Examen de mcanique du bton

Licence L3 - Sciences pour l'Ingnieur - Gnie civil.

Universit Paul Sabatier - Toulouse 3

Session 1 - 2011

Erick Ringot

Dure 2h - documents autoriss.

Le sujet comporte de nombreuses indications permettant au candidat de progresser en admettant les rsultats

intermdiaires pour acquis. La qualit de la rdaction (organisation du devoir, propret, langue Franaise)

sera prise en compte dans l'valuation du travail

Introduction

Figure 0.0.1 dispositif exprimental.

On tudie un dispositif exprimental dans le-

quel une prouvette de bton est soumise une

contrainte permanente de compression. Ledit dis-

positif comporte deux platines en acier inox enser-

rant l'prouvette cylindrique. Une vis de serrage

en acier spcial traverse le tout et forme un ti-

rant de prcontrainte. En partie suprieure, le ti-

rant s'paule sur un cne lastique formant ressort.

L'ensemble est dcrit par la vue en coupe 0.0.1.

Pour les besoins de la modlisation le cne se voit

substitu par un ressort tel que reprsent sur la

gure 0.0.2.

Tout se passe comme si, entre les deux crous, deux

ensembles fonctionnaient en parallle : d'un cot le

barreau d'acier de l'autre le ressort en srie avec le

bton.

Les hypothses et paramtres se dclinent comme suit :

0 Platines inox : elles sont rputes indformables, leur paisseur vaut e = 20mm. Les paisseurs desrondelles ventuelles sont ignores dans les calculs suivants.

0 Ressort : sa raideur est K = 200 kN/mm (il faut une force de 20 tonnes pour diminuer sa hauteur de1mm) et sa longueur au repos (force nulle) est gale h = 60mm (notation h minuscule). On notera h sarduction de hauteur.

0 Bton : c'est un matriau viscolastique de type B25, fck = 25MPa, caractris par sa loi de relaxationR (t) = Ev + (Ei Ev) et o Ei = 25GPa est le module lastique instantan, Ev = 10GPa est le moduledir. La base de temps vaut 1/(50 j) (le temps t est galement exprim en jour j de sorte que le produitt soit adimensionnel). La fonction de uage est note J (t).

0 prouvette : c'est un cylindre 1632 vid autour de son axe pour permettre le passage du tirant. Lediamtre extrieur est donc e = 160mm, le diamtre intrieur de l'videment est i = 40mm, la hauteurinitiale vaut H = 320mm (notation H majuscule). On admettra que la traction du barreau communique

1

2Figure 0.0.2 dispositif exprimental.

une compression uniforme dans le bton d'intensit c et de dformation c. A noter que les dformations deraccourcissement sont prises positivement dans le problme, ainsi que les contraintes de compression. L'aire

de la section de bton perpendiculairement l'axe de l'prouvette est note B.

0 Tirant : c'est un barreau en acier spcial de nuance 100Cr6 haute limite lastique : e = 2 000MPadont le diamtre vaut = 24mm ; il est let ses deux extrmits et le pas de vis (distance parcourue parl'crou en un tour de cl) est gal p = 0, 5mm. Dans tout le problme, on fera l'hypothse que le barreau ensollicitation de traction pure reste purement lastique (on fera abstraction des eets de relaxation de l'acier)

de module de Young Es = 200GPa. On dsignera par A l'aire de la section d'acier ; la force de prcontrainteest note F , la contrainte de traction est note s et la dformation axiale associe s .

0.1 Comportement instantan du systme

Dans cette partie on s'intresse aux dformations et contraintes instantanes en considrant l'acier et le

bton comme des matriaux lastiques. On adopte pour module du bton son module instantan Ei.

Les quantits initiales, au temps t = 0 , juste aprs le serrage de l'crou, sont notes avec un exposant 0 .

Au dbut de l'exprience, les crous sont au contact des platines, le ressort est au repos. La longueur initiale

au repos du barreau d'acier entre crous est gale H + h+ 2 e.L'oprateur imprime N = 4 tours de cl mcanique l'crou suprieur ; cela entrane plusieurs consquences :

1. La longueur utile de la barre se rduit de la quantit N p ( chaque tour de cl l'crou progressede la quantit p).

0.2. COMPORTEMENT DIFFR 3

2. Le ressort se contracte d'une quantit h

3. Dans le mme temps, du fait de son lasticit, la barre s'allonge avec une dformation 0s rpartie lelong de sa longueur utile .

4. Le bton se contracte instantanment avec une dformation 0c rpartie le long de la hauteur H del'prouvette.

0.1.1 compatibilit des dformations

Par tude cinmatique des dformations des dirents composants du modle, en particulier de la distance

entre crous, dmontrer la relation suivante :

[H + h+ 2eN p] (1 + 0s) = (h h0) + 2e+H (1 0c)0.1.2 tude statique

Montrer que la force de prcontrainte F 0 dans le tirant est la mme dans le barreau, dans le ressort et dansl'prouvette.

Rappel : les forces de traction sont comptes positivement dans l'acier ; les forces de compression sont comp-

tes positivement dans le ressort et dans le bton.

0.1.3 comportement lastique

crire les relations force-dplacement (dans le ressort) ou contrainte-dformation (dans le bton et dans

l'acier) compte tenu de leurs caractristiques lastiques.

0.1.4 valeur de la force de prcontrainte

Par combinaison des expressions obtenues prcdemment, montrer que la force de prcontrainte initiale

obtenue dans le systme est lie au nombre de tours de cl par la relation suivante :

F 0 =N p

H+h+2eN pEsA

+ 1K +HEiB

0.1.5 application numrique

Calculer les grandeurs suivantes : A, B en mm2. On pose C = HEs 1H+h+2eNp

EsA+ 1K; calculer C en mm2.

On pose = CEsBEi (adim) ; calculer . Montrer alors que :

F 0 =N pH

B Ei 1 +

Calculer F 0 en kN . Exprimer et calculer les dformations dans le barreau d'acier et dans le bton.

Exprimer et calculer les contraintes dans l'acier et le bton et comparer aux valeurs limites donnes dans

l'nonc.

0.2 comportement dir

On considre maintenant le bton en tant que matriau visco-lastique sans prendre en compte son caractre

vieillissant. La loi de comportement qui prvaut dans cette partie est caractrise par la fonction de relaxation

R (t).

On cherche tablir comment force de prcontrainte F (t) volue dans le temps (ainsi, qu'accessoirement lesautres grandeurs physiques telles que contraintes et dformations).

40.2.1 Enonc formel de la relation contrainte-dformation dans le bton

Le bton tant soumis une histoire de dformation c (t), quelle est sa rponse en contrainte c (t) ? Quelle est la transforme de Laplace-Carson (appele image ) R+ (p) de la fonction de relaxationR (t) donne dans l'nonc ? Quelle est l'image de la fonction de uage J+ (p) ? A quoi la fonction de uage J (t) sert-elle ?

0.2.2 Relation F+ - N

A l'instar de ce qui a t fait dans la partie prcdente (0.1.4), on cherche tablir la relation entre la force

de prcontrainte et le nombre de tours de cl mais cette fois, en prenant en compte le caractre visqueux du

bton. La force F varie donc au cours du temps.

L'tude cinmatique mene en 0.1.1 restant valable, la compatibilit des dplacements [H + h+ 2eN p] (1 + s) =(h h) + 2e+H (1 c) est galement vraie chaque instant. Montrer la relation suivante :[

H + h+ 2eNpEsA

+1

K

]F +

H

BJ F = Np

Par application de la transformation de Laplace-Carson et par l'introduction de la notation C djvoque, en dduire que :

F+ =Np

H 11

EsC+ 1BR+

0.2.3 Expression de F (t)

Introduire les nouvelles notations suivantes : = EvEi et = EvEi

+

1+ , en dduire que :

F+ = F 0[

p

p+ +

p+

] Dire ce que vaut la fonction F (t) ? en tracer la courbe. Quelle en est la valeur asymptotique F ?

0.2.4 Application numrique

Dterminer les valeurs des quantits , et F.

transforme de Laplace-Carson de fonctions standard :

Fonction Transforme Fonction Transforme

f(t) f+(p) t 1p

.f(t) .f+(p) tn n!pn

DfDt

p.f+(p) eat pp+a

H(t) 1 1 eat ap+a

H(t ) ep cost p2p2+2

f(t ) f+(p).ep sint pp2+2

si f(t) = 0 pour t 0 f(t).eat pp+a

f+(a+ p)(DfDt g) (t) f+(p).g+(p) (t)m.f(t) p dm

dpm

(f+(p)p

)

Comportement instantan du systmecompatibilit des dformationstude statiquecomportement lastiquevaleur de la force de prcontrainteapplication numrique

comportement diffrEnonc formel de la relation contrainte-dformation dans le btonRelation F+ - NExpression de F(t)Application numrique