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Liens utiles :Electrostatique (Wikipedia)

Table des matieres

1 Force, champ et potentiel electrostatiques 2

1.1 Force de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Champ electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Champ cree par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Champ cree par N charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Champ cree par une distribution continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Potentiel electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Potentiel cree par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Potentiel cree par N charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Potentiel cree par un distribution continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Proprietes du champ et du potentiel electriques 8

2.1 Champ conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Champ de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Circulation du champ electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Lignes de champ et equipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Invariances et symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Symetries et antisymetries planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Lien avec la mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Force conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Mouvement d’une particule chargee dans un champ electrique uniforme et constant . . . . 12

3 Exemples de calculs de champs et de potentiels electriques 13

3.1 Distributions lineıques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Droite uniformement chargee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Segment uniformement charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

3.1.3 Cercle uniformement charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Distributions surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Plan uniformement charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Disque uniformement charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3 Sphere uniformement chargee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Distributions volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Boule uniformement chargee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Theoreme de Gauss 23

4.1 Flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Theoreme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Distribution a symetrie cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Distribution a symetrie spherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.1 Theoreme de l’extremum du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.2 Forme locale du theoreme de Gauss : equation de en dehors . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.3 Tube de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Le dipole electrostatique 29

5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Etude a grande distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.1 Calcul du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Calcul du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Lignes de champ et equipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Developpement multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.5 Action d’un champ exterieur sur un dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

1 Force, champ et potentiel electrostatiques

1.1 Force de Coulomb

En 1785, Charles Augustin de Coulomb a determine quantitativement l’expression de la force d’interaction entredeux corps charges.

Considerons 2 particules supposees ponctuelles :

– M1 de charge q1

– M2 de charge q2

La force d’interaction electrostatique verifie le principe des actions mutuelles : l’action et la reaction sont op-posees et portees par la droite joignant les deux points.

M1

M2

q1q2 < 0

~F2/1~F1/2

M1

M2

q1q2 > 0

~F2/1

~F1/2

Fig. 1 – Force de Coulomb

Des charges de signes opposes s’attirent, des charges de meme signe se repoussent.

La force est de plus proportionnelle a chaque charge et varie comme l’inverse de la distance entre les charges aucarre.

~F1/2 = −~F2/1 =q1q2

4πǫ0

~uM1M2

M1M22

~uM1M2est un vecteur unitaire oriente de la cause vers l’effet (de la charge creant la force vers celle la subissant).

La permitivite electrique du vide est notee ǫ0 = 8.854 × 10−2F.m−1 = 1µ0c2 (valeur exacte).

On peut aussi prendre comme valeur approchee : 1(4πǫ0)

≈ 9.109SI.

Liens utiles :

Loi de Coulomb (Wikipedia)

Charge et force (eduMedia)

Balance de Coulomb (CNRS)

Balance de Coulomb (Ecole Polytechnique)

Balance de Coulomb (Musee des Arts et Metiers)

3

1.2 Champ electrique

En un point M de l’espace, placons une charge “test” notee qtest.

La force de Coulomb ~Ftest que subit cette charge test est proportionelle a qtest.

Le rapport des deux est appele champ electrique :

~E(M) =~Ftest

qtest

M

~Ftest

qtest < 0

~E(M)

M

~Ftest

qtest > 0

~E(M)

Fig. 2 – Champ electrique

Nous postulerons que le champ electrique conserve son existence meme en l’absence de la charge test.

1.2.1 Champ cree par une charge ponctuelle

Placons une charge ponctuelle q en un point note O (cause).

La charge test qtest placee en M (effet) subit la force de Coulomb :

~Ftest =qqtest

4πǫ0

~uOM

OM2

~uOM est un vecteur unitaire oriente de la cause vers l’effet (de la charge creant la force vers celle la subissant).

Le champ cree par la charge placee en O est alors donne par :

~E(M) =~Ftest

qtest=

q

4πǫ0

~uOM

OM 2

En utilisant les coordonnees spheriques, le champ devient :

~E(M) =q

4πǫ0r2~ur

M

q < 0

~E(M)O

M

q > 0

~E(M)

O

Fig. 3 – Champ cree par une charge

Comme la force de Coulomb, le champ varie comme l’inverse de la distance a la charge au carre, il a toujoursune direction radiale.

4

1.2.2 Champ cree par N charges ponctuelles

Placons N charges ponctuelles qi en des points notes Pi (cause).

La charge test qtest placee en M (effet) subit la force de Coulomb :

~Ftest =

N∑

i=1

qiqtest

4πǫ0

~uPiM

PiM2

~uPiM est un vecteur unitaire oriente de la cause vers l’effet (de la charge creant la force vers celle la subissant).

Le champ cree par les N charges est alors donne par :

~E(M) =1

4πǫ0

∑Ni=1 qi

~uPiM

PiM2

M

q1 > 0

~E(M)q2 < 0

P2

P1

M

q1 < 0

~E(M)

P1

q2 < 0

P2

Fig. 4 – Champ cree par deux charges

Theoreme de superposition : le champ cree par N charges est la somme (superposition) des champs crees parchaque charge prise independamment des autres.

1.2.3 Champ cree par une distribution continue

Une distribution continue de charge est en fait : soit un volume charge V , soit une surface chargee S, soit unecourbe chargee C.

Chaque element infinitesimal de la distribution (note dV ou dS ou dl) centre au point P (cause) porte unecharge infinitesimale dq et cree un champ infinitesimal en M (effet) :

d ~E(M) =dq

4πǫ0

~uPM

PM2

Selon le type de distribution, on peut definir une densite volumique (C.m−3), surfacique (C.m−2) ou lineıque(C.m−1) de charges electriques en divisant la charge infinitesimale de l’element infinitesimal par sa mesure(volume, surface ou longueur) :

– Densite volumique de charge : dq = ρ(P ) × dV– Densite surfacique de charge : dq = σ(P ) × dS– Densite lineıque de charge : dq = λ(P ) × dl

5

M

dq = ρ(P )dV

d~E(M)

P

M

dq = σ(P )dS

d~E(M)P

M

dq = λ(P )dl

d ~E(M)

P

Fig. 5 – Distributions continues

Distribution Uniformement chargee Non uniformement chargee

Volumique Q = ρ × V Q =t

Vρ(P )dV

Surfacique Q = σ × S Q =s

Sσ(P )dS

Lineıque Q = λ × l Q =∫

C λ(P )dl

Tab. 1 – Charge totale d’une distribution continue

La distribution est dite uniformement chargee si sa densite de charge est uniforme.

Le champ total cree par la distribution est obtenu en integrant le champ infinitesimal : soit dans le volume V ,soit sur la surface S, soit le long de la courbe C.

Distribution Uniformement chargee Non uniformement chargee

Volumique ~E(M) =ρ

4πǫ0

tV

~uPM

PM2 dV ~E(M) =1

4πǫ0

tV

ρ(P )~uPM

PM2 dV

Surfacique ~E(M) =σ

4πǫ0

sS

~uPM

PM2 dS ~E(M) =1

4πǫ0

sS σ(P )

~uPM

PM2 dS

Lineıque ~E(M) =λ

4πǫ0

∫C

~uPM

PM2 dl ~E(M) =1

4πǫ0

∫C λ(P )

~uPM

PM2 dl

Tab. 2 – Champ cree par une distribution continue

Quelques proprietes :

– Le champ est continu dans le vide ou dans une distribution volumique de charges.– Le champ est discontinu a la traversee d’une surface chargee (en fait, seule la composante normale est dis-

continue).– Le champ diverge a l’approche d’une distribution lineıque de charges ou d’une charge ponctuelle.

Liens utiles :

Champ electrique (Wikipedia)

Champ electrique (eduMedia)

6

1.3 Potentiel electrique

1.3.1 Potentiel cree par une charge ponctuelle

Placons une charge ponctuelle q en un point note O.

En utilisant les coordonnees spheriques, le champ cree par la charge placee en O est alors donne par :

~E(M) =q

4πǫ0r2~ur

En coordonnees spheriques, le gradient d’un champ scalaire ne dependant que de r est donne par :

−−→grad(f) =

∂f

∂r~ur + 0~uθ + 0~uφ

On remarque alors que :

−−→grad(

1

r+ cst.) = − 1

r2~ur

Pour le champ cree par une charge placee a l’origine, on obtient :

~E(M) =q

4πǫ0r2~ur = − q

4πǫ0

−−→grad(

1

r+ cst.) = −−−→

grad(q

4πǫ0r+ cst.)

Le champ electrique derive d’un potentiel electrique par la relation :

~E(M) = −−−→grad(V (M))

Pour une charge ponctuelle placee a l’origine :

V (M) =q

4πǫ0r+ cst.

1.3.2 Potentiel cree par N charges ponctuelles

Placons N charges ponctuelles qi en des points notes Pi.

Le champ cree par la charge qi placee en Pi derive d’un potentiel electrique :

~Ei(M) = −−−→grad(Vi(M)) = −−−→

grad(qi

4πǫ0PiM+ cst.)

Le champ total est obtenu en sommant les champs crees par chaque charge :

~E(M) =

N∑

i=1

~Ei(M) = −N∑

i=1

−−→grad(Vi(M)) = −−−→

grad(

N∑

i=1

Vi(M))

Le potentiel electrostatique cree par l’ensemble des N charges est alors donne par :

7

V (M) =1

4πǫ0

∑Ni=1

qi

PiM+ cst.

Theoreme de superposition : le potentiel cree par N charges est la somme (superposition) des potentiels creespar chaque charge prise independamment des autres.

1.3.3 Potentiel cree par un distribution continue

Chaque element infinitesimal de la distribution (note dV ou dS ou dl) centre au point P porte une chargeinfinitesimale dq et cree un potentiel infinitesimal :

dV (M) =dq

4πǫ0PM+ cst.

Le potentiel total cree par la distribution est obtenu en integrant le potentiel infinitesimal : soit dans le volumeV , soit sur la surface S, soit le long de la courbe C.

Distribution Uniformement chargee Non uniformement chargee

Volumique V (M) =ρ

4πǫ0

tV

dV

PM+ cst. V (M) =

1

4πǫ0

tV

ρ(P )dV

PM+ cst.

Surfacique V (M) =σ

4πǫ0

sS

dS

PM+ cst. V (M) =

1

4πǫ0

sS

σ(P )dS

PM+ cst.

Lineıque V (M) =λ

4πǫ0

∫C

dl

PM+ cst. V (M) =

1

4πǫ0

∫C

λ(P )dl

PM+ cst.

Tab. 3 – Potentiel cree par une distribution continue

Quelques proprietes :

– Le potentiel est continu et derivable dans le vide ou dans une distribution volumique de charges.– Le potentiel est continu et non derivable a la traversee d’une surface chargee.– Le potentiel diverge a l’approche d’une distribution lineıque de charges ou d’une charge ponctuelle.

Liens utiles :

Potentiel electrique (Wikipedia)

8

2 Proprietes du champ et du potentiel electriques

2.1 Champ conservatif

2.1.1 Champ de gradient

Le champ electrique derive d’un potentiel scalaire par la relation :

~E(M) = −−−→gradV (M)

Le potentiel electrique n’est pas unique, il est defini a une constante additive pres (on peut fixer arbitrairementl’origine de ce potentiel).

Le gradient d’un champ scalaire est defini par la relation :

dV =−−→gradV (M).

−−→dM = − ~E(M).

−−→dM

Cette expression permet d’obtenir les differentes expressions du gradient dans les differents systemes de coor-donnees.

Systeme de coordonnees Gradient Deplacement elementaire

Cartesien (2D) ~E(x, y) = −∂V

∂x~ux − ∂V

∂y~uy

−−→dM = dx~ux + dy~uy

Polaire ~E(ρ, φ) = −∂V

∂ρ~uρ −

1

ρ

∂V

∂φ~uφ

−−→dM = dρ~uρ + ρdφ~uφ

Cartesien (3D) ~E(x, y, z) = −∂V

∂x~ux − ∂V

∂y~uy − ∂V

∂z~uz

−−→dM = dx~ux + dy~uy + dz~uz

Cylindrique ~E(ρ, φ, z) = −∂V

∂ρ~uρ −

1

ρ

∂V

∂φ~uφ − ∂V

∂z~uz

−−→dM = dρ~uρ + ρdφ~uφ + dz~uz

Spherique ~E(r, θ, φ) = −∂V

∂r~ur −

1

r

∂V

∂θ~uθ −

1

r sin θ

∂V

∂φ~uφ

−−→dM = dr~ur + rdθ~uθ + r sin θdφ~uφ

Tab. 4 – Gradient d’un champ scalaire

2.1.2 Circulation du champ electrique

La circulation, le long d’une courbe (ou contour) d’un champ vectoriel ~E est donnee par :

∫

C

~E.−−→dM = −

∫

C

−−→gradV (M).

−−→dM = −

∫ B

A

dV = V (A) − V (B)

Pour un champ de gradient, cette circulation est independante du chemin suivi, elle ne depend que de ladifference de potentiels entre les points de depart et d’arrivee.

Dans le cas du champ electrique, cette difference de potentiels est appelee tension electrique :

UAB = V (A) − V (B) =∫ B

A~E.−−→dM

Comme le potentiel electrique est defini a une constante additive pres, seules les differences de potentiels(independantes de cette constante) ont un sens physique.

9

Corollaire : La circulation du champ electrique sur tout contour ferme est nulle : c’est un champ conservatif.

∮C

~E.−−→dM = 0 ∀C

2.1.3 Lignes de champ et equipotentielles

Les equipotentielles sont des surfaces (en dimension 3) ou des courbes (en dimension 2) d’equation : V (M) = cst.

Les lignes de champ electriques sont des courbes orientees (dans le sens du champ) en tout point tangentes acelui ci. Pour obtenir leurs equations, il faut integrer la relation differentielle :

~E = λ−−→dM λ ∈ R

Cette relation se decline suivant le systeme de coordonnees utilise.

Systeme de coordonnees Equations a integrer

Cartesien (2D)dx

Ex=

dy

Ey

Polairedρ

Eρ=

ρdφ

Eφ

Cartesien (3D)dx

Ex=

dy

Ey=

dz

Ez

Cylindriquedρ

Eρ=

ρdφ

Eφ=

dz

Ez

Spheriquedr

Er=

rdθ

Eθ=

r sin θdφ

Eφ

Tab. 5 – Lignes de champ

Si l’une des composantes du champ est nulle, la coordonnee correspondante est constante sur la ligne de champ.

Exemples :

Si Ez = 0 alors dz = 0 =⇒ z = cst., la ligne de champ est contenue dans un plan orthogonal a l’axe (Oz).

Si Eφ = 0 alors dφ = 0 =⇒ φ = cst., la ligne de champ est contenue dans un plan meridien.

Quelques proprietes :

– Les lignes de champ coupent orthogonalement les equipotentielles.– Les lignes de champ sont orientees dans le sens des potentiels decroissants.

Ces deux proprietes se demontrent a l’aide de la definition du gradient :

dV = − ~E(M).−−→dM

{−−→dM ⊥ ~E(M) ⇐⇒ dV = 0 ⇐⇒ V = cst.−−→dM = k ~E(M) (k > 0) ⇐⇒ dV < 0

10

-2

-2-4

2

4

20

-4

0 4

-2

-2-4

2

4

20

-4

0 4

q > 0 q < 0

2

2

1

0

1

-2

-1-2

-1

0 2

2

1

0 1

-1

-1

-2

-2

0

q1 = q2 > 0 q1 = −q2 < 0

Fig. 6 – Charges ponctuelles

11

2.2 Invariances et symetries

Le principe du Curie affirme que « Lorsque les causes d’un phenomene possedent des elements de symetrie, ceselements de symetrie se retrouvent dans les effets. »

En electrostatique, les symetries des distributions de charges (causes) se retrouvent dans le champ et le potentielelectriques (effets). Les symetries envisagees sont des transformations geometriques qui laissent les distributionsde charges invariantes.

En physique theorique, les symetries sont classees en groupe de symetrie.

Remarque : comme les invariances et les symetries s’appliquent aux champs et aux potentiels electriques, elless’appliquent aussi aux lignes de champ et aux equipotentielles.

2.2.1 Invariances

1. Si une distribution de charges est invariante pour toute translation parallele a un axe note (Oz), champet potentiel seront independants de la coordonnee cartesienne z.

2. Si une distribution de charges est invariante pour toute translation parallele a un plan note (Oxy), champet potentiel ne dependront que de la coordonnee cartesienne z.

3. Si une distribution de charges est invariante pour toute rotation autour d’un axe note (Oz), champet potentiel seront independants de la coordonnee cylindrique φ. Le probleme est dit a symetrie de

revolution.

4. Si une distribution de charges possede les invariances (1) et (3), champ et potentiel ne dependront que dela coordonnee cylindrique ρ. Le probleme est dit a symetrie cylindrique.

5. Si une distribution de charges est invariante pour toute rotation d’axe passant par un point note O, champet potentiel ne dependront que de la coordonnee spherique r. Le probleme est dit a symetrie spherique.

Symetries Champ et potentiel electrique Lignes de champ Equipotentielles

Translation

~E(x, y) = −dV

dx(x, y)~ux − dV

dy(x, y)~uy

~E(ρ, φ) = −dV

dρ(ρ, φ)~uρ − 1

ρ

dV

dφ(ρ, φ)~uφ

⊂ plan parallele Surface a symetrie de translation

Revolution ~E(ρ, z) = −dV

dρ(ρ, z)~uρ −

dV

dz(ρ, z)~uz ⊂ plan meridien Surface a symetrie de revolution

Cylindrique ~E(ρ) = −dV

dρ(ρ)~uρ Axiales Cylindres (infinis)

Spherique ~E(r) = −dV

dr(r)~ur Radiales Spheres

Tab. 6 – Invariances

2.2.2 Symetries et antisymetries planes

Definitions :

– Une symetrie plane est une symetrique plane (au sens geometrique) qui laisse invariante les charges electriques.– Une antisymetrie plane est une symetrique plane (au sens geometrique) qui change les signes de toutes les

charges electriques.

Les plans de symetrie sont note Πs et ceux d’antisymetrique Πa.

Theoremes :

– En tout point d’un plan de symetrie, le champ electrique est contenu dans ce plan : M ∈ Πs =⇒ ~E(M) ∈ Πs

– En tout point d’un plan d’antisymetrie, le champ electrique est orthogonal a ce plan : M ∈ Πa =⇒ ~E(M) ⊥ Πa

12

2.3 Lien avec la mecanique

2.3.1 Force conservative

La force de Coulomb (conservative) derive d’une energie potentielle de la meme facon que le champ electrique(conservatif) derive d’un potentiel electrique.

Par analogie, on peut construire le tableau ci-dessous qui relie leurs proprietes.

Lien Electrostatique Mecanique

~F (M) = q ~E(M) ~E(M) = −−−→gradV (M) ~F (M) = −−−→

gradEp(M)

Ep(M) = qV (M) dV = − ~E(M).−−→dM dEp = −~F (M).

−−→dM

Circulation Tension Travail

WAB(~F ) = qUAB

∫C

~E.−−→dM = V (A) − V (B) = UAB

∫C

~F .−−→dM = Ep(A) − Ep(B) = WAB(~F )

Contour ferme∮

C~E.−−→dM = 0 ∀C

∮C

~F .−−→dM = 0 ∀C

Tab. 7 – Lien avec la mecanique

2.3.2 Mouvement d’une particule chargee dans un champ electrique uniforme et constant

Dans un referentiel suppose galileen, une particule M de masse m de charge q est soumise a la force de Coulomb :

~F = q ~E =−→cst.

Elle est donc en mouvement uniformement accelere :

~a(t) = qm

~E =−→cst.

~v(t) = qm

~Et + ~v0

~r(t) = qm

~E t2

2 + ~v0t + ~r0

Proprietes :

– Le mouvement est rectiligne si et seulement si la vitesse initiale est nulle ou colineaire au champ electrique.– Le mouvement est parabolique si et seulement si la vitesse initiale est non colineaire au champ electrique.

Dans tous les cas, la force de Coulomb travaille :

WAB(~F ) = q ~E.−−→AB = qUAB

Applications :

Canon a electrons et tube cathodique.

Accelerateurs de particules.

13

3 Exemples de calculs de champs et de potentiels electriques

3.1 Distributions lineıques

3.1.1 Droite uniformement chargee

Considerons une droite ∆ (infinie) uniformement chargee (λ = cst.).

La charge totale de la distribution est infinie.

Etude des symetries :

On pose ∆ = (Oz), la distribution admet une symetrie cylindrique.

Tout plan contenant la droite ∆ est plan de symetrie. Tout plan orthogonal a la droite ∆ est plan de symetrie.

~E(M) = Eρ(ρ)~uρ = −dV

dρ(ρ)~uρ

Calcul du champ electrique :

∆ = (Oz)

z

ρ

√ρ2 + z2

P

Mα

~uρ

~uPM

dl = |dz|

O

Fig. 7 – Droite chargee

~E(M) = Eρ(ρ)~uρ =λ

4πǫ0

∫∆

~uPM

PM2 dl

Par projection :

~E(M).~uρ = Eρ(ρ) =λ

4πǫ0

∫∆

~uPM .~uρ

PM2 dl

Le point P est repere par sa coordonnee cartesienne z :

Eρ(ρ) =λ

4πǫ0

∫ ∞

−∞

ρ

(ρ2 + z2)3/2dz

On pose le changement de variable : z = ρ tan α ⇒ dz = ρcos2 αdα

Eρ(ρ) =λ

4πǫ0ρ

∫ π/2

−π/2 cosαdα =λ

2πǫ0ρ

Calcul du potentiel electrique :

Eρ(ρ) = −dV

dρ(ρ) ⇒ V (ρ) = −

∫ λ

2πǫ0ρdρ = − λ

2πǫ0ln

ρ

ρ 0

14

En posant V (ρ0) = 0, comme il y a des charges a l’infini, l’origine des potentiels ne peut etre prise a l’infini.

Resultats :

~E(ρ) =λ

2πǫ0ρ~uρ V (ρ) = − λ

2πǫ0ln

ρ

ρ 0

Tab. 8 – Droite uniformement chargee

1.0 5.0 10.0

0

ρ

ρ 0

Eρ(ρ)

V (ρ)

Fig. 8 – Droite uniformement chargee (λ > 0)

3.1.2 Segment uniformement charge

Considerons un segment AB de longueur l uniformement charge (λ = cst.).

La charge totale de la distribution est q = λl.

Etude des symetries :

On pose AB ‖ (Oz), la distribution admet une symetrie de revolution.

Tout plan contenant le segment AB est plan de symetrie. Le plan mediateur du segment AB est plan de symetrie.

~E(M) = Eρ(ρ, z)~uρ + Ez(ρ, z)~uz

Sur le plan mediateur du segment :

~E(M) = Eρ(ρ)~uρ = −dV

dρ(ρ)~uρ

Calcul du champ electrique dans le plan mediateur :

~E(M) = Eρ(ρ)~uρ =λ

4πǫ0

∫AB

~uPM

PM2 dl

Par projection :

~E(M).~uρ = Eρ(ρ) =λ

4πǫ0

∫AB

~uPM .~uρ

PM2 dl

Le point P est repere par sa coordonnee cartesienne z :

Eρ(ρ) =λ

4πǫ0

∫ l/2

−l/2

ρ

(ρ2 + z2)3/2dz

15

z

ρ

√ρ2 + z2P

M ~uρ

~uPM

B

A

O

Fig. 9 – Segment charge

On pose le changement de variable : z = ρ tan α ⇒ dz = ρcos2 αdα

Eρ(ρ) =λ

4πǫ0ρ

∫ α0

−α0

cosαdα =λ

4πǫ0ρ

l√(l/2)2 + ρ2

Resultat :

~E(ρ) =λ

4πǫ0ρ

l√(l/2)2 + ρ2

~uρ

Le comportement asymptotique ρ → 0 (ρ ≪ l) permet de retrouver le champ cree par une droite uniformementchargee :

~E(ρ) =λ

4πǫ0ρ

l√(l/2)2 + ρ2

~uρ −→ρ→0

λ

2πǫ0ρ~uρ

Le comportement asymptotique ρ → ∞ (ρ ≫ l) permet de retrouver le champ cree par une charge ponctuelleq = λl :

~E(ρ) =λ

4πǫ0ρ

l√(l/2)2 + ρ2

~uρ −→ρ→∞

λl

4πǫ0ρ2~uρ

Application :

Calcul du champ electrostatique sur l’axe d’une polygone regulier a N cotes. Passage a la limite : le cercle.

3.1.3 Cercle uniformement charge

Considerons un cercle C d’axe ∆, de rayon R, uniformement charge (λ = cst.).

La charge totale de la distribution est q = 2πRλ.

Etude des symetries :

On pose ∆ = (Oz), la distribution admet une symetrie de revolution.

Tout plan contenant l’axe ∆ du cercle C est plan de symetrie. Le plan du cercle C est plan de symetrie.

~E(M) = Eρ(ρ, z)~uρ + Ez(ρ, z)~uz

Sur l’axe du cercle :

~E(M) = Ez(z)~uz = −dV

dz(z)~uz

16

Calcul du champ electrique sur l’axe :

R

z

√R2 + z2

P

M ~uz

~uPM

O

Fig. 10 – Cercle charge

~E(M) = Ez(z)~uz =λ

4πǫ0

∫C

~uPM

PM2 dl

Par projection :

~E(M).~uz = Ez(z) =λ

4πǫ0

∫C

~uPM .~uz

PM2 dl

Si le cercle est dans le plan (Oxy), le point P est repere par ses coordonnees polaires (ρ = R, φ) :

Ez(z) =λ

4πǫ0

∫ π

−π

z

(R2 + z2)3/2Rdφ =

λ

2ǫ0

zR

(R2 + z2)3/2

Calcul du potentiel electrique :

Ez(z) = −dV

dz(z) ⇒ V (z) = −

∫ λ

2ǫ0

zR

(R2 + z2)3/2dz =

λ

2ǫ0

R√R2 + z2

L’origine des potentiels est prise a l’infini.

Resultats :

~E(z) =λ

2ǫ0

zR

(R2 + z2)3/2~uz V (z) =

λ

2ǫ0

R√R2 + z2

Tab. 9 – Cercle uniformement charge

−5.0 0 5.0

0

z

R

V (z)

Ez(z)

Fig. 11 – Cercle uniformement charge (λ > 0)

Le comportement asymptotique |z| → ∞ (|z| ≫ R) permet de retrouver le champ et le potentiel crees par unecharge ponctuelle q = 2πRλ :

17

~E(z) =λ

2ǫ0

zR

(R2 + z2)3/2~uz −→

|z|→∞

~E(z) =λ

2ǫ0

R

z2~uz =

2πRλ

4πǫ0z2~uz

V (z) =λ

2ǫ0

R√R2 + z2

−→|z|→∞

V (z) =λ

2ǫ0

R

z=

2πRλ

4πǫ0zss

3.2 Distributions surfaciques

3.2.1 Plan uniformement charge

Considerons un plan Π (infini) uniformement charge (σ = cst.).

La charge totale de la distribution est infinie.

Etude des symetries :

On pose Π = (Oxy), la distribution admet une symetrie de translation parallelement au plan Π.

Tout plan orthogonal au plan Π est plan de symetrie. Le plan Π est plan de symetrie.

~E(M) = Ez(z)~uz = −dV

dz(z)~uz

Calcul du champ electrique :

~E(M) = Ez(z)~uz =σ

4πǫ0

sΠ

~uPM

PM2 dS

Par projection :

~E(M).~uz = Ez(z) =σ

4πǫ0

sΠ

~uPM .~uz

PM2 dS

Le point P est repere par ses coordonnees polaires (ρ, φ) :

~E(M).~uz = Ez(z) =σ

4πǫ0

∫ ∞

ρ=0

∫ π

φ=−π

z

(ρ2 + z2)3/2ρdρdφ =

σz

4πǫ0

∫ ∞

ρ=0

ρdρ

(ρ2 + z2)3/2

∫ π

φ=−π dφ

Ez(z) =σz

2ǫ0

∫ ∞

ρ=0

ρdρ

(ρ2 + z2)3/2=

σz

2ǫ0

[− 1√

ρ2 + z2

]∞

0

=σ

2ǫ0

z

|z| =σ

2ǫ0sgn(z)

Calcul du potentiel electrique :

Ez(z) = −dV

dz(z) ⇒ V (z) = −

∫ σ

2ǫ0sgn(z)dz = − σ

2ǫ0|z|

En posant V (0) = 0, comme il y a des charges a l’infini, l’origine des potentiels ne peut etre prise a l’infini.

Resultats :

~E(z) =σ

2ǫ0sgn(z)~uz V (z) = − σ

2ǫ0|z|

Tab. 10 – Plan uniformement charge

Comme prevu, le champ electrique (sa composante normalle en fait) est discontinu a la traversee du plan charge.

Application :

Calcul du champ et du potentiel dans un condensateur plan constitue de 2 plans paralleles de densites de charges

18

−2.5 0 2.5

0

z

Ez(z)

V (z)

Fig. 12 – Plan uniformement charge (σ > 0)

opposees.

3.2.2 Disque uniformement charge

Considerons un disque D d’axe ∆, de rayon R, uniformement charge (σ = cst.).

La charge totale de la distribution est q = πR2σ.

Etude des symetries :

On pose ∆ = (Oz), la distribution admet une symetrie de revolution.

Tout plan contenant l’axe ∆ du disque D est plan de symetrie. Le plan du disque D est plan de symetrie.

~E(M) = Eρ(ρ, z)~uρ + Ez(ρ, z)~uz

Sur l’axe du disque :

~E(M) = Ez(z)~uz = −dV

dz(z)~uz

Calcul du champ electrique :

Rz

√ρ2 + z2

P

M ~uz

~uPM

O

ρ

dS

Fig. 13 – Disque charge

~E(M) = Ez(z)~uz =σ

4πǫ0

sD

~uPM

PM2 dS

Par projection :

19

~E(M).~uz = Ez(z) =σ

4πǫ0

sD

~uPM .~uz

PM2 dS

Si le disque est dans le plan (Oxy), le point P est repere par ses coordonnees polaires (ρ, φ) :

Ez(z) =σ

4πǫ0

∫ R

ρ=0

∫ π

φ=−π

z

(ρ2 + z2)3/2ρdρdφ =

σz

2ǫ0

∫ R

ρ=0

ρdρ

(ρ2 + z2)3/2=

σz

2ǫ0

[−1√

ρ2 + z2

]R

0

Ez(z) =σz

2ǫ0(

1

|z| −1√

R2 + z2) =

σ

2ǫ0(sgn(z) − z√

R2 + z2)

Calcul du potentiel electrique :

Ez(z) = −dV

dz(z) ⇒ V (z) = −

∫ σ

2ǫ0(sgn(z) − z√

R2 + z2)dz = − σ

2ǫ0(|z| + R −

√R2 + z2)

L’origine des potentiels est prise a z = 0.

Resultats :

~E(z) =σ

2ǫ0(sgn(z) − z√

R2 + z2)~uz V (z) = − σ

2ǫ0(|z| + R −

√R2 + z2)

Tab. 11 – Disque uniformement charge

−5.0 0 5.0

0

z

R

Ez(z)

V (z)

Fig. 14 – Disque uniformement charge (σ > 0)

Comme prevu, le champ electrique (sa composante normalle en fait) est discontinu a la traversee du disquecharge.

Le comportement asymptotique |z| → 0 (|z| ≪ R) permet de retrouver le champ et le potentiel crees par unplan uniformement charge :

~E(z) =σ

2ǫ0(sgn(z) − z√

R2 + z2)~uz −→

|z|→0

σ

2ǫ0sgn(z)~uz

Le comportement asymptotique |z| → ∞ (|z| ≫ R) permet de retrouver le champ et le potentiel crees par unecharge ponctuelle q = πR2σ :

~E(z) =σ

2ǫ0(sgn(z) − z√

R2 + z2)~uz =

σ

2ǫ0sgn(z)

(1 −

(1 +

(Rz

)2)−1/2

)~uz −→

|z|→∞

πR2σ

4πǫ0|z|~uz

20

3.2.3 Sphere uniformement chargee

Considerons une sphere S de rayon R, uniformement chargee (σ = cst.).

La charge totale de la distribution est q = 4πR2σ.

Etude des symetries :

La distribution admet une symetrie spherique.

Tout plan contenant le centre de la sphere S est plan de symetrie.

~E(M) = Er(r)~ur = −dV

dr(r)~ur

Calcul du potentiel electrique :

R

r

P

M

O

θ

PM2 = R2 + r2 − 2rR cos θ

Fig. 15 – Sphere chargee

V (M) = V (r) =σ

4πǫ0

sS

dS

PM

Si la sphere est de centre O, le point P est repere par ses coordonnees spheriques (r = R, θ, φ) :

V (r) =σ

4πǫ0

∫ π

θ=0

∫ π

φ=−π

R2 sin θdθdφ√R2 + r2 − 2rR cos θ

=R2σ

4πǫ0

∫ π

θ=0

sin θdθ√R2 + r2 − 2rR cos θ

∫ π

φ=−π dφ

V (r) =2πR2σ

4πǫ0

∫ π

θ=0

sin θdθ√R2 + r2 − 2rR cos θ

=2πRσ

4πǫ0r

[√R2 + r2 − 2rR cos θ

]π

0=

2πRσ

4πǫ0r(R + r − |R − r|)

Il faut alors considerer deux cas :

– V (r ≤ R) =Rσ

ǫ0=

q

4πǫ0R= cst.

– V (r ≥ R) =σR2

ǫ0r=

q

4πǫ0r

Calcul du champ electrique :

~E(M) = Er(r)~ur = −dV

dr(r)~ur

Il faut encore considerer deux cas :

– ~E(r ≤ R) = ~0

– ~E(r ≥ R) =σR2

ǫ0r2~ur =

q

4πǫ0r2~ur

Resultats :

Comme prevu, le champ electrique (sa composante normalle en fait) est discontinu a la traversee de la spherechargee.

21

V (r ≤ R) =q

4πǫ0R= cst. ~E(r ≤ R) = ~0

V (r ≥ R) =q

4πǫ0r~E(r ≥ R) =

q

4πǫ0r2~ur

Tab. 12 – Sphere uniformement chargee

1.0 5.00

r

R

Er(r)

V (r)

Fig. 16 – Sphere uniformement chargee (σ > 0)

A l’exterieur de la distribution a symetrie spherique, champ et potentiel sont ceux d’une charge ponctuelle quiserait centree sur la distribution et qui porterait sa charge totale q = 4πR2σ.

3.3 Distributions volumiques

3.3.1 Boule uniformement chargee

Considerons une boule B de rayon R, uniformement chargee (ρ = cst.).

La charge totale de la distribution est q = 43πR3ρ.

Etude des symetries :

La distribution admet une symetrie spherique.

Tout plan contenant le centre de la boule B est plan de symetrie.

~E(M) = Er(r)~ur = −dV

dr(r)~ur

Calcul du potentiel electrique :

r

rM

P

M

O

θ

PM2 = r2 + r2M − 2rMr cos θ

R

Fig. 17 – Boule chargee

22

V (M) = V (r) =ρ

4πǫ0

tB

dV

PM

Si la boule est de centre O, le point P est repere par ses coordonnees spheriques (r, θ, φ) :

V (rM ) =ρ

4πǫ0

∫ R

r=0

∫ π

θ=0

∫ π

φ=−π

r2 sin θdrdθdφ√r2 + r2

M − 2rMr cos θ=

ρ

4πǫ0

∫ R

r=0

∫ π

θ=0

sin θdθ√r2 + r2

M − 2rMr cos θr2dr

∫ π

φ=−πdφ

V (rM ) =2πρ

4πǫ0

∫ R

r=0

∫ π

θ=0

sin θdθ√r2 + r2

M − 2rMr cos θr2dr =

2πρ

4πǫ0rM

∫ R

r=0(r + rM − |r − rM |) rdr

Il faut alors considerer deux cas :

– V (rM ≤ R) =2πρ

4πǫ0rM

(∫ rM

r=02r2dr +

∫ R

r=rM

2rMrdr)

=2πρ

4πǫ0rM

(23r3

M + rM (R2 − r2M )

)=

q

4πǫ0R

(32 − r2

M

2R2

)

– V (rM ≥ R) =2πρ

4πǫ0rM

∫ R

r=0 2r2dr =q

4πǫ0rM

Calcul du champ electrique :

~E(M) = Er(r)~ur = −dV

dr(r)~ur

Il faut encore considerer deux cas :

– ~E(r ≤ R) =ρ

3ǫ0r~ur =

ρ

3ǫ0

−−→OM

– ~E(r ≥ R) =ρR3

3ǫ0r2~ur =

q

4πǫ0r2~ur

Resultats :

V (r ≤ R) =q

4πǫ0R

(32 − r2

2R2

)~E(r ≤ R) =

q

4πǫ0R3r~ur

V (r ≥ R) =q

4πǫ0r~E(r ≥ R) =

q

4πǫ0r2~ur

Tab. 13 – Boule uniformement chargee

1.0 2.0 4.0

r

R

V (r)Er(r)

0

Fig. 18 – Boule uniformement chargee (ρ > 0)

A l’exterieur de la distribution a symetrie spherique, champ et potentiel sont ceux d’une charge ponctuelle quiserait centree sur la distribution et qui porterait sa charge totale q = 4

3πR3ρ.

23

4 Theoreme de Gauss

4.1 Flux d’un champ vectoriel

Le flux d’un champ vectoriel ~X(M) a travers une surface orientee est donne par :

ΦS( ~X) =s

S~X.~ndS

Le vecteur ~n est normal en tout point a la surface orientee (par le sens du vecteur normal).

~n~X(M)

MdS

dΦ = ~X(M).~ndS = ~X(M).−→dS

Fig. 19 – Flux elementaire

Pour une surface fermee, le vecteur normal est oriente vers l’exterieur :

ΦSfermee( ~X) =

vSfermee

~X.~nextdS

4.2 Theoreme de Gauss

Enonce :

Le flux du champ electrique a travers une surface fermee est egala la charge contenue dans cette surface divisee par la permittivite electrique du vide.

ΦSfermee( ~E) =

vSfermee

~E.~nextdS =Qinterieur

ǫ0

Corollaire : En l’absence de charges, le champ electrique est a flux conservatif :

ΦSfermee( ~E) =

vSfermee

~E.~nextdS = 0 dans le vide

(voir le cours de magnetostatique pour les proprietes d’un champ a flux conservatif)

Liens utiles :

Theoreme de Gauss (Wikipedia)

Theoreme de Gauss (eduMedia)

24

4.3 Distribution a symetrie cylindrique

4.3.1 Theoreme

A l’exterieur d’une distribution de charges a symetrie cylindrique,champ et potentiel sont ceux d’une droite uniformement chargeeplacee sur l’axe de symetrie et portant sa charge lineıque totale.

~E(ρ > R) =λ

2πǫ0ρ~uρ V (ρ ≥ R) = − λ

2πǫ0ln

ρ

ρ0

(R = taille de la distribution)

Tab. 14 – Distribution a symetrie cylindrique

Demonstration :

Dans un probleme a symetrie cylindrique, le champ electrique est de la forme :

~E(ρ) = Eρ(ρ)~uρ

Calculons le flux d’un tel champ a travers un cylindre de rayon ρ, de hauteur h, de meme axe de symetrie quela distribution :

ΦS( ~E) =v

S~E.~ndS =

sSlat

Eρ(ρ)~uρ.~uρdS =s

Slat

Eρ(ρ)dS = Eρ(ρ)v

S dS = Eρ(ρ)2πρh

Le flux a travers les deux disques qui ferment le cylindre est nul car le champ electrique est tangent a ces disques.

~uρ~uρ

~uz

−~uz

~E = Eρ(ρ)~uρ

Fig. 20 – Theoreme de Gauss en symetrie cylindrique

Si on se place a l’exterieur de la distribution de taille R (ρ > R), le theoreme de Gauss nous donne :

ΦS( ~E) = 2πρhEρ(ρ) =λh

ǫ0=⇒ ~E(ρ) =

λ

2πǫ0ρ~uρ

Le potentiel electrique s’obtient par integration par rapport a ρ en posant V (ρ0) = 0.

4.3.2 Applications

Cylindre creux uniformement charge

Dans ce probleme a symetrie cylindrique, le flux du champ electrique a travers un cylindre de rayon ρ, dehauteur h, de meme axe de symetrie que la distribution est donnee par :

ΦS( ~E) = Eρ(ρ)2πρh =Qinterieur

ǫ0=⇒ Eρ(ρ) =

Qinterieur/h

2πǫ0ρ

Le flux a travers les deux disques qui ferment le cylindre est nul car le champ electrique est tangent a ces disques.

25

Considerons alors deux cas :

– Pour un cylindre de Gauss plus grand que le cylindre charge (ρ > R) : Qinterieur = q = 2πRhσ = λh

Eρ(ρ > R) =λ

2πǫ0ρ– Pour un cylindre de Gauss plus petit que le cylindre charge (ρ < R) : Qinterieur = 0

Eρ(ρ < R) = 0

Le champ est discontinu a la traversee de la surface chargee du cylindre.

Cylindre plein uniformement charge

Dans ce probleme a symetrie cylindrique, le flux du champ electrique a travers un cylindre de rayon ρ, dehauteur h, de meme axe de symetrie que la distribution est donnee par :

ΦS( ~E) = Eρ(ρ)2πρh =Qinterieur

ǫ0=⇒ Eρ(ρ) =

Qinterieur/h

2πǫ0ρ

Le flux a travers les deux disques qui ferment le cylindre est nul car le champ electrique est tangent a ces disques.

Considerons alors deux cas :

– Pour un cylindre de Gauss plus grand que le cylindre charge (ρ ≥ R) : Qinterieur = q = πR2hρv = λh

Eρ(ρ ≥ R) =λ

2πǫ0ρ

– Pour un cylindre de Gauss plus petit que le cylindre charge (ρ ≤ R) : Qinterieur = πρ2hρv = λh( ρ

R

)2

Eρ(ρ ≤ R) =λρ

2πǫ0R2

Le champ est continu car il n’y a pas de surface chargee.

4.4 Distribution a symetrie spherique

4.4.1 Theoreme

A l’exterieur d’une distribution de charges a symetrie spherique,champ et potentiel sont ceux d’une charge ponctuelle

placee au centre de la distribution et portant sa charge totale.

~E(r > R) =q

4πǫ0r2~ur V (r ≥ R) =

q

4πǫ0r

(R = taille de la distribution)

Tab. 15 – Distribution a symetrie spherique

Demonstration :

Dans un probleme a symetrie spherique, le champ electrique est de la forme :

~E(r) = Er(r)~ur

Calculons le flux d’un tel champ a travers une sphere de rayon r centree sur la distribution :

ΦS( ~E) =v

S~E.~ndS =

vS

Er(r)~ur.~urdS =v

SEr(r)dS = Er(r)

vS

dS = Er(r)4πr2

Si on se place a l’exterieur de la distribution de taille R (r > R), le theoreme de Gauss nous donne :

ΦS( ~E) = 4πr2Er(r) =q

ǫ0=⇒ ~E(r) =

q

4πǫ0r2~ur

26

~ur

~E = Er(r)~ur

~ur

~ur

~ur

O

Fig. 21 – Theoreme de Gauss en symetrie spherique

Le potentiel electrique s’obtient par integration par rapport a r en posant V (∞) = 0.

4.4.2 Applications

Sphere uniformement chargee (voir 3.2.3)

Dans ce probleme a symetrie spherique, le flux du champ electrique a travers une sphere de rayon r centree surla distribution est donnee par :

ΦS( ~E) = Er(r)4πr2 =Qinterieur

ǫ0=⇒ Er(r) =

Qinterieur

4πǫ0r2

Considerons alors deux cas :

– Pour une sphere de Gauss plus grande que la sphere chargee (r > R) : Qinterieur = q = 4πR2σ

Er(r > R) =q

4πǫ0r2

– Pour une sphere de Gauss plus petite que la sphere chargee (r < R) : Qinterieur = 0Er(r < R) = 0

Le champ est discontinu a la traversee de la surface chargee de la sphere.

Boule uniformement chargee (voir 3.3.1)

Dans ce probleme a symetrie spherique, le flux du champ electrique a travers une sphere de rayon r centree surla distribution est donnee par :

ΦS( ~E) = Er(r)4πr2 =Qinterieur

ǫ0=⇒ Er(r) =

Qinterieur

4πǫ0r2

Considerons alors deux cas :

– Pour une sphere de Gauss plus grande que la boule chargee (r ≥ R) : Qinterieur = q = 43πR3ρ

Er(r ≥ R) =q

4πǫ0r2

– Pour une sphere de Gauss plus petite que la boule chargee (r ≤ R) : Qinterieur = 43πr3ρ = q

( r

R

)3

Er(r ≤ R) =qr

4πǫ0R3

Le champ est continu car il n’y a pas de surface chargee.

27

4.5 Applications

4.5.1 Theoreme de l’extremum du potentiel

Enonce :

Le potentiel electrique n’admet pas d’extremum en dehors des points ou sont placees les charges.

Demonstration :

Au voisinage d’un maximum local M du potentiel electrique, les lignes de champs sont ”partantes” de ce pointcar orientees dans le sens des potentiels decroissants. Le flux a travers la bordure de ce voisinage est forcementpositif : il y a des charges (positives) dans le voisinage.

Vmax > V1 > V2 > V3

V1

V2

V3

Vmax

Fig. 22 – Theoreme de l’extremum du potentiel

Au voisinage d’un minimum local M du potentiel electrique, les lignes de champs sont ”incidentes” en ce pointcar orientees dans le sens des potentiels decroissants. Le flux a travers la bordure de ce voisinage est forcementnegatif : il y a des charges (negatives) dans le voisinage.

4.5.2 Forme locale du theoreme de Gauss : equation de en dehors

Considerons un element de volume infinitesimal (dV = dxdydz) du systeme de coordonnees cartesiennes centresur un point P (x, y, z). Cet element porte une charge infinitesimale dq = ρ(P )dV .

Le flux a travers sa surface se decompose en autant de termes que de faces : 6

dΦdS( ~E) =∑6

i=1 dΦdSi( ~E)

dΦdS1( ~E) = ~E(x − dx/2, y, z).(−~ex)dydz =

Ex(x − dx/2, y, z)

dxdxdydz

dΦdS2( ~E) = ~E(x + dx/2, y, z).(+~ex)dydz =

Ex(x + dx/2, y, z)

dxdxdydz

dΦdS3( ~E) = ~E(x, y − dy/2, z).(−~ey)dzdx =

Ey(x, y − dy/2, z)

dydxdydz

dΦdS4( ~E) = ~E(x, y + dy/2, z).(+~ey)dzdx =

Ey(x, y + dy/2, z)

dydxdydz

dΦdS5( ~E) = ~E(x, y, z − dz/2).(−~ez)dxdy =

Ez(x, y, z + dz/2)

dzdxdydz

dΦdS6( ~E) = ~E(x, y, z + dz/2).(+~ez)dxdy =

Ez(x, y, z + dz/2)

dzdxdydz

dΦdS1( ~E) + dΦdS2

( ~E) =Ex(x + dx/2, y, z)− Ex(x − dx/2, y, z)

dxdV =

∂Ex

∂x(x, y, z)dV

dΦdS3( ~E) + dΦdS4

( ~E) =Ex(x, y + dy/2, z)− Ex(x, y − dy/2, z)

dydV =

∂Ey

∂y(x, y, z)dV

dΦdS5( ~E) + dΦdS6

( ~E) =Ez(x, y, z + dz/2)− Ez(x, y, z − dz/2)

dzdV =

∂Ez

∂z(x, y, z)dV

28

dΦdS( ~E) =

(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

)dV =

dq

ǫ0=

ρ(P )dV

ǫ0

On obtient alors l’equation locale (au point P ) de Maxwell-Gauss :

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z= div ~E =

ρ

ǫ0

La divergence div est un operateur differentiel qui transforme un champ vectoriel en champ scalaire.

Comme le champ electrique est un champ de gradient :

Ex = −∂V

∂xEy = −∂V

∂yEz = −∂V

∂y

En remplacant dans l’equation de Maxwell-Gauss, on obtient l’equation de Poisson :

∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= ∆V = − ρ

ǫ0

Qui en l’absence de charges (ρ = 0) devient l’equation de Laplace :

∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= ∆V = 0

Le laplacien ∆ est un operateur differentiel qui transforme un champ scalaire en champ scalaire.

4.5.3 Tube de champ

Definition :

Un tube de champ est un volume engendre par deplacement d’une surface le long des lignes de champ.

Φentrant =s

Samont

~E.~nentrantedS Φsortant =s

Saval

~E.~nsortantedS

~nsortante

~nentrante

Fig. 23 – Tube de champ electrique

Le champ est en tout point tangent a la surface laterale du tube. Seuls les flux entrant et sortants sont nonnuls :

Φsortant − Φentrant =Qinterieur

ǫ0

29

5 Le dipole electrostatique

5.1 Definition

Un dipole electrostatique est constitue de deux charges opposees (+q placee en P+ et −q placee en P−) placeea une distance a l’une de l’autre.

Pour tout dipole electrostatique, on defini son moment dipolaire electrique :

~p = q−−−→P−P+ (de norme qa en C.m)

Ce systeme admet une symetrie de revolution autour de l’axe des charges :

~E(r, θ) = Er(r, θ)~ur + Eθ(r, θ)~uθ

De plus, le plan mediateur des charges est aussi plan d’antisymetrie.

Dans toute la suite, on se placera a grande distance du dipole : r ≫ a.

L’etude du dipole electrostatique a de tres nombreuses applications :

– En physique, pour l’etude des dielectrique et la polarisation des materiaux.– En chimie, pour l’etude des molecules polaires et des forces de van der Waals.

Liens utiles :

Dipole electrostatique (Wikipedia)

5.2 Etude a grande distance

5.2.1 Calcul du potentiel

Placons l’axe (Oz) sur l’axe de symetrie du dipole et l’origine O au milieu des 2 charges :

P−(0, 0,−a2 ) P+(0, 0, +a

2 )

Calculons le potentiel electrique cree par ces deux charges :

V (M) =+q

4πǫ0P+M+

−q

4πǫ0P−M=

q

4πǫ0

(1

P+M− 1

P−M

)

a

zO

P− P+

M

P−M P+M

r

θ

Fig. 24 – Dipole electrostatique

Utilisons deux fois le theoreme d’Al-Kashi :

30

{P+M2 = r2 + (a

2 )2 − ar cos θ = r2(1 + ( a

2r )2 − ar cos θ

)

P−M2 = r2 + (a2 )2 + ar cos θ = r2

(1 + ( a

2r )2 + ar cos θ

)

On se limite au terme d’ordre 1 en ar :

{P+M−1 = r−1

(1 + ( a

2r )2 − ar cos θ

)− 1

2 ≈ r−1(1 + a

2r cos θ)

P−M−1 = r−1(1 + ( a

2r )2 + ar cos θ

)− 1

2 ≈ r−1(1 − a

2r cos θ)

Finalement :

V (r, θ) =q

4πǫ0r

(1 + a

2r cos θ − 1 + a2r cos θ

)=

qa cos θ

4πǫ0r2

L’origine des potentiels a ete prise a l’infini.

Le potentiel obtenu decroıt en 1/r2 (1/r pour une charge ponctuelle).

5.2.2 Calcul du champ

On calcule alors le gradient du potentiel electrique :

Er(r, θ) = −∂V

∂r=

2qa cos θ

4πǫ0r3

Eθ(r, θ) = −1

r

∂V

∂θ=

qa sin θ

4πǫ0r3

Le champ obtenu decroıt en 1/r3 (1/r2 pour une charge ponctuelle) et n’est pas radial.

5.3 Lignes de champ et equipotentielles

V (r, θ) =qa cos θ

4πǫ0r2=

~p.~ur

4πǫ0r2

Er(r, θ) =2qa cos θ

4πǫ0r3

Eθ(r, θ) =qa sin θ

4πǫ0r3

Tab. 16 – Dipole electrostatique (r ≫ a)

Lignes de champs :

dr

Er=

rdθ

Eθ=

r sin θdφ

Eφ=⇒

dr

2 cos θ=

rdθ

sin θdφ = 0

=⇒

dr

r= 2

cos θdθ

sin θdφ = 0

=⇒{

r = k sin2 θ k ∈ R+

φ = cst.

Equipotentielles :

V (M) = cst. =⇒ r =√

k cos θ k ∈ R

5.4 Developpement multipolaire

Considerons une distribution de charges (continue ou discrete) et essayons de determiner champ et potentiels agrande distance de cette distribution. Un calcul plus pousse que celui du paragraphe precedent donne :

V (M) =1

4πǫ0r

∑qi

︸ ︷︷ ︸monopole

+1

4πǫ0r2

∑qiri cos θi

︸ ︷︷ ︸dipole

+1

4πǫ0r3

∑ qiri

2(3 cos2 θi − 1)

︸ ︷︷ ︸quadrupole

+O( 1r4 )

31

4

10

5

00

-5

-4 2-2

-10

4

2

00

-4

42-4-6

-2

6-2

Lignes de champ Equipotentielles

-2

0

-4

-2-4

4

4

2

20

40

-100

20

100

50

00

-50

-40 -20

Fig. 25 – Lignes de champ et equipotentielles du dipole electrostatique

Charge totale q =∑

qiq

4πǫ0r

Moment dipolaire ~p =∑

qi~ri~p.~ur

4πǫ0r2

Moment quadripolaire, hexapolaire, octupolaire... tenseurs d’ordres 2, 3, 4... ...

Tab. 17 – Developpement multipolaire

V (M) =q

4πǫ0r︸ ︷︷ ︸monopole

+~p.~ur

4πǫ0r2︸ ︷︷ ︸dipole

+~ur.Q(~ur)

8πǫ0r3︸ ︷︷ ︸quadrupole

+O( 1r4 )

Les distributions sont classees de la facon suivante :

– Monopolaire : charge totale non nulle (ions).– Dipolaire : charge totale nulle (neutre), moment dipolaire non nul (H2O,NH3,HCl, voir molecule polaire).– Quadrupolaire : charge totale nulle, moment dipolaire nul, moment quadripolaire non nul (CO2).– ...

5.5 Action d’un champ exterieur sur un dipole electrostatique

On se limite au cas d’un champ exterieur uniforme et constant.

L’axe (Oz) est celui du dipole centre sur l’origine O :

~p = qa~uz

Resultante :

32

~F (P+) + ~F (P−) = q(

~E(P+) − ~E(P−))≈ qa

∂ ~E

∂z(O) =

(~p.−−→grad

)~E = ~0

Moment resultant :

~MO(~F (P+)) + ~MO(~F (P−)) = q(−−→OP+ ∧ ~E(P+) −−−→

OP− ∧ ~E(P−))

= q−−−→P−P+ ∧ ~E(O) = ~p ∧ ~E

Energie potentielle :

Ep = q (V (P+) − V (P−)) ≈ qa∂V

∂z(O) = −qaEz(O) = −~p. ~E

Resultats :

Force resultante ~F =(~p.−−→grad

)~E

Moment resultant ~MO = ~p ∧ ~E

Energie potentielle Ep = −~p. ~E

Tab. 18 – Action d’un champ exterieur sur un dipole

−150.0 −100.0 −50.0 0 50.0 100.0 150.0−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

−0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

θ = (~p, ~E)

Ep

qa

Fig. 26 – Energie potentielle d’orientation

33