EMD2_16_juin_2004.pdf

Universit de Boumerds-Facult des sciences-Dpartement de physique Recueil dexamens de Mcanique rationnelle de 1999 2009 :A.KADI ; A.HADI

1

Anne 20003-2004

EMD2 : Mcanique Rationnelle

Dure : 1h 30 mn Exercice 01 : (06 points)

Figure 01 :

Exercice 02 : (14 points) Un systme de ventilation automatis est compos de deux barres identiques et homognes, soudes entre elles au point A et dune hlice de rayon R et de masse M. (S1) : Barre : OA = L de masse m ; (S2) : Barre : AB = L de masse m ;

(S3) : Hlice : BM = BN = R de masse M . Le systme est en mouvement comme le montre la figure (2).

Le tenseur dinertie en B de lhlice dans le repre 2R est donn par :

2

23

000000

)(

RAB

A

RSI B

=

Le repre ),,,( 1111zyxOR est en rotation par rapport 0R autour de laxe

210 zzz sens positif Le repre ),,,( 2222

zyxAR de centre A est tel que

21// yy

Le repre ),,,( 3333zyxBR est en rotation par rapport 2R autour de laxe

32 yy sens ngatif. R2 : est le repre de projection

On considre que : Cte= et Cte=

Soit le solide homogne suivant form dun cne plein de

masse M de hauteur h et de rayon R et dune demi

sphre pleine de masse m de mme rayon R , souds

entre eux comme indiqu sur la figure 01.

1) Dterminer le tenseur dinertie du solide au point O ;

dans le repre ),,,(zyxOR

On donne : = zRAG

83

y

z

x

R

h

G A


2

Dterminer : 1) Le centre dinertie du systme dans le repre R2 ; 2) Le tenseur dinertie du systme au point A dans le repre R2 ; 3) La matrice de passage de R0 vers R1 et de R3 vers R2 ; 4) La vitesse de rotation instantane du repre R3 par rapport R0 ; 5) La vitesse et lacclration absolues du point B par drivation ; 6) La vitesse et lacclration absolues du point M par la cinmatique du solide ; 7) La vitesse et lacclration absolues du point N par composition de mouvement, R2 tant le

repre relatif ;

8) Le moment cintique du solide S3 au point A dans le repre R2; 9) Le moment dynamique du solide S3 au point A dans le repre R2; 10) Lnergie cintique du systme

(S3)

(S2)

(S1)

B

N 32 yy

O

0y

1y

1x

= 210 zzz

0x

M L

A L

N

B

3z

2x

2z

3x M


3

SOLUTION : Exercice N01 : Moment dinertie du systme au point O : )()()( 21 SISIsystI OOO += Cne : (S1) ; Demi sphre : (S2) 1) Cne : Deux plans de symtrie (xoz) et (yoz) 0=== yzxzxy III Les axes ox et oy jouent le mme rle : yyxx II = Nous avons : 222 ryx =+ et llment de volume est gal : rdrdzdvdm 2== Dans les triangles OAB et OCD , nous avons

OAOC

ABCD =

hz

Rr = z

hRr =

zhRr


4

++

=22

22

22

10

10300

053

2030

0053

203

)(

mR

mhmR

mhmR

SI

2) Demi sphre pleine : Deux plans de symtrie (xAz) et (yAz) 0=== yzxzxy III Cest la moiti dune sphre de centre A. dans une symtrie sphrique nous avons zzyyxx III == Avec : 2222 rzyx =++ et llment de volume est gal : drdrrddvdm cos== Nous avons alors :

++=+++++=++=1 1 1 1

)(2)()()(3 222222222S S S S

zzyyxxxx dmzyxdmyxdmzxdmzyIIII

5.41.2

52cos2cos23

23

52/

0

2

00

42

1

RRRdrddrrdrdrrdrIR

Sxx

====

comme la masse de la demi sphre est gale : 332 RM =

22

3

52

52.

32 MRRRI xx == , nous avons donc le tenseur dinertie de la demi-sphre au point A :

=

=

AA

A

MRMR

MRSI A

000000

5/20005/20005/2

)(2

2

2

2

Pour dterminer le tenseur dinertie au point O nous devons passer la le centre dinertie en utilisant le thorme de Huygens deux fois : on passe de A vers G puis de G vers O. [ ]233 )()( MdSISI GA += [ ]233 )()( MdSISI AG =

avec : G ayant pour coordonnes )8

3,0,0( R dans le repre R(Ax,y,z)

=

ARMA

RMASIG

000)8/3(000)8/3(

)( 22

2

Par la suite :

[ ]233 ')()( MdSISI GO += , avec : G ayant pour coordonnes )83,0,0( hR + dans le repre R(Ox,y,z)

( )( )

++

++=

AhRMRMA

hRMRMASIO

0008/3)8/3(0008/3)8/3(

)( 2222

2


5

Exercice 02 : 1) Centre dinertie du systme :

=

2/00

2

1

LR

AG ;

=0

2/0

2

2 L

R

AG ;

=0

0

2

3 L

R

AG

+ +

+=

MmmL

MmLMLm

R

AG

22/

2.)2/.(

0

2

2) Tenseur dinertie du systme:

=

00003/0003/

)( 22

1 mLmL

SI A et

=

3/00000003/

)(2

2

2

mL

mLSI A

=

AB

ASI B

000000

)( 3 ; Huygens

+

+=

2

2

3

000000

)(MLA

BMLA

SI A

+++

++=

3/0003/0003/2

)(22

2

22

mLMLAmLB

mLMLASystmeI A

3) Matrices de passage :

=

1000cossin0sincos

10

RRP et

=

cos0sin010

sin0cos

23 RRP

4) Vitesse de rotation instantane du repre R3 par rapport au repre R0

=++=++=

0 0

2

2201

12

23

03

R

zy

5) )(0 BV

et )(0 B par drivation

=+=+= LLyLzLABOAOB0

22 ;

=

=+==

00

000

)(

222

02

200

L

RLL

RR

OBdtOBd

dtOBdBV ; avec

= 02

dtOBd


6

=

=+==

0

0

000

0)()()()( 2

22

2

00

2

02

00

0

L

R

L

RR

BVdt

BVddt

BVdB ; avec

= 0)( 02

dtBVd

6) )(0 MV

et )(0 M par la cinmatique du solide

+= BMBVMV 0300 )()( avec :

=

=

sin0

cos

00

23R

R

R

R

R

BM

=

+

=

cos

cos

sin

sin0

cos0

00)(

222

2

0

R

R

RL

RR

R

RR

L

R

BV

)()()( 0303

03

000

++= BMBM

dtdBM

)(0 B : dj calcule

=

=+=

00

000

222

03

02

03

203

0

RRR

dtd

dtd

avec

= 003

2

dtd

( et sont constantes)

=

=

0sin

0

sin0

cos

00

222

03

0

R

RR

R

RR

BMdt

d

=

=

cos

cos

sin0

sin0

cos00)(

22222

03

03

R

R

R

RRR

R

RRR

BM

=

sin

sin

coscos

)(2

22

2

03

03

R

R

RR

R

BM

do :

=

sin

sin2

coscos

)(2

2

22

2

0

R

RL

RR

R

M


7

7) )(0 NV

et )(0 N par composition de mouvement

)()()( 0220 NVNVNV

+= , avec

=+=+=

cos

sin

32

RL

RzRyLBNABAN

sin

0cos

)(

2

22

==

R

R

R

dtANdNV

=

=+=

0cos

cos

sin00

)()(

222

02

002

R

L

RR

LR

RR

ANAVNV

=

sin

cos

cos

)(

2

0

R

R

RL

R

NV

)()()()( 0220 NNNN c

++=

cos

0sin

)()(2

2

2

222

==

R

R

R

dtNVdN

=++=

cos

sin00

00

)()()(

222

02

02

02

000

2

RL

R

RRR

ANANdt

dAN

0

sin

)( 2

2

2

02

=

LR

R

N

=

==

0cos2

0

sin0cos

00

2)(2)(

22

2

202

R

RR

R

RR

NVNc


8

cos

cos2

sinsin

)(2

2

22

2

0

+=

R

RL

RR

R

N

8) Moment cintique du solide (S3) au point A

)()()()( 003000 BVMABIBVMABBA B

+=+=

++=

+

= 222

2222

0 )(00

0

0

0

000000

)( zMLAyB

R

LM

R

L

RRAB

AA

9) Moment dynamique du solide (S3) au point A

)()()()( 0000

0 BVMAVdt

AdA

+= or = 0)(0 AV alors :

)()()()( 0020200

0 Adt

Addt

AdA

+== avec

= 0)(02

dtAd car , : sont constantes

=

+

= 2

2

22

0

)(

0

00

)( xB

RMLA

B

R

A

10) Energie cintique du systme au point A

solide (S1) : 01 =cE ; = 0)( 10 GV et 0=zzI dans R2

solide (S2) : 632

100

3/00000003/

),0,0(21

21 2222

2

2

02

022

==

==

mLmL

mL

mLIE Ac

solide (S3) :

+

=+

=

0

000000

),,0(21

21

21)(

21 20

303

20

3

AB

ALMIBVME Bc

++= 22223 21

21

21 ABMLEc

Energie cintique du systme : Ec = Ec1 + Ec2 +Ec3

++

+= 2222

2

21

21

321)( ABMLmLTotaleEc

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