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ECRICOME Eco 2011

EXERCICE 1

On dit quune matrice A carre dordre n est une matrice nilpotente sil existe un entier naturel knon nul tel que

Ak1

6= 0n et Ak

= 0n

o0n reprsente la matrice carre nulle dordre n.Soit Aune matrice carre dordre n, on dit que le couple (; N)est une dcomposition de DunforddeA lorsque : 80' (0) = 1

ainsi que la fonction numrique fdes variables relles xet y dnie par :8 (x; y) 2 ]0; +1[ ]0; +1[ ; f(x; y) =xy + ln (x) l n (y)

PARTIE I. Etude des zros de '.

1. Dterminer la limite de ' (x)lorsque .xtend vers+1, ainsi que : la limite de ' (x)x

lorsque x

tend vers+1. Interprter graphiquement cette limite.2. Prouver que' est continue sur R+:

3. Justier la drivabilit de', sur R+ et calculer sa fonction drive.

4. Montrer que ' est drivable en 0. Donner lallure de la reprsentation graphique de ' auvoisinage du point dabscisse 0.

5. Dresser le tableau de variations de'

6. On rappelle que ln(2)' 0; 7. Montrer lexistence dun unique rel tel que : ' () = 0 etjustier que :

p2< >>>>>>>>>>:

@2f

@x2(x; y) =

yx

21 '

1

y

@2f

@y@x

(x; y) = 1 + 1

xy@2f

@y2(x; y) =

x

y

21 '

1

x

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4. La fonction f prsente-t-elle un extremum local sur ]0; +1[ ]0; +1[ ? Si oui, en donner lanature (maximum ou minimum)

EXERCICE 3

PARTIE I. Un jeu en ligne.La socit Lehazard met la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page dcranache une grille trois lignes et trois colonnes.Aprs une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction alatoire place au hasard successivementtrois jetons (F) dans trois cases direntes. La partie est gagne si les trois jetons sont aligns. Legagnant empoche10 fois sa mise, ce qui lui rapporte 18 euros lissue du jeu. Dans le cas contrairela mise initiale est perdue par le joueur.

A B C

1 F

2 F3 F

On dnit les vnements H; V; D; Npar : H: les trois jetons sont aligns horizontalement . V: les trois jetons sont aligns verticalement . D : les trois jetons sont aligns en diagonale . N: les trois jetons ne sont pas aligns .

1. Justier quil y a84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.

2. Dterminer les probabilitsP (H) ; P (V) ; P (D)des vnements H;:V; :D.

3. En dduire que la probabilit de lvnement Nest gale :

P (N) =19

21' 0:9048

4. La socit peut sattendre 10 000 relances par jour de ce jeu.

a) Pour chaque entier natureli non nul. on note Zi le gain de la socit la ieme relance.

Calculer lesprance mathmatique E(Zi) deZi .

b) Quel gain journalierZla socit peut-elle esprer?

PARTIE II. Cas de joueurs invtrs.

1. Un Joueur dcide de ,jouer100 parties conscutives que lon suppose indpendantes.

a) Donner la loi de la variable alatoireXgale au nombre de parties gagnes.

b) Indiquer lesprance et la variance deX.

c) Exprimer la perteTdu joueur en fonction de X.

2. Quel nombre minimumn de parties devrait-il jouer pour que la probabilit de gagner au moins

une partie soit suprieure ou gale 50% ? (On admettra que ln

19

21

' 0; 1 et ln (2) ' 0; 7

)3. Un autre joueur dcide de jouer et de miser tant quune partie nest pas gagne . On note Y la

variable alatoire gale au nombre de parties joues pour gagner la premire fois.


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a) Donner la loi de la variable alatoireY .

b) Indiquer lesprance et la variance deY.

c) Pour tout entier naturel k; montrer que la probabilit pk. que le joueur .joue au plus kparties avant de gagner pour la premire fois, est donne par la formule :

pk= 1 19

21k

PARTIE III. Contrle de la qualit du jeu.

On constate que, parfois, la fonction alatoire est drgle. Dans ce cas, elle place le premier jetondans la case (A; 1) , les deux autres tant placs au hasard dans les cases restantes. On note lvnement la fonction alatoire est drgle et on pose P() =x avec x 2 ]0; 1[.

1. Calculer les probabilits conditionnelles P(H) ; P(V) ; P(D) des vnements H; V, Dsachant lvnement:

2. Utiliser la formule des probabilits totales avec le systme complet dvnement

;

pouren dduire que la probabilit les jetons ne soient pas aligns est gal :

P (N) = x84

+19

21

3. Soit G la variable alatoire gale au gain ralis par la socit de jeu lors dune partie joue.Dterminer la valeur maximale dexpour que lesprance de gain soit positive.

4. On joue une partie. On constate que les jetons sont aligns. Quelle est la probabilit, en fonctiondex;que la fonction alatoire ait t drgle ?


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