Serie1-exercice1

David Candil

2 octobre 2013

a) Un morphisme f : A æ B dans une catégorie C est un isomorphismes’il existe un autre morphisme g : B æ A dans C qui vérifie les deuxconditions g ¶ f = IdA et f ¶ g = IdB.– Dans la catégorie Set, les isomorphismes sont les bijections. En e�et, le

fait que g ¶f = IdA entraine que f est une injection et g une surjection.De même avec f ¶ g = IdB, on conclut que f et g sont des bijections.Réciproquememt, si f est une bijection, alors sa fonction inverse f≠1 :B æ A vérifie les deux conditions.

– Dans Top, les isomorphismes sont exactement les homéomorphismes.En e�et, comme la composition dans Top est héritée de Set, un isomor-phisme est en particulier une bijection. Par définition d’être un mor-phisme dans Top, les applications f et g sont continues. Réciproque-ment, si f est un homéomorphisme, alors f et f≠1 sont des morphismesbijectifs dans Top qui vérifient les deux conditions.

– Dans Gr, les isomorphismes sont les isomorphismes de groupes. Commela composition dans Gr est héritée de Set, un isomorphisme est en par-ticulier une bijection. Par définition d’être un morphisme dans Gr, lesapplications f et g sont des homomorphismes de groupes. Réciproque-ment, si f est un isomorphisme de groupe, alors f et f≠1 sont desmorphismes bijectifs dans Gr qui vérifient les deux conditions.

– Dans G, les isomorphismes sont tous les éléments de G = G({ı}, {ı}).En e�et, pour g œ G, son morphisme inverse est g≠1 puisque la compo-sition dans G est donnée par a ¶ b = ab pour tout a, b œ G.

b) Soit F : C æ D un foncteur.– Si f : A æ B un isomorphisme dans C, alors F1(f) : F0(A) æ F0(B)

est un isomorphisme dans D. En e�et, comme f est supposé être unisomorphisme, il existe g : B æ A qui vérifie g ¶ f = IdA et f ¶ g = IdB.

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Par les propriétés du foncteur F, on a

IdF0(A) = F1(IdA) = F1(g ¶ f) = F1(g) ¶ F1(f),IdF0(B) = F1(IdB) = F1(f ¶ g) = F1(f) ¶ F1(g).

Ainsi F1(g) et F1(f) sont morphismes inverses dans D. Noté di�érem-ment, on a F1(f)≠1 = F1(f≠1).

– En revanche, le fait que F1(f) est un isomorphisme n’entraine pas quef est un isomorphisme. Nous donnons un contre-exemple. Considéronsle foncteur F : Gr æ Gr défini par

F0 : ObjGr æ ObjGr G ‘æ {1}F1 : MorGr æ ObjGr (f : G æ H) ‘æ (Id{1} : {1} æ {1}).

Si on prend l’homomorphisme de groupe f : (Z, +) æ (Z/mZ, +), onremarque que ce n’est pas un isomorphisme de groupe, alors que sonimage par F est l’isomorphisme F1(f) = Id{1} .

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Homotopie et Homologie - Série 1Sabrina Bravo

Exercice 2

Remarque Comme Ob(C ◊D) = Ob C ◊ Ob D les objets de C ◊D peuvent s’écrire de la forme (C, D),avec C œ Ob C et D œ Ob D .

Et si f œ (C ◊ D)((C, D), (C Õ, DÕ)) = C (C, C Õ) ◊ D(D, DÕ), alors f peut s’écrire f = (fC , fD), avecfC œ C (C, C Õ) et fD œ D(D, DÕ).

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èrepartie de l’exercice Il faut trouver un loi de composition telle que C ◊ D soit une catégorie.

Soient f = (fC , fD) œ (C ◊ D)((C1, D1), (C2, D2)) et g = (gC , gD) œ (C ◊ D)((C2, D2), (C3, D3)),on définit la loi de composition :

(C ◊ D)((C1, D1), (C2, D2)) ◊ (C ◊ D)((C2, D2), (C3, D3)) ≠æ (C ◊ D)((C1, D1), (C3, D3))(f, g) ‘≠æ g ¶ f := (gC ¶ fC , gD ¶ fD).

Maintenant on vérifie les axiomes (C1) et (C2) pour voir que c’est bien une catégorie.

(C1) Pour tout (C, D) œ Ob(C ◊ D), il existe le morphisme identité

Id(C,D) = (IdCC , IdDD) œ (C ◊ D)((C, D), (C, D)),

avec IdC l’identité dans la catégorie C et IdD l’identité dans la catégorie D .Vérifions que Id se comporte bien comme l’identité dans C ◊ D .Soit f œ (C ◊ D)((C, D), (C Õ, DÕ)), alors :

f ¶ Id(C,D) = (fC ¶ IdCC , fD ¶ IdDD) = (fC , fD) = f

Id(CÕ,DÕ) ¶f = (IdCCÕ ¶fC , IdDDÕ ¶fD) = (fC , fD) = f

par la propriété (C1) pour les catégories C et D .(C2) Soient f œ (C ◊ D)((C1, D1), (C2, D2)), g œ (C ◊ D)((C2, D2), (C3, D3)) et

h œ (C ◊ D)((C3, D3), (C4, D4)), alors on a bien

h ¶ (g ¶ f) = (hC , hD) ¶ (gC ¶ fC , gD ¶ fD)= (hC ¶ (gC ¶ fC ), hD ¶ (gD ¶ fD))= ((hC ¶ gC ) ¶ fC , (hD ¶ gD) ¶ fD)= (hC ¶ gC , hD ¶ gD) ¶ (fC , fD)= (h ¶ g) ¶ f

par la propriété (C2) pour les catégories C et D .

Il nous reste à voir que les projections P1 et P2 sont des foncteurs par rapport à la catégorie C ◊D .Vérifions-le pour P1. On commence par expliciter les deux applications de P1

P 01 : Ob(C ◊ D) ≠æ Ob C P 11 : Mor(C ◊ D) ≠æ Mor C(C, D) ‘≠æ C f = (fC , fD) ‘≠æ fC

Voyons maintenant si les trois propriétés des foncteurs sont vérifiées.1. Soit f œ (C ◊ D)((C, D), (C Õ, DÕ)), alors on a bien

P 11 (f) = fC œ C (C, C Õ) = C (P 01 ((C, D)), P 01 ((C Õ, DÕ))).

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2. Soient f œ (C ◊ D)((C1, D1), (C2, D2)) et g œ (C ◊ D)((C2, D2), (C3, D3))

P 11 (g ¶ f) = P 11 ((gC ¶ fC , gD ¶ fD)) = gC ¶ fC = P 11 (g) ¶ P 11 (f).

Donc P1 préserve la composition.3. Soit (C, D) œ Ob(C ◊ D), alors

P 11 (Id(C,D)) = P 11 ((IdCC , IdDD)) = IdCC = IdCP 01 ((C,D)) .

Donc P1 préserve l’identité.La projection P1 : C ◊ D ≠æ C est donc un foncteur. On montre par la même argumentation queP2 : C ◊ D ≠æ D est aussi un foncteur.

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èmepartie de l’exercice On commence par montrer l’existence du foncteur (F, G) : E ≠æ C ◊ D .Définissons les deux applications

(F, G)0 : Ob E ≠æ Ob(C ◊ D) (F, G)1 : Mor E ≠æ Mor(C ◊ D)E ‘≠æ (F0(E), G0(E)) e ‘≠æ (F1(e), G1(e))

Vérifions à présent que c’est bien un foncteur1. Soit e œ E (E1, E2), comme F et G sont des foncteurs, on sait que

F1(e) œ C (F0(E1), F0(E2)) et G1(e) œ D(G0(E1), G0(E2)),

et donc

(F, G)1(e) = (F1(e), G1(e)) œ C (F0(E1), F0(E2)) ◊ D(G0(E1), G0(E2))= (C ◊ D)((F0(E1), G0(E1)), (F0(E2), G0(E2)))= (C ◊ D)((F, G)0(E1), (F, G)0(E2)).

2. Soient e1 œ E (E1, E2) et e2 œ E (E2, E3)

(F, G)1(e2 ¶ e1) = (F1(e2 ¶ e1), G1(e2 ¶ e1))= (F1(e2) ¶ F1(e1), G1(e2) ¶ G1(e1))= (F1(e2), G1(e2)) ¶ (F1(e1), G1(e1))= (F, G)1(e2) ¶ (F, G)1(e1)

La composition est préservée.3. Soit E œ Ob E , alors

(F, G)1(IdEE) = (F1(IdEE), G1(IdEE)) = (IdCF0(E), IdDG0(E)) = Id(F0(E),G0(E)) = Id(F,G)0(E),

où IdE représente l’identité dans E . L’identité est bien préservée.Donc (F, G) est un foncteur, regardons maintenant l’e�et des projecteurs P1 et P2 sur (F, G).Soient E œ Ob E et e œ Mor E ,

P 01 ¶ (F, G)0(E) = P 01 (F0(E), G0(E)) = F0(E)P 11 ¶ (F, G)1(e) = P 11 (F1(e), G1(e)) = F1(e)

par la définition du projecteur P1 ce qui nous donne que P1 ¶ (F, G) = F . On procède de mêmepour P2,

P 02 ¶ (F, G)0(E) = P 02 (F0(E), G0(E)) = G0(E)P 12 ¶ (F, G)1(e) = P 12 (F1(e), G1(e)) = G1(e).

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et donc on a bien la condition P2 ¶ (F, G) = G.

Maintenant que l’on a montré l’existence du foncteur (F, G), il nous reste à voir l’unicité. SoitH : E ≠æ C ◊ D un foncteur tel que P1 ¶ H = F et P2 ¶ H = G . On a les deux applications

H0 : Ob E ≠æ Ob(C ◊ D) H1 : Mor E ≠æ Mor(C ◊ D)E ‘≠æ H0(E) e ‘≠æ H1(e).

Soit E œ Ob E , comme H(E) œ Ob(C ◊ D) alors il peut s’écrire comme H(E) = (C, D) pour uncertain C œ Ob C et un certain D œ Ob D . En appliquant P 01 , on remarque que

P 01 ¶ H0(E) = P 01 (C, D) = C et P 01 ¶ H0(E) = F0(E),

car P1 ¶ H = F . Et donc F0(E) = C.En appliquant mainteant P 02 , on trouve

P 02 ¶ H0(E) = P 02 (C, D) = D et P 02 ¶ H0(E) = G0(E),

car P2 ¶ H = G. Et donc G0(E) = D.Ici, on constate que H0 = (F, G)0, car

H0(E) = (C, D) = (F0(E), G0(E)) = (F, G)0(E), ’E œ Ob E .

Faisons de même pour H1, soient E1, E2 œ Ob E et soit e œ E (E1, E2), alors

H1(e) œ (C ◊ D)(H0(E1), H0(E2)) = (C ◊ D)((F, G)0(E1), (F, G)0(E2))= C (F0(E1), F0(E2)) ◊ D(G0(E1), G0(E2)),

par les propriétés du foncteur H et par ce qui précède. On peut donc écrire H1(e) = (fe, ge) pourun certain fe œ C (F0(E1), F0(E2)) et un certain ge œ D(G0(E1), G0(E2)). En appliquant P 11 et P 12 ,on obtient

P 11 ¶ H1(e) = P 11 (fe, ge) = fe et P 11 ¶ H1(e) = F1(e) =∆ fe = F1(e)P 12 ¶ H1(e) = P 12 (fe, ge) = ge et P 12 ¶ H1(e) = G1(e) =∆ ge = G1(e).

On voit que H1 = (F, G)1, car

H1(e) = (fe, ge) = (F1(e), G1(e)) = (F, G)1(e), ’e œ E (E1, E2), ’E1, E2 œ Ob E .

En résumé, on a (F, G)0 = H0 et (F, G)1 = H1, ce qui implique que (F, G) = H, d’où l’unicité.Fin de l’exercice.

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