Ecoulements en conduites - HECE · Ecoulement de Poiseuille . u Loi de Bernoulli – Intégration sur un tube de courant ( ) ( ) ... Considérons l’écoulement permanent en charge

ArGEnCo – MS²F - Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

Ecoulements en conduites Aspects pratiques

Cours de « Compléments d’Hydraulique »

3ème Bac Architectes & Constructions


Rappels Mécanique des Fluides 2ème BAC


• Principe de « continuité » ou « conservation de la masse »

« Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme »

« … car rien ne se crée, ni dans les opérations de l'art, ni dans celles de la nature, et l'on peut poser en principe

que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l'opération ; que la qualité et la quantité des principes est la même, et qu'il n'y a que des changements, des modifications »

LAVOISIER, Traité élémentaire de chimie (1789), p. 101

Principes fondamentaux

( ) ( ) ( )

0V V figé

u v wdm d dV dVdt dt t x y z

∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ∂ρρ∂ ∂ ∂ ∂

= = + + + =

∫∫∫ ∫∫∫


• Principe de « conservation de la quantité de mouvement »

« Quantité de mouvement = masse . vitesse »

« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état »

NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)



• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen) pour un volume particulaire

« Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m »

NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)


ii

dvF ma mdt

= =∑


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen) pour un volume particulaire

Deuxième principe fondamental

V V A

d UdV FdV TdAdt

ρ ρ= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

forces de volume

Tenseur des forces de surface

F

T


Equations différentielles de base

( )

( ) ( )

0

ijii i

i j

div ut

u pdiv u u Ft x x

ρ ρ

τρρ ρ

∂ + = ∂ ∂∂ ∂ + = − +

∂ ∂ ∂


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Sommation des contraintes visqueuses

0

ij ji

j j j i

j ji ii

j j j i j j i j

par continuité

uux x x x

u uu uu

x x x x x x x x

τµ

µ µ µ

=

∂ ∂∂∂= + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = + = + = ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

• Généralisation aux trois équations de conservation de la quantité de mouvement de la somme des contraintes pour un fluide newtonien incompressible


• Vision « indicielle »

• Vision « vectorielle »

Equations de Navier-Stokes en incompressible

( )

0

0

1

k

k

i ki i i kk i i i

k k k i

ux

u uu u u u pu u F ut x t x x x

νρ

∂ = ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + + = − + ∆∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )0

1

U

U UUU U U F p Ut t

νρ

∇ =∂ ∂

+ ∇ = + ∇ = − ∇ + ∆ ∂ ∂

( ) ( )1 2 3, ,T

iu u u u u= =

( ) ( )1 2 3, ,T

iF F F F F= =

, ,T

ix y y x ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2

22 2 2 2

ix y y x ∂ ∂ ∂ ∂

∆ = ∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂


Développements…

NS: Simplification de l’expression de la quantité de mouvement

1i ij i i

j i

u u pu F ut x x

νρ

∂ ∂ ∂+ = − + ∆

∂ ∂ ∂

( ) 1i ii i j i i i i i

j i i

u u G pdx dx u dx dx dx u dxt x x x

νρ

∂ ∂ ∂ ∂→ + = − − + ∆

∂ ∂ ∂ ∂

F G= −∇

( )2

12

ji ii j i j i i i

j i

d U uu udG dp dx u dx u dx u dx

t x xν

ρ∂∂ ∂

− − − = + − − ∆∂ ∂ ∂

2

( )2

ji ii j i i i

j i

U uu upd G dx u dx u dxt x x

νρ

∂∂ ∂ − + + = + − − ∆ ∂ ∂ ∂

( )2 2

2 2 2j j j

i i j ii i i

d U U u u udx dx u dx

x x x

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂



2

32 1 11 2 1 3

1 2 1 3

31 2 22 1 2 3

2 1 2 3

3 31 23 1 3 3

3 1 3 2

( )2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ji ii j i i i

j i

ii

i

U uu upd G dx u dx u dxt x x

u uu u udx u dx u dxt x x x x

uu u uu dx u dxx x x x

u uu uu dx u dxx x x x

u

νρ

ν

∂∂ ∂ − + + == + − − ∆ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂= + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂+ − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − + −

∂ ∂ ∂ ∂

− ∆

idx



( )

( )

( )

2

2 11 2 2 1

1 2

3 11 3 3 1

1 3

3 22 3 3 2

2 3

( )2

( )

( )

ii

i i

U u u upd G dx u dx u dxt x x

u uu dx u dxx xu uu dx u dxx x

u dx

ρ

ν

∂ ∂ ∂ − + + = + − − ∂ ∂ ∂

∂ ∂

+ − −∂ ∂

∂ ∂+ − −

∂ ∂

− ∆

( ) ( ) ( )

2

2

UP u v wd G dx dy dzt t t

u v u w v wvdx udy wdx udz wdy vdzy x z x z yu dx v dy w dz

ρ

ν ν ν

∂ ∂ ∂ − + + = + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − + − − + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− ∆ − ∆ − ∆



sduu v wdx dy dzt t t dt

∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) 0vdx udy wdx udz wdy vdz− = − = − =

( )2

2s

i i

U duPd G u dxdt

νρ

→ − + + = − ∆

dx dy dzu v w

= =

Dans le cas d’un alignement du volume selon les axes…


Loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant

L’intégration de la relation précédente entre deux points A et B le long d’une ligne de courant s’écrit :

2 2

2 2B A

B

iA

U Up pG G

Uu ds

t

ρ ρ

ν

+ + − + +

∂ = − + ∆

∂ ∫

s : Coordonnée curviligne le long de la ligne de courant


Loi de Bernoulli – Interprétation graphique

Plan de référence h

h

h

pgρ2

2

U

g

2

2

U

g

2

2

U

g

pgρ

pgρ


Loi de Bernoulli – Interprétation termes

2 2

2 2

B

iA

B A

U U Up pgz gz u dst

νρ ρ

∂ + + − + + = − + ∆ ∂

∫

Énergie cinétique : Énergie stockée sous forme de mouvement dans le fluide Énergie potentielle : Énergie stockée par l’intermédiaire d’une force conservative (ici la gravité) Énergie de pression : Énergie stockée sous forme de pression Pertes… Inertie…


http

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ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

• L’équation de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie le long d’une ligne de courant

• Dans le cas d’un écoulement confiné, comment se généralise cette relation en tenant compte des variables moyennées de l’écoulement ?

Objectif


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Si le champ de force est conservateur :

Par une multiplication scalaire de l’équation de quantité de mouvement par

Rappel : loi de Bernoulli

2

0

2

U

U

U pG U Ut

νρ

=

∇ =∂

+ ∇ + + × Ω + ∆ ∂

U

2

Fonction de Helmholtz=

2

0

U

U

p UU G U Ut

νρ

∇ = ∂ ∇ + + ∆ − ∂

=

H


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Si le champ de force est conservateur

Intégrons sur une section quelconque :

Par Leibniz :

Loi de Bernoulli – intégration sur une section fermée

Position instantanée de la frontière

Surface instantanée de la section

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 par continuité

U U U U U Uν

=

∇ ∇ − ∇ = ∇ = ∆=

H H H H

( ) ( )A A

U dA U U dAν∇ = ∆∫ ∫

H

( ) ( ) ( )t

t CA A

U dA U dA U A ∇ = ∇ − ∇ ∫ ∫

H H H


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Bernoulli intégré:

Loi de Bernoulli intégrée

( ) ( ) ( )0 en indéformable

tt C

A A

U dA U A U U dAν

=

∇ − ∇ = ∆ ∫ ∫

H H

2

2p U

U U Gρ

= + +

H

22

2 2A

Ap pU G GU

dA UU

ρ ρ

+ + + +

≠∫


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Il faut introduire des coefficients d’inégale répartition sur la section :

Quelle sont les valeurs de ces coefficients?


22

2 2A

Ap pU G d UU

GU

A α β γρ ρ

+ + + +

=

∫

3

3

1 si pression hydrostatique1

1

A

A

U dAA

U dAA

α β

γ

= =

=

∫

∫


Ecoulement de Poiseuille

Loi de Bernoulli – Intégration sur un tube de courant

( ) ( ) ( )2 20

14

d p ghu r r r

dxρ

µ+

= −

( )20

8d p ghr

udx

ρµ

+= −

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0 03 332 2 2 2

0 02 3 20 00 0

3 32 20 0

1 1 124 32

8 8

r rd p gh d p gh

r r rdr r r rdrdx dxr r

d p gh d p ghr rdx dx

ρ ρπ

µπ µγ

ρ ρµ µ

+ + − −

= =

+ +− −

∫ ∫

( )

( )

3 80

3 20

320

1832

2

8

d p gh rdxr

d p ghrdx

ρµ

γρ

µ

+ − = =

+−

U

Um

U’


Ecoulement turbulent, idéalisation du profil universel


U

Um

U’ ( ) ( )

1

00

0

0 est la vitesse de référence au centre

nr ru r U

r

U

−=

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

0 0

0 0

3 31 1

0 0 202 2 320 00 00 0

3 3 31 1 2

0 0 202 2

0 00 00 0

1 22 21 3 23 3 2

421 22 1 3 2

r rn n

r rn n

r r r rU rdr rdr nr rr r n nn n

nnr r r rU rdr rdr n nr rr r

ππ

γ

ππ

− − + ++ + = = = =

− − + +

∫ ∫

∫ ∫( )( )4 3 3 2n n+ +

Re n γ 4.E+03 6 1.07677612 1.E+05 7 1.058382537 2.E+06 10 1.030634699


http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

Il faut également caractériser l’ensemble des pertes sur la section :

L’idéal est de pouvoir relier ce terme aux grandeurs moyennes caractéristiques de l’écoulement


( )1

A

s UA

dAν∆∫

( )2

12

A

pG s UA

AU

ddd

sα β γ ν

ρ

=

+

+

∆∫


• 2. Pertes – Analyse dimensionnelle Considérons l’écoulement permanent en charge dans une

conduite circulaire

Déterminer la perte de charge entre les extrémités?

Grandeurs à prendre en compte physiquement : – P : pression

– L : longueur de la conduite

– D : diamètre de la conduite

– k : dimension des aspérités

– U : vitesse du fluide

– ρ : masse volumique du fluide

– ν : viscosité cinématique du fluide



http

://w

ww

.hac

h.ul

g.ac

.be

• Selon le théorème Π , il existe une relation entre :

• Autrement dit, en régime établi (vitesse indépendante de x) :

• Tout comme dans le cas de Poiseuille entre deux plaques, la perte en long sera logiquement linéairement proportionnelle à L

Où est appelé coefficient de perte de charge en long

et noté habituellement f

Procédure en pratique

Π1=p/(ρU²)

Π2=L/D

Π3= ε /D

Π4=ν/UD

( ) 2 22 3 4

1, , , ,Re

Lp j U j UD D

ερ ρ = Π Π Π =

21, ,Re

Lp j UD D

ε ρ =

1,Re

jDε


Perte de charge ≡ perte d’énergie le long du filet fluide en

écoulement

Deux types principaux : – les pertes continues (dites pertes en long) qui sont dues au

• frottement des filets fluides entre eux ou contre les parois • chocs entre particules échangées entre filets voisins

– les pertes locales provoquées par des particularités du parcours • changements (brusques ou progressifs) de section

• changements de direction (coudes, courbes)

Formulation macroscopique générale :


2

2UPerte k

g=

Coefficient de perte de charge


• Diagramme de Moody



• Quelques lois singulières… – Elargissement brusque

– Sortie de réservoir

– Coudes

– Bifurcation

– Grillage

– …

=> Memento des pertes de charges (I.E. Idel’cik)



• Quelques lois singulières…













Bernoulli Le long d’un tube de courant…

22 2

22 2

B

AB A

Up pG G dst

U Uk

g

Uα β γ α β γ ζ

ρ ρ

∂ + + − + + = − ∂ ∫


22 2

22 2

B

AB A

Up pG G dst

U Uk

g

Uα β γ α β γ ζ

ρ ρ

∂ + + − + + = − ∂ ∫


Gestion dans le temps…

1 1B B B

t t t t

A A A

dU U U UU

s ds dst t t

ζ ζ + + − −∂ ≈ ≈ ∂ ∆ ∆

∫ ∫ ∫

Evaluation « correspondante » des autres termes… Pertes évaluées en t (en fonction de Ut) (schéma explicite) Pertes évaluées en t+1 (en fonction de Ut+1) (schéma implicite) Pertes évaluées en t+½ (en fonction de Ut+½) …


Ecoulements en réseaux (maillés & ramifiés) Description, méthodes de calcul, …


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Distribution des eaux

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Capteurs solaires

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Centrales nucléaires

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Protection incendie

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Arrosage

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Plomberie, sanitaires

Introduction


• Il existe une multitude de types de réseaux… – Techniques de poussage (Guillemins, Millau,…)

Introduction


Organes constitutifs d’un réseau

Ballon pressurisé



Cheminée d’équilibre



Remplissage initial

Accumulation à pression atmosphérique

Accumulation sous pression

Le Ballon ARAA



Déstockage sous pression

Déstockage à pression atmosphérique

Oscillations

Le Ballon ARAA



Branchements


• On distingue d'après leur fonction et d'après leur diamètre: – une ou plusieurs conduites maîtresses (1),

– des conduites de transit (2),

– des conduites d'alimentation (3).

Les différents types de réseaux de distribution


• Réseau ramifié Ecoulement dans un seul sens

Design « basique »

• Réseau maillé Ecoulement assuré dans les deux sens

Sécurité…

• Réseau étagé Refoulement

d’étage en étage

Les différents types de réseaux de distribution


• Vocabulaire

– Nœud

Point de rencontre de plusieurs conduites

=> (A, B, D, C)

– Tronçon

Portion de conduite comprise entre deux nœuds successifs

=> ([AB], [BC], [BD])

Dimensionnement - Généralités

A B

C

D


• Convention de notations – D = diamètre (m),

– J = perte de charge par unité de longueur de la conduite (m),

– Q = débit (m³s),

– U = vitesse moyenne dans une section déterminée (m/s),

– H = cote du plan de charge exprimant la pression en un point donné (m).

Dimensionnement - Généralités


• Inconnues – 1 débit par tronçon

– 1 hauteur de charge par nœud

Résolution des réseaux

A B

C

D

QAB

QBC

QBD

HA

HB

HD

HC


• Equations de l’écoulement Equations de bases de l’hydraulique pour un

mouvement permanent, sous pression et continu

– Conservation de la masse => Continuité aux nœuds


in outa aQ Q=∑ ∑

1 équation par nœud!!!

A B

C

D

QAB

QBC

QBD

HA

HB

HD

HC AB BC BDQ Q Q= +


• Equations de l’écoulement Equations de bases de l’hydraulique pour un

mouvement permanent, sous pression et continu

– Conservation de l’énergie, en hypothèse de mvt continu=> Bernoulli

– Quid autres infos (Qté de mvt) ?


2

2

2

2

amont amontamont

aval avalaval

p vzg g

p vz pertesg g

ρ

ρ

+ +

= + + +

1 équation par tronçon!!!

A B

C

D

QAB

QBC

QBD

HA

HB

HD

HC

2

2AB

A B ABUH H k

g= +


• Inconnues vs équations… – n nœuds

• n hauteurs de charge

• n équations de continuité

– n-1 tronçons • n-1 débits

• n-1 équations de conservation de l’énergie


2n-1 équations à 2n-1 inconnues => système fermé!!!! => système non linéaire (résolution itérative…)

Conditions limites de type débits ou hauteurs de charge au nœuds


• Différents types de problématiques… – Trouver/optimiser la répartition des débits

– Dimensionner les conduites (diamètre, matériau, épaisseur,…)

– Choisir une géométrie de réseau

– …



• Résolution directe impossible, sens d’écoulement pas connu a priori!!

→ Résolution par approximations successives!!!

Méthode de Cross

Calcul itératif des réseaux maillés

BUT: obtenir l'équilibre des charges piézométriques et des débits aux points de raccordement de réseaux élémentaires Méthode des points neutres


• Etapes du calcul itératif d’un réseau maillé – Représentation du réseau schématique (nœuds,

tronçons)

– Choix de mailles au sein du réseau

– Hypothèse sur le sens de l’écoulement au sein de ces mailles

– Calcul de la répartition des débits Principe: « Perte de charge identique peu importe le

trajet »

• Choix d’une répartition arbitraire (mais vérifiant la continuité aux nœuds) de débits

• Correction de ces débits basée sur le principe énoncé



• Correction des débits – Basée sur la méthode de Newton-Raphson

Soit f(x), x0 arbitraire

• Fonction à annuler : somme des pertes de charge sur la

maille

• Variables : Qi, sur chaque bras

=> « trouver une répartition des débits qui annule la somme des pertes de charge sur la maille »


( ) ( ) ( ) ( )0 0 0'f x f x x x f x= + −

( ) ( )i

i i

x Q

f x h Q

→ → ∆ ∑


• Correction des débits – Basée sur la méthode de Newton-Raphson

Soit f(x), x0 arbitraire

Par développement en série sur chaque terme des pertes :


( ) ( ) ( ) ( )0 0 0'f x f x x x f x= + −

( ) ( ) ( ) ( )

i i n

ii i exact i i n i exact i n

Q Q

h Qh Q h Q Q Q

Q=

∂∆∆ = ∆ + −

∂∑ ∑ ∑

( )

( )car même correction pour tous les tronçons

0i i n

ii i n

Q Q

h Qh Q dQ

Q=

∂∆= ∆ +

∂∑ ∑

( )( )

i i n

i i n

i

Q Q

h QdQ

h QQ

=

∆= −

∂∆∂

∑∑


• Correction des débits Somme des pertes de charge sur une maille, en

prenant compte du sens d’écoulement!!!

→ Pertes en long :


21 1 1h Qξ∆ =

22 2 2h Qξ∆ =

23 3 3h Qξ∆ =

22

2i

i i i iU

h k Qg

ξ∆ = =

2 2

2 2 21 1 2 2 3 3

i i i i ii i i

h k Q Q

Q Q Q

ξ

ξ ξ ξ

∆ = =

= + −

∑ ∑ ∑

( )!!!!i i i i i ii i

h Q Q h Qξ∆ = = ∆∑ ∑ ∑


• Correction des débits

• A appliquer sur la maille la plus déséquilibrée !


( )( )1 'n

h QdQ

h Q+∆

= −∆

( ) i i ii

h Q Q Qξ∆ = ∑

( )' 2 i ii

h Q Qξ∆ = ∑

1 2

i i ii

ni i

i

Q QdQ

Q

ξ

ξ+ = −∑∑

→ 0!!

→ Convergence des débits!!!

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