Electromagnet i Que 3

1

Electromagntique 3 :

Induction - Diples - Energie

1. RAPPELS D'ELECTROSTATIQUE 3

1.1. loi de Coulomb Champ lectrique 3

1.2. Proprits du champ lectrique E 5

2. RAPPELS DE MAGNETOSTATIQUE 6

2.1. Le courant lectrique 6

2.2. Force magntique et Champ magntique 9

2.3. Proprits du champ magntique : 10

2.4. Potentiel vecteur du champ magntique 11

3. L'INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE 13

3.1. Prambule 13

3.2. Dplacement dun conducteur filiforme dans un champ B indpendant du temps 14

3.3. Force lectromotrice d'induction loi de Faraday 16

3.4. Loi de Faraday 17

3.5. Travaux Dirigs Induction 19

3.6. Circuits filiformes Coefficients d'induction 20

3.7. Travaux dirigs Coefficients d'induction 22

3.8. Rappel dlectrocintique - circuit contenant une bobine 23

3.9. Applications 24

3.10. Circuit non-filiforme : Courants de Foucault 26

4. TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE 27

5. ENERGIE MAGNETIQUE 28

5.1. Circuits filiformes 28

5.2. Association de circuits filiformes 30

Chap I : Equations locales du champ 2003

DEUG SM2 U.P.F. Tahiti 2

5.3. Circuits non filiformes 31

5.4. Travaux Dirigs 33

6. DIPOLE ELECTROSTATIQUE 35

6.1. Systmes de charges ponctuelles 35

6.2. Le diple lectrostatique moment dilectrique 35

6.3. Action dun champ sur un diple 36

6.4. Travaux dirigs 37

7. DIPOLE MAGNETIQUE 38

7.1. Moment magntique 38

7.2. Potentiel vecteur cr grande distance par une spire 39

7.3. Champ magntique cr par une spire circulaire 41

7.4. Lignes de champ du diple 42

7.5. Actions mcaniques subies par un diple 43

7.6. Exemple 44

7.7. Analogie moment lectrique / magntique : diple magntique 44

7.8. Travaux dirigs 44



1. Rappels d'lectrostatique

1.1. loi de Coulomb Champ lectrique

Loi de Coulomb

121 2

12 21

0

.1 .

.4

uq q

F Frpi

= =

0 = 91

36 10pi = 8,854 . 10

-12 S.I. ou

0

1

4pi = 8,9875.10

9 S.I. 9.10

9

Principe de superposition : Dune manire plus gnrale : ii

F F=

(Exemples avec 2 charges )

E cr par une charge ponctuelle q1 : 1

2 12 1 2 2 1

0

1. .

4

qE u F q E

rpi = =

Potentiel cr par une charge ponctuelle q1 : 1

2

0

1.

4

qV

rpi=

densit volumique de charges : ( , , )dq

x y zdV

= C/m3

densit surfacique de charges : ( , , )dq

x y zdS

= C/m

densit linique de charges : ( , , )dq

x y zd

= C/m

Et, en vertu du principe de superposition, laction du

volume V sur une charge q quelconque place en P de

coordonne (x, y, z) scrit :

0

( , , ). .

4 ( , , )MP

V

q x y zF dV u

MP x y z

pi

=

ou

0

1 ( , , ). .

4 ( , , )MP

V

x y zE dV u

MP x y z

pi

=

(x, y, z)

M(x, y, z) (V)

q P(x, y, z)

q1 u12

r

F12

q2



Exemples :

disque charg

soit =cste soit 'une charge Q uniformment rpartie"

dS = r.dr.d MP = r+x cos=x/(r+x)1/2

0

. 12

xE

R x

= +

0

0

1

4

R dSV

PM

pi= ( )0

0 0

2 2

R rdrV r x x

r x

= = +

+

on peut retrouver E partir de

E est discontinu au franchissement du disque :

V est TOUJOURS continu au franchissement de

on peut donner une forme non constante

Autre exemple : fil infini charg par

x

02r

V

0

0

x

E

5

1.2. Proprits du champ lectrique E

a) La circulation du champ lectrique d'un point P1 un point P2 est indpendante du chemin choisi :

2

2

.P

PE d cste=

On appelle :

- la fonction potentiel : .V E d= (intgrale indfinie)

(Ce calcul fait intervenir une constante)

- la diffrence de potentiels : 2

22 1. ( ( ) ( ))

P

PV E d V P V P = =

- relation inverse : E gradV=

disque : ( )0

2

V r x x

= +

0

. 12

xE

R x

= +

b) Le flux du champ lectrique E travers une surface ferme S quelconque vaut 1 / 0 fois la charge totale contenue dans le volume V dlimit par la surface S :

Thorme de Gauss :

0

0

arg.

..

tan lim

S

V

S

ch es dans VE dS

dVou E dS

V t le volume d it par S

=

=

Exemples :

- sphre charge en volume

- Disque charg : comparer au calcul prcdent avec R - Fil infini : idem

2003


2. Rappels de magntostatique

2.1. Le courant lectrique

courant lectrique = tt mvt densemble de particules charges

Le dplacement des porteurs de charges se fait dans un milieu 3

dimensions concept de densit de courant

vecteur densit de courant :

on considre : - S, une surface oriente - , la densit de charges par unit de volume - v, la vitesse moyenne des charges

- t un intervalle de temps quelconque

la quantit de charges Q qui traverse S pendant t est quivalente la charge enferme dans le volume

fictif:

V = S.v.t

soit : Q = .V= . (S.v) . t

on dfinit le vecteur densit de courant : .J v=

et donc .Q

J St

=

= le flux de J travers S

REM : - sil y a plusieurs types de charges mobiles : J = i i. vj

(S)

S v

v.t

2003


Courants permanents

Dans le cas gnral, si l'on considre un volume V dlimit par une surface S, on a

:

J dS

tdV

S V. . =

Equation de continuit

Le flux de J reprsente la quantit de charges qui entre ou sort du volume

Rgime permanent ou stationnaire (courant indpendant du temps)

J dS

S. = 0

"en rgime permanent J est flux conservatif"

REMARQUES :

1/ J dS

S. = 0 n'entrane pas v = cste ou = cste !

Exemple : Diode vide

2/ L'intensit I d'un courant dans un conducteur de section S est le flux de J

travers S.

.S

I J dS=

Au 3me

semestre

3/ J dS divJ dV

tdV

S V V. . . = =

divJt

+ =

0 Equation de continuit

2003


Ligne et tube de courant

- une ligne de courant est telle qu'elle est tangente en tout point J

REM : en rg. permanent ces lignes la trajectoire des charges

- un tube de courant est la surface engendre par des lignes de champ

s'appuyant sur un contour ferm.

PROPRIETE : en rg. permanent, l'intensit du courant est la mme travers

tte section d'un tube de courant car J est flux conservatif:

1 2

0

1 2

1 2

. 0

. . . .

. 0

S

S S S S

S

J dS

J dS J dS J dS J dS

J dS I I

I I

=

=

= + +

= + =

=

- un tube lmentaire de courant est un tube s'appuyant sur une surface

lmentaire dS. On a alors :

dI = J.dS

D'un point de vue pratique,

on a vu : source lectrostatique .dV

on verra : source magntostatique J.dV

On sera donc souvent amen considrer la quantit J.dV . Il sera alors

commode de dcomposer l'espace en tubes lmentaires, de sommer le long

d'un tube et d'intgrer sur tous les tubes.

J.dV = J. (dS.d)

J.dV = (J. dS) . d

. .J dV dI d=

S2

J

S1 C2 C1

2003


2.2. Force magntique et Champ magntique

Il y a manifestation de la force magntique chaque fois qu'une charge est en mvt

dans un champ magntique :

Charge en mouvement:

f qv B=

0 .

4

PMM

qv uB

PM

pi

=

Courant filiforme :

C

df Id B f Id B= =

0 .

4

PMM

C

Id uB

PM

pi

=

Exemples de calculs de champs magntiques (prciser les lignes de champ)

au voisinage d'un fil infini : 0

2

IB e

D

pi=

le long de l'axe d'une spire : 30 sin .

2

IB n

R=

le long de l'axe d'un solnode fini: 0 1 2(cos cos ) .2

nIB n = +

le long de l'axe d'un solnode infini: 0 .B nI n=

Dplacement d'un ensemble de charges

On a vu : . .J dV dI d

.V

f J B d=

0 .

4

PMM

V

J uB d

PM

pi

=

Exemple : Roue de Barlow

2003


2.3. Proprits du champ magntique :

Flux du champ magntique :

Le flux lmentaire travers le volume lmentaire dV se dcompose en :

1 20

. . . .B dS B dS B dS B dS

=

= + +

symtrie de rvolution autour du fil

flux travers toute section dS du tube lmentaire est constant

1 2. .B dS B dS=

On peut dcomposer V en autant de tubes lmentaires qu'on le souhaite :

. 0SB dS =

B est flux conservatif

Circulation du champ magntique

0

int.

. .CB d I=

Thorme d'Ampre

Exemples :

fil infini; conducteur cylindrique

Volume V quelconque

courant filiforme infini

tube de champ

1dS2dS

Volume lmentaire dV=dS1 + dS2 + dS

2003


2.4. Potentiel vecteur du champ magntique

Dfinition

Par analogie avec l'lectrostatique on va dfinir un potentiel "magntique".

Compte tenu des proprits de B (lignes fermes-flux conservatif) ce potentiel

est un vecteur :

Expression du potentiel vecteur dans le cas d'un circuit filiforme

0 .4

IdA d

rpi=

0 .4 C

I dA

rpi=

Autre relation entre champ et potentiel

. .S CB dS Ad=

S tant une surface dlimite par le contour C

Exemple :

Soit un fil rectiligne indfini parcouru par un courant dintensit I. En calculant le flux du

champ magntique travers une surface convenable, dterminez le potentiel vecteur du

champ.

2003


RESUME

Electrostatique

magntostatique

source de champ

charges fixes charges en mouvement

action dune source

lmentaire dE

q

ru

=

1

40

.. dB

I d u

r

=

pi0

4.

circulation

conservative

E d ==== 0 non conservative

B d I ==== 0

(Ampre)

flux

non conservatif E dS

q ====

int

0

(Gauss)

conservatif B dS ==== 0

lignes de champ

- non fermes

- peuvent diverger

- fermes

- ne peuvent diverger

potentiel

scalaire

E = - grad V

vecteur

B = rot A

2. Profondeur de pntration d'un plasma. Une

rgion de l'espace, limite par 2 plans parallles la

distance d l'un de l'autre, est peuple de charges q

rparties uniformment raison de n particules par

unit de volume. L'origine est choisie sur la plaque

de gauche et le potentiel nul en x = d/2.

a) Par application du thorme de Gauss trouver le champ lectrique d'abord l'extrieur

des plans, puis l'intrieur.

b) En dduire le potentiel en fonction de x, on posera : V0 = -nqd/80 c) Tracer le champ et le potentiel en fonction de x

Une particule de charge q se dplace le long de l'axe Ox vers les x croissants. Elle pntre dans

l'espace entre les plans avec une vitesse v.

d) quelle doit tre la valeur minimale de cette vitesse pour que la particule ressorte de

l'autre ct.

O

V = 0

x

d

2003


3. L'induction lectromagntique

3.1. Prambule

Expriences de Faraday : montrer que si un courant est capable de

produire un champ magntique la rciproque

est vraie.

Dcouverte empirique : premires manifestations des champs variables

Linduction magntique: traduit les effets de la variation du flux de B

= B dS.

variation de si variation de B variation de S

C1 : circuit inducteur C2 : circuit induit

I 1 : courant inducteur I2 : courant induit dans C2

Linduction magntique: cest la production deffets lectriques par

laction magntique

Linduction magntique : elle est la base de llectrotechnique :

production et utilisation des courants

lectriques.

rhostat

batterie

C1 C2

I

2003


3.2. Dplacement dun conducteur filiforme dans un champ B indpendant du temps

Tige conductrice

La tige conductrice contient des charges libres

... qui sont mises en mouvement (vitesse v) dans un champ magntique (B).

elles sont donc soumises la force magntique : fm = qv ^ B

on choisit d'crire la force fm sous la forme suivante : fm = qEm

On donne le nom de "champ lectromoteur" au champ : Em = v ^ B

Em ne doit pas tre confondu avec le champ de Hall EH

Si v et B sont constants l'quilibre est maintenu entre les 2 forces magntiques et lectriques (effet Hall) :

fm = - fe

z

B

y

v

x

B suivant

Oz

v suivant

Oy

2003


Boucle conductrice

La boucle C1 cre un champ magntique non homogne

... la boucle rectangulaire C2 se dplace dans ce champ magntique

apparition d'un courant dans la boucle C2

Le long des deux brins _|_ au dplacement, il apparat 2 champs lectromoteurs Em

Em1 = v ^ B1 et Em 2 = v ^ B2

J'appelle e la circulation du champ lectromoteur le long de la boucle C2 :

21 2. .( ( ) ( )).m

Ce E d v B x B x a= =

a la dimension d'une diffrence de potentiels et tout se passe comme si un

gnrateur de f.e.m. e tait plac dans C2 :

Si B homogne B(x1) = B(x2) sparation des charges mais pas de courant

I

e

rhostat

batterie

a v

x1 x2 x

v

C1 C2

I

2003


3.3. Force lectromotrice d'induction loi de Faraday

Dfinition :

Dans le cas gnral, on appellera force lectromotrice d'induction la quantit :

.mC

e E d=

Remarque : 0 Em n'est pas un champ lectrostatique Em - grad V

Variation du flux d lors du dplacement lmentaire dy de la spire :

dy = v.dt

position (1) 1

position (2) 2 = 1 + B2 a v.dt - B1 a v.dt

1 2( ). .d

B B a vdt

=

Si on compare cette expression de d/dt et celle de la f.e.m. e on obtient :

d

edt

=

REM : le signe "-" traduit la loi de Lenz :

le courant induit, produit par la f..m. e, a un sens tel quil soppose, par ses

effets, aux causes qui lui ont donn naissance

B1 B2

a

v

v.dt

2003


3.4. Loi de Faraday

Gnralisation tout circuit soumis une variation de flux :

d

edt

= loi de Faraday

la force lectromotrice dinduction = la variation du flux travers le circuit

REMARQUE :

Pour appliquer la loi de Faraday il faut :

a) orienter le circuit (sens positif)

(il est bien sr intressant de choisir n dans le mme sens que B)

b) valuer algbriquement le flux : si B et n de mme sens : > 0 si B et n de sens contraire : < 0

c) valuer le signe de d /dt, puis de e = - d /dt

Si e > 0 I est dans le sens +

Si e < 0 I dans le sens -

Analyse dimensionnelle :

B = E / vitesse [B] = V.T / L (le Tesla) [] = V.T / L x L = V . T (le Weber) [d/dt] = V.T / T = Volts

n

+

n

e>0 I

n

e

2003


Exemples

I augmente sens de I ?

I diminue sens de I ?

'aimant se rapproche

sens de I ?

Solnode ou aimant sont les inducteurs - la bobine est l'induit

2003


3.5. Travaux Dirigs Induction

1. Courant induit dans une bobine tournante. Une bobine plate, circulaire, de rayon r, comportant

N spires, tourne autour dun axe fixe de son plan une vitesse angulaire constante . Elle est place dans un champ magntique B uniforme perpendiculaire laxe de rotation.

a) Calculez le courant induit, R tant la rsistance totale du circuit contenant la bobine.

b) Si le champ magntique est variable, dterminez le pour que le courant induit soit nul tout

instant. Considrez deux cas, a) seul le module varie, b) seule la direction varie.

2. Courant induit dans un circuit carr. Considrez une spire carre de ct a qui se dplace dans

un plan horizontal avec une vitesse v. Dans lespace rgne un champ magntique B permanent,

uniforme et vertical.

1/ Dterminez la f.e.m. induite dans le carr.

2. Le champ magntique est maintenant produit par un fil rectiligne

indfini parcouru par un courant dintensit I et orient de telle manire

quil soit dans le plan du carr. On dplace le carr avec une vitesse de

module v perpendiculairement au fil (la position du cadre est repre par

r). Dterminez la f.e.m. induite dans le carr :

a) en exprimant la variation du flux (loi de Faraday)

b) en exprimant la circulation du champ lectromoteur suivant le

carr.

a

I

r a

2003


3.6. Circuits filiformes Coefficients d'induction

Coefficient d'induction mutuelle de 2 circuits filiformes

2 21 2 1 2 1 2.

S CB dS A d = =

avec : 1

0 1 11

124C

I dA

rpi=

Les 2 intgrations portent sur des variables indpendantes

1 2

0 1 1 21 2

12

.

4 C C

I d d

rpi =

ou encore : 1 2 21 1M I =

avec : 1 2

0 1 221 12

12

.

4 C C

d dM M

rpi= =

M21 est le coefficient d'induction mutuelle des 2 circuits

M21 est une grandeur purement gomtrique

Unit : le Henri (H)

d1

C2

I1 I2

C1

d2

2003


Coefficient d'auto-induction

Un circuit C cre un champ Bproportionnel I

le flux de ce champ travers le circuit qui l'engendre est aussi proportionnel I

.L I =

L = coefficient d'auto-induction / inductance propre / self inductance

L ne dpend que de la gomtrie

L est toujours positif

Matrice inductance

Pour un systme de n circuits, le flux total i travers le circuit Ci est :

1

n n

i i i ij j ij j

j i j

L I M I M I =

= + = avec L = Mjj

1 12 13 11 1

2 21 2 23 2 2

12 2 3

...

...

. .................................

. ................................

. ................................

...

n

n

n nn n n

L M M M I

M L M M I

IM M M L

=

C'est une matrice symtrique

2003


Exemple : Inductance propre dune bobine torique

a) Inductance propre dune bobine forme de N spires enroules sur un tore section

rectangulaire de rayon intrieur a, de rayon extrieur b et de hauteur h.

b) Un fil infini concide avec laxe de symtrie de la bobine. Calculez le coefficient

dinductance mutuelle du fil et de la bobine et vrifiez que M12 = M21 .

3.7. Travaux dirigs Coefficients d'induction 1. Inductances combines. La partie a) de la figure ci-dessous dfinit les deux bobines par leur self,

L1 et L2 et leur position par linductance mutuelle M. Dterminez les f.e.m. de chacune de ces

bobines. Exprimez galement les self-inductances L et L (figures b et c) en fonction de M, L1 et L2

2. Inductance propre dun solnode

On considre un solnode constitu par un cylindre de rayon R et de longueur 2l sur lequel

on a bobin N tours de fil. En confondant le champ magntique dans le plan de chaque spire

avec sa valeur sur laxe, calculez linductance de ce solnode. Examinez le cas l >> R.

Rappel: champ magntique en un point M de l'axe : 0 1 2( ) (cos cos )2

nIB M = +

(cours

EM2).

I1 L1

I2

I

I

(a) (b) (c)

2003


3.8. Rappel dlectrocintique - circuit contenant une bobine

Effet selfique

Maintenant linducteur et linduit sont confondus. On considre :

un circuit C1 ferm auto-inductance L

parcouru par i source de B et = Li si i est variable B variable flux variable source de Em

d dIe L

dt dt

= =

self-inductance (composant) dans un circuit

Dune manire gnrale :

R = Rgn +Rfil +Rbobine

L = Lbobine + Lcircuit

Forces lectromotrices du circuit : e0 = batt. e0 - L di / dt =Ri

e = - L di / dt e0 = Ri + L di / dt

Lorsquon ferme linterrupteur, i varie de 0 Io, tat final : eo = RI0

A t = 0 on considre Ri = 0 di / dt = e0 / L L limite la variation de i et compense par e

Rsolution de lquation du circuit 0 (1 )RLte

i eR

=

L

e0 R

i

i pente e0/L

I0=e0/R

2003


3.9. Applications

Le transformateur

On applique une f.e.m. variable e1 au primaire : e1 - d1dt

= R1.I1

Soit le flux du champ B dans une spire du primaire n1 spires 1 = n1 .

1re approximation :

B reste le mme dans le secondaire 2 = n2 . et dans le secondaire apparat : e2 = -

d2dt

2me approximation: R1 0 e1

d1dt

Application

Le matriau ferromagntique guide les lignes de champ du primaire dans le

secondaire

I1 I2

e1 n1 n2 e2

circuit

primaire circuit

seconda

circuit primaire e1 (n1 spire, R, L)

circuit secondaire e2 (n2 spires)

Principe

2003


Lalternateur

= N.B.S = NBS.cos(t + )

| e | = NBS.sin(t + )

Le mouvement mcanique est produit par des turbines

(centrales thermiques, nuclaires, hydraulique, olienne )

ou par une roue de bicyclette

Le moteur

Le mvt de rotation contacteurs

est utilis

chaque demi tour

I change de sens

la bobine est alimente par une tension continue

S

B

e

e =

forces de Laplace

2003


3.10. Circuit non-filiforme : Courants de Foucault

Masse mtallique soumise aux phnomnes dinduction

courants induits dans la matire

courants de Foucault

Au champ lectromoteur Em (v^B ou -dA/dt), induit dans la masse, correspond

une densit de courant :

mJ E=

Exemple : four induction

2

m

OM B dAA et E

dt

= =

La charge libre en M est mise en mvt cause du champ variable chauffage

Exemple : frein magntique

- Le disque mtallique est en rotation.

- L'aimant produit un champ B dans le volume v + B Em : Em = -vB.i

- il apparat des courant de Foucault : J = - Em.i

- Le volume subit alors la force :

f = J^B = = = = . v

force de freinage

conductivit de la masse mtallique

f

i B

v

B disque

courant

alternatif

O

M B(t)

solnod

e

2003


4. Travail des forces de Laplace

2003


5. Energie magntique

5.1. Circuits filiformes

A. - tablissement du courant dans le circuit :

t = 0 on branche : di

e Ri Ldt

= +

0(1 )RL

t

tI

R

ei e

R

ei

= ==

phase transitoire phase permanente

- bilan de puissance :

le gnrateur lutte contre la rsistance du circuit et la f.e.m. de

linductance

.edi

Ri Lid

it

= +

- nergie dpense durant la phase transitoire :

0 2

00 0

1.

2

IdiW Li dt Li di LI

dt

= = =

2

0

1

2W LI =

L'nergie 2

0

1

2LI est stocke par linductance

Lnergie 2

0 .RI t dissipe par effet Joule est perdue.

puissance ncessaire pour

vaincre les effets dinduction puissance

fournie puissance

dissipe

i

e/R

t

R

L

e

2003


B. - coupure du courant dans le circuit :

t = t1 on teint le gnrateur : 0di

Ri Ldt

= +

solution : 1( )

0.RL t t

te i

ei

R

==

phase transitoire phase permanente

- bilan de puissance :

0 di

Ri Lidt

= +

e = 0 pourtant i 0 et de lnergie est dissipe dans la rsistance

- nergie dissipe durant la phase transitoire :

1

1 1

2

0

2( )

2

01

2

Rt t

L

t tRi dt RI e dtW LI

= = =

L'nergie 2

0

1

2LI est restitue puis perdue par effet Joule : 20RI

Conclusion : un circuit selfique est capable demmagasiner et de restituer

de lnergie en rgime variable. Cette nergie scrit chaque instant :

1

2

W Li=

et est appele nergie magntique du circuit.

R

L

i

e/R

t

t1

2003


5.2. Association de circuits filiformes

cas de 2 circuits

1 21 1 1 1di di

e R i L Mdt dt

= + + 22 2 2 21di di

e R i L Mdt dt

= + +

- nergie fournie linstant t : 1 1 2 20( )

t

fW e i e i dt= +

- nergie perdue linstant t : 2 2

1 1 2 20( )

t

pW R i R i dt= +

- nergie stocke linstant t :

1 2 2 11 1 2 2 1 20[ ( )]t

s

di di di diW L i L i M i i dt

dt dt dt dt= + + +

2 2

1 1 2 2 1 2

1 1.

2 2sW L i L i M i i = + +

ou encore avec les flux : 1 1 2 2 2 1Li Mi et Li Mi = + = +

1 1 2 21( )

2sW i i = +

cas de n circuits

(C1) (C2) ........... (Cn)

i1 i2 ............ in 1

1

2

n

s j j

j

W i=

=

1 2 ........... n

R1 R2

e1 L1 L2 e2

M

i1 i2

flux

travers le

circuit 1

2003


5.3. Circuits non filiformes

dmonstration 1

courant volumique : distribution de courant caractrise en tout point par le

vecteur densit de courant J

sur un tube lmentaire

- nergie stocke par le tube l. : 1

2dW di=

- courant dans le tube l. : .di J ds=

- flux travers le tube l. : . .B d Ad = =

. . .tube

di A d Jds =

1.

2s

cylindre

W A Jd =

W est l'nergie magntique de la distribution de courant

W est l'nergie stocke par la distribution de courant

tube de

courant

B

ds

2003


dmonstration 2

courant volumique distribution de courant caractrise en tout point par le

vecteur densit de courant J

un porteur de charge subit : ( )f q E v B= +

travail de cette force : qv B | v

ne travaille pas

A

qE gradVt

=

puissance fournie par la source par unit de volume aux particules :

. .n f v nqv E J E= =

pour toute la distribution de volume V :

P J E d J gradV d J At

dVVV

= =

. . . . . .

travail effectu pendant dt :

( . . ). . .V V

AdT J dt d J dA d

t

= =

ce travail correspond lnergie stocke :dW = - d

Dans le vide, ou dans les conducteurs, de lnergie peut tre stocke sous forme magntique et cette nergie est donne par :

W J A dV

= 12 . .

nergie magntique

de la distribution de courant

2003


5.4. Travaux Dirigs 1. Flux maximal. Le dispositif ci-contre, constitu de deux

cadres conducteurs carrs orthogonaux de cts a, baigne

dans un champ magntique uniforme et se trouve initialement

dans la disposition indique sur la figure, B // Ox (Ox tant

un axe contenu dans le plan dun des deux cadres).

a) Calculer le flux magntique travers le dispositif dans sa

position initiale.

b) Le dispositif peut tourner autour de son axe vertical . La rotation du double cadre est repre par lcart angulaire que fait laxe Ox avec la direction du magntique B. Exprimer le flux magntique travers le dispositif en fonction de .

c) Dterminer la ou les position(s) dquilibre stable du systme.

2. Glissement dun rail sur deux rails fixes parallles

Considrez le dispositif schmatis ci-contre. La

rsistance interne du gnrateur est gale R. Considrez

les deux cas suivants :

1er cas e = 0

La barre glisse vitesse constante v sans

frottement sur les rails en sloignant du

gnrateur.

a) Exprimez la variation par rapport au temps du flux coup en fonction de B, v et l.

b) Donnez le sens et lexpression du courant induit dans le circuit lorsque lon ferme K.

2me

cas e 0. La barre est immobile et linterrupteur K est ferm. En ngligeant les frottements de la barre,

dterminez les variations de sa vitesse de dplacement.

Montrez quelle tend vers une valeur limite. 3. Dformation d'une bobine. Un solnode de N spires non jointives, de surface S, de longueur au repos 0, parcouru par un courant dintensit I est lentement comprim de faon

ce que sa longueur passe de 0 1. Cette compression engendre une variation de son

inductance propre L .

a) Exprimez l'nergie magntique W emmagasine par ce solnode au repos (longueur 0)

b) exprimez l'nergie supplmentaire emmagasine W en fonction de L, puis en fonction de 0 1 lorsqu'on l'a comprim (longueur 1) si on garde le courant constant

c) Qui fournit cette nergie supplmentaire?

d) e peut s'exprimer en considrant que le gnrateur doit compenser la variation de la force lectromotrice e' due la compression du solnode e'. Exprimez e'.

e) En crivant le bilan d'nergie (fournie et emmagasine) montrez qu'un troisime terme

apparat. A quoi correspond il?

a) Calculez la force (dduite de l'nergie apparue au d)) quil faut exercer pour maintenir le

solnode comprim.

B

e

K

2003


12. Equilibre dans un champ magntique Un circuit dformable sans frottement est constitu par un losange plan

de ct a = 10 mm et articul en A, B, C et D. Il est parcouru par un

courant I = 5.0 A dont le sens est indiqu sur la figure. Le point B tant

fix, le circuit, dont le plan est vertical, est plong dans un champ

magntique uniforme ( 0.1B T=

), orient comme indiqu sur la figure.

Chaque tige du losange pse 0.5g.

a) Dfinir l'nergie potentielle du circuit dans le champ magntique

b) Dfinir l'nergie potentielle totale Ep du systme

c) Dterminer la position d'quilibre du circuit qui correspond un minimum de Ep

(valeur de l'quilibre). On posera =u=sin. 13. Paradoxe. Une spire circulaire de rayon R, d'axe Ox, comportant N tours de fil, parcourue

par un courant I est plonge dans un champ magntique de la forme suivante : 0 (1 )B B ax= +

o B0 et a sont des constantes et ile vecteur unitaire de l'axe Ox. Le centre de la spire est en x.

Calculer la rsultante des forces d'origine magntique agissant sur la spire :

a) en appliquant la loi de Laplace

b) en appliquant le thorme de Maxwell

En utilisant une des 2 proprits du champ magntique dmontrer que a est forcment nul et

que les 2 calculs sont alors quivalents.

B

C

A

I

D

2003


6. Diple lectrostatique

6.1. Systmes de charges ponctuelles

Faire la dmonstration crite au crayon

6.2. Le diple lectrostatique moment dilectrique

- un systme de 2 charges +q et q (q=0)

- a = PN est trs petite devant toute autre distance (P 0)

Ce systme constitue un diple lectrique de moment dipolaire : p = qNP

(en C.m.)

Reprendre la calcul

Potentiel cr par un diple grande distance

Vp

rsoit V

p u

r= =

1

4

1

40 0

pi

pi

.cos

..

avec u = OM/OM

Champ cr grande distance

E = Er er + E e Er = 2

40

3pi

.

cosp

r

et E :

E = -gradV E = 1

40

3pi

.

sinp

r

REMARQUE : V et E sont parfaitement dfinis par p

Exemple : 2 fils parallles uniformment chargs

N P

-q a +q

M

O

p

2003


6.3. Action dun champ sur un diple

Cas dun champ uniforme E0

Bilan des forces : F = qE0 - qE0 = 0 pas de mvt densemble

Bilan des moments : = OP ^ qE0 - ON ^ qE0

= NP ^ qE0 = qNP ^ E0

F = 0 et = p ^ E0

Cas dun champ quelconque

Bilan des forces F = q(E(P) - E(N))

Intressons nous une composante de F, Fx =q(Ex(P) - Ex(N))

Dsignons par : x, y, z : les composantes de 0 milieu de NP

x, y, z : les composantes de NP

coordonnes de P : x + x / 2, y + y / 2, z + z / 2 coordonnes de N : x - x / 2, y - y / 2, z - z / 2

Il vient :

Fx = q(Ex(x + x/2, y + y/2, z + z/2) - Ex(x - x/2, y - y/2, z - z/2))

En se limitant au premier ordre en x, y, z on obtient :

. . .x x xxE E E

F q x y zx y z

= + +

Fx = (p.grad)Ex F = (p.grad).E

REM : p.grad est quivalent un oprateur : . . .x x xx y zE E E

p p px y z

+ +

2003


Bilan des moments :

Dans une bonne approximation on peut conserver la mme expression :

= p ^ E Conclusion :

Dans un champ non uniforme, le diple est soumis :

- un couple qui tend lorienter suivant une ligne de champ

- une force qui tend le dplacer (pas forcment suivant une ligne de

champ)

Exemple :

Action mutuelle de 2 diples. Considrons deux diples permanents dont les

moments p0 et p0 sont ports par le mme axe Ox, et qui sont la distance r

lun de lautre. Les 2 diples sont soit parallles soit antiparallles.

Calculer dans chaque cas la force qui sexerce entre les 2 diples.

6.4. Travaux dirigs

Champ uniforme + diple

Action et raction d'une charge ponctuelle et d'un diple

2003


7. Diple magntique

7.1. Moment magntique

Moment magntique d'une spire circulaire

Spire de rayon R parcourue par I

Surface de la spire : S = piR

Vecteur surface : .S S n=

Le moment magntique de la spire est : M IS=

Moment magntique d'un circuit quelconque

surface quelconque : 1

2S OP d=

moment magntique : 1

.2

OP I d =

Moment magntique d'une distribution volumique de courant

1.

2 VOP J dV=

M

M SIn=

n

R

I

I.d

O P

OP

2003


7.2. Potentiel vecteur cr grande distance par une spire

. . zI S e= M

En coordonnes sphriques :

: ( , , )2

OP R pi

P ds le plan xOy

: ( , , )2

OM r pi

M ds le plan yOz

et r >> R

.I d cre en M un champ dont le potentiel vecteur vaut :

0 .4

I ddA

PMpi=

Dans le repre Oxyz on a :

cos sin .

: sin : cos .

0 0

R R d

OP R d dOP R d

=

et

0 cos

: sin : sin sin

cos cos

R

OM r OM OP r R

r r

2

2 sin sin 1 sin sin

R RPM R r Rr r

r r = + = +

1/ 2

1 1 2 1 11 sin sin 1 sin sin

R R R

PM r r r r r r

= + + +

z

M r

M y

I

x

2003


0 0

sin . .(1 sin sin )

. . cos . .(1 sin sin )4 4

0

RR d

r

I Id RdA R d

PM r

pi pi

+

= = +

avec :

22

0

2

0

1 cos2sin sin

2

2sin cos sin 2 sin cos 0

aa a

b b b b b

pi

pi

pi+

= =

= =

spire

A dA=

0 0 sinsin4 4

: 0

0

IR

r r

A

pi

=

M

En remarquant que :

- A est colinaire ex

- // zr e M

- .sinr r = M

03

.4

rA

rpi=

M ou 0

1.

4

A grad

rpi=

M

2003


7.3. Champ magntique cr par une spire circulaire

B rotA=

avec A dans le repre (r, , )

REM :

- dans Oxyz A(Ax, 0, 0)

- mais dans (r, , ) A : (0, 0, A)

1(sin . )

.sin

( )1 1

sin

1 ( )

r

r

AA

r

rAArotA

r r

rA A

r r

=

0

3

0

3

2 cos

4

sin

4

0

r

B

r

B B

r

B

pi

pi

=

= =

=

.M.

.M.

z er M r e

M y

2003


7.4. Lignes de champ du diple

Le dplacement lmentaire : rdM dr e rd e= +

est colinaire : r rB B e B e = +

r

dr rd

B B

=

avec :

0

3

0

3

2 cos

4

sin

4

0

r

B

r

B B

r

B

pi

pi

=

= =

=

.M.

.M.

sinr k =

et 0

3.

4

rA

rpi

=

M

A est colinaire e lignes de A sont des cercles centrs sur M

2003


7.5. Actions mcaniques subies par un diple

Dans un champ uniforme

Voir TD derrire

Dans un champ non uniforme

( . )F grad B=

M et B = M

2003


7.6. Exemple

Champ magntique cr par une sphre en rotation.

Une sphre de rayon R portant une densit surfacique de charges uniforme tourne autour de son diamtre Oz avec une vitesse angulaire . Calculez le moment magntique de cette sphre.

7.7. Analogie moment lectrique / magntique : diple magntique

Photocopie

7.8. Travaux dirigs

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Electromagnet i Que 3