Université de Genève Statistique et probabilités IFaculté des Sciences Economiques et SocialesDr E. Cantoni et Dr. Jean-Paul Chaze

EXAMEN DU 26 JANVIER 2011 V1 14h15 -17h15

NOM : PRENOM :

Durée de l’examen : 3 heures.

Toute documentation autorisée à l’exception des ordinateurs.

Il est indispensable de justifier les réponses.

Les réponses doivent êtredonnées dans les

emplacements prévus à ceteffet !

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Total

0

Exercice 1 (16 points).

Ivan S. s’intéresse aux résultats de la votation fédérale du 28 novembre 2010 sur l’initiativepopulaire “Pour le renvoi des étrangers criminels” visant à faire retirer automatiquement ledroit de séjour à tout étranger qui se sera rendu coupable de certaines infractions ou quiaura perçu abusivement des prestations sociales 1. Il s’intéresse tout d’abord au taux departicipation par canton. Les données sont les suivantes :

Canton Taux de participation (%)Jura 42.3Glaris 45.2Grisons 45.5Tessin 46.1Fribourg 47.3Neuchâtel 47.8Uri 48.4Appenzell Rh.-I. 49.0Berne 50.7Thurgovie 50.8Bâle-Campagne 50.9Vaud 51.9Argovie 52.9Saint-Gall 53.7Genève 54.0Valais 54.1Soleure 54.2Bâle-Ville 55.7Zurich 56.6Lucerne 57.2Appenzell Rh.-E. 57.4Schwytz 57.9Obwald 57.9Zoug 57.9Nidwald 61.0Schaffhouse 67.9

1. Source : Office Fédéral de la Statistique, http ://www.bfs.admin.ch/bfs/portal/fr/index/themen/17.html

et Confédération suisse http ://www.admin.ch/ch/f/pore/va/20101128/det552.html

1

1. Calculez la médiane de ces données. (2 points)

2. Ivan S. veut représenter la distribution du taux de participation au moyen d’un boxplot.Il a calculé que le premier quartile vaut Q1 = 48.55 et le troisième vaut Q3 = 57.05.Quelles valeurs correspondent à la moustache supérieure et à la moustache inférieuredu boxplot ? (3 points)

3. Y a-t-il des cantons présentant un taux de participation extrême ? (1 point)

2

Ivan S. s’intéresse maintenant aux pourcentages de “oui” par district pour cette votation (ledistrict est le niveau géographique institutionnel suisse inférieur au canton). Il a réparti lesobservations selon les classes suivantes :

Classe Fréquences Fréquencesabsolues relatives

[0,40[ 11 0.069[40, 50[ 32 0.201[50,55[ 27 0.170[55, 60[ 32 0.201[60, 65[ 40 0.252[65, 100] 17 0.107

4. Calculez la moyenne et la variance du pourcentage de “oui” par district à partir desfréquences par classe. (3 points)

5. Calculez la valeur du 1er quartile du pourcentage de “oui” par district à partir desfréquences par classe. (2 points)

3

6. Représentez les pourcentages de “oui” par district sous forme d’histogramme. (3 points)

7. Ivan S. veut désormais utiliser Splus pour vérifier si son histogramme est correct.Sachant que les données brutes pour les 159 districts sont dans un dataframe nomméVotation2811 qui ne contient qu’une seule colonne indiquant les pourcentages de “oui”pour chaque district, quelle commande doit-il utiliser ? (2 points)

4

Exercice 2 (16 points).

Les 5 stations météorologiques d’un pays ont relevé les températures suivantes un certainjour de janvier à midi :

1 3 7 9 10

1. Calculer la moyenne x et la variance s2 des températures observées. (3 points)

2. Par définition, la distribution de probabilité empirique associée à un jeu de données estla distribution discrète qui associe une probabilité identique à chacune des observations.Soit X la variable aléatoire associée à la distribution empirique des 5 températuresobservées.

(a) Donner P (X = 1), P (X = 3), P (X = 7), P (X = 9) et P (X = 10). (1 point)

(b) Calculer l’espérance mathématique µ et la variance σ2 de cette distribution. Com-parer avec les résultats obtenus au point précédent. (2 points)

5

3. On place dans une urne 5 boules avec des numéros correspondant à chacune des tem-pératures observées. Ensuite, on effectue un tirage aléatoire avec remise de n = 5boules.

(a) Quelle est la probabilité que le tirage ainsi obtenu contienne les 5 températuresoriginales ? (2 points)

(b) Quelle est la probabilité qu’il contienne 5 fois la même température ? (2 points)

4. Un tirage aléatoire particulier fournit les valeurs suivantes :

7 7 7 10 10

(a) Calculer la moyenne xt et la variance s2t pour ces données. (2 points)

(b) Calculer la variance d’échantillon, qui, par définition, s’obtient en multipliant s2tpar le facteur correctif n

n−1. (1 point)

6

5. On effectue 500 tirages de 5 valeurs pour lesquels on calcule la moyenne xt et la variances2t . En moyenne sur tous ces tirages, on obtient les résultats suivants :

1

500

500∑

t=1

xt ≈ 5.99,1

500

500∑

t=1

s2t ≈ 9.51.

(a) Comparer la moyenne des moyennes sur les 500 tirages avec µ calculé au point2, et la moyenne des variances sur les 500 tirages avec σ2 calculé au point 2. (1point)

(b) Calculer la moyenne des variances d’échantillon sur les 500 tirages. Comparer avecσ2. Que peut-on constater ? (2 points)

7

Exercice 3 (12 points).

La fameuse boucherie Andi & co. propose des produits de grande qualité. Nous vousprésentons ici les prix en Octobre 2008 et Octobre 2009 des best-sellers de leurs viandes :

i Type de viande Prix (CHF par 100g) Prix (CHF par kg) Partsoctobre 2008 octobre 2009 woct08

i

1 Rôti de boeuf 3.250 34.45 0.1472 Ragoût de boeuf 2.490 25.85 0.2233 Filet de porc 4.995 51.80 . . .4 Viande de boeuf hâchée 1.900 19.25 . . .5 Rôti de porc 2.260 23.40 . . .6 Tranches de veau 7.020 74.20 0.222

(rappel : 1 kg = 1000 g)

1. Sachant que la part attribuée au rôti de porc est trois fois moins importante que celle

attribuée au filet de porc et quewoct08

3+woct08

5

woct08

4

= 1.55, calculez les parts manquantes

woct083 , woct08

4 et woct085 . (4 points)

8

Si vous n’avez pas trouvé ces trois parts, prenez les valeurs arbitraires woct083 =0.2, woct08

4 =0.1

et woct085 =0.108 pour continuer l’exercice.

2. Trouvez l’indice synthétique de prix de Laspeyres pour ces produits en prenant octobre2008 comme référence, PLoct09/oct08

. Calculer également le taux d’inflation correspondant,ioct09/oct08, ainsi que la perte de pouvoir d’achat ppaoct09/oct08. (4 points)

3. Sachant que l’indice de dépense Doct09/oct08 égale 112.45% , calculez l’indice de quantitéde Paasche QPoct09/oct08

. (2 points)

4. Nous souhaitons regrouper les six produits par type de viande. En considérant les troisnouvelles catégories (boeuf, porc et veau) calculez le nouvel indice de prix de LaspeyresPL

∗

oct09/oct08. Diffère-t-il beaucoup de celui trouvé au point 2 ? Expliquez pourquoi. (2

points)

9

Exercice 4 (16 points).

Un garagiste met entre 2 et 10 minutes pour effectuer la vidange d’huile des voituresde ses clients. Ce temps peut être modélisé par la variable aléatoire T avec la fonction derépartition suivante :

F (t) =

0 si t < 2t2−4

96si 2 ≤ t < 10

1 si t ≥ 10

1. Quelle est la probabilité que la vidange d’huile ne dure pas plus de 6 minutes ? (2points)

2. Trouver c tel que la probabilité que la vidange d’huile prenne moins de c minutes soitégale à 0.9. (2 points)

10

3. Faire un graphique de la fonction de répartition. (3 points)

4. Déterminer la fonction de densité f(t). (3 points)

11

5. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire T . (4 points)

6. Le garagiste facture 8 minutes de travail pour la vidange d’huile de votre voiture.Sachant que le temps de travail facturé n’est jamais inférieur au temps de travaileffectif, calculer la probabilité que la vidange d’huile de votre voiture ait pris plus de6 minutes. (2 points)

12