Universite de Geneve Statistique et probabilites IFaculte des Sciences Economiques et Sociales Janvier 2008Tronc commun HEC/Sciences Economiques Dr. Eva Cantoni

EXAMEN DU 19 JANVIER 2008 08h15 -11h15

NOM: PRENOM:

1. Deposer les sacs dans les travees de la salle.

2. Eteindre les telephones portables et ne pas les garder a proximite.

3. Les casquettes ne sont pas autorisees dans la salle.

4. Sorties toilettes UNIQUEMENT : S’annoncer a un assistant. Les sorties ne sont plus autoriseeslors de la derniere heure.

5. Lors de la sortie de la salle en fin d’examen, les etudiants sont pries de ne pas rester juste derriereles portes, ceci par egard aux etudiants qui n’auraient pas encore termine.

6. Toutes les reponses, ainsi que les justifications correspondantes, doivent etre reportees sur lesfeuilles d’enonce. Vous pouvez utiliser le verso des pages si necessaire.

7. Veuillez soigner la presentation.

8. L’enonce est a rendre obligatoirement.

9. Les calculatrices sont autorisees.

10. Toute documentation est autorisee.

11. Nous ne repondons a aucune question.

12. Toute tricherie sera sanctionnee selon le reglement de l’Universite de Geneve.

B-0

Exercice 1 (15 points).

Un grossiste amateur de statistiques recoit un chargement avec 15 articles. Le poids xi des articlesest donne en tonnes [T ]. Voici les observations:

3, 4, 2, 5, 3, 3, 6, 8, 5, 9, 3, 10, 5, 6, 3 (1)

1. Calculer la moyenne x, la mediane med(xi) et l’ecart-type sx de ces observations.

2. Combien vaudrait la moyenne x, la mediane med(xi) et l’ecart-type sx si on mesurait le poidsen kilogrammes [Kg]?

B-1

3. Les donnees se trouvent dans le dataframe articles dont la colonne poids contient les observa-tions initiales (1). Ecrire un script S-PLUS pour obtenir un boxplot des donnees en [T ] et unboxplot des donnees en [Kg].

4. Dessiner le boxplot pour les observations en [Kg]. Donner toutes les valeurs necessaires a saconstruction.

5. Le grossiste doit mettre chaque article dans un container qui pese 0.3[T ]. Soit yi le poids entonnes [T ] de chaque container avec l’article. Donnez les valeurs de y, med(yi) et sy.

B-2

6. On considere une nouvelle variable: le prix en milliers de CHF des articles. Apres avoir fait uneregression lineaire de la variable prix en fonction de poids (le poids en [T ]) avec S-PLUS onobtient la sortie:

Call: lm(formula = prix ∼ poids, data = SDF3)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-8.663 -3.22 -0.4983 3.41 7.223

Coefficients:

Value Std.Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 10.8144 2.8659 3.7734 0.0021

poids 8.4811 0.5122 16.5594 0.0000

Residual standard error: 4.884 on 14 degrees of freedomMultiple R-Squared: 0.9514F-statistic: 274.2 on 1 and 14 degrees of freedom, the p-value is 1.366e-010

Ecrire l’equation de la droite de regression et donner le prix moyen estime pour un chargementde 12[T ].

B-3

Exercice 2 (15 points).

La finale de la coupe du monde de football 2006, organisee en Allemagne, a vu se confronter lesselections de la France et de l’Italie. Apres avoir fait un match nul (1− 1), les deux equipes ont definile match avec des tirs au but (penalties), 5 tirs au but pour chaque equipe.

On estime que la probabilite de marquer un tir au but pour un “attaquant” s’eleve a 0.78, tandisque pour un “milieu de terrain” cette meme probabilite s’eleve a 0.72; finalement, pour un “defenseur”cette probabilite se reduit a 0.63.

A la fin du match, l’Italie avait une formation 4− 3− 3, c’est-a-dire, 4 defenseurs (D), 3 milieuxde terrain (M) et 3 attaquants (A). Quant a la France, elle possedait une formation 4 − 2 − 3, leurcapitaine ayant ete expulse.

1. Si le Directeur Technique de la selection italienne a choisi les 5 joueurs au hasard, quelle est laprobabilite d’avoir choisi 2D, 2M et 1A pour les 5 penalties?

2. Si on choisit un joueur de l’equipe italienne au hasard, montrer que la probabilite qu’il marquele tir au but est de 0.702. Quelle est cette probabilite pour un joueur francais?

B-4

3. Si le tir francais a ete rate, quelle est la probabilite que le penalty ait ete tire par un defenseur?

4. Soit X la variable qui compte le nombre de tirs au but reussis par l’equipe italienne. Donner saloi, son esperance et sa variance.

5. Avec quelle probabilite l’Italie reussira-t-elle au moins 4 tirs au but?

B-5

Exercice 3 (15 points).

Une importante procedure de calcul utilisee pour controler le trafic aerien est implementee sur unordinateur. Le statisticien charge d’evaluer cette procedure trouve que la duree de calcul est unevariable aleatoire X (mesuree en secondes) avec fonction de repartition,

FX(x) =

0 , x < 1a(x2−1

2 ) , 1 ≤ x ≤ 2a(−x2+8x−9

2 ) , 2 < x ≤ 3ax , 3 < x ≤ 41 , x > 4

1. Calculez la fonction de densite de X.

2. Quelle est la valeur de la constante a ? Justifiez votre reponse.

B-6

* Pour les questions suivantes supposez a = 0.25.

3. Calculez la valeur de la mediane.

4. Quelle est la probabilite que le calcul dure entre 2 et 3 secondes ?

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5. Quelle est la duree moyenne de la procedure de calcul ?

6. D’apres les resultats precedents, s’agit-il d’une distribution symetrique ? Justifiez votre reponse.

B-8

Exercice 4 (15 points).

Une petite usine de pates basee en Italie emploie quatre facteurs de production pour l’elaborationde ses produits : ble, energie, main d’oeuvre et capital. La table suivante contient l’indice de prixelementaire pour 2007 en base 2005, Ii(2007/2005), et la part dans le budget total de la production,wi,2007, pour chaque facteur en 2007.

i Facteur de production wi,2007 Ii(2007/2005)1 Energie 0.18 1.14042 Main d’oeuvre 0.09 1.03273 Ble 0.45 1.45964 Capital 0.28 1.0781

1. Calculer le taux d’inflation du ble pour l’annee 2007 par rapport a 2005.

2. Le prix du capital a augmente de 3% entre 2005 et 2006. Quel est l’indice elementaire de cefacteur en 2007 par rapport a 2006 ?

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3. Trouver l’indice de Paasche PP (2007/2005).

4. Avec l’information de la table, est-il possible de calculer l’indice de Fisher PF (2007/2005) ?Justifier. Dans l’affirmative, calculer cet indice.

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