ESTIMATION D’UN MODELE ARCH-GARCH AVECPRIMES D’ASYMETRIE

Mémoire

Adamou Yacouba Abdou

Maîtrise en économiqueMaître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© Adamou Yacouba Abdou, 2013

Résumé

L’objectif de cette étude est de développer et analyser les déterminants du rendement excé-dentaire ( ou prime de marché) des actifs financiers dans l’hypothèse que ces derniers suiventune loi normale asymétrique. Ainsi, sous la base de cette hypothèse, nous avons élaboré unmodèle dans lequel le rendement excédentaire de l’actif financier en question est déterminé parl’effet combiné du coefficient d’asymétrie(skewness), de la prime de risque et de sa variance(ou volatilité). Par la suite nous avons estimé ce modèle en supposant que la variance suit unprocessus ARCH-GARCH . L’analyse empirique porte sur les données du SP500, et sont tiréesde la banque de données de Fama-French. Les résultats de l’analyse montrent que l’ARCH(1)décrit mieux les données de la série du SP500 contrairement au GARCH(1,1).

iii

Table des matières

Résumé iii

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xi

Introduction 1

1 LA SPÉCIFICATION ÉCONOMÉTRIQUE DU MODÈLE 31.1 Modèle avec la loi normale symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Modèle avec la loi normale asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 PRÉSENTATION DES DONNÉES 152.1 La Stationnarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 L’auto-corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 L’asymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 La volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Effet Levier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Saisonnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 MODÈLES ARCH/GARCH 233.1 Modèles ARCH(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Modèles GARCH (p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 ESTIMATION DU MODÈLE 27

Conclusion 31

Bibliographie 33

v

Liste des tableaux

2.1 Statistique descriptive du rendement excédentaire du marché . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Résultats de l’estimation ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Résultats de l’estimation GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Résultats des critères de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

vii

Liste des figures

1.1 Densité de la Skew normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 rendement excédentaire du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 le correlogramme de rmkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 le correlogramme de rmkt2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 l’histogramme de la distribution marginale du rmkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 la variance de rmkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ix

Remerciements

Tout d’abord, je tiens à remercier mon directeur de recherche, Benoît Carmichael, professeurau Département d’économique de l’Université Laval, qui sans relâche m’a prodigué des conseilset une démarche méthodique dans l’avancement de mon travail. Il a toujours su se montrerdisponible à toutes mes interrogations relatives à ce sujet. C ’est le moment aussi de dire mercià tous les professeurs du Département et à toute l’équipe de professionnels du départementpour leur encadrement. Enfin, je me permets également de remercier toute ma famille et mesamis pour leur soutien moral et leur encouragement tout au long de mes études.

xi

Introduction

Cette étude s’intéresse à la détermination de la prime de risque des actifs financiers fondée surun modèle qui tient compte de l’asymétrie (« skewness ») des rendements excédentaires desactifs financiers. L’estimation économétrique de ce modèle incorporera également un processusARCH-GARCH pour la variance. Le choix du thème de notre mémoire est apparu comme uneévidence dans le désir d’approfondir le mécanisme de détermination de la prime de risque surles marchés financiers ; en ce sens que la prime de risque constitue une préoccupation majeurequi a dominé et qui continue d’intriguer le monde actuel de la finance.

L’importance du sujet d’étude est inéluctable dans la mesure où les actifs financiers jouentun rôle crucial dans l’environnement économique. Ils sont indispensables à la production et àl’accumulation de revenus et sont déterminants dans l’allocation inter-temporelle de ressourcespar le biais des processus d’épargne, prêt et d’emprunt. Ce mécanisme est tout à fait rationnel,dans la mesure où, sur un marché financier donné, chaque intervenant vise à maximiser sonutilité. Cette maximisation consiste à concilier un niveau élevé de rentabilité et un niveauélevé de sécurité (donc moins risqué). Autrement dit, l’utilité de l’agent économique en ques-tion est une fonction du rendement et du risque, communément mesuré par la variabilité duportefeuille.

Harry Markowitz est l’un des premiers auteurs à traiter de cette question d’allocation duchoix optimal de portefeuille dans son article paru au Journal of Finance en 1952. Ses travauxcherchent à minimiser la variance du rendement du portefeuille étant donné un rendementespéré donné. Bien que la théorie de Markowitz, ait été révolutionnaire à son époque, elle apar la suite connu plusieurs critiques. L’approche de Markowitz porte principalement sur destitres financiers individuels. Quelques années plus tard, Treynor (1962), Sharpe (1964), Lintner(1965), Mossin (1966) et Black (1972) développent un modèle central en théorie financièrequi permet de décrire de façon simple, la relation liant la rentabilité des actifs financiers etleur risque : c’est le CAPM (Capital Asset Pricing Model). Ce modèle jouit d’une certainenotoriété tant sur le plan académique qu’en pratique. En effet, à travers le « bêta » commeoutil d’analyse financière, ce modèle a rencontré un vif succès auprès des praticiens car il leurpermet de quantifier le risque encouru par la détention d’un actif financier.

Toutefois il faut souligner l’hypothèse implicite qui caractérise ces études : c’est que les titres

1

sont modélisés selon une loi normale symétrique. Alors que dans la réalité des marchés finan-ciers (Cencia et Filippinib (2006)) les rendements ne suivent pas une distribution normalesymétrique, mais plutôt une loi asymétrique. Sur la base de cette information, l’utilisationde la variance comme seule mesure du risque encouru serait inappropriée (Bawa (1975)). Parla suite, plusieurs autres chercheurs ont apporté des modifications, voire des remaniementsstructurels à cette règle et ont élaboré de nouveaux modèles. Ces différents modèles se fondentsur la manière dont ils mesurent la prime de risque.

Parmi la multitude de modèles qui existent dans la littérature, notre analyse se focalisera surle modèle d’évaluation des actifs financiers fondé sur la consommation. Nous allons considérerl’analyse du consommateur gestionnaire de portefeuille. Ceci dit nous allons d’abord étudier lesdéterminants de la prime de marché dans un modèle où les rendements suivent la loi normalesymétrique à variance constante.Par la suite, nous analyserons la cas où les rendements suiventplutôt une distribution normale asymétrique.

L’originalité de notre démarche se situe au niveau de la prise en compte de l’asymétrie (« skew-ness ») dans la distribution des rendements excédentaires des actifs financiers. Nous estimonsque les rendements excédentaires suivent une distribution asymétrique et non une loi normalesymétrique comme on a l’habitude de voir dans la littérature existante. Nous faisons aussil’hypothèse que la variance des rentablités espérées n’est pas constante comme le souligne lestravaux antérieurs, mais qu’elle est très volatile dans le temps. A l’égard de ces hypothèses,nous aurons un double objectif dans ce travail :

1. Analyser les déterminants de la prime de marché dans l’hypothèse d’un modèle avec unedistribution asymétrique ;

2. Estimer ce modèle sous l’hypothèse que la variance suit un processus ARCH-GARCH(p,q).

Après l’introduction en chapitre I, notre travail sera structuré par les points suivants : lechapitre II décrit la spécification économétrique du modèle, il faut souligner que dans cettesection nous allons d’abord développer le modèle avec la loi normale symétrique, ensuite lemodèle avec la loi normale asymétrique. Le chapitre III décrit les données d’études. Dansle chapitre IV nous présentons les modèles ARCH/GARCH, puis dans le chapitre V nousanalysons les résultats empiriques ; enfin nous faisons la conclusion dans le chapitre VI.

2

Chapitre 1

LA SPÉCIFICATIONÉCONOMÉTRIQUE DU MODÈLE

1.1 Modèle avec la loi normale symétrique

Cette partie est basée sur les travaux de Campbell, Lo et MacKinlay (1999). Leurs travauxdécoulent du modèle étudié par Lucas (1978) et Breeden (1979). Il faut souligner que depuisla parution de ces études, les modèles inter-temporels d’équilibre général traitant de la valori-sation des actifs financiers ont pris une place importante dans la littérature économique. Cesmodèles prédisent qu’en équilibre général, les prix et les rendements des actifs financiers sontliés aux caractéristiques des préférences des agents économiques, en particulier les paramètresd’aversion au risque et de substitution inter-temporelle.

Pour développer cet argument, nous partons de l’idée, selon laquelle les individus planifientleur consommation à la fois pour le présent et pour le futur. Dans le but de consommerdavantage dans le futur, ils doivent consommer moins aujourd’hui ; c’est-à-dire qu’il existe unesubstitution inter-temporelle entre la consommation courante et la consommation future. Ladécision de savoir s’il faut investir ou accumuler du capital dépend du taux de rendement ducapital et du coût d’emprunt auprès des ménages. En équilibre général le taux de rendement ducapital et le taux d’intérêt de l’épargne sont liés car les firmes ne seront pas prêtes à emprunterà un taux supérieur au taux de rendement de leurs capitaux corrigé pour les risques encourus.Les ménages de leur côté ne seraient pas prêts à prêter à moins que le taux de rendement del’épargne soit supérieur ou égal à leur taux de préférence pour le présent. Nous analyseronspar conséquent une théorie de valorisation des actifs qui tienne compte de ces considérationsd’équilibre général inter-temporel.

Considérons un ménage représentatif, gestionnaire de portefeuille qui choisit d’investir dansdeux types différents d’actifs financiers les obligations et les actions.

3

Une action est un titre de propriété sur une partie du capital d’une firme privée.

Une obligation est un titre de créance fixe émis par un agent public ou privé

Les obligations sont des valeurs à revenu garanti, en ce sens que l’achat d’une obligation pré-sente moins de risque que l’achat d’une action. Dans cette condition nous admettons que lesobligations sont des actifs sûrs et les actions sont des actifs risqués. Le ménage type connaîtson revenu actuel avec certitude, mais le revenu de la période à venir est incertain ou aléatoire.Nous supposons que le ménage maximise la valeur actualisée de ses utilités courante et futuresChacune des valeurs dépend de la consommation, tout en respectant sa contrainte budgétaire.Le problème de maximisation inter-temporelle est alors le suivant :

Fonction d’utilité :

Vt = maxEt

[+∞∑i=0

βiU (Ct+i)

]0 < β < +∞ (1.1)

Budget

0 = Bt+1

(1 + rft+1

)+Qt+i

(1 + rmt+i

)− Ct+i −Bt+1+i −Qt+1+i pour ∀ i (1.2)

Où Et [.] est l’opérateur d’espérance mathématique conditionnelle à l’information dont dis-pose le ménage. β est le facteur d’escompte, Ct représente la consommation, U (C) l’utilitéinstantanée, Bt désigne le stock de l’actif financier sans risque avec un taux de placement rftet enfin Qt représente l’actif risqué du marché avec un taux de placement rmt . On remarquebien que le prix de l’actif n’intervient pas dans ce modèle, par souci de simplification nousavons supposé qu’il est égal à 1.

Nous utiliserons la méthode de la programmation dynamique stochastique pour résoudre ceproblème. L’objectif sera de maximiser la fonction valeur que nous présentons comme suit :La fonction de valeur est :

Vt (Bt, Qt) = MaxBt+1,Qt+1,Ct,λt

U (Ct) + βEt [Vt+1 (Bt+1, Qt+1)] +

λt

(Bt

(1 + rft

)+Qt (1 + rmt )− Ct −Bt+1 −Qt+1

) (1.3)

Où, λt est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte budgétaire de l’agent. Leschoix optimaux du consommateur-gestionnaire de portefeuille doivent respecter les conditions

4

du premier ordre :

0 = −λt + βEt

[∂Vt+1

∂Bt+1

](1.4)

0 = −λt + βEt

[∂Vt+1

∂Qt+1

](1.5)

0 = −λt + U ′ (Ct) (1.6)

0 = Bt

(1 + rft

)+Qt (1 + rmt )− Ct −Bt+1 −Qt+1 (1.7)

Les équations (1.4) à (1.7) sont dans l’ordre les conditions du premier ordre des choix Bt+1,Qt+1, Ct et λt.

On trouve les différentielles de la fonction de valeur Et[∂Vt+1

∂Bt+1

]et Et

[∂Vt+1

∂Qt+1

]en appliquent

les conditions de l’enveloppe :Les conditions de l’enveloppe

∂Vt+1

∂Bt+1=

(1 + rmt+1

)λt+1 (1.8)

∂Vt+1

∂Qt+1=

(1 + rft+1

)λt+1 (1.9)

Les condition d’Euler du problème d’optimisation de l’agent sont obtenues en remplaçant (1.8)et (1.9) dans les conditions du premier ordre (1.4) et (1.5).Les conditions d’Euler

0 = −U ′ (Ct) + βEt

[(1 + rft+1

)U ′ (Ct+1)

](1.10)

0 = −U ′ (Ct) + βEt[(

1 + rmt+1

)U ′ (Ct+1)

](1.11)

0 = Bt

(1 + rft

)+Qt (1 + rmt )− Ct −Bt+1 −Qt+1 (1.12)

Sans perte de généralité les deux premières équations nous enseignent que le ménage représen-tatif fait un choix efficace de son portefeuille quand il y a égalité entre la marge bénéficiaireet la marge des coûts d’une unité supplémentaire d’investissement dans l’actif sûr et l’actifrisqué. Il est utile de réécrire les équations d’Euler (1.10) et (1.11) de la manière alternativesuivante.

Et

[βU ′(Ct+1)

U ′(Ct)

(1 + rft+1

)]= 1 (1.13)

Et

[βU ′(Ct+1)

U ′(Ct)

(1 + rmt+1

)]= 1 (1.14)

5

Les conditions (1.13) et (1.14) résument les restrictions imposées par la théorie économique surles rendements financiers rft+1 et r

mt+1. En termes des espérances mathématiques, le produit des

rendements financiers bruts futurs, (1 + rit+1) pour i = f et m, et du taux marginal de substi-tution inter-temporelle, βU

′(Ct+1)U ′(Ct)

, doit être égal à un pour les deux actifs. Dans la littératurefinancière, le taux marginal de substitution inter-temporelle apparaissant dans les équations(1.13) et (1.14) est souvent associé à un facteur d’escompte stochastique. Pour soumettre cesprédictions à la vérification empirique, il nous faut postuler une forme paramétrique pour lafonction d’utilité instantanée U(C). Dans la littérature on utilise souvent une fonction d’utilitéde forme iso-élastique comme fonction d’utilité du ménage représentatif :U (Ct) =

C1−γt1−γ où le

paramètre γ désigne le coefficient Arrow-Pratt d’aversion relatif au risque. Ce paramètre sedéfinit par : γ = −U ′′(Ct)·Ct

U ′(Ct)avec U ′′ ≤ 0.

La fonction d’utilité iso-élastique possède plusieurs propriétés intéressantes :

– Plus γ est élevé plus l’investisseur a de l’aversion pour le risque.

– Quand γ est égal à zéro l’individu est neutre face au risque.

– Les primes de risques associées sont invariantes quelque soient les changements prévusau niveau de l’économie ou de la richesse.

– On est en mesure d’agréger les choix des individus même si ces derniers ont des niveauxde richesses différents.

– Enfin le coefficient d’aversion au risque γ est toujours égal à l’inverse de l’élasticité desubstitution inter-temporelle.

Hall (1988) mentionne dans ses travaux que cette dernière propriété n’est pas toujours dé-sirable, dans la mesure où l’aversion au risque n’a pas une dimension temporelle et qu’elleexiste uniquement dans une situation d’incertitude. À l’inverse, la notion de substitution inter-temporelle requiert la dimension temporelle et existe même en l’absence d’incertitude. Malgrécette lacune, la fonction iso-élastique reste prévalente dans les travaux appliqués. En tenantcompte des préférences iso-élastiques les conditions d’Euler deviennent

Et

[β

(Ct+1

Ct

)−γ (1 + rft+1

)]= 1 (1.15)

Et

[β

(Ct+1

Ct

)−γ (1 + rmt+1

)]= 1 (1.16)

Par ailleurs, il est possible à l’équation (1.15) de sortir le facteur(

1 + rft+1

)de l’opérateur

d’espérance mathématique car il est connu à la période t. Ces modifications permettent d’écrire

6

les équations d’Euler plus simplement.

Et

[β

(Ct+1

Ct

)−γ](1 + rft+1

)= 1 (1.17)

Et

[β

(Ct+1

Ct

)−γ (1 + rmt+1

)]= 1 (1.18)

Étant donné que nous sommes en équilibre général inter-temporel sur tous les marchés ; onaura remarqué que Ct+1 = Ct · er

ct+1 , cela veut dire que la consommation de demain (Ct+1)

est égale à la consommation d’aujourd’hui (Ct) multipliée par le taux de croissance brut dela consommation er

ct+1 . Tout en faisant l’hypothèse que rct+1 suit une loi normale avec comme

moyenne µ et εt+1 un terme aléatoire. rct+1 = µc + εt+1 où εt+1 ∼ N(0, σ2

). Dans le même

esprit, sachant que les rendements financiers sont des valeurs numériquement proches de zéro,les rendements bruts des actifs financiers respectent les approximations er

ft+1 ≈ (1 + rmt+t) et

ermt+1 ≈ (1 + rft+t). Ce qui nous permet de réécrire les équations d’Euler autrement :

β · erft+1 · Et

[e−γ r

ct+1

]= 1 (1.19)

β · Et[ermt+1 − γ rct+1

]= 1 (1.20)

Les équations (1.19) et (1.20) sont les formes paramétriques des équations d’Euler sur lesquelless’appuient l’analyse empirique des prochaines sections. Comme nous le verrons à la prochainesection, il est possible, en postulant la Loi statistique des rendements, de calculer les formesexplicites des espérances mathématiques et d’obtenir ainsi les expressions analytiques desrendements attendus.

1.1.1 Calcul du rendement de l’actif certain

Le calcul du rendement de l’actif certain s’appuie sur l’équation (1.19). Sachant que le tauxrft+1 est connu à la période t et sous l’hypothèse que rct+1 suit une loi normale, alors nouspouvons réécrire l’équation (1.19) sous la forme agrégée de la densité de probabilité d’une loinormale gaussienne :

1 = β · erft+1Et

[e−γ r

ct+1

]

= e−ρ · erft+1 ·

∫ +∞

−∞e−γ r

ct+1 · e

− 12(rct+1−µc)

2

σ2

σ√

2πdrct+1 (1.21)

Où, ρ est le taux de préférence pour le présent et β = e−ρ au dernier terme du côté droit.

7

L’Annexe A de Carmichael Benoît et Alain Coën (2013) 1 démontre qu’il est possible derésoudre l’intégral du côté droit de (1.21) pour obtenir l’expression simplifiée :

1 = e−ρ · erft+1 · eγ · µc+

γ2

2·σ2 (1.22)

En prenant le logarithme des deux côtés, nous trouvons l’expression du rendement de l’actifcertain prédit par le modèle.

rft+1 = ρ+ γ · µc −γ2

2· σ2 (1.23)

L’équation (1.23) résume les déterminants du rendement de l’actif certain. Le taux d’intérêtréel dépend du taux de préférence pour le présent, du coefficient d’aversion aux risque et de lavariance du taux de croissance de la consommation. Cette dernière variable est un indicateurde la quantité de risque agrégé présent dans l’économie.

1.1.2 Calcul du rendement de l’actif incertain

L’équation (1.20) permet de calculer le rendement attendu de l’actif risqué.

e−ρ · Et[ermt+1 − γ rct+1

]= 1 (1.24)

Sous l’hypothèse selon laquelle rct+1 = µc + εt+1 où εt+1 ∼ N(0, σ2

)nous avons

1 = e−ρ · Et[ermt+1−γrct+1

]

= e−ρ ·∫ +∞

−∞ermt+1−γ·rct+1

e−12·(rct+1−µc)

2

σ2

σ√

2π· drct+1 (1.25)

Sachant que le consommateur représentatif consomme l’intégralité de son revenu de portefeuilleen équilibre général et sous l’hypothèse que les revenus autonomes sont nuls, il s’en suit quermt+1 = rct+1, (Et

[rmt+1

]= Et

[rct+1

]= µc). Nous avons donc

1 = e−ρ ·∫ +∞

−∞erct+1−γ·rct+1

e−12·(rct+1−µc)

2

σ2

σ√

2π· drct+1 (1.26)

Cette intégrale est similaire à celle développée plus haut à l’équation (1.21). Après quelquesmanipulations mathématiques elle se simplifie à :

1 = e−ρeµc − γµc +

γ2

2· σ2 − γσ2 +

σ2

2 (1.27)

En prenant le logarithme des deux côtés comme précédemment, nous trouvons l’expression durendement risqué espéré :

µc = γ · µc + ρ+ γ · σ2 − σ2

2− γ2

2· σ2 (1.28)

1. Asset pricing with skewed-normal return, Finance Research Letters, sous presse,http ://dx.doi.org/10.1016/j.frl.2013.01.001

8

En tenant compte du résultat Et[rmt+1

]= Et

[rct+1

]= µc découlant de l’hypothèse selon

laquelle les revenus de portefeuille sont les seuls revenus qui financent la consommation.

Et[rmt+1

]= ρ+ γ · Et

[rmt+1

]+ γ · σ2 − σ2

2− γ2

2· σ2 (1.29)

Il faut souligner à ce stade que notre intérêt porte principalement sur la prime espérée demarché plutôt que le rendement espéré du marché donné à l’équation (1.29). La prime espéréde marché est le rendement excédentaire espéré, c’est à dire l’écart entre le rendement risquéespéré et le rendement sûr. On trouve le rendement excédentaire espéré de l’actif risqué enretranchant de l’équation (1.29), l’expression du rendement sans risque donnée à l’équation(1.23).

Et[rmt+1

]− rft+1 = γ · σ2 − σ2

2(1.30)

ou plus précisément,

Et[rmt+1

]− rft+1 + Jm = γ · σ2 = λ (1.31)

Où, Jm = σ2

2 est un terme d’inégalité de Jensen 2 et où λ désigne la prime de marché. L’équa-tion (1.31) nous enseigne que le rendement excédentaire espéré du marché Et

[rmt+1 − r

ft+1

]dépend de l’effet combiné du risque σ2 et de l’aversion au risque γ. De façon générale, cetteéquation permet également de déduire les déterminants du rendement excédentaire de toutactif risqué i différent du rendement du marché rmt . Commençons par noter que la varianceσ2 n’est rien d’autre que la covariance du rendement rmt avec lui-même.

Et

[rmt+1 − r

ft+1

]+ Jm = γ · V ar(rmt+1) = γ · Cov(rmt+1, r

mt+1) (1.32)

Il s’ensuit pour tout actif i

Et

[rit+1 − r

ft+1

]+ Ji = γ · Cov(rit+1, r

mt+1) (1.33)

En multipliant et divisant le côté droit par V ar(rmt+1) nous obtenons :

Et

[rit+1 − r

ft+1

]+ Ji =

Cov(rit+1, rmt+1)

V ar(rmt+1)· γ · V ar(rmt+1) (1.34)

en posant Cov(rit+1,rmt+1)

V ar(rmt+1)= βi on aura plus précisément l’expression suivante :

Et

[rit+1 − r

ft+1

]+ Ji = βi · γ · V ar(rmt+1) (1.35)

Le paramètre βi est le « bêta » de l’actif i. Il représente la sensibilité au rendement dumarché, c’est-à-dire la variation du rendement expliqué par celle du marché.

2. L’inégalité de Jensen fait référence au fait que si une variable X suit une loi log normale alors, E[f(x)] 6=d(E[x]) à moins que f(·) soit une fonction linéaire.

9

On dit qu’il représente la part de « risque systématique » ou « risque non diversifiable» contenu dans le risque global du portefeuille.

En remplaçant λ par son expression trouvée en haut à l’équation(1.31) on aura :

Et

[rit+1 − r

ft+1

]+ Ji = βi · λ

Alternativement,

Et

[rit+1 − r

ft+1

]+ J = βi · Et

[rmt+1 − r

ft+1

](1.36)

Ainsi nous aboutissons à la fameuse équation du CAPM. Cette équation résume que danstout portefeuille efficient, la prime de risque d’un actif particulier i est proportionnelle à laprime de risque du portefeuille du marché. Le rapport de proportionnalité est égal au rapportde la covariance conditionnelle de rit et rmt sur la variance conditionnelle de rmt et il mesurela contribution marginale du titre i au risque du portefeuille. Ce qui signifie que les primessur les actifs risqués ne dépendent que du rendement excédentaire attendu du portefeuille deréférence pour des βi donnés.

Par convention, la littérature financière ignore habituellement le terme Ji d’inégalité de Jensen,ce qui permet d’écrire plus simplement l’équation fondamentale du CAPM :

Et

[rit+1 − r

ft+1

]= βi · Et

[rmt+1 − r

ft+1

](1.37)

βi mesurant ici la sensibilité du rendement de l’actif au rendement du marché, alors on peutremarquer que- si βi < 1, alors le rendement excédentaire du titre varie moins que celui du marché- si βi > 1, alors le rendement excédentaire du titre varie plus que celui du marché.

Dans tout ce qui précède nous avons développé les équations sous l’hypothèse que les rentablitéssont distribuées selon une loi normale symétrique. Hors cette hypothèse de symétrie n’est pasconforme à la réalité des rendements financiers. On observe plutôt des coefficients négatifsd’asymétrie chez les rendements financiers.

L’objectif de notre mémoire est de développer et d’estimer économétriquement une version dumodèle CAPM qui tient compte de cette asymétrie. Pour ce faire, à la suggestion de Carmichaelet Coën (2011) nous allons exploiter la loi Normale Asymétrique d’Azzalini (1985).

1.2 Modèle avec la loi normale asymétrique

Il est utile de commencer par une brève revue des principales caractéristiques de la loi normaleasymétrique. Nous verrons par la suite aux sections suivantes quelles sont ses implications pourle rendement sûr et la prime de marché.

10

Définition

La loi normale asymétrique est une distribution de probabilité continue qui généralise la dis-tribution normale tout en introduisant une asymétrie non nulle.

L’asymétrie est le troisième moment standardisé ; elle est calculée à partir du cube des écartsà la moyenne. Si nous désignons par φ(z) la densité de probabilité de la loi normale centréeréduite

φ(z) =1√2πe−z

2

2 (1.38)

Sa fonction de répartition est donnée par :

Φ(z) =

∫ z

−∞φ(t)dt =

1

2

[1 + erf

(z√2

)](1.39)

Où, erf(·) est la fonction d’erreur de Gauss. Azzalini (1985) démontre que la densité deprobabilité de la distribution normale asymétrique f(z) avec paramètre d’asymétrie α estdonnée par l’expression

f(z) = 2φ(z) Φ(α z)

On peut facilement remarquer que l’on retrouve la distribution normale symétrique lorsqueα = 0, et que la valeur absolue de l’asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de α aug-mente. Cela implique que si α > 0, la distribution est asymétrique vers la droite donc unequeue de distribution étalée vers la droite ; et si α < 0 la distribution est asymétrique vers lagauche, c’est à dire une queue de distribution étalée vers la gauche ; comme on peut le voirsur la figure suivante.

11

Figure 1.1: Densité de la Skew normal

12

Il arrive souvent qu’on fasse une transformation usuelle de la variable x en ajoutant un pa-ramètre de position (ξ) et un paramètre d’échelle (ω). Dans ce cas la variable x se définitpar x = ξ + ω z, et en tenant compte de cette transformation, les trois premiers moments secalculent de la façon suivante :- La moyenne :

µx = ξ + ω µz

- La variance :

σ2x = ω2(1− µ2z

)- Le coefficient d’asymétrie :

ηx = ϕ

(µz√

1− µ2z

)3

Avec,

µz = ψα√

1 + α2, ψ =

√2

πet ϕ =

(2− 2π

4

)

1.2.1 La description du modèle

Pour décrire le modèle, nous formulons l’hypothèse sous-jacente que les rentablités du marchésuivent une distribution normale asymétrique. Sous cette hypothèse, les équations (1.19) et(1.20) des rendements sûr et risqué deviennent :

1 = e−ρ · erft+1 ·

∫ +∞

−∞

e−γ rct+1 · e−12·(rct+1−µc)

2

σ2

ω√

2π

· Φ(α rct+1) · drct+1 (1.40)

1 = e−ρ ·∫ +∞

−∞

e(1−γ) rct+1 · e−12·(rct+1−µc)

2

σ2

ω√

2π

· Φ(α rct+1) · drct+1 (1.41)

Carmichael et Coën (2011) démontre que les intégrales du côté droit peuvent être résoluespour obtenir :

1 = e−ρ · erft+1 ·

e−γ ξ + γ2ω2

2

· 2 · Φ(−γ ω µzψ

)(1.42)

1 = e−ρ ·

e(1− γ) ξ +ω2

2− γ ω2 + γ2

ω2

2

· 2 · Φ((1− γ)ω µzψ

)(1.43)

13

On procède par étapes pour déduire les restrictions imposées par les équations (1.42) et( 1.43)sur les rendements espérés. On débute par une transformation logarithmique des deux côtésde (1.42) et( 1.43).

0 = −ρ+ rft+1 − γ ξ + γ2ω2

2+ ln

[2 · Φ

(−γ ω µz

ψ

)](1.44)

0 = −ρ+ (1− γ) ξ +ω2

2− γ ω2 + γ2

ω2

2+ ln

[2 · Φ

((1− γ)ω µz

ψ

)](1.45)

On remplace ensuite les composantes ln [2 Φ(·)] par leurs approximations de Taylor du 3e degréau voisinage de zéro. On simplifie ensuite les expressions obtenues en utilisant les définitions dela moyenne, variance et asymétrie énoncées plus haut. Ces manipulations algébriques mènentà l’expression suivante pour le rendement excédentaire espéré de l’actif risqué.

Et

[rmt+1 − r

ft+1

]+ J = γ σ2 + γ (1− γ) · η σ

3

2(1.46)

Où, encore une fois, J = σ2

2 + η σ3

6 est un terme d’inégalité de Jensen. Remarquons toutde suite que la différence fondamentale entre cette expression et celle trouvée avec la loinormale se situe au niveau de la dernière composante de l’équation (1.46), c’est à dire γ (1−γ) η σ3

2 . Cette composante additionnelle, capte l’effet de l’asymétrie sur la prime de marché.Dans la littérature financière, l’asymétrie négative est souvent vue comme engendrant uneprime d’asymétrie positive. L’équation (1.46) révèle que ce ne sera pas toujours le cas. Parailleurs, le signe de la prime s’asymétrie dépend de la valeur du coefficient d’aversion aurisque. L’asymétrie négative engendre une prime positive uniquement lorsque le coefficientd’aversion au risque est supérieur à l’unité. Ce résultat est discuté en profondeur dans l’étudede Carmichael et Coën (2011).

Ainsi donc, l’équation (1.46) est l’équation fondamentale sur laquelle s’appuie l’analyse empi-rique des prochaines sections.

Hypothèse : L’estimation de ce modèle par la méthode du maximum de vraisemblance don-nera un coefficient de « skewness » significativement différent de 0.

Dans la suite de notre démarche nous nous attarderons beaucoup plus sur le comportementtemporel de la variance σ2.Plusieurs travaux se basent sur l’hypothèse que la variance est constante dans le temps, hors enréalité les données financières ont une grande variabilité de la volatilité. Cette problématiquesera détaillée tout au long de notre étude.Avant de passer à la modélisation, nous allons d’abord faire une présentation des donnéesd’études.

14

Chapitre 2

PRÉSENTATION DES DONNÉES

Les données portent sur le marché américain, et sont tirées de la banque de données de Famaet French. 1 Elles sont constituées par 569 observations mensuelles du rendement excédentaire(période allant de février 1962 à septembre 2011).Pour notre analyse, nous avons choisi de nommer cette série du rendement excédentaire dumarché par ”rmkt”

2. Pour rappel, nous avons déjà calculé l’expression du rendement excéden-taire plus haut dans l’équation (1.46). Elle s’obtient par la différence entre le rendement risquéau prix du marché Rt et le rendement sans risque désigné par Rf0 soit donc rmkt = Rt−Rf0où Rt correspond à la différence première du logarithme du prix Pt de l’indice du marché àl’instant t, c’est à dire que Rt = log(Pt)− log(Pt−1)

Notre série rmkt présente une moyenne mensuelle de 0, 41% et d’une variance mensuelle de0, 21%, elle est affectée d’un coefficient d’asymétrie négatif de −0, 533. L’analyse descriptivedes données brutes est résumée, dans le tableau suivant.

Variable Observations Min Max Moyenne variance Skewness

Rmkt 596 −0, 2314 , 1605 0, 0041 0, 0021 −0, 5330

Table 2.1: Statistique descriptive du rendement excédentaire du marché

Il faut se dire que ces résultats de l’analyse descriptive ne constituent pas une surprise pournous, dans la mesure où ils présentent les principales propriétés qu’on retrouve dans les séries

1. http ://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html2. le rmkt remplace le rmt de l’équation (1.46)

15

financières. Dès lors nous allons passer en revue ces propriétés afin de bien comprendre leurspécificité.

2.1 La Stationnarité

Étant donné que nous travaillons avec des séries temporelles, nous avons besoin des donnéesstationnaires afin de procéder à une estimation "efficace".Par définition un processus aléatoire (Xt, ∀t ∈ Z) est fortement stationnaire si la distri-bution marginale conjointe de (Xt, Xj), dépend seulement de l’écart entre t et j. C’est àdire que p(Xt, Xt−1, ....Xt−k) = p(Xt−j , Xt−j−1, ....Xt−j−k). Par contre un processus aléatoire(Xt, ∀t ∈ Z) est faiblement stationnaire ou stationnaire au second ordre si et seulement si lesconditions suivantes sont satisfaites :(i) ∀(t) ∈ Z,E(X2

t ) <∞ cela implique la convergence des moments d’ordre deux(ii) ∀(t) ∈ Z,E(Xt) ≡ µt = µ : la moyenne inconditionnelle de Xt est constante ∀(t)(iii)∀(t, h) ∈ Z2, cov(Xt, Xt+h) = γ(h) : les covariances de Xt et Xt+h ne varient pas partranslation du temps.Rappelons que γ(h) représente la fonction d’auto-covariance et les définitions suivantes s’ap-pliquent sur cette fonction :γ(h) = γ(−h)

γ(0) ≡ V [Xt] = σ2. Cela signifie que la variance inconditionnelle est indépendante du temps.De façon précise, un processus aléatoire est stationnaire au sens faible si l’ensemble de sesmoments sont indépendants du temps.Sur la base de la définition du rendement excédentaire et au terme de la définition de la sta-tionnarité, la série rmkt est stationnaire au second ordre.Les méthodes proposées par Dicker et Fuller (1979), permettent de tester l’hypothèse de sta-tionnarité d’une série. Or ici, nous avons des données constituées par la différence premièredes indices du marché, nous n’avons pas besoin de faire ce test de stationnarité. Notre sérieest stationnaire comme le montre ce premier graphique.

16

−.2

−.1

0.1

.2rm

kt

0 100 200 300 400 500 600Période

Corrélogramme

rendement excédentaire du marché

Figure 2.1: rendement excédentaire du marché

2.2 L’auto-corrélation

Afin de vérifier l’hypothèse d’auto-corrélation, analysons le corrélogramme de la série rmkt etcelui de rmk2t . On remarque que les auto corrélations de notre série rmkt sont faibles, ce quisous entend que la série rmkt est proche d’un bruit blanc ; par contre nous enregistrons desfortes auto corrélations de la série rmk2t . Ce qui est incompatible avec une hypothèse de bruitblanc. Rappelons que cette absence d’auto-corrélation de la série rmkt nous renvoie à la notionde l’hypothèse du marché efficient en terme anglais EMH (Efficience Market Hypothesis) 3

Notez que nous ne traitons pas les détails de cette hypothèse dans notre étude. Il faut toutsimplement retenir que sous l’hypothèse du marché efficient les rendements ne peuvent varierentre t et t+1 qu’en raison de l’arrivée de «nouvelles informations» non anticipées, autrementdit les rendements d’équilibre corrigés par le risque couru sont imprévisibles.

Par ailleurs sous l’hypothèse des anticipations rationnelles, à la date t, les erreurs de prévisionεt+1 = rmkt+1−Et(rmkt+1) sont en moyenne nulles et ne doivent pas être corrélées à aucuneautre information disponible à la même période. C’est à dire que (Et[εt+1] = 0). Cette dernièrepropriété est connue sur le nom de «condition d’orthogonalité». Pour résumer, on notera quel’hypothèse de EHM et l’hypothèse des anticipations rationnelles n’imposent des restrictionsque sur l’espérance mathématique de l’erreur de prévision εt. Dès lors la présence d’auto-corrélation au niveau de la série de rmk2t n’est pas incompatible avec l’EHM.

En utilisant le test de Portmanteau ou test de bruit blanc, nous pouvons vérifier l’absenced’auto-corrélation au niveau de rmkt ainsi que la présence d’auto-corrélation au niveau de

3. K. Cuthbertson (2000)"Economie financière quantitative : Actions, Obligations et Taux de Change", DeBoeck

17

rmk2t .

La statistique du test, qui suit une loi de Khi-deux avec k degré de liberté est définie par :

QK = T (T + 2)K∑i=1

ρ2iT − i

L−−−−→T→∞

χ2(K) (2.1)

Où ρi désigne l’auto-corrélation d’ordre i des processus rmkt et rmk2t .Pour un ordre K donné, le test a pour hypothèse :

H0 : ρ1=...=ρi=0

H1 : ∃j ∈ [1,K], tel que ρj 6= 0

Sur la Figure 3.2 du correlogramme de rmkt, pour une probabilité critique de 5%, on acceptel’hypothèse H0 d’absence d’auto-corrélation jusqu’à l’ordre maximal testé deK = 20, (QK =

0, 42 > 5%).

−.1

−.0

50

.05

.1C

oeffic

ients

d’a

uto

corr

éla

tion

0 5 10 15 20 25 30Période

Corrélogramme du rendement excédentaire

Figure 2.2: le correlogramme de rmkt

Par contre, en examinant le correlogramme de la Figure 3.3, au seuil critique de 5%, on est enmesure de rejeter catégoriquement l’hypothèse nulle d’absence d’autocorrection de la variablermk2t pour un ordre K = 1, (QK = 0, 0043 < 5%).

2.3 L’asymétrie

Beaucoup de tests économétriques sont basés sur l’hypothèse d’une loi normale symétrique. Ilarrive bien souvent que cette hypothèse forte n’est pas toujours vérifiée, en l’occurrence dansles données financières.

18

−.1

−.0

50

.05

.1C

oeffic

ients

d’a

uto

corr

éla

tion

0 5 10 15 20 25 30Période

Corrélogramme du rendement excédentaire au carré

Figure 2.3: le correlogramme de rmkt2

Ceci dit selon sa définition, la loi normale symétrique de variance σ2 doit respecter les condi-tions suivantes :

1. le coefficient d’asymétrie (skewness), correspondant au moment centré d’ordre 3, est nul ;

2. le coefficient de l’aplatissement(kurtosis), correspondant au moment centré d’ordre 4 estégale à 3σ4.

Si la première condition n’est pas respectée, on dira que la distribution est asymétrique,tandis que si la deuxième n’est pas respectée on parle de distribution leptokurtique ouplatykurtique selon que le coefficient de l’aplatissement est respectivement supérieur ouinférieur à 3σ4.

Le graphique suivant correspond à l’histogramme de la distribution marginale du rendementexcédentaire du marché. Il présente une queue de distribution épaisse vers la gauche. Ce quimontrent bien évidement que la distribution de la série rmkt n’est pas gaussienne. On rejetteclairement l’hypothèse de normalité de la série. Le coefficient de l’asymétrie du tableau 3.1 del’analyse des données présentée plus haut nous confirment cela.

Nous pouvons d’ailleurs, prouver cette confirmation en nous référant aux tests d’asymétrie etd’aplatissement du chapitre 16 de Davidson et Mackinnon 4.

L’idée de ces tests consiste à chercher la moyenne µ et l’écart type σ empirique du rendementexcédentaire et ensuite construire un t de Student asymptotique. Cela s’exprime de la façonsuivante :

et ≡rmkt− µ

σ

4. Inférence Statistique

19

02

46

810

−.3 −.2 −.1 0 .1u

Density p_u

rmkt

rendements excédentaires asymétriques

Figure 2.4: l’histogramme de la distribution marginale du rmkt

Ainsi la statistique pour tester l’asymétrie est définie par :

(6n)−1/2n∑t=1

e3t

Tant dis que celle pour tester l’excès du kurtosis est :

(24n)−1/2n∑t=1

(e4t − 3)

Les résultats statistiques χ2 et la p-value rejettent très largement l’hypothèse de normalitéde la série rmkt et on confirme l’idée que rmkt suit d’une loi normale asymétrique avec unequeue épaisse vers la gauche.

2.4 La volatilité

Comme le montre la Figure 3.1, on observe empiriquement des périodes de forte volatilité surle marché où de fortes variations, tendent à être suivies par d’autres grandes variations. Onparle de «Clusters de Volatilité». Rappelons que ce type de phénomène remet en causel’hypothèse d’homoscédasticité. Pour tester cette hypothèse d’homoscédasticité plusieurs testssont possibles tels que : test de Golfed et Quant, test de White, test de Breusch et Pagan etle test du multiplicateur de Lagrange. Dans notre cas nous allons utiliser ce dernier test.Le test du multiplicateur de Lagrange consiste à faire une auto régression linéaire avec constantede la série du rmkt au carré sur q retards. Pour un souci de simplification nous retenons lenombre de retards q=1 :

rmk2t = α0 + α1 ∗ rmk2t−1 (2.2)

20

Les hypothèses du test sont :H0 : homoscédasticité : α1 > 0

H1 : hétéroscédasticité : α1 = 0

On utilise la statistique du test n×R2 pour mener le test, avec n= nombre d’observations dela série rmkt et R2 désigne le coefficient de détermination issue de la régression (2.29).

Sous l’hypothèse H0 la statistique n×R2 suit une loi de Khi-deux avec 1 degré de liberté.

On est pas en mesure de rejeter l’hypothèse d’homoscédasticité si la statistique Qi = n×R2 ≤χ2(1).

La régression de l’équation (2.29) nous donne un R2 = 0, 0137, avec n = 596, la statistiqueQ596 × 0.0137 = 8.16. Cette valeur calculée est supérieure à 3, 84, soit la valeur critique dela χ2(1) au seuil de 5%. L’hypothèse d’homoscédasticité est rejetée en faveur de la présenced’hétéroscédasticité dans la série des rendements excédentaires.

Par ailleurs, l’analyse de la variance de notre série permet de bien comprendre que nous sommeen présence d’un processus ARCH/GARCH, comme le montre la figure suivante.

0.0

2.0

4.0

6

rmkt²

0 200 400 600

mois

Figure 2.5: la variance de rmkt

2.5 Effet Levier

Cette propriété nous rappelle de l’existence d’une asymétrie entre les valeurs passées desrendements et la volatilité de ces derniers. Par exemple une baisse des rendements tend àprovoquer une augmentation de la volatilité supérieure à celle induite par une hausse desrendements de même amplitude. Cela s’explique par le fait qu’il y a plus de mouvements fort

21

à la baisse qu’à la hausse. De façon explicite, un choc négatif sur le prix d’un titre va réduirela valeur d’une firme, ce qui augmentera le ratio de son endettement. L’état financier de lafirme étant plus fragile, alors la volatilité augmente.

2.6 Saisonnalité

Cet aspect nous explique un peu le lien qu’il y a entre la volatilité et l’effet du week-end etdes jours fériés. C’est à dire que les marchés sont très volatiles à la fermeture ( week-end etjours fériés).

Compte tenu de ces différentes propriétés et des résultats des tests statistiques qui en ontdécoulés, il serait impossible pour nous de modéliser la série du rmkt par un processus ARMAlinéaire, car l’hypothèse de processus ARMA ne permet pas de prendre en compte les méca-nismes d’asymétrie et de variance conditionnelle dont il est question ici. Ces phénomènes par-ticuliers se rencontrent fréquemment dans les données financières et boursières ainsi que dansles données de taux de change, où la volatilité semble être un élément essentiel à prendre encompte. D’où la nécessité d’aller vers une modélisation non linéaire.Il est bien probable qu’unemodélisation ARCH/GARCH permette de bien capter le processus de notre série rmkt.

Dans le chapitre suivant nous allons définir les processus ARCH/GARCH.

22

Chapitre 3

MODÈLES ARCH/GARCH

3.1 Modèles ARCH(q)

Le modèle ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) a été présenté pour la 1èrefois par Engel en 1982. Il constitue une grande classe de modèle non linéaire qu’on retrouvesurtout dans les modélisations des séries financières. L’approche ARCH propose une représen-tation auto-régressive de la variance conditionnelle à son information passée tout en permettantde tenir compte des phénomènes de volatilité. En bref l’idée générale est à la remise en causede l’hypothèse d’homoscédasticité que l’on accepte le plus souvent dans le cas des modèleslinéaires.

3.1.1 Présentation du processus ARCH

Selon l’analyse traditionnelle, de Box et Jenkins( 1970), la prévision est fondée sur la moyenneconditionnelle de la série à étudier. Par exemple si une variable Zt suit un processus AR(1)

stationnaire :

Zt = θZt−1 + εt

avec εt i.i.d (0, σ2ε ), alors la moyenne conditionnelle de Zt+1 est θZt tandis que sa moyenneinconditionnelle est nulle. Par ailleurs, Engle (1982) souligne que l’amélioration des prévisionsissues des séries chronologiques provient tout à fait de l’exploitation de l’information contenuedans la moyenne conditionnelle du processus. La variance conditionnelle du processus AR(1)

( σ2ε ) et la variance inconditionnelle σ2ε /(1 − θ) sont constantes quelque soit la période deprévision. Alors que se passerait-il s’il y a des changements dans les variances des erreurs deprévisions ? L’économétrie classique présentera certainement des faiblesses pour modéliser cegenre de phénomène car il va sans doute se poser un problème d’hétéroscédasticité, pour lasimple raison que la matrice de variance-covariance des erreurs Ωu ne sera pas définie à unscalaire près par la matrice identité I. C’est à dire Ωu 6= σ2I. C’est pour apporter une réponseà cette problématique que Engle( 1982)a introduit le processus ARCH, un modèle économé-

23

trique, tenant compte de variances conditionnelles qui varient dans le temps. Plus précisément,les modèles ARCH sont des modèles auto-régressifs conditionnellement hétéroscédastiques etsont basés sur une paramétrisation endogène de la variance conditionnelle.

Il faut souligner que dans la famille des modèles ARCH, différents types de processus ont étédéveloppés par d’autres chercheurs. Dès lors on peut distinguer les modèles ARCH linéaires etles modèles ARCH non linéaires. Les modèles ARCH linéaires reposent sur une spécificationquadratique de la variance conditionnelle ; on y trouve les modèles : ARCH(q), GARCH(p,q) et IGARCH(p, q) ; tant dis que les modèles ARCH non linéaires sont présentés par desspécifications asymétriques. Ce sont les modèles EGARCH(p, q), TARCH(q) et TGARCH(p,q) 1.

Pour bien comprendre le processus ARCH, nous allons présenter ce processus tel qu’il a étéintroduit par Engel (1982).

3.1.2 Description du processus ARCH

On dit qu’une variable Xt suit un processus ARCH(q) si

Xt = zt√ht (3.1)

avec

ht = α0 +

q∑i=1

αi ·X2t−i

zt désigne un bruit blanc gaussien c’est à dire E(zt) = 0 et E(z′t2)= σ2z = 1.Plus précisément zt désigne un ensemble de variables aléatoires indépendantes, identique-ment distribuées, centrées, réduites, tant dis que ht désigne une variable déterministe etpositive qui est conditionnelle à l’information des valeurs passées de Xt. C’est à dire queXt = Xt−1, Xt−2, ..., Xt−j , ...L’équation (3.1) peut aussi s’écrire sous la forme de :

X2t = z2t

[α0 +

q∑i=1

αi ·X2t−i

]

On s’aperçoit ici que ce n’est pas le processus Xt qu’on cherche à modéliser mais plutôt leprocessus de X2

t . Rappelons que les variables Xt ne sont pas indépendantes et ne sont pasautocorrélées, ainsi les espérances conditionnelle et non conditionnelle sont nulles. C’est à direque

E[Xt] = E

zt ·√√√√α0 +

q∑i=1

αi ·X2t−i

= 0 (3.2)

1. Bresson G, Pirotte A. Économétrie des séries temporelles. Théorie et applications 1st ed. Paris : PUF,1995.

24

et

E[Xt | Xt−i] = E

zt ·√√√√α0 +

q∑i=1

αi ·X2t−i | Xt−i

= 0 (3.3)

Comme on l’avait souligné plus haut l’idée de base du processus ARCH est que la varianceconditionnelle varie dans le temps. Dès lors on vérifie que la variance conditionnelle de Xt estdéfinie par :

V [Xt | Xt−i] = α0 +

q∑i=1

αi ·X2t−i ∀i ≥ 1 (3.4)

Tant dis que la variance inconditionnelle est exprimée par :

V [Xt] = α0 +

q∑i=1

αi · V [Xt−i] =α0

1− α1 − α2 − · · · − αq(3.5)

Il y a lieu de noter que si i tend vers l’infini, la variance conditionnelle converge vers la varianceinconditionnelle. De façon explicite nous avons :

limi→+∞

V [Xt | Xt−i] = limi→+∞

[α0 + αiX

2t−i]

=α0

1− α1 − · · · − αq= V [Xt]

Cependant il conviendrait d’imposer certaines restrictions sur les coefficients α0 et αi pourque les variances soient définies positives. Cela nécessite que α0 > 0 et 0 ≤ α1 + · · ·+ αq < 1.

Le dernier aspect à signaler est que les auto-covariances conditionnelles du processus Xt sontnulles. C’est à dire que

Cov(Xt, Xt+k | Xt−i) = 0 ∀k ≥ 1 et ∀i ≥ 1

En d’autres termes, cela signifie que conditionnellement à Xt−i, le processus de Xt est sansmémoire.Après avoir décrit le processus ARCH et ses différentes propriétés, nous allons passer en revuele processus GARCH.

3.2 Modèles GARCH (p,q)

3.2.1 Présentation du processus GARCH

Le processus GARCH( Generalized Auto Regressive Conditional Hetermskedasticity) a étéintroduit en 1986 par Bollerslev. Le processus GARCH est une extension du processus ARCH,il présente les mêmes propriétés et les mêmes fondements que le processus ARCH. Disons quela seule différence se situe au niveau de la définition. Le modèle GARCH a deux dimensions(p,q) alors que le modèle ARCH en a une(q).

25

3.2.2 Description du processus GARCH

Ceci dit une variable Xt suit un processus GARCH(p,q) si :

Xt = zt√ht (3.6)

avec

ht = α0 +

q∑i=1

αiX2t−i +

p∑j=1

βjht−j (3.7)

et zt, un bruit blanc faible. α0 > 0, αi ≥ 0 et βi ≥ 0

Tout comme le processus ARCH(q), le modèle GARCH (p,q) présente aussi une moyenneconditionnelle et une moyenne non conditionnelle nulle. c’est à dire que

E [Xt] = 0 (3.8)

E [Xt | Xt−i] = 0 (3.9)

Comme précédemment, le modèle GARCH(p,q) est également stationnaire au second ordre.Cela nécessite alors que l’inégalité suivante soit respectée :

q∑i=1

αi +

p∑j=1

βj < 1

Cette condition nécessaire et suffisante permet de valider la définition des moments d’ordredeux. Ainsi La variance non conditionnelle est constante dans le temps et se définie par :

V [Xt] =α0

1− (∑q

i=1 αi +∑p

j=1 βj)(3.10)

Tandis que la variance conditionnelle se présente de la façon suivante

V [Xt | Xt−i] = α0 +

q∑i=1

αiX2t−i +

p∑j=1

βjht−j (3.11)

Enfin, on remarque tout comme pour le modèle ARCH(q), les es auto-covariances condition-nelles du processus GARCH(p,q) sont nulles.

26

Chapitre 4

ESTIMATION DU MODÈLE

Comme nous l’avons souligné plus haut, le modèle de base est représenté par l’équation 1.46.Après l’analyse sommaire des données du rmkt, nous avons testé la présence d’hétéroscédacité ;à cet effet, nous avons supposé qu’une modélisation ARCH/GARCH pourrait bien capter leprocessus de cette série du rendement excédentaire.Nous posons alors l’hypothèse que la série rmkt est identifiée par un processus ARCH(1).La prise en compte de ce postulat, nous permet de reformuler l’équation 1.46. Notre modèleà estimer se présente alors sous la forme suivante :

rmkt+1 = γσ2t + γ(1− γ)η

σ3t2 + εt+1

σ2t = ω2t (1− µ2z)

ω2t+1 = α0 + α1 ω

2t

Rappelons que µz représente la moyenne d’une variable normale asymétrique standardisée. 1

Elle est définie par

µz = ψλ√

1 + λ2avec ψ =

√2/π

,λ désignant la forme de l’asymétrie comme nous l’avons démontré plus haut.Quant à η, il représente le coefficient d’asymétrie au sens de Fisher et s’exprime comme suit :

η = ϕ

(µz√

1− µ2z

)3

avec ϕ = 2− 2π

4

εt désigne l’aléa associé à l’équation fondamentale.Les paramètres à estimer dans notre modèle sont : θ = γ, η, α0, α1Par ailleurs, une certaine contrainte s’imposent à nous, afin de garantir la positivité de lavariance conditionnelle qui est égale à

1. variable normale asymétrique standardisée correspondant au cas où le paramètre position ξ = 0 et leparamètre d’échelle ω = 1

27

ω2t =

α0

1− α1,

Il nous faudrait imposer des restrictions sur les coefficients α0 et α1. Pour cette cause celanécessite que α0 > 0 et 0 < α1 < 1

Après avoir imposées ces contraintes, nous passons à l’estimation, qui sera alors une estimationsous contraintes.

Différentes approches s’offrent à nous pour estimer les paramètres du modèle, entre autres laméthode généralisée des moments et le maximum de vraisemblance.Engle (1982) souligne que la méthode du maximum de vraisemblance reste la plus efficiente.Nous utilisons l’estimation par la méthode du maximum de vraisemblance en langage Statapour estimer les paramètres. on s’attend à ce que le paramètre η soit négatif et significative-ment différent de zéro et aussi que les paramètres du processus ARCH c’est à dire α0 et α1

soient significatifs, tout en respectant les contraintes imposées. Le tableau suivant donne lesrésultats des paramètres estimés ainsi que les T-statistiques correspondants.Nous remarquons très vite que les coefficients cadrent avec nos attentes.

Paramètres Estimations T-statγ 2, 51 12, 03η −1, 56 −5, 43α0 0, 003 6, 43α1 0, 31 6, 27

Table 4.1: Résultats de l’estimation ARCH

D’une part l’effet ARCH avec des coefficients positifs et très significatifs a été détecté dans lasérie du rendement excédentaire du SP500.On trouve une valeur de0, 31 pour α1 et0, 003 pourα0. D’autre part le phénomène asymétrique qui est notre hypothèse de base est aussi présentdans les données étudiées et cela de façon significative. Comme prévu, on trouve une valeurnégative de −1, 56 et un T-stat de −5, 43pour le coefficient d’asymétrie η. Ce résultat négatifet significatif confirme l’asymétrie de la volatilité qui est l’un des faits stylisés caractérisant lesmarchés financiers. Pour rappel cette notion signifie que la volatilité a tendance à augmenterbeaucoup plus quand il y a des rendements négatifs contrairement au cas où les rendementssont positifs. La théorie financière décrit ce phénomène de l’asymétrie de la volatilité par deuxexplications : l’effet levier et l’effet rétroactif. L’effet levier nous apprend que la baisse duprix d’un actif accroit sa probabilité de faillite, ce qui rend cet actif très risqué et dans le caséchéant cela fera augmenter sa volatilité future. ( Black (1976)et Christie(1982)). Quand àl’effet rétroactif, il repose sur la théorie du prime de risque selon laquelle l’anticipation desagents sur un accroissement de la prime tend à accroître son taux de rendement, qui à sontour influencera le prix de l’actif à la baisse pour permettre un accroissement du rendementfutur(Campbelle et Hentschel (1992), Bekaert et Wu (2000)) Ces résultats sont parfaitement

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conformes avec nos hypothèses, mais ils doivent être considérés comme provisoires et explora-toires. Nous pouvons prolonger notre analyse, en considérant que le paramètre d’échelle de lavariance ω2

t suit plutôt un processus GARCH(1, 1) ; et par la suite nous pourrons comparerles nouveaux résultats aux précédents pour justifier laquelle des deux alternatives est la plusappropriée pour mieux décrire les données du rendement excédentaire du SP500

Le deuxième modèle économétrique se spécifie alors de la façon suivante :rmkt+1 = γσ2t + γ(1− γ)η

σ3t2 + εt+1

σ2t = ω2t (1− µ2z)

ω2t = α0 + α1 ε

2t−1 + α2 ω

2t−1

Les résultats de l’estimation de ce modèle sont donnés dans le tableau suivant.

Paramètres Estimations T-statγ 2, 585 2, 537η −1, 80 −6, 26α0 0, 00012 2, 442α1 0, 323 1, 54α2 0, 0053 1, 407

Table 4.2: Résultats de l’estimation GARCH

Maintenant que nous possédons les résultats des deux modèles exploratoires, il est possiblepour nous de sélectionner lequel des deux modèles est le plus plausible de décrire les donnéesétudiées.Notre démarche sera d’utiliser les critères de sélection AIC et BIC afin de répondre à cettequestion de sélection de modèle. Il faut noter que ces deux critères s’appliquent aux modèlesestimés par maximum de vraisemblance. Ainsi le critère d’information de AIC (Akaike 1974)se définit par :

AIC = −2 ∗ log(L) + 2 ∗ k

Quant au critère d’information BIC (Bayesian Information Criterion), il a été initialementproposé par Schwartz en 1978, pour sélectionner des modèles dans les cas de grandes échan-tillons.Il est définit comme suit :

BIC = −2 ∗ Log(L) + k ∗ log(n)

Dans les deux définitions, L est la vraisemblance maximisée,k est le nombre de paramètres dansla modèle et enfin n désigne la taille de l’échantillon. Le meilleur modèle est celui possédantl’AIC ou le BIC calculé le plus faible. le tableau suivant donne les résultats des deux critèresde sélection pour les deux modèles étudiés.Après analyse des critères de l’AIC et du BIC, et en tenant compte de la significativement descoefficients des deux modèles ; il ressort que le premier modèle, c’est à dire l’ARCH(1)décritmieux les données de la série de rendement excédentaire du SP500.

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Modèles ARCH(1) GARCH(1,1)AIC −5, 75 −3, 79BIC 11, 62 17, 92

Table 4.3: Résultats des critères de sélection

Enfin, pour quantifier l’effet de l’asymétrie sur le rendement excédentaire du SP500 à longterme , nous pouvons déduire la part de la prime due à l’asymétrie en utilisant les paramètresdu Tableau 5.1.

En effet, en ignorant l’inégalité de Jensen, le modèle prédit s’écrit :

Et

[rmt+1 − r

ft+1

]= γσ2t + γ(1− γ)η

σ3t2

On peut donc déduire que la part de la prime due à l’asymétrie est :

(γ(1− γ)η

σ3t2

)/

(γσ2t + γ(1− γ)η

σ3t2

)En utilisant les paramètres du Tableau 5.1 (γ =2,51 et η =1,56), on a(

γ(1− γ)ησ3t2

)/

(γσ2t + γ(1− γ)η

σ3t2

)=

2, 96σ3t2, 96σ3t + 2, 51σ2t

Sachant que σ2t = α01−α1

, α0 = 0, 003 et α1 = 0, 31.

2, 96σ3t2, 96σ3t + 2, 51σ2t

= 0, 072

Ce résultat suggère qu’à long terme, environ 7% de la prime de marché récompense pour lerisque d’asymétrie.

A travers cette étude on s’aperçoit que dans les séries financières en général, l’hypothèse d’effetasymétrique des chocs sur la volatilité, à savoir la variance conditionnelle réagit différemmentaux chocs de même amplitude selon le signe de ces derniers, alors que dans les processussymétriques, les chocs positifs et négatifs de même taille ont un impact identique sur la varianceconditionnelle.

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Conclusion

L’analyse et la modélisation de la volatilité d’une série est un thème fondamental en finance.Pour preuve en se référant au marché bousier, on remarque que plus la volatilité d’une actionest importante, plus le risque est élevé et plus les détenteurs de l’action souhaiteront une ren-tabilité élevée pour accepter de la détenir et de la conserver. Ainsi l’estimation de la volatilitéde la rentabilité d’une action fournit une mesure du risque qui y est attaché. Dans le mêmeordre d’idées, si le processus suivi par la volatilité est correctement spécifié, celui-ci permet deprévoir la rentabilité.Par ailleurs, il est important de noter que les séries financières sont caractérisées par une vo-latilité non stationnaire et par des phénomènes d’asymétrie qui ne peuvent pas être pris encompte par les modélisations de type ARMA. C’est dans ce contexte, qu’Engle et Grangeront développé les modèles ARCH afin de permettre à la variance d’une série de dépendrede l’ensemble d’informations disponible,notamment le temps. Les modèles ARCH sont baséssur une paramétrisation endogène de la variance conditionnelle. C’est dans cette optique quecette étude nous a permis de déterminer la prime de risque des actifs financiers à travers unmodèle économétrique qui tient compte de l’asymétrie "skewness". Notre série d’analyse a étéle rendement excédentaire du SP500. Nous avons trouvé que le rendement excédentaire detout actif est déterminé par l’effet combiné du coefficient de skewness, de la prime de risque etde la volatilité c’est à dire la variance. Par la suite nous avons estimé que le processus de cettevariance suit un ARCH(1) et alternativement un GARCH(1,1). Les résultats de l’estimationont montré que l’ARCH(1)décrit mieux les données de la série du rendement excédentaire duSP500. Il est difficile d’imaginer ce qu’aurait été la recherche empirique en économie aujour-d’hui en l’absence des contributions de Engle et Granger. En effet, leurs travaux pionniers sontaujourd’hui le standard pour étudier, modéliser et prévoir les séries temporelles économiqueset financières.Ces travaux ont ouvert de très nombreuses voies de recherche en particulier dansle monde de la finance.

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