Licence 3 — Mathématiques 2019–2020

Algèbre linéaire 3

Examen (première session) : durée 2 heures

Les documents et calculatrices sont interdits. Les téléphones portables doivent être éteints et rangésdans les sacs. Toutes les réponses devront être dûment justifiées.

Exercice 1Soient K un corps, n æ 1 un entier et A 2Mn (K ).1 Soit P 2 K [X ] un polynôme unitaire de degré d æ 1. Justifier que la matrice compagnon

CP est de rang d lorsque P (0) 6= 0 et de rang d �1 sinon.

2 Soit P1|P2| . . . |Pr la suite des invariants de similitude de A. Montrer que

rg(A) +Card{i 2 [[1, r ]] : Pi (0) = 0}= n .

Exercice 2Soit A une matrice symétrique réelle de taille n æ 1. On rappelle que A est dite définie positive

lorsque pour tout X 2 Mn ,1(R) non nul on at X AX > 0. On note S

++n (R) l’ensemble des

matrices symétriques définies positives de taille n .

1 Soit A 2S ++n (R).a Montrer que les valeurs propres de A sont des nombres réels strictement positifs.

b Justifier que le déterminant de A est strictement positif.

2 Soit A 2S ++n (R). Pour k 2 [[1, n ]], on note Ak le bloc supérieur gauche de A de taille k de

sorte que si A = (ai j )i , j2[[1,n ]] alors Ak = (ai j )i , j2[[1,k ]].

a Montrer que Ak est dansS++

k (R).b Justifier que det(Ak )> 0.

3 Soit A 2Mn (R) une matrice symétrique. On écrit

A =✓

An�1 Bt B an ,n

◆

où B 2Mn�1,1(R) est donné par

B =

0@

a1,n...

an�1,n

1A .

On note C1, . . . , Cn�1 2Mn�1,1(R) les colonnes de la matrice An�1 et on suppose det(An�1) 6= 0.

1/2 TSVP⇡

a Montrer qu’il existe �1, . . . ,�n�1 2R tels que B =Pn�1

i=1�i Ci .

b On pose

⇤=

0@�1

.

.

.

�n�1

1A

et

P := In +✓

0 �⇤0 0

◆

Montrer quet PAP est diagonale par blocs.

c Montrer que si det(Ak )> 0 pour tout k 2 [[1, n ]] alors A est symétrique définie positive.

(On pourra raisonner par récurrence).

Exercice 3On se donne une matrice A 2M6(R) de polynôme minimalµA = (X 2+1)(X �2)2. On suppose

que A a un seul bloc de Jordan dansM6(C) pour la valeur propre 2. Déterminer les invariants

de similitude de A et une réduite de Jordan de A dansM6(C).

Exercice 4On admet que pour tout S 2S ++n (R) il existe une et une seule matrice R 2 S++n (R) telle que

R 2 = S . Montrer que pour tout P 2GLn (R) il existe un et un seul couple (O ,S ) 2 On (R)⇥S ++n (R)tel que P =OS .

Exercice 5Soient (E , h�|�i) un espace euclidien et G un sous-groupe fini de GL(E ).

1 Montrer que l’application

(x , y ) 7! hx |y iG :=1

Card(G )

X

g2G

hg (x )|g (y )i

est un produit scalaire sur E .

2 Montrer que pour tout g 2G et tout x , y 2 E , on a

hg (x )|g (y )iG = hx |y iG .

3 Montrer qu’il existe u 2GL(E ) tel que pour tout x , y 2 E

hu (x )|u (y )iG = hx |y i.

4 Soit H := {h 2 GL(E ) : uh u�12 G }. Montrer que H est un sous-groupe du groupe

orthogonal O (E ) de E et que G = u�1H u .

2/2

Exercice 117 Soit P Xd ad XD ai un polynômeunitaire de degré de 1

La matrice compagnonassociéeest

a

00f1 ad i

IdLa matrice Id i est unesousmatriceextraiteinversible deCp le rangdeCpestdonc

d 1 Par ailleurs detCp C 1Dao Ainsi si a 1 0 la matriceCpestde rangd et si

ao 0 elleestderangd 1

27 Notons P I 1Pr la suite desinvariantsdesimilitudede AEMn K Lethéorèmede

réductiondeFrobeniusassureque A estsemblableà lamatrice diagonale parblocs

iiion a donc rgCA Ê rgCpi La question 17 montreque

TÉrgccp N Card iCEI.net Pi 0

On endéduitquen rgA Card iCII.nD.P.CO O

Exercice21 a Soit AC SI R et 1ER unevaleur proprede A Il existeXEMn.IR

nonnultelqe AX DX On a donc

t AX Xt XX 0

Si X t x1 xn alors t XX Ê x 0 puisque 10 et donc 770

b Le théorèmespectralassureque A estsemblable àune matricediagonale

toiComme Ii est unevaleurpropre on a di 70 et donc detA D In 0

2 a Pardéfinitionde Ak on peutécrirelamatrice A sous laforme

Are CAte E

où CEMK.n.br K et E CMmr K Considérons une matricecolonne X'EMk1ftalors

IX a EIE g l'x a ftp.z txk rx.ro

ce quimontreque tX'AkX 0 dèsque X estnonnul Comme A est symétrique lamatrice

Ak aussi et donc Ak Es R

b D'après 17 b on a de1 Ak 0

37 a Si delAn 10 alors Ci cn_ forment une basedeMn ii K et il existedonc

Xi 7ns ER telsque ÎËDiCi Bb On a In i X

P o e

desorteque nitrap IaE HÉ

O Ant An il B1 1 t B 1BA am

La relationÎË Ici B peut se réécrire Ani A B de sorte quen

cPAP În FÉ fBn an

Î An TB BA an

Comme Ani A B en transposant et en tenantcomptedufaitqueAnaestsymétrique onobtient EB TAAn et donc _than i B 0 Celamontre que l'PAPestdiagonale parblocs

c Raisonnonspar récurrence sur lataille n de lamatrice A Pour n 1 le résultat estimmédiat Supposons n 1 Par récurrence An C 5 R Par ailleurs on a vuque

An i Ot PAP o i px an on

Par hypothèse det tPAP det P del A 0 Comme det tPAP detAni d et queAESFAR onobtient d 0 d'après 17 b Celamontrequel'PAP ESFAR Posons

5 1PAP et fixons XEMn R non nul Ona

t A txt p1 A P p x SLP X 0

puisque SEsnt R et P est non nul Celamontreque AEst R

Exercice3Soit AEMo R unematricecomme dans l'énoncé Considérons lesinvariants

de similitude 71 1Pr de A On a Pr µ 1 X 25 Comme A a un seulblocdeJordanpour lavaleurpropre 2 dansMa e l'invariantdesimilitudePr estégalà 1

Sachantque Pi _Pr Xa estdedegré6 ondoitavoir r 2 Ainsi A a deux invariantsde

similitude N 1 et 1 X 25 Une réduitede Jordande A dansMae estdonc2 2O O O OO2O O OO

OO OO i OOOOO O i

Exercice4Supposonsquelecouple 0,5 existeOna alors P OSet TPP test005 S

Lamatrice S estdonc l'uniqueracinecarréede TPPE SI R dans SICK etcomme0 PS on a bien l'unicité Soit SES R telque s PP et 0 PS Il suffit

devérifierque 0fOn R On a l00 455tPPS ts s 5 5 s S In ce

qui conclut

Exercice 51 L'applicationL l zest bilinéaire symétrique puisque c t l'est Par

ailleurs si x Et nonnul on a

Ix c 1 Ça gtx lg x 0CardCG

puisqueLglx lg x 0 pourtoutgEG27On a pour x yCE et gE G

gk lg x ç cafaçÉastigtesthgly a E.c.sh.cnh'lyDLxl y ç

37Considérons une b an Lei en de E pour le produitscalaire 4 l et

une b an Cf fn de E pourle produitscalaire L l ç On noteu l'automorphisme de E

définipar ale f pour i Eki n Soient xyCE Écrivons ces vecteursdanslabase

ei en x Éniei et y Êyiei Onacelalucy ç 4Êxifi jÊyjfj à ÊTÊ xiyjL.fi fjz

Ëxiyi ÊTÊ ri eilej x1 y

4 Il est clairque H est un sousgroupe de GUE et que G a Hu Il suffitdoncde

vérifier qe ttest contenudansOCE soient1reH et xyC E Pardéfinition ahui EG et

doncuk x lately c Lutra un lutinLucy Luce lu y a

u nhcr Hy Lady

ce quiconclut