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2008 - Grard Lavau - http://pagesperso-orange.fr/lavau/index.htm

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EQUATIONS DIFFERENTIELLES

PLAN

I : Equations diffrentielles linaires du premier ordre

1) Dfinitiona) Equation homogne (ou quation sans second membre)

b) Caractrisation de l'exponentielle

c) Equation avec second membre

2) Equations coefficients constants

3) Equations coefficients non constants4) Exemple d'quation non linaire

5) La mthode d'EulerII : Equations diffrentielles linaires du second ordre

1) Dfinition

2) Equations coefficients constantsa) Equation homogne ou quation sans second membre

b) Equation avec second membre

Annexe : Rsolution d'une quation particulire

Rsoudre une quation diffrentielle y' = f(x,y) sur un intervalle I, c'est trouver une fonction y(x)

dfinie sur I vrifiant : x I,y'(x) =f[x,y(x)]

Les courbes reprsentatives des fonctions solutions s'appellent courbes intgrales.

I : Equations diffrentielles linaires du premier ordre

1 Dfinition

DEFINITION :

On appelle quation diffrentielle linaire du premier ordre une quation du type :

a(x)y' + b(x)y = c(x)

Une fonction f est solution de cette quation sur un intervalle I si

x I, a(x)f '(x) + b(x)f(x)= c(x)

Par exemple, la fonction exp(x

2

2) est solution de l'quation y' + xy = 0. Les fonctions considres

peuvent ventuellement tre valeurs complexes. Sifest une fonction de

dans telle quef= g +

ih avec g et h fonctions valeurs relles drivables, on posef ' = g' + ih'. Ainsi, pour a complexe, la

drive de eax

est aeax

(cf le chapitre Complexes dans le fichier COMPLEXE.PDF).

2 Equations coefficients constants

Il s'agit d'quations pour lesquelles les fonctions a et b sont constantes. Quitte diviser par a et

renommer les coefficients, on peut se ramener une quation du type :

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y' + ay = c(x)

a) Equation homogne (ou quation sans second membre) :

On appelle ainsi l'quationy' + ay = 0. Quelles sont ses solutions sur , avec a rel ?

u Il y a la solutiony = 0.

u Cherchons les solutions ne s'annulant en aucun point. On peut alors crire :y'

y= a

ln y = ax + Cte, en prenant une primitive de chaque membre

y = eCte.eax

La fonctiony ne s'annulant pas et tant continue, elle garde un signe constant. En posant = eCte oue

Ctesuivant le signe dey, on obtient :

y = eax

uExistetil d'autres solutions, par exemple des solutions s'annulant en certains points ? Qu'en est-il

si a (et donc y) sont complexes ? Montrons que les solutions sont de la mme forme (mais avec complexe si a est complexe). Il suffit de montrer que, siy est une solution, alors ye

axest constant.

Posons doncz la fonction gale yeax

. Pour montrer quez est constant, il suffit de calculer sa drive

:

z' =y'eax

+ ayeax

= 0

z' = 0 doncz est constante (complexe si les fonctions sont valeurs complexes).

Ces rsultats permettent d'noncer la proposition suivante :

PROPOSITION :

Soit a rel ou complexe. Alors :i) les solutions de l'quation diffrentielle y' = ay sont de la forme y =eax , o est un

scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction

eax

.

ii) Si l'on fixe une condition y(x0)= y0, alors cette solution est unique.

iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle.

b) Caractrisation de l'exponentielle :

a tant un complexe, il rsulte du paragraphe prcdent que l'exponentielle est caractrise parl'quation diffrentielle et la condition initiale suivantes :

y = eaxy' = ay ety(0) = 1

Une autre caractrisation de l'exponentielle repose sur une quation fonctionnelle. Sif(t) = eat

on af(t+ u) = f(t)f(u) y compris lorsque a est complexe. Rciproquement, soit f(t + u) = f(t)f(u) avec f

fonction drivable de dans . En drivant la relation par rapport u, on a :

f'(t+ u) =f(t)f'(u)

Si on pose u = 0 et f '(u) = a, on obtientf '(t) = af(t). Cette quation a pour solutionf(t) = eat

f(0).

Reste calculerf(0). La relationf(t+ u) =f(t)f(u) avec t= u = 0 conduit f(0) =f(0)2

doncf(0) = 0etfest identiquement nulle, ouf(0) = 1 etf(t) = e

at. Finalement :

t, u,f(t+ u) =f(t)f(u)f= 0 ou a, t,f(t) = eat

c) Equation avec second membre :

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Considrons l'quationy' + ay = c(x).

Soity0 solution de cette quation. On remarque alors que :

i) si z est solution de l'quation homogne associe, alors y0 + z est solution de l'quationcomplte. En effet :

y0' + ay0 = c(x)

z' + az = 0 (y0+z)' + a(y0+z) = c(x)

ii) Inversement, siy est solution de l'quation complte, alorsy y0 est solution de l'quation

homogne. En effet :

y' + ay = c(x)

y0' + ay0 = c(x)

(yy0)' + a(yy0) = 0

La consquence de cette remarque est la suivante. Pour trouver TOUTES les solutions y de

l'quation complte, il suffit de trouver les solutionsz de l'quation homogne associe (ce qu'on sait

faire), et de leur ajouter UNE solution particulire de l'quation complte. Voici deux cas :

u Si c(x) = P(x)ekx

o P est un polynme de degr n et k une constante relle ou complexe (ce

dernier cas permet de traiter les fonctions trigonomtriques). Cherchonsy sous la forme Q(x)ekx

. Onobtient l'quation suivante, aprs simplification :

Q'(x) + (k+a)Q(x) = P(x)

Si l'on cherche les coefficients de Q, de degr n, cela revient rsoudre un systme triangulaire de

n+1 quations n+1 inconnues. Les coefficients de la diagonale valent k+a. Il y a donc une solution

si k a. Par contre, si k= a, on obtient Q'(x) = P(x) et il faut choisir Q de degr n+1.

u Si c(x) est une fonction quelconque, on cherchey sous la forme :

y = (x)eax.Cette mthode est connue sous le nom de mthode de variation de la constante. On prend la solution

de l'quation homogne, mais au lieu de prendre constant, on prend variable. On est amen rsoudre l'quation suivante, aprs simplification :

'(x)eax = c(x), d'o '(x) = c(x)eax et il suffit d'intgrer cette dernire fonction.

On remarque galement que, si y1 est solution particulire avec second membre b1 et si y2 est

solution particulire avec second membre b2, alors y1 + y2 est solution particulire avec secondmembre b1 + b2 :

y1' + ay1 = b1

y2' + ay2 = b2 (y1 +y2)' + a(y1 +y2) = b1 + b2

C'est ce qu'on appelle le principe de superposition.

EXEMPLES :

u Rsoudrey' +y = e2x

La solution de l'quation homogne esty = ex

Une solution particulire de la forme ae2x est

1

3e

2x

La solution gnrale est donc1

3e

2x+ ex

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- 4 -

u Rsoudrey' +y = ex


Une solution particulire de la forme axex

estxex

La solution gnrale est doncxex

+ ex

u Rsoudrey' + 2y =x2e2x + 2e3x + 1 +xLa solution de l'quation homogne esty = e2x

Par linarit, il suffit de chercher des solutions particulires pour chaque terme du second

membre, et de les ajouter.

Solution avec second membre x2e

2x. On cherche une solution sous la forme

y = (ax3

+ bx2

+ cx)e2x

. (Il est inutile de prendre un terme constant, car on obtient alors une solution

de l'quation homogne, qui n'a aucune contribution au terme du second membre). On obtient

l'quation :

3ax2

+ 2bx + c =x2. D'oy =

x3

3e

2x

Solution avec second membre 2e3x

. Une solution de la forme ae3x

est2

5e

3x.

Solution avec second membre 1 +x. Une solution de la forme ax + b est a =1

2et b =

1

4

La solution gnrale est donc :

y = e2x +x3

3e

2x +2

5e

3x +x

2+

1

4

u Rsoudrey' y = cosxIl suffit de rsoudre avec comme second membre e

ix. Soit y la solution. Il n'est pas difficile de voir

que le conjugu dey sera solution de l'quation avec second membre eix

, et donc par linarit, quesa partie relle (demisomme des solutions trouves) est solution avec second membre gal cosx.


Une solution particulire de la forme aeix

est1

i1e

ix=

1+i

2e

ix

Sa partie relle est 1

2cosx +

1

2sinx

La solution gnrale est doncsinx cosx

2+ ex

3 Equations coefficients non constants

Soit une telle quation a(x)y' + b(x)y = c(x). Nous la rsoudrons sur un intervalle I sur lequel a ne

s'annule pas.

Equation homogne ou quation sans second membre

On appelle ainsi l'quation a(x)y' + b(x)y = 0. Quelles sont ses solutions sur dans le cas rel ?u Il y a la solutiony = 0.

u Cherchons les solutions ne s'annulant en aucun point. On peut alors crire :

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y'

y=

b(x)

a(x)

ln y = G(x) + Cte o G est une primitive de b(x)a(x)

y = eCte.eG(x)

La fonctiony ne s'annulant pas, elle garde un signe constant. En posant = eCte ou eCte suivant lesigne dey, on obtient :

y = eG(x)

u Montrons qu'il n'y a pas d'autres solutions. Si y est une telle solution, montrons que yeG(x)

est

constante. Posonsz = yeG(x)

. On a alors :

z' =y'eG(x)

G'(x)yeG(x)

= eG(x)

(y' +b(x)

a(x)y) = 0

Ainsi,z' = 0 doncz est constante.

Ces rsultats permettent d'noncer la proposition suivante :PROPOSITION :Soit a(x)y' + b(x)y = 0 une quation diffrentielle linaire du premier ordre. Alors :

i) les solutions de cette quation sur un intervalle I o la fonction a ne s'annule pas forment

un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction eG(x)

o G est une primitive de

b(x)

a(x).

ii) Si l'on fixe une condition y(x0)= y0, alors cette solution est unique.

iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle.

Equation avec second membre

Considrons l'quation a(x)y' + b(x)y = c(x). Soity0 solution de cette quation. On remarque, commedans le cas des quations coefficients constants, que :

i) si z est solution de l'quation homogne associe, alors y0 + z est solution de l'quation

complte.

ii) Inversement, siy est solution de l'quation complte, alorsy y0 est solution de l'quation

homogne.



faire), et de leur ajouter UNE solution particulire de l'quation complte. On peut appliquer lamthode de variation de la constante . On cherche une solutiony sous la forme :

y = (x)eG(x) (o eG(x) est solution de l'quation homogne)Aprs simplification, cela conduit l'quation :

a(x)'(x)eG(x) = c(x)

'(x) = c(x)a(x)

eG(x)

. Il suffit alors de chercher une primitive de '.

Exemples

uxy' +y = 3x2

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Rsolution de l'quation homogne sur +* ou

* :

y'

y=

1

xd'oy =x

Rsolution de l'quation avec second membre :

y =(x)x conduit ' = 3x

2

d'o =x3

La solution gnrale est donc :

y =x2

+ /x

Il existe une solution sur :y =x2

et c'est la seule.

uxy' 2y = 0

Rsolution de l'quation homogne sur +* ou

* :

y'

y =

2

x d'oy = x2

Mais quelles sont les solutions sur ?

uxy' = ay ety(1) = 1, pour x > 0

y'

y=

a

xd'o ln y = alnx + C

Les conditions initiales imposent C = 0, d'oy =xa.

4- Exemple d'quation non linaire

On sait rsoudre quelques types d'quation non linaire. Considrons par exemple y' = ex+y

. Cettequation est dite variables sparables car on peut sparer les termes eny des termes enx.

y'ey = e

x

ey = ex + A y = ln( ex)Les courbes intgrales se dduisent les unes des autres par une translation.

5 La mthode d'Euler

La mthode d'Euler consiste donner une approximation numrique des solutions d'quations

diffrentielles. Soit l'quation diffrentielley' =f(x,y) of(x,y) = a(x)y + b(x). On choisit un pas h.

On cherche une solution approche de l'quation, vrifiant y(x0) = y0. On approxime la solution

exactey par une fonction affine par morceaux sur les intervalles [nh,(n+1)h], les valeurs dey en nhvalantyn, dfini de la faon suivante. On pose, par rcurrence :

xn =x0 + nh

yn+1 =yn + hf(xn,yn)

En effet, au point (xn, yn) d'une courbe intgrale, la tangente a pour pente y'(xn) = f(xn, yn) et la

courbe est approxime par un segment de droite avec la dite pente.

Si f est C1, on peut montrer que la fonction approche converge vers la solution exacte au sens

suivant : soit [0,x] un intervalle subdivis en n intervalles de longueur gales h =x

n. Lorsque n tend

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vers +, Max0 pn

yp y(xp) tend vers 0. Nous nous contenterons de comparer yn et y(x) sur

quelques exemples.

EXEMPLE1 :y' =y

On prendx0 = 0. La solution est videmmenty =y0ex

. La mthode d'Euler donne :yn+1 =yn + hynyn =y0(1+h)

n

Si nh =x,quand n tend vers l'infini, on obtient la limite :

y(x) =y0ex

qui est la solution exacte.

EXEMPLE2 :y' = xy

La solution est donne par y = y0exp(x2). La mthode d'Euler conduit considrer la suite

yn+1 = yn nh2yn = (1nh

2)yn. Une programmation sur calculatrice conduit cependant une limite

tendant vers en changeant de signe lorsque n tend vers l'infini, h tant fix, alors que la solution

tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. (Prendre par exemple h =1

9et calculer 200 300 termes).

Cela est d aux approximations qui sont multiplies par n chaque itration, de sorte que l'erreurcommise est de l'ordre de n!. On conoit donc les difficults de prvision que l'on peut rencontrer

lorsque l'quation diffrentielle n'est pas explicitement rsoluble.

II : Equations diffrentielles linaires du second ordre

1 Dfinition

DEFINITION :On appelle quation diffrentielle linaire du second ordre une quation du type :

a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = d(x)

Une fonction f est solution de cette quation sur un intervalle I si

x I, a(x)f"(x) + b(x)f'(x) + c(x)f(x)= d(x)

2 Equations coefficients constants

Il s'agit d'quations pour lesquelles les fonctions a, b et c sont constantes. On a donc une quation dutype :

ay" + by' + cy = d(x)

Nous supposerons a 0, sinon, on a en fait une quation du premier ordre.

a) Equation homogne ou quation sans second membre :

On appelle ainsi l'quation ay" + by' + cy = 0. Quelles sont ses solutions sur ? Par analogie avec cequ'on a trouv pour les quations du premier ordre, cherchons les solutions sous la forme : y = e

rx.

Lorsque l'on remplace dans l'quation, on obtient, aprs simplification :

ar2

+ br+ c = 0

Cette quation s'appelle quation caractristique associe l'quation diffrentielle. Elle admet

toujours des solutions, ventuellement complexes si le discriminant est ngatif ou si a, b et c sont descomplexes.

Cherchons d'autres solutions sous la formey =f(x)erx

. On obtient :

y' = [f'(x) + rf(x)] erx

y" = [f"(x) + 2rf'(x) + r2f(x)] e

rx

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En reportant dans l'quation, on obtient, aprs simplification de l'exponentielle :

af" + (2ar+b)f' + (ar2+br+c)f= 0

Or rest solution de l'quation caractristique ar2+br+c = 0. D'o :

af" + (2ar+b)f' = 0.

Cette quation est une quation du premier ordre enf'. Sa solution est :f'(x) = Cte exp[

(2ar+b)x

a]

On distingue alors deux cas :

i) si 2ar+b 0, alors, en intgrant nouveau,on a :

f(x) = exp[ (2ar+b)xa

] + B et

y = exp[ (ar+b)xa

] + B erx

Or ar+b

an'est autre que l'autre racine de l'quation caractristique. Ainsiy est combinaison linaire

des deux solutions exponentielles trouves. La condition 2ar+b 0 est quivalente :

r b2a

ou encore

0 o est le discriminant de l'quation caractristique.

Dans le cas o a, b et c sont rels et o les racines r et r' sont complexes, alors r et r' sont

conjugues, et l'on peut prendre des combinaisons linaires de leur demisomme et de leur demi-

diffrence. Ainsi, si r = + i, alors r' = i, et y est combinaison linaire de excos(x) et

ex

sin(x).

ii) Si 2ar+b = 0, on remarque d'abord que cette condition quivaut r= b

2aou encore = 0.

Dans ce cas, l'quation caractristique admet une racine double, et il n'y a qu'une solution

exponentielle. On a alors :

f' = Cte d'o, en intgrant nouveau :

f= x + B ety = Axe

rx+ Be

rx

y est combinaison linaire de deux fonctions, dont l'une est l'exponentielle dj trouve.

Ces rsultats permettent d'noncer la proposition suivante :

PROPOSITION :Soit ay" + by' + cy = 0 une quation diffrentielle linaire du second ordre coefficients constants.

Alors les solutions de cette quation sont de la forme suivante :

i) Soit (*) ar2

+ br + c = 0 l'quation caractristique associe et son discriminant.si est non nul, alors y est combinaison linaire des deux fonctions e rx et er'x o r et r' sont

solutions de (*).

si est nul, alors y est combinaison linaire des deux fonctions erx et xerx o r est racinedouble de (*).

ii) Ces solutions forment un espace vectoriel de dimension 2

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iii) Dans le cas rel, si est ngatif, alors on peut prfrer crire y comme combinaisonlinaire des deux fonctions e

xcos( x) et exsin( x) o r= + i et r' = i sont solutions

conjugues de (*).

EXEMPLES :

u Rsoudrey" 2y' +y = 0L'quation caractristique associe est :

r2

2r+ 1 = 0

dont les solutions sont 1, racine double. Les solutions de l'quation diffrentielle sont donc de la

forme :

y = xex + Bex

u Rsoudrey" 3y' + 2y = 0

L'quation caractristique associe est :

r2

3r+ 2 = 0

dont les solutions sont 1 et 2. Les solutions de l'quation diffrentielle sont donc de la forme :

y = e2x + Bex

u Rsoudrey" +y' +y = 0

L'quation caractristique associe est :

r2

+ r+ 1 = 0dont les solutions sontj etj

2, racines complexes. Les solutions de l'quation diffrentielle sont donc

de la forme :

sur :y = ejx + Bej2x

avec A et B complexes

ouy = e1/2x

(cos( 3x2

) + Bsin(3x

2)) avec (d'autres) A et B complexes

sur :y = e1/2x

(cos( 3x2

) + Bsin(3x2

)) avec A et B rels

ex/2

cos(3x

2) et e

x/2sin(

3x

2) sont respectivement les parties relles et imaginaires de e

jx.

b) Equation avec second membre :Considrons l'quation ay" + by' + cy = d(x). Soity0 solution de cette quation. On remarque alors

que, comme dans le cas des quations du premier ordre :

i) si z est solution de l'quation homogne associe, alors y0 + z est solution de l'quation

complte.

ii) Inversement, siy est solution de l'quation complte, alorsy y0 est solution de l'quationhomogne.



faire), et de leur ajouter UNE solution particulire de l'quation complte. Il est facile de vrifier quele principe de superposition s'applique galement dans le cas prsent : si y1 est solution particulire

avec second membre d1 et si y2 est solution particulire avec second membre d2, alors y1 + y2 est

solution particulire avec second membre d1 + d2.

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Voici un cas important : d(x) = P(x)ekx o P est un polynme de degr n et kune constante relle ou

complexe (ce dernier cas permet de traiter les fonctions trigonomtriques). Cherchons y sous la

forme Q(x)ekx

.

y = Q(x)ekx

y' = [Q'(x) + kQ(x)]ekx

y" = [Q"(x) + 2kQ'(x) + k2

Q(x)]ekx

On obtient l'quation suivante, aprs simplification :

aQ"(x) + (2ka+b)Q'(x) + (ak2+bk+c)Q(x) = P(x)

Si l'on cherche les coefficients de Q, de degr n, cela revient rsoudre un systme triangulaire de

n+1 quations n+1 inconnues. Les coefficients de la diagonale valent ak2+bk+c. On reconnat l le

premier membre de l'quation caractristique. Il y a donc une solution si kn'est pas racine de cette

quation.

Si ak2+bk+c=0 (autrement dit k est racine de l'quation caractristique), la dmarche prcdente

conduit rechercher un polynme Q, tel que aQ"(x) + (2ka+b)Q'(x) = P(x), avec Q de degr n+1.

On obtient un systme triangulaire dont les termes de la diagonale valent 2ak+b. Si ce terme est non

nul, alors il est possible de trouver Q. Or 2ak+b non nul signifie kdiffrent de b

2a, et ktant racine

de l'quation caractristique, cela signifie que le discriminant est non nul, et donc que kest racinesimple de l'quation.

Si ak2+bk+c=0 et 2ak+b = 0, alors kest racine de l'quation caractristique et vaut

b

2a. cela signifie

donc que le discriminant est nul, et donc que k est racine double de l'quation. On obtient alors

l'quation aQ"(x) = P(x), avec Q de degr n+2. a tant non nul, il est alors possible de trouver Q.

Nous ne nous intresserons pas d'autres expressions de d. Nous pouvons donc noncer :

PROPOSITION :Soit ay" + by' + cy = P(x)e

kxune quation diffrentielle linaire du second ordre coefficients

constants, P tant un polynme.

i) Si k n'est pas racine de l'quation caractristique, il existe une solution particulire de la

forme Q(x)ekx, avec degQ = degP.

ii) Si k est racine simple de l'quation caractristique, il existe une solution particulire de

la forme Q(x)ekx, avec degQ = degP + 1.

iii) Si k est racine double de l'quation caractristique, il existe une solution particulire de

la forme Q(x)ekx, avec degQ = degP + 2.

Exemples :u Rsoudrey" +y = cosx

L'quation caractristique est : r2

+ 1 = 0

La solution de l'quation homogne esty = cosx + Bsinx

Une solution particulire avec second membre eix

se cherche sous la forme axeix. On trouve

1

2

ixeix. On obtient une solution particulire avec second membre cosx en prenant la partie relle. D'o

y =1

2xsinx.

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La solution gnrale est donc cosx + Bsinx + 12xsinx.

u Rsoudrey" 2y' +y = ex

L'quation caractristique est : r2

2r+ 1 = 0. 1 est racine double.


+ Bxex

Une solution particulire avec second membre ex

se cherche sous la forme ax2ex. On trouve

1

2

x2ex.

La solution gnrale est donc ex + Bxex + 12x

2ex.

Annexe : Rsolution d'une quation particulire

Nous allons revenir sur l'quation diffrentielle :

ay" + by' + cy = dcost

o a > 0, b 0, c > 0, d 0, et y une fonction de t. Ce type d'quation intervient dans un grandnombre de phnomnes physiques, o t reprsente le temps, en particulier en mcanique et enlectrodynamique :

En Mcanique :

Un objet est soumis une force de frottement oppose sa vitesse et proportionnelle celleci,

une force de rappel proportionnelle son dplacement et enfin, un rgime forc de pulsation .C'est le cas par exemple pour :

u le pendule lastique (masseressort) :

masse m

coefficient de frottementfraideur du ressort kforce impose de module F

L'quation du mouvement est donne par :

mx" +fx' + kx = F cost

u le pendule de torsion :

moment d'inertie J

coefficient de frottementfcouple de rappel C

couple forc de module G

L'quation du mouvement est donn par :

J" +f' + C = G cost

u le pendule simple (masse au bout d'un fil de longueur l, dans un champ de gravitation g), pour despetites oscillations :

L'quation du mouvement est donne par :

l" + g = 0

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En lectrodynamique : Un circuit lectrique comprend en srie, une rsistance R, une inductance L,

et une capacit C. Il est soumis une tension priodique U de pulsation . La quantit d'lectricit Qtraversant un point du circuit vrifie :

LQ" + RQ' +Q

C= U cost

Le cas tudi s'applique dans ces deux situations, ce qui signifie galement que tout phnomne

mcanique a un quivalent lectrique, et inversement.

1 Equation homogne ay" + by' + cy = 0

Cette quation correspond un systme qui n'est soumis aucune oscillation force. L'quationcaractristique est :

ar2

+ br+ c = 0

= b2 4ac = 2 avec ventuellement imaginaire pur ou nul.Les racines sont donc :

r' = b

2a et r" = b +

2a

Si b = 0, alors est imaginaire pur et non nul, et les solutions sont des fonctions trigonomtriques,

sans attnuation de l'amplitude. Nous noterons

2a= i0. 0 est appel pulsation propre d'oscillation

du systme tudi, avec 02

=c

a.

Si b > 0, la partie relle de r' et r" est strictement ngative car b2

> 2. Les solutions sont descombinaisons linaires d'exponentielles qui tendent vers 0 quand ttend vers +. Si est imaginairepur, ce qui se produit lorsque b2 < 4ac, les solutions oscillent autour de 0, avec attnuation del'amplitude.

Dans tous les exemples physiques proposs,b

aest homogne l'inverse d'un temps et peut donc tre

not1

e. L'quation diffrentielle prend alors la forme :

y" +y'

e+ 0

2y = 0.

Si e >1

20le systme est faiblement amorti, est ngatif, est imaginaire pur.

r= 1

2e i 0

2

1

4e2. Les solutionsy sont combinaisons linaires de exp(

t

2e) cos(t) et

exp(t

2e) sin(t), avec une pulsation = 0

2

1

4e2

lgrement infrieure la pulsation

propre.

On dfinit alors le facteur de qualit Q de l'oscillateur par l'expression :

Q = 2 EW

8/14/2019 EQUADIFF

13/16

- 13 -

o E est l'nergie emmagasine par l'oscillateur et W = E l'nergie dissipe au cours d'un cycle.

Ces nergies sont, dans le cas mcanique ou lectrique, proportionnelles au carr de l'amplitude dey.

Nous donnerons donc une expression de Q dans le cas gnral de notre quation diffrentielle en

prenant E gal ce carr. Comme y(t) est de la forme y0 exp(t

2e) cos(t+ ), l'amplitude vaut

y0 exp(t

2e). Au cours d'un cycle, par exemple entre les instants t= 0 et t=

2

, l'nergie E passe de

la valeur y02

y02

exp(t

e). Donc W = E = y0

2(1 exp(

t

e)). Dans le cas o le systme est

faiblement amorti,1

eest trs faible, de sorte que W y0

2t

e=y0

22e

et que est quasiment gal la

frquence propre de rsonance0. On a alors :Q = e0e

L'ordre de grandeur de Q pour un circuit RLC estL0

R

. Pour un oscillateur mcanique, Q =m0

f

of

est le coefficient de frottement.

Le cas limite (appel amortissement critique) est obtenu lorsque e =1

20, pour lequel = 0. On

a alors r= 1

2e, ety est combinaison linaire de exp(

t

2e) et de texp(

t

2e).

Si e

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EQUADIFF