renouvelables.


Les deux grands principes d’une maison passive sont les suivants :

1. Optimiser les conditions de base : Dans une maison passive, on rend plus performant

des composants qui sont de toute façon indispensables : l’enveloppe du bâtiment,

les fenêtres et la ventilation. L’efficacité thermique de ces composants est améliorée

jusqu’au point où un système de chauffage conventionnel n’est plus nécessaire.

L’appoint nécessaire est amené par la récupération de la chaleur de l’air vicié.

2. Minimiser les pertes : La chaleur disponible dans un bâtiment est gardée à l’intérieur

du bâtiment aussi efficacement que possible, ce qui implique une très bonne

étanchéité. Les calculs réalisés d’après des modèles théoriques et de nombreux

exemples construits prouvent que, dans nos conditions climatiques, une stratégie

qui vise à réduire les pertes de chaleur est plus efficace qu’une stratégie qui se

concentre principalement sur l’utilisation passive ou active de l’énergie solaire.

I.1.4.1 Apports gratuits :

Même si la vocation première d’une maison passive n’est pas de maximaliser les

apports d’énergie mais plutôt de minimiser les pertes, il est clair que les apports gratuits

internes ou solaires ne sont pas à négliger. Le soleil intervient pour dispenser lumière et

chaleur. Une orientation adaptée aux contraintes du bâtiment permet ainsi de réduire les

consommations de chauffage et d'éclairage. La qualité du vitrage a aussi son importance. En

effet, la température intérieure d’un bâtiment non occupé et non chauffé peut augmenter de

quelques degrés uniquement grâce à la chaleur du soleil captée par les vitres. Il faut donc

des vitres qui captent le plus possible de chaleur mais qui évitent également les

déperditions. En été, on veillera à pouvoir protéger les fenêtres des rayons du soleil.

Dans les climats tempérés, les déperditions thermiques des bâtiments dus aux

différences de température entre l'ambiance intérieure (stable) et les conditions

extérieures (variables), se font principalement par conduction au droit de l'enveloppe du

bâtiment. L'architecte cherche à minimiser la surface de déperdition tout en maximisant le

volume habitable, ce qui se traduit par une forte compacité.


A cet égard, une situation urbaine entre mitoyens est évidemment assez intéressante et

contribue à une meilleure compacité car les deux murs mitoyens sont nettement moins

déprédatifs.

Une partie des apports gratuits en chaleur dans un bâtiment provient de son

occupation. Par occupation, on entend l’utilisation de l’éclairage artificiel, de l’eau chaude

sanitaire et des appareils électroménagers ainsi que la présence même des occupants.

Ces apports résultent en réalité notamment du fait que l’électricité consommée

par les appareils électroménagers et par l’éclairage artificiel est finalement dissipée sous

forme de chaleur (incontrôlée) au sein du bâtiment.

Dans une maison passive, l’impact des apports internes est beaucoup plus important

que dans une maison conventionnelle.

I.1.4.2 isolation thermique :

Compte tenu de l’installation de récupération de chaleur sur la ventilation, les

déperditions thermiques restent principalement dues aux parois de l’enveloppe. Les

éléments opaques de l’enveloppe (murs, toits, sols) restent responsables de 50 % des

pertes de chaleur.

Bien isoler pour maintenir ces déperditions aussi basses que possible est donc

indispensable au bon fonctionnement des maisons passives. Sinon, la demande de chaleur

devient trop importante et la ventilation ne suffit plus à distribuer l’appoint.

L’isolation vise également à garantir le confort thermique des habitants en assurant aux

parois des températures de surface élevées. En effet, lorsque la température surfacique des

parois présente une différence de plus de 3°C avec la température ambiante de la pièce, une

sensation d’inconfort apparaît.

Le coefficient de transmission globale (U) de l’enveloppe du bâtiment doit être inférieur

ou égal à 0,15 W/m².K (0,1 W/m².K conseillé) pour respecter le critère « maison passive ».


Il est clair qu’un U moyen aussi faible ne peut être obtenu qu’avec des matériaux

performants, sous peine d’avoir une beaucoup trop grosse épaisseur d’isolant.

De tous les composants de l’enveloppe, la fenêtre est l’élément le plus critique à cause

de ses multiples fonctions : outre ses qualités d’isolation, elle doit permettre la vue vers

l’extérieur, être ouvrable et pouvoir se fermer parfaitement, et en plus, elle doit aussi capter

un maximum d’énergie solaire. Dans une maison passive, le U maximum est seulement de

0,8 W/ (m².K) !

Un coefficient U aussi bas peut seulement être atteint grâce à un triple vitrage. L’espace

entre les vitres est rempli de gaz nobles tel que l’argon, afin de réduire le transfert de

chaleur par convection.

Le degré d’isolation du châssis en lui‐même est un autre facteur important. Il convient

d’avoir un châssis absolument sans pont thermique.

Les déperditions par les parois sont la principale source de perte de chaleur dans les

maisons passives. Ces pertes sont enregistrées au droit des parois, bien entendu, mais aussi

et surtout, aux coins, aux bords, aux jonctions et aux articulations. Tous ces détails

constituent les points faibles de l’isolation. D’une part, les ponts thermiques déforcent

l’isolation et, d’autre part, ils favorisent l’apparition de condensation sur les parois

intérieures, d’où un risque de formation de moisissures. L’importance relative des pertes

dues aux ponts thermiques augmente en même temps que le niveau d’isolation générale.

Dans le cas d’une maison passive, le niveau de performance de l’isolation est très élevé : les

ponts thermiques ont donc des conséquences importantes et sont à éviter au maximum.


I.1.4.3 ventilation :

Il pourrait paraître contradictoire d’isoler parfaitement la maison pour ensuite

l’aérer « artificiellement ». Il n’en est rien. L’isolation thermique et la ventilation sont deux

choses bien distinctes et ont des fonctions différentes. Il est vrai cependant qu’une bonne

isolation ne peut être mise en œuvre qu’avec un bon système de ventilation car l’isolation

d’un bâtiment, quand elle est bien faite, le rend toujours plus étanche à l’air.

Or, si l’air vicié n’est pas évacué et remplacé par de l’air frais, des problèmes

d’humidité, de condensation et de moisissures se poseront immanquablement. Cependant,

ceux‐ci ne seront pas dus à une isolation excessive, mais à un défaut de ventilation.

Un air de bonne qualité est l’une des exigences fondamentales nécessaires à un

climat intérieur sain, que ce soit dans une maison passive ou dans une maison «

conventionnelle ». La ventilation permet l’évacuation des substances nocives par un

renouvellement de l’air. Il est aussi possible de placer des filtres directement à l’entrée de

l’air frais.

D’une bonne ventilation couplée à une température surfacique élevée découle un

autre avantage : celui d’éviter la condensation et donc les moisissures. L’air ambiant

contient de la vapeur d’eau qui se condense au contact des parois plus froides, puisque l’air

y est plus frais et ne peut donc contenir qu’une plus faible quantité de vapeur. Comme, dans

une maison passive, la température des parois est proche de la température ambiante, ce

phénomène risque donc beaucoup moins de se produire.

Pour assurer le renouvellement d’air nécessaire, il faut pouvoir contrôler la

ventilation ; de plus une ventilation trop importante constitue aussi une perte d’énergie.

Enfin, la ventilation « à l’ancienne » par les inétanchéités de l’enveloppe du bâtiment est

trop aléatoire.


I.1.4.5 étanchéité à l’air :

Une excellente herméticité de l’enveloppe du bâtiment est une condition vitale pour

une maison passive. En effet, sans une parfaite étanchéité, ni l’isolation, ni la ventilation ne

peuvent être réellement efficaces.

En ce qui concerne l’isolation thermique, il semble évident que s’il existe des fuites

d’air, c’est une perte de chaleur prévisible. De plus, les isolants thermiques ne sont pas du

tout hermétiques, l’air y circule même facilement dans certains cas (laine minérale,

cellulose), créant des courants de convection qui nuisent au bilan énergétique global du

bâtiment.

Pour ce qui est de la ventilation, une mauvaise étanchéité induit des courants d’air

involontaires et incontrôlables qui perturbent le système et peuvent même changer le sens

du flux, ce qui n’est évidemment pas souhaitable.

Pour éviter les fuites, le principe est simple en théorie : il suffit de garantir une enveloppe

hermétique par une mise en œuvre soignée. Dans un projet en maçonnerie pleine, cela se

traduit par exemple par un plafonnage continu et des raccords minutieux aux fenêtres.

I.1.5 conclusion :

Matériellement et techniquement, construire des maisons passives n’est pas une

utopie. Les techniques et les matériels sont au point depuis longtemps et il existe de

nombreuses réalisations dans différents pays européens ; ces pays se caractérisent souvent

par des climats plus continentaux et plus contrastés que celui que nous connaissons en

Algérie ; la maison passive est donc aussi une solution technique applicable chez nous.

Et si, actuellement, l’aspect économique ne joue pas toujours en faveur de la maison

passive (certains projets restent plus onéreux, même à long terme, qu’une maison

conventionnelle), l’augmentation prévisible des dépenses énergétiques va petit à petit

renforcer l’attrait des maisons passives du simple fait de leur faible consommation

d’énergie.


I.2 Revue bibliographique

La convection mixte en régime permanent dans les écoulements internes a suscité

ces dernières décennies un intérêt considérable qui se traduit par la production d’une

bibliographie abondante, en raison de nombreuses applications qui concernent par

exemple les échangeurs de chaleur compacts, les collecteurs solaires, le refroidissement des

composants électroniques. D’autre part, la compréhension des phénomènes physiques

inhérents à l’interaction de la convection libre et forcée constitue en soi un objectif très

important.

Par contre, le phénomène de convection mixte en régime variable est encore un

thème peu étudié. On trouve rarement dans la littérature des études portant sur les

structures dynamiques et thermiques de l’écoulement dans un tube vertical en convection

mixte, lorsque l’entrée est soumise à des conditions aux limites variables.

La convection mixte instationnaire en conduite joue un rôle important dans de

nombreuses applications industrielles concernant aussi bien la sécurité des centrales

nucléaires que la régulation des équipements du bâtiment. Dans le cadre de l’étude de la

convection forcée les effets de la gravité sont ignorés, mais en convection naturelle ce sont

eux qui nous intéressent. Généralement, la convection forcée cohabite avec la convection

libre. Le régime d’échange résultant de cette coexistence est appelé convection mixte ou

combinée.

Au départ, les chercheurs ont utilisé des modèles analytique comme ceux basés sur

l’analogie électrique mais, ces dernières années, le développement spectaculaire des

ordinateurs et des techniques d’analyse numérique a permis de modéliser les phénomènes

de convection à partir des équations complètes de Navier‐Stokes, lorsque les conditions aux

limites ne sont pas très complexes. La première approche a quand même un désavantage :

elle ne permet pas d’observer les zones de recirculation et par conséquent, les simulations

sont souvent limitées pour des grands nombres de Grashof.


La résolution d’un problème en mécanique des fluides anisotherme n’est possible

que si l’on associe des hypothèses simplificatrices. Après Zeytounian [1], entre 1901 et

1903, Gauthier‐Villars éditait à Paris le traité de Joseph Boussinesq intitulé : « Théorie

Analytique de la Chaleur» dans laquelle on retrouve le fragment suivant :

«…il fallait encore observer que, dans la plupart des mouvements provoqués par la

chaleur sur nos fluides pesants, les volumes ou les densités se conservent à très peu près,

quoique la variation correspondante du poids de l’unité de volume soit justement la cause des

phénomènes qu’il s’agit d’analyser. De là résulte la possibilité de négliger les variations de la

densité, là où elles ne sont pas multipliées par la gravité g, tout en conservant, dans les calculs,

leur produit par celleci ».

Cela conduit à l’hypothèse la plus utilisée en convection naturelle ou mixte et qui

s’appelle « l’approximation de Boussinesq ». Cela signifie que la masse volumique est

supposée constante sauf dans le terme de gravitation de l’équation de quantité de

mouvement.

La littérature nous révèle que la grande majorité des études théoriques sur la

convection mixte interne se limite à des situations particulières. En effet, dans ces travaux

sont généralement employés différents types de conditions aux limites à la paroi :

température ou flux imposée (constante ou variable).

D.J. Harris, N. Helwig [2] : Cette étude porte sur la conception d'une cheminée solaire

pour provoquer une ventilation dans un bâtiment. Ils Ont utilisé la modélisation CFD pour

évaluer l’influence de l'angle d'inclinaison et double vitrage sur le taux de ventilation. Il a

été constaté que l’angle d'inclinaison de 67,5° sur l'horizontale est optimal pour

l'emplacement choisi, en augment le rendement de 11% que la cheminée verticale, et que

augment aussi de 10% en utilisant des surface a émissivité faible.

Z.D. Chen et all [3] : Ont effectué des expériences en utilisant un modèle de cheminée

solaire expérimentale avec un flux de chaleur uniforme, et de facteur de forme variable

entre 1:15 and 2:5 et de différents angles d'inclinaison. Les résultats ont montré que de


débit d'air maximal a été atteint à un angle d'inclinaison d'environ 45° pour un largeur de

200 mm et 1,5 m de hauteur de cheminée, et le débit d'air est d'environ 45% plus élevé que

pour une cheminée verticale dans des conditions identiques par ailleurs.

K.S. ONG [4] : Ont proposé Un modèle mathématique simple, d'une cheminée solaire.

Le modèle physique est semblable au mur Trombe. Un côté de la cheminée est vitrée avec

les trois autres murs solides de la forme canal, par lequel l'air chaud pourrait augmenter

par convection naturelle. Les ouvertures se trouvant on bas et on haut de la cheminée pour

permettre à l'air de se déplacer pour entrer et sortir du canal. L’équation d'état de transfert

de chaleur a été résolue pour déterminer les températures de la surface de la vitre, la

quantité de chaleur absorbée par les murs et le début d'air dans le canal en utilisant un

réseau de résistance thermique.

R. BEN YEDDER et E. BILGEN [5] : Étudient numériquement les performances

thermiques des systèmes collecteurs classiques à un mur Trombe. Ils Supposent que

l’écoulement est laminaire et bidimensionnel, le vitrage est isotherme et la chaleur solaire

absorbée par la paroi est transférée à l’air dans le canal avec un flux constant, par

convection naturelle et a la pièce adjacente par conduction puis par convection. Les

équations de masse, quantité de mouvement et énergie sont discrétisées et résolues en

utilisant la méthode des différences finies et des volumes de contrôle. Les champs de vitesse

et de température sont obtenus et les résultats sont présentés pour les différentes parties

du système ; le nombre de Nusselt et les performances thermiques du système sont évalués

et présentés en fonction du nombre de Rayleigh.

B. Zamora, A.S. Kaiser [6] : on fait une étude numérique sur les écoulements

laminaires et turbulents induits par la convection normale dans les cheminées solaires,

pour des différent nombre de Rayleigh, plusieurs valeurs de l’épaisseur et les différentes

conditions de chauffage a été réalisée. Le modèle de turbulence de bas nombre de Reynolds

ε−k a été utilisé pour simuler les cas turbulents. Les résultats numériques pour le nombre


moyen de Nusselt et le début massique adimensionnel ont été obtenus pour des valeurs du

nombre de Rayleigh variant de 105 à 1012.

GUOHUI GAN [7] : a étudié la climatisation passif des bâtiments pendant l’été à l’aide

d’un mur Trombe. Les taux du refroidissement naturel ont été prédits en utilisant la

technique CFD (Computational Fluid Dynamics). En utilisant le modèle de turbulence k‐ε.

L’auteur détermine que Le débit de ventilation augmenté avec la température de la paroi et

le flux de chaleur. Les effets de la distance entre le mur et le vitrage, la hauteur du mur, type

de vitrage et l'isolation des murs ont également été étudiés. Il a été montré que, pour

maximiser le taux de ventilation, la surface intérieure d'un mur Trombe doivent être isolé

pour le refroidissement en été. Ce serait également souhaitable d'éviter toute surchauffe de

l'air ambiant dû à la convection et le transfert de chaleur par rayonnement à partir du mur

B.A JUBRAN [8] : étudie le transfert de chaleur par convection laminaire entre les

surfaces d’un canal (mur Trombe). Ont été étudiés Les profils de vitesse, les profils de

température et de pression, lorsque la température de la paroi de maçonnerie n'est pas

uniforme, mais de la forme Tw(x)=Tg+A*xn. La variation de la vitesse du fluide, la

température et le nombre de Nusselt moyen ont été déterminés numériquement pour les

angles d'inclinaison choisie de la paroi. Il a été constaté qu'il ya un effet significatif de

l'inclinaison mur de verre sur le nombre de Nusselt moyen.

S.J. ORMISTON [9] :à étudié le système de chauffage passif (mur Trombe), l'air venant

d'une pièce circule par convection naturelle à travers un canal entre une vitre et un mur.

L'écoulement qui circule apporte à la pièce l'énergie solaire collectée par le mur et la vitre.

L’auteur à analysé le système dans lequel l'écoulement est laminaire et bidimensionnel, la

vitre et le mur sont isothermes. Il a montré que l'écoulement et le transfert thermique sont

caractérisés par deux nombres de Rayleigh. Ces résultats sont supposés être les premiers

qui tiennent complètement compte de l'interaction entre la pièce et le canal, et qui incluent

le cas important où la température de la vitre est plus basse que la température de la pièce.

Wei Chen, Wei Liu [10] : Ont analysé le comportement dynamique et thermique de

l’air dans une chambre chauffée passivement par l’énergie solaire. , il a été montré que


l’isolation thermique de la chambre a des effets significatifs sur la distribution de la

température et de débit d'air dans la chambre. Le transfert de chaleur et circulation d'air

dans un lit de roche, qui est utilisé comme absorbeur solaire et la couche de stockage, sont

également étudiés.

Ramadan Bassiouny, Nader S.A. Koura [11] : Ont étudié analytiquement et

numériquement Le concept d’une cheminée solaire pour améliorer la ventilation naturelle

d’une salle.. L'étude a examiné certains paramètres géométriques tels que la taille et la

largeur d'entrée de cheminée. L'analyse numérique a été destinée à prédire la répartition

de la température dans la chambre ainsi que dans la cheminée. Cela permettrait d'optimiser

les paramètres de conception. Les résultats ont été comparés avec les données publiées

disponibles expérimentales et théoriques.. En outre, il a été remarqué que la largeur de la

cheminée a un effet plus significatif sur le débit d’air par rapport à la taille d'entrée

cheminée. L’auteur montre que la corrélation entre la température et le flux solaire est 461.0*51.3 QT = et entre la vitesse moyenne de l’air et le flux solaire est 4.0*013.0 Qv = .

En ce qui concerne plus particulièrement les écoulements en canalisation, on peut

citer parmi les investigations récentes celle de Chow et al. [12]. Ils ont étudié l’influence de

la convection naturelle sur un écoulement entièrement développé, à faibles nombres de

Peclet, ayant un profil de température uniforme à l’entrée du canal et une température

constante sur les parois. Ils ont traité deux cas : chauffage et refroidissement. Dans le cas

d’un chauffage, la densité de flux et le nombre de Nusselt augmentent lorsque le nombre de

Grashof augmente, ceci est dû à l’effet de la convection naturelle. Au contraire, dans le cas

d’un refroidissement, la densité de flux et le nombre de Nusselt diminuent lorsque le

nombre de Grashof diminue.

Laouadi et al [13] : ont étudié le problème avec convection mixte dans une conduite

inclinée soumise à un flux de chaleur uniforme pour un écoulement thermiquement et

hydrodynamiquement développé. Ils ont établi qu'un flux uniforme sur la surface

extérieure de la conduite induit également un flux uniforme a l'interface solide‐fluide pour

des faibles valeurs du rapport des conductivités thermiques, k<10‐2 pour des valeurs


élevée de ce rapport. La même condition extérieure induit une température uniforme à

l'interface.

HEGGS et al [14] : ont étudié l'effet de la conduction de chaleur dans la paroi de la

conduite sur un écoulement dans une conduite verticale en convection mixte avec le

phénomène de renversement. Par comparaison avec le cas où la conduction de chaleur est

négligeable, il a été montré que la paroi de la conduite a une influence très importante sur

l'écoulement et le transfert thermique.

Nguyen et al. [15] : ont analysé le comportement dynamique et thermique d’un écoulement

d’air dans un tube vertical. Le comportement transitoire de l’écoulement est réalisé en

imposant une densité de flux uniforme à la paroi mais avec une variation linéaire en

fonction du temps. Deux cas ont été analysés : l’écoulement descendant chauffé (convection

mixte contrariée) avec une densité de flux (qw) qui varie entre 0 et 19750 W.m‐2 et

l’écoulement ascendant chauffé (convection mixte aidée) avec qw qui varie entre 0 et 34560

W.m‐2, ce qui correspond à des nombres de Grashof respectivement compris entre 0 et 106

pour l’écoulement descendant, et entre 0 et 1,75.106 pour l’écoulement ascendant. Dans le

cas de l’écoulement descendant chauffé, les auteurs ont montré l’apparition des

écoulements inverses au voisinage de la paroi pour Gr = 3.105. Les zones de recirculation

deviennent plus visibles dès que le nombre de Grashof augmente. Au contraire, dans le

deuxième cas l’écoulement s’accélère au voisinage de la paroi et, par conséquent, pour

respecter la conservation de la masse, il est freiné au centre.

ORFI et COLI [16]: ont présenté les effets de l'inclinaison et de l'intensité du flux

thermique sur le développement de l'écoulement et la distribution des coefficients de

transfert thermique.

Nous avons souvent rencontré dans la littérature des études en convection mixte

avec des conditions aux limites variables à la paroi. Mai et al. [17] sont allés plus loin en

ajoutant une variation de débit à l’entrée du tube ce qui correspond aux conditions réelles

de fonctionnement d’un radiateur. Leur travail comporte une étude d’un écoulement


descendant en convection mixte dans un tube vertical lorsque l’entrée est soumise à un

échelon de débit.

Catalin Viorel POPA [18] ont étudie numériquement les phénomènes convectifs au

sein d’un fluide circulant dans un tube vertical soumis à des conditions aux limites variables

à l’entrée et/ou à la surface externe de la conduite. La résolution numérique des équations

basées sur la fonction de courant et la vorticité est assurée par une méthode aux différences

finies. Il à été observé que le comportement de l’écoulement est très différent selon le signe

de l’échelon de température positif ou négatif. A partir d’expériences numériques, ont été

établi des diagrammes de stabilité de l’écoulement laminaire, en convection mixte aidée et

contrariée. De plus, le temps caractéristique d’apparition des instabilités qui diminue

fortement pour des nombres de Richardson élevés.

Dans ce chapitre on va formuler le modèle mathématique, les hypothèses

simplificatrices ainsi que les conditions initiales et aux limites appropriées à la

géométrie étudie.

II.1. Configuration étudiée:

Un mur trombe s'agit d'un vitrage suivi d'une lame d'air et d'un mur en béton.

Des ouvertures hautes et basses sont réalisées dans le mur afin de créer une circulation

d'air entre la lame d'air et l'air du local à chauffer. L'air chauffé dans la lame d'air

pénètre par les ouvertures supérieures dans la pièce. Il se refroidit au contact de l'air du

local et, une fois rafraîchi, revient par les ouvertures inférieures dans la lame d'air.

ETABLISSEMENT DU MODELE

MATHEMATIQUE

Etablissement du Modèle Mathématique Page | 25

Figure (II.1) : Schéma représentant la forme générale

La figure (II.2) représente la schématisation bidimensionnelle de système

simplifié de mur Trombe étudié.

H

L

h1

l1l2

h2

q

a

b c

d e

f g

h

Figure (II.1) : Schéma représentant la forme simplifié de la configuration étudiée


II.2. Hypothèses simplificatrices:

Les hypothèses simplificatrices retenues dans l’étude sont les suivantes:

• Le fluide utilisé est un fluide newtonien, incompressible et qui satisfait

l’hypothèse de Boussinesq.

• La masse volumique varie linéairement avec la température et elle est donnée

par la relation suivante :

( )[ ]00 1 TT −−= βρρ (II ,1)

• L’écoulement du fluide au sein de la cavité est laminaire, stationnaire et

bidimensionnel.

• Les propriétés thermo physiques du fluide sont constantes dans l’intervalle de

température étudiée.

II.3. Equations gouvernantes sous forme dimensionnel:

Compte tenu des hypothèses formulées précédemment, les équations qui régissent

le phénomène physique de ce problème obéissent à la loi classique de la conservation.

Pour un problème bidimensionnelle et dans un repère cartésien c’est équation sont :

• Equation de continuité:

0=∂∂

+∂∂

yv

xu

(II ,2)

• Equations de quantité de mouvement :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

21yu

xu

xp

yuv

xuu

tu υ

ρ (II ,3)


( )02

2

2

21 TTgyv

xv

yp

yvv

xvu

tu

−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂ βυ

ρ (II ,4)

• Equation d’énergie :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yT

xT

yTv

xTu

tT α (II ,5)

II.4. Equations gouvernantes sous forme adimensionnel:

L’emploi des variables adimensionnelles permet une meilleure approche de la

réalité des phénomènes physiques, car elles sont indépendantes du système d’unités de

mesure utilisé. Autrement dit ces variables permettent d’obtenir des informations

générales, qui jouent un rôle prépondérant dans les similitudes. Pour ramener les

équations précédentes à une forme adimensionnelle, il est nécessaire d’introduire les

changements de variables.

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′′=Δ

Δ−

=

==

==

==

fkHqT

TTT

upP

Hut

uvV

uuU

HyY

HxX

;

;

;

;

0

200

00

θ

ρτ

(II ,6)

Le système d’équations définissant le problème devient :

0=

∂∂

+∂∂

YV

XU

(II ,7)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

Re1

YU

XU

XP

YUV

XUUU

τ (II ,8)


θ

τ Pr*ReRe1

22

2

2

2 RaYV

XV

YP

YVV

XVUV

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

(II ,9)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

PrRe* YXK

YV

XU θθθθ

τθ

(II ,10)

Avec

K=1 : la zone fluide

K=Kr : la zone solide

La mise sous forme adimensionnelle des équations de conservation fait apparaître

les nombres adimensionnels caractérisant le phénomène:

Le nombre de Prandtl : compare la rapidité des phénomènes thermiques et des phénomènes hydrodynamiques dans un fluide.

Le nombre de Rayleigh : caractérisant le transfert de chaleur au sein d'un fluide, inférieur à une valeur critique, le transfert s'opère essentiellement par

conduction, tandis qu'au‐delà de cette valeur c'est la convection libre ou naturelle

qui devient importante.

Le nombre de Reynolds qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses.

Il est bien claire que les équation de conservation définies précédentes peuvent se

présenter par une seul équation dite équation de transport :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φφφφφφ

τS

YYXXV

YU

X+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

(II ,11)


Avec :

Grandeurs transportées Φ Γ φS

Conservation de masse 1 0 0

Quantité de mouvement selon X U Re1 XP

∂∂

−

Quantité de mouvement selon Y V Re1 ( )[ ]YPRa∂∂

−θPr*Re2

Energie T ( )PrRe*K

0

Tableau II.1 : Présentation des différents termes de l'équation de transport pour les différentes équations de conservation.

II.6. Les conditions initiales et aux limites :

II.6.1 Conditions initiales:

Afin de ne pas être gêné par des problèmes de divergences, on doit partir d'un état

initial qui est proche de la réalité. A l'instant t=0, le fluide est supposé au repos c'est‐à‐

dire comme suit:

La vitesse longitudinale U = 0. La vitesse transversale V = 0. La température T = T0.

II.6.1 Conditions aux limites:

Les différentes conditions sont résumées dans le tableau(II.2) :


Condition Type U V P θ

Paroi [ab] inlet 1=U 0=V 0=∂∂XP

0=θ

Paroi [bc] adiabatique 0=U 0=V 0=∂∂YP

0=∂∂Yθ

Paroi [cd] Flux constant 0=U 0=V 0=∂∂XP

1=∂∂Yθ

Paroi [de] adiabatique 0=U 0=V 0=∂∂XP

0=∂∂Yθ

Paroi [ef] outflow 0=∂∂

XU

0=∂∂XV

0=∂∂XP

0=∂∂Xθ

Paroi [fg] adiabatique 0=U 0=V 0=∂∂YP

0=∂∂Yθ

Paroi [gh] Isotherme 0=U 0=V 0=∂∂XP

0=θ

Paroi [ha] adiabatique 0=U 0=V 0=∂∂YP

0=∂∂Yθ

Paroi [be] adiabatique ------ ------ ------ 0=∂∂Xθ

Tableau II.2: Conditions aux limites sous formes adimensionnelles.

Après avoir développé les équations dynamiques et thermiques, ainsi que les

conditions aux limites associées à la configuration étudiée, on va modéliser

numériquement le problème. Pour cela une méthode de discrétisation à été choisie pour

les équations gouvernantes. Les questions relatives à la technique de résolution, ainsi

que le choix du maillage seront donc également abordées dans ce chapitre.

III.1. Généralité sur le CFD

La formulation mathématique des lois de conservation régissant les

phénomènes physiques comme les transferts de chaleur ou les écoulements de fluides,

est généralement écrite sous forme d'équations aux dérivées partielles du type

conservatif. [28]

Le problème différentiel ainsi posé est de nature continu. L’expression de la solution

à partir d'une formule analytique est en général impossible à mettre en évidence. Il est

alors nécessaire de passer par une approximation du problème, c'est‐a‐dire de le

remplacer par plusieurs problèmes discrets représentant localement le problème

continu de façon approchée. Cette procédure, appelée discrétisation ou approximation,

permet notamment une résolution numérique discrète des équations continues.

PROCEDURE DE SIMULATION

NUMERIQUE

Procédure de Simulation Numérique Page | 32

Le problème ainsi posé revient à trouver les solutions de n équations sur les

éléments du domaine. La solution générale φ sur le domaine est liée à la résolution des

nφ locaux.

Les nφ admettent une solution unique permettant la convergence du calcul vers

la solutionφ . Cette convergence dépend directement de la manière de construire les

sous‐espaces de résolution. Il existe différentes méthodes de discrétisation spatiale des

équations de conservation : différences finies, éléments finis, volumes finis et les

méthodes spectrales.

La modélisation numérique repose sur la reformulation des équations de

conservation sur des volumes élémentaires ou discrets, appelés éléments ou mailles.

Associés à ces éléments, nous retrouvons les nœuds de discrétisation, c'est‐a‐dire les

points de résolution des équations discrètes. Ceux‐ci peuvent être aussi bien placés aux

sommets des éléments qu'en leur centre ou encore sur les faces, selon la méthode de

discrétisation utilisée.

Les éléments et les nœuds associés composent le maillage. Nous distinguons

plusieurs types de maillages, définis par le nombre de nœuds associés à chaque élément

et par le nombre de liaisons pour chaque nœud.

La connectivité décrit les liaisons entre les sommets des éléments. On parle de

maillage structuré si les nœuds de même type ont toujours le même nombre de nœuds

voisins, ou sont associés au même nombre d'éléments. La connectivité associée à ces

nœuds est alors toujours de même type. Dans le cas d'un maillage non structuré, la

connectivité est de type quelconque, et le nombre de voisins de chaque nœud diffère

localement.

Le principal avantage des maillages structurés est une connaissance complète et

immédiate du voisinage de chaque point de discrétisation. En effet, le nombre de nœuds

est constant dans chaque direction de maillage. Dans le cas de maillage avec des

quadrilatères, La connaissance des indices d'un nœud donne la position relative dans la

grille. Cet avantage se trouve être aussi son principal inconvénient car les maillages

structures ne sont pas adaptes a tous les types de géométrie.


Les équations de Navier‐Stokes se composent de l'équation de conservation de la

masse et des équations de conservation de la quantité de mouvement. Leur résolution

nécessite l'obtention, à chaque instant, d'un champ de pression et d'un champ de vitesse

cohérents. Sous la contrainte d'incompressibilité de l'écoulement, l'équation de

continuité se réduit à l'obtention d'un champ de vitesse à divergence nulle. Le couplage

vitesse‐pression est délicat à traiter pour les écoulements incompressibles car la

pression n'apparait pas explicitement dans l'équation de conservation de la masse.

Plusieurs voies sont utilisées pour aborder ce problème et correspondent à des classes

de méthodes différentes, parmi ces méthodes les méthodes de correction de pression

consistent en une procédure de prédiction‐diffusion et de correction‐projection entre les

champs de vitesse et de pression. On distingue généralement les techniques suivantes

[25] :

1. les méthodes de projection introduites par Chorin (1968). [27]

2. Les méthodes incrémentales sur la correction de pression introduites par Goda

(1978). [26]

3. les algorithmes de prédiction‐correction de type SIMPLE (Semi Implicit Method

for Pressure Linked Equations) et SIMPLER (SIMPLE Revised) (Patankar,

1972[24]) qui utilisent une équation de correction de la pression pour corriger

les vitesses.


Dans ce travail la procédure de simulation numérique retenue pour la résolution du

système d’équations gouvernantes est basée sur la méthode des volumes finis. Cette

méthode qui se distingue par sa fiabilité quant aux résultats, son adaptation au

problème physique, sa garantie de conservation de masse, de quantité de mouvement et

de tout scalaire transportable sur chaque volume de contrôle ainsi que dans tout le

domaine de calcul. Trois techniques sont employées pour la résolution numérique des

équations de mouvement et de continuité, les deux premiers sur un maillage

triangulaire non structuré et le dernier sur un maillage cartésien.les méthodes sont

résumées dans le tableau suivant :

maillage

Stockage des variables

Algorithme de

Couplage

pression‐vitesse

1er méthode

Non structurée (triangulaire)

décalé

Projection (Chorin

1967)

2eme méthode Non structurée (triangulaire)

Semi‐décalé

SIMPLE

(Patankar 1980)

3eme méthode structurée

(cartésienne) Co‐localisée SIMPLE

(Patankar 1980)

Tableau(III.1) : les techniques de simulation


III.2 : Méthode de projection sur un maillage non structuré

Dans cette méthode un algorithme à pas de temps fractionnaire (implicite) est utilisé

pour la résolution des équations de Navier‐Stokes. La méthode à été développée pour

une utilisation sur un maillage non structuré composé de triangles.

La méthode de projection (à pas de temps fractionnaire) a été initialement

proposée par Chorin [27]. Elle s’effectue en deux étapes. Tout d’abord, on estime un

champ de vitesse intermédiaire par le bilan de quantité de mouvement sans tenir

compte des termes de pression, ce qui revient à calculer les termes instationnaires et de

convection‐diffusion. Puis en résolvant l'équation de continuité avec ce champ de

vitesse, on calcule le champ de pression, et on corrige le champ de vitesse.

III.2.1 Discrétisation en temps :

Etape de Prédiction :

Elle permet, l’obtention d’un champ provisoire de vitesse ( ** ; VU ) calculé

uniquement à partir du champ ( ττ VU ; ). Ce champ provisoire ne vérifie à priori pas

l’équation de continuité.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−=−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−=−

V

U

SYV

XV

YVV

XVUVV

SYU

XU

YUV

XUUUU

,.

,.

2

*2

2

*2***

2

*2

2

*2***

ΓτΔ

ΓτΔ

τττ

τττ

(III.1.1)

Equation de pression (Poisson) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

YV

XU

XP

YP **

2

2

2

21

τΔ (III.1.2)


Etape de Projection :

Consiste évidement à réinjecter le champ de pression, calculé ci‐ dessus dans les

équations ce qui permet d’obtenir le champ de vitesse ( ττττ Δ+Δ+ VU ; ), celui‐ci

satisfaisant aussi bien l’équation de quantité de mouvement que l’équation de

continuité.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

−=

∂∂

−=

+

+

YPVV

XPUU

τΔ

τΔ

τΔτ

τΔτ

*

*

(III.1.3)

III.2.2 Discrétisation en espace

La procédure de discrétisation spatiale commence en stockant les vitesses aux

sommets du polygone vi (Nœuds) puis en construisant une cellule interne en découpant

chaque arrêt intérieur des triangles qui construisent le polygone (c1c2c3c4c5) au

milieu (Figure (III .1.1)),

La méthode consiste à intégrer l'équation de conservation, écrite sous sa forme

conservative, sur chaque volume de contrôle (c1c2c3c4c5) :

∫∫

∫∫

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+−

VV

VV

dxdySdxdyYX

dxdyY

VX

Udxdyt

φ

τττ

φφΓ

φφΔφφ

,. 2

*2

2

*2

***

(III.1. 4)


Les caractéristiques des nœuds ci sont calculées comme suite :

( ) ( ) ( )***

21;

21;

21

Piiiiii vcPvcPvc yyyxxx φφφ +=+=+= (III.1.5)

Discrétisation des termes flux:

L'application du théorème de Green, pour la fonction φ, donne :

( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∑∫∫

∑∫∫

=

=

++

++

ie

icccc

CCV

ie

icccc

CCV

iiii

iiii

xxA

dxdxdyy

yyA

dydxdyx

2

****

1

****

11

11

21

21

φφφφ

φφφφ

(III.1. 6)

Où Ac est la surface du polygone (c1c2c3c4c5), Φ est la composante de vitesse, x et y

sont les coordonnées des sommets du polygone et ie se rapporte aux nombre des

sommets du volume de contrôle polygonal.

c1 c2

c3

c4

c5

P

v1

v2

v3

v4

v5

Figure (III .1.1) : Volume de contrôle pour les flux convectifs traversant les faces


La combinaison des équations (III.1.5), (III.1.6) et donne :

( )( )

( )( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=>

−+==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∑∫∫

∑∫∫

+

=

−

+

=

−+

−+

1

2

****

1

2

****

11

11

41

;4

1

ie

ivv

CCV

ieii

ie

ivv

CCV

iiivP

iiivP

xxA

dxdxdyy

vvieiSi

yyA

dydxdyx

φφφφ

φφφφ

(III.1.7)

Donc les termes flux peuvent être déterminés par :

∑∫=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 6

2

****

iiP

VivP

FFdxdyY

VX

U φφφφ ττ (III.1.8)

Avec

( ) ( )[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=

=

−+−+

∑=

111141

6

2

iiii vvPvvPC

i

iiP

xxVyyUA

F

FF

ττ (III.1.9)

Discrétisation des termes diffusives :

( ) ( )∑∑∫==

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+

+

+

+

ie

icc

c

ie

icc

cVii

i

ii

i

xxy

yyx

dxdyYX 22

2

*2

2

*2

1

21

1

21

, φφφφ (III.1.10)

Les composants visqueux impliquent l'évaluation des dérivés des variables

primitives (vitesses) sur chaque contour polygonal, elle reste pour définir une découpe

appropriée pour obtenir les premiers dérivés sur les arrêts. Il n'y a pas une manière

unique d'effectuer l'intégration, mais peut être le plus simple est d'employer la découpe

représentée sur la (Figure III.1.2), de sorte que la dérivée au milieu d’arrêt soit la somme de quatre limites. Les premières dérivées au milieu du bord sont définies comme suit

[32]:


( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∑

∑

=−+

=−+

+

+

15

5

211

*

15

5

211

*

,2

1

,21

21

21

vvxxAy

vvyyAx

iiii

ic

iiii

ic

i

i

φφ

φφ

(III.1.11)

Où Ai le volume de l’élément quadratique (1234)

Les caractéristiques des nœuds 1, 2, 3 et 4 sont déterminé par :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

+++

***333

***222

***111

21;

21;

21

21;

21;

21

21;

21;

21

111

Piii

iviiiii

Piii

vPvPv

vvvvv

vPvPv

yyyxxx

xxyxxx

yyyxxx

φφφ

φφφ

φφφ

(III.1.12)

La combinaison des deux précédentes équations donne :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+−+−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+++

+

+++

+

iiiiii

i

iiiiii

i

vPvi

Pvvi

vvPic

vPvi

Pvvi

vvPic

xxA

xxA

xxAy

yyA

yyA

yyAx

***

***

111

21

111

21

41

41

41

41

41

41

φφφφ

φφφφ

(III.1.13)

ci

vi

ci+1

vi+121

+iv

P

21

+ic 1

2

3

4

Figure (III.1.2) : Volume de contrôle pour le flux diffusif


Le volume Ai peut être calculée par la corrélation :

( )( ) ( )( )[ ]

11112

41

++++−−−+−+−=

iiiiiiii vvPvvPvvvvi yyyyyyyyxxA (III.1.14)

En substituant les équations (III.1.11‐14), dans l'équation (III.1.10) nous pouvons montrer que Le résultat final de l'intégration des termes de diffusion est :

∑∫=

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 6

2

**2

*2

2

*2

,i

iiPPV

DDdxdyYX

φφφφ (III.1.15)

Avec

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−−+

−−+−−=

−+−=

++++

−−−−

++

−

=∑

iiiiii

iiiiii

iiii

vvPvvvPvi

vvvPvvvPi

Ci

ie

ivvvv

iCP

yyyyxxxxA

yyyyxxxxA

AD

yyxxAA

D

1111

1111

11

41

41

21

41

21

1

1

22

(III.1.16)

Construction des équations linéaires :

La substitution des équations (III.1.8) et (III.1.15) en (III.1. 4) donne :

baa

iviP iP+=∑

=

6

2

** φφ (III.1.17)

Avec

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

−=

++=

τφ φ

Δ

Γ

ΓΔ

PC

C

iii

PPC

P

tASAb

FDa

DFt

Aa

(III.1.18)


III.2.3 : Traitement des conditions aux limites :

Les divers types des conditions aux limites définis pour notre géométrie en chapitre

II peuvent être classifiés en deux cas, Dirichlet ou Neumann

1‐ Type Dirichlet : Puisque les vitesses le long de cette frontière sont constantes, il

suffit de corriger pour chaque itération :

2 Type Neumann :

Pour chaque triangle de frontière tel que les triangles abc et aef, C’est de définir

les points m et w respectivement au centre des arrêts ab et af. Ainsi, les coordonnées

des points m et w peuvent être déterminées par :

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+=

+=+=

fawfaw

bambam

yyyxxx

yyyxxx

21;

21

21;

21

(III.1.19)

D’abord, c’est de Produire une ligne perpendiculaire pour affiler l'arrêt ab du point

M. qui identifie la ligne par mm'. Ensuite, déterminer l'intersection de la ligne mm’ avec

les arêtes du triangle abc (ac ou bc).

a

c

b

k

m

m’

w

e k

f

Figure (III.1.2) : Illustration des conditions aux limites type Neumann


Pour généraliser, la représentation des points d'intersection a ou b par le z. Ainsi,

appeler le point k l'intersection de la ligne mm’ est zc. Définissant le paramètre R par :

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )baazbaaz

mcabmcab

yyyyxxxxyyyyxxxxzR

−−+−−−−+−−

= (III.1.20)

Enfin, observer si, le point d'intersection k est coïncident avec le point c. donc :

ckckck yyxx φφ === ;; (III.1.21)

Si ( ) 10 <≤ aR

( )( )( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−+=−+=−+=

cack

cack

cack

aRyyaRyyxxaRxx

φφφφ (III.1.22)

Si ( ) 10 <≤ bR

( )( )( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−+=−+=−+=

cbck

cbck

cbck

bRyybRyyxxbRxx

φφφφ (III.1.23)

km φφ = (III.1.24)

( )wmb φφφ −=

21

(III.1.25)


III.2.4 : Discrétisation de l’équation de pression :

L’équation de poisson est discrétisée au centre de l’élément notée par Pp. On désigne

par v1, v2 et v3 les trois sommets de cet élément qui sont numérotés dans le sens inverse

des aiguilles d’une montre. Les centres des trois éléments voisins peuvent être

également identifiés comme : c1, c2 et c3 numérotés toujours dans le sens inverse des

aiguilles d’une montre.

L’intégration de l’équation de Poisson au tour de volume de contrôle donne :

∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

321321

**

2

2

2

21

vvvvvv

dxdyYV

XUdxdy

XP

YP

τΔ (III.1.26)

Les termes flux qui apparaissent du côté droit de l'équation de Poisson (III.1.26)

doivent être calculés aux centres des triangles (Figure III.1.3). Ceci est réalisé en

calculant les premiers dérivés des vitesses aux centres du triangle.

Figure (III.1.3) : Volume de contrôle pour l’équation de Poisson


L’intégrale de contour est rapprochée de la même manière comme décrit au

centre du polygone. Les premiers dérivés sont calculés comme suit :

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=>

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∑∫

∑∫

=

−

=

−+

−+

4

2

**

3

4

2

**

11

321

11

321

21

;32

1

ivvv

Cvvv

ii

ivvv

Cvvv

iii

iii

xxVA

dxdyy

V

vviSi

yyUA

dxdyx

U

(III.1.27)

Ou Ac ces le volume de volume de contrôle (triangle v1v2v3) est calculée par :

( )

312312131132321 21

vvvvvvvvvvvvvvv yxyxyxyxyxyxA ++−++= (III.1.28)

Donc la forme finale du terme flux :

( ) ( )[ ]∑∫=

−+−+−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 4

2

****

1111

3213212

1i

vvvvvvvvvvvv

iiiiiixxVyyU

Adxdy

yV

xU

(III.1.29)

Les coordonnées de centre de l’élément sont calculées comme suit :

( ) ( )

321321 31;

31

vvvPvvvP yyyyxxxx ++=++=

(III.1.30)


Interpolation de pression aux nœuds :

La pression à n'importe quel sommet (nœud) est obtenue en faisant

l’interpolation de toutes les valeurs au centre des éléments qui ont ce nœud pour

sommet (Figure III.1.4). L’interpolation de la valeur de pression se fait dans la

proportion inverse de la distance entre le centre de l’élément et le sommet en question,

d’où :

∑∑==

=ne

m ma

ne

m ma

ma LL

PP11

1 (III.1.31)

Ou

( ) ( )( ) 2/122amamma yyxxL −+−= (III.1.32)

Figure (III.1.4) : Interpolation de la pression aux sommets des éléments


L'application du théorème de Green, en utilisant le triangle (v1v2v3), donne

l’approximation de la deuxième dérivée :

( ) ( )∑∫=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+

+

+

+

3

12

2

2

2

1

21

1

21321 i

vvv

vvvvvv

ii

i

ii

i

xxyPyy

xPdxdy

yP

xP (III.1.33)

En utilisant les éléments quadratiques Pv1c1v2, Pv2c2v3 et Pv3c3v1 pour calculer les premiers dérivés de pression :

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−+−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

++

+

++

+

iiiiii

i

iiiiii

i

vvcPi

pcvviv

vvcPi

pcvviv

PPxxA

PPxxAy

P

PPyyA

PPyyAx

P

11

21

11

21

21

21

21

21

(III.1.34)

Ai : le volume de l’élément quadratique.

( )

icCi AAA +=31

(III.1.35)

icA : Le volume de l’élément triangulaire voisin

La substitution des équations (III.1.34) en (III.1.33) donne :

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )[ ]∑

∑∫

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+++

++

3

1

3

1

222

2

2

2

111

11

21

21

icPvvcPvvvv

i

ivvvvpc

iabc

iiiiiiii

iiiii

xxxxyyyyPPA

xxyyPPA

dxdyyP

xP

(III.1.36)


La forme discrétisée finale de l’équation de Poisson :

bPaPaPa

ivv

iccPP iiii

++= ∑∑==

4

2

3

1 (III.1.37)

Avec

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−−

−−−+−−

=

−+−=

=

∑

∑

∑

=

=

+

=

−+−+

++++++

++

++

,2

12

121

21

4

2

**

4

2

1

22

3

1

1111

112112

11

11

ivvvvvv

C

icPvvcPvv

i

cPvvcPvvi

v

vvvvi

c

icP

iiiiii

iiiiii

iiiiii

i

iiiii

i

xxVyyUA

b

xxxxyyyyA

xxxxyyyyA

a

xxyyA

a

aa

τΔ

(III.1.38)

Traitement des conditions aux limites

La résolution de l'équation de pression (ci‐dessus) nécessite évidemment de fixer

des conditions aux limites. On choisira une condition de type Neumann sur le gradient

de pression au niveau des frontières du domaine :

a’

b’ 21

Frontière

3

a b

n v

Figure (III.1.5) : Illustration des conditions aux limites de pression


pour obtenir une valeur approximative de la pression sur la surface est comme

suit. Supposer que le point a’ au centre de l’arret 2‐3 est perpendiculaire sur la surface

au point a.

le sinee que le gradient de pression sur la surface est zéro, on peut écrire

0=

−=

−=

∂∂

′′

′

bb

bb

aa

aa

LPP

LPP

nP

(II.1.39)

Donc

( ) ( )1232 2

1;21 PPPPPPPP bbaa +==+== ′ (III.1.40)

La pression au nœud v peut être calculée par :

( )bav PPP +=

21

(III.1.41)

III.2.5 : Discrétisation des équations de projection :

Le gradient de pression apparaissant dans l’équation de projection peut approximé

au centre de polygone (nœud P) par :

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∫ ∑

∫ ∑

=

=

−+

−+

P iii

P iii

Si

cccPPP

Si

cccPPP

xxPA

PdxAy

P

yyPA

PdyAx

P

5

2

5

2

11

11

11

11

(III.1.42)

Ap : le volume de cellule construit par les centres des éléments entourant le nœud P


L’équation de projection devient :

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−Δ

+=

−Δ

−=

∑

∑

=

Δ+

=

Δ+

−+

−+

5

2

*

5

2

*

11

11

iccc

PPP

iccc

PPP

iii

iii

xxPA

VV

yyPA

UU

τ

τ

ττ

ττ

(III.1.43)

III.2.6 : Discrétisation de l’équation de l’énergie:

L’équation de l’énergie est discrétisée au centre de l’élément est notée par θp. On

désigne par v1, v2 et v3 les trois sommets de cet élément qui sont numérotés dans le sens

inverse des aiguilles d’une montre. Les centres des trois éléments voisins peuvent être

également identifiés comme : c1, c2 et c3 numérotés toujours dans le sens inverse des

aiguilles d’une montre.

Figure (III .1.6) : Volume de contrôle pour équation de projection

v1

v2

v3

v4

v5

c1

c2

c3 c4

c5

P


La forme intégrale de l’équation de l’énergie :

dxdyYX

dxdyY

VdxdyX

Udxdyt VVVV

∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂ ,. 2

2

2

2 θθΓθθΔθ

(III.1.44)

Terme convectif :

( )( )[ ]

( )( )[ ]∑

∑∫

=

=

−++

−+=∂∂

++

++

3

1

3

1

111

11

41

41

icvvvv

C

Pi

vvvvCV

iiii

iiii

yyUUA

yyUUA

dxdyx

U

θ

θθ

(III.1.45)

Figure (III.1.7) : Volume de contrôle pour l’équation d’énergie


( )( )[ ]

( )( )[ ]∑

∑∫

=

=

−+−

−+−

=∂∂

++

++

3

1

3

1

111

11

41

41

icvvvv

C

Pi

vvvvCV

iiii

iiii

xxVVA

xxVVA

dxdyy

V

θ

θθ

(III.1.46)

Donc les termes flux peuvent être déterminés par :

∑∫∫=

+=∂∂

+∂∂ 3

1iciPP

VVi

FFdxdyy

Vdxdyx

U θθθθ (III.1.47)

Où les différents coefficients sont donnés par :

( )( ) ( )( )[ ]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−+=

=

++++

∑=

iiiiiiii vvvvvvvvC

i

iiP

xxVVyyUUA

F

FF

111141

3

2 (III.1.48)

Terme diffusif

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )[ ]∑

∑∫

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+++

++

3

1

3

1

222

2

2

2

111

11

21

21

icPvvcPvvvv

i

ivvvvpc

iabc

iiiiiiii

iiiii

xxxxyyyyA

xxyyA

dxdyyx

θθ

θθθθ

(III.1.49)

∑∑∫==

++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ 4

2

4

22

2

2

2

,i

cci

vvPPV

iiiiDDDdxdy

yxθθθθθ

(III.1.50)

Avec ( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−−

−−−+−−

=

==>−+−=

=

∑

∑

=

+

−−

=

++++++

++

++

4

2

1

3322

3

1

112112

11

11

21

21

;;3:21

icPvvcPvv

i

cPvvcPvvi

v

iiiivvvvi

c

icP

iiiiii

iiiiii

i

iiiii

i

xxxxyyyyA

xxxxyyyyA

D

ccvviSixxyyA

D

aD

(III.1.51)


La substitution des équations (III.1.47) et (III.1.50) en (III.1.44) aboutit la forme

discrétisée finale de l’équation de l’énergie :

baaa

ivv

iccP iiiiP

++= ∑∑==

4

2

4

2φφθ (III.1.52)

Avec

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ=

Γ=

−Γ=

Γ++Δ

=

0

.

.

.

PC

vv

icc

PPC

P

Ab

Da

FDa

DFt

Aa

ii

ii

θτ

(III.1.53)


III.2.7 : Organigramme :

Début

Initialisation des fonctions τθ Δ;;;; 0000 PVU

1er étape : résolution des équations de prédiction, Équation (III.1.17) pour U et V

2eme étape : résolution de l’équation de Poisson (III.1.37)

4eme étape : résolution de l’équation de l’énergie (III.1.52)

3eme étape : calcule des vitesses U; V (III.1.43)

410 −Δ+

Δ+

≤−∑ ττ

τττ

φφφ Non

Oui

Affichage des résultats Calcul des nombres adimensionnel

Fin

ττ Δ+P

**;VU

ττττττ Δ+Δ+Δ+ PVU ;;

ττττττττ θ Δ+Δ+Δ+Δ+ ;;; PVU

1

1

1

1

+

+

+

+

=

=

=

=

Δ+=

ττ

ττ

ττ

ττ

θθ

τττ

PPVVUU


Figure (II.2.1) : volume de contrôle pour l’équation de mouvement

P

vi

ci-1

ci

U, V

P

III.3 : Algorithme SIMPLE sur un maillage triangulaire

Dans cette méthode Le schéma utilisé est les volumes de contrôle semi‐décalés

pour les équations de mouvement et de pression de correction pour favoriser le

couplage de pression‐vitesse, les nœuds (les sommets des éléments) sont employés

pour stocker les composants cartésiens de vitesse. La structure des données est

construite de telle manière que les cellules de maillage non structuré peuvent être des

polygones de toute forme et de nombre d'arêtes quelconque.

III.3.1 Discrétisation des équations de mouvement :

L'approximation des intégrales dans les équations est effectuée par une addition

des flux au centre des arêtes des cellules. Ce processus a comme conséquence la forme

discrétisée suivante des équations:

( ) ( )[ ] 0

1=Δ−Δ∑

=

ie

iee xvyu (III.2.1)

( ) ( )[ ] c

ie

ie

e

ie

ie

e

ie

ieeec

PP VSxy

yx

xvyuV φ

ττ

ΔφΔφΓΔΔφτΔφφ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=−+− ∑∑∑

+

=

+

=

+

=

+ 1

2

1

2

1

2

1

(III.2.2)

La où l'indice e dénote une quantité sur n'importe quelle arête, ie est le nombre

d'arêtes qui forment le volume de contrôle et Vc le volume du volume de contrôle


Flux de convection:

Le schéma Upwind du premier ordre (Courant, Isaacson et Rees, 1952) est basé

sur l’hypothèse que, la variable (Φ) aux différentes facettes du volume de contrôle prend

les valeurs au centre de la cellule dans le sens de l’écoulement. Le terme flux est donnés

par :

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )

1111 21

21

−−−−−+−−+=−=

iiiiiiii cccccccceei xxvvyyuuxvyuK ΔΔ (III.1.3)

La grande stabilité de ce schéma le rend un choix préférable quand les échanges

convectifs sont prépondérants par rapport aux échanges diffusifs (nombre de Peclet

élevé). Le coefficient pour la face est s’écrit donc:

iviPiie KKK φφφ −−= ,0,0 (III.2.4)

( ) ( )[ ] [ ] ∑∑∑

+

=

+

=

+

=

−=−−=−1

2

1

2

1

2,0,0

ie

iviPp

ie

iviPi

ie

ieee ii

FFKKxvyu φφφφΔΔφ (III.2.5)

Avec [ ]

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

∑

∑+

=

+

=

1

2

1

2

,0

,0

ie

iii

ie

iip

KF

KF (III.2.6)

L’avantage de ce schéma c’est d’être simple et efficace et n’utilise pas des grandes mémoires de calcul.


Flux de diffusion :

Les limites visqueuses qui apparaissent dans l’équation (III.2.2) exigent

l'approximation des dérivés des vitesses sur les arêtes du centre de surface de contrôle

de volume. À cet effet, en utilisant le volume de contrôle auxiliaire représenté sur la

figure (III.2.2), les dérivés de vitesse sont considérés invariables dans ce volume de

contrôle et sont rapprochés par l'expression :

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∑

∑

=−+

=−+

4

111

4

111

21

21

kkki

ie

kkki

ie

xxVy

yyVx

φφ

φφ

(III.2.7)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]PvcvPcccvccPi

PvcvPcccvccPie

yyyyyyyyV

yyyyyyyyVx

iiiiiiiii

iiiiiiiii

−+−+−+−−=

−+−+−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−−−

−−−

111

111

2121

φφφφ

φφφφφ

(III.2.8)

Figure (II.2.2) : volume de contrôle auxiliaire

P 1

vi 3

ci-1 2

ci 4 vnr

( ) ( ) ( ) ( ) jyyiyynjxxiyyniiiiii vPvPvccccc

rrrrrr−−−=−−−=

−−;

11


( )( )

( )( ) ( )( )∑

∑∑+

= +

+

=

+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

++−

−

1

2 1

1

2

21

2

111

1

21

21

21

ie

icccPv

iccvP

i

ie

iccPv

i

ie

ie

e

iiiiiii

iii

yyyyV

yyyyV

yyV

yx

φ

φφΔφ

(III.2.9)

( )( )

( )( ) ( )( )∑

∑∑+

= +

+

=

+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++−

−

1

2 1

1

2

21

2

111

1

21

21

21

ie

icccPv

iccvP

i

ie

iccPv

i

ie

ie

e

iiiiiii

iii

yyxxV

yyxxV

xxV

xy

φ

φφΔφ

(III.2.10)

Le résultat final de l'intégration des termes de diffusion est :

∑∑∑∑+

=

+

=

+

=

+

=

++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ 1

2

1

2

1

2

1

2

ie

icc

ie

ivvPP

ie

ie

e

ie

ie

eiiii

DDDxy

yx

φφφΔφΔφ (III.2.11)

Avec

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−+−−+

−−+−−−

=

−+−=

=

++++

−−

−−

+

+

=∑

iiiiii

iiiiiii

iiiii

i

ccPvccPvi

ccvPccvPi

c

cccci

v

ie

ivP

yyyyxxxxV

yyyyxxxxV

D

yyxxV

D

DD

1111

11

11

1

22

1

2

21

21

21

(II.2.12)

Vi : le volume de volume de contrôle auxiliaire


Gradient de Pression :

La pression moyenne le long de n'importe quelle arête de volume de contrôle est

rapprochée au moyen de la règle trapézoïdale utilisant les pressions stockées aux

centres des éléments :

( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−

=

−+=

∑∑

∑∑

=

+

=

=

+

=

++

++

ie

icccc

ie

iee

ie

icccc

ie

iee

iiii

iiii

xxPPxP

yyPPyP

1

1

2

1

1

2

11

11

21

21

Δ

Δ (III.2.13)

La combinaison des équations (III.2.5), (III.2.11) et (III.2.13) donnent La forme

discrétisée finale de l’équation de mouvement suivant x:

( )( ) bUaUayyPPUa

nb

ic

uc

ie

iv

uv

ie

iccccp

uP iiiiiiii

+++−+−= ∑∑∑=

+

=

+

=

+

++1

1

1

1

1

1

1121 τττ (III.2.14)

Avec

( )[ ]( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

+=

++= ∑+

=

τ

τΔ

Γ

Γ

ΓτΔ

Pc

cuc

ivuv

ie

iiv

cuP

UVb

Da

FDa

FDVa

ii

ii

i

.

.

.1

2

(III.2.15)

La forme discrétisée finale de l’équation de mouvement suivant y :

( )( ) bVaVaxxPPVa

ie

ic

vc

ie

iv

vv

ie

iccccp

vP iiiiiiii

+++−+= ∑∑∑+

=

++

=

+

=

+

++

1

2

11

2

1

1

1

1121 τττ (II.2.17)


Avec

( )[ ]( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

+=

++= ∑+

=

cvPc

cvc

ivvv

ie

iiv

cvP

VSVVb

Da

FDa

FDVa

ii

ii

i

τ

τΔ

Γ

Γ

ΓτΔ

.

.

.1

2

(III.2.18)

L'équation (II .2.15; 17) est la forme discrétisée finale de l'équation de

mouvement. Le premier terme du côté droit contient la pression aux centres des

éléments, la deuxième contient les vitesses stockées aux sommets (nœuds) des

éléments, et le troisième contient les vitesses aux centres des éléments entourant le

nœud P. Les valeurs de ces vitesse sont placées égales à leurs valeurs dans l'itération

précédente. Est calculée par l’interpolation :

∑∑==

=3

1

3

1

1m cvi cv

vc

ii

i

LLφ

φ (II.1.19)

Avec

( ) ( )( ) 2/122

iii vcvccv yyxxL −+−= (II.1.20)

Les équations (II.2.15) et (II.2.18), une fois écrites pour tous les nœuds de

maillage, donnent les deux systèmes d'équations linéaires qui pour des valeurs de

rendement, pour les composants provisoires de vitesse à condition que le champ de

pression soit connu. Ici, la solution de ces deux systèmes est exécutée par une méthode

de Gauss‐Seidel (point par point). Pour chaque nœud.

v1

v2v3

c

Figure(III.2.3) : Interpolation des vitesses aux centres des éléments


Dans la plupart des cas un ou deux itérations de Gauss‐Seidel selon l'itération

globale sont avérées suffisantes, bien que ce nombre dépende des champs initiaux de

pression et de vitesse [21].

Il est approprié de noter ici qu'aucun sous relaxation n'a été employé pendant le

procédé itératif de Gauss‐Seidel pour les équations de mouvement. Les vitesses relaxées

seulement à la fin du procédé, à travers :

( )( )⎩

⎨⎧

−+=

−+=0**

0**

11

PPP

PPP

VVVUUU

αααα

(III.2.21)

Là où l'indice 0 dénote des valeurs à l'itération globale précédente est α le facteur de

sous relaxation.

III.3.2 : Correction des vitesses et de pression :

Après l'algorithme SIMPLE de Patankar et de Spalding, les vitesses et champs de

pression sont considérés à chacune se composent d'une partie provisoire et d'une

correction :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′+=

′+=

′+=

pppVVVUUU

*

*

*

(III.2.22)

Les équations de correction des vitesses deviennent :

( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−′+′−=′

−′+′−=′

∑

∑

=+

=+

+

+

ie

icciiv

vv

ie

icciiu

vv

ii

i

i

ii

i

i

xxppa

v

yyppa

u

11

11

1

1

2

2

α

α

(III.2.23)


III.3.3 : Équation de Pression de correction

L'équation de correction de pression est dérivée de l'équation de continuité

intégrée au‐dessus des éléments de maillage. Sur la figure (III .2.3) les lignes grasses

identifient les volumes de contrôle pour l'équation de pression de correction. La tâche

est que de dériver l’équation de correction de pression au centre de l’élément P.

L’objectif unique de cette équation est d'orienter la pression à un état compatible avec le

principe de conservation de masse.

L’intégration de l'équation de continuité (III.2.1) autour de ce volume de contrôle en utilisation l'équation (III.2.22) donne

( ) ( ) ∑∑∑ −=−=′−′

==

*

1

**

1mxvyuxvyu

ie

ieeee

ie

ieeee &ΔΔΔΔ (III.2.24)

Le gradient de pression à chaque nœud peut être considéré égal à la valeur moyenne

du gradient au‐dessus de la cellule. L’application du théorème de divergence de gauss et

l'utilisation de la règle trapézoïdale le long de chaque côté de la cellule (figure III.2.1)

rapporte les expressions suivantes pour les dérivés de pression à vi :

( )( )

( )( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∑

∑

=

=

++

++

++

ie

icccc

vvv

ie

icccc

vvv

iikk

iii

iiik

iii

xxPPyp

yp

yyPPxp

xp

1

1

11

11

11

21

21

Ω

Ω (III.2.25)

Là où Ωvi est le volume de contrôle de cellule vi.

Figure (III .2.3) : volume de contrôle pour l’équation de pression de correction

P

c1

c2 c3


La combinaison des équations (III.2.25) et (III.2.23) mène aux rapports suivants

entre les vitesses de corrections et les dérivés de la pression de correction à iv2 :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂′∂

−=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

−=′

ii

i

i

ii

i

i

vvv

vv

vuv

vv

yp

av

xp

au

Ωα

Ωα

(III.2.26)

On le suppose après que les relations (III.2.26) également concernent n'importe

quel nœud de la cellule primaire au‐dessus de laquelle la continuité doit être satisfaite :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂′∂

−=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

−=′

ii

i

ii

i

eve

ee

eue

ee

yp

av

xp

au

Ωα

Ωα

(III.2.27)

A fin d'obtenir des expressions des dérivés de pression de correction dans

l'équation (III.2.27), ont employée encore la cellule auxiliaire représentée sur la figure

(III.2.2). L’application du théorème de divergence de Gauss et la règle trapézoïdale pour

les nœuds est utilisée encore pour donner les expressions suivantes pour les dérivés de

pression dans le volume de contrôle auxiliaire :

Figure (III.2.4) : volume de contrôle auxiliaire

vi+1

vi

P

ci


( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−′+′+−′+′−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂′∂

−′+′+−′+′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂′∂

++

++

PcvvvvPcee

PcvvvvPcee

xxPPxxppVy

p

yyPPyyppVx

p

iiiiii

i

iiiiii

i

11

11

21

21

(III.2.28)

Quand ces expressions sont introduites dans les équations (III.2.27) et les vitesses de

corrections sont substituées dans l'équation de continuité (III.2.24), l'équation de

pression de correction est obtenue comme suit :

( )iii vv

nec

i e

cii

ve

e

cii

ue

iciPP pp

VxxD

VyyDpLmpL ′−′⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++′+−=′

+∑∑∑==

11

3

1

*

22ΔΔαΔΔα

& (III.2.29)

Avec ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

+=+=

= ∑=

uei

eiueiv

ei

eivei

iueii

vei

eiveie

ieiueie

ieii

iiP

aD

aD

yDxDVaV

xaV

yL

LL

ΩΩ

ΔΔαΔΩαΔΩα

;

22222

22

3

1

(III.2.30)

Les termes de l’équation qui concerne le nœud e sont évalués par interpolation

linéaire des termes correspondants aux nœuds. Par exemple :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+

+

+

+

uv

vuv

vue

vv

vvv

vve

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

aaD

aaD

1

1

1

1

21

21

ΩΩ

ΩΩ

(III.2.31)

Comme devrait être évident dans les équations (III.2.30‐31, les coefficients de l'équation de pression de correction dans (III.2.29) sont toujours positifs, et la condition

de diagonal dominant est donc satisfaite à condition que les valeurs de pression de

correction des nœuds de maillage contenue dans la somme de côté droit de l'équation

(III.2.29) ne soient pas exprimées en termes de valeurs inconnues de pression de

correction aux centres des éléments. Cette indépendance peut être réalisée, par

exemple, en négligeant le terme, qui est entièrement autorisé, puisque le seul but de

l'équation de correction de pression est de s'assurer que le résiduel de la masse est


conduit à zéro. Cette simplification étant adopté, la forme finale de l'équation de

correction de pression est donnée par :

∑∑=

′+−=′3

1

*

iciPP i

pLmpL & (III.2.32)

Résiduel de la masse

Afin d'expliquer comment le résiduel de masse est évalué, il est suffisant de

concentrer l'attention sur un flux de masse, disent que par la face de l’élément sur le

figure (III.2.3). D'abord, en combinant les équations (III.2.21) (III .2.17), les valeurs

provisoires de vitesse aux nœuds vi, et vi+1 peuvent être exprimées comme suite :

( )( ) ( ) 0

11

*1

** 12

1i

i

ii v

ie

iiiiiu

v

uvv uyypp

aHu αα −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= ∑

=++ (III.2.33)

( )( ) ( ) 0

11

*1

**1

1

11

21

+

+

+−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= ∑

=++ i

i

ii v

ie

iiiiiu

v

uvv uyypp

aHu αα (III.2.34)

Avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

∑∑

∑∑

==

==

+

+

+

ie

ic

ui

ie

iv

uiu

v

uv

ie

ic

unb

ie

iv

uiu

v

uv

buauaa

H

buauaa

H

ii

i

i

ii

i

i

1

*

1

*

1

*

1

*

1

1

1

1

1

(III.2.35)

Les équations (II.2.33‐34) peuvent être récrites en utilisant l’équation (III.2.25) comme suite :

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

+

++

+

++

0*

*

0*

*

1

11

1

111

2

12

i

ii

i

ii

i

ii

i

vi

vv

uv

vuvv

vv

uv

vuvv

uxp

aHu

uxp

aHu

αΩ

α

αΩ

α

(III.2.36)


Les oscillations proviennent du calcul numérique utilisé pour le calcul des dérivés

de pression, dans les équations de mouvement. Le schéma d'interpolation de Rhie‐Chaw

[22] implique le remplacement de cette dérivé de pression (ou de gradient dans le cas

général) par une autre expression qui impose l'accouplement entre les valeurs de

pression des deux côtés de chaque arête et la vitesse sur cette arête. Pour réaliser ceci,

des vitesses de face sont calculées à l’aide d’expressions assimilées à l'équation (III.2.36)

:

( ) 0

** 1

2 ee

ue

euee u

xp

aHu α

Ωα −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= (III.2.38)

Avec

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω+

Ω=

Ω

+=

+

+

+

uv

v

uv

v

ue

e

uv

uv

ue

i

i

i

i

ii

aaa

HHH

1

1

1

2121

(III.2.39)

Les dérivés de la pression sur l'arête sont calculés en tant que valeurs moyennes

au volume de contrôle auxiliaire de la figure (III.2.3), en utilisant l'équation (III.2.28),

dans laquelle les valeurs de pression de correction devraient être remplacées par des

pressions.

La substitution de l'équation (III.2.28) et d'une expression analogue pour la valeur

provisoire ve dans l'équation (III.2.24) rapporte la valeur finale pour le résiduel de la

masse.

L'équation (III.2.32), une fois écrite pour tous les éléments de maillage, donne le

système linéaire qui rapporte les valeurs de la pression de correction aux centres

d’éléments. Ce système est résolu par la méthode de Gauss‐Seidel qui s'est appliqué aux

équations de mouvement. Cependant, puisque toutes les valeurs de pressure de

correction sont placées égales à zéro avant n'importe quel itération, plus des itérations

internes de l’équation de pression de correction que des équations de mouvement

doivent être exécutées pour l'itération globale, des nombres typiques d’itération étant

de trois à cinq. Il a été observé que la stabilité itérative de schéma est fortement


sensible aux détails de la solution de l’équation de correction de pression. En particulier,

quand le calcul itératif débute avec un champ de vitesse qui produit de grands résiduels

de masse, les niveaux extrêmes de pression de correction produits et ceci mène souvent

à l'instabilité. Dans de telles circonstances, l'introduction de sous relaxation dans la

solution de Gauss‐Seidel pour l'équation de correction de pression s'est avérée utile.

III.3.4 : Discrétisation de l’équation de l’énergie

Dans cette méthode la température est stockées aux sommets (nœuds) des

éléments triangulaires, donc il a prend la même forme discrétisée que les équations des

mouvements :

baaa

nb

icc

ie

ivvpP iiii

+++= ∑∑=

+

=

++

1

1

1

11 τττ θθθ (III.2.40)

Avec

( )[ ]( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

+=

++= ∑+

=

τθτΔ

Γ

Γ

ΓτΔ

Pc

cc

ivv

ie

iiv

cP

Vb

Da

FDa

FDVa

ii

ii

i

.

.

.1

2

(III.2.41)


III.3.4 : Organigramme :

Début

Initialisation des fonctions ττττ θθ ==== llll PPVVUU ;;;

1er étape : résolution des équations de mouvement, 1 ou 2 itérations (III.2.14), (III.2.17)

2eme étape : résolution de l’équation de pression de correction (III.2.32)

4eme étape : résolution de l’équation de l’énergie (III.2.40)

51

1

10 −+

+

≤−∑ l

ll

φφφ

1

1

1

1

+

+

+

+

=

=

=

=

ll

ll

ll

ll

PPVVUU

θθ

3eme étape : correction des vitesses et de pression (III.2.22), (III.2.23)

Non Oui

310 −

Δ+

Δ+

≤−

∑ ττ

τττ

φφφ

τττ

τττ

τττ

τττ

θθ

τττ

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

=

=

=

=

Δ+=

PPVVUU

Non

OuiAffichage des résultats

Fin


III.3.5 : Les maillages

Les maillages sont le support des calculs CFD. Il est donc essentiel d’en parler

dans ce paragraphe car le sujet est très souvent peu aborde.

Le maillage est une discrétisation de l’espace à étudier. Il est constitue d’un ensemble

de mailles (ou cellules) dans lesquelles les équations du problème seront résolues. Le

pas d’espace est ici défini comme étant la taille caractéristique d’une maille. Il existe

différent type de cellules : triangulaire, quadratique... La façon dont les cellules sont

assemblées donne lieu a des maillages conformes ou non conformes, structures ou non,

orthogonaux ou non...

La notion de raffinement de maillage est liée a la taille du pas d’espace aux

endroits a fort gradients : il faut mailler petit dans une zone de fort gradient.

Lors d’une étude CFD, l’´etape de création du maillage est cruciale pour assurer la

cohérence des résultats et prendre en compte les considérations physiques du cas a

étudier (raffiner aux bons endroits...), numériques du code utilise (consistance,

convergence...) et pratiques du contexte de l’´etude effectuée (délais, puissance des

ordinateurs, volume de données a traiter...). Cela nécessite donc une expertise de la part

de l’utilisateur du code CFD.

Le nombre de mailles est déterminant en ce qui concerne le temps de calcul car il

conditionne la taille de toutes les matrices utilisées pour résoudre le problème.

L’allongement, l’orthogonalité, la régularité, l’uniformité, l’orientation par rapport a

l’écoulement, sont autant de facteurs influant sur la durée des calculs.

Génération de maillage

Une des composantes clés de n'importe quelle méthode basée sur un maillage

non structuré est la structure de données. N'importe quelle structure de données

contient principalement l'information de connectivité, c.‐à‐d. fournit les informations

nécessaires pour relier chaque composant de maillage (cellule, nœuds, arête) aux

composants adjacents (pas nécessairement du même type). Le stockage des données de


structure doit être minimisé le temps CPU liée à récupérer des données au moyen des

algorithmes de recherche ou de calcul par exemple. Ainsi dans n'importe quelle méthode de maillage non structuré un compromis doit être affecté entre la mémoire et les

conditions de temps‐ CPU liées à la connectivité.

On le rappelle que les cellules primaires de maillage sont permises d'être des

polygones d'un nombre arbitraire d'arêtes et que n'importe quelle intégration au‐dessus

d'un volume de contrôle est strictement effectuée dans une direction en sens inverse des

aiguilles d'une montre. Les deux faits doivent être expliqués dans la structure de

données qui est employée dans l'algorithme actuel.

Pour n'importe quel maillage non structurée, l'information de connectivité peut

être traitée à moins de deux distinctement différents types de structures de données.

Le premier basé sur les arrêts : est de stocke les deux nœuds qui forment l'arête et les

deux éléments qui se réunissent sur cette arête (le schéma (a)).

La deuxième est base sur les éléments : est de stocke les nœuds qui forment l’élément

(le schéma (b)).

Si ces deux ensembles de données sont combinés, n'importe quelle information

géométrique pour un maillage 2D non structurée peut être fournie, indépendamment

des formes des cellules primaires de ce maillage.

1

2

3

b): connectivite de l’élément

1

O 2

4 O

3

a) connectivite d’un arrêt

Figure (III.3.5) : connectivité de maillage


Pour la génération du maillage nous avons utilisé le pré processeur de Fluent

(Gambit 2.3.26). Le maillage est défini dans un fichier (*.FDNEUT) qui regroupe les

données suivants :

• le nombre de nœuds et des éléments totaux.

• les coordonnées des nœuds, et la connectivité.

• les zones et les frontières

En effet la lecture du fichier de gambit est faite par un sous programme écrit en

FORTRAN Cette sous programme fait :

1. Déterminer le nombre des zones et des frontières.

2. Les éléments de frontières.

3. Les nœuds de frontières.

4. Les nœuds des cellules.

5. Les éléments des cellules.

6. Les surfaces des éléments et des cellules.

7. Le centre de chaque élément.

8. Les nœuds communs entre les zones (interface)

III.3.6 : Le nombre de Courant

Le nombre de Courant est a la simulation numérique ce qu’est le nombre de

Reynolds a la mécanique des fluides : c’est le nombre adimensionnel de référence. Il

caractérise l’aspect numérique du phénomène de convection. Nous rappelons ici la

définition du nombre de Courant Nc :

dxUdtNcx = (III.2.42)

Ou U est la vitesse, dt le pas de temps utilise pour la simulation numérique et dx

le pas d’espace dans la direction x. pour un maillage non structuré, le pas d'espace étant

remplacé par la hauteur d'un triangle.


Ce nombre adimensionnel compare deux distances : la distance parcourue

pendant la durée d’un pas de temps et la taille du pas d’espace dans la direction choisie.

Un nombre de Courant de 1 indique que l’information est passée exactement

d’une maille à l’autre en un pas de temps. En cela, la valeur idéale du nombre de Courant

pour une simulation numérique est de 1.

De manière générale, ce nombre est évalue à l’ endroit le plus contraignant

(vitesse la plus importante dans la plus petite maille) pour, par exemple, contrôler la

bonne qualité de la simulation. On notera trois types de comportement présent dans le

ce tableau :

1<<Nc Forte diffusion, stabilité numérique

1=Nc cas idéal 1>>Nc Faible diffusion, risque d’instabilité numérique

Tableau (III.2) : Nombre de Courant

Ce nombre intervient des la création du maillage ou il faut recueillir l’information

du pas d’espace. Ainsi, si l’on veut obtenir un nombre de Courant de 1, la relation

(III.2.42) donne la valeur du pas de temps à utiliser pour la simulation numérique :

max

min

Udx

UdxNcdt x == (III.2.43)

C’est un nombre directionnel qui est généralement calcule dans la direction privilégiée

de l’écoulement (en l’occurrence pour la vitesse U).


III.4 Algorithme SIMPLE sur un maillage cartésien Colocalisé

Cette méthode a pour objet le développement d'un code de calcul pour la

résolution numérique des équations de Navier‐Stokes en écoulement incompressible.

Les équations sont discrétisées selon la technique des volumes finis sur un maillage

cartésien non orthogonal, Co‐localisé (sans décalage de grille de calcul des composantes

de vitesse et de la pression). Le couplage vitesse‐pression est régi par un algorithme de

type SIMPLE (Semi‐Implicit Method for Pressure‐Linked Equation). Cet algorithme

intègre les approximations de W. Anil Date [23] qui permettent de limiter les oscillations

numériques inhérentes à l'utilisation d'un maillage Co‐localisé.

III. 4.1 La discrétisation de l’équation de transport :

Les équations de conservation présentées au chapitre précédent peuvent être

écrites sous une forme commune. Cette formulation permet de ne pas répéter le travail

de discrétisation pour chaque équation. Si on note Φ la variable étudiée, chacune des

équations peut être réduite à une seule équation générale, en coordonnées cartésiennes

selon la forme :

φ

φΓφφΓφτφ S

yv

yxu

x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂

(III.3.1)

On posant :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

φ

φΓφ

φΓφ

yvJy

xuJx

(III.3.2)

Jx, Jy sont donc les flux totaux (convection et diffusion)


On portant ces expressions dans (III.3.1), l’équation trouvée est :

φτ

φ SyJy

xJx

=∂∂

+∂∂

+∂∂

(III.3.4)

Figure (III.3.1) : Représentation schématique de volume de contrôle

L’intégration de l’équation sur le volume de contrôle donne :

yxSJsJnJwJeyxPP ΔΔΔΔ

τΔφφ

φ

ττΔτ

=−+−+−+

(III.3.5)

Ou Je, Jw, Jn, Js sont les valeurs des flux totaux aux interfaces du volume de contrôle.

Elles sont données par les intégrales suivantes :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

∫∫

∫∫

sn

we

JydxJsJydxJn

JxdyJwJxdyJe

;

; (III.3.6)


Et φS représenté la valeur moyenne de S dans le volume de contrôle.

L’intégration de l’équation de continuité dans ce volume de contrôle donne :

0=∂∂

+∂∂

∫∫VV

dxdyyvdxdy

xu

(III.3.8)

Il vient :

0=−+− snwe FFFF (III.3.9)

snwe FFFF ;;; Représentent les débits massiques a travers les sections du volume, et

sont donnes par :

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

sssnnn

wwweee

xUFxUF

yUFyUF

ΔΔ

ΔΔ

;

; (III.3.10)

En multipliant l’équation (III.3.9) par la fonction Pφ et en retranchant l’équation

trouvée de l’équation (III.3.7), il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) yxSFJsFJnFJwFJeyx sPnPwPePPP ΔΔφφφφΔΔ

τΔφφ

φ

ττΔτ

=+−+++−++−+

(III.3.11)

La technique de résolution [28] consiste a représenté les termes entre parenthèses de

l’équation (III.3.11) de la façon suivante :

( )( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−=+−=+−=+

PSSsP

NPNnP

PWWwP

EPEeP

aFJsaFJnaFJw

aFJe

φφφφφφφφφφφφ

(III.3.12)


En introduisant ces valeurs dans l’équation (III.3.11) il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) yxSaaaayx PSSNPNPWWEPEPP ΔΔφφφφφφφφΔΔ

τΔφφ

φ

ττΔτ

=−−−+−−−+−+

(III.3.13)

L’équation discrétisée est sous la forme :

( ) uSSNNWWEEPPP SaaaaSa ++++=+ φφφφφ (III.3.14)

Avec ( )( )( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

−+=

−+=

−+=

+=

=

++++=

0,

0,

0,

0,

sss

eee

www

0

FPADa

FPADa

FPADa

FPADaSyxSS

yxS

Saaaaa

S

nnnN

E

W

PPu

P

PSNWEPP

φΔΔτΔΔΔφφ

φ

(III.3.15)

Ou ba, signifie la plus grande valeur entre a et b

Les débits massiques ( )snwe FFFF ;;; donnés par l’équation (III.3.10) sont déduits par

l’interpolation multidimensionnelle :


( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

SESEPse

SWSWPsw

We

sewsweSPs

NENEPne

NWNWPnw

We

newnweNPn

NWNWPnw

SWSWPsw

sn

nwsswnWPw

NENEPne

SESEPse

sn

nessenEPe

XXYX

XXYX

YYYY

YYYY

φφφφφ

φφφφφ

ΔΔφΔφΔφφφ

φφφφφ

φφφφφ

ΔΔφΔφΔφφφ

φφφφφ

φφφφφ

ΔΔφΔφΔφφφ

φφφφφ

φφφφφ

ΔΔφΔφΔφφφ

4141

21

21

;

4141

21

21

4141

21

21

;

4141

21

21

(III.3.16)

Et les conductances correspondant ( )snwe DDDD ;;; sont définies par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

PS

ss

PN

nn

PW

ww

PE

ee

XY

DX

YD

XY

DX

YD

δΔΓ

δΔΓ

δΔΓ

δΔΓ

.;

.

.;

.

(III.3.17)

Les nombres de peclet ( )snwe PPPP ;;; sont définis par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

s

ss

n

nn

e

ee

w

ww

DFP

DFP

DFP

DFP

;

;

(III.3.18)

La fonction ( )PA peut être choisie parmi les différents schémas développés par

Patankar (1980). Ces schémas sont les suivants :


SCHEMA EXPRESSION DE ( )PA

Différences centrées P5.01−

Upwind 1

Hybride ( )P5.01,0 −

Loi de puissance ( )51.01,0 P−

Pour un maillage Co‐localisée (non décalée), les vitesses nodales sont

déterminées en utilisant les équations écrites pour (Φ=U, Φ=V). Les gradients de

pression apparaissant dans les termes source de ces équations sont évalués par

différence centrale [31] :

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

∂∂

−=

∂∂

yPP

yP

xPP

xP

sn

we

Δ

Δ (III.3.19)

Avec les pressions ( )snwe PPPP ;;; sont évaluées aux faces de volume de contrôle

par l’interpolation multidimensionnelle (équation III.3.16)

La forme discrétisée finale des équations de mouvement :

( ) l

nb

lu

llnbnbu

l UDdVx

PUaa

UP

αα−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−= ∑+

++ 11

11 (III.3.20)

( ) l

nb

lv

ll

nbnbvl VDdV

yPVa

aV

P

αα−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

−= ∑+

++ 11

11 (III.3.21)


Avec lvD le l

uD et contient les termes source sans gradient de pression, α et le

coefficient de relaxation, l’indice nb note les nœuds voisins de P, et la sommation est

faite à travers tous les nœuds voisins (e, w, n, s). l c’est l’itération.

III.4.2 Correction des vitesses et de pression

Maintenant, à l'itération (l+1) l’équation de continuité devient :

( ) ( ) 011 =∂∂

+∂∂ ++ l

PlP V

xU

x (III.3.22)

Substituant les équations (III.3.21) et (III.3.22) dans l'équation (III .3.22) nous pouvons

montrer que :

( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∂∂

+−∂∂

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∂∂

+−∂∂

=∂∂

+∂∂

∑

∑

++

++

nb

lv

ll

nbnbl

Pv

v

nb

lu

llnbnb

lP

uu

lP

lP

Dy

pVaVaay

Dx

pUaUaax

Vy

Ux

P

P

P

P

11

11

α

α

(III.3.23)

Pour développer l'équation de correction de pression, nous introduisons les

substitutions suivantes :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′+=

′+=

′+=

+

+

+

mll

Pl

Pl

P

PlP

lP

pppVVVUUU

1

1

1

(III.3.24)

L'équation (III.3.23) devient :

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∂∂

+−∂∂

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−∂∂

+−∂∂

=∂∂

+∂∂

∑

∑+

+

++

nb

lv

ll

nbnbl

PvPv

P

nb

lu

llnbnb

lP

uPu

P

lP

lP

Dy

pVaVaay

Dx

pUaUaax

Vy

Ux

11

11

α

α

(III.3.25)


Le terme ∑ +

k

lPkUa 1 est éliminé dans l’équation (SIMPLE)

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−

∂∂

+∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂′∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂′∂

∂∂

vvP

uuP

lP

lP

mvP

muP

Ra

Vy

Ra

Vx

Vy

UxY

pa

Vyx

pa

Vx

ΔαΔα

ΔαΔα

(III.3.26)

Où les résiduels par unité de volume, Ru et Rv sont donnés par :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+−−

=

∂∂

+−−

=

∑

∑

+

+

yp

V

DVaVaR

xp

V

DUaUaR

lnb

lv

lnbnb

lP

vP

v

lnb

lu

lnbnb

lP

uP

u

Δ

Δ1

1

(III.3.27)

L’équation de correction de pression devient :

RPSmSNmNWmWEmEPmp mmpapapapapa && +−′+′+′+′=′ ,,,,, (III.3.28)

Avec

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

svP

S

nvP

N

wuP

W

euP

E

axa

axa

aya

aya

22

22

;

;

ΔαΔα

ΔαΔα

(III.3.29)

SNWEp aaaaa +++= (III.3.30)

( ) ( ) xVVyUUms

l

n

l

w

l

e

lP ΔΔ −+−=& (III.3.31)

( ) ( ) ( ) ( )svSnvNwuWeuER yRayRaxRaxRam ΔΔΔΔ **** −+−=& (III.3.32)


Sur un maillage Co‐localisée, les équations de mouvement sont pas explicitement

satisfaisons aux faces de volume de contrôle. Par conséquent, il n'y a aucune garantie

que le Rm& disparaîtra à la convergence :

e

l

e

k

lu

lPk

lP

uP

eu xp

V

DUaUaR

∂∂

+−−

=∑ +

Δ

1

, (III.3.33)

Cette équation est identique que l'équation (III.3.27) écrite pour l'emplacement e,

mais les termes nettes de vitesse sont moyennée. Ceci qui fait parce que, en calculant sur

des maillages Co‐localisée, on n'a pas les coefficients anb. Sur les faces de volume de

contrôle, encore en utilisant l'équation (III.3.27), nous obtenons :

e

l

eu

e

k

lu

lPk

lP

uP

xpR

V

DUaUa

∂∂

−=−−∑ +

,

1

Δ (III.3.34)

Ainsi, en fait,

e

l

e

l

eueu xp

xpRR

∂∂

+∂∂

−= ,, (III.3.35)

Maintenant, euR , est de nouveau évalué de la façon de l'équation (III.3.16). Ainsi,

euR , contiendra des résiduels seulement aux emplacements nodaux P, E, N, S, NE, et SE.

Ces résiduels naturellement disparaîtront à la convergence parce que les équations de

mouvement sont résolues aux positions nodales. Par conséquent, 0, =euR

e

l

e

l

eu xp

xpR

∂∂

+∂∂

=, (III.3.36)


Maintenant, pour évaluer la moyenne multidimensionnelle de gradient de pression

apparu dans l'équation (III.3.36), nous écrivons :

( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−++

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

++−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

∂∂+∂∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=∂∂

e

lS

lP

lSE

lE

ns

n

e

lN

lP

lNE

lE

ns

s

we

lP

lEE

we

lW

lE

ns

ne

lsse

ln

E

l

P

l

e

l

xpppp

xxx

xpppp

yyy

xxpp

xxpp

yy

xpyxpy

xp

xp

Xp

ΔΔΔΔ

ΔΔΔΔ

ΔΔΔΔ

ΔΔ

ΔΔ

41

41

41

21

21

(III.3.37)

Pour simplifier l'évaluation, nous introduisons les définitions suivantes :

( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

++

=

++

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

++

=

++

=

EyExE

ns

SEnNEsEy

eee

PeeEEeEx

PyPxP

ns

SnNsPY

we

WeEwPx

PPp

yyPyPyP

xxPxPxp

PPP

yyPyPyP

xxPxPxP

,,

,

,

,,

,

,

21

;

21

ΔΔΔΔΔΔΔΔ

ΔΔΔΔΔΔΔΔ

(III.3.38)

Substituant ces définitions dans l'équation (III.3.37) et remplaçant le PEE et PW en

considération du PE et PP, nous pouvons montrer cela :

( )e

ll

e

lP

lE

e

lP

lE

e

l

xpp

xpp

xpp

xp

∂+∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−=

∂∂

21

21

ΔΔ (III.3.39)

Et, en conséquence, de l'équation (III.3.36)

( )e

sm

e

ll

eu xp

xppR

∂′∂

=∂+∂

=21

, (III.3.40)

( )llsm ppp −=′

21

(III.3.41)

Le suffixe sm ici représente (smoothing pressure).


Les répétitions des équations (III.33‐39) a les autres faces de volume de contrôle, donne

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂′∂

=

∂′∂

=

∂′∂

=

s

smsv

n

smnv

w

smwu

ypR

ypR

xpR

,

,

,

(III.3.42)

Ainsi, substituant ces équations dans l'équation (III.3.32), il suit cela

s

smS

n

smN

w

smW

e

smER y

ypay

ypax

Xpax

Xpam ΔΔΔΔ

∂′∂

−∂′∂

+∂′∂

−∂′∂

=& (III.3.43)

Pour l’évaluation des coefficients de aE, aW, aN, aS, nous avons besoin des

coefficients aP aux faces de volume de contrôle (l'équation III.3.29). Cependant, ceux‐ci

peuvent être évalués par :

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

+=

vSP

vPP

vsP

vNP

vPP

vnP

uWP

uPP

uwP

uEP

uPP

ueP

aaa

aaa

aaa

aaa

,,,

,,,

,,,

,,,

21212121

(III.3.44)

Ces dérivations prouvent que l’équation (III.3.32) peut être remplacée par

Equation (III.3.43). Ainsi, l'équation de pression de correction (III.3.26) peut être

effectivement écrite comme suit :

( ) ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂′∂

∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂′∂

∂∂

−∂∂

+∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂′∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂′∂

∂∂

yp

aV

yxp

aV

xV

yU

x

yp

aV

yxp

aV

x

smvP

smuP

ll

mvP

muP

ΔαΔα

ΔαΔα

(III.3.45)


Cette équation représente la forme adéquate de l'équation de pression de correction

sur un maillage Co‐localisée,

Il est possible de simplifier l'équation (III.3.45) Pour comprendre cette

simplification, considérer, par exemple, la disposition de maillage près de la frontière

ouest suivant les indications du figure(III.3.2) En calculant au nœud de frontière P (2, j),

le gradient de pression Px

P∂

∂ doit être évalué dans l'équation de mouvement suivant x.

Ceci exigera la connaissance de la pression de P (1, j). Sur un maillage Co‐localisée, cette

pression est inconnue, en conséquence en peut évaluée par l'extrapolation linéaire.

Ainsi,

Figure(III.3.2) : Illustration des conditions aux limites

E

PE

bPP

PE

bEb P

LLP

LLP −=

(III.3.46)

Là où L dénote la longueur. Le même procédé est adopté aux nœuds Sb et Nb. supposant

que la variation de pression près d'une frontière est localement linéaire suivant les

directions x et y, il suit cela

PPbb pppp −=− Ou Psmbsm pp ,, ′=′ (III.3.47)


Et par conséquence

0=∂′∂

=∂′∂

b

sm

b

sm

yp

xp (III.3.48)

La même condition s'applique également aumP ′ . Maintenant, Equation (III.3.43)

prouve que les multiplicateurs des gradients du mP ′ et du smP′ sont identiques et, puisque

les conditions aux limites pour ces deux variables sont également identiques, nous

peuvent écrire l'équation de pression de correction sous la forme suivante :

( ) ( )llpy

px V

yU

xyp

yxp

x ∂∂

+∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂′∂

∂∂

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂′∂

∂∂ ′′ ΓΓ (III.3.49)

Avec

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

′

′

vP

py

uP

px

aV

aV

ΔΓ

ΔΓ (III.3.50)

L'équation (III.3.49) doit être résolue avec la condition aux limites suivant :

0=

∂′∂

bnp

(III.3.51)

Là où la pression de correction totale est donné par

smm ppp ′−′=′ (III.3.52)

Et la forme discrétisée de l’équation (III.3.53)

PSSNNWWEEPP mpapapapapa &−′+′+′+′=′ (III.3.54)

Pour développer l'équation de correction des vitesses, En manipulant les

équations (III.3.20), (III.3.21), et (III.3.24) et en négligeant les termes ∑ +

nb

lnbnbUa 1 et

∑ +

nb

lnbnbva 1 on obtient:


( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

′−′−=

′−′−=

+

+

smnm

PvP

lP

lP

wmem

PuP

lP

lP

ppa

xVV

ppa

yUU

,,1

,,1

Δα

Δα

(III.3.55)

III.4.3 Résolution des systèmes linéaires par la méthode ADI

La méthode de l'ADI est une méthode ligne par ligne dans quelle

équation est d'abord résolu pour toutes les lignes (j constantes). La solution obtenue

ainsi peut s'appeler la solution 21+l

φ . Maintenant, utilisant cette solution, l'équation est de

nouveau résolue pour toutes les lignes (i constantes) pour produire de la solution du 1+lφ

. Les détails de l'exécution sont comme suit :

1 suivant j

( ) SJaaSa ljiW

ljiE

ljiPP ++=+ +

−++

+ 2/1,1

2/1,1

2/1, φφφ (III.3.56)

Avec

ul

jiSl

jiN SaaSJ ++= −+ 1,1, φφ (III.3.57)

Maintenant, se divisant par coefficient de (Ap+Sp), l'équation pour j fixe peut

également être écrite :

1....,,.........2;2/1,1

2/1,1

2/1, −=++= +

+++

+ INicil

jiil

jiil

ji φβφαφ (III.3.58)

Avec

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

+=

PPi

PPWi

pPEi

SaSJcSaaSaa

β

α

(III.3.59)

Il est clair que l'équation (III.3.58) peut être résolue utilisant l’algorithme TDMA

pour chaque line,


2 suivant i

( ) SIaaSa ljiS

ljiN

ljipP ++=+ −

++

+1,

11,

1, φφφ (III.3.60)

Avec

ul

jiWl

jiE SaaSI ++= +−

++

2/1,1

2/1,1 φφ (III.3.61)

Maintenant, se divisant par coefficient de (Ap+Sp), l'équation pour i fixe peut

également être écrite :

1....,,.........2;11,

11,

1, −=++= +

−++

+ jNjcba il

jiil

jiil

ji φφφ (III.3.62)

Avec

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

PPi

PPSi

PPNi

SaSJcSaabSaaa

(III.3.63)

III.4.4 Évaluation des résiduels

La convergence du procédé itératif est vérifiée en évaluant le déséquilibre dans

l'équation (III.3.14) Ainsi, pour chaque Φ, nous évaluons :

5.02

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= ∑ ∑

nodes nbnbnbPP DaaR φφφ (III.3.64)

Quand la valeur maximum de RΦ parmi tout le Φ est moins que le critère de

convergence (en général 10−5), Le calcule itérative est arrêtée.

Cependant, sur des maillages Co‐localisée, on ne peut pas employer cette

équation directement parce que le 0≠m& même à la convergence. Par conséquent,

l'équation (III.3.54) est écrite :

5.02

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ′−′= ∑ ∑

nodes nbmnbmp PaPaRφ (III.3.65)


Là où aP et anb sont les coefficients de l'équation de pression de correction.

La sous relaxation peut être effectué sans changer la structure de l'équation

(III.3.14) en augmentant simplement le Su et le Sp avant chaque itération.

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+=

+−

+=

PPpP

lPPuu

SaSS

SpaSS

αα

φαα

1

1

(III.3.66)

III.4.5 Traitement des conditions aux limites

Notre intérêt pour cette section se situe en prescrivant les conditions aux limites en

utilisant le Su et le Sp dans l’équation (III.3.13) pour les nœuds de frontière. 1‐ Φ=cst

Dans ce cas la valeur de fonction Φ est connue, nous pouvons écrire :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+=

+=

jjjjj

j

PSNEP

jWjj

jWjj

Saaaa

aSpSp

aSuSu

,2,2,2,2,2

,2

,2,2,2

,1,2,2 φ

(III.3.67)

Âpres le calcul de ces termes, en met : 0,2=

jWa

2‐ qx=

∂∂φ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+=

+=

jjjjj

j

PSNEP

jW

j

jjj

Saaaa

aqx

xSuSu

,2,2,2,2,2

,2

,2,1

,1,2,2

* φΔφ

φΔ

(III.3.68)

Avec 12 xxx −=Δ


III.4.6 Organigramme :

Non

Début

Initialisation des fonctions ττττ θθ ==== llll PPVVUU ;;;

1er étape : résolution des équations de mouvement, (III.3.20) (III.3.21)

2eme étape : résolution de l’équation de pression de correction (III.3.54)

4eme étape : résolution de l’équation de l’énergie ( 2 40)

51

1

10 −+

+

≤−∑ l

ll

φφφ

1

1

1

1

+

+

+

+

=

=

=

=

ll

ll

ll

ll

PPVVUU

θθ

3eme étape : correction des vitesses et de pression (III.3.52), (III.3.24), (III.3.55)

Oui

310 −Δ+

Δ+

≤−∑ ττ

τττ

φφφ

τττ

τττ

τττ

τττ

θθ

τττ

Δ+

Δ+

Δ+

Δ+

=

=

=

=

Δ+=

PPVVUU

Non

OuiAffichage des résultats

Fin

**;VU

P′

111 ;; +++ lll PVU

ττττττττ θ Δ+Δ+Δ+Δ+ ;;; PVU

1+lθ


III.4.7 Structure du programme:

Le programme numérique qu’on a élaboré est écrit en langage de programmation

FORTRAN 6.6. Il permet de résoudre des équations de Navier Stokes pour les

écoulements visqueux incompressibles et la convection et diffusion d’un scalaire. Celle‐

ci est basée sur un algorithme SIMPLE et la méthode des volumes finis sur maillage

cartésienne Co‐localisée (voir l’annexe).

Ce programme est composé de deux parties :

• 1er partie (pré et postprocessor) : contient deux fichiers COMMON .FOR et

USER.FOR, ces deus fichier dépend de problème modélisée.

• 2eme partie (solver) : contient le fichier LIBRARY.FOR, il est indépendant du

problème.

Cette structure est suffit à la création d'un code généralisé, pour exécutée le code

compilés séparément les deux fichiers USER.FOR et LIBRARY.FOR

Fichier COMMON.FOR contient toutes les variables (logique, matrice, réel, entier), est

appelle dans chaque subroutine ou fonction en utilisant la commande « INCLUDE ».

L’utilisateur peut ajouter des variables ou des matrices pour les problèmes particuliers.

Fichier USER.FOR :

Subroutine INIT : dans cette routine, spécifier les iso valeurs (condition aux limites) tel

que : isotherme, vitesse d’entrée, flux constant …..

Subroutine BSPEC : spécifier les conditions aux limites de problème à l’aide de

subroutine TAG,

Subroutine ADSORB : est employée pour ajouter toutes les termes source pour chacun

des équations résolues (Les termes source standard sont inclus dans la subroutine

SORCE). La routine est également employée pour déterminée les physique du


problème tel que la densité, la viscosité. Est employée aussi pour spécifier les conditions

aux limites de pression constante.

Subroutine RESULT : dans cette routine, les solutions convergées finales sont

imprimées.

BLOCK DATA : cette routine à l'extrémité du fichier USER.FOR spécifie toutes les

données du problème telles que paramètres de relaxation, les écoulement, les équations

à résoudre, le schéma convection utilisé.

Fichier LIBRARY.FOR :

Subroutine MAINPR : ceci est la routine principale dont toutes autres routines sont

demandées l'exécution du programme. L'ordre d'appeler est important.

Subroutine INITIA : initialisée toutes les variables.

Subroutine TAG : dans le dernier un étiquetage des nœuds a fin de spécifier les régions

bloquée, les frontière sud, ouest, nord, est.

Subroutine BOUND : traitement des conditions aux limites, dans cette routine en inclus

les conditions aux limites dans les termes Su et SP pour les nœuds voisin de frontière.

Subroutine GRID : dans cette routine en traite le maillage, les nœuds, les volumes de

contrôle.

Subroutine COEF : calcule des coefficients AE, AW, AS, AN pour les équations de

transport et l’équation de correction de pression.

Subroutine SORCE : Cette routine inclut les termes source standard pour toutes les

equations.tel que le gradient de pression de l’équation de mouvement et le résiduel de

masse pour l’équation de correction de pression.

Subroutine APCOF : cette routine calculée les coefficients AP, AP1, APU, APV.


Subroutine PROPS : ici en spécifier les propriétés physiques du problème, quand le

variable logique BSOR(6) est vrai en peut le spécifier dans la routine ADSORB.

Subroutine UNST : pour introduire le terme stockage dans l’équation (corrigée SP, SU)

Subroutine UPDATE : stockée les fonctions calculée d’un temps a l’enceint temps.

Subroutine INFLUX : calcule de début volumique a l’entrée de fluide (inflow) et le terme

de normalisation a fin de calculée le résiduel.

Subroutine MASBAL : corrige les vitesses au sorti de fluide (outflow)

Subroutine PVCOR : correction des vitesses et pression.

Subroutine BOUNDP : extrapolation des pressions aux frontières, quand le variable

logique BSOR(6) est vrai les iso valeurs de pression sont déclarées à la routine ADSORB.

Subroutine SOLVE : résoudre les équations de transport discrétisée en utilisant la

méthode ADI, et calculée le résiduel.

Subroutine SOLP : c’est la même que SOLVE mais pour l’équation de correction de

pression.

Subroutine EQN : l’algorithme de calcule :

La boucle 2000 : calcule transitoire

La boucle 1000 : calcule itérative (permanent)

Le variable logique SLVE(i) ou i=1, 2, 3, 4 pour spécifier les équations à résoudre :

I=1 équation de correction de pression.

I=2 équation de mouvement suivant x (U)

I=3 équation de mouvement suivant y (V)

I=4 équation de l’énergie (T)

Stockage des résiduels dans des matrice RESIU, RESIV, RESIM, RESIT


Subroutine TDMA : l’algorithme de Thomas pour résoudre les systèmes d’équation.

Subroutine OPT : si IWRITE est vrai, imprimée les résultats dans le fichier NSOUT

(format binaire)

Subroutine OPT : si IWRITE est vrai, imprimée les résultats dans le fichier NSOUT

(format binaire).

Subroutine IPT : si IREAD est vrai, lire le fichier NSOUT.

Fonctions FINTW, FINTE, FINTS, et FINTN : pour interpolée les fonctions aux faces de

volume de contrôle (e, w, s, n)

Ce chapitre est consacré à la présentation des résultats obtenus après la résolution

numérique des équations régissant l’écoulement dans la géométrie étudié.

IV.1 Validation du code de calcul :

Pour la conformité de nos résultats, nous avons vérifié et validé notre code de

calcul avec le problème de benchmark, avant de l’adapter avec notre problème. Nous

avons étudie la convection naturelle de l’écoulement dans une cavité constituée de deux

paroi verticales l’un est chaude et l’autre est froid, et les deux parois horizontales sont

adiabatique. Nos résultats sont comparés avec les résultats De (Vahl Davis 1983). Les

résultats retenus Pour des nombres de Rayleigh (Ra=103 à 106) et nombre de Prandtl

(Pr=0.71) sont Umax, Vmax, Numoy.

Apres l’exploitation des résultats, on a une bonne concordance entre nos

résultats avec les résultats de (Vahl Davis [30]). Tableau (IV.1).

RESULTATS ET

DISCUSSIONS

Résultats et Discussions Page | 94

Ra Nu U max V max [1] [2] [1] [2] [1] [2]

103 1.117 1.116 3.653 3.649 3.700 3.697

104 2.246 2.242 16.200 16.178 19.660 19.617

105 4.536 4.531 43.788 43.730 68.656 68.590

106 8.970 9.035 127.127 126.630 221.66 219.360 [1]Présent calcul [2] Vahl.Davis (1983)

Tableau (IV.1) : Validation numérique de Nos résultats avec des résultats de

référence

IV.2 : Test de sensibilité aux maillages :

Lors d’une étude numérique, il est indispensable de s’assurer que les résultats

obtenus seront indépendants du nombre de nœuds qui forment la grille de calcul.

Des essais numériques sont nécessaires pour optimiser le temps de calcul et

tester l’influence du maillage sur la stabilité et la précision des résultats. A cet effet nous

utilisons les cinq maillages suivant :(100x15), (150x25), (200x40), (250x55), (260x70)

Le tableau(IV.2) ainsi que la figure(IV.1) montrant les variations des nombres de

Nusselt moyens calculés en régime établie,

L’examen des écarts maximaux montre que les maillages lâchés donnent des

résultats très fluctuants, les écarts maximaux dépassent 6% alors que les maillages fin

(260x70 et 250x50) pour les quatre valeurs du nombre de Rayleigh. Les écarts

maximaux sont inferieurs à 4% par conséquent ils donnent des résultats très

satisfaisants. Par ailleurs et comme le maillage (260x70) nécessite un temps de calcul

très élevé, la grille de maillage (250x50) est jugée suffisante pour modéliser avec

précision les champs d’écoulements et de température.


maillage Ra

100x15 150X25 200X40 250X55 260X70

5*103 4.15398 4.02563 3.96423 3.90632 3.906256, 34% 3,05% 1,48% 0.001% /

5*104 5.26435 4.81629 4.21267 4.12952 4.1294627,48% 16,63% 2,01% 0.001% /

5*105 7.06486 6.27854 5.71954 5.46901 5.4687529,18% 14,80% 4,58% 0,004% /

5*106 12.72638 9.02957 6.54519 6.03127 6.02679111,16% 149,82% 108,60% 0.0743% /

Tableau (IV.2) : Les écarts maximaux du nombre de Nusselt moyen en fonction de

maillage

Figure (IV.1) : test de sensibilité des résultats au maillage

Nu

4

6

8

10

12Ra=5e4Ra=5e3

Ra=5e5Ra=5e6

150X25100x15 250X70250X55200X40


IV.3. Les paramètres étudiés :

Après avoir mis au point et validé le code numérique grâce aux résultats

disponibles (problème de benchmark), nous nous proposons d’étudier les transferts de

chaleur par convection mixte dans un canal de forme C.

La hauteur de l’ouverture de sortie de l’air (h2/L=1.05) et la largeur du canal

(l2/L=0.5) sont supposées constantes pour tous les cas :

Le tableau (IV.1) montre les paramètres utilisés pour la simulation numérique :

Nombre de Rayleigh 5*10 3 ‐ 5*104 ‐ 5*105 ‐ 5*106

Nombre de Reynolds 100 ‐ 500 ‐ 1000

Facteur de forme A 10 – 12 – 14 – 16 – 18 ‐20

rapport des conductivités Kr 20 – 40 – 60 – 80 ‐ 100

L’épaisseur de paroi solide (l1/L) 0.1 ‐ 0.2 ‐ 0.3 ‐ 0.4 ‐ 0.5 ‐ 0.6

La hauteur de l’entrée d’air (h1/L) 0.8 – 1.0 – 1.2 – 1.4

Tableau (IV.3) : Les paramètres utilisés pour la simulation numérique.

La situation de base est avec A=15 ; h1/L=1.05 ; l1/L=0.5, Alors nous présenterons des

études de sensibilité pour chaque paramètre.

IV.3.1 : Influence de rapport des conductivités :

Les figures(IV.2) et (IV. 3) présentées la variation de nombre de Nusselt en

fonction du rapport des conductivités thermique, Kr, pour chaque valeur de Rayleigh et

de Reynolds, Nous voyons que le nombre de Nusselt n’est pas très sensibles à la

variation de ce paramètre. Nous concluons que Kr n'est pas un paramètre important et

nous pouvons prendre une valeur typique et évaluer les autres paramètres , La raison

est que la condition aux limites de mur (adiabatique) signifie que le mur ne transmit pas

la chaleur a un autre milieu, nous prenons Kr = 20 pour le reste de l'étude.


Figure (IV.2): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de rapport de

conductivité Pour le cas A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Re=100

Figure (IV.3): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de rapport de

conductivité Pour le cas A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Re=1000

Kr

Nu

20 40 60 80 1000

5

10

Ra=5.e5Ra=5.e6

Ra=5.e6Ra=5.e4

Kr

Nu

20 40 60 80 10010

15

20

25

30

Ra=5.e5Ra=5.e6

Ra=5.e3Ra=5.e4


IV.3.2 : Influence de nombre de Rayleigh :

Pour la situation de base, nous présentons le nombre de Nusselt en fonction du

nombre de Rayleigh dans figure(IV.4), pour trois nombre de Reynolds (100, 500, 1000).

Nous voyons que le nombre de Nusselt augmentent avec l'augmentation du nombre

Reynolds à tous les nombres de Ra. Pour n’import quel valeur de Reynolds, la variation

de nombre de Nusselt est petit pour de bas nombre de Rayleigh. Donc c’est la

conduction de la convection naturelle qui dominante. Pour des nombres de Rayleigh

plus élevé le nombre de Nusselt devient plus élevé.

Ces observations sont prévues puisque le système de cheminée devrait exécuter

mieux quand les nombres Ra et Re augmentent. Le premier indiquant l'effet thermique

et le second l'effet de convection forcée sur la convection mixte et la ventilation.

Figure (IV.4): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de nombre de

Rayleigh Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)

Ra

Nu

104 105 1060

5

10

15

20

25

Re=100Re=500Re=1000


IV.3.3 : Influence de nombre de Richardson :

Nous présentons le nombre de Nusselt en fonction du nombre de Richardson, (Ri =

Ra/Re2) dans la figure (IV.5) pour la situation de base et pour les différentes nombres de

Ra. Nous pouvons voir que le Nusselt est une fonction décroissante de Ri pour un

nombre donné de Ra. Pour Ri < 1, le nombre de Nusselt est très sensible a la variation

de Ri pour un nombre de Rayleigh donné. Cette sensibilité diminuent avec

l'augmentation du nombre de Ri jusqu'à environ Ri~ 1 ensuite, et pour un Ri > 1 ils

convergent à une valeur asymptotique. En outre, pour des nombres de Rayleigh plus

élevés, la dépendance entre Nusselt et Ri est amplifiée. Cette dépendance est expliquée :

• Ri<1 : la convection forcée qui dominant,

• Ri>1 : la convection naturelle dominant,

• Ri=1 : la convection mixte

Figure (IV.5): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de nombre de

Richardson Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)

Ri

Nu

10-2 10-1 100 101 1020

5

10

15

20

25

30

35

Ra=1.e6

Ra=1.e3

Ra=1.e6Ra=1.e4


Nous examinons les champs d'écoulement figure (IV.7 ; 8 ; 9) et de température

figure (IV.6) pour ces trois modes, les trois cas sont montrés : (a), (b) et (c). Les lignes

de courants sont montrées ici pour chaque cas.

Nous voyons que pour des faibles nombres de Richardson qu’il n’existe pas

d’inversion du profil de vitesse ((a) ; Ri=0.005) L’effet de la convection forcée est

prédominant. De ce fait, l’écoulement devient plus stable que les autres cas. Le

refroidissement de la surface chauffée est effectivement avec des gradients élevés sur la

surface.

Lorsque le nombre de Richardson augmente ((b) ; Ri=50), on note d’une part

l’apparition d’une zone d’inversion du profil de vitesse au sortie de fluide, et d’autre part

cette zone est développée de plus en plus près de la paroi supérieure de cheminée.

Pour (b) des convections forcés et normaux de Ri = d'I, jouer un rôle important avec

le gradient à hautes températures sur la surface. Nous notons qu'en raison de la

cotisation supplémentaire par la convection normale, l'inversion d'écoulement à la

sortie est amplifiée.

Au cas où ((c) Ri = 500), des champs d'écoulement et de température montreraient

que la convection naturelle qui domine. Il y a clairement une augmentation de la zone

d’inversion d'écoulement à la sortie de fluide. Et une zone de recirculation de l’air prés

de la paroi froide de la cheminée.


a) Ra=5*103 ; Re=1000

b) Ra=5*105 ; Re=100

c) Ra=5*106 ; Re=100

Figure (IV.6) les isothermes pour déférent nombre de Richardson Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)

1.479E-02

1.453E-02

1.400E-02

1.200E-02

1.000E-02

8.000E-03

6.000E-03

4.000E-03

2.000E-03

1.856E-05

3.391E-02

3.382E-02

3.317E-02

3.255E-02

2.707E-02

1.935E-02

1.121E-02

4.877E-03

2.415E-04

7.000E-06

3.415E-02

3.400E-02

3.338E-02

3.125E-02

2.793E-02

2.277E-02

1.638E-02

1.039E-02

6.647E-03

2.151E-03

2.991E-04

2.834E-05


a) Ra=5*103 ; Re=1000

b) Ra=5*105 ; Re=100

c) Ra=5*106 ; Re=100

Figure (IV.7) les lignes de courant pour déférent nombre de Richardson

Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)


a) Ra=5*103 ; Re=1000

b) Ra=5*105 ; Re=100

c) Ra=5*106 ; Re=100

Figure (IV.8) profil de vitesse U pour déférent nombre de Richardson Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)

2.595E+00

1.409E+00

5.000E-01

1.141E-03

4.850E-05

2.884E-06

-2.561E-04

-3.948E-01

-1.000E+00

-1.180E+00

2.595E+00

5.000E-01

1.028E-02

2.031E-03

1.141E-03

-2.561E-04

-7.354E-04

-3.948E-01

-1.000E+00

-1.180E+00

3.000E+00

5.000E-01

1.138E-02

3.489E-03

7.580E-04

0.000E+00

-9.932E-04

-5.000E-01

-1.110E+00

-1.408E+00


a) Ra=5*103 ; Re=1000

b) Ra=5*105 ; Re=100

c) Ra=5*106 ; Re=100

Figure (IV.9) profil de vitesse V pour déférent nombre de Richardson Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, l1/L=0.5, Kr=20)

2.934E+00

2.932E+00

2.758E+00

2.500E+00

2.000E+00

1.500E+00

1.000E+00

5.000E-01

1.423E-01

0.000E+00

3.733E+00

3.500E+00

3.000E+00

2.000E+00

1.000E+00

2.139E-01

3.866E-02

-1.140E-01

-5.000E-01

4.190E+00

4.000E+00

3.500E+00

3.000E+00

2.000E+00

1.000E+00

5.000E-01

-2.998E-01

-5.000E-01

-1.000E+00


IV.3.4 Influence de l’épaisseur de paroi

Les figures (IV.8) et (IV.9) montrent La variation de nombre de Nusselt en

fonction de l'épaisseur de la paroi, avec du Re et du Ra comme variables. À la petite

épaisseur de la paroi, le Nusselt n'est pas très sensible à la variation du l’épaisseur. On

observe la même tendance à bas nombre de Reynolds (Re=100), pour les grandes

valeurs de l’épaisseur. L’influence de l’épaisseur sur le nombre de Nusselt est augmentée

avec l’augmentation de Reynolds et de Rayleigh.

Figure (IV.8): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de l’épaisseur du mur

Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, Kr=20, Re=100)

l1/L

Nu

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

2

4

6

8

10

Ra=5.e 3

Ra=5.e 6

Ra=5.e 5Ra=5.e 4


Figure (IV.9): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de l’épaisseur du mur

Pour le cas (A=15, h1/l=1.05, Kr=20, Re=1000)

IV.3.5 Influence de la hauteur de sortie d’air :

Nous présentons l'effet de la hauteur de la sortie sur le nombre de Nusselt avec

les nombres des Rayleigh et Reynolds sont des variables dans les figures (IV.10) et

(IV.11). Nous pouvons voir que le NU est graduellement en fonction d'augmentation de

la hauteur pour les nombres de Ra et Re. Après notre observation plus tôt dans fig. 3,

l'effet de la hauteur est plus important aux hauts nombres de Ra et Re. Ceci est prévu

pour éviter de boucher à la sortie nous avons besoin d'une plus grande taille de port de

sortie quand la convection mixte et la ventilation sont augmentées.

l1/L

Nu

0.1 0.2 0.3 0.4 0.55

10

15

20

25

30

35

40

Ra=5.e3

Ra=5.e4Ra=5.e5Ra=5.e6


Figure (IV.10): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de la hauteur de

sortie Pour le cas (A=15, l1/L=1.05, Kr=20, Re=100)

Figure (IV.11): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de la hauteur de

sortie Pour le cas (A=15, l1/L=1.05, Kr=20, Re=1000)

h1/L

Nu

0.8 1 1.2 1.4

2

4

6

8

10

Ra=5.e5

Ra=5.e6

Ra=5.e3Ra=5.e4

h1/L

Nu

0.8 1 1.2 1.410

15

20

25

30

Ra=5.e5Ra=5.e6

Ra=5.e3Ra=5.e4


IV.3.6 Influence du facteur de forme :

Nous observons que le NU est une fonction décroissante d'A, Nous notons

également que selon les conditions de fonctionnement, il peut y avoir un facteur de

forme optimum pour obtenir la meilleure performance de ventilation,

Figure (IV.12): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de facteur de forme A Pour le cas (h1/l=1.05, l1/L=1.05, Kr=20, Re=100)

A

Nu

10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

Ra=5.e6



Figure (IV.13): évolution du nombre de Nusselt moyen en fonction de facteur de forme

A Pour le cas (h1/l=1.05, l1/L=1.05, Kr=20, Re=1000)

A

Nu

10 12 14 16 18 2010

15

20

25

30

Ra=5.e6


A travers cette modeste contribution nous avons essayé d’étudier les

performances thermiques des murs capteur‐accumulateur utilisés dans les systèmes de

chauffage et ventilation passifs des logements. Un code informatique basé sur trois

robustes algorithmes tirés de la méthode de volumes finis appliquée à un maillage non

structuré a été développé. Ce code a été soigneusement conçu pour qu’il soit extensible

et facilement adapté afin de pouvoir étudier un grand nombre de problèmes de la

convection thermique qu’elle soit naturelle, mixte ou forcée.

Les résultats obtenus montrent l’influence de plusieurs paramètres à savoir :

a) Nombres adimensionnels

Rayleigh

Reynolds

Richardson

Prandtl constant pour l'air ;

b) Paramètres liés à géométrie

Facteur de forme, dimension des orifices, l'épaisseur du mur Trombe

c) Paramètre liés à l’énergie

Rapport des conductivités thermiques mur/air. Sa valeur pour les

matériaux de construction typique variée entre 20 et 40.

CONCLUSION

Conclusion Page | 112

Ces résultats nous permettent aussi de tirer les conclusions suivantes :

1‐ Le rapport des conductivités thermiques mur/air n’influe presque pas

sur les performances thermiques du mur Trombe que lorsqu’ on fait

une étude dans un cycle complet de 24 heures.

2‐ Les résultats montrent que les performances thermiques du mur

Trombe sont importantes lorsque le nombre de Richardson (Ri) est

trop faible.

3‐ L'effet de l'épaisseur du mur est négligeable sur les performances

thermiques du système pour de bas nombres de Reynolds. Notons que

ce paramètre joue un rôle important lorsque considérant

fonctionnement cyclique 24h, l'épaisseur de paroi devrions être

optimisés, à la laquelle peut correspondre l1/L = 0.5‐0.6 dans cette

étude.

4‐ L'effet du la hauteur de sortie sur la performance de système est

important à haut nombres de Rayleigh et Reynolds.

5‐ La performance aussi augmente proportionnellement avec le facteur

de forme, en particulier aux nombres élevés de Rayleigh. On le

constate que dans ce cas‐ci également le facteur de forme devrait être

optimisé pour la meilleure performance de ventilation.

6‐ Généralement, pour un emplacement donné, les matériaux de

construction employée et les conditions de fonctionnement, les

paramètres géométriques devraient être optimisé.

Conclusion Page | 113

Dans la présente étude, le modèle mathématique est basé sur des hypothèses

simplificatrices. De façon à vérifier ces modèles, il serait souhaitable d’effectuer des

mesures expérimentales. Il serait aussi intéressant de modifier le code numérique afin

de tenir compte des effets tridimensionnels ainsi que de la variation des propriétés

physique du fluide. Une autre limitation importante de cette étude provient de

l’hypothèse du régime laminaire.

[1] R. KH. ZEYTOUNIAN « Joseph Boussinesq and his approximation: a

ontemporary view »

REFERENCES

BIBLIOGRAPHIQUE

Comptes Rendus Mécanique, Vol. 331, No. 8, P. 575‐586. (2003) c

[2] D.J. HARRIS, N. HELWIG « Solar chimney and building ventilation » Applied Energy,

84, P. 135–146(2007)

[3] Z.D. CHEN, P. BANDOPADHAYAY, J. HALLDORSSON, C. BYRJALSEN, P. HEISELBERG, Y. LI

« An experimental investigation of a solar chimney model with uniform wall heat flux »

Building and Environment 38, P 893 – 906(2003)

[4] K.S. ONG « A mathematical model of a solar chimney » Renewable Energy 28, P.

1047‐1060 (2003)

[5] R. BEN YEDDER et E. BILGEN « Natural convection and conduction in Trombe wall

systems» Int. J. Heat MassTransfer, Vol. 34, N°. 415, P. 1237‐1248(1991)

[6] B. ZAMORA, A.S. KAISER « Optimum wall‐to‐wall spacing in solar chimney shaped

channels in natural convection by numerical investigation » Applied Thermal

Engineering 29 ; P. 762–769 (2009)

[7] GUOHUI GAN « A parametric study of trombe wall for passive cooling of buildings »

Energy and Building 27, P. 37‐43(1998)

[8] B.A JUBRAN, M ; A. HAMADAN et W. MANFALOUTI « modelling free convection in a

trombe wall » Renewable Energie Vol. 1. No. ¾. P. 351‐360(1991)

Références bibliographique Page | 115

[9] S.J. ORMISTON, G. D. RAITHBY ET K. G. T. HOLLANDS « Nummerical predictions of

natural convection in a trombe wall system » J. Heat Mass Transfer Vol. 29 No. 6, P 869‐

877 (1986)

[10] WEI CHEN, WEI LIU « Numerical and experimental analysis of convection heat

transfer in passive solar heating room with greenhouse and heat storage » Solar Energy

.623–633 (2004) 76, P

[11] RAMADAN BASSIOUNY, NADER S.A. KOURA « An analytical and numerical study of

solar chimney use for room natural ventilation » Energy and Buildings 40 P. 865–873

(2008)

[12] L. C. CHOW, S. R. HUSAIN, A. CAMPO « Effects of free convection and axial

conduction on forced convection heat transfer inside a vertical channel at low Péclet

numbers » Transaction of the ASME, J Heat Transfer . 297 ), Vol. 106, p – 303. (1984

[13] LAOUADI, A., GALANIS, N. NGUYEN, C.T. « Laminar Fully Developed Mixed

Convection in Inclined Tubes Uniformly Heated on Their Outer Surface », Numerical

Heat Tranfer, Part A Vo1.26, P. 719‐738. (1994)

[14] HEGGS, P. J., INGHAM, D. B., KEEN, D. J. « The Effect of Heat Conduction in the Wall

on the Development of Recirculating Combined Convection Rows in Vertical Tubes » Int.

J. Heat Mass Transfer, Vol. 33. No 3, P. 5 17‐528. (1990)

[15] C. T. NGUYEN, S. EL B. MAÏGA, M. LANDRY, N. GALANIS et G. ROY « Numerical

investigation of flow reversal and instability in mixed laminar vertical tube flow »

International Journal of Thermal Sciences, Vol. 43 , P. 797 – 808. (2004)

[16] ORFI, J., GALANIS, N. et NGUYEN, C.T., « Développement simultané

hydrodynamique et thermique d'un écoulement laminaire dans un tube incliné en

régime de convection mixte », Revue Générale de Thermique, Vol 1. 36, P. 83‐92. (1997)


[17] T. H. MAI, N. EL WAKIL, J. PADET « Transfert de chaleur dans un tube vertical avec

écoulement de convection mixte à débit variable » International Journal of Thermal

Sciences, Vol. 38, p. 277 – 283(1999)

[19] MOHAMED OUZZANE. « Développement simultané en convection mixte laminaire

dans une conduite avec un flux de chaleur non uniforme sur sa surface externe : cas avec

et sans ailettes » Thèse de doctora université de Sherbrooke.t ; (2000)

[18] CATALIN VIOREL POPA « Étude théorique et expérimentale du comportement

transitoire d’un écoulement laminaire en convection mixte dans un tube vertical » Thèse

de doctorat ; université de Reims ChampagneArdenne (2004).

[19] H. F. NOUANEGE, L. R. ALANDJI, E. BILGEN « Numerical study of solar‐Wind

systems for ventilation of dwellings » Rene . wable energy 33, P 434‐443(2008)

[20] G. K. DESPOTIS, S. TSANGARIS « Fractional step method for solution of

incompressible Navier‐Stokes equations on unstructured triangular meshes »

International Journal for Numerical Methods in Fluids ;Volume 20 Issue 11, P. 1273 –

1288 (1995)

[21]M. THOMADAKIS, M. LESCHZINER « A pressure correction method for the solution of

incompressible viscous flows on unstrutured grids »Int. J. Numerical Methods in Fluids,

Vol 22, P. 581‐601(1996)

[22] RHIE, C. M., CHOW, W. L.A « Numerical Study of the Turbulent FlowPast an

Isolated Airfoil with Trail e », l.ing Edge S paration AIAA J., Vo 21, P.1525‐1538 (1983)

[23] A. W. DATE « Complete Pressure Correction Algorithm for Solution of

Incompressible Navier–Stokes Equations on a Nonstaggered Grid » Numerical Heat

Transfer B, Vol. 29, P. 441. (1996)

[24] S.V. PATANKAR , D. SPALDING « A calculation procedure for Heat mass and

momentum transfert in three dimensional parabolic flows » Int. J. Heat Mass Transfert,

vol. 15, p. 1787‐1806. (1972).

http://www3.interscience.wiley.com/journal/2861/home

http://www3.interscience.wiley.com/journal/110559010/issue


[25] CHRISTOPHE ROME « une méthode de raccordement de maillages non‐conformes

pour la résolution des équations de Navier‐stokes » Thèse de doctorat ; université de

bordeaux I; (2006)

[26] K. Goda. « A multistep technique with implicit difference schemes for calculating

two or three‐dimensional cavity flows ». J. Comput. Phys., vol. 30, P. 76‐95. (1978)

[27] ALEXANDRE JOËL CHORIN « Numerical solution of Navier‐Stokes equations »

Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104, P. 745‐762, (1968).

[28] S. V. PATANKAR « Numerical heat transfer and fluid flow », Hemisphere,

Washington (1980).

[29] H.N. DIXIT, V. BABU, « Simulation of high Rayleigh number natural convection in a

square cavity using the lattice Boltzmann method ». Int. J. Heat Mass Transfer 49, P. 727–

739. (2006)

[30] DE VAHL DAVIS, G., JONES, I.P. « Natural convection in square cavity: a comparison

exercise » 3, 227–248. (1983).

[31] ANIL W. DATE « Introduction to Computational Fluid Dynamics » Cambridge, 398p,

(2005)

[32] KLAUS A. HOFFMANN STEVE T. CHIANG « Computational fluid dynamics » Volume II,

4 Edition, Engineering Education System, 479p, (2000)

[33] T. J. CHUNG « Computational fluid dynamics » Cambridge, 1022p, (2002)

1. Variables utilisés :

AE, AW, AN, AS : matrice contient les coefficients est, ouest, nord, sud

AP : matrice contient le coefficient AP

AP1 : matrice contient le coefficient AP de l’équation de correction de pression

APU, APV

CC : critère de Convergence

CCTM : critère de convergence pour les problèmes transitoires

CONMAS : (variable logique) se rapporte à l'imposition de la condition de conservation de masse à la sortie de fluide

DELT : le pas du temps

DENSIT : coefficient de terme flux

IN : Nombre des nœuds dans la direction X (INM = IN–1)

JN : Nombre des nœuds dans la direction Y (JNM =JN−1)

X, Y : Coordonne des nœuds

XC : Coordonne de la face ouest (w)de volume de contrôle

YC : Coordonne de la face sud (s) de volume de contrôle

DXMI : la distance entre les nœuds P et E

DYMI : la distance entre les nœuds P et S

DXP, DYP: les surfaces de volume de contrôle

NTAG : les nœuds interne

NTAGE, NTAGW, NTAGN NTAGS : les nœuds de frontière

GREAT : Paramètre ayant une grande valeur 1030

SMALL : Paramètre ayant une valeur négligeable 10‐30

ANNEXE

Annexe Page | 119

HYBRID, UPWIND, PAWER, CENTRAL, Logique rapporte au schéma choisi

FTRAN : logique rapporte au calcul transitoire faute (une seul itération pour chaque pas de temps)

IPREF, JPREF : le nœud de référence de la pression

IREAD, IWRITE : logique pour lire ou écrit le fichier de donnée

MFREQ : un pas pour l’affichage des résultats

MXIT : Nombre maximum des itérations permises

MXSTEP : Nombre maximum des pas de temps permis

NITER : Itération

NTIME : le pas du temps

P : la pression

PO : la pression au temps précédent

PP : la pression de correction

QW : le flux

RHO : la densité de chaque nœud

RNORM : facteur de normalisation

RP : coefficient de relaxation

RSDU : résiduel

SLVE : Logique pour spécifier l’équation à résoudre

STEADY : Logique rapporte au calcul permanent

UNSTEADY : Logique rapporte au calcul permanent

STIME : le temps initial

TTIME : le temps de NTIME pas

T : la température

TO : la température au temps précédent

U, V : les vitesse

UO, VO : les vitesses au temps précédent

VISCOS : viscosité de l’équation

VIS : la viscosité de chaque nœud

Annexe Page | 120

VOL : volume de volume de contrôle

2. Fichier USER.FOR : exemple pour le teste de ( vahl. davis [30])

C ************************************** C Fichier USER.FOR C **************************************

PROGRAM MAIN IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C **** INITIAL DATA elapsed_time = TIMEF( ) XL=1.D0 YL=1.D0 IN=102 JN=102 INM=IN‐1 JNM=JN‐1 C IREAD=.TRUE. MXIT=20000000 Ra=1000000.D0 Pr=0.71D0 VISCOS(2)=Pr VISCOS(3)=Pr VISCOS(4)=1.D0 CALL MAINPR elapsed_time=TIMEF( ) PRINT*,elapsed_time END C ************************************** SUBROUTINE INIT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ************************************** C INITIAL GUESS DO 1 J=1,JN T(1,J)=1.D0 1 CONTINUE RETURN END

Annexe Page | 121

C ************************************** SUBROUTINE BSPEC IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C **** PROVIDE BOUNDARY & BLOCKED REGIONS CHARACTER*10 BLOCK,WEST,EAST,SOUTH,NORTH CHARACTER*10 INFLOW,EXIT1,SYMM,EXIT2,WALLT,WALLQ DATA BLOCK,WEST,EAST,SOUTH,NORTH +/'BLOCK','WEST','EAST','SOUTH','NORTH'/ DATA INFLOW,EXIT1,SYMM,EXIT2,WALLT,WALLQ + /'INFLOW','EXIT1','SYMM','EXIT2','WALLT','WALLQ'/ C ***** DEFINES W & E BOUNDARIES CALL TAG(WEST,WALLT,2,2, 2,JNM) CALL TAG(EAST,WALLT,INM,INM,2,JNM) C ***** DEFINES N&S BOUNDARIES CALL TAG(NORTH,WALLQ,2,INM,JNM,JNM) CALL TAG(SOUTH,WALLQ,2,INM,2,2) END C ************************************** SUBROUTINE RESULT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION VNU(IT) OPEN(24,FILE='RESULT.DAT') WRITE(24,*)'TITLE = CAVITE' WRITE(24,*)'VARIABLES = XX YY UU VV P T ' WRITE(24,*)'ZONE T = ZONE1, I = ',IN + ,' , J = ',JN,' ,F = BLOCK' DO 11 J=1,JN 11 WRITE(24,*)(X(I),I=1,IN) DO 12 J=1,JN 12 WRITE(24,*)(Y(J),I=1,IN) DO 13 J=1,JN 13 WRITE(24,*)(U(I,J),I=1,IN) DO 14 J=1,JN 14 WRITE(24,*)(V(I,J),I=1,IN) DO 15 J=1,JN 15 WRITE(24,*)(P(I,J),I=1,IN) DO 16 J=1,JN 16 WRITE(24,*)(T(I,J),I=1,IN) CLOSE(24) C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DE NUSSELT LOCAL ET MOYEN SUR LA PAROI CHAUDE

Annexe Page | 122

VNUMOYEN=0.0 AVNU=0.0 DO J=2,JNM VNU(J)=‐(T(2,J)‐T(1,J))/(X(2)‐X(1)) VNUMOY=VNUMOY+VNU(J) ENDDO VNUMOY=VNUMOY/(JNM‐1) DO J=2,JNM‐1 AVNU=AVNU+0.5*(VNU(J)+VNU(J+1))*(Y(J+1)‐Y(J)) ENDDO WRITE(*,*)'NUSSELT SUR LA PAROI CHAUDE=',AVNU,VNUMOY C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DE NUSSELT LOCAL ET MOYEN SUR LA PAROI FROIDE VNUMOYEN=0.0 AVNU=0.0 DO J=1,JN VNU(J)=‐(T(IN,J)‐T(IN‐1,J))/(X(IN)‐X(INM)) VNUMOY=VNUMOY+VNU(J) ENDDO VNUMOY=VNUMOY/JN DO J=1,JN‐1 AVNU=AVNU+0.5*(VNU(J)+VNU(J+1))*(Y(J+1)‐Y(J)) ENDDO WRITE(*,*)'NUSSELT SUR LA PAROI FROIDE=',AVNU,VNUMOY C‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ CALCUL DES VITESSES MAX UMAX=0.0 VMAX=0.0 DO I=1,IN DO J=1,JN IF(UMAX.GT.U(I,J)) THEN UMAX=U(I,J) JMAX=J ENDIF IF(VMAX.GT.V(I,J)) THEN VMAX=V(I,J) IMAX=I ENDIF ENDDO ENDDO WRITE(*,*)'UMAX=',UMAX,Y(JMAX) WRITE(*,*)'VMAX=',VMAX,X(IMAX) RETURN END C **************************************

Annexe Page | 123

SUBROUTINE ADSORB(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ************************************** N=NN GO TO (10,20,30,40,50,60),N C *** FOR PRESSURE CORRECTION 10 GO TO 1000 C *** FOR U‐VEL 20 GO TO 1000 C *** FOR V‐VEL 30 DO 31 J=2,JNM DO 31 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+(Pr*Ra*T(I,J)*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J))) 31 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR TEMPERATURE 40 GO TO 1000 C *** FOR FLUID PROPERTIES 50 GO TO 1000 C *** CALLED FORM BOUNDP ‐ FOR PRESSURE 60 CONTINUE 1000 CONTINUE RETURN END C ************************************** BLOCK DATA IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DATA CC,IPREF,JPREF,MXIT/1.0E‐05,1,1,1/ DATA CCTM,MXSTEP,DELT,STIME,MFREQ/1.0E‐05,1000,0.001,0.0,200/ C PP U V W E D T VIS P DATA RP/0.8,0.7D0,0.7D0,0.9D0,1.0,0.3D0/ DATA NSWEEP/10, 1 , 1 , 1, 1 / C **** LOGICAL DATA DATA STEADY, UNSTDY, FTRAN , CONMAS + /.TRUE., .FALSE., .FALSE., .FALSE. / DATA UPWIND,CENTRAL,HYBRID,POWER/.FALSE.,.FALSE.,.FALSE.,.TRUE./ DATA SLVE/4*.TRUE.,.FALSE./ DATA BSOR/2*.FALSE.,.TRUE.,.FALSE.,.FALSE.,.FALSE./ DATA VISCOS/1.D0,1.D0,1.D0,1.D0,1.D0/ DATA DENSIT/1.D0,1.D0,1.D0,1.D0,1.D0/

Annexe Page | 124

DATA IREAD,IWRITE/.FALSE. ,.TRUE./ C ****READ GRID DATA END

3. Fichier COMMON.FOR

C ************************************** C Fichier COMMON.FOR C **************************************

PARAMETER(IT=470,JT=470) PARAMETER(GREAT=1.0E+20,SMALL=1.0E‐20,PI=3.1415926) LOGICAL STEADY,UNSTDY,FTRAN,CONMAS,AXISYMM,BSOR,CENTRAL LOGICAL UPWIND,HYBRID,POWER,SLVE,IREAD,IWRITE LOGICAL GRCELL,GRNODE COMMON STEADY,UNSTDY,FTRAN,CONMAS,AXISYMM,CENTRAL COMMON UPWIND,HYBRID,POWER,SLVE(5),IREAD,IWRITE COMMON IN,JN,INM,JNM,IPREF,JPREF COMMON NPERIOD,DELT,STIME,TTIME,CCTM,CC COMMON MXIT,MXSTEP,NITER,MFREQ COMMON BSOR(6),NSWEEP(5),VISCOS(5),DENSIT(5),RNORM(5),RSDU(5), + FDIF(3),RP(6) COMMON NTAG(IT,JT),NTAGW(IT,JT),NTAGE(IT,JT) + ,NTAGS(IT,JT),NTAGN(IT,JT),VIS(IT,JT),RHO(IT,JT) COMMON U(IT,JT),V(IT,JT),T(IT,JT),P(IT,JT),PP(IT,JT),PSM(IT,JT), + UO(IT,JT),VO(IT,JT),TO(IT,JT),PO(IT,JT),VOL(IT,JT),RHOO(IT,JT) COMMON X(IT),Y(JT),XC(IT),YC(JT),DXMI(IT),DYMI(JT), + DXP(IT,JT),DYP(IT,JT) COMMON RESIU(50000),RESIV(50000),RESIM(50000),RESIT(50000) COMMON QW(IT,JT) COMMON XL,YL,Ra,RE,PR COMMON AW(IT,JT),AE(IT,JT),AS(IT,JT),AN(IT,JT),SU(IT,JT) COMMON SP(IT,JT),AP1(IT,JT),AP(IT,JT),APU(IT,JT),APV(IT,JT)

Annexe Page | 125

4. Fichier LIBRARY.FOR

C ************************************** C Fichier LIBRARY.FOR C **************************************

SUBROUTINE MAINPR

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' CALL INITIA CALL BSPEC CALL GRID CALL INIT CALL INFLUX IF(IREAD) CALL IPT IF(UNSTDY)CALL UPDATE CALL INIT CALL EQN IF(IWRITE)CALL OPT CALL RESULT RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE INITIA IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN PP(I,J)=0.D0 P(I,J)=0.D0 U(I,J)=0.D0 V(I,J)=0.D0 T(I,J)=0.D0 QW(I,J)=0.D0 VIS(I,J)=1.D0 RHO(I,J)=1.D0 RHOO(I,J)=1.D0 AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0

Annexe Page | 126

AN(I,J)=0.D0 APU(I,J)=GREAT APV(I,J)=GREAT AP1(I,J)=GREAT AP(I,J)=GREAT NTAG(I,J)=0 NTAGW(I,J)=0 NTAGE(I,J)=0 NTAGS(I,J)=0 1 NTAGN(I,J)=0 RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE TAG(CHAR1,CHAR2,IB,IL,JB,JL) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* CHARACTER*10 CHAR1,CHAR2 DO 1 J=JB,JL DO 1 I=IB,IL IF(CHAR1.EQ.'BLOCK')THEN NTAG(I,J)=1 GO TO 1 ENDIF IF (CHAR1.EQ.'WEST')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGW(I,J)=11 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGW(I,J)=12 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGW(I,J)=13 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGW(I,J)=15 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGW(I,J)=14 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGW(I,J)=16 NTAG(I‐1,J)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'EAST')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGE(I,J)=21 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGE(I,J)=22 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGE(I,J)=23 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGE(I,J)=25 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGE(I,J)=24 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGE(I,J)=26 NTAG(I+1,J)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'SOUTH')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGS(I,J)=31 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGS(I,J)=32

Annexe Page | 127

IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGS(I,J)=33 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGS(I,J)=35 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGS(I,J)=34 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGS(I,J)=36 NTAG(I,J‐1)=1 ELSE IF(CHAR1.EQ.'NORTH')THEN IF(CHAR2.EQ.'INFLOW')NTAGN(I,J)=41 IF(CHAR2.EQ.'SYMM' )NTAGN(I,J)=42 IF(CHAR2.EQ.'EXIT1' )NTAGN(I,J)=43 IF(CHAR2.EQ.'EXIT2' )NTAGN(I,J)=45 IF(CHAR2.EQ.'WALLT' )NTAGN(I,J)=44 IF(CHAR2.EQ.'WALLQ' )NTAGN(I,J)=46 NTAG(I,J+1)=1 ENDIF 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE BOUND(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM VOLP=VOL(I,J) RHOP=RHO(I,J) C *** BLOCKED REGION L=NTAGW(I,J)+NTAGE(I,J)+NTAGS(I,J)+NTAGN(I,J) IF(NTAG(I,J).EQ.1)THEN IF(N.EQ.2)SU(I,J)=GREAT*U(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=GREAT*V(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=GREAT*T(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=GREAT*TS(I,J) SP(I,J)=GREAT GO TO 1 END IF IF(L.EQ.0)GOTO 1 C *** WEST BOUNDARY LW=NTAGW(I,J) IF(LW.EQ.0)GO TO 100 AWNOW=AW(I,J) C INLET

Annexe Page | 128

IF(LW.EQ.11)THEN AW(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=AWNOW*U(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=AWNOW*V(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=AWNOW*T(I‐1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=AWNOW*TS(I‐1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LW.EQ.12)THEN IF(N.EQ.2)SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) AW(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I‐1,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I‐1,J)=V(I,J) IF(N.EQ.4)T(I‐1,J)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I‐1,J)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LW.EQ.13.OR.LW.EQ.15) THEN AW(I,J)=0.0 RATIO=(X(I)‐X(I‐1))/DXMI(I+1) IF(LW.EQ.13)RATIO=0.0 IF(N.EQ.2)U(I‐1,J)=U(I,J)‐RATIO*(U(I+1,J)‐U(I,J)) IF(N.EQ.3)V(I‐1,J)=V(I,J)‐RATIO*(V(I+1,J)‐V(I,J)) IF(N.EQ.4)T(I‐1,J)=T(I,J)‐RATIO*(T(I+1,J)‐T(I,J)) IF(N.EQ.5)TS(I‐1,J)=TS(I,J)‐RATIO*(TS(I+1,J)‐TS(I,J)) ENDIF C WALL IF(LW.EQ.14.OR.LW.EQ.16) THEN AW(I,J)=0.0 DELTA=DXMI(I) UWAL=U(I‐1,J) VWAL=V(I‐1,J) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=AWNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=AWNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LW.EQ.14)THEN SU(I,J)=AWNOW*T(I‐1,J)+SU(I,J)

Annexe Page | 129

SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(LW.EQ.16)THEN SU(I,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+SU(I,J) T(I‐1,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LW.EQ.14)THEN SU(I,J)=AWNOW*TS(I‐1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AWNOW+SP(I,J) ELSE IF(LW.EQ.16)THEN SU(I,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+SU(I,J) TS(I‐1,J)=QW(I‐1,J)*DXMI(I)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** EAST BOUNDARY 100 LE=NTAGE(I,J) IF(LE.EQ.0)GO TO 200 AENOW=AE(I,J) C INLET IF(LE.EQ.21)THEN AE(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=AENOW*U(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=AENOW*V(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=AENOW*T(I+1,J)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=AENOW*TS(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LE.EQ.22)THEN IF(N.EQ.2)SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) AE(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I+1,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I+1,J)=V(I,J) IF(N.EQ.4)T(I+1,J)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I+1,J)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LE.EQ.23.OR.LE.EQ.25) THEN AE(I,J)=0.0 RATIO=(X(I+1)‐X(I))/DXMI(I) IF(LE.EQ.23)RATIO=0.0 IF(N.EQ.2)U(I+1,J)=U(I,J)+RATIO*(U(I,J)‐U(I‐1,J))

Annexe Page | 130

IF(N.EQ.3)V(I+1,J)=V(I,J)+RATIO*(V(I,J)‐V(I‐1,J)) IF(N.EQ.4)T(I+1,J)=T(I,J)+RATIO*(T(I,J)‐T(I‐1,J)) IF(N.EQ.5)TS(I+1,J)=TS(I,J)+RATIO*(TS(I,J)‐TS(I‐1,J)) ENDIF C WALL IF(LE.EQ.24.OR.LE.EQ.26) THEN AE(I,J)=0.0 DELTA=DXMI(I+1) AREA=DYP(I,J) UWAL=U(I+1,J) VWAL=V(I+1,J) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=AENOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=AENOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LE.EQ.24)THEN SU(I,J)=AENOW*T(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(LE.EQ.26)THEN SU(I,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+SU(I,J) T(I+1,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LE.EQ.24)THEN SU(I,J)=AENOW*TS(I+1,J)+SU(I,J) SP(I,J)=AENOW+SP(I,J) ELSE IF(LE.EQ.26)THEN SU(I,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+SU(I,J) TS(I+1,J)=QW(I+1,J)*DXMI(I+1)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** SOUTH BOUNDARY 200 LS=NTAGS(I,J) IF(LS.EQ.0)GO TO 300 ASNOW=AS(I,J) C INLET IF(LS.EQ.31)THEN AS(I,J)=0.0

Annexe Page | 131

IF(N.EQ.2)SU(I,J)=ASNOW*U(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=ASNOW*V(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=ASNOW*T(I,J‐1)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=ASNOW*TS(I,J‐1)+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LS.EQ.32)THEN IF(N.EQ.3)SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) AS(I,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I,J‐1)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J‐1)=U(I,J) IF(N.EQ.4)T(I,J‐1)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I,J‐1)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LS.EQ.33.OR.LS.EQ.35) THEN RATIO=(Y(J)‐Y(J‐1))/DYMI(J+1) IF(LS.EQ.33)RATIO=0.0 AS(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J‐1)=U(I,J)‐RATIO*(U(I,J+1)‐U(I,J)) IF(N.EQ.3)V(I,J‐1)=V(I,J)‐RATIO*(V(I,J+1)‐V(I,J)) IF(N.EQ.4)T(I,J‐1)=T(I,J)‐RATIO*(T(I,J+1)‐T(I,J)) IF(N.EQ.5)TS(I,J‐1)=TS(I,J)‐RATIO*(TS(I,J+1)‐TS(I,J)) ENDIF C WALL IF(LS.EQ.34.OR.LS.EQ.36) THEN AS(I,J)=0.0 DELTA=DYMI(J) AREA=DXP(I,J) UWAL=U(I,J‐1) VWAL=V(I,J‐1) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=ASNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=ASNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN TERM=VISWAL/(DELTA)*AREA IF(LS.EQ.34)THEN SU(I,J)=ASNOW*T(I,J‐1)+SU(I,J)

Annexe Page | 132

SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(LS.EQ.36)THEN SU(I,J)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+SU(I,J) T(I,J‐1)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN TERM=VISWAL/(DELTA)*AREA IF(LS.EQ.34)THEN SU(I,J)=ASNOW*TS(I,J‐1)+SU(I,J) SP(I,J)=ASNOW+SP(I,J) ELSE IF(LS.EQ.36)THEN SU(I,J)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+SU(I,J) TS(I,J‐1)=QW(I,J‐1)*DYMI(J)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF C *** NORTH BOUNDARY 300 LN=NTAGN(I,J) IF(LN.EQ.0)GO TO 1 ANNOW=AN(I,J) C INLET IF(LN.EQ.41)THEN AN(I,J)=0.0 IF(N.EQ.2)SU(I,J)=ANNOW*U(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.3)SU(I,J)=ANNOW*V(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.4)SU(I,J)=ANNOW*T(I,J+1)+SU(I,J) IF(N.EQ.5)SU(I,J)=ANNOW*TS(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ENDIF C SYMMETRY IF(LN.EQ.42)THEN IF(N.EQ.3)SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) AN(I,J)=0.0 IF(N.EQ.3)V(I,J+1)=0.0 IF(N.EQ.2)U(I,J+1)=U(I,J) IF(N.EQ.4)T(I,J+1)=T(I,J) IF(N.EQ.5)TS(I,J+1)=TS(I,J) ENDIF C EXIT IF(LN.EQ.43.OR.LN.EQ.45) THEN AN(I,J)=0.0 RATIO=(Y(J+1)‐Y(J))/DYMI(J) IF(LN.EQ.43)RATIO=0.0

Annexe Page | 133

IF(N.EQ.2)U(I,J+1)=U(I,J)+RATIO*(U(I,J)‐U(I,J‐1)) IF(N.EQ.3)V(I,J+1)=V(I,J)+RATIO*(V(I,J)‐V(I,J‐1)) IF(N.EQ.4)T(I,J+1)=T(I,J)+RATIO*(T(I,J)‐T(I,J‐1)) IF(N.EQ.5)TS(I,J+1)=TS(I,J)+RATIO*(TS(I,J)‐TS(I,J‐1)) ENDIF C WALL IF(LN.EQ.44.OR.LN.EQ.46) THEN AN(I,J)=0.0 DELTA=(Y(J+1)‐Y(J)) AREA=DXP(I,J) UWAL=U(I,J+1) VWAL=V(I,J+1) VISWAL=VIS(I,J) IF(N.EQ.2) THEN SU(I,J)=ANNOW*UWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.3) THEN SU(I,J)=ANNOW*VWAL+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(N.EQ.4) THEN IF(LN.EQ.44)THEN SU(I,J)=ANNOW*T(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(LN.EQ.46)THEN SU(I,J)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+SU(I,J) T(I,J+1)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+T(I,J) ENDIF ELSE IF(N.EQ.5) THEN IF(LN.EQ.44)THEN SU(I,J)=ANNOW*TS(I,J+1)+SU(I,J) SP(I,J)=ANNOW+SP(I,J) ELSE IF(LN.EQ.46)THEN SU(I,J)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+SU(I,J) TS(I,J+1)=QW(I,J+1)*DYMI(J+1)+TS(I,J) ENDIF ENDIF ENDIF 1 CONTINUE IF(BSOR(6))CALL ADSORB(6) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE GRID

Annexe Page | 134

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* C CALCULATE NODAL COORDINATES DX=XL/FLOAT(IN‐2) DY=YL/FLOAT(JN‐2) X(1)=0.D0 Y(1)=0.D0 X(2)=DX/2.D0 Y(2)=DY/2.D0 X(IN)=XL Y(JN)=YL DO 1 I=3,INM X(I)=X(I‐1)+DX 1 CONTINUE DO 2 J=3,JNM Y(J)=Y(J‐1)+DY 2 CONTINUE C CALCULATE CELL‐FACE COORDINATES XC(2)=X(1) YC(2)=Y(1) XC(1)=XC(2) YC(1)=YC(2) DO 3 I=3,INM 3 XC(I)=0.5D0*(X(I)+X(I‐1)) XC(IN)=X(IN) DO 4 J=3,JNM 4 YC(J)=0.5D0*(Y(J)+Y(J‐1)) YC(JN)=Y(JN) C *** CALCULATE INTERPOLATION FACTORS DXMI(1)=0.D0 DO 5 I=2,IN 5 DXMI(I)=X(I)‐X(I‐1) DYMI(1)=0.D0 DO 6 J=2,JN 6 DYMI(J)=Y(J)‐Y(J‐1) C *** CALCULATE AREAS SUMVOL=0.D0 DO 7 J=2,JNM DO 7 I=2,INM LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30

Annexe Page | 135

LN=NTAGN(I,J)/40 DXP(I,J)=(1‐LE)*(1‐LW)*(XC(I+1)‐XC(I))+LE*(X(I+1)‐XC(I))+ + LW*(XC(I+1)‐X(I‐1)) DYP(I,J)=(1‐LN)*(1‐LS)*(YC(J+1)‐YC(J))+LN*(Y(J+1)‐YC(J))+ + LS*(YC(J+1)‐Y(J‐1)) VOL(I,J)=DXP(I,J)*DYP(I,J) SUMVOL=SUMVOL+VOL(I,J) 7 CONTINUE WRITE(*,*)' DOMAIN VOLUME = ',SUMVOL RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE COEF(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN IF(N.EQ.1) GO TO 1000 C COEFFICIENTS OF TRANSPORT EQUATIONS DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0 AN(I,J)=0.D0 SU(I,J)=0.D0 SP(I,J)=0.D0 IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 C *** DIFFUSION COEFFICIENTS AND INTERPOLATED VALUES LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 C *** CONVECTION COEFFICIENTS CW=(FINTW(RHO,I,J)*(1‐LW)+LW*RHO(I,J))*FINTW(U,I,J)*DYP(I,J) CE=(FINTE(RHO,I,J)*(1‐LE)+LE*RHO(I,J))*FINTE(U,I,J)*DYP(I,J) CS=(FINTS(RHO,I,J)*(1‐LS)+LS*RHO(I,J))*FINTS(V,I,J)*DXP(I,J) CN=(FINTN(RHO,I,J)*(1‐LN)+LN*RHO(I,J))*FINTN(V,I,J)*DXP(I,J) C **** DIFFUSION COEFFICIENTS (ALLOWANCE FOR BLOCKED REGIONS ) DW=(FINTW(VIS,I,J)*(1‐LW)+LW*VIS(I,J))*DYP(I,J)/DXMI(I) DE=(FINTE(VIS,I,J)*(1‐LE)+LE*VIS(I,J))*DYP(I,J)/DXMI(I+1) DS=(FINTN(VIS,I,J)*(1‐LS)+LS*VIS(I,J))*DXP(I,J)/DYMI(J)

Annexe Page | 136

DN=(FINTS(VIS,I,J)*(1‐LN)+LN*VIS(I,J))*DXP(I,J)/DYMI(J+1) C *** CALCULATE CELL‐PECLET NUMBERS PECLW=CW/(DW+SMALL) PECLE=CE/(DE+SMALL) PECLS=CS/(DS+SMALL) PECLN=CN/(DN+SMALL) C *** CONVECTION SCHEMES IF(UPWIND)THEN AAW=1.0 AAE=1.0 AAS=1.0 AAN=1.0 ELSE IF(CENTRAL)THEN AAW=1.D0‐0.5*DABS(PECLW) AAE=1.D0‐0.5*DABS(PECLE) AAS=1.D0‐0.5*DABS(PECLS) AAN=1.D0‐0.5*DABS(PECLN) ELSE IF(HYBRID)THEN AAW=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLW)) AAE=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLE)) AAS=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLS)) AAN=DMAX1(0.0,1.D0‐0.5*DABS(PECLN)) ELSE IF(POWER)THEN AAW=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLW))**5) AAE=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLE))**5) AAS=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLS))**5) AAN=DMAX1(0.0,(1.D0‐0.1*DABS(PECLN))**5) ENDIF C *** TOTAL COEFFICIENTS AW(I,J)=DW*(AAW+DMAX1(PECLW,0.0)) AE(I,J)=DE*(AAE+DMAX1(‐PECLE,0.0)) AS(I,J)=DS*(AAS+DMAX1(PECLS,0.0)) AN(I,J)=DN*(AAN+DMAX1(‐PECLN,0.0)) 1 CONTINUE GO TO 2000 C COEFFICIENTS OF PRESSURE CORRECTION EQUATION 1000 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM AW(I,J)=0.D0 AE(I,J)=0.D0 AS(I,J)=0.D0 AN(I,J)=0.D0 SU(I,J)=0.D0

Annexe Page | 137

SP(I,J)=0.D0 PP(I,J)=0.D0 IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 2 LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 LB=1‐NTAG(I,J) C WEST SUMW=FINTW(APU,I,J) AW(I,J)=FINTW(RHO,I,J)*(DYP(I,J))**2/SUMW*(1‐LW)*LB C EAST SUME=FINTE(APU,I,J) AE(I,J)=FINTE(RHO,I,J)*(DYP(I,J))**2/SUME*(1‐LE)*LB C SOUTH SUMS=FINTS(APV,I,J) AS(I,J)=FINTS(RHO,I,J)*(DXP(I,J))**2/SUMS*(1‐LS)*LB C NORTH SUMN=FINTN(APV,I,J) AN(I,J)=FINTN(RHO,I,J)*(DXP(I,J))**2/SUMN*(1‐LN)*LB 2 CONTINUE 2000 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SORCE(NNV) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NNV GO TO (10,20,30,40,50),N C *** FOR PRESSURE CORRECTION 10 DO 11 J=2,JNM DO 11 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 11 CW=FINTW(RHO,I,J)*FINTW(U,I,J)*DYP(I,J) CE=FINTE(RHO,I,J)*FINTE(U,I,J)*DYP(I,J) CS=FINTS(RHO,I,J)*FINTS(V,I,J)*DXP(I,J) CN=FINTN(RHO,I,J)*FINTN(V,I,J)*DXP(I,J) SM=CE‐CW+CN‐CS IF(UNSTDY)SM=SM+(RHO(I,J)‐RHOO(I,J))/DELT*VOL(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐SM*(1‐NTAG(I,J)) 11 CONTINUE

Annexe Page | 138

GO TO 1000 C *** FOR U‐VELOCITY 20 DO 21 J=2,JNM DO 21 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 21 DPDX=(FINTE(P,I,J)‐FINTW(P,I,J))/DXP(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐DPDX*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) 21 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR V‐VELOCITY 30 DO 31 J=2,JNM DO 31 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 31 DPDY=(FINTN(P,I,J)‐FINTS(P,I,J))/DYP(I,J) SU(I,J)=SU(I,J)‐DPDY*VOL(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) 31 CONTINUE GO TO 1000 C *** FOR TEMPERATURE 40 DO 41 J=2,JNM DO 41 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+0.D0 41 CONTINUE GOTO 1000 50 DO 51 J=2,JNM DO 51 I=2,INM SU(I,J)=SU(I,J)+0.D0 51 CONTINUE 1000 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE APCOF(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* N=NN RPINV=1./RP(N) DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 SUM=AW(I,J)+AE(I,J)+AS(I,J)+AN(I,J) IF(N.EQ.1)AP1(I,J)=(SUM+SP(I,J))*RPINV IF(N.GT.1)AP(I,J)=(SUM+SP(I,J))*RPINV

Annexe Page | 139

IF(N.EQ.2)APU(I,J)=AP(I,J) IF(N.EQ.3)APV(I,J)=AP(I,J) 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE PROPS(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* NE=NN DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN RHO(I,J)=DENSIT(NE) VIS(I,J)=VISCOS(NE) 1 CONTINUE IF(BSOR(5))CALL ADSORB(5) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE UNST(NN) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' N=NN DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 SUU=SU(I,J) TERM=RHO(I,J)*VOL(I,J)/DELT*(1‐NTAG(I,J)) IF(UNSTDY)THEN TERM=TERM*RHOO(I,J)/RHO(I,J) IF(N.EQ.2)SU(I,J)=TERM*UO(I,J)+SUU IF(N.EQ.3)SU(I,J)=TERM*VO(I,J)+SUU IF(N.EQ.4)SU(I,J)=TERM*TO(I,J)+SUU IF(N.EQ.5)SU(I,J)=TERM*TSO(I,J)+SUU ELSE IF(FTRAN)THEN IF(N.EQ.2)SU(I,J)=TERM*U(I,J)+SUU IF(N.EQ.3)SU(I,J)=TERM*V(I,J)+SUU IF(N.EQ.4)SU(I,J)=TERM*T(I,J)+SUU IF(N.EQ.5)SU(I,J)=TERM*TS(I,J)+SUU ENDIF SP(I,J)=TERM +SP(I,J) 1 CONTINUE

Annexe Page | 140

RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE UPDATE IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN RHOO(I,J)=RHO(I,J) PO(I,J)=P(I,J) UO(I,J)=U(I,J) VO(I,J)=V(I,J) TO(I,J)=T(I,J) 1 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE INFLUX IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 1 N=1,4 1 RNORM(N)=0.0 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 2 IF(NTAGW(I,J).EQ.11) THEN CW=DABS(RHO(I‐1,J)*U(I‐1,J)*DYP(I,J)) VT=SQRT(U(I‐1,J)**2+V(I‐1,J)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CW RNORM(2)=RNORM(2)+CW*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CW*DABS(T(I‐1,J)) ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.21) THEN CE=DABS(RHO(I+1,J)*U(I+1,J)*DYP(I,J)) VT=SQRT(U(I+1,J)**2+V(I+1,J)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CE RNORM(2)=RNORM(2)+CE*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CE*DABS(T(I+1,J)) ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.31) THEN CS=DABS(RHO(I,J‐1)*V(I,J‐1)*DXP(I,J))

Annexe Page | 141

VT=SQRT(U(I,J‐1)**2+V(I,J‐1)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CS RNORM(2)=RNORM(2)+CS*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CS*DABS(T(I,J‐1)) ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.41) THEN CN=DABS(RHO(I,J+1)*V(I,J+1)*DXP(I,J)) VT=SQRT(U(I,J+1)**2+V(I,J+1)**2) RNORM(1)=RNORM(1)+CN RNORM(2)=RNORM(2)+CN*VT RNORM(3)=RNORM(2) RNORM(4)=RNORM(4)+CN*DABS(T(I,J+1)) ENDIF 2 CONTINUE DO 3 N=1,4 TERM=DABS(RNORM(N)) 3 IF(TERM.LT.10.*SMALL)RNORM(N)=1.0 WRITE(6,*)' RNORM VALUES' WRITE(6,*)(RNORM(N),N=1,4) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE MASBAL IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* SUMFW=0.0 SUMFE=0.0 SUMFS=0.0 SUMFN=0.0 DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF(NTAGW(I,J).EQ.13.OR.NTAGW(I,J).EQ.15) THEN CW=RHO(I‐1,J)*U(I‐1,J)*DYP(I,J) SUMFW=SUMFW+CW ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.23.OR.NTAGE(I,J).EQ.25) THEN CE=RHO(I+1,J)*U(I+1,J)*DYP(I,J) SUMFE=SUMFE+CE ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.33.OR.NTAGS(I,J).EQ.35) THEN CS=RHO(I,J‐1)*V(I,J‐1)*DXP(I,J) SUMFS=SUMFS+CS ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.43.OR.NTAGN(I,J).EQ.45) THEN CN=RHO(I,J+1)*V(I,J+1)*DXP(I,J)

Annexe Page | 142

SUMFN=SUMFN+CN ENDIF 2 CONTINUE SUMF=DABS(SUMFW)+DABS(SUMFE)+DABS(SUMFS)+DABS(SUMFN) FACTOR=RNORM(1)/(SUMF+SMALL) WRITE(*,8787)FACTOR C APPLY MASS CONSERVATION AT EXIT IF(CONMAS)THEN DO 3 J=2,JNM DO 3 I=2,INM IF(NTAGW(I,J).EQ.13.OR.NTAGW(I,J).EQ.15) THEN U(I‐1,J)=U(I‐1,J)*FACTOR V(I‐1,J)=V(I‐1,J)*FACTOR ELSE IF(NTAGE(I,J).EQ.23.OR.NTAGE(I,J).EQ.25) THEN U(I+1,J)=U(I+1,J)*FACTOR V(I+1,J)=V(I+1,J)*FACTOR ELSE IF(NTAGS(I,J).EQ.33.OR.NTAGS(I,J).EQ.35) THEN V(I,J‐1)=V(I,J‐1)*FACTOR U(I,J‐1)=U(I,J‐1)*FACTOR ELSE IF(NTAGN(I,J).EQ.43.OR.NTAGN(I,J).EQ.45) THEN V(I,J+1)=V(I,J+1)*FACTOR U(I,J+1)=U(I,J+1)*FACTOR ENDIF 3 CONTINUE ENDIF 8787 FORMAT(50X,F10.8,F10.8) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE PVCOR IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* C **** APPLY SMOOTHING PRESSURE CORRECTION DO 4 J=2,JNM DO 4 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 4 PMX=(DXMI(I)*P(I+1,J)+DXMI(I+1)*P(I‐1,J))/(DXMI(I)+DXMI(I+1)) PMY=(DYMI(J)*P(I,J+1)+DYMI(J+1)*P(I,J‐1))/(DYMI(J)+DYMI(J+1)) PSM(I,J)=0.5*(P(I,J)‐((PMX+PMY)/2.D0)) PP(I,J)=(PP(I,J)‐PSM(I,J))*(1‐NTAG(I,J)) 4 CONTINUE C *** APPLY MASS‐CONSERVING PRESSURE CORRECTION

Annexe Page | 143

PREF=0.0 !PP(IPREF,JPREF) RSP=0.0 DO 6 I=2,JNM DO 6 J=2,JNM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 6 P(I,J)=P(I,J)+(PP(I,J)‐PREF)*RP(6)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(PP(I,J)).GT.RSP)THEN RSP=DABS(PP(I,J)) ENDIF 6 CONTINUE FDIF(1)=RSP CALL BOUNDP C *** CORRECT VELOCITIES RSU=0.0 RSV=0.0 DO 1 J=2,JNM DO 1 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 1 PSMW=FINTW(PP,I,J) PSME=FINTE(PP,I,J) PSMS=FINTS(PP,I,J) PSMN=FINTN(PP,I,J) C CORRECT U‐VELOCITY IF(SLVE(2))THEN DPDX=(PSME‐PSMW)/DXP(I,J) UDASH=‐DPDX*VOL(I,J)/APU(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(UDASH).GT.RSU)RSU=DABS(UDASH) U(I,J)=U(I,J)+UDASH ENDIF C CORRECT V‐VELOCITY IF(SLVE(3))THEN DPDY=(PSMN‐PSMS)/DYP(I,J) VDASH=‐DPDY*VOL(I,J)/APV(I,J)*(1‐NTAG(I,J)) IF(DABS(VDASH).GT.RSV)RSV=DABS(VDASH) V(I,J)=V(I,J)+VDASH ENDIF 1 CONTINUE CALL BOUND(2) CALL BOUND(3) FDIF(2)=RSU FDIF(3)=RSV C CHECK MASS RESIDUAL SUM=0.0

Annexe Page | 144

DO 9 J=2,JNM DO 9 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 9 TERM=AE(I,J)*PP(I+1,J)+AW(I,J)*PP(I‐1,J) + +AN(I,J)*PP(I,J+1)+AS(I,J)*PP(I,J‐1)‐AP1(I,J)*PP(I,J)*RP(1) IF(TERM.GT.GREAT*0.01)TERM=0.0 SUM=SUM+(TERM**2)*(1‐NTAG(I,J)) 9 CONTINUE RSDU(1)=SQRT(SUM)/RNORM(1) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE BOUNDP IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DO 2 J=2,JNM DO 2 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1) GO TO 2 LW=NTAGW(I,J)/10 LE=NTAGE(I,J)/20 LS=NTAGS(I,J)/30 LN=NTAGN(I,J)/40 C EAST‐WEST IF(LW.EQ.1) THEN RATIO=DXMI(I)/DXMI(I+1) P(I‐1,J)=P(I,J)‐RATIO*(P(I+1,J)‐P(I,J)) PP(I‐1,J)=PP(I,J)‐RATIO*(PP(I+1,J)‐PP(I,J)) ENDIF IF(LE.EQ.1) THEN RATIO=DXMI(I+1)/DXMI(I) P(I+1,J)=P(I,J)+RATIO*(P(I,J)‐P(I‐1,J)) PP(I+1,J)=PP(I,J)+RATIO*(PP(I,J)‐PP(I‐1,J)) ENDIF C NORTH‐SOUTH IF(LS.EQ.1) THEN RATIO=DYMI(J)/DYMI(J+1) P(I,J‐1)=P(I,J)‐RATIO*(P(I,J+1)‐P(I,J)) PP(I,J‐1)=PP(I,J)‐RATIO*(PP(I,J+1)‐PP(I,J)) ENDIF IF(LN.EQ.1) THEN RATIO=DYMI(J+1)/DYMI(J) P(I,J+1)=P(I,J)+RATIO*(P(I,J)‐P(I,J‐1))

Annexe Page | 145

PP(I,J+1)=PP(I,J)+RATIO*(PP(I,J)‐PP(I,J‐1)) ENDIF 2 CONTINUE IF(BSOR(6))CALL ADSORB(6) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SOLVE(F,RPP,RSUM) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION F(IT,JT) DIMENSION SA(MXGR),SB(MXGR),SS(MXGR),PSI(MXGR) C *** CALCULATION OF RESIDUALS RS=0.0 DO 10 J=2,JNM DO 10 I=2,INM IF (NTAG(I,J).EQ.1)GOTO 10 TERM=AW(I,J)*F(I‐1,J)+AE(I,J)*F(I+1,J) + +AS(I,J)*F(I,J‐1)+AN(I,J)*F(I,J+1) TERM=TERM+SU(I,J)‐F(I,J)*AP(I,J)*RPP FACTOR=1.0 IF(SP(I,J).GT.GREAT*1.0E‐10)FACTOR=0.0 TERM=TERM*FACTOR*(1‐NTAG(I,J)) RS=RS+TERM*TERM 10 CONTINUE RSUM=SQRT(RS) C*** J‐DIRECTION SWEEP DO 51 J=2,JNM DO 52 I=2,INM SOR=SU(I,J) DEN=1.D0/(AP(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RPP)/(DEN+SMALL)*F(I,J) SA(I)=AE(I,J)*DEN SB(I)=AW(I,J)*DEN SS(I)=(AS(I,J)*F(I,J‐1)+AN(I,J)*F(I,J+1)+SOR)*DEN 52 CONTINUE PSI1=F(1,J) PSIN=F(IN,J) CALL TDMA(2,INM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 53 I=2,INM LP=NTAG(I,J) 53 F(I,J)=PSI(I)*(1‐LP)+LP*F(I,J)

Annexe Page | 146

51 CONTINUE C*** I‐DIRECTION SWEEP DO 54 I=2,INM DO 55 J=2,JNM SOR=SU(I,J) DEN=1.0/(AP(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RPP)/DEN*F(I,J) SA(J)=AN(I,J)*DEN SB(J)=AS(I,J)*DEN SS(J)=(AW(I,J)*F(I‐1,J)+AE(I,J)*F(I+1,J)+SOR)*DEN 55 CONTINUE PSI1=F(I,1) PSIN=F(I,JN) CALL TDMA(2,JNM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 56 J=2,JNM LP=NTAG(I,J) 56 F(I,J)=PSI(J)*(1‐LP)+LP*F(I,J) 54 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE SOLP IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION SA(MXGR),SB(MXGR),SS(MXGR),PSI(MXGR) DO 100 L=1,NSWEEP(1) C*** J‐DIRECTION SWEEP DO 51 J=2,JNM DO 52 I=2,INM SOR=SU(I,J) DEN=1.0/(AP1(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RP(1))*PP(I,J)/DEN SA(I)=AE(I,J)*DEN SB(I)=AW(I,J)*DEN SS(I)=(AS(I,J)*PP(I,J‐1)+AN(I,J)*PP(I,J+1)+SOR)*DEN 52 CONTINUE PSI1=PP(1,J) PSIN=PP(IN,J) CALL TDMA(2,INM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 53 I=2,INM LP=NTAG(I,J) 53 PP(I,J)=PSI(I)*(1‐LP)+LP*PP(I,J)

Annexe Page | 147

51 CONTINUE C*** I‐DIRECTION SWEEP DO 54 I=2,INM DO 55 J=2,JNM SOR=SU(I,J) DEN=1.D0/(AP1(I,J)+SMALL) SOR=SOR+(1.‐RP(1))/DEN*PP(I,J) SA(J)=AN(I,J)*DEN SB(J)=AS(I,J)*DEN SS(J)=(AW(I,J)*PP(I‐1,J)+AE(I,J)*PP(I+1,J)+SOR)*DEN 55 CONTINUE PSI1=PP(I,1) PSIN=PP(I,JN) CALL TDMA(2,JNM,PSI1,PSIN,SA,SB,SS,PSI) DO 56 J=2,JNM LP=NTAG(I,J) 56 PP(I,J)=PSI(J)*(1‐LP)+LP*PP(I,J) 54 CONTINUE 100 CONTINUE RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE EQN IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' OPEN(25,FILE='CONVERGENCE.DAT') WRITE(25,*)'TITLE = GHIA' WRITE(25,*)'VARIABLES = ITER Ru Rv Rm Rt ' MWRITE=NITER+MFREQ IF(NITER.EQ.0)NITER=1 NADD=MXIT 5555 NBEGIN=NITER MXIT=NITER+NADD DO 2000 NTIME=1,MXSTEP TTIME=STIME+NTIME*DELT DO 1000 NITER=NBEGIN,MXIT C **** U‐VELOCITY IF(SLVE(2))THEN CALL PROPS(2) CALL COEF(2) CALL SORCE(2) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(2) CALL BOUND(2)

Annexe Page | 148

IF(BSOR(2))CALL ADSORB(2) CALL APCOF(2) CALL SOLVE(U,RP(2),RSU) RSDU(2)=RSU/(RNORM(2)+SMALL) ENDIF C **** V‐VELOCITY IF(SLVE(3))THEN CALL PROPS(3) CALL COEF(3) CALL SORCE(3) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(3) CALL BOUND(3) IF(BSOR(3))CALL ADSORB(3) CALL APCOF(3) CALL SOLVE(V,RP(3),RSU) RSDU(3)=RSU/(RNORM(3)+SMALL) ENDIF C **** PRESSURE CORRECION IF(SLVE(1))THEN CALL PROPS(1) CALL MASBAL CALL COEF(1) CALL SORCE(1) IF(BSOR(1))CALL ADSORB(1) CALL APCOF(1) CALL SOLP CALL PVCOR ENDIF C **** TEMPERATURE IF(SLVE(4))THEN CALL PROPS(4) CALL COEF(4) CALL SORCE(4) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(4) CALL BOUND(4) IF(BSOR(4))CALL ADSORB(4) CALL APCOF(4) CALL SOLVE(T,RP(4),RSU) RSDU(4)=RSU/(RNORM(4)+SMALL) ENDIF C*******SCALER IF(SLVE(5))THEN CALL PROPS(5)

Annexe Page | 149

CALL COEF(5) CALL SORCE(5) IF(UNSTDY.OR.FTRAN)CALL UNST(5) CALL BOUND(5) IF(BSOR(5))CALL ADSORB(5) CALL APCOF(5) CALL SOLVE(T,RP(5),RSU) RSDU(5)=RSU/(RNORM(5)+SMALL) ENDIF C **** CHECK MAX RESIDUALS RSTOP=DMAX1(RSDU(1),RSDU(2),RSDU(3),RSDU(4)) C STORE RESIDUALS FOR PLOTTING WRITE(25,*)NITER,RSDU(2),RSDU(3),RSDU(1),RSDU(4) RESIU(NITER)=RSDU(2) RESIV(NITER)=RSDU(3) RESIM(NITER)=RSDU(1) RESIT(NITER)=RSDU(4) IF(STEADY)WRITE(*,1919)NITER,(FDIF(N),N=1,3) IF(STEADY)WRITE(*,1919)NITER,(RSDU(N),N=1,5) 1919 FORMAT(1X,I6,7(E10.3)) IF(RSTOP.LT.CC) GO TO 1100 C INTERMEDIATE WRITE‐OUT IF(MWRITE.EQ.NITER)THEN MWRITE=NITER+MFREQ ENDIF 1000 CONTINUE 1100 IF(STEADY)RETURN PRINT*,NTIME,NITER IF((NITER.EQ.1).AND.(NITER0.EQ.1))RETURN NITER0=NITER CALL UPDATE 2000 CONTINUE CLOSE(25) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE TDMA(IB,IL,Y1,YN,BA,BB,BS,YY) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* DIMENSION BA(MXGR),BB(MXGR),BS(MXGR),YY(MXGR),A(MXGR),B(MXGR) A(IB)=BA(IB) B(IB)=BB(IB)*Y1+BS(IB)

Annexe Page | 150

DO 1 I=IB+1,IL TERM=1.0‐BB(I)*A(I‐1) A(I)=BA(I)/(TERM +SMALL) 1 B(I)=(BB(I)*B(I‐1)+BS(I))/(TERM+SMALL) YY(IL)=B(IL)+A(IL)*YN DO 2 I=IL‐1,IB,‐1 2 YY(I)=A(I)*YY(I+1)+B(I) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE OPT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* OPEN(12,FILE='NSOUT',FORM='UNFORMATTED') WRITE(12)NITER,TTIME DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN WRITE(12)P(I,J),U(I,J),V(I,J),T(I,J) 1 CONTINUE CLOSE(12) RETURN END C ******************************************* SUBROUTINE IPT IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' C ******************************************* OPEN(13,FILE='NSOUT',FORM='UNFORMATTED') READ(13)NITER,STIME DO 1 J=1,JN DO 1 I=1,IN READ(13)P(I,J),U(I,J),V(I,J),T(I,J) 1 CONTINUE CLOSE(13) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTW(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II

Annexe Page | 151

J=JJ LW=NTAGW(I,J)/10 TW=((X(I)‐XC(I))*F(I‐1,J)+(XC(I)‐X(I‐1))*F(I,J))/DXMI(I) FINTW=TW*(1‐LW)+LW*F(I‐1,J) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTE(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LE=NTAGE(I,J)/20 TE=((X(I+1)‐XC(I+1))*F(I,J)+(XC(I+1)‐X(I))*F(I+1,J))/DXMI(I+1) FINTE=TE*(1‐LE)+LE*F(I+1,J) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTS(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LS=NTAGS(I,J)/30 TSS=((Y(J)‐YC(J))*F(I,J‐1)+(YC(J)‐Y(J‐1))*F(I,J))/DYMI(J) FINTS=TSS*(1‐LS)+LS*F(I,J‐1) RETURN END C ******************************************* FUNCTION FINTN(F,II,JJ) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A‐H,O‐Z) INCLUDE 'COMON.FOR' DIMENSION F(IT,JT) I=II J=JJ LN=NTAGN(I,J)/40 TN=((Y(J+1)‐YC(J+1))*F(I,J)+(YC(J+1)‐Y(J))*F(I,J+1))/DYMI(J+1) FINTN=TN*(1‐LN)+LN*F(I,J+1) RETURN END

Documents

MAGISTERE EN SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS DES …