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Etudier une machine thermique en utilisant un

diagramme (P,h)

I - Travail des forces de pression pour un fluide e n écoulement

Dans le cas d’un fluide en écoulement, on ne peut pas utiliser l’expression habituelle

pour calculer le travail des forces de pression parce que la pression extérieure a ici

deux valeurs différentes sur la surface du système. Il faut revenir à la définition du

travail d'une force vue en mécanique. On étudie le cas où le système est un volume de

fluide en écoulement dans une conduite.

Soit un fluide s'écoulant dans une conduite dont la section a une surface S. Dans ce

fluide, on isole par l'esprit un système fermé Σ constitué par le fluide contenu dans la

surface comprise entre les sections A1 et A2 de la conduite à l'instant t (voir figure

précédente). A l'instant t' = t + dt le système Σ (donc le même fluide) est contenu

dans la surface comprise entre les sections A’1 et A’2.

On appelle 1 1 1'dl A A=��� ������

et 2 2 2'dl A A=��� �������

les déplacement élémentaires entre t et t + dt

des deux sections délimitant le système (voir figure précédente).

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La pression en A1 est égale à P1 et elle est égale à P2 en A2.

On note S la surface de la section de la conduite. La force de pression exercée

appliquée à Σ sur la section A1 s'écrit : 1 1F PSu=���

�

est le vecteur unitaire dans le sens

de l'écoulement. Elle fournit dans le déplacement considéré le travail :

1 1 1 1 1 1 1 1 1. . .dl u PW F dl PSu dl PSu dVδ = = = =��� ��� ���

� � �

où dV1 est le volume compris entre les section A1 et A’1, volume balayé par la surface

limitant le système. Ce travail est positif : le fluide en amont pousse le fluide de Σ.

La force de pression exercée appliquée à Σ sur la section A2 s'écrit : 2 2F P Su= −���

�

. Elle

fournit dans le déplacement considéré le travail :

2 2 2 2 2 2 2 2 2. . .dl u PW F dl P Su dl P Su dVδ = = − = − = −��� ��� ���

� � �

où dV2 est le volume compris entre les section A2 et A’2, volume balayé par la surface

limitant le système. Ce travail est négatif : le fluide en aval repousse le fluide de Σ.

Au total, le travail des forces de pressions est dans ce cas :

1 1 2 2P PW dV dVδ = − Remarque : La variation de volume du système est dV = dV2 - dV1. Ainsi, si on avait

P1 =P2 = Pext, on aurait 1 2P ( ) Pext extW dV dV dVδ = − = − et on retrouverait bien la formule habituelle.

II - Premier principe pour un fluide en écoulement

Lorsque le fluide s’écoule dans une machine thermique, il traverse plusieurs éléments

qui permettent de réaliser les échanges énergétiques considérés.

Afin de pouvoir obtenir une relation faisant apparaitre les échanges énergétiques dans

l’un des éléments du circuit, on utilise le premier principe pour un fluide en

écoulement.

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On considère, de manière générale, un fluide en écoulement lent, passant dans un

élément actif à l’intérieur duquel il peut échanger un travail et/ou un transfert

thermique.

Entre l’entrée et la sortie de cet élément, les grandeurs thermodynamique massiques

du fluide (enthalpie massique h , énergie interne massique u , volume massique v )

changent.

Soient w et q le travail et le transfert thermique massiques reçus par le fluide qui

traverse l’élément actif. Le travail w est échangé par le fluide avec les pièces mobiles,

à l’intérieur de l’élément actif.

On considère le système Σ fermé. Dans l’état initial, Σ contient une masse m

de fluide située devant l’entrée de l’élément actif ainsi que le fluide qui remplit

l’élément actif. Dans l’état final, Σ contient le fluide qui remplit l’élément actif

ainsi que la masse m de fluide à la sortie.

On suppose l’écoulement stationnaire : l’état du fluide en un point donné de la

canalisation est le même à chaque instant (même si, à deux instants différents, ce

n’est pas le même fluide qui s’y trouve). Ainsi, à l’instant final, le fluide à l’intérieur

de l’élément actif a exactement les mêmes propriétés que celui qui se trouve au même

endroit à l’instant initial.

La variation d’énergie interne de Σ entre l’état initial et l’état final provient de la

masse m de fluide qui, dans l’état initial, a une énergie interne massique eu , et dans

l’état final, une énergie interne massique su : s eU mu mu∆ = − .

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Pour simplifier, on fait l’hypothèse que le fluide s’écoule lentement et que la variation

d’énergie cinétique est négligeable devant la variation d’énergie interne :

c U∆ ∆E ≪ . On fait donc l'approximation c 0∆ =E .

Au cours de la transformation, le système Σ reçoit un travail de la part des forces de

pression, qui le poussent à l’entrée et le repoussent à la sortie. On note eP et sP les

pressions à l’entrée et à la sortie. Elles sont supposées uniformes sur les volumes

occupés par m à l’entrée et à la sortie.1 On a donc e s sePW PV PV= − avec

e eV mv= et s sV mv= .

e e s sPW mP v mPv= − .

De plus, Σ reçoit dans l’élément actif un travail appelé travail utile uW . On utilisera

dans la suite le travail utile massique u u uw W mw⇒ = .

Σ reçoit aussi un transfert thermique Q mq= .

Premier principe :

c u s e e e s s uPU W W Q u u P v P v w q∆ +∆ = + + ⇒ − = − + +E .

On peut réécrire cette équation

( )s s s e e e u s e uu P v u P v w q h h w q+ − + = + ⇒ − = + .

Pour un fluide en écoulement stationnaire lent, traversant un élément actif à

l’intérieur duquel il reçoit un travail utile massique uw et un transfert thermique

massique q , le premier principe s’écrit, en négligeant la variation d’énergie cinétique

uh w q∆ = + , où h∆ est la variation d’enthalpie massique entre l’entrée et la

sortie de l’élément actif.

L’intérêt de cette formulation du premier principe est qu’elle ne fait pas intervenir

directement le travail des forces de pression, travail interne au fluide, mais

uniquement le travail utile, travail échangé par le fluide avec les parties mobiles de

l'élément actif.

Exemples

� dans le compresseur, le fluide reçoit des pièces mobiles un travail massique compw

et ne reçoit aucun transfert thermique : 1 comph w∆ = ;

� dans le condenseur, il n’y a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert

thermique massique c 0q < de la source chaude2 : 2 ch q∆ = ;

1 On choisit m suffisamment petite pour que cela soit le cas. 2 Il lui cède donc le transfert thermique massique c 0q− > .

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� dans le détendeur il n’y a pas de pièce mobile et le fluide ne reçoit aucun transfert

thermique : 3 0h∆ = ;

� dans l’évaporateur il n’a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert

thermique massique fq de la source froide : 4 fh q∆ = .

III - Diagramme (p,h) ou diagramme des frigoristes

Présentation

Afin d’étudier le fonctionnement de machines thermiques dans lesquelles se

produisent des changements d’état, on utilise souvent des diagrammes ( ),p h .

Diagramme (p,h) de l’isobutane

En abscisse est portée l’enthalpie massique h , et en ordonnée la pression p . Cette

dernière est fréquemment indiquée en échelle logarithmique, car la gamme de pression

usuelle s’étend sur plusieurs ordres de grandeur.

On distingue trois zones, séparées par une frontière (trait gras) qui correspond au lieu

d’apparition d’un changement état. Au sommet de la frontière figure le point critique

C .

Sous la frontière se situent les états d’équilibre liquide-vapeur.

Sur la partie gauche de la frontière, le fluide est à l’état liquide.

La partie droite du diagramme correspond à la vapeur sèche.

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EA1

Déterminer l’enthalpie massique de vaporisation de l’isobutane sous la pression

1 barp = .

Corrigé

Sous la pression 1 barp = , l’enthalpie massique du liquide saturant est 1173 kJ kgh −=

ℓ, et celle de la vapeur saturante est 1v 539 kJ kgh

−= . On peut

alors en déduire l’enthalpie massique de vaporisation : 1

vap v 366 kJ Kh h h−∆ = − =

ℓ.

Isothermes

Les isothermes sont les courbes (ici en rouge) qui sont :

� des horizontales confondues avec les isobares dans la partie liquide-vapeur, car

dans un changement d’état de corps pur, fixer la température impose la pression ;

seules les extrémités du palier de changement d’état sont ici représentées pour ne

pas surcharger le diagramme ;

� des courbes qui tendent à devenir verticales lorsqu’on s’écarte de la frontière

dans la zone de vapeur : en effet, loin des conditions du changement d’état,

la vapeur tend à se comporter comme un gaz parfait, pour lequel h ne

dépend que de T ; T cste= correspond alors à une abscisse h constante.

EA2

Déterminer la température de vaporisation de l’isobutane sous la pression 1 barp = .

Corrigé

Sous la pression 1 barp = , la température de changement d’état est 12 CT = − ° .

Titre en vapeur

Dans la zone d’équilibre liquide-vapeur apparaissent des courbes isotitres (en noir ici,

et le titre en vapeur est ici noté x ).

La frontière avec la zone de vapeur sèche est l’isotitre 1x = , tandis que le lieu du

liquide est l’isotitre 0x = .

Un état diphasé est défini par sa pression (ou la température du changement d’état)

et la valeur de x .3

EA3

Déterminer l’enthalpie massique de l’état diphasé de l’isobutane possédant un titre

3 On peut en toute rigueur effectuer une interpolation linéaire en x , car l’enthalpie massique

varie de manière affine avec x sur un palier.

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massique en vapeur 0, 30x = sous la pression 1 barp = .

Corrigé

Sous la pression 1 barp = , l’enthalpie massique de l’état diphasé possédant un titre

massique en vapeur 0, 30x = est 1283 kJ kgh −= .

Isentropiques

Les isentropiques sont des courbes croissantes (en bleu ici).

Une évolution adiabatique réversible est facilement représentée sur ce diagramme.

EA4

On comprime jusqu’à la pression 2 10 barp = de manière adiabatique réversible de

l’isobutane initialement à la température 1 40 CT = ° et sous la pression 1 1 barp = .

Quelle est la température finale atteinte ?

Corrigé

À la température 1 40 CT = ° et sous la pression 1 1 barp = , l’entropie massique de

l’isobutane est 1 12,60 kJ kg Ks − −= . On suit l’isentropique correspondante jusqu’à

la pression 2 10 barp = , et on lit la température 2 106 CT = ° .

Isochores

Enfin, on observe aussi les courbes isochores (en vert ici), qui donnent le volume

massique de l’état considéré.

EA5

Quel est le volume V d’une masse 2, 0 kgm = d’isobutane à la température

80 CT = ° et sous la pression 1 barp = .

Corrigé

V mv= avec 3 1 30,50 m kg 1, 0 mv V−= ⇒ = .

Application

On étudie l’exemple d’une machine frigorifique.

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Description du cycle

Au point 1 , le fluide est dans un état de vapeur saturante de titre 1x = (point de

rosée) à la température 1 30 CT = − ° .

Dans le compresseur, le fluide subit une transformation adiabatique réversible le

menant dans l’état 2 à la pression 2 6 barp = . Sur le diagramme ( ),p h , le fluide

suit l’isentropique 1 12, 3 kJ K kgs − −= , passant par un état de vapeur sèche avant

de devenir diphasé.

Dans le condenseur, l’évolution est isobare ( 2p p= ) : le fluide change d’état de

manière isotherme ( 2 45 CT = ° ). Au cours de cette transformation, un transfert

thermique a lieu entre le fluide et un thermostat, qui est l’extérieur de l’enceinte

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réfrigérée. En pratique, c’est l’atmosphère de la pièce où se trouve la machine qui

joue le rôle de thermostat.

Dans l’état 3 , le fluide est liquide à la pression 2p .

Dans le détendeur, le fluide subit une détente isenthalpique : on parle de détente de

Joule-Kelvin4. Sur le diagramme, on suit donc entre 3 et 4 une courbe verticale :

3 4h h= .

L’état 4 atteint a même pression 1p que l’état 1 . On note 4 0, 46x = le taux de

vapeur correspondant.

Dans l’évaporateur, l’évolution 4 1− qui termine le cycle est isobare. Il s’agit de la

vaporisation du fluide jusqu’à revenir à l’état initial 1 . Au cours de ce changement

d’état isobare et isotherme, un transfert thermique a lieu de la source froide,

l’enceinte réfrigérée, vers le fluide. C’est la phase utile au cours de laquelle est

extraite de l’énergie thermique visant à maintenir l’enceinte à une température

inférieure à celle de la pièce malgré les échanges à travers les parois, et lors des

ouvertures de porte.

Bilan énergétique

Premier principe dans un écoulement stationnaire : uh w q∆ = + .

On s’intéresse d’abord au transfert thermique de la source froide vers le fluide : c’est

la grandeur utile. Celui-ci est réalisé lors de la traversée de l’évaporateur. Ce dernier

ne fournit aucun travail au fluide :

f 1 4q h h= − , avec 1

1 516 kJ kgh−= et 1 14 f308 kJ kg 208 kJ kgh q

− −= ⇒ = .

On a bien f 0q > , ce qui correspond au fonctionnement d’une machine frigorifique.

On s’intéresse également au travail de compression, qui représente la dépense.5 La

compression est adiabatique : c 2 1w h h= − avec

1 12 c611 kJ kg 95 kJ kgh w

− −= ⇒ = .

L’efficacité frigorifique est alors f 1 4Fc 2 1

2,2q h h

ew h h

−= = =

−.

On peut la comparer à l’efficacité frigorifique de Carnot : 1FC2 1

3,2T

eT T

= =−

.

On a bien F FCe e< .

4 Ou Joule-Thomson. 5 Il faut alimenter électriquement le compresseur pour faire fonctionner une machine

frigorifique.

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La différence est due à l’irréversibilité de la détente de Joule-Kelvin 3 4− , au cours

de laquelle le fluide est en contact thermique avec la source froide.

IV – Exercice

Climatisation d’une voiture

La quasi-totalité des véhicules neufs sont aujourd'hui équipés d'une climatisation.

Pour refroidir l'air intérieur du véhicule, un fluide frigorigène, l'hydrofluorocarbone

HFC connu sous le code RI 34a, effectue en continu des transferts énergétiques entre

l'intérieur, l'extérieur du véhicule et le compresseur.

Sur le diagramme enthalpique (P,h) (voir figure ci-dessous) de hydrofluorocarbone

HFC, de masse molaire M = 32 g.mol-1, sont représentés :

• la courbe de saturation de l'équilibre liquide-vapeur de l’hydrofluorocarbone HFC

(en trait fort),

• les isothermes pour des températures comprises entre - 40°C et 160°C par pas de

10°C,

• les isentropiques pour des entropies massiques comprises entre l,70 kJ.K-l.kg-1 et

2,25 kJ.K-l.kg-1, par pas de 0,05 kJ.K-l.kg-1,

• les isotitres en vapeur sous la courbe de saturation pour des titres massiques en

vapeur xg variant de 0 à 1 par pas de 0,1.

P est en bar et h en kJ.kg-1

Lors de l'exploitation du diagramme, les mesures seront faites avec les incertitudes

suivantes :

Δh = ±5 kJ.kg-1, Δs = ± 50 J.K-1.kg-1, Δx = ±0,05, ΔT = ±5°C, P

P

∆ = 5%.

1. Où sont sur le diagramme les domaines liquide, vapeur, équilibre liquide-vapeur du

fluide ?

2. Dans quel domaine du diagramme le fluide à l'état gazeux peut-il être considéré

comme un gaz parfait ?

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On étudie dans la suite l'évolution du fluide au cours d'un cycle en régime permanent.

Le transfert thermique reçu par le fluide dans l'évaporateur permet la vaporisation

isobare complète du fluide venant de (4) et conduit à de la vapeur à température T1

= 5°C et pression P1 =3 bar : point (1).

3. Placer le point (1) sur le diagramme. Relever la valeur de l'enthalpie massique h1 et

de l'entropie massique s1 du fluide au point (1).

Le compresseur aspire la vapeur (1) et la comprime de façon isentropique avec un

taux de compression r = 21

P

P = 6.

4. Déterminer P2. Placer le point (2) sur le diagramme. Relever la valeur de la

température T2 et celle de l'enthalpie massique h2 en sortie du compresseur.

5. Déterminer la valeur du travail mécanique massique wm reçu par le fluide lors de

son passage dans le compresseur. Commenter le signe de wm.

Le fluide sortant du compresseur entre dans le condenseur dans lequel il est refroidi

de manière isobare jusqu'à la température T3 = 60°C : point (3).

6. Placer le point (3) sur le diagramme. Relever la valeur de l'enthalpie massique h3

en sortie du condenseur.

Le fluide sortant du condenseur est détendu dans le détendeur supposé adiabatique

jusqu'à la pression de l'évaporateur P1 : point (4).

7. Montrer que la transformation dans le détendeur est isenthalpique.

8. Placer le point (4) sur le diagramme et tracer le cycle complet. Relever la valeur de

la température T4 et le titre massique en vapeur x4 en sortie du détendeur.

9. En déduire le transfert thermique massique qe échangé par le fluide lors de son

passage à travers l'évaporateur entre (4) et (1). L'air intérieur du véhicule est-il

refroidi ?

10. Définir l'efficacité e, ou coefficient de performance, du climatiseur. Calculer sa

valeur.

11. Comparer cette valeur à celle d'un climatiseur de Carnot fonctionnant entre la

température de l'évaporateur et la température de liquéfaction du fluide sous la

pression P2. Commenter le résultat obtenu.

12. Le débit massique du fluide est Dm = 0,1 kg.s-1. Calculer la puissance thermique

évacuée de l'intérieur du véhicule et la puissance mécanique consommée par le

climatiseur.

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1. Le domaine de l'équilibre liquide-vapeur se trouve entre la courbe de saturation et

l'axe des abscisses ; le domaine de la vapeur est à droite, du côté des plus grandes

enthalpies massiques (donc des plus grandes températures); le domaine du liquide est

à gauche, du côté des plus petites enthalpies massiques (donc des plus petites

températures).

2. Le gaz parfait suit la deuxième loi de Joule : son enthalpie massique est fonction

uniquement de la température. Donc, pour un gaz parfait, si T = constante alors h =

constante et les isothermes sont des isenthalpiques soit des droites verticales. Sur le

diagramme c'est le cas dans la zone P < 0,8 bar et h > 50 kJ.kg-1, en bas à droite du

diagramme. Dans cette zone le fluide réel se comporte comme un gaz parfait.

3. On place le point (1) sur le diagramme, sur l'isobare P1 = 3 bar et entre les

isothermes 0°C et 10°, à peu près au milieu.

On lit à l'abscisse de ce point : h1 = 405 kJ.kg-1.

Ce point se trouve entre les isentropiques 1,70 et 1,75 kJ.K-1.kg-1, plus près de la

seconde ; la réponse : s1 = 1,75 kJ.K-1.kg-1 est suffisante pour la précision demandée

par l'énoncé.

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4. P2 = 3P1 = 18 bar. La compression étant isentropique, le point (2) se trouve à

l'intersection de l'isobare 18 bar, droite horizontale, et de l'isentropique 1,75 kJ.K-1.kg-

1. On lit à l'abscisse de ce point : h2 = 440 kJ.kg-1

Et ce point se trouve pratiquement sur l'isotherme 70°C; avec la précision demandée

par l'énoncé, T2 = 70°C.

5. Le premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire, appliqué entre

l'entrée et la sortie du compresseur, s'écrit : Δh = h2 -h1 = wm + 0 car la compression

est adiabatique, soit: wm = 440-405 = 35 kJ.kg-1.

6. Le point (3) se trouve à l'intersection de l'isobare 18 bar et de l'isotherme 60°C. Le

point se trouve dans la zone du liquide où l'isotherme n'est pas tracée. On sait que

c'est une droite verticale que l'on peut compléter pour trouver le point (3). On lit à

l'abscisse de ce point : h3 = 285 kJ.kg-1.

7. Dans le détendeur, le fluide ne reçoit pas de transfert thermique, ni de travail autre

que celui des forces de pression. Le premier principe pour un fluide en écoulement

stationnaire s'écrit donc : Δh = h4 — h3 = q + w = 0, soit h4 = h3. La transformation

est isenthalpique.

8. Le point (4) se trouve à l'intersection de l'isenthalpique (droite verticale) passant

par le point (3) et de l'isobare 3 bar (droite horizontale). Ce point se trouve

pratiquement sur l'isotherme 0°C donc T4 = 0°C. Il se trouve entre les isotitres 0,40

et 0,50. Le titre massique en vapeur en ce point est : x4 = 0,45.

9. Le premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire, appliqué entre

l'entrée et la sortie de l'évaporateur, s'écrit h1 — h4 = qe car il n'y a pas de travail

autre que celui des forces de pression, soit : qe = 405 — 285 = 120 kJ.kg-1.

L'air intérieur à la voiture est bien refroidi car qe > 0 : le transfert thermique est reçu

par le fluide.

10. L'efficacité du climatiseur est le rapport de l'énergie utile, qe divisée par l'énergie

coûteuse, wm, soit : 120

335

e

m

qe

w= = ≈ .

11. L'efficacité d'un climatiseur réversible fonctionnant entre la température de

l'évaporateur T4 et la température d'équilibre liquide - vapeur pour 18 bar, soit

environ T3 serait : 4

3 4

2734,6

60revT

eT T

= = =−

. Elle est plus grande que l'efficacité de la

machine réelle.

T3-T4 60-0

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C'est le signe que la machine réelle n'est pas réversible. La transformation dans le

détendeur est irréversible.

12. Pendant une durée Δt, une masse de fluide DmΔt passe dans l'évaporateur.

L'énergie thermique prise à l'intérieur de la voiture est donc Qe = mqe = DmqeΔt. La

puissance thermique évacuée de l'intérieur de la voiture est donc : Pe = Dmqe = 12

kW.