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ÉCOLE POLYTECHNIQUE –

Espaces de Hilbert

Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 1 / 42


1. Geometrie et analyse


Forme bilineaire et produit scalaire

Definition

Soit E un R-espace vectoriel. Une application 〈·, ·〉 : E × E → R est une forme bilineaire sitoutes les applications partielles x 7→ 〈x , y〉 et y 7→ 〈x , y〉 sont lineaires.

(i) Elle est symetrique si 〈x , y〉 = 〈y , x〉 pour tous x , y ∈ E .

(ii) Elle est definie positive si

〈x , x〉 > 0 pour tout x ∈ E et si (〈x , x〉 = 0 ⇔ x = 0) .

(iii) Un produit scalaire est une forme bilineaire, symetrique, definie, positive.

Rappel : un produit scalaire sur un R-espace vectoriel de dimension finie, peut toujourss’ecrire sous la forme 〈x , y〉 :=

∑Nj=1 xj yj , ou (x1, . . . , xN) sont les coordonnees de x dans une

base adaptee. Quand la base en question est la base canonique sur Rd , on parle de produitscalaire standard ou canonique.


Exemples de produits scalaires reels

Exemples.

1. Sur MN(R), on peut definir le produit scalaire 〈A,B〉 := Trace (ABt).

2. Sur `2(N; R) = series x =∑

n∈N xn de carre sommable, i.e. telles que∞∑n=0

|xn2 |< +∞,

on peut definir le produit scalaire 〈x, y〉`2 :=∑n∈N

xn yn.

3. Pour tout ouvert non vide Ω ⊂ RN , on peut definir sur L2(Ω; R) le produit scalaire

〈f , g〉L2 :=

∫Ωf (x) g(x) dx .


Applications anti-lineaires et formes sesquilineaires

Definition

Soient E et F , deux C-espaces vectoriels. Une application L : E → F est dite anti-lineaire si

∀λ, µ ∈ C et ∀x , y ∈ E L(λx + µy) = λ L(x) + µ L(y).

Definition

Une application 〈·, ·〉 : E × E → C est une forme sesquilineaire si l’application lineaire partiellex 7→ 〈x , y〉 est lineaire et si l’autre y 7→ 〈x , y〉 est anti-lineaire.

(i) Elle est dite symetrique hermitienne si 〈x , y〉 = 〈y , x〉 pour tous x , y ∈ E . Si tel est lecas, 〈x , x〉 ∈ R pour tout x ∈ E .

(ii) Elle est dite definie positive si〈x , x〉 > 0 pour tout x ∈ E et si (〈x , x〉 = 0 ⇔ x = 0).

(iii) Un produit (scalaire) hermitien est une forme sesquilineaire, symetrique hermitienne,definie, positive.


Exemples

1. Sur CN , on peut definir le produit (scalaire) hermitien canonique ou standard :

〈x , y〉 :=N∑j=1

xj yj . En fait, un produit hermitien sur un C-espace vectoriel de dimension

finie peut toujours s’ecrire sous la forme 〈x , y〉 =N∑j=1

xj yj ou (x1, . . . , xN) sont les

coordonnees de x dans une base adaptee.

2. Sur MN(C), on peut definir le produit (scalaire) hermitien : 〈A,B〉 = Trace (ABt).

3. Sur `2(N; C), on peut definir le produit (scalaire) hermitien : 〈x, y〉`2 =∑n∈N

xn yn.

4. Pour tout ouvert non vide Ω ⊂ RN , on peut definir sur L2(Ω; C), le produit (scalaire)

hermitien = 〈f , g〉L2

∫Ωf (x) g(x) dx .


Inegalite de Cauchy-Schwarz

Proposition (inegalite de Cauchy-Schwarz)

Soit 〈·, ·〉 un produit hermitien sur E . Alors, pour tous x , y ∈ E , on a :

|〈x , y〉| 6√〈x , x〉

√〈y , y〉,

avec egalite si, et seulement si, la famille x , y est liee.

Preuve. Pour tous x , y ∈ E et tout t ∈ R, on peut ecrire :

〈x − ty , x − ty〉 = 〈x , x〉 − t 〈x , y〉 − t 〈y , x〉+ t2 〈y , y〉= 〈x , x〉 − 2t <〈x , y〉+ t2 〈y , y〉> 0.

Le discriminant de ce polynome est negatif ou nul, et par consequent

|<〈x , y〉| 6√〈x , x〉

√〈y , y〉.

Pour conclure, on remarque que |z | = sups∈R<(e is z) pour tout z ∈ C. Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 7 / 42

Norme prehilbertienne

Definition

Soit 〈·, ·〉 un produit scalaire hermitien sur E . On definit sur E la norme associee a 〈·, ·〉 par

‖x‖ :=√〈x , x〉.

Justification. Pour tous x , y ∈ E , grace a l’inegalite de Cauchy-Schwarz, on a :

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2< 〈x , y〉+ ‖y‖2

6 ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2

6 (‖x‖+ ‖y‖)2 ,

ce qui demontre l’inegalite triangulaire. Les autres axiomes de norme sont faciles a verifer.


Espace prehilbertien

Definition

On appelle espace prehilbertien un C-espace vectoriel muni d’un produit hermitien 〈·, ·〉 et dela norme associee ‖ · ‖. Un espace prehilbertien peut etre muni d’une structure d’espacemetrique pour la distance

d(x , y) := ‖x − y‖.

Proposition

Soit E un C-espace vectoriel prehilbertien et soient x , y ∈ E . Alors on dispose des enoncessuivants.

(i) Theoreme de Pythagore : < 〈x , y〉 = 0 ⇔ ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

(ii) Identite du parallelogramme : ‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

).

(iii) Formule de polarisation : 〈x , y〉 =‖x + y‖2 − ‖x − y‖2

4+ i(‖x + iy‖2 − ‖x − iy‖2

4

).


Vecteurs orthogonaux et perpendiculaires

Attention : dans un C-espace vectoriel prehilbertien, l’egalite

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

n’entraıne pas forcement 〈x , y〉 = 0, mais simplement < 〈x , y〉 = 0.

Definition

On dit que x et y sont orthogonaux si 〈x , y〉 = 0 et on dit que x et y sont perpendiculaires si< 〈x , y〉 = 0.

Remarque : dans le cas des espaces prehilbertiens reels ces deux notions coıncident, mais dansun C-espace vectoriel prehilbertien, x et ix sont perpendiculaires puisque

〈x , i x〉 = −i 〈x , x〉, et donc < 〈x , i x〉 = 0.


Espaces de Hilbert

Definition

On dit qu’un espace prehilbertien H, muni de la norme ‖ · ‖ associee au produit hermitien〈·, ·〉, est un espace de Hilbert si (H, ‖ · ‖) est un espace vectoriel norme complet.

Par definition, un espace de Hilbert est donc un espace de Banach.

Exemples.

1. L’espace CN , muni du produit hermitien 〈x , y〉 :=∑N

j=1 xj yj , est un espace de Hilbert.Plus generalement, tout espace prehilbertien de dimension finie est un espace de Hilbert.

2. Tout sous-espace vectoriel ferme d’un espace de Hilbert est lui-meme un espace deHilbert (muni de la restriction du produit hermitien).

Attention : dans les espaces vectoriels normes de dimension infinie, il existe des sous-espacesqui ne sont pas fermes (typiquement : des espaces de suites ou de fonctions a support fini oucompact, dans des espaces definis par une condition de sommabilite ou d’integrabilite).


Exemples et non-exemples d’espaces de Hilbert

Non-exemple : Si N > 2 et p > 1 l’espace CN , muni de la norme ‖x‖p :=( N∑j=1

|xj |p)1/p

, est

un espace de Banach ; mais ce n’est pas un espace de Hilbert des que p 6= 2.

En effet, prenons x = (1, 0, . . . , 0) et y = (0, 1, . . . , 0). Alors ‖x + y‖2p + ‖x − y‖2

p = 2 22/p et2(‖x‖2

p + ‖y‖2p

)= 4. L’egalite du parallelogramme est donc verifiee seulement quand p = 2.

Exemple : l’espace `2(N; C) des suites complexes x := (xn)n>0 telles que∑n∈N

|xn|2 < +∞,

muni du produit hermitien 〈x, y〉`2 :=∑n∈N

xn yn, est un espace de Hilbert.


Espaces de Hilbert de fonctions de carre sommable

Exemple : pour tout ouvert non vide Ω ⊂ RN , l’espace L2(Ω; C) muni du produit hermitien

〈f , g〉L2 :=

∫Ωf (x) g(x)dx ,

est un espace de Hilbert.

Remarque : par le cours precedent Cc(Ω; C) est un sous-espace dense dans L2(Ω; C) ; il n’estdonc pas un sous-espace ferme de L2(Ω; C) puisqu’il en est distinct.

Exemple : soit Ω un ouvert borne non vide. On note L20(Ω; C) l’espace des fonctions de

L2(Ω; C) qui sont de moyenne nulle i.e.

f ∈ L20(Ω; C) si f ∈ L2(Ω; C) et si

∫Ωf (x) dx = 0.

Alors, L20(Ω; C) est un sous-espace ferme de L2(Ω; C) et en particulier, L2

0(Ω; C), muni duproduit hermitien 〈·, ·〉L2 est un espace de Hilbert.


Espaces de Hilbert de fonctions de carre sommable, preuve

Preuve. L’inegalite de Cauchy-Schwarz implique :∣∣∣∣∫Ωf (t) dt

∣∣∣∣ 6 |Ω|1/2

(∫Ω|f (t)|2 dt

)1/2

= |Ω|1/2 ‖f ‖L2(Ω).

En particulier, l’application

L2(Ω; C) 3 f 7→∫

Ωf (t) dt ∈ C,

est bien definie, lineaire et elle est lipschitzienne, donc elle est continue. L’espace L20(Ω; C) est

donc un ferme au titre d’image reciproque du ferme 0 par une application continue.

Remarque : dans la situation precedente, on peut aussi voir L20(Ω; C) comme l’orthogonal des

(classes de) fonctions constantes. Si au contraire Ω est de mesure de Lebesgue infinie, lesfonctions constantes ne sont pas de carre integrable.


Isomorphismes d’espaces de Hilbert

Definition

Soient H1,H2 des espaces de Hilbert et soit L : H1 → H2 une application lineaire. On dit que Lest un isomorphisme d’espaces de Hilbert si les deux proprietes suivantes sont verifiees :

(i) l’application L est bijective.

(ii) l’application L est une isometrie, i.e. ‖L(x)‖H2 = ‖x‖H1 pour tout x ∈ H1.

Exemple : l’application S : `2(N; C)→ `2(N; C) (dite de decalage ) definie par

S((x0, x1, x2, . . . , xn, . . .)

)= (0, x0, x1, x2, . . . , xn−1, . . .),

preserve la norme, mais n’est pas un isomorphisme d’espaces de Hilbert (car elle n’est passurjective).


Orthogonalite

Definition

Soit H un espace de Hilbert et 〈·, ·〉 le produit hermitien sur H. Si F est un sous-espacevectoriel de H, on definit l’orthogonal de F par

F⊥ :=x ∈ H : ∀y ∈ F , 〈x , y〉 = 0

.

Proposition

Soit F un sous-espace vectoriel de H, alors :

(i) le sous-espace vectoriel F⊥ est ferme ;

(ii) si G est un sous-espace vectoriel et si G ⊂ F , alors F⊥ ⊂ G⊥ ;

(iii) on a : F⊥ = (F )⊥.


Proprietes de l’orthogonal, preuve

Preuve. Soit (xn)n>0 une suite de F⊥ qui converge vers x ∈ H. Alors, pour tout y ∈ Fl’inegalite de Cauchy-Schwarz appliquee a 〈x − xn, y〉 implique qu’on a :

0 = limn→+∞

〈xn, y〉 = 〈x , y〉,

donc x ∈ F⊥.

On a F ⊂ F , donc (F )⊥ ⊂ F⊥. Inversement, soient x ∈ F⊥ et y ∈ F . Il existe (yn)n>0 unesuite de F telle que

y = limn→+∞

yn.

Alors〈x , y〉 = lim

n→+∞〈x , yn〉 = 0.

Donc x ∈ (F )⊥.


Dual d’un espace de Hilbert

Definition

L’espace vectoriel H ′ := L(H; C) des formes lineaires continues definies sur H est appele ledual topologique de H (pour le distinguer de l’espace de toutes les formes lineaires L(H; C)).

L’espace H ′, muni de la norme definie par ‖u‖H′ := sup‖x‖61 |u(x)|, est un espace de Banach(consequence d’un resultat plus general vu dans le cours sur la completude). On verra :

Proposition

Le dual topologique d’un espace de Hilbert est naturellement un espace de Hilbert.

Remarque : ce qu’il reste a voir est le fait que la norme ci-dessus est associee a un produitscalaire hermitien ; ce sera une consequence du theoreme de representation de Riesz.



2. Projections et representations


Parties convexes dans un evn

Definition

On dit qu’un sous-ensemble C d’un espace vectoriel E est convexe s’il est stable par prise decombinaison convexe, i.e. si

∀x , y ∈ C , ∀t ∈ [0, 1], t x + (1− t)y ∈ C .

On note [x , y ] :=t x + (1− t) y : t ∈ [0, 1]

l’intervalle d’extremites x et y .

On va maintenant combiner les proprietes geometriques (raisonnnements euclidiens endimension infinie ) et les proprietes analytiques (notamment la completude) des espaces deHilbert afin de prouver un important resultat de projection sur les convexes.

La preuve est instructive car illustre bien cette combinaison.

Le resultat est important car c’est (entre autres) un enonce d’existence (et d’unicite etcaracterisation metrique).


Theoreme de la projection sur un convexe ferme

Theoreme (projection sur un convexe ferme)

Soit H un espace de Hilbert et C un sous-ensemble convexe ferme de H. Pour tout x ∈ H, ilexiste un unique y ∈ C tel que

‖x − y‖ = d(x ,C ) := infz∈C‖x − z‖.

Si x ∈ C alors y = x ; si x /∈ C , alors y est caracterise par

< 〈x − y , z − y〉 6 0, ∀z ∈ C .


Theoreme de la projection sur un convexe ferme, preuve

Preuve. Existence. Soit (yn)n>0 une suite minimisante, i.e. yn ∈ C et

limn→+∞

‖x − yn‖ = d(x ,C ).

Utilisons l’egalite du parallelogramme

‖a + b‖2 + ‖a− b‖2 = 2(‖a‖2 + ‖b‖2

).

avec a = x − ym et b = x − yn. On trouve

‖2x − yn − ym‖2 + ‖yn − ym‖2 = 2 (‖x − ym‖2 + ‖x − yn‖2).

Donc

‖yn − ym‖2 = 2 (‖x − ym‖2 + ‖x − ym‖2)− 4

∥∥∥∥x − yn + ym2

∥∥∥∥2

6 2(‖x − ym‖2 + ‖x − yn‖2)− 4 d(x ,C )2.

Ainsi (yn)n>0 est une suite de Cauchy dans H (qui est complet) ; elle converge donc, disonsvers y ∈ H, et comme C est ferme on a y ∈ C .


Theoreme de la projection sur un convexe ferme, preuve (fin)

Unicite. Si ‖x − y1‖ = ‖x − y2‖ = d(x ,C ), on peut ecrire

‖y1 − y2‖2 = 2(‖y1 − x‖2 + ‖y2 − x‖2

)− 4

∥∥x − y1+y22

∥∥2

6 4 d(x ,C )2 − 4 d(x ,C )2 = 0,

donc y1 = y2.

Caracterisation. Soit z ∈ C et y ∈ C tels que ‖x − y‖ = d(x ,C ). L’ensemble C est convexe,donc [y , z ] ⊂ C . On a

d(x ,C )2 6 ‖x − zt‖2 = ‖x − y‖2 + 2< 〈x − y , y − zt〉+ ‖y − zt‖2,

ou zt = (1− t) y + tz , pour tout t ∈ [0, 1]. Comme ‖x − y‖2 = d(x ,C )2, on conclut que

2< 〈x − y , y − zt〉+ ‖y − zt‖2 > 0.

Donc 2 t < 〈x − y , z − y〉 6 t2 ‖y − z‖2 pour tout t ∈ [0, 1]. En divisant par t > 0 et enfaisant tendre t vers 0, on en deduit que < 〈x − y , z − y〉 6 0.


Projection sur un sous-espace vectoriel ferme

Theoreme (projection sur un sous-espace vectoriel ferme)

Soit H un espace de Hilbert et F ⊂ H un sous-espace vectoriel ferme. Il existe une uniqueapplication lineaire PF : H → F telle que, pour tout x ∈ H

‖x − PF (x)‖ = d(x ,F ) := infz∈F‖x − z‖.

De plus :

(i) PF (x) est l’unique element de F verifiant cette egalite.

(ii) x − PF (x) est orthogonal a tout vecteur de F .

(iii) PF est 1-lipschitzienne (donc continue), i.e.

‖PF (x)‖ 6 ‖x‖, ∀x ∈ H.


Projection sur un sous-espace vectoriel ferme, preuve

Preuve. On note y := PF (x). Montrons que x − y ∈ F⊥. On sait que, pour tout z ∈ F , on a

< 〈x − y , z − y〉 6 0,

Donc < 〈x − y ,w〉 6 0 pour tout w ∈ F . En remplacant w par −w puis par iw , on conclutque 〈x − y ,w〉 = 0 pour tout w ∈ F . On a par Pythagore :

‖x‖2 = ‖x − PF (x)‖2 + ‖PF (x)‖2 > ‖PF (x)‖2.

Ce qui termine la demonstration.

Exemple : Si F est un sous-espace de dimension finie et si e1, . . . , eN est une baseorthonormee de F , on a la formule explicite

PF (x) =N∑j=1

〈x , ej〉 ej .


Projection et orthogonalite

Corollaire

Si F est un sous-espace ferme de H, alors

H = F ⊕ F⊥ et (F⊥)⊥ = F .

Si F est un sous-espace de H (non necessairement ferme) on a : (F⊥)⊥ = F .

Preuve. Par projection, on a : x = PF (x) + (x − PF (x)), avec x − PF (x) ∈ F⊥. De plusF ∩ F⊥ = 0. Par definition, F ⊂ (F⊥)⊥. Si l’inclusion etait stricte, il existerait x 6= 0 tel quex ∈ (F⊥)⊥ ∩ F⊥. Alors 〈x , x〉 = 0 donc x = 0, ce qui constitue une contradiction. Enfin, on a

vu que F⊥ = F⊥

, donc (F⊥)⊥ = (F⊥

)⊥ = F .

Application : Un sous-espace F ⊂ H est ferme si et seulement s’il existe un espace vectorielnorme G et une application lineaire continue L : H → G telle que F = Ker L. Le fait que lacondition soit suffisante est evidente, la necessite s’obtient en prenant G = H et L := Id− PF .


Forme lineaire associee a un vecteur

Pour tout a ∈ H, on note Λa la forme lineaire definie sur H par

Λa(x) := 〈x , a〉.

Lemme

Avec la definition ci-dessus, Λa ∈ H ′ et ‖Λa‖H′ = ‖a‖H .

Preuve. On a |Λa(x)| = |〈x , a〉| 6 ‖a‖ ‖x‖ (inegalite de Cauchy-Schwarz) donc

‖Λa‖H′ := sup‖x‖61

|Λa(x)| 6 ‖a‖.

Enfin, Λa(a) = ‖a‖2 ce qui montre que ‖Λa‖H′ > ‖a‖.

Remarque : reciproquement en dimension finie, on sait que si u est une forme lineaire sur RN ,il existe y ∈ RN tel que u(x) = x · y , ou · designe le produit scalaire euclidien.

Le theoreme qui suit est une vaste generalisation de la remarque au cas des espaces de Hilbert.Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 27 / 42

Theoreme de representation de Riesz

Theoreme (theoreme de representation de Riesz)

Soit H un espace de Hilbert et u ∈ H ′ une forme lineaire continue sur H. Alors, il existe ununique a ∈ H tel que,

∀x ∈ H, u(x) = Λa(x).

De plus, l’application a 7→ Λa definie de H dans H ′, est un isomorphisme anti-lineaireisometrique.

Preuve. Soit u ∈ H ′, u 6= 0. On note F := Ker u, qui est un sous-espace ferme de H (car uest continue). On decompose H = F ⊕ F⊥. Le sous-espace F⊥ est de dimension 1 : sia ∈ F⊥ − 0 et, si x ∈ F⊥, on peut ecrire

u

(x − u(x)

u(a)a

)= 0, donc x − u(x)

u(a)a ∈ F ∩ F⊥ = 0.

Conclusion x = u(x)u(a) a. Choisissons a ∈ F⊥ tel que u(a) = 〈a, a〉 = ‖a‖2

H . On verifie que

u(x) = 〈x , a〉, pour tout x ∈ H. Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 28 / 42

Application au dual topologique d’un espace de Hilbert

Exemple : toute forme lineaire continue definie sur L2(R; C) est de la forme

f 7→∫

Rf (t) g(t)dt

pour une fonction g ∈ L2(R; C) convenable.

Remarque : il resulte du theoreme de representation de Riesz que tout dual topologique H ′

d’un espace de Hilbert H est lui-meme un espace de Hilbert, ce qui n’etait pas evident a priori.Le produit hermitien 〈·, ·〉H′ sur H ′ est defini en posant, pour tous u, v ∈ H ′

〈u, v〉H′ := 〈b, a〉,

ou u = Λa et v = Λb.


Theoreme de Hahn-Banach

Theoreme (theoreme de Hahn-Banach dans un espace de Hilbert)

Soit F un sous-espace d’un espace de Hilbert H tel que F 6= H.

Pour tout x /∈ F , il existe u ∈ H ′, une forme lineaire continue, telle que :

u(x) = 1 et u ≡ 0 sur F .

Preuve. On note G := F⊥ = F⊥

et on decompose : x = PG (x) +(x − PG (x)

), ou

x − PG (x) ∈ G⊥ = F . Comme PG (x) 6= 0 (sinon on aurait x ∈ F ), on peut definir

y :=PG (x)

‖PG (x)‖2∈ F⊥ = F

⊥.

DoncΛy (x) = 〈x , y〉 = 1 et Λy (z) = 〈z , y〉 = 0,

pour z ∈ F . Il suffit alors de prendre u := Λy . Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 30 / 42

Critere de densite

Corollaire (critere de densite)

Soit F un sous-espace vectoriel de H. Alors, F est dense dans H si et seulement si F⊥ = 0.

Autrement dit, pour verifier qu’un sous-espace F est dense de H, il suffit de verifier que

∀a ∈ H, (〈x , a〉 = 0, ∀x ∈ F ) ⇒ a = 0.

Preuve. Si F est dense, alors F = H et F⊥ = F⊥ = 0. Inversement, si F n’est pas dense, ilexiste u ∈ H ′, u 6= 0 telle que u(x) = 0 pour tout x ∈ F . Il existe a ∈ H, a 6= 0 tel que u = Λa.Alors 〈x , a〉 = 0 pour tout x ∈ F et a 6= 0. Donc F⊥ 6= 0.

Exemple : Soit `c(N; C) l’ensemble des suites de `2(N; C) qui sont nulles a partir d’uncertain rang. On note en ∈ `c(N; C) la suite dont tous les termes sont nuls sauf le n-ieme quiest egal a 1. Si a = (an)n>0 est orthogonale a tous les elements de `c(N; C), on a

〈a, en〉`2 = an = 0,

donc a = 0. Conclusion, `c(N; C) est dense dans `2(N; C).Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 31 / 42

Theoreme de Riesz pour les formes sesquilineaires

Definition (continuite des formes sesquilineaires)

Une forme sesquilineaire Φ : H × H → C est continue s’il existe une constante C > 0 telle que

|Φ(x , y)| 6 C ‖x‖‖y‖, ∀x , y ∈ H.

Remarque : la continuite (au sens usuel) de Φ : H ×H → C est equivalente a la continuite ausens de la definition ci-dessus.

Theoreme (theoreme de representation de Riesz - version sesquilineaire)

Soit Φ une forme sesquilineaire continue sur un espace de Hilbert H. Alors, il existe une uniqueapplication lineaire continue A : H → H telle que

Φ(x , y) = 〈x ,A(y)〉 ∀x , y ∈ H.

Remarque : si Φ est hermitienne alors A verifie 〈x ,A(y)〉 = 〈A(x), y〉.


Theoreme de Riesz pour les formes sesquilineaires, preuve

Preuve. Soit y ∈ H. La forme lineaire x 7→ Φ(x , y) est continue, donc par le theoreme derepresentation de Riesz il existe un unique ay ∈ H tel que Φ(x , y) = 〈x , ay 〉 pour tout x .Verifions que l’application A : H → H definie par A(y) := ay est lineaire et continue.

La linearite resulte de l’unicite dans le theoreme de representation de Riesz.

Par hypothese‖A(y)‖2 = 〈A(y),A(y)〉 = Φ(A(y), y) 6 C ‖y‖ ‖A(y)‖.

Donc‖A(y)‖ 6 C ‖y‖,

ce qui montre la continuite de A.


Adjoint d’une application lineaire continue

Definition

Soit A : H → H une application lineaire continue. On appelle adjoint de A et on note A∗, uneapplication lineaire continue A∗ : H → H verifiant

〈A(x), y〉 = 〈x ,A∗(y)〉 ∀x , y ∈ H.

Remarque : l’adjoint, s’il existe, est unique (par injectivite de l’application a 7→ Λa).

Corollaire

Soit A une application lineaire continue d’un espace de Hilbert H dans lui-meme. Alors,l’adjoint de A est bien defini et c’est une application lineaire continue de H dans H.

Preuve. La forme sesquilineaire Φ(x , y) := 〈A(x), y〉 est continue. En effet

|〈A(x), y〉| 6 ‖A(x)‖ ‖y‖ 6 ‖A‖L(H,H) ‖x‖‖y‖.

Il existe donc A∗ (unique) telle que 〈A(x), y〉 = 〈x ,A∗(y)〉 pour tous x , y ∈ H. Cours 7 : Espaces de Hilbert Bertrand Remy 34 / 42


3. Bases hilbertiennes


Notion de base hilbertienne

Definition

Soit (en)n>0 une famille denombrable d’un espace de Hilbert H. On dit que la famille (en)n>0

est une base hilbertienne si :

(i) pour tous n 6= m on a 〈en, em〉 = 0, et ‖en‖ = 1 pour tout n ∈ N ;

(ii) l’espace vectoriel Vect en : n ∈ N des combinaisons lineaires finies des vecteurs en,pour n ∈ N, est dense dans H

Attention : une base hilbertienne n’est pas une base algebrique car pour une base algebrique,tout element de l’espace est combinaison lineaire finie d’elements de la base.


Identite de Parseval

Theoreme

Soit (en)n>0 une base hilbertienne d’un espace de Hilbert H. Tout x ∈ H s’ecrit de maniereunique comme la somme d’une serie convergente dans H

x =∑n>0

xn en ou xn := 〈x , en〉 ∈ C.

De plus, on a l’egalite de Parseval

‖x‖2 =∑n>0

|xn|2 =∑n>0

|〈x , en〉|2.

Reciproquement, si∑n>0

|xn|2 < +∞, alors∑n>0

xn en converge dans H.


Identite de Parseval, preuve

Preuve. Soit Pn la projection orthogonale sur Fn := Vecte0, . . . , en. Par hypothese

F =⋃

n∈N Fn est dense dans H, donc limn→+∞

Pn(x) = x . De plus Pn(x) =n∑

k=0

xkek , ou

xn := 〈x , en〉. Par Pythagore ‖Pn(x)‖2 =n∑

k=0

|xk |2, et par passage a la limite on obtient la

formule de Parseval‖x‖2 =

∑k>0

|xk |2.

On suppose maintenant que∑n>0

|xn|2 < +∞. Par Pythagore, on a

∥∥∥∥∥n∑

k=m

xk ek

∥∥∥∥∥2

=n∑

k=m

|xk |2.

En particulier, la suite( n∑k=0

xk ek)n>0

est une suite de Cauchy dans H, donc elle converge.


Inegalite de Bessel

Lemme

Soit (en)n>0 une famille orthonormale de vecteurs de H et x ∈ H. Alors+∞∑n=0

〈x , en〉 en, est la

projection orthogonale de x sur F , l’adherence du sous-espace vectoriel F engendre par lesvecteurs en.

Le theoreme de Pythagore nous permet decrire

‖x‖2 = ‖x − PF (x)‖2 + ‖PF (x)‖2 = ‖x − PF (x)‖2 +∑n>0

|〈x , en〉|2.

On en deduit l’inegalite de Bessel : ∑n>0

|〈x , en〉|2 6 ‖x‖2.


Exemple : series de Fourier dans L2(S1; C)

Soit H = L2(S1; C) muni du produit hermitien

〈f , g〉L2 :=1

2π

∫S1

f (t) g(t) dt.

La famille (en)n∈Z ou en(t) := e int est une famille orthonormee de L2(S1; C).

Par Stone-Weierstrass, les combinaisons lineaires des en sont denses dans C(S1; C) pour lanorme de la convergence uniforme, qui lui-meme est dense dans L2(S1; C), pour lanorme ‖ · ‖L2 .

Conclusion : la serie de Fourier de f ∈ L2(S1; C) converge pour la norme L2 vers f et l’egalitede Parseval nous donne ∑

n∈Z

|cn(f )|2 =1

2π

∫S1

|f (t)|2dt.

ou cn(f ) := 〈f , en〉L2 =1

2π

∫S1

f (t) e−intdt est le n-ieme coefficient de Fourier de la fonction f .


Espaces de Hilbert separables

Definition

On dit qu’un espace de Hilbert H est separable, s’il existe un sous-ensemble de H qui est a lafois denombrable et dense.

Theoreme

Tout espace de Hilbert separable possede une base hilbertienne.

Preuve. Utiliser le procede d’orthonormalisation de Schmidt.

Remarque : si H possede une base hilbertienne (en)n>0, alors H est separable.

Preuve. Considerer le Q-espace vectoriel engendre par les en, pour n ∈ N.

Remarque : Tous les espaces consideres dans ce cours sont separables : `2(N; C), L2(R; C),L2([a, b]; C), . . . sont des espaces de Hilbert separables.


Espaces de Hilbert separables

Corollaire

Tous les espaces de Hilbert separables de dimension infinie sont isomorphes entre eux.

Preuve. Soit (en)n>0 une base hilbertienne de H. Pour tout x := (xn)n>0 ∈ `2(N; C), on note

L(x) :=∑n>0

xnen ∈ H.

Alors L : `2(N; C)→ H est lineaire et ‖L(x)‖ = ‖x‖ (Parseval). Donc L est continue etinjective ; elle est surjective par definition d’une base hilbertienne.

Proposition

Un sous-espace ferme d’un espace de Hilbert separable est separable.

Preuve. Soit X = xn : n > 0 un ensemble denombrable et dense dans H. Puisque PF est1-lipschitzienne, pour tout y ∈ F , on a : ‖PF (xn)− y‖ = ‖PF (xn)− PF (y)‖ 6 ‖xn − y‖. AinsiPF (X ) est dense dans F .


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Espaces de Hilbert - Centre national de la recherche ...bremy.perso.math.cnrs.fr/MAT311-2016-SlidesAmphi7-EspacesDeHil… · Exemples 1.Sur CN, on peut d e nir le produit (scalaire)