Zeitschr. f. math. Logik und Crundlagen d. Math. Bd. 21, S. 3 4 7 - 3 5 6 (1978)

ETUDE D’UN FORCING EN THEORlE DES MODBLES

par BRUNO POIZAT B Palaiseau (France)

Introduction

Pour dkfinir un forcing, dans un cadre semblable L celui de [l], il suffit de prkciser le rapport entre les conditions de forcing et les formules atomiques; R. FRAfSSP a introduit le forcing suivant: les formules sont celles qui font intervenir d’une part les prhdicats d’une structure donnke S, d’autre part un nouveau prkdicat R, d’aritk n fixke, appelk pre‘ddicat ge‘ne‘rique; les conditions de forcing sont formkes d’un ensemble fini de n-uples extraits de la base de S qui sont candidats B &re dans R, et d’un en- semble fini de tels n-uples qui sont candidats B &re dam T R ; la condition U force R ( d ) si ti figure dans U comme elhment de R, elle force r(ii), oh r n’est pas le prkdicat gknkrique, mais un prkdicat de la structure S, si r(ii) est satisfait dans S.

Pour conserver la symktrie des valeurs de vkritk, R. FRAISSS introduit deux valeurs de forcing: “ U force plus”, “ U force moins”; je conserve cette prksentation, bien adaptPe L la thPorie des moditles, qui ne diffitre des autres en rien de fondamental.

Aprits avoir Ptabli les dkfinitions nkcessaires B I’Ptude de ce forcing, j’examine ses proprikths : certaines sont communes L tous les forcings, d’autres sont spkcifiques. J e m’intkresse particulierement aux situations offertes par des structures qui sont klPmentairement kquivalentes, niais qu’on distiiigue au moyen de ce forcing. Dans un dernier paragraphe, j’examine le cas particuliitreinent simple oh la structure S est o -catkgorique.

La majeure partie des resultats de cet article a Pt6 aniioncCe dans [2] et [3].

1. DBfinition du forcing; relation gBnBrale; forcing faible

J e consid6re une structure relationelle S, que je suppose, pour ne pas introduire d’inutiles complications, de signature dknombrable ; une formule est ici une formule dans le langage de S, augment6 d’un symbole R, d’aritk n fixge, appelk pre‘ddicat ge‘ne‘ri- que; une condition de forcing U est formhe par definition d’un ensemble fini U+ de n-uples extraits de la base de 8, et d’un ensemble fini U-, disjoint du prkckdent, de tels ?a-uples; les n-uples de U+ et U - sont dits contraints par U ; V &end U , ou encore est une con- dition plus forte que U , en notation U c 8, si U+ est inclus dans V+, et U - dans V-. J e note de la m6me faCon la condition U et la formule forrnke de la conjonction des R(ii), oh i i E U + , et des i R ( b ) , oh b E U-.

Soit F(6) une formule, dans laquelle les variables libres ont k t k substitukes par des BlCments de la base de S ; les expressions U force plus F(ii), U force rnoins F(ii) (en notation, U It- + F(ii). U It- - F(ii)) sont dkfinies par rkcurrence sur la complexit6 de F :

si F est atomique non ghnkrique, c’est-&-dire est un prkdicat de la structure S, U lk- +F(i i ) si ii satisfait F , U 11- -F(ii) si ii ne satisfait pas S ;

348 BRUNO POIZA'C

si F est le prPdicat gknkrique, U k- + F(6) si 6 E U+, U It - F(6) si 6 E u--; U It + i F(6) si U [k- - F(6),

U Ii- + ( F ( 6 ) v G ( 6 ) ) si U IF + F ( 6 ) ou U It- +G(6), U - (F(6 ) v G(6)) si U 11- -F(6 ) et U it- - G ( 6 ) ; U it- + (32) F(x , 6) s'il existe b tel que U lk- + F(b, a) , U Les clauses en A et V sont d6finies par dualitt:.

Lorsque U force plus, ou force moins F(6) , je dis que U force F(6 ) ( U It- Ffii)); l'alternative est U ne force pas F(6) ( U non(t- F(6)).

On montre facilement, par rBcurrence sur la complexit6 des formules, les rksultats Blkmentaires suivant: U ne peut L la fois forcer plus et moins F(i i ) ; si U force F(6) et V &end U , V force F(6) L la m6me valeur; Ctant donn6 U et Ffii), il existe une condition V ktendant U qui force F(ii).

Remarquons qu'une formule qui ne fait pas intervenir le predicat g6nerique est toujours forcke, B sa valeur de vCrit6.

On peut gBn6raliser ce forcing, d'une part en introduisant plusieurs prkdicats gPnkri- ques au lieu d'un seul, d'autre part en ne considkrant que les conditions de forcing appartenant L un certain ensemble; c'est ainsi que si nous prenons pour X un ensemble dPnombrable sans autre structure que celle de 1'6galit8, et si nous excluons des condi- tions de forcing par des axiomes en V, nous obtenons le forcing fini d'A. ROBINSON (cf. par exemple [4]).

Uiie condition U est dite extraite de la relation r , dkfinie sur la base de 8, si les n- uples de U+ sont dans r , et ceux de U - dans T r ; je dis aussi que r prolonge U . r est dite gtne'rale pour la structure X, si pour toute formule F(6) , il existe une condition extraite de r qui foice F(6) .

Lemme 1.1. Xi r est ge'ne'rale, et si U extruit dcr r force F(ii), la valeur de forcing ob- tenzce est la valeur de ve'rite' de la formule F(a ) , une fois le pre'dicat ge'ne'rique substitzd par r .

Preuve. On le montre par rkcurrence sur la complexit6 de F ; seule la clause en 3 pose un probleme: si U I+ +@x) F ( x , a), il existe b tel que U I/-- + F(b, a), et par hypothese de rkcurrence, F(b, 6) est vraie pour r , donc (32) F(x, 6) est vraie pour r ; supposons maintenant que U I+ -(3x) F(x , 6); pour tout Ple'ment b de la base de S , il existe une condition V,, extraite de r qui force F(b, a), et il en existe une qui con- tient U ; il est donc impossible que V b k + F(b, 6), donc Vb It- - F(b, a), et par hypo- these de recurrence, il n'existe pas de b tel que F(b, 6) soit vraie pour r . 0

Lemme 1.2. Xi X est dknombrable, quelle que soit la condition U , il existe une relation ge'ne'rale e'tendant U .

Preuve. On knumhre les fonnules, qui sont en infinite dknombrable, F,, F,, . . ., F,, . . . et on considkre U , Qtendant U et forcant Fl , U , kteudant U, et forqant F,, etc. . . . Les U,, dkfinissent une relation gknkrale. 0

Remarque . Un ensemble A de conditions est dit dense si toute condition a une extension dans A ; nous avons associt5 L chaque formule F l'ensemble dense des con-

U ~t- -1 F(6) si U It- + F(E) ;

- (32) F ( x , 6 ) si pour tout b et toute condition V ktendant U , V nonk- + F(b, 6 ) .

ETUDE D’UN FORCING EN THBORIE DES MODBLES 349

dftions qui forcent F ; on peut en outre imposer B une gBn6rale de rencontrer (c’est- b-dire d’avoir une restriction finie dans) chaque membre d’une famille denombrable d’ensembles denses.

L’exemple le plus nature1 d’une structure sans relation generale est le suivant: considerom un ensemble E dknombrable, l’ensemble P(E) des parties de E, suppose disjoint de E , et la relation E d’appartenance entre klkments et parties; les elements sont caracterisCs par le fait qu’ils appartiennent B quelque chose. La phrase (3y) (Va) ((x E y) H ((32) (x E z ) A R ( x ) ) ) est forc6e - par la condition vide; elle est pourtant verifiee par toute interpretation de R, dont aucune ne peut donc stre g6nkrale.

Consid6rons les formules F qui ne font intervenir R que sous la forme R(x, , x2, . . . , x ~ - ~ , les deux dernieres variables Atant identiques; on montre par recurrence sur la complexitk de F que si U force F, la condition U‘ formBe des n-uples contraints par U qui ont leur deux derniitres coordonnees Bgales force F A la m6me valeur; on en deduit que si r est une relation n-aire generale, r(xl , x2, . , ., x ~ - ~ , x , ~ - ~ ) est une relation (n - 1)-aire gknBrale; de m6me est generale toute relation obtenue B partir de r par changement. non nkcessairement injectif, du nom des variables.

Montrons que si r est gknerale, il en est de mame de i r ; pour cela, definissons la duale F* d’une formule F :

si F est atomique non generique, F* est i F ,

si F est atomique g6nBrique, F* est F ,

la duale de i F est 7 F*,

la duale de ( F v G) est (F* A G*), de ( F A G) est (F* v G*), de 3F est VF*, de V F

La duale de la condition U est la condition U* obtenue b partir de U en Bchangeant les valeurs + et -. On montre que U 11- + F si e t seulement si U* IF - F*, que U It - F si et seulement si U* IF + F*.

Soit donc F une formule; il existe U extrait de r qui force F*; par consequent U*, qui est extrait de i r , force F ; r est bien generale.

Introduisons maintenant la notion de forcing faible: U force faiblement + F(iz), en notation U It* + F(d) , si aucune condition V ktendant U ne force - F(d) ; de m6me U I+* - F(a) si pour tout B Btendant U , B * O n ( F + F(ii).

est 3F*.

Remarque. Le forcing fournit un candidat bien precis B l’existence; le forcing

Propos i t ion 1.1. r est gdndrale si et seulement s i pour toute formule F(ii), il existe

Preuve. La n6cessitB est Claire; pour la suffisance, on montre par induction sur la complexit6 de F qu’il existe une condition extraite de r qui force F(iz) B sa valeur de vkrite pour r ; seule la clause en 3 pose un problkme: si U IF* -(3x) F(x, iz), par definition du forcing U 11- - (32) F(x, i z ) ; si U It* + (3x) F(z , a), il existe b tel que F(6, a) soit vrai pour r , et par hypothkse de recurrence il existe V extrait de r , 7 IF + F(b, iz). donc V IF + (3x) F(x, a). 0

faible laisse seulement la possibilit6 d’exister.

u n e condition U extraite de r forpant faiblemeiat F(a) b sa valeur de ve‘rite’ pour r.

350 BRUNO POIZA1‘

Remarque . Pour que r soit gen6ra.le, il ne suffit pas que pour toute formule F(ii) on puisse extraire de r une condition forpant faiblement F(ii). En effet, une cons& quence de la section 3 est que si S est tout simplement l’ensemble dhombrable, toute relation r a cette propriBt6; or ( 3 r ) R(x) est forcke faiblement + par la condition vide, et falsifiBe par la relation vide.

2. Forcing-Bquivalence et forcing-restriction; thBorie et diagramme forces Deux structures S et S‘ de m h e signature sont dites forcing-kquivalentes (relative-

ment & un predicat generique d’arite donnbe) si la condition vide de S et la condition vide de S‘ forcent + les memes phrases. Si S est une restriction de S’, S est dite forcing- restriction de S‘ si pour toute condition U ne contraignant que des n-uples extraits de S, et pour toute formule F(6) , ii &ant extrait de S, U I+ + F(6) au sens de S si et seulement si U 11- + F ( 6 ) ail sens de S‘.

Lemnie 2.1. Pour que S soit forcing-restriction de S‘, il faut et il suffit que pour toute condition U extraite de S , et toute formule F(x, a). 6 dtant extrait de S:

a) s i au sens de S‘, U It- +(3x) F(x , a), il existe b h n s S tel que, au sens de S‘,

b) s i au sens de S’, U - (3x) F(x , a), il existe b dans S, et V , condition e‘tendan U et extraite de S, tels qu’au sens de S’, V It- + F ( b , a).

Preuvc . La n6cessit6 est Claire; on montre la suffisance par rBcurrence sur la com- plexitk des formules, la clause en 3 posant seule un problame; si dam S‘, U It +(3x) F(x., a), il existe b dam S tel que au sens de S‘, U It + F(b, a ) ; par hypothese de r6cur- rence ceci est aussi valable dans S , et U It- +(3x) F(x, 6) au sens de S. Si au sens de S‘, U lt- - ( 3 r ) F(x, a), pour toute condition plus forte V et tout BlPment 6 , V *lonIt- + F(b, a), et cela est vrai en particulier lorsque V est extraite de S et b dans 8, donc U lt- -(3r) F ( r , a) au sens de S . Si maintenant, dans S’, U llonlE (3x) F(z , a), et si nous prenons b dans S , U lloll~/- + F(b, a) au sens de S‘, mais aussi de S par hypo- thkse de rBcurrence, et par consequent U llo”l+ + (3.c) F(x, ti) au sens de S; d’autre part il existe V , condition plus forte que U , mais extraite de S, et b dans S , tels quc V I+ + F(b, 6) au sells de S’, mais aussi de S, et U llo*llt- -(3rc) F (x , 6) au sens de S.

On dCduit de ce lemme un thBorkme de LOWENHEIM pour la forcing restriction.

On remarquera que la forcing-6quivalence est intermediaire entre 1’6quivalence dans Lo,m et 1’6quivalence dans L&m (formules de Lol,o de rang fini par rapport B l’op6ration infinitaire); en effet, le fait que U force F(6), oh F est de rang de quanti- fication n, s’exprime par une phrase de Lco1,,, portant sur les 6lCments intervenant dans U et dans 6, qui est de rang n par rapport B l’operation infinitaire. I1 en est de meme pour les restrictions.

Appelons thkorie forcde Tf de la structure S l’ensemble des phrases forc6es faible- ment + par la condition vide de S ; donnons un nom & chaque BlCment de S, et appe- lons diagramme forcd Df l’ensemble des formules F(G) forc6es faiblement + par la condition vide.

Lemme 2.2. U IF* + F(ii) si et seulement si 0 IF* + ( U -+ F(a) ) , c’est-ci-dire si

U IF + F(b, a),

Of t ( U --f FG)) .

ETUDE D’UN FORCING EN THEORIE DES M O D ~ L E S 351

Preuve. Supposons que U !I--* + F ( d ) ; si 0 n ~ b * + ( U -+ F ( d ) ) , on peut trouver V , V - ( U + F(a) ) ; considerons alors une relation generale sur une forcing-restriction denombrable de S , dont la base contienne les elements qui interviennent dans U , V et 8, relation generale qui prolonge V ; ( U -+ F(a) ) est faux pour cette relation, c’est B dire qu’elle verifie U et i F ( 6 ) : ceci est en contradiction avec le fait que

Supposons maintenant que 0 IF* + ( U -+ F(6)) , et qu’il existe une sur-condition V de U , V It- - F(6); considerons une relation g6nBrale sur une forcing-restriction d6- nombrable de X, contenant les Blements intervenant dans V et dans 6, relation gPnPrale qui prolonge V : cette relation devrait verifier B la fois F(6) et i F(6). 0

Lemme 2.3. Le forcing faible est compatible uvec la ddduction; plus prdcisdment, s i U IF* +F(6) et X, U I- (F(6) -+ G(b)), alors U I+* +G(b).

Preuve. Si U nonlt-* +G(6), je peux trouver une sur-condition V de U , V It- -G(b); en prenant une forcing-restriction convenable et une relation g6n6rale dessus, j’obtiens une multirelation qui satisfait un fragment fini arbitraire du diagramme de S, V , donc U , F(6) , i G ( b ) ; par consequent S , Unonl- ( F ( 8 ) -+ G(b)) . 0

Tf et Df contiennent respectivement la theorie de X et le diagramme de S ; ils sont consistants: chacun de leurs fragments finis a pour modde une relation generale sur une forcing-restriction convenable de S. D’aprBs le lemme 2.2, ils sont clos par deduc- tion, et contiennent donc les thhses.

Propos i t ion 2.1. r est gdndrale si et seulement si r vdrifie D f , et si Df augment6 du diagramme libre de r forme une thdorie complbte.

Preuve. La necessite vient de ce que la valeur de v6rit6 pour r d’une formule est decidee par une condition extraite de r ; reciproquement, supposons que r vdrifie Of, et que Df augment6 du diagramme libre de r forme une thhorie complhte; soit F(6) une formule, que nous supposons par exemple vraie pour r ; il existe U extraite de r telle que Df , U k F ( d ) , c’est-B-dire, d’aprhs le lemme 2.2, U It-* + F(6); toute formule est donc forcee faiblement par une condition extraite de r A sa valeur de verite pour r ; d’aprhs la proposition 1.1, r est g6nhrale.

J e presume que pour que r soit g6n6rale il ne suffit pas que r v6rifie Of, mais je n’ai pas de contre-exemple.

Propos i t ion 2.2. Soit S une structure dknombruble; pour que F(d ) soit dans of(&’), il faut et il suffit que pour toute condition U , et toute famille ddnombruble E d’ensembles denses de conditions, il existe sur la base de S une relation r , satisfaisunt F(6) , U , et cou- pant chaque dldment de E.

Preuve. Pour voir la ndcessitk, on considere une relation generale 6tendant U et coupant chaque element de E ; elle satisfait F(6).

Reciproquement si F(a) n’appartient pas A Df , on obtient un contre-exemple en considhrant une condition U qui force - F(8), et la famille denombrable d’ensembles denses de conditions obtenue en associant B chaque formule l’ensemble des conditions qui la forcent.

Remarque. On peut definir des forcings plus ou moins rapides; dans la mesure oh la notion de forcing faible reste la meme, celle de generale aussi, qui ne depend que

U IF* + F(6).

352 BRUNO POIZAS’

de cette derniAre (proposition 1.1). En outre, si S est denombrable, nous avons ci- dessus une definition intrinseque du diagramme forc6, c’est-&-dire du forcing faible, sans rkference au forcing.

I1 est possible que r v6rifie la theorie forcBe et pas le diagramme forc6; prenons pour structure S la chaine Q x Z, et r g6n6rale unaire sup S ; pour tout entier k , il existe deux 616ments a,, et b k ) distants de lc, tels que l’intervalle [ah, b,,] soit inclus dans r : en effet, la phrase exprimant qu’il existe k elements cons6cutifs tous dans R n’est jamais forc6e - . I1 existe par consequent une extension 616mentaire d6nombrable (8’. r‘) de (S, r ) , avec deux elements a et b situes B distance infinie, tels que l’inter- valle [a) b] soit contenu dans r’; et on peut en outre, en faisant une succession d’inter- polations dont on montre la consistance par un argument de compacit6, fabriquer un tel moditle avec S‘ isomorphe B S. r’ satisfait Tj, mais pas Df; en effet, comme a e t b sont B distance infinie, (Vz) (a z 5 b -+ R ( x ) ) n’est jamais forc6e +, et est pourtant verifi6e par r.

Deux structures forcing-6quivalentes ont m6me theorie forc6e; en effet, 0 I+* + F si et seulement si 0 + (Vx) F. De mGme, si 8‘ est une forcing-extension de S , le diagramme fore6 de S est la trace sur X de celul de 8’.

Par contre, des structures Blementairement Bquivalentes peuvent ne pas avoir la meme theorie forcde. Soit S la somme des entiers naturels; la phrase:

(VJS) (3y) ( X < Y A ( V Z ) (y 2 2: 5 2Y 3 R(Z))) est forc6e + par la condition vide de ce modele; par contre, sup toute extension 616- mentaire propre S’ de X, elle est forcee - par la condition vide. Une relation generale sur S‘ permet de d6finir l’ensemble des vrais entiers, seuls B verifier:

(x < Y * W’Z) (Y i 5 2Y + R(z))) . Dans ce cas-18, si r est gknerale pour le moditle standard S , et si (S’, r ‘ ) est une ex-

tension 616mentaire propre de (S , r ) , r‘ n’est shrement pas g6n6rale pour S. A ce propos, je me permets de rappeler un probleme pose par R FRAISS~: si (8, r ) est une restriction 6lBmentaire de (S‘, r ’ ) , et si r‘ est g6nBrale pour X’, r est-elle g6nerale pour SZ Dans l’exemple precedent, on voit que comme r’ dBfinil, les vrais entiers, sa restriction B S ne peut pas Btre BlBmentaire.

dutre exemple du m6me genre: considerer l’ordre des entiers naturels, un predicat g6n6rique binaire, et la phrase :

(Vx) (3Y) (x < Y A (VZ) (2 =< Y -+ R(% Y))). Pour Btudier plus precisdment ce dernier exemple, je dois faire Btat d’un resultat

non encore publit5 de R. SOLOVAY, que ce dernier a expose dans une lettre b R. FRAISS~ datke du 2 a6ut 1976.

Soit X la structure formee par l’ordre des entiers naturels; une relation unaire r dBfinie sur les entiers est dite r&gdibre si toute suite finie de + et de - (+ signifiaiit que 1’616ment est dans r , - qu’il est dans i r ) est r6alis6e par r sur des entiers con- secutifs; il est facile de voir que les generales sort r6guliPres; dans [5] la rkciproque Btait demandee ; R. SOLOVAY repond par l’afirmative.

Plus g&nQralement, soit S une chaine discrete (tout element a un predhcesseur, B moins qu’il soit le plus petit; tout 616ment a un successeur, B moins qu’il soit le plus

ETUDE D’UN FORCING EN TH~ORIE DES M O D ~ L E S 363

grand). Une relation unaire r , d6finie sur la base de 8, est dite rkgulibe si pour toute suite finie s de + et de -, et toute chaine infinie C form& d’el6ments cons6cutifs de S, r rBalise s au moyen d’81Bments consecutifs de C. Les g6n6rales sont rBguliAre (car il doit y avoir une plus petite occurence de S A droite de a , B distance finie de a) et la mBthode de R. SOLOVAY s’adapte pour prouver que les r6gulikres sont gBn6rales. En outre, si 8’ est une extension klBmentaire de 8, et si r’ est rdgulihe pour S’, sa restriction r B S est bien siir rkgulikre pour S, et (S, r ) est restriction 616mentaire de (S‘, r‘).

Montrons qu’alors Df(S) = Df(S’)/#; soit F(6) une formule, 6 &ant extrait de S: Si F(d) 4 Df(S), je peux trouver U extrait de S qui force - F(ii), et r r6gulikre sur S Btendant U , qui falsifie donc F(6) ; Btendons r en une relation r‘ r6gulih-e sup S‘: r’ falsifie F(6), F(ii) 4 Df(x’). Si F(G) Q Df(S’), je peux trouver r’ reguli&re sur 8‘ qui falsifie F ( 6 ) ; sa restriction r A 8, qui est rBgulibre, falsifie aussi F(fi) , qui n’est pas dans Df(S). Ainsi, nous voyons que la chaine des entiers ne se distingue pas de ses extensions Blementaires au moyen de son diagramme force avec un pr6dicat gBn6rique unaire, contrairement A ce qui se passe lorsqu’on introduit un prBdicat g6n6rique binaire.

I1 n’en suit pas pour autant que le modele standard soit forcing-restriction de ses extensions BIBmentaires. I1 ne leur est m6m0 pas forcing-Qquivalent ; en effet, la phrase :

(3s) (VY) (32) (2 5 x A R k ) ) n’est pas forcBe par le systeme vide sur le modA1e standard, est forc6e + par le systeme vide sur tout modele nonstandard (prendre pour realisation de x un infiniment grand).

Dans la mesure ou l’on s’intbresse au propriBt6s d6ductives du forcing, il sembIe qu’il faille abandonner les notions de forcing-Bquivalence et forcing-restriction au profit de celles de forcing-faible-6quivalence (avoir m6me thBorie forcBe), et de forcing- faible-restriction (Df(S) = Df(S’)jS).

3. Cas d’une structure o-cat6gorique J’Btudie maintenant le cas oh la structure S est m-catBgorique, c’est-&-dire oii 8

n’a B isomorphie pres qu’un seul BlBmentaire Bquivalent ddnombrable. Si alors 8’ est klementairement Bquivalente B S, elle lui est forcing-6quivalente, car S et x’ sont Bquivalentes dans Lml,w; de msme, si S’ est une extension 6lBmentaire de S, c’en est une forcing-extension, puisque cette extension est 616mentaire Bgalement dans Lml,m.

Le fait que U I/- + F(ii) ne depend alors que de la forme de la condition U et du type du k-uple form6 des BlBments intervenant dans U et dans ii; en effet, si nous prenons une forcing-restriction denombrable de S contenant ces BlBments, ce type est conserve puisque cette restriction est Blementaire, et dans une structure denombrable et oj-catkgorique, deux k-uples de mhme type se correspondent par automorphisme. Dans ces conditions, F(@) appartient au diagramme force si e t seulement si (VZ) (t(Z) -+ + F(%)), oh t(%) dBsigne le type de b pour la structure S, appartient B la th6orie forcr5e; en consBquence, toute relation r qui vkrifie la thPorie forcBe vkrifie aussi le diagramme forc6.

Je rnppelle qu’un type complet au dessus d’un ensemble A de parametres est dit algihrique s’il n’a qu’un nombre fini de rBalisations possibles; A est dit algdhbriquement

23 Ztschr. f . math. Logik

354 BRUNO POIZAT

clos si tous les elements alghbriques sur A sont dans A . Si a n’est pas algebrique sur A , je dis qu’il est transcendant sur A ; en gBnera1, m6me dans le cas de structures o-cat&- gorique, la propriete de symetrie des transcendantes fait defaut; il est possible gue a et b soient tous deux transcendants, que a soit algBbrique sur b et b transcendant sur a.

Lemme 3.1. Soient dans 8, ddnombrable et o-catdgorique, un ensemble fini A algkbripue- ment clos, un ensemble fini B disjoint de A , un ensemble fini C contenant A ; il existe un automorphisme s de S fixant A point par point, tel que SC soit disjoint de B.

Preuve. Soit en effet une suite clr . . ., c, , . . .- c,,, extraite de C, de longueur maxi- male, telle que pour tout i compris entre 0 et n - 1 G , + ~ soit transcendant sur A u {cl , . . . , ci} ; appelons I’entier n dimension de C au dessus de A ; on raisonne par recurrence sur cette dimension; celle de C‘, clature algebrique dans C de A u {cl , . . ., c,.-~} est n - 1: par hypothitse de recurrence, nous pouvons transporter G’ par auto- morphisme, en fixant A point par point, de maniitre B avoir une image disjointe de B, ce que nous faisons; pour tout x de C - C‘, c, est algBbrique sur C‘ u { x } , car sinon on obtiendrait une suite c l , . . ., c,-~, x, c, plus longue; par consBquent, C‘ Atant fix&, un choix de x , par exemple dans 3, ne laisse qu’un nombre fini de valeurs possibles pour c,; or c, a une infinite de conjugues au dessus de C’: en Bvitant un nombre fini de ces valeurs, on obtient une image de C disjointe de B. c]

J e dis que la condition U est complkte sur l’ensernble fini A si tous les n-uples extraits de A sont contraints par U .

Propos i t ion 3.1. Soit F(6) une formule, ii dtant extrait de la structure o-catdgori- que 8, et soit U une condition complhte sur la cldture algdbrique de l’ensemble des valeurs de ii (qui est un ensemble fini): U force faiblement F(6).

Preuve. E n prenant une forcing restriction convenable, on se r a m h e au cas oh S est dknombrable; on prouve la proposition par induction sur la complexit6 de F ; les formules atomiques et la clause en i ne posent pas de problitme. .

Si U I/-* + F(6) , quel que soit V Btendant U , il existe W Btendant V gui force plus F(6) , donc qui force plus ( F ( 6 ) v G(6)), donc V nonlE - F(6) v G(6) ; par consequent U I+* +(F(i i ) v G(6)). Si U It--* - F(6) et U IF* --G(b), U IF* - ( F ( 6 ) v G(6)).

ConsidBrons une formule (3x) F(x , a), et U coniplet sur la clbture algebrique de a, et ne contraignant que des n-uples extraits de cett,e derni8re. S’il existe b transcendant sur 6 tel que U nonlb* - F(b, a), il existe W Btendant U tel que W It- + F(b, 6); soit maintenant une condition V quelconque Btendant U ; d’aprbs le lemme pr6cBdent on peut &placer par automorphisme b en b’ et W en W’, en laissant fixe point par point la clature algBbrique de 6, de manibre B ce que les seuls BlBments intervenant B la fois dans V et dans W soient ceux de cette cl8ture alghbrique; V A W’ est alors une condition qui force plus F(b’, ii), et V - ( 3 x ) F(x , 6 ) ; donc U It-* + (3%) F(x , 6). S’il existe b algebrique sur 6 tel que U nonlk* - F(b, a), alors, par hypothitse de re- currence, U It-* + F(b, 6 ) ; pour toute condition V Btendant U , il existe une condition plus forte qui force plus F(b, a), qui force plus (3x ) F(x, a), et par consequent Vnon1/-- -(3x) F(x , 6); donc U IF* +(3x) F(z , 6 ) .

Dans les autres cas, quel que soit b, U I/-* - F(b, a), et par definition du forcing U It- - (3x ) F (x , 6). 0

ETUDE D’UN FORCING EN THEORIE DES M O D ~ L E S 355

Corollaire 3.1. Xi X est o-cate‘gorique, toute relation r , ddfinie sur la base de S , et qui vdrifie la the‘orie forcde est gdne‘rale.

Preuve. On a deja vu que r verifiait le diagramme force; d’autre part, si F(ii) est une formule, la condition U complkte sur la clBture algebrique de 6 que definit r force faiblement F(a) , et B sa valeur de veriti: pour r puisque si U IF* +F(i i ) , (77 -+ F(ii)) fait partie du diagramme force; d’aprks la proposition 1.1, r est ghnerale. 0

Corollaire 3.2. Xi 8 est w-cate‘gorique, r gdndrale pour S , alors (8, r ) est o-catkgorique.

Preuve. En effet, le type pour (S, r ) d’un k-uple 6 est entikrement determine par la connaissance de son type pour X, et du type libre de r sur la clBture algebrique de a au sens de S ; il n’y a pour tout k qu’un nombre fini de possibilites, donc qu’un nom- bre fini de types de k-uples.

Propos i t ion 3.2. Soit S une structure o-catdgorique; pour axiomatiser la thdorie /orcde de 8, il suffit de mettre, outre les axiomes de X, pour chaque type (au sens de S ) algdbriquement clos t(@, chaque type t’(3, 3) dtendant t(@, chaque combinaison boolkenne consistante et complkte V ( 3 , ji) de R(E), les 4 prenant leurs valeurs dam 5-3, dont la re- striction & % est U(%) , l’axiome suivant: (V%) ( U ( 3 ) A t(3) + (33) (V(3 , g) A t’(3, g))). En outre, pour compldter cette the‘orie, il suffit de prdciser la trace de R sur So, ensemble des dldments algdbriques (sur l’ensemble vide de paramktres) de S ; il n’y a done qu’un nombre fini de telles compldtions.

Preuve. Montrons d’abord que les phrases en question sont bien dans la theorie forcee; soit W une condition, et 6 extrait de 8, de m6me longueur que 3; si W Supposons donc que W 11- + ( U ( a ) A t(ci)) ; comme R ne figure pas dans la formule t ( z ) , cela impli- que que t est bien le type de a ; comme 6 est alghbriquement clos, d’aprks le lemme 3.1 on peut trouver b tel que le type de ti ̂ 6 soit f(%, g), et qui ne contienne aucun Blement intervenant dans W ; comme d’autre part W prolonge U ( h ) , la conjonction de V(ii,6) et de W est bien une condition Btendant W :

+ ( U ( 6 ) A t (6 ) ) , W n o n l ~ - (U(d ) A t (6) -+ (3%) ( V ( d , &) A t‘(6, g))).

W nonlk- - (3g) (V(a , 3) A t’(a, g ) ) , w no”lk - (u(a) A t (6 ) -+ (34) (v(6, 5) A t’(n, 3))). Donc 43 + (VZ) (U(%) A t(%) -+ (33) (V(%, 5) A t’(%, 5))) .

Je montre maintenant que si je me donne en outre la restriction de R sur So, j’obtiens une theorie co-categorique. Soient donc deux mod&les denombrables ( S , r ) et (S‘, r ’ ) de cette theorie ainsi augmentee; j’exprime X et X’ comme reunions de suites croissantes So, S,, . . ., X,, . . ., Sh, Si, . . ., XA, . . . d’ensembles finis alghbriquement clos. Par hypothkse il existe un isomorphisme so entre la restriction de (S, r ) B So et celle de (X’, r‘) B SA; je considhre la restriction de (X, r ) B X,: il existe un plongement sl, prolongeant so, de cette restriction dans (S’, r ‘ ) ; soit S,: d’indice minimal contenant slX, : il existe s c l , prolongeant s; l, qui plonge la restriction de (X‘, r’) B SL, dans (S, r ) ; en poursuivant ce va-et-vient B I’infini, j’obtiens un isomorphisme entre (8, r ) et (A”, r ’ ) .

Achevons la dCmonstration; soit T la theorie dgcrite dans la proposition, qui est consistante puisque contenue dans la thhorie foreke, et soit (8, r ) un modhle denombrable de T: puisque So est fini, il existe une relation rl , generale pour X, et qui a m6me restric- tion B So que r ; d’aprks ce que nous venons de prouver, (8, r ) et (S, r l ) sont isomorphes,

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23*

356 BRUNO POIZAT

donc T est generale pour S , et verifie la tht5orie forche. T est donc plus forte que la theorie forc60, et nous avons dbja vu qu’elle Btait plus faible. Et nous avons vu &gale- ment qu’on obtient une th6orie co-cat6gorique, donc complhte, si on precise la trace de R sur X,. 0

Note . I1 y a des exemples de structures S non dfSnombrables, mais o-catfSgoriyues, sur lesquelles n’esistent pas de g6n6rales.

RBf Brences [l] KRIVINE, J. L., and K. MCALOON, Forcing and generalized quantifiers. Annals Math. Logic 5

[2] POIZAT, B., Remarques sur le forcing en thborie des moddles. C.R.A.S. Paris 283 (1976), skrie A,

[3] POIZAT, B., Forcing et relations gknbrales sur une stsucture w-catkgorique. C. R. A. S. Paris 283

[4] HIRSCHFELD, J., and H. WHEELER, Forcing, Arithmetic, Division Rings. Springer Lecture

[5] FRA~ssA, R., Cours de Logique Mathhmatique, 11. Gauthier-Villars Paris 1972. &lition anglaise :

(1973), 199-256.

131 - 134.

(1976), sbrie A, 323 - 224.

Notes in Math. 464 (1975).

Course of Mathematical Logic, 11. Reidel Publ. Comp., Amsterdam 1974.

(Eingegangen am 20. November 1976)