C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 617-622, 1997 Equations aux d&i&es partielles/farfia/ Differential Equations

Estimations a priori pour les singularit& isol6es d’un syst&me elliptique hamiltonien

Marie-Frarqoise BIDAUT-VkRON et Philippe GRILLOT

D+artc.mrnt de MathGmaticpws. Fac.nltP drs S&~nws, Parr dr Grandmont, 3%700 Tours. France.

R&urn&

Abstract.

Nous donnons des estimations au voisinage d’une singularit pour les solutions positives du systkme elliptique :

C

- Au + 1.1.I’I?l” = 0.

- a,1 + ~,rl’~,P = 0,

dans un ouvert de RY (!V > 3). oti CL. b, p, C, E R. p, 4 > 0, 1~1 # 1. Nous montrons I’existence de solutions positives non radiales, pour une infinitk de valeurs de (p, (1).

Local properties of solutions of a no&near elliptic system

We give a priori hounds near a sin,qultrrity,for the nonnegnti~~e .solutinns of the elliptic system:

-i

- A!! + ~.fy (1” = 0.

- A?1 + I.# UC = 0.

Abridged English Version

Here we give a ~~iori estimates near a punctual singularity for the nonnegative solutions o-f the following elliptic system in R”, N > 3:

where (I, b, 11, q E R, p, 4 > 0, pq # 1. Assuming that the singularity is located at 0, the study is guided by the existence of radially symmetric solutions when pq # 1, y (7 + 2 - iv) > 0: and <(( + 2 - N) > 0:

Note prbsentke par Hai’m BRAS.

07644112/97/032506 17 0 Academic des SciencesElsevier, Park 617

M.-F. Bidaut-V&on et P. Crillot

where

(3) 7 = ((b + 2)u + a + 2)/(pq - 11,

and A, B depend on y, <, N.

E = ((a + 2) 9 + b + 2)/(pq - I),

In the superlinear case: pq > 1, our principal result is the extension of the classical Keller-Osserman type estimates relative to the equation --au) + 1~1~~ Q = 0, when Q > 1 (0 E 58). Let us denote B = {:I; E iw”I 1x1 < l}.

THEOREM 1. - Assume pq > 1. Let (u, U) E (C* (B/{0}))2 b e any nonnegative subsolution of (1). Then

(4) u(x) < c’12/-7, 71(x) 5 clzl-c n,ear the origi71 0:

where C = C(a, 6: p, q, N). As a direct consequence, we find again and extend the conditions of removability given by [lo].

COROLLARY 1. - Under the assumptions of theorem 1, if

(5)

rnax(y, I) < iv - 2, or y 5 N - 2 and p > -

<IN-2andq>-

then the singularity is removable for (u, 71). In the sublinear case: pq < 1, we get the following optimal estimates:

THEOREM 2. - Assume pq < 1. Let (u, U) E (C” (B/{O}))2 b e any subharmonic supersolution of (I). Then it satisjes near the origin the estimates

(6) IL(X) I: CI:lp: 71 (cc) 5 ClX-E if min (y, <) > N - 2,

(7) u(x) 5 c15y+*-(~v-*)P, II (x) < c’121*-” if < < N - 2 and 11 > (a + N)/(N - 2);

(8) u (cc) < CIZI~-~, ‘u (x) 5 cI:~l~+*-(” -*I’ if y < N - 2 and q > (b + N)/(N - 2):

(9) u(x) + ‘u (XT) < clzl*-” m the other cases, with exception of the critical ones.

Under conditions (4) or (6), some difficulties appear for proving the convergence to the solution

c’LL*, ‘u*). In fact, an oscillatory behaviour can occur, even in the radial case. Moreover, many nonradial solutions can exist under the form u (x) = r-7 U(H), v (x) = r-c V(0), where I- = 1x1 and 0 E S”-l. They have to satisfy the system on S”-‘:

(10) &.v-~ U + y (y - N + 2) U - VP = 0,

(11) ~I,N~IV+<(<-N+~)V-U~=O.

THEOREM 3. - Assume a = y (y + 2 - N) > 0 and p = < (I + 2 - N) > 0. Let X1, X2 be the two roots of the equation X2 - (n + /I) X - (pq - 1) ($3 = 0, with X1 < X2. Then a bifurcation occurs

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Estimations a priori pour les singularitPs isokes d’un systeme elliptique hamiltonien

near (.4, I?) in (lo)-( 11) at each time X2 crow3 a positive eigenvullle of -As”-1 ifpq > 1, a& at each time X1 or else X2 crosses such an eigenvulue if pq < 1.

Other bifurcations can occur near other radial solutions of system (I). The question of existlcnce of Harnack inequalities is open in the superlinear case.

Nous Ctudions dans cette Note les singularit& isolCes dans W”, N 2 3, des solutions positives du systkme elliptique suivant :

(1)

oh n, b, p, q E W, p > 0 et q > 0. Nous pouvons supposer la singularit placte en 0, et considCrer le systkme dans B/(O), oti B = {X E Iw”I 1x1 < 1). Notre Ctude gCn&ralise les rCsultats classiques relatifs au cas scalaire de 1’Cquation d’Emden-Fowler :

(2) -Aw + \zI”,wQ = 0,

oh (T, Q E R, Q > 0. Une Ctude compl&te du cas sur-lidaire : Q > 1, est donnCe dans [8] et [9] quand c = 0, et l’adaptation au cas (7 # 0 est faite dans [l 11. L’Cquation (2) posdde une solution particulikre radiale w* (x) = MIXI- (2+ff)/(Q-1) lorsque Q < Q1 = (N + a)/(lv - 2) ou (T < -2, avec M = M (Q, g, N). Les sous-solutions de (2) satisfont une estimation de type Keller-Osserman :

(3) w (cc) 5 C12;J-(2+“)‘(Q-1) au voisinage de 0,

oh C = C (Q, (T, N). Si Q < &I, toute solution se comporte comme w* ou comme une fonN:tion harmonique. Si Q > 01, la singularit est Climinable, au sens oit w reste bornCe au voisinage de 0, Le comportement s’avhe isotrope, c’est-i-dire asymptotiquement radial. Le cas sous-liniaire : Q < 1, a CtC CtudiC beaucoup plus rCcemment dans [6], et dans [2] pour I\i = 2. L’existence de w* suppose cette fois Q > Q1 ou CT > -2 (noter que dans ce dernier cas, W* tend vers 0 2 l’origine). L’fStude montre que les sur-solutions sous-harmoniques de (2) verifient l’estimation (3) si Q > Q1, et

(4) w (cc) < clz12--v au voisinage de 0,

si Q < Q1. 11 n’y a pas d’effet d’eliminabilitk des solutions, et par ailleurs un comportement anisotrope des solutions est possible. Les probl2mes delicats de convergence, dtis 2 l’annulation t?ventuelle des solutions sur certaines zones et au caract&re non lipschitzien de la non-lintarid, sont rCsolus dans [2] quand N = 2.

Le systkme relatif au signe 0pposC :

(5) Au + 1~1~7~~ = 0, Av + lZlb71q = 0;

a Ctt consid& par de nombreux auteurs, dans le cas de solutions rCguli&res ou dans le cas radial singulier (voir, par exemple, [7] et [ 121). Et I’Ctude des singularit& a CtC entreprise dans [l] dans le cas non radial. Au contraire, le systkme (1) a CtC jusque-18 trits peu abordC, sans doute parce que 1’Ctude radiale elle-mCme n’est pas simple.

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Lorsque pq # 1, le systkme (1) poss&de des solutions particulikres radiales si 7 (7 + 2 - IV) > 0 et < (< + 2 - N) > 0, de la forme :

(7) 7 = ((b + ‘4;t, + (L + a)/& - I), < = ((CL + 2) q + /J + z)/(pq - I),

et A, B dtpendent de 7, <, :V. Quand y = q # 1 et CL = b, il est trks aisC d’obtenir des estimations analogues B celle du cas scalaire (2), en observant que la somme u + 11 est sur-solution de (2) avec Q = q, et (U + u)/:! en est sous-solution lorsque 4 > 1. Dans le cas g&kral, aucune estimation n’avait jusque-18 CtC obtenue.

Dans le cas sur-IinCaire, pq > 1, des rksultats trks rkcents, dQs 2 Yarur (v&r [ 101) donnent des conditions suffisantes d’6liminabilitC des solutions, sous la condition restrictive p 2 1, q > 1. Notre rkultat principal dans ce cas consiste A Ctablir des estimations du type Keller-Osserman analogues B (3), ceci SanS U,4~/XJSer IJ > 1, 4 > 1 :

TH~~OR~ME I. - On s14ppost! pq > 1. Soit (u, v) E (C” (B/(0}))’ me sous-solution positive de (1). Alors

Principe des Dhnonstrutions. - Nous donnons trois dkmonstrations distinctes du thCor&ne. La premikre s’inspire des mkthodes de comparaison de [ 11. Elle suppose en outre p > 1, q > 1, mais est relativement courte et repose directement sur l’estimation du cas scalaire. Supposant y > p :> 1, on Ctablit que la fonction f = I:cI (b-(L)l(P+l) ~L((I+~)I(P+~) + ‘0 satisfait I’inCgalitt

(9) -a f + 21-p SL((I-PMP+l) ~~~P+W/(P+~) P f < CI:I;(-2f

dans B/(O), oti C = C ((I; 6, p; q! N). Pour tout ~0 E B (0, l/4), on applique la mkthode de Keller-Osserman pour des equations avec un potentiel en l:cl-’ dans la boule B (:1:,31:1.4/2) (voir par exemple [9]) en minorant ?L par son minimum dans la boule. 11 en r&Ate une estimation de ce minimum. Le m&me r&hat, appliquk aux valeurs moyennes v (r.), v (T-) de U, 71 sur la sph&re de centre 0 et de rayon ‘T, Cgalement sous-solutions de (l), donne alors, avec le principe de maximum, une estimation convenable de ,fi, (1.). Celle-ci entraine li son tour une estimation de ?j (T), puis de U, ~1, grke B la sous-harmonicid.

La seconde dkmonstration, plus longue, suppose p > 1, 4 > 1. Elle repose sur le fait que (7L, ti) soit encore sous-solution de (l), et est B rapprocher des r&hats de [lo]. Supposant pour simplifier a = b = 0 et lim,.,~~ v (7.) + lim,.,~~ v (7.) = +x, on dkmontre. g I’aide d’inCgalitts d’knergie pour les fonctions U, v’, une estimation au voisinage de 0 de la forme :

(10) ,~,(,.)-(PY-l)/2(P+l) + v (,r)-(PY-1)/2(y+l) > Cr

>

oti C = C (p! q: iV), et on conclut A l’aide de la dkcroissance de G, 1! et des relations

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Estimations a priori pour les singularit& isokes d’un systtime elliptique hamiltonien

La troisiiime dtmonstration est &n&ale et n’utilise pas de fonction d’knergie. Elle est bade sur le lemme suivant :

LEMME I. - Soit w E C* (B/(O)) une fonction sous-harmonique positive. Alors ~a est monotone au voisinage de 0 et il existe une constante C (IV) > 0 telle que pour tout E E]O, l/2],

(12) 711 (.r) 5 c (Iv) E ‘L”’ 73 ((1 - E)~x[) pr& de 0, si ufi d&wit,

(13) ‘ll! (2:) 5 c (N) & lGN w ((1 + E)IXl) p rds de 0, si 7il dkroit.

On Ctablit alors des propritt&s de comparaison, cette fois entre 71. (T) et V” (r (1 f F)). et entre 5 (r) et 3 (r. (1 f Ej). Dans le cas dklicat oti par exemple ~1 < 1, on remplace l’inkgalite de Jensen par I’inCgalitC ,7?’ (T) 2 (C (N) E l-y-1, .G (7. (1 * E))“-l g (7.) rksultant du lemme 1. Puis, on ‘traite I’inegalitt? aux diffkrences obtenues pour v par une technique fine de << bootstrapp v B l‘aide d’une suite (Ed) = (2Fi), et reposant sur le fait que py > 1. On en dCduit les estimations de G, a, puis de U, v par sous-harmonicirk.

Ces estimations permettent de retrouver t&s rapidement, et itendre au cas g&&al, les rksultats d’kliminabilitk de [lo], B savoir :

COROLLAIRE 1. - Sous les hypothdses du th&ort?me 1, la singularire’ est e’liminable pour le couple (76, w) d2s que

Dans le cas sowlinkaire : pq < 1, les solutions de (1) prksentent le plus souvent des singularites plus fortes que la solution (‘IL*, v*). Excluant pour simplifier les cas critiques, oiI~ apparaissent des logarithmes, nous obtenons le resultat (optimal) suivant, couvrant tous les cas :

THEORME 2. - On suppose py < 1. Soit (u, ~1) E (C* (B/(O)))* une sur-solution sous-harmonique positive de (I). Alors, au voisinage de 0,

(16) u (:I;) 5 C’~X~~+~-(~~-~)~, PI (:I:) < C\Z.~*-~’ si < < N - 2 et p > (a + N)/(N - 2),

(17) u (3:) 5 clzl*-“> w (x) 5 cl:cl”+2-(“-“)~ si y<N-2 et f~>(b+N)l(N-2).

(18) ‘U (:I:) + II (2:) 2 c(:x:12-“, si p > (a + N)/(N - 2) et y < (b + N)/(N - 2).

Principe de la dtmonstration. - Les estimations s’obtiennent relativement facilement lorsque p <_ 1 et 4 <_ 1, car les valeurs moyennes sont encore sur-solutions. Dans le cas oh par exjample Q > 1, on utilise encore essentiellement une inCgalitC 9 (T) 5 (C (IV) ,lPA’)‘l G (T (1 i E))~, condquence du lemme 1. On se ramkne alors B une inequation Li retard satisfaite par ‘L,, de la forme 0 < All (7.) < CE-~ TO tip4 (7. (1 f &)), avec C > 0, h > 0, (T E R. On montre alors, B l’aide d’un << bootstrapp >), que V a le m&me comportement que les solutions UI de I’inCquation correspondante 0 < Aw < C(s(~w~Q, car pq < 1.

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M.-F. Bidaut-V&on et P. Grillot

Dans le cas sur- ou sow-IinCaire, des difficult& relatives 2 la convergence Cventuelle des solutions vers (u*, ?I*), apparaissent d&s le cas radial. On observe un comportement oscillatoire possible du systeme. Ainsi, dans le cas simple oti y = g et a = b, la diffirence y = 7~ - ?I satisfait une k’quation de la forme Ay + hy = 0, oti h est une fonction positive, et done peut avoir un caractkre oscillatoire; contrairement au systkme analogue de signe oppod, oB --a:~ + hy = 0 et oti le principe de maximum s’applique, voir [I], et aussi [4]. Ces difficult& s’amplifient dans le cas non radial, en raison de l’existence possible de solutions non radiales : la recherche de solutions particulieres de la forme 7~ (x) = r-7 U(H), ‘u (x) = T-E V(H), oti T = IzI et 6’ E ,!?A”-~, conduit au systeme :

(19) &p-L u + y (y - iv + 2) u - V” = 0,

(20) a,.v-1 v + lf (< - N + 2) v - v = 0;

sur la sphkre 5’ I’-’ Le phCnom&ne nouveau est l’apparition d’une infinitC de branches de bifurcation . autour des solutions constantes (-4, B) dans le cas sur-linCaire, et une richesse encore plus grande de bifurcations dans le cas sous-1inCaire :

TH~~OR~ME 3. - On suppose CY = y (y + 2 - N) > 0 et p = [ (< + 2 - N) > 0. Soient X1, X2 les racines de I’kquation X2 - (~1 + [j) X - (pq - 1) CY,~ = 0, avec X1 < X2. Alors il existe me suite S = (~1~~) extraite de la suite des valeurs propres positives de -a,&‘- I telle qu ‘we bifk-cation se produise autour de (A, B) d am (19)-(20) 6 chaque fois que X2 E S si pq > 1, et k chaquefiyis que X1 E S ou bien X2 E S si pq < 1.

Lorsque les estimations correspondantes sont satisfaites, le prolkme g&&al de la convergence des solutions de (1) vers l’une de ces solutions non radiales est ouvert. Une Ctude syst&natique des convergences, inspirCe de [4] et [5], montre en outre une grande complexit de comportements possibles. Elle fait aussi apparaitre des bifurcations possibles par rapport B des solutions radiales autres que (1~*, II*). La question de l’existence d’inCgalitCs de Harnack pour le systkme (1) reste aussi ?I r&,oudre dans le cas sur-linCaire, la rkponse Ctant nCgative dans le cas sous-lintaire.

Note remise le 13 juillet 1997, acceptke le 17 juillet 1997.

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