-
Equations deWILSON et MANEY
-
1- Introduction:1.1- Hypothèses:
♦barres droites à inertie constante♦seul M est considéré♦petits
déplacements.
⇒ On peut donc utiliser les formules
de BRESSE simplifiées.
-
1.2 - Problèmes étudiés:Structures à barres droites encastrées
ou
articulées entre elles.
-
2 - Equations de WILSON ET MANEY:2.1 - Principe:
On utilise le principe de superposition.
Etat réel
=
-
Effet de lacharge réelle.
Effet de wA.
Effet de wB.
Effet de v= vB - vA
+
+
+
- chargement réel
- encastrement parfait
wA=0 wB=0 v=0
- chargement nul
- wA imposé (réel)
wA≠0
- chargement nul
- wB imposé (réel)
wB≠0
- chargement nul
- v imposé (réel)
wA=0 wB=0 v≠0
-
2.2 - Notations:♦état déformé. (barre réelle)
• MAB = Moment du nœud A sur la barre AB
•MBA = Moment du nœud B sur la barre AB
•RAB = Action du nœud A sur la barre AB
•RBA = Action du nœud B sur la barre AB
-
♦ barre bi-encastrée. (isolée du reste de la structure)
Même poutre, charge réelle mais encastrementparfait aux
extrémités.
: Moment d ’encastrement parfaitM
-
2.3 - Equations:
Objectif:
exprimer MAB, RAB, MBA et RBA
en fonction de wA, wB et v.
-
2.3.1 - 1er cas simple:
Encastrée en Aavec les autresbarres
Articulée en Bavec les autresbarres
-
Etat :
BAAB
ABAB
RetR
MM =1 Suivant le chargement extérieur
⇒ formulaire
-
Etat : Rotation imposée à gauche.
♣ pas de charge
♣ rotation wA imposée : valeur réelle
♣ vB = 0
ABA
AAB
AAB
wlEIR
wlEIR
wlEIM
.3
.3
.3
2
2
2
2
2
−=
=
=
Formules de BRESSE
-
Etat : Rotation imposée à droite.
Sans objetcar il y a une articulation à droite
-
Etat : Déplacement vertical.
EIlR
EIFlfv BA
33
334===
vlEIR
vlEIR
AB
BA
.3
.3
3
3
4
4
−=
=
-
lRM BAAB .44 −=
vlEIM AB .
324
−=
-
Au total:
BAABA
ABAAB
BA
ABAAB
Rlvw
lEIR
Rlvw
lEIR
M
Mlvw
lEIM
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
2
2
3
30
3
-
2.3.2 - 2ème cas simple:
Encastrée en Bavec les autresbarres
Articulée en Aavec les autresbarres
-
BABBA
ABBAB
AB
BABBA
Rlvw
lEIR
Rlvw
lEIR
M
Mlvw
lEIM
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
2
2
3
30
3
-
2.3.3 - Cas d’une barre bi-encastrée:
Encastrée en Bavec les autresbarres
Encastrée en Aavec les autresbarres
-
Etat :
BAABBAAB MMRR ,,,
cf formulaires
-
Etat : Rotation imposée à gauche.
- pas de charge
- rotation wA imposée àsa valeur réelle.
wB=0 ; vB=0
Formules de BRESSE
22
2
2
.6
.4
.2
2 BAAAB
AAB
ABA
RwlEIR
wlEIM
wlEIM
−==
=
=
-
Etat : Rotation imposée à droite.
- pas de charge
- rotation wB imposée àsa valeur réelle
wA=0 ; vA=0
Formules de BRESSE
33
3
3
.6
.4
.2
2 BABAB
BBA
BAB
RwlEIR
wlEIM
wlEIM
−==
=
=
-
Etat : Déplacement vertical.- pas de charge
- wA=0
- wB=0
v=vréel , déplacement relatifde B/A
Formules de BRESSEv
lEIRR
vlEIMM
BAAB
BAAB
.12
.6
3
2
44
44
−=−=
−==
-
On ajoute tout:
BABAAB
BABABA
ABBAAB
ABBAAB
BABABA
ABBAAB
Rl
MMRlvww
lEIR
Rl
MMRlvww
lEIR
Mlvww
lEIM
Mlvww
lEIM
++
−=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
++
=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
)(2.6
2.6
32.2
32.2
2
2
-
That ’s all !!
Equations de WILSON et MANEY1- Introduction:2.2 - Notations:état
déformé. (barre réelle)
