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Pascal LOOS Chapitre 1 : Les bases de l'électrocinétique Page 1

Chapitre 1 LES BASES DE L'ELECTROCINETIQUE

Notations utilisées dans le cours : Sauf précisions, on utilise les notations conventionnel-les suivantes :

"minuscules" : u, i, p, … : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), …

"MAJUSCULES" : U, I, Umoy, … : grandeurs indépen-dantes du temps.

"Caractères gras" : E, B, F, … : grandeurs vectoriel-

les, en remplacement de ... , , , FBErrr

"Caractères soulignés" : U, I, Z, … : grandeurs com-plexes associées à des grandeurs sinusoïdales.

I. DEFINITIONS .

I.1. Courant I.1.a. Définition.

Un courant électrique est une circulation de porteurs de charges électriques. L'intensité du courant électrique est la grandeur qui quantifie le débit de charge en un point du circuit.

t

qi

d

d= (I-1)

L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensité est une grandeur algébrique (avec un signe). C'est une variable de flux.

I.1.b. Loi des intensités (loi des nœuds). La somme de toutes les intensités des courants entrant dans une portion de circuit est nulle.

I.1.c. A.R.Q.S. : La loi qui précède ne peut être considérée comme exacte que dans le cadre de l'approximation des régi-mes quasi stationnaires (ARQS) : c'est à dire dans les cas où le produit de la dimension du circuit par la fré-quence des intensités considérées est très inférieur à la célérité (vitesse) de la lumière.

Par exemple, pour des fréquences de l'ordre de 1 MHz, la dimension du circuit doit être très inférieure à 300 m.

I.2. Tension ou d.d.p. I.2.a. Définition

C'est une variable d'effort. Pour obtenir une circulation de courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient à un instant donné à des potentiels différents.

C'est une grandeur algébrique. Conventionnellement, on représente la tension BAAB vvu −= entre les points

A et B du circuit par une flèche dirigée vers le point A (la première des deux lettres A et B).

BA

uAB

I.2.b. Loi des tensions (loi des mailles). La somme des tensions effectuée en parcourant une maille est nulle.

BA uAB

CuBCuCA

En effet 0AA =− vv

0

0

CABCAB

ACCBBA

=++⇒

=−+−+−⇒

uuu

vvvvvv

I.3. Dipôle I.3.a. Définition.

Elément d'un circuit électrique comportant deux bor-nes. Il impose une relation entre la tension u à ses bor-nes et l'intensité du courant i qui le traverse.

La fonction f liant u à i : u = f(i) imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette fonction.

I.3.b. Convention de fléchage. - Convention récepteur :

BA

uAB

iAB

Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s'opposant à la circulation du courant.

- Convention générateur :

BA

uAB

iBA

Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation du courant.

Ces deux conventions existent du fait de la répugnance de nos anciens à utiliser les nombres négatifs.


I.3.c. Puissance électrique La puissance instantanée mise en jeu par un dipôle est :

iup ⋅= (I-2)

Cette puissance correspond à la puissance consommée lorsque u et i sont fléchés selon la convention récepteur et à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec la convention générateur.

I.4. Vocabulaire - Conducteur : partie du circuit

- Nœuds : connexion de plusieurs conducteurs

Les définitions suivantes sont extraites du décret du 14 novembre 1988 (88-1056), section I article 2, disponi-ble sur le site http://www.legifrance.gouv.fr

- Circuit : ensemble de conducteurs et de matériels alimentés à partir de la même origine et protégés contre les surintensités par le ou les mêmes dispo-sitifs de protection.

- Masse :) est la suivante" partie conductrice d'un matériel électrique susceptible d'être touchée par une personne, qui pas normalement sous tension mais peut le devenir en cas de défaut d'isolement des parties actives de ce matériel"

- Point froid ou potentiel de référence : potentiel par rapport auquel on va mesurer les diverses tensions du circuit.

- Terre : le décret du 14 novembre 1988 indique :" Masse conductrice de la terre, dont le potentiel électrique en chaque point est considéré comme égal à zéro.

Remarque : fréquemment les GBF qui alimentent les montages ont leur point froid relié à la masse elle-même reliée à la terre, d’où les confusions faites sur ces différents termes.

II. D IPOLES LINEAIRES Ce sont des dipôles pour lesquels la fonction f, telle que u = f(i), est une fonction différentielle à coeffi-cients constants.

Exemples :

t

iBiAu

iAu

Au

d

d⋅+⋅=

⋅==

II.1. Résistances. II.1.a. Equation caractéristique

Pour une résistance on a :

R

ui

iRu ⋅= (I-3)

au cours du temps, tension et courant sont homothéti-ques (de même forme).

II.1.b. Puissance consommée

R

uiRp

22 =⋅= (I-4)

On constate que cette puissance est à chaque instant positive : la résistance est un élément dissipatif.

II.1.c. Précaution d'emploi En régime établi, la résistance ne doit pas dissiper une puissance supérieure à Pmax dont la valeur est en géné-ral prescrite par le constructeur. On en déduit les va-leurs maximales du courant et de la tension à ne pas dépasser à l'aide de la formule (I-4).

La puissance dissipée l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentation de température qui est responsable de la destruction du composant. Pour des durées limitées, il est parfois possible de dépasser Pmax, mais cela dépend de l'inertie thermique de la résistance. En l'absence d'indication du constructeur, il est hasar-deux de tenter sa chance !

II.1.d. Lois d'association

- En série : 21eq RRR += (I-5)

- En parallèle: 21

21eq RR

RRR

+⋅

= (I-6)

Remarques : - La conductance d'une "résistance" est la grandeur

G telle que : R

G1= (I-7)

La relation (I-6) peut alors s’écrire : 21eq GGG +=

- Un conducteur idéal sera supposé avoir une résis-tance nulle : R = 0.

- La résistance d'un conducteur homogène non idéal

de section s et de longueur l est : s

lR ⋅= ρ (I-8)

II.2. Condensateurs II.2.a. Equation caractéristique

Pour un condensateur on a :

C

ui

+q -q

t

uC

t

quCq

d

d

d

d ⋅=⇒⋅= (I-9)

t

uCi

d

d⋅= (I-10)


l'équation (I-10) montre que la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à un courant d'intensité infinie, donc à une puissance infinie.

II.2.b. Puissance consommée L'équation (I-10) conduit à :

t

uuCiup

d

d⋅⋅=⋅=

En utilisant la relation mathématique suivante :

( )t

uuu

t

u

t

uu

t

u

d

d2

d

d

d

d

d

d

2

=+= (I-11)

on obtient la relation (I-12)

( )t

u

d

d C

2

1p

2

⋅⋅= (I-12)

la puissance instantanée consommée par un condensa-teur est liée à la variation du carré de la tension à ses bornes : si celui ci augmente, le condensateur consom-me de la puissance. Mais si le carré de la tension à ses bornes diminue alors le condensateur fourni de la puis-sance au reste du circuit.

L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :

( )22

2

1CiCf uuCW −⋅⋅= (I-13)

II.2.c. Précaution d'emploi Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de la tension prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de pro-voquer un claquage entraînant la destruction du com-posant.

D'autre part les condensateurs électrochimiques sont polarisés : une tension inverse à leurs bornes provoque un dégagement gazeux qui peut conduire à une explo-sion.


- En parallèle : 21eq CCC += (I-14)

- En série: 21

21eq CC

CCC

+⋅

= (I-15)

II.3. Inductances. II.3.a. Equation caractéristique

Une inductance L est un dipôle tel que :

L

ui

t

iLu

d

d⋅= (I-16)

Cette relation vient de l'expression du flux du champ magnétique et de la loi de Faraday qui seront vues en magnétostatique :

t

iL

tueiL

d

d

d

dt ⋅=Φ=⋅=Φ (I-17)

L'équation (I-16) montre que l'intensité du courant traversant une inductance ne peut pas subir de dis-continuité, cela correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance infinie.

II.3.b. Puissance consommée L'équation (I-16) conduit à :

t

iiLiup

d

d⋅⋅=⋅=

En utilisant la même transformation mathématique que pour le condensateur, on obtient la relation (I-18)

( )t

i

d

d L

2

1p

2

⋅⋅= (I-18)

la puissance instantanée consommée par une inductan-ce est liée à la variation du carré de l'intensité qui la traverse : si celui ci augmente, l'inductance consomme de la puissance. Elle en fourni dans le cas contraire.

L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :

( )22

2

1LiLf iiLW −⋅⋅= (I-19)

II.3.c. Précaution d'emploi Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de l'intensité prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de "satu-rer" le circuit magnétique, ce qui provoque une diminu-tion brutale de la valeur de l'inductance pouvant entraî-ner une surintensité.


- En série : 21eq LLL += (I-20)

- En parallèle: 21

21eq LL

LLL

+⋅

= (I-21)

Remarques : - Les lois précédentes ne sont valables que pour des

inductances non couplées magnétiquement.

- Les bobines utilisées comme inductances sont réalisées à l'aide de bobinage de fil de cuivre. La résistance de ces bobines n'est pas toujours négli-geable ce qui conduit à modéliser une bobine réel-le par l'association en série d'une inductance idéale L et d'une résistance r.

L

ui

r

avec : irt

iLu ⋅+⋅=

d

d (I-22)

II.4. Source de tension II.4.a. Symbole et équation caractéristique

Une source idéale de tension est un dipôle tel que :


u

i

THeu = quelque soit i (I-23)

Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sour-ces de tensions continues, eTH sera donc constant et noté ETH

II.4.b. Puissance et précautions On utilise en général pour ces dipôles la convention générateur, la grandeur p représente alors la puissance fournie :

ETH

i

iEiup ⋅=⋅= TH

Cette puissance doit rester inférieure à une valeur maximale imposée par le constructeur, il s'ensuit qu'il existe une valeur maximale du courant que peut débiter cette source de tension.

II.4.c. Associations

- En série : 21eq EEE += (I-24)

- En parallèle : il est interdit de placer en parallèle deux sources de tensions délivrant des tensions différentes. Le courant de circulation serait en ef-fet infini.

Remarques : - Un conducteur parfait doit être considéré comme

une source de tension nulle c'est à dire imposant :

U = 0 quelque soit i.

- Rendre passive une source de tension consiste à poser ETH = 0 c'est à dire que l'on transforme la source de tension en fil (conducteur parfait). Sur le schéma cela consiste à supprimer le cercle :

0

i

II.5. Sources de courant II.5.a. Symbole et équation caractéristique

Une source idéale de courant est un dipôle tel que :

u

i

Nii = quelque soit u (I-25)

Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sour-ces de courants continus, iN sera donc constant et noté IN

II.5.b. Puissance maximale

Ces sources de courant sont en général réalisées à l'aide de systèmes électroniques et la tension à leurs bornes est limitée à une valeur maximale Umax

La puissance que peut alors délivrer la source de cou-rant est donc inférieure à :

Nmax IUiup ⋅=⋅=

II.5.c. Associations et précautions

- En parallèle : 21eq III += (I-26)

- En série : il est interdit de placer en série deux sources de courant délivrant des courants d'in-tensités différentes.

- Une coupure du circuit doit être considérée comme une source de courant nul c'est à dire imposant :

I = 0 quelque soit u.

- Il peut être dangereux d'ouvrir une branche conte-nant un générateur de courant car cela revient à placer en série avec elle une source de courant nul.

- Rendre passive une source de courant consiste à poser IN = 0 c'est à dire consiste à transformer la source de courant en coupure du circuit Sur le schéma cela consiste à supprimer le cercle :

u

0

II.6. sources liées (ou sources commandées) Il existe des sources de tension ou de courant dont la caractéristique est imposée par une autre tension ou un autre courant du circuit.

U = k.i' ou kv'

I = k.i' ou kv'

Exemple :

iB

IN =β. iB La valeur de l'intensité débitée par la source de courant est imposée par la valeur de iB circulant dans une autre branche. Il s'agit alors d'une source de courant com-mandée en courant.

III. METHODE D 'ETUDE DES CIRCUITS

III.1. Diviseur de tension, diviseur de cou-rant.

III.1.a. Diviseur de tension.


R1

u1

R2 R3

uT Lorsque plusieurs résistances sont en série, la tension aux bornes de l'une d'entre elle peut être déterminée par la relation :

∑⋅=

++⋅=

ii

TTR

Ru

RRR

Ruu 1

321

11 (I-27)

III.1.b. Diviseur de courant.

R1i1

R2

R3iT

Lorsque plusieurs résistances sont en parallèle, le cou-rant qui traverse l'une d'entre elle peut être calculé par la relation :

∑∑⋅=⋅=

++⋅=

i i

T

ii

TT

R

Ri

G

Gi

GGG

Gii

1

1

11

321

11 (I-28)

III.2. Générateurs réels III.2.a. Modèle de Thévenin et modèle de

Norton d'un générateur réel Beaucoup de générateurs ne peuvent pas être considé-rés comme des sources idéales. Ils sont alors modélisés (dans un certain domaine de fonctionnement et au prix de quelques approximations) par l'association d'une source idéale et d'un dipôle linéaire.

Le modèle équivalent de Thévenin (ou M.E.T.) d'un générateur réel comporte une source de tension en série avec un dipôle linéaire :

eTH

Dipolelinéaire

En continu la source de tension est une source de ten-sion continue et le dipôle linéaire une résistance.

ETHr

Le modèle équivalent de Norton (ou M.E.N) d'un générateur réel comporte une source de courant en parallèle avec un dipôle linéaire. En continu c'est l'as-sociation en parallèle d'une source de courant et d'une résistance :

rIN

Equivalence des deux modèles :

Les résistances r des deux modèles sont les mêmes. Les trois paramètres ETH, IN et r sont liés par la relation :

NTH IrE ⋅= (I-29)

III.2.b. Lois d'associations des générateurs réels.

- En série : On transforme chaque générateur en M.E.T., puis on associe les sources de tensions en-tre elles, et les dipôles linéaires entre eux :

E1

r1E2

r2

équivaut à

E1 + E2

r1 + r2

- En parallèle : On transforme chaque générateur en M.E.N., puis on associe les sources de courant entre elles, et les dipôles linéaires entre eux :

r1 I1 r2

I2

équivaut à :

I1 + I2

21

21

rr

rr

+⋅

III.3. Théorème de Thévenin et de Norton. Toute portion de circuit comprise entre 2 bornes A et B et qui ne contient que des éléments linéaires peut être modélisée par un unique générateur équivalent de Thé-venin ou de Norton.

Exemple :

E

R1

R2

A

B

III.3.a. Valeur à donner à ETH C'est la même que la valeur de la tension existant "à vide" entre A et B, c'est à dire celle que relèverait un voltmètre idéal placé entre les bornes A et B.

Pour l'exemple précédent on a :


ERR

RE ⋅

+=

21

1TH : diviseur de tension.

III.3.b. Valeur à donner à IN C'est celle de l'intensité qui circulerait à travers un fil reliant les bornes A et B c'est à dire celle mesurée par un ampèremètre idéal placé entre A et B.

Dans notre exemple on obtient :

E

R1

R2

A

B

IN

soit : 1

N R

EI = ; R2 étant court-circuitée.

III.3.c. Valeur à donner à r C'est la résistance équivalente à celle du dipôle AB rendu passif , soit pour l'exemple celui de la figure ci-dessous :

R1

R2

A

B

21

21eq RR

RRRr

+⋅

== , Cf. (I-6)

Remarques : - La relation (I-29) liant ces trois valeurs, la déter-

mination de deux d'entre elles est suffisante pour réaliser la modélisation.

- On aurait pu utiliser les lois d'association des géné-rateurs pour trouver le résultat : Dans l'exemple précédent on peut considérer qu'il s'agit de 2 géné-rateurs en parallèles :

E

R1 R2

A

B0

que l'on transforme en modèles de Norton équivalents :

R1 R2

A

B

1R

E

Ce qui conduit à :

21

21 RR

RE

+⋅ 21

21

RR

RR

+⋅

A

B

L'intérêt est que l'on peut remplacer ensuite cette portion de circuit par le dipôle équivalent trouvé, ce qui peut faciliter la résolution d'un problème.

III.3.d. Bon à savoir ! Lorsqu'on cherche le modèle équivalent d'un circuit on doit aussi appliquer les 2 règles suivantes :

Tous les dipôles en parallèle avec une source de ten-sion idéale peuvent être enlevés : En effet le générateur idéal de tension impose la tension à ses bornes quels que soient les dipôles reliés à ces mêmes bornes. Si ce n'était pas le cas, ce ne serait pas un générateur idéal de tension.

Tous les dipôles en série avec une source de courant idéale peuvent être enlevés : le générateur idéal de courant impose le courant qui le traverse quels que soient les dipôles en série avec lui..

E X

A

B E

A

B

⇔

X

IN IN ⇔

A B B A

III.4. Théorème de Millman. Il permet de trouver le potentiel d'un point du circuit lorsqu'on connaît les autres.

R1

R2

X R3V1 V3

V2

321

3

3

2

2

1

1

X 111

RRR

R

V

R

V

R

V

V++

++= (I-30)

La démonstration est immédiate à l'aide de la modélisa-tion par un ensemble de 3 générateurs en parallèle :

V1

R1 R2

X

MasseV2 V3

R3

En remplaçant par les modèles de Norton équivalent on obtient :

r1I1 r2I2 I3 r3

I1+ I2+ I3


Puis on applique la loi d'Ohm.

III.5. Théorème de superposition. Dans un circuit ne comportant que des éléments linéai-res et plusieurs sources, on peut calculer le potentiel d'un nœud du circuit (ou le courant dans une branche) en faisant la somme des potentiels (ou des courants) obtenus lorsqu'on rend passif toutes les sources indé-pendantes sauf une.

(Il est en revanche nécessaire de laisser les sources liées).

III.6. Dualité. III.6.a. Définition

Soit un dipôle D imposant entre u et i la relation :

)(f A iu =

Le dipôle Dd est le dual du dipôle D si il impose l'équa-tion :

)(f A ui = ; c'est à dire : )(f -1A iu =

III.6.b. Exemples

Nœud : ( 0=∑ i ) Maille : ( 0=∑u )

Source de courant Source de tension

Circuit ouvert Court circuit

Interrupteur ouvert Interrupteur fermé

Inductance Condensateur

Résistance Conductance

M.E.N. M.E.T.

Dipôles en série :

Traversés par le même courant

Dipôles en parallèle :

Soumis à la même tension

III.6.c. Circuit dual Le dual d'un circuit est un autre circuit dans lequel toutes les tensions auront à chaque instant la valeur des courants du circuit d'origine et réciproquement.

Pour déterminer le dual d'un circuit on utilise la métho-de suivante :

- On place un point dans chaque maille du circuit. Chaque point correspondra à un nœud dual de cet-te maille dans le circuit dual.

- On place un point à l'extérieur du réseau.

- On relie ensuite ces points en passant sur les dipô-les existants.

A

BC

1

2

3

4

- Le circuit dual est constitué en plaçant l'élément

dual de l'élément qui apparaît entre deux points du circuit source, entre les deux nœuds correspon-dants du circuit dual :

A

B

CD1 D2

D4

D3

- L'orientation du circuit dual est obtenue en écri-

vant les équations de nœuds de ce circuit qui sont duales des équations de mailles du circuit source.

III.6.d. Intérêt. Toutes les lois reliant les intensités dans un circuit sont applicables aux tensions dans le circuit dual et récipro-quement.

Par exemples la formule du diviseur de courant peut être déduite par dualité de la formule du diviseur de tension.

III.7. Conseils pour la résolution des pro-blèmes.

- Compter le nombre de nœuds dans le circuit. Par exemple le circuit ci dessous ne comporte que 2 nœuds donc une seule tension, les 3 dipôles sont donc en parallèle :

- Affecter le potentiel 0 à la masse du montage ou, à défaut de précision à la borne (–) du générateur dé-livrant la tension la plus élevée.

- Utiliser les lois permettant de réduire au maximum le circuit avec le minimum de calcul

- Vérifier que l'on utilise le diviseur de tension pour des résistances effectivement en série c'est à dire traversée par le même courant et le diviseur de courant pour des résistances effectivement en pa-rallèle c'est à dire placées entre les mêmes nœuds.

13

Chapitre 2Etude des circuits linéaires ;théorèmes généraux

2.1. Les éléments des circuits linéairesRappel : un circuit linéaire est un circuit ne comportant que des composants (ou dipôles)

linéaires.Un composant est linéaire si la relation entre la tension u(t) et le courant i(t) est une

relation a¢ne ou une équation di¤érentielle à coe¢cients constants.

2.1.1. Les di¢cultés de la modélisation

Voir explication en cours.

2.1.2. Les éléments dipolaires passifs

2.1.2.1. Le modèle de la résistance

R

u

i

Fig.2.1.

La relation liant le courant et la tension est une relation a¢ne :

u = Ri:

L’unité de la résistance R est l’ohm, notée ( = V:A¡1)

2.1.2.2. Les modèles du condensateur

- Le condensateur idéalLa relation liant i et u est une équation di¤érentielle :

i = Cdu

dt:

L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans 23 novembre 2003

14 Chapitre 2 Etude des circuits linéaires ; théorèmes généraux

C est la capacité du condensateur ; son unité est le Farad notée F .

- Le condensateur ”réel ”En réalité, un condensateur, même isolé, se décharge lentement. Ceci est dû aux électrons

qui parviennent à passer d’une armature à l’autre, l’isolant séparant ces armatures ne pouvantpas être parfait. Ce phénomène peut être modélisé par une résistance placée en parallèle d’uncondensateur idéal, appelée résistance de fuite, notée Rf .

La relation entre i et u est alors

i = Cdu

dt+

u

Rf

Le condensateur idéal est le cas limite d’un condensateur réel pour lequel la résistance defuite tend vers l’in…ni.

Rf

a. Le condensateur idéal b. Le condensateur « réel »

C C

i i

u

u

Fig.2.2.

2.1.2.3. Les modèles de la bobine

- La bobine idéaleLa relation liant i et u est une équation di¤érentielle :

u = Ldi

dt:

L est l’inductance de la bobine ; son unité est le Henry, notée H.

- La bobine ”réelle ”En pratique, la bobine est constituée d’un enroulement de …ls ; ces …ls ont une résistance

au passage du courant. Ce phénomène peut-être modélisé par une association série d’unerésistance r avec une bobine idéale d’inductance L :

u = Ldi

dt+ ri

La bobine idéale est le cas limite d’une bobine réelle pour laquelle la résistance tend vers0.

23 novembre 2003 L. Menguy, Lycée Montesquieu, Le Mans

Section 2.1 Les éléments des circuits linéaires 15

a. La bobine idéale b. La bobine « réelle »

L

i i

u u

L

r

Fig.2.3.

2.1.3. Les éléments dipolaires actifs

2.1.3.1. Les modèles du générateur de tension

- Le générateur de tension idéalUn générateur de tension idéal impose une tension e déterminée à ses bornes :

u(t) = e

- Le générateur de Thévenin (ou générateur de tension ”réel”)En réalité, un générateur de tension possède toujours une résistance interne notée Rg. Le

modèle que l’on peut en proposer est le suivant (voir …gure 2.4) :

u(t) = e ¡ Rgi:

Le générateur de tension idéal est le cas limite d’un générateur réel (de Thévenin) pourlequel la résistance interne tend vers 0.

2.1.3.2. Les modèles du générateur de courant

- Le générateur de courant réelUn générateur de courant idéal impose un courant i0 déterminé à ses bornes :

i(t) = i0

- Le générateur de Norton (ou générateur de courant ”réel”)En réalité, un générateur possède toujours une résistance interne notée Rg. Le modèle que

l’on peut en proposer est le suivant (voir …gure 2.5) :

i(t) = i0 ¡ u

Rg

= i0 ¡ Ggu:



e

Rg i i

e u u

a. Le générateur de tension idéal b. Le générateur de Thévenin

Fig.2.4.

Le générateur idéal de courant est le cas limite d’un générateur réel (de Norton) pourlequel la résistance interne tend vers l’in…ni.

io Rg

i i

io u u

a. Le générateur de courant idéal b. Le générateur de Norton

Fig.2.5.

2.2. Les théorèmes généraux des circuitslinéaires

Aborder la résolution de circuits linéaires à l’aide des lois de Kirchho¤ seulement (loi desnoeuds et des mailles) est en théorie su¢sante, mais en pratique souvent complexe, dès quele circuit dépasse les 3 ou 4 mailles ; le nombre d’inconnues (et d’équations !) se multipliealors. Il existe des méthodes matricielles pour résoudre ce genre de problème (qui sera vueultérieurement en math).

L’objectif de la …n de ce chapitre est de proposer d’autres méthodes de résolution des


Section 2.2 Les théorèmes généraux des circuits linéaires 17

circuits électroniques utilisant de nouveaux théorèmes (qui sont souvent des conséquences deslois de Kirchho¤).

2.2.1. Les associations série

Deux dipôles sont dits en série s’ils sont parcourus par le même courant.

2.2.1.1. L’association en série de résistances

R1 R2

u1

u

u2

Fig.2.6.

u = u1 + u2

= R1i + R2i

= (R1 + R2) i = Reqi:

L’association des 2 résistances en série est donc équivalente à une résistance Req = R1+R2.Ce résultat se généralise pour l’association de N résistances placées en série :

Req =NX

k=1

Rk:

2.2.1.2. L’association en série de bobines idéales

u1

u

u2

Fig.2.7.



u = u1 + u2

= L1di

dt+ L2

di

dt

= (L1 + L2)di

dt= Leq

di

dt:

L’association des 2 bobines idéales en série est donc équivalente à une bobine idéale d’in-ductance Leq = L1 + L2.

Ce résultat se généralise pour l’association de N bobines en série :

Leq =NX

k=1

Lk:

2.2.1.3. L’association en série de condensateurs idéaux

u1

u

u2

C1 C 2

Fig.2.8.

u = u1 + u2

donc

du

dt=

du1

dt+

du2

dt

=1

C1i +

1

C2i

=

µ1

C1+

1

C2

¶i =

1

Ceqi:

L’association des 2 condensateurs idéaux en série est donc équivalente à un condensateuridéal dont la capacité Ceq véri…e 1=Ceq = 1=C1 + 1=C2.

Ce résultat se généralise pour l’association de N condensateurs en série :

1

Ceq=

NX

k=1

1

Ck:



2.2.1.4. L’association en série de générateurs

Deux générateurs de tension placés en série permettent d’additionner la tension aux bornesde chacun d’eux. Il convient toutefois en TP de ne pas oublier les ”problèmes de masses”éventuels !

Par contre, associer deux générateurs de courant en série n’a aucun sens : cela revendraità imposer deux courants di¤érents dans un même …l !

2.2.1.5. Le pont diviseur de tension

Reprenons l’association de résistances en série (voir …gure 2.6).

u1 = R1i et u2 = R2i;

u = (R1 + R2) i

donc

u1 =R1

R1 + R2u et u2 =

R2

R1 + R2u:

C’est le pont diviseur de tension qui peut se généraliser, pour N résistances placées en série :

uk =Rk

R1 + R2 + :::::: + RNu

Le pont diviseur de tension peut s’énoncer comme suit : une tension U aux bornes de résis-tances placées en série se partage aux bornes de chacune de ces résistances proportionnellementà la valeur de chaque résistance.

Attention ! Le pont diviseur de tension ne peut s’appliquer que si les 2 dipôles sont ensérie, c’est-à-dire qu’aucun courant ne doit partir dans une autre branche entre R1 et R2.

2.2.1.6. La caractéristique d’une association de deux dipôles en série

Vu en cours

2.2.2. Les associations en parallèle (ou dérivation)

Deux dipôles sont dits en parallèle (ou en dérivation) s’ils sont reliés aux deux mêmesnoeuds, donc soumis à la même tension.

2.2.2.1. L’association en parallèle de résistances

i = i1 + i2

=1

R1u +

1

R2u

=

µ1

R1+

1

R2

¶u =

1

Requ:

L’association des 2 résistances en parallèle est donc équivalente à une résistance telle que1=Req = 1=R1 + 1=R2.



R1 R2 u

i

i1 i2

Fig.2.9.

Ce résultat se généralise pour l’association de N résistances placées en série :

1

Req=

NX

k=1

1

Rk:

2.2.2.2. L’association en parallèle de bobines idéales

L1 L2 u

i

i1 i2

Fig.2.10.

i = i1 + i2

donc



di

dt=

di1dt

+di2dt

=1

L1u +

1

L2u

=

µ1

L1+

1

L2

¶u =

1

Lequ:

L’association des 2 bobines idéales placées en parallèle est donc équivalente à une bobineidéale dont l’inductance Leq véri…e 1=Leq = 1=L1 + 1=L2.

Ce résultat se généralise pour l’association de N bobines en parallèle :

1

Leq=

NX

k=1

1

Lk:

2.2.2.3. L’association en parallèle de condensateurs idéaux

C1 C2 u

i

i1 i2

Fig.2.11.

i = i1 + i2

= C1du

dt+ C2

du

dt

= (C1 + C2)du

dt= Ceq

du

dt:

L’association des 2 condensateurs idéaux en parallèle est donc équivalente à un condensa-teur de capacité Ceq = C1 + C2.

Ce résultat se généralise pour l’association de N condensateurs en série :

Ceq =NX

k=1

Ck:



2.2.2.4. L’association en parallèle de générateurs

Deux générateurs de courant placés en parallèle permettent d’additionner les courants deces générateurs.

Par contre, associer deux générateurs de tension en parallèle n’a aucun sens : cela revendraità imposer deux tensions di¤érentes à des mêmes bornes !

2.2.2.5. Le pont diviseur de courant

Reprenons l’association de résistances en série (voir …gure 2.9).

i1 =1

R1u et i2 =

1

R2u;

i =

µ1

R1+

1

R2

¶u

donc

i1 =1=R1

1=R1 + 1=R2i et i2 =

1=R2

1=R1 + 1=R2i:

C’est le pont diviseur de tension qui peut se généraliser, pour N résistances placées en série :

ik =1=Rk

1=R1 + 1=R2 + :::::: + 1=RNi

Le pont diviseur de courant peut s’énoncer comme suit : un courant i traversant des résistancesplacées en parallèle se partage dans chacune de ces résistances inversement proportionnelle-ment à la valeur de chaque résistance.

2.2.2.6. La caractéristique d’une association de deux dipôles en parallèle

Vu en cours

2.2.3. Le théorème de Millman

Le théorème de Millman est tout simplement la loi des noeuds exprimée en terme depotentiels.

La loi des noeuds en A est (voir …gure 2.12) :

i1 + i2 + i3 + ::: = 0

soit1

R1u1 +

1

R2u2 +

1

R3u3 + ::: = 0

VA ¡ VB1

R1+

VA ¡ VB2

R2+

VA ¡ VB3

R3+ ::: = 0 (1)

soit encoreVB1

R1+

VB2

R2+

VB3

R3+ ::: = VA

µ1

R1+

1

R2+

1

R3+ :::

¶: (2)

Le théorème de Millman peut être exprimé sous l’écriture (1) ou sous la forme (2).Ce théorème peut être utile pour limiter les inconnues lors d’une résolution. Si l’objectif

est de calculer une tension, l’utilisation de la loi des mailles en plus du théorème de Millmanà di¤érents noeuds permet de n’introduire que des tensions sans jamais faire intervenir uncourant : le nombre d’inconnues est alors (théoriquement) divisée par deux.



A B1

B2

B3

B4

R1 R3

R4

R2 U3

U2

U1 U4

Fig.2.12.

2.2.4. Le théorème de superposition

2.2.4.1. Enoncé du théorème

En régime permanent, l’intensité qui parcourt les dipôles constituants un réseau linéaireest la somme des intensités obtenues dans les di¤érents états du réseau où toutes les sources,sauf une, sont passivées.

De même, en régime permanent, la tension aux bornes de dipôles constituants un réseaulinéaire est la somme des tensions obtenues dans les di¤érents états du réseau où toutes lessources, sauf une, sont passivées.

En d’autres termes, s’il l’on recherche par exemple la tension U aux bornes d’un dipôle,dans un circuit contenant 3 sources (1), (2) et (3), on peut dans un premier temps ” éteindre” (ou plutôt passiver) les générateurs (2) et (3) en ne laissant allumé que (1) et calculer U1

aux bornes du dipôle. L’opération est recommencée en ne laissant allumé que (1) (avec (1) et(2) passivés) qui donne U1 aux bornes du dipôle considéré ; puis l’opération est recommencéeavec (3) seul donnant U3. La tension recherchée quand tous les dipôles sont allumés en mêmetemps est U = U1 + U2 + U3.

2.2.4.2. Que signi…e passiver un générateur ?

Passiver un générateur signi…e :- pour un générateur de tension : rendre la tension nulle, c’est-à-dire remplacer le générateur

par un …l ;- pour un générateur de courant : rendre le courant nul, c’est-à-dire remplacer le générateur

par un interrupteur ouvert.

Remarque 2.1 Sur les schémas, passiver une source revient à ”enlever le cercle” du géné-rateur (voir explication en classe).

2.2.5. Les théorèmes de Thévenin et de Norton

Ces théorèmes sont désormais hors programmes, bien qu’ils soient de puissants outils poursimpli…er des réseaux complexes. Le principe en est rapidement donné en classe.


Documents

electro.pdf