Enseigner le calcul au CM1 – CM2

Evaluation Internationale TIMSS 4°

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Croatie

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France

Ensemble des domaines Nombres

régions de l'Union Européenne ayant participé à TIMSS 4 en

Evaluation Internationale TIMSS 4°

Automatismes – M12

Développer les automatismes de calcul à tous les âges par des pratiques rituelles(répétition, calculs mental et intelligent, etc.), pour favoriser la mémorisation et libérerl’esprit des élèves en vue de la résolution de problèmes motivants.

21 mesures principales

pour l’enseignement des mathématiques

Rapport Cédric Villani 12 février 2018

Les différents calculs …

Calcul mental

Calcul en ligne

Calcul posé

Calcul instrumenté

calcul mental, calcul en ligne, calcul posé…

Calcul mental…« Comment faire du calcul mental qui soit plus efficace ? »Ollivier HUNAULT

è 3 mots …

Comment faire du calcul mental qui soit plus efficace ?

1 – assurer la connaissance de faits numériques

2 – développer la connaissance de procédures de calcul mental

3 – renforcer les capacités et compétences mathématiques

Un peu de calcul !

32 x 25

Un peu de calcul !

20 secondes…

Procédures pour 32x25

1 - La simulation du calcul poséØA un moment ou à un autre du calcul, le sujet peut être

amené à « poser un calcul dans sa tête »

ØCalcul de la multiplication « posée dans la tête » (l’algorithme écrit)

32 25x 25 x 32

2 - Les procédures mobilisant des décompositions additives

ØProcédure canonique : utilisant la distributivité « simple » de la multiplication sur l’addition

§ 32 x 25 = 32 x 20 + 32 x 5 = 640 + 160 = 800§ 25 x 32 = 25 x 30 + 25 x 2 = 750 + 50 = 800

ØCalcul utilisant la distributivité « complexe » de la multiplication sur l’addition

§ 32 x 25 = (30 + 2) x (20 + 5) 32 x 25 = 30 x 20 + 30 x 5 + 2 x 20 + 2 x 532 x 25 = 600 + 150 + 40 + 10 = 800

3 - Les procédures mobilisant des décompositions multiplicatives

§ 32 x 25 = 32 x 100 : 4 = 3200 : 4 = 800§ 32 x 25 = 32 x 100 x 1/ 4 = 3200 x 1/ 4 = 800§ 32 x 25 = 8 x 4 x 25 = 8 x 100 = 800

4 - Ou bien (plus rarement encore) :§ 32 x 25 = 32 x 50/2 =( 32 x 5 x 10)/2 = 160x10/2 =

1600/2 = 800§ 32 x 25 = 16 x 50 = 8 x 100

32

Moitié de 64

Quadruple de 8

8x4

4x8

30 + 2

(3x10) + 2

16 +16

16x2

Double de 16

64/2

25

Moitié de 50

50/2

5+20

(2x10)+5

20+5

100 : 4

100/4

Quart de 100

Les faits numériques

Multiplier par 25

Multiplier par 25

Multiplier par 25

Maîtrisées Non maîtrisées

Compétences en numération

Décomposition additive du nombreFaits numériques: 4x2 4x5 Double et moitié: 4 et 8Multiplication par 10 : 4x2x10Multiplication par 100: 100 x2

Estimation de l’ordre de grandeur du résultatMéconnaissance de certains faits numériques et du rapport entre certains nombres (4 et 8 avec 24 et 32)

Propriétés des opérations

Distributivité de la x par rapport à l’+ pour une multiplication par un nombre à un chiffre

Distributivité de la x par rapport à l’+ pour une multiplication par un nombre à deuxchiffres

Multiplier par 25

Maîtrisées Non maîtrisées

Compétences en numération

Tables de x - Aucun sens donné au nombre décimal: la virgule sépare la multiplication par le chiffre des unités de la multiplication par le chiffre des dizaines-Numération décimale de position- Méconnaissance de certains faits numériques

Propriétés des opérations

Commutativité de la multiplicationDistributivité de la x par rapport à l’+

- Report dans la multiplication à un chiffre-Technique opératoire de la x à deux chiffres car n’effectue pas l’addition des nombres

Le calcul en ligne n’est pas une nouveauté

- Il existe dans les programmes et documents d’accompagnements antérieurs- Ce qui est nouveau, c’est la place de ce calcul dans les programmes

« La place consacrée au calcul mental et au calcul en lignedans les temps d’apprentissage et d'entraînement est plusimportante que celle accordée au calcul posé. »

« Pour chaque opération, le calcul posé n’est introduit qu’enaval d’activités proposées en calcul mental ou en ligne. »

Le calcul en ligne

Le calcul en ligne se distingue à la fois :

� du calcul mental,Ä en donnant la possibilité à chaque élève, s’il enressent le besoin, d’écrire des étapes de calculsintermédiaires qui seraient trop lourdes à garder enmémoire

� du calcul posé,Ä il ne consiste pas en la mise en œuvre d’unalgorithme, c’est-à-dire d’une succession d’étapesutilisées tout le temps dans le même ordre et de la mêmemanière indépendamment des nombres en jeu.

Le calcul en ligne

Une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit.

� L’énoncé est donné par le professeur à l’oral ou à l’écrit ; le résultat est donné par l’élève à l’écrit.

58 + 17 = 58 + 20 – 3 = 78 – 3 = 75

12 × 62 = 620 + 124 = 744

� En complément du calcul mental, pour faciliter l’apprentissage des démarches et la mémorisation des propriétés des nombres et des opérations,

� Pour permettre d’effectuer, sans recours à un algorithme de calcul posé, des calculs trop complexes pour être intégralement traités mentalement.

Le calcul en ligne

Des écrits transitoires

La dénomination « calcul en ligne » ne doit pas être comprise en tant que « calcul en une ligne ».

èUne rédaction sur plusieurs lignes est à privilégier pour pallier la difficulté d’une suite d’égalités.

Le calcul en ligne

L’utilisation du symbole « = »523 – 67 = ?Un élève écrit :

è 523 ‒ 20 = 503 ‒ 40 = 463 ‒ 3 = 460 ‒ 4 = 456

Démarche correcte MAIS problème dans l’écriture mathématiqueÄ L’utilisation du symbole « = » n’est pas correcte.

Il vaudrait mieux qu’il transcrive sa stratégie par des calculs séparés, par exemple de la façon suivante :523 ‒ 20 = 503 ; 503 ‒ 40 = 463 ; 463 ‒ 3 = 460 ; 460 ‒ 4 = 456

Points de vigilance

L’utilisation des parenthèses« six fois quinze c’est six fois… dix plus cinq »

→ 6 × 15 = 6 × 10 + 5 ? → 6 × 15 = 6 × (10 + 5) ?

« quinze, c’est dix plus cinq, donc six fois quinze, c’est six fois dix plus six fois cinq ».

� Le calcul « 6 × 10 + 6 × 5 » ne nécessite pas de parenthèses dès lors que les règles de priorité sont connues (cycle 4) ;

� On pourra toutefois préférer écrire « (6 × 10) + (6 × 5) » pour bien spécifier les calculs à faire en premier.

Points de vigilance

↗ Calcul mental et calcul en ligne

Ø Notion de nombre et propriétés de la numération décimale de position

Ø Connaissance des nombresØ Sens des opérations Ø Propriétés des opérations Ø Habiletés calculatoires Ø Construction des faits numériques et des procédures

élémentairesØ Compétences dans le cadre de la résolution de problèmesØ Ordre de grandeur

Objectifs spécifiques

Piste pour le calcul mental calcul en ligne…

le journal du nombre

Liens avec le calcul posé

On veut poser le calcul:32

x 25

Quelles sont les opérations mobilisées dans ce calcul posé?

5 x 3220 x 32 donc 2 x 10 x 32l’addition (5 x 32) + (20 x 32)

Liens avec le calcul posé

Donc en amont en calcul mental, il faut avoir travaillé:Ø la décomposition du nombreØ la multiplication par 10 Ø le fait numérique: la moitiéØ les propriétés mathématiques: la commutativité de la multiplication et de l’additionla distributivité de la multiplication par rapport à l’addition

▪ s’engager dans une démarche • questionner la situation • mobiliser des connaissances,des outils ou des procédures • tester plusieurs pistes• comparer leur efficacité • s’engager dans l’une d’elles

reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de partage, de groupements ou de proportionnalité

• choisir une écriture d’un nombre entier ou décimal adaptée au traitement d’un calcul

• passer d’une écriture à une autre suivant les besoins pour effectuer le calcul.

• Utiliser une représentation pour traiter un calcul (dessin, schéma, arbre de calcul, diagramme, graphique, écritures avec parenthèses...)

• choisir une démarche pour mettre en œuvre un calcul

• comparer un ordre de grandeur calculé et un résultat

• vérifier ses résultats• mettre en cohérence le résultat d’un

calcul et le contexte du problème concret

• faire des choix pour organiser un calcul

• anticiper sur l’effet de ces choix

• exercer l’intelligence du calcul

utiliser à l’oral ou à l’écrit, le langage naturel ou des écritures symboliques […] pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements et présenter des calculs. […]

TEMPS DE MISE EN ŒUVRE EN CLASSE…

Durant cette phase à distance, nous vous proposons de :• Préparer une séquence et la mettre en œuvre dans votre classe.• Observer les élèves, leurs démarches et les obstacles qu'il

rencontrent.• Analyser les difficultés au moyen de la grille proposée(à télécharger dans le m@gistère puis à déposer dans le m@gistère pour le forum)

Lors du second présentiel (18 avril) chaque enseignant (ou groupe d’enseignants) présentera son analyse des séances en quelques minutes.è Elle reprendra les éléments de la grille d'analyse, mais aussi éventuellement

des travaux d'élèves.

Des pistes de séquences à mener...Ø Les tables d’addition et de multiplicationØ Les compléments à l’unité, à la dizaine supérieure, à 100.Ø Les critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10)Ø Les multiples et diviseurs d’usage courantØ Multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1000 un nombre entier ou

décimalØ Multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5…Ø etc...

La suite de la formation…

Quelques repères pour construire une séquence,

une démarche en quatre étapes

Dans cette étape , la rapidité d’exécution des calculsn’est nullement l’objectif.

ETAPE 1

Appropriation et renforcement

• De façon massée sur une procédure

• 1 à 4 séances courtes (15 minutes) etquotidiennes

• Reformulations et explicitations des procédurespar les élèves en donnant des exemples, jeu duvrai-faux, arbres à calculs à compléter, …

• Exercices nombreux, variés et différenciés

ETAPE 2

ETAPE 3

•De façon filée tout au long de l’année sur une variété deprocédures

• Situations de rappel lors de séances portant sur unautre objectif , exemple : pour mémoriser les tables demultiplication : 7 X 9 = (7 x 10) - 7, …

• Résolution de problèmes simples relevant du calculmental.

• Dans le cadre de jeux de calcul mental

Réinvestissement régulier

Évaluation

ETAPE 4

• Autoévaluation et constat des progrès.

• Évaluation différenciée.