Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble)

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advection-diffusion 2-D (Martin, 2003)

Conditions aux Frontières Conditions aux Frontières Ouvertes Ouvertes

Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO

Cadre : Modélisation de phénomènes multi-échelles et/ou multi-

physiques par emboîtement ou couplage de modèles (avec ou sans recouvrement)

Objectifs : Robustesse de la méthode de résolution Efficacité numérique (coût, stockage) Implémentation numérique aussi indépendante que possible

des modèles numériques utilisés

Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO

Quelles conditions imposer sur les frontières ouvertes ?

Illustration du problème des frontières ouvertes

Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Un seul domaine

Illustration du problème des frontières ouvertes

Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions à l ’interface : Dirichlet-Dirichlet Solution après 2 itérations

Formalisation du problème

Déterminer quelles sont les propriétés à assurer au niveau de l’interface continuité, dérivabilité de telle ou telle quantité, échange

de flux…

loc

ext

Les applications pratiques ne résolvent (en général) pas le problème exact, mais des formes approchées.

Formalisation du problème

En pratique Le modèle « extérieur » n’est pas toujours disponible on-

line. On peut n’avoir qu’un seul modèle, « forcé » par des solutions de l’autre.

Il peut y avoir un recouvrement entre les deux modèles (cas de modèles « emboîtés »). Dans ce cas, le modèle extérieur n’est pas défini sur ext, mais sur ext + loc . Le modifier pour « faire un trou » et éviter ce recouvrement serait très coûteux.

On peut être limité par les moyens de calcul, et vouloir un couplage « économique ».

loc

ext

loc

ext

Le problème de frontière ouverte

Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?

loc

ext

Le problème de frontière ouverte

Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?

Une condition aux limites est constituée par des données externes

• provenant d’une base de données ou d’un modèle externe un opérateur mathématique

Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?

Cahier des charges Evacuer l’information sortante Conserver la partie pertinente, i.e. entrante, de

l’information extérieure

Comment séparer l’information entrante de l’information sortante ?

loc

ext

Le problème de frontière ouverte

Séparer l’information sortante et l’information entrante

Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans

la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :

La solution exacte est

c

t = 0 t = d/c

d x

Séparer l’information sortante et l’information entrante

Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans

la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :

La solution exacte est

Dans un domaine limité

c

x

Information extérieure requise

Aucune information extérieure requise

Séparer l’information sortante et l’information entrante

Exemple basique : équation de transport 2-D

même comportement

Information extérieure requise

Aucune information extérieure requise

Séparer l’information sortante et l’information entrante

De telles équations qui décrivent la propagation de quantités à des vitesses constantes sont appelées équations hyperboliques.

Les systèmes et les équations hyperboliques sont souvent beaucoup plus complexes que l’ équation de transport.

Mais ils peuvent être, au moins localement, transformés en un ensemble d’équations de transport (approchées) appliqué à de nouvelles variables, appelées variables caractéristiques (ou invariants de Riemann).

Pour que le problème hyperbolique soit bien posé, les seules conditions aux limites à spécifier correspondent aux variables caractéristiques entrantes. 1 CFO pour chaque variable caractéristique entrante pas de CFO pour les variables caractéristiques sortantes

Pour un système hyperbolique de la forme

diagonaliser la matrice A conduit à déterminer les variables caractéristiques

Système hyperbolique et variables caractéristiques

Méthode des caractéristiques

Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D Frontière ouverte Est ou Ouest

Linéarisation du système

Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Diagonalisation de A1 Soit

. Aux valeurs propres , , ,

correspondent les variables caractéristiques

, ,

• Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes

• Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante

Par combinaison linéaire

Méthode des caractéristiques

Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Flux d’information aux frontières ouvertes

Méthode des caractéristiques

L’ajout de non-linéarités, de paramétrisations sous-mailles, de forçages, ne change pas fondamentalement le comportement.

Variables caractéristiques sortantes Leur valeur sur la frontière ouverte doit être obtenue à partir

de valeurs internes au domaine (par extrapolation, ou en résolvant les équations de transport correspondantes).

Exemple du modèle de Saint-Venant 2-D pour une frontière Est :

• Transport de w :• Extrapolation :

Variables caractéristiques entrantes Leur valeur doit être spécifiée sur la frontière ouverte à partir

de données externes : B w = B wext (B opérateur) Choix le plus simple : B = Id w = wext

Si on ne dispose pas de données externes fiables, on peut considérer des hypothèses « raisonnables », comme par exemple dw/dn=0 (équivalent à B = d/dn et dwext/dn=0 )

Méthode des caractéristiques

Méthode des caractéristiques

Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes :

• B1 w1 = B1 w1ext

• extrapolation de v et w3

Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante :

• B2 w1 = B2 w1ext, B3 v = B3 vext

• extrapolation de w3

Démarche de la méthode des caractéristiques : Résumé Déterminer de façon analytique les variables

caractéristiques du modèle en considérant la partie hyperbolique des équations. Ces variables sont des combinaisons linéaires des variables du modèle d’origine.

Extrapoler les variables caractéristiques sortantes sur la frontière ouverte.

Utiliser une condition de la forme B w = B wext pour chaque variable caractéristique entrante.

Systèmes non hyperboliques et conditions absorbantes

Des améliorations supplémentaires peuvent être obtenues en considérant les équations complètes (plutôt que leur partie hyperbolique seule) théorie des conditions absorbantes (Engquist and Majda, 1977; Halpern, 1986; Nataf et al., 1995; Lie, 2001)

Conditions absorbantes

Principe Solution vraie :

Solution tronquée :

Erreur :

Si on trouve C tel que Ce=0, alors e=0 (condition absorbante)

Conditions absorbantes

Exemple 1-D

Solution

Dans le domaine = {x<0},

d ’où

0

avec

Conditions absorbantes

Les conditions absorbantes sont également calculables pour des équations plus complexes. Elles ne sont alors souvent pas directement applicables, mais on peut les approximer.

Pour des équations hyperboliques, l’approximation d’ordre 0 rejoint l’approche précédente par variables caractéristiques.

Couplage par méthode de Schwarz

Itération

Coût de l’algo de Schwarz = coût des modèles x nb d’itérations Trouver des conditions d’interface qui assurent une convergence rapide

Erreurs

Si on trouve C1 et C2 tels que C1 e2n = 0 et C2 e1

n = 0, alors l’algorithme converge exactement en deux itérations.

Conditions absorbantes

Couplage par méthode de Schwarz globale en temps

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)

Transformée de Fourier en temps et en espace (selon la tangente à la frontière ouverte considérée)

équation complexe en d/dn Recherche des racines de l’équation caractéristique

Conditions absorbantes

x=0

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Transformées de Fourier des erreurs : solutions

exprimées en fonction des +/-

CFO par transformée de Fourier inverse

Conditions absorbantes exactes (ou idéales)

Conditions absorbantes exactes

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Problème : les opérateurs pseudo-différentiels +/- ne

sont pas locaux recherche de conditions locales par approximations

2 approches• Approximations par DL de Taylor• Optimisation du taux de convergence de

l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées

Conditions absorbantes approchées

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Approximations par DL de Taylor

• Ordre 0

• Ordre 1

Conditions absorbantes approchées

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence de

l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées

• hypothèse :

• c’est-à-dire

• Résoudre le problème d’optimisation

Minimiser

Conditions absorbantes optimisées

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence de

l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées

• Minimiser

revient à– à l’ordre 0, trouver p qui minimise

– à l’ordre 1, trouver p et q qui minimisent

Conditions absorbantes optimisées

Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Résultats

Conditions absorbantes locales

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Conditions absorbantes locales

Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » 1 seul domaine

Conditions absorbantes locales

Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions absorbantes optimisées à l’interface Solution après 2 itérations

Pour finir...

Problèmes de frontières ouvertes pour le couplage Ecrire le problème couplé continu Déterminer les quantités à échanger, les propriétés à

conserver… En fonction du type d’équation et des contraintes

pratiques, se tourner vers des outils de type méthode de caractéristiques, conditions absorbantes, …

Travaux en cours dans le cadre du couplage de modèles océaniques Recherche de conditions aux frontières absorbantes pour

• équations d’advection-diffusion bi-harmoniques 2-D et 3-D• équations de Saint-Venant avec termes dissipatifs

(paraboliques) et termes de Coriolis Méthode des caractéristiques pour les équations primitives

3-D (modes verticaux, partie barocline)