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Exercice 1 :
Corrigé :
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Exercice 2 :( )nu et ( )nv sont les suites définies par 00 =u , 20 =v et pour tout entier
naturel n , 4
131
+=+n
n
uu et
4
131
+=+n
n
vv
1. Montrer que nn vu − est géométrique, quelle est sa limite
2. montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , nn vu ≤≤1
3. montrer que ( )nu et ( )nv sont adjacentes, en déduire leurs limites.
Corrigé :
1. ( )nnnn
nn vuvu
vu −=+−+=− ++ 4
3
4
13
4
1311 donc nn vu − est géométrique de raison
] [114
3;q −∈= donc nn vu − a pour limite 0.
2. montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , nn vu ≤≤1
On note nP nn vu ≤≤1 0P est vraie car 210 00 =≤≤= vu
soit Nn∈ et supposons nP vraie
alors 14
13
4
131 =+≤+=+
nn
uu et 1
4
13
4
131 =+≥+=+
nn
vv donc 1+nP est vraie.
3. montrer que ( )nu et ( )nv sont adjacentes, en déduire leurs limites.
04
1
4
131 ≥+−=−+=−+
nn
nnn
uu
uuu donc nu est croissante
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de même nv est décroissante et nn vu − a pour limite 0 donc ( )nu et ( )nv sont adjacentes,
elles convergent vers la même limite l solution de 4
13 += ll , donc 1=l
Exercice 3 : ( )nu est la suite définie par 230 /u = et pour tout entier naturel n par
2221 +−=+ nnn uuu .
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n , 21 ≤≤ nu
2. Démontrer que pour tout entiern , ( )( )121 −−=−+ nnnn uuuu
3. déduire des deux questions précédentes que ( )nu converge, et calculer sa limite.
Corrigé : 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n , 21 ≤≤ nu
On note nP : 21 ≤≤ nu 0P est vraie car 2231 0 ≤=≤ /u
soit Nn∈ et supposons nP vraie
notons ( ) 1122 2 +−=+−= xx²x)x(f , f est strictement croissante sur [ ]21;
et 21 ≤≤ nu donc 2211 1 =≤=≤= + )(fu)u(f)(f nn donc 21 1 ≤≤ +nu
2. Démontrer que pour tout entiern , ( )( )121 −−=−+ nnnn uuuu
( )( )122322 221 −−=+−=−+−=−+ nnnnnnnnn uuuuuuuuu
3. déduire des deux questions précédentes que ( )nu converge, et calculer sa limite.
( )( )121 −−=−+ nnnn uuuu et 21 ≤≤ nu donc 01 ≤−+ nn uu ,donc ( )nu est décroissante
et ( )nu est minorée par 0, donc ( )nu converge vers l solution de 22 +−= l²ll
⇔ 023 =+− l²l ⇔ ( )( ) 012 =−− ll ⇔ 20 == loul
or 230 /u = et ( )nu est décroissante donc 23/un ≤ donc 23/l ≤ , donc 0=l
Exercice 4 :
1°) Soit g la fonction définie surRpar 234 23 −+= xx)x(g
a) Etudier les variations de g surR
Réponse g est dérivable sur R (polynôme)
et pour tout réel x , )x(xxx)x('g 126612 2 +=+=
Les théorèmes du signe du trinôme et des limites en l’infini des fonctions polynômes permettent alors d’obtenir le tableau de variations suivant : x
∞− 2
1− 0 ∞+
)x('g + 0 - 0 +
g
4
7− ∞+
∞− -2 b) Montrer que l’équation 0=)x(g admet une unique solution a sur R
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g est strictement croissante sur
−∞−2
1; , donc pour tout
2
1−≤x , 04
7 <−≤)x(g
donc 0=)x(g , n’admet pas de solution sur
−∞−2
1;
g est strictement décroissante sur
− 02
1; , donc pour tout
−∈ 02
1;x , ,
04
7
2
1 <−=
−≤ g)x(g ,donc 0=)x(g , n’admet pas de solution sur
− 02
1;
g est continue et strictement croissante sur[ [+∞;0 , 20
−=→
)x(glimx
, +∞=+∞→
)x(glimx
et [ [+∞−∈ ;20 , le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure alors que
l’équation 0=)x(g , admet une unique solution , a sur [ [+∞;0
Conséquence : 0=)x(g admet une unique solution a sur R, de plus a ∈ [ [+∞;0
c) Montrer que 610600 ,a, ≤≤ Réponse :
=),(g 600 0560 <− . , 0240610 >≈ .),(g , le corollaire du TVI appliqué à l’intervalle
[ ]610600 ,;, assure alors que l’équation 0=)x(g , admet une unique solution , a sur
[ ]610600 ,;, donc 610600 ,a, ≤≤
d) Déterminer le signe de g sur R
Réponse : nous avons vu à la question 1°) b) (résolution de 0=)x(g ), que
pour tout 2
1−≤x , 04
7 <−≤)x(g
et pour tout
−∈ 02
1;x , 0
4
7
2
1 <−=
−≤ g)x(g
donc pour tout ] ]0;x ∞−∈ 0<)x(g
d’autre part puisque g est strictement croissante sur [ [+∞;0 , [ [+∞∈ ;a 0 et 0=)a(g
donc pour tout [ [a;x 0∈ , 0=< )a(g)x(g ,et pour tout ] [+∞∈ ;ax )x(g)a(g <=0
Conséquence pour tout ] [a;x ∞−∈ , 0<)x(g et pour tout ] [+∞∈ :ax , 0>)x(g
2°) On considère la fonction f définie par 1
123 +
+=x
x)x(f
a) Justifier que f est définie et dérivable sur { }1−−R
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Réponse :
la fonction 13 += x)x(h est strictement croissante sur R et 01 =− )(h
donc pour tout rée 1−<x , 0<)x(h et pour tout réel 1−>x , 0>)x(h
13 += x)x(h ne s’annulant qu’en 1−=x , f est alors définie sur { }1−−R
f est une fraction rationnelle définie sur { }1−−R , est alors dérivable sur { }1−−R .
b) Déterminer les limites de f en ∞− , ∞+ et 1−
Réponse : le théorème des limites en l’infini d’une fonction rationnelle assure que
02 ==
−∞→−∞→ ²xlim)x(flimxx
et 02 ==
+∞→+∞→ ²xlim)x(flimxx
Etude de la limite en 1− par valeurs supérieures.
013
1=+
+−→)x(lim
x, et 013 >+x pour 1−>x
et 1121
−=++−→
)x(limx
, le théorème du quotient des limites assure alors que
−∞=+−→
)x(flimx 1
et de manière analogue +∞=−−→
)x(flimx 1
c) Montrer que pour tout réel xdistinct de 1− , )x('f a le signe contraire de )x(g
Réponse : f est dérivable sur { }1−−R et pour tout xdistinct de 1−
( )( ) ( )2323
3
11
31212
+−=
++−+=
x
)x(g
x
²)x)(x(x)x('f
donc )x('f a le signe contraire de )x(g
d) tracer le tableau de variations de f
Réponse : x ∞− -1 a ∞+
)x('f + ║ + 0 -
f
∞+ ║ )a(f
0 ║ ∞− 0 3°) C désigne la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
Déterminer une équation de la tangente T à Cau point d’abscisse 0 Réponse )(fx)('fy 00 += 20 =)('f et 10 =)(f donc 12 += xy
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Exercice 5 : pour tout entier naturel non pose nn
nu
2
10
= , on définit ainsi une suite ( ) Nnnu ∈
1. Prouver, pour tout n *N∈ , l’équivalence suivante : nn u,u 9501 ≤+ ⇔ 911
110
,n
≤
+
Corrigé :Soit n *N∈ , nn u,u 9501 ≤+ ⇔ nn
n,
)n(
2950
2
1 10
1
10
×≤++ ⇔
n
n
,n
)n(
2
2950
1 1
10
10 +
×≤+ ⇔ 29501
10
×≤
+,
n
n ⇔ 91
11
10
,n
≤
+ .
2.On considère la fonction f définie sur [ [+∞;1 par
101
1
+=x
)x(f
a. étudier le sens de variation et la limite en ∞+ de la fonction f
Corrigé : f est une fraction rationnelle définie, donc dérivable, sur [ [+∞;1
Posons pour tout ∈x [ [+∞;1 ,
+=x
)x(u1
1 , alors 10)x(u)x(f =
L’expression de la dérivée est alors pour tout ∈x [ [+∞;1 , 9
9 11
1010
+−=××=x²x
)x(u)x('u)x('f < 0 ,
f est strictement décroissante sur [ [+∞;1 .
=
=
+
→
+∞→
1
11
1
10
1xlim
xlim
x
x le théorème de composition des limites assure alors que 1=+∞→
)x(flimx
b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [ [+∞;1 un unique nombre réel α tel que 91,)(f =α
Corrigé : f est continue et strictement décroissante sur [ [+∞;1 , 10
12=
→)x(flim
x
1=+∞→
)x(flimx
, et 102911 ≤≤ , , le corollaire du TVI assure alors qu’il existe un unique
nombre réel α dans l’intervalle [ [+∞;1 tel que 91,)(f =α
c. Déterminer l’entier naturel 0n tel que 00 1 nn ≤≤− α
Corrigé : une programmation du calcul de )n(f montre que )(f,)(f 169115 ≤≤
donc 160 =n
d. Montrer que pour tout entier naturel 16≥n on a 911
110
,n
≤
+
Corrigé : si n est un entier naturel 16≥n , f étant strictement décroissante sur
[ [+∞;1 et n≤≤≤ 161 α alors )(f)n(f α≤ , c'est-à-dire 911
110
,n
≤
+
3. a. Déterminer le sens de variation de la suite ( )nu à partir du rang 16
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Corrigé :d’après le 1°) 911
110
,n
≤
+ ⇔ nn u,u 9501 ≤+ , donc à partir du rang 16,
nnn uu,u ≤≤+ 9501 , à partir du rang 16 ( )nu est décroissante.
3.b. Que peut-on en déduire pour la suite ( )nu
Corrigé : ( )nu est décroissante à partir du rang 16 et minorée par 0, donc convergente.
4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver que, pour tout entier naturel 16≥n ,
16169500 u,u n
n−≤≤ . En déduire la limite de la suite ( )nu
Corrigé : Remarque pour tout Nn∈ , 02
10
≥=nn
nu .
notons pour tout entier naturel 16≥n , nP : « 16169500 u,u n
n−≤≤ »
Initialisation 161616
16 9500 u,u −≤≤ donc 16P est vraie.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 16, supposons nP vraie, montrons que 1+nP est
vraie nnn
n
nnn un
un
)n(n
n
)n()n(u ×
+×=××+=××+=+= +++
10
10
1010
101
10
1
10
1
1122
1
2
2
2
1
2
1
Donc nn un
u ×
+×=+
10
1
112 or 16≥n donc 950
112
10
,n
≤
+× donc
nn u,u ×≤+ 95201 et HR donc 1616950 u,u n
n−≤ , donc 16
1611 950 u,u )n(
n−+
+ ≤ , 1+nP est vraie
nP est héréditaire à partir de 16=n et 16P est vraie donc nP vraie, pour tout 16≥n
pour tout entier naturel 16≥n , 16169500 u,u n
n−≤≤ posons
0=nv et 16
1616
16
950950950
,
u,u,w nn
n ×== − puisque nn
nn
wlimvlim+∞→+∞→
== 0
Le théorème des gendarmes assure alors que 0=+∞→ n
nulim
Exercice 6 : f est la fonction définie par 23 +−= x²x)x(f .
On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal ( )j,i;Orr
Et ∆ la droite d’équation 2
3=x
1. Déterminer l’ensemble de définition fD de f
Remarque : )x(u)x(f = , avec 23 +−= x²x)x(u , or )x(uxa est définie pour
tout réel x tel que 0≥)x(u , par conséquent si Rx∈ ,
fDx∈ 023 ≥+−⇔ x²x , 021 ≥−−⇔ )x)(x( ] ] [ [+∞∪∞−∈⇔ ;;x 21 ,
D’où ] ] [ [+∞∪∞−= ;;D f 21
2. Montrer que ∆ est axe de symétrie de C Pour montrer que ∆ , d’équation ax = est axe de symétrie de C Il faut prouver que : « Pour tout réel fDx∈ , fDxa ∈−2 et ( ) )x(fxaf =−2 »
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ici 2
3=a soit fDx∈ , montrons tout d’abord que fDx∈−3
Puisque fDx∈ , alors ] ]1;x ∞−∈ ou [ [+∞∈ ;x 2
Donc [ [+∞∈− ;x 23 ou ] ]13 ;x ∞−∈− , donc fDx∈−3
Conclusion : si fDx∈ alors fDx∈−3 .
montrons ensuite que : si fDx∈ alors ( ) )x(fxf =−3 .
Soit fDx∈ , ( ) ( ) ( ) )x(fx²xxxxf =+−=+−×−−=− 2323333 2
Et par conséquent ∆ est axe de symétrie de C
3. Etudier la dérivabilité de f en 1 : Etudions
−−
<→ 1
1
1 x
)(f)x(flimx
. Pour 1<x ,
( )( ) x
x
x
)x)(x(
x
)x)(x(
x
x²x
x
)(f)x(f
−−−=
−−
−−=−
−−=−
+−=−−
1
2
1
21
1
21
1
23
1
12
De plus
+∞=
+∞=
−−
+∞→
→<
xlim
x
xlim
x
x 1
2
1 et le théorème de composition des limites assure alors que
+∞=−−
<→ x
xlimx 1
2
1
, et par conséquent −∞=
−−
<→ 1
1
1 x
)(f)x(flimx
.
Donc f n’est pas dérivable en 1=x ( on dit que Ca une demi tangente verticale en 1=x )
4 Etudier les variations de f sur
+∞;2
3
puisque ] ] [ [+∞∪∞−= ;;D f 21 , l’étude se limite donc à [ [+∞;2
la fonction )x(uxa étant dérivable sur tout intervalle tel que 0>)x(u , f est donc
dérivable sur ] [+∞;2 , et sur cet intervalle 232
32
2 +−−==
x²x
x
)x(u
)x('u)x('f
une étude analogue au 3°) montre que f n’est pas dérivable en 2=x , et qu’au point
d’abscisse 2, Ca une demi-tangente est verticale. Sur ] [+∞;2 , 'f est du signe de 32 −x donc strictement positive, f est strictement
croissante sur [ [+∞;2 .
5. Déterminer la limite de f en ∞+
pour 2>x , ²xx
x²xx
²xx²x)x(f23
123
123 +−=
+−=+−=
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puisque 123
1 =
+−
+∞→ ²xxlimx
et +∞=+∞→
xlimx
, le théorème du produit des limites assure
alors que +∞=+∞→
)x(flimx
6. Montrer que la droite d d’équation 2
3−= xy , est asymptote oblique à C en ∞+ .
pour 2>x , posons 2
3+−= x)x(f)x(g
Etudions )x(glimx +∞→
:
pour 2>x , 02
3 >−x , et 023 ≥+− x²x , donc 023
23 ≠−++− xx²x
par conséquent :
23
23
41
23
23
23
23
23
23
2
−++−
−=
−++−
−−+−=+−+−=
xx²xxx²x
xx²xxx²x)x(g
et par conséquent 0
2
323
41
=
−++−
−=
+∞→+∞→xx²x
lim)x(glimxx
La droite d d’équation 2
3−= xy , est donc asymptote oblique à C en ∞+ .
7. Etudier la position relative de C et de d Elle est donnée par le signe de )x(g , qui est négatif, donc Cest au dessous de d
8. Tracer C ,∆ ,d sur un même graphique.
C
d
Delta
2 3 4 5 6-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y
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Exercice 7 :
Corrigé :
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Exercice 8 :Soit f la fonction définie sur Rpar 122
++−= ²xx
)x(f , on note C la
courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
1°) Déterminer la limite de f en ∞−
2°) Montrer que la droite ∆ d’équation xy2
1= est asymptote à Cen ∞+
3°) Etudier la position relative de Cet de ∆ Corrigé : 1°) Déterminer la limite de f en ∞−
Réponse : ( )
+∞=
+∞==+
+∞→
−∞→−∞→
xlim
²xlim²xlim
x
xx1
, le théorème de composition des limites assure
alors que +∞=+−∞→
1²xlimx
, de plus +∞=
−−∞→ 2
xlimx
le théorème de la somme des limites assure alors que +∞=
++−−∞→
122
²xx
limx
et par conséquent +∞=−∞→
)x(flimx
2°) Montrer que la droite ∆ d’équation xy2
1= est asymptote à Cen ∞+
Réponse : Pour Rx∈ posons 122
1 ++−=−= ²xxx)x(f)x(g
Etudions la limite de )x(g en ∞+ .
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La forme est indéterminée, multiplions par la quantité conjuguée.
Pour 0≥x , 01212 >≥++ ²xx , donc 012 ≠++ ²xx
Par conséquent )²xx()²xx(
)²xx()²xx()x(g
12
12
12
1212
++=
++++×++−=
Or ( ) +∞=+++∞→
12²xxlimx
, par conséquent 0=+∞→
)x(glimx
Donc 02
1 =
−+∞→
x)x(flimx
, la droite ∆ d’équation xy2
1= est asymptote à Cen ∞+
3°) Etudier la position relative de Cet de ∆ Réponse cette position relative découle du signe de )x(g
Pour 0≥x , 012
12 >++
=)²xx(
)x(g , donc Cest au dessus de ∆
Pour 0<x 012 >++−= )²xx()x(g , donc Cest au dessus de ∆
