Exercice 1 - ranierig.free.frranierig.free.fr › Pages › ECEPremiere › DiapExoLoiBinomiale.pdf · Exercice 1 : Chaque matin, un automobiliste renconte pres de chez lui un feux

Exercice 1 :

Chaque matin, un automobiliste renconte pres de chez lui un feux tricolore dont la probabilitequ’il soit vert est de0, 4. C’est, chaque matin, uneepreuve de Bernoulli avec :

• ≪ le feux est vert≫ (succesS), ayant une probabilite dep = 0, 4.

• ≪ le feux n’est pas vert≫ (echecS ), ayant une probabilite deq = 1− p = 0, 6.

Questions :

1 Representer la situation par un arbre pondere.

1er mai 2016 1 / 9

Exercice 1 :




Questions :


1er mai 2016 1 / 9

Exercice 1 :




Questions :


1er mai 2016 1 / 9

2 Justifier qu’il s’agit d’un schema de Bernoulli.

1er mai 2016 2 / 9


3 Quelle est la probabilite que les trois feux soient vert lors du passage del’automobiliste ?

1er mai 2016 2 / 9



4 Quelle est la probabilite que les deux feux soient vert lors du passage del’automobiliste ?

1er mai 2016 2 / 9




5 Soit X le nombre de feux vert, quelles sont les valeurs possibles de X ?

1er mai 2016 2 / 9





6 Completer le tableau suivant :

Nombre de feux vert rencontresk = 0 1 2 3

Nombre de chemins realisant cetevenement 1 3 3 1

P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064

1er mai 2016 2 / 9








P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064

Remarque :ce tableau s’appelle laloi de probabilit e de X.

1er mai 2016 2 / 9








P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064

Remarque :ce tableau s’appelle laloi de probabilit e de X.

1er mai 2016 2 / 9

suite de l’exercice 1 :



P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064

3 Quelle est la probabilite que l’automobiliste rencontreau moins un feu vert ?

1er mai 2016 3 / 9




P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064


4 Quelle est la probabilite que l’automobiliste rencontreau plus un feu vert ?

1er mai 2016 3 / 9




P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064



5 Quelle est la probabilite que l’automobiliste rencontreau moins un feu rouge ouorange ?

1er mai 2016 3 / 9




P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064




Remarque :Si on an epreuves de Bernoulli, le nombre de chemins pour obtenirk succes estnote

(

n

k

)

.

1er mai 2016 3 / 9




P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064





(

n

k

)

.Il est donne par le triangle de Pascal.

1er mai 2016 3 / 9




P (X = k) = 0,216 0,432 0,288 0,064





(

n

k

)

.Il est donne par le triangle de Pascal.

1er mai 2016 3 / 9

Exercice 2 :

Rappel : Si on an epreuves de Bernoulli, le nombre de chemins pour obtenirk succes est note(

n

k

)

. Il s’appelle lecoefficient binomiale dek parmi n.

1 En utilisant le triangle de Pascal, determiner les valeurs de(

2

1

)

;

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.

2 Determiner la valeur de(

6

2

)

.

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.

3 Retrouver ces resultatsa l’aide de la calculatrice. (touche nCr)

Sur TI : taper 6 touche Math→ PRB → nCr 2

Sur Casio : taper dans le menu Run1, 6 touche optn→ PROB→ nCr 2

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.




4 Utiliser la calculatrice pour calculer les valeurs de(

5

5

)

;

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.





5

5

)

;

(

7

3

)

;

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.





5

5

)

;

(

7

3

)

;

(

24

12

)

;

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.





5

5

)

;

(

7

3

)

;

(

24

12

)

;

(

12

4

)

.

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 2 :


n

k

)



2

1

)

;(

3

2

)

;(

4

2

)

;(

4

4

)

.


6

2

)

.





5

5

)

;

(

7

3

)

;

(

24

12

)

;

(

12

4

)

.

1er mai 2016 4 / 9

Exercice 3 :

On donneX ∼ B(5; 0, 2).Pour calculer la loi de probabilite deX, on applique la formule du cours :P (X = k) =

(

n

k

)

pk(1− p)n−k

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k

1 Quelles sont ici les valeurs den et dep ?

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k


2 Calculer la valeur deP (X = 3).

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k




1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k




4 Calculer la valeur deP (X ≥ 1).

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k





5 Donner la loi de X.

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 3 :


(

n

k

)

pk(1− p)n−k





5 Donner la loi de X.

1er mai 2016 5 / 9

Exercice 4 :evenements contraires

Rappel : l’evenement contraire d’unevenement A se noteA.Quels sont lesevenements contraires de :

1 (X = 3) : (X = 3) =

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

4 (X > 7) :

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

4 (X > 7) :

5 (X ≥ 7) :

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

4 (X > 7) :

5 (X ≥ 7) :

6 (2 ≤ X ≤ 7) :

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

4 (X > 7) :

5 (X ≥ 7) :

6 (2 ≤ X ≤ 7) :

7 (X < 2) ∪ (X ≥ 7) :

1er mai 2016 6 / 9



1 (X = 3) : (X = 3) =

2 (X < 5) : (X < 5) =

3 (X ≥ 5) :

4 (X > 7) :

5 (X ≥ 7) :

6 (2 ≤ X ≤ 7) :

7 (X < 2) ∪ (X ≥ 7) :

Remarque : l’ evenement(X ≥ 1) peut s’ecrire aussi comme une reunion d’evenementsdisjoints (qui ne se realise pas en meme temps),(X ≥ 1) = (X = 1) ∪ (X = 2) ∪ (X = 3)... ∪ (X = n).

1er mai 2016 6 / 9

Exercice 5 :

On donne le tableau suivant pour l’usage de la calculatrice ou d’un tableur pour de plus grandevaleur den etk :

Casio TI Tableur

Menustat, Dist→ BINM 2nd→ distrib liste des fonctions

P (X = k) InstructionBpdbinomFdp ou

binompdf(n ;p,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;0)

probabilite cumuleeP (X ≤ k) = InstructionBcd

binomFrepoubinomcdp(n ;p,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;1)

1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur






On donneX ∼ B(100; 0, 7). Utiliser la calculatrice pour calculer :

1 Que valent les parametres de cette loin etp ?

1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur









1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur










1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur










4 Calculer la valeur deP (X ≤ 75).

1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur












1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur












6 Calculer la valeur deP (71 ≤ X ≤ 75).

1er mai 2016 7 / 9

Exercice 5 :


Casio TI Tableur












6 Calculer la valeur deP (71 ≤ X ≤ 75).

1er mai 2016 7 / 9

Exercice 6 :

Representer graphiquement la loiB(5; 0, 2) par un diagramme en baton. (Commencer par fairele tableau de la loi de probabilite)

1er mai 2016 8 / 9

Exercice 6 :

Representer graphiquement la loiB(5; 0, 2) par un diagramme en baton. (Commencer par fairele tableau de la loi de probabilite)k = 0 1 2 3 4 5

P (X = k) =

1er mai 2016 8 / 9

Exercice 6 :


P (X = k) = 0,328 0,41 0,205 0,051 0,006 3, 2× 10−4

1er mai 2016 8 / 9

Exercice 6 :


P (X = k) = 0,328 0,41 0,205 0,051 0,006 3, 2× 10−4

+

+0.33

+

+0.41

+

+0.2

+

+0.05

++0.01 ++0k

p(X = k)

0 1 2 3 4 5

1er mai 2016 8 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).

1 CalculerE(X) etσ(X).

1er mai 2016 9 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).


2 Calculer la valeur deP (X ≤ E(X)).

1er mai 2016 9 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).



3 Calculer la valeur deP (X ≥ E(X)).

1er mai 2016 9 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).




4 Calculer la valeur deP (E(X)− σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)).

1er mai 2016 9 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).





5 Quel pourcentage de valeurs de X se situe dans l’intervalle[E(X)− σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)] ?

1er mai 2016 9 / 9

Exercice 7 :

On donneX ∼ B(30; 0, 4).





5 Quel pourcentage de valeurs de X se situe dans l’intervalle[E(X)− σ(X) ≤ X ≤ E(X) + σ(X)] ?

1er mai 2016 9 / 9

Documents

Exercice 1 - ranierig.free.frranierig.free.fr › Pages › ECEPremiere › DiapExoLoiBinomiale.pdf · Exercice 1 : Chaque matin, un automobiliste renconte pres de chez lui un feux