Embed Size (px)
Citation preview
Singularités 1
Comportement de la MEF
en présence de singularités
L. CHAMPANEY et Ph. TROMPETTE
Objectifs :– Effet des singularités,– Coins rentrants et sortants,– Interfaces entre deux matériaux,– Comparaison de solutions.
Dans ce chapitre, nous étudions Le comportement de la méthode des éléments finisdans les zones où une structure présente des singularités. Nous étudions le cas des coinsrentrants en comparant les contraiontes dans un coin rentrant et un coin sortant.
Table des matières
1 Singularités dans les coins 21.1 Maillages utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Contraintes près des coins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Influence de l’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Singularités dans un bi-matériau 102.1 Problème : bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Conclusions 13
Singularités 2
1 Singularités dans les coins
A B
CD
E
F
G
p
100
30
40
120
θ
E = 2.1E11Pa, ν = 0.3 et p = 100MPa
Pour cette étude, nous considérons le problème imaginaire présenté sur la figureci-dessus.La structure présente deux coins particuliers D et G aui sont chargés :
– En D il y a un coin rentrant caractérisé par un angle θ.– En G il y a un coin sortant caractérisé par un angle (370− θ).
La solution analytique [1] prédit une singularité dans un coin dès lors que l’angled’ouverture est inférieur à 180˚. Nous devons donc observée une singularité en D maispas en G.
Dans ce type de problème, la singularité s’exprime de la manière suivante : l’état decontrainte dans le matériau près du coin à la forme :
σ = K1rα
où r est la distance au point de singularité, K (facteur d’intensité des contraintes) et αsont des paramètre qui dépensent du problème. Par exemple, dans le cas d’une fissure(θ = 0), α vaut 0.5.
C’est-a-dire que la contrainte est infinie au point de singularité. Dans la pratique,obtenir les cointraintes au point de singularité n’a pas de sens (puisqu’elles sont infinies),c’est plutôt le coefficient K qui est recherché par des techniques adaptées dont nous neparlons pas ici.
Singularités 3
1.1 Maillages utilisés667 elts - 384 nds 1360 elts - 748 nds 2431 elts - 1229 nds
4398 elts - 2300 nds 8319 elts - 4280 nds 19743 elts - 10019 nds
Pour étudier comment la méthode des éléments finis converge dans une telle situa-tion, nous ensiseageons sept maillages différents (dont les six premiers sont représentéci-dessus). Ces maillages sont de plus en plus raffinés près des coins D et G.
Il sont constitués d’éléments triangulaires à trois noeuds et sont caractérisés par lataille des mailles près des deux points (exprimée en mm). Les caractéristiques de cesmaillages sont données dans le tableau ci-dessous.
Maillage Taille h Nbre éléments Nbre noeuds Nbre ddlM1 5. 667 384 768M2 2.5 1360 748 1496M3 1. 2431 1299 2598M4 0.5 4398 2300 4600M5 0.25 8319 4280 8560M6 0.1 19743 10019 20038M7 0.05 38683 19511 39022
Singularités 4
1.2 Déformée
Amplitude ×111
La figure ci-dessus présente la structure déformée dans le cas du maillage quatre(4398 éléments) et pour un angle θ = 60˚.
Les conditions aux limites (symétries aur AB et sur BC) ont été choisies de manièreà ne pas introduire de singularité ni de concentration de contraintes ailleurs dans lastructure.
Singularités 5
1.3 Contrainte
14. 29. 44. 59. 74. 90. 1.05E+02 1.20E+02 1.35E+02 1.50E+02 1.65E+02 1.80E+02 1.96E+02 2.11E+02 2.26E+02 2.41E+02 2.56E+02 2.71E+02 2.86E+02 3.02E+02 3.17E+02 3.32E+02
Contrainte équivalent de Von Mises (MPa)
La figure ci-dessus présente les isovaleurs de la contrainte équivalente de Von Misesdans le même cas particulier du maillage quatre et pour un angle θ = 60˚. Cettecontrainte équivalente est choisie ici pour représenté globalement l’état de contrainte.Les isovaleurs sont tracées sur la pièce complète et sur zoom près du coin D.
On constate que le branche supèrieure en est état de traction quasi uniforme sauf àsa base près des coins D et G. Les contraintes sont extrèmement concentrées au pointD.
Au point D seuls quelques éléments sont très fortement contraints. C’est une carac-téristique d’une solution par éléments finis dans une zone de singularité.
Les contraintes restent très faibles près du coin G.
Singularités 6
1.4 Contraintes près des coins
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00X1.E2
Von Mises
Pour étudier les états de contraintes près des points D et G, on trace l’évolution descontraintes le long de la ligne GD.
Les éléments utilisés sont des triangles à trois noeuds linéaires en déplacement. Lescontraintes sont donc constantes dans chaque élément. Il y à discontinuité des contraintesentre deux éléments.
La figure ci-dessus présente l’état la répartition de la contrainte équivalente de VonMises sur la ligne GD pour les sept mailles considédés.
On constate que les les contraintes sont très fortes près du point D (plusieurs cen-taintes de MPa) et que le gradient de coontrainte est très fort.
Le point G, par contre, est très peu chargé (quelques dizaines de MPa) et les gradientest plus faible.
Les deux figures suivantes présentent des zoom de cette évolution près des points Get D.
Singularités 7
Près du coin sortant
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20X1.E2
Von Mises
La figure ci-dessus prèsente l’état de contraintes équivalent de Von Mises près ducoin sortant G pour les sept maillages considérés.
On constate qu’il a bien convergence de la solution éléments finis lorsque le maillageest raffiné. La contrainte équivalents se stabilise à 10MPa au point G.
Singularités 8
Près du coin rentrant
29.00 30.00 31.00 32.00 33.00 34.00 35.00 1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00X1.E2
Von Mises
La figure ci-dessus prèsente l’état de contraintes équivalent de Von Mises près ducoin rentrant G pour les sept maillages considérés.
Il n’y a pas convergence en ce point vers une valeur fixée de la contrainte. Mais il yà bien convergence vers la solution infinie analytique.
A mesure que le maillage est raffiné, la contrainte est de plus en plus forte. Faire uneadaptation du maillage dans cette zone n’a donc pas de sens. Par ailleurs, en ce pointla contrainte analytique est infinie et la contrainte EF à une valeur finie, donc l’erreurest toujours infinie. Certains estimateurs d’erreur détectent les points de singularité etbloquent l’adapatotion du maillage près de ces points.
Singularités 9
1.5 Influence de l’angle
1.E−2 1.E−1 1.E01 1 12 24 46 6
1.E2
1.E3
1.E4
1
1
1
2
2
4
4
6
6
θθ
Von Mises
h
Pour montrer la dépandance de la singularité à la géométrie, nous traçons sur lafigure ci-dessus l’évolution de la contrainte équivalente de Von Mises calculée par élémentfinis au point G lorsque le maillage est raffiné (diminution du paramètre h) est lorsquel’angle θ varie.
Il y a donc 8 courbes (θ = 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90˚) de contrainte fonctionde h.
On constate qu’il y a singularité quelque soit l’angle et que plus l’angle est élevémoins les contraintes le sont. La fissure (θ = 0) est la singularité la plus forte.
Singularités 10
2 Singularités dans un bi-matériau
2.1 Problème : bilame
100
10Zinc
Cuivre
Zinc : E = 80000MPa, ν = 0.3 et α = 2.9E − 5K−1
Cuivre : E = 125000MPa, ν = 0.3 et α = 1.7E − 5K−1
Elévation de température 100˚C
Nous montrons simplement ici une singularité dans un bi-matériau. Il s’agit d’unbilame constitué d’une lame de cuivre et d’une lame de Zinc. Ces deux matériaux ontdes coefficients de dilatation thermique différents ce qui assure le fonctionnement dubilame.
La structure est soumise à une élévation de température uniforme de 100˚C.
Singularités 11
2.2 Déformée
Amplitude ×8.6
Le zinc se dilatant plus que le cuivre on observe évidemment une flexion du bilamevers le haut.
Singularités 12
2.3 Contraintes
−60. −56. −53. −49. −45. −41. −38. −34. −30. −26. −23. −19. −15. −12. −7.8 −4.1−0.34 3.4 7.1 11. 15. 18.
σxy (MPA)
La concentration de contrainte est particulièrement visible sur la contrainte de ci-saillement. On constate une singularité au niveau de la surface libre à l’extrélité de lapoutre. Cette contrainte est celle qui est dimensionnante pour le l’apparition de déla-minage entre les deux matériaux.
Il s’agit aussi d’un singularité, c’est-à-dire que la contrainte est infinie en ce pointdans la solution analytique. Le contrainte EF augmente indéfiniment lorsqu’on raffinele maillage.
Singularités 13
3 Conclusions
– Solution analytique en contrainte infinie sur unesingularité,
– Solution EF converge vers la solution analytique,– Augmentation de la contrainte EF lorsqu’on raffine lemaillage,
– Singularités :– coins, fissures,– encastrement,– bi-matériau.
Références
[1] Leguillon D. et Sanchez-Palencia E., Computation of singular solutions in ellipticproblems and elasticity, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1987.
