Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires · (x,y,z,t); 2x ¡y ¯3z ¡4t ˘0 “ a. Prouver que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace E. b. Montrer

Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires

On étudie la structure d’espace vectoriel et les morphismes linéaires.

F∩G

0

F

G

11 Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3III Thérie de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4IV Calculs dans L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6V Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6VI Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8VII Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9VIII Projections et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10IX Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12X Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2019-2020 Laurent Kaczmarek

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪ , ♪♪ , ♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncéssont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercicesnotés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.

I. Sous-espaces vectoriels

1 . Somme de deux plans

Soient E =R3, F = {(x, y, z) ; x + y − z = 0

}et G = {

(a −b, a +b, a −3b) (a,b) ∈R2}.

a. Établir que F et G sont des sev de E.

b. Déterminer F∩G.

c. Prouver que F+G = E. La somme est-elle directe ?

2 . Calculs de projections

Soient E =R4, G = {(x, y, z, t ) ; z = t = 0

}, et F = A∩B où

A = {(x, y, z, t ) ; x − y + z − t = 0

}, B = {

(x, y, z, t ) ; 2x − y +3z −4t = 0}

a. Prouver que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace E.

b. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Trouver une base de E adaptée à cette décompositionen somme directe.

c. Calculer le projeté sur F parallélement à G d’un vecteur (x, y, z, t ) de E. Même question en permutant Fet G.

3 . À propos de +&∩ ♪Soient U,V,W trois sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E tel que U ⊂ V.

a. Montrer que U+ (V ∩W) = (U+V)∩ (U+W).

b. Montrer que ce résultat peut être faux lorsque U 6⊂ V.

4 . Quizz ♪Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel F (R,R) lesquels en sont des sous-espaces vecto-riels ?

a. L’ensemble des fonctions dérivables en 0 ;

b. L’ensemble des fonctions monotones surR ;

c. L’ensemble des fonctions prenant la valeur 1 en 0 ;

d. L’ensemble des fonctions prenant la valeur 0 en 1 ;

e. L’ensemble des fonctions de classe C 1 ;

f. L’ensemble des fonctions f telles que : ∃ x ∈R, f (x) = 0 ;

g. L’ensemble des fonctions nulles sur [−1,1] ;

LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 2


h. L’ensemble des fonctions admettant une période rationnelle ;

i. L’ensemble des fonctions ayant une limite dansR∪±∞ en +∞.

5 . Un petit pas vers Lagrange ♪Soient E =C 0([0,1],R), C l’ensemble des fonctions constantes sur [0,1], et A l’ensemble des éléments deE s’annulant en 1.

a. Montrer que C et A sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.

b. Montrer que C est également un supplémentaire dans E du sous-espace suivant

N ={

f ∈ E ;∫ 1

0f (t )dt = 0

}c. Calculer les projetés sur C parallélement à A puis à N d’une fonction f ∈ E.

d. Donner d’autres exemples de supplémentaires de C dans E.

II. Familles de vecteurs

6 . Etude d’une famille deR4

On considère les quatre vecteurs suivants deR4 :

u1 = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0,1), u3 = (1,0,−1,0), u4 = (a,b,c,d)

Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c et d pour que la famille (u1,u2,u3,u4) soitlibre.

7 . Une famille à paramètre ♪Soient n ∈N, E unK-ev, (xi )1ÉiÉn une famille libre de E et (α1, . . . ,αn) ∈Rn . On pose

y =n∑

k=1αk xk

Donner une condition nécessaire et suffisante sur les αi pour que (y +xi )1ÉiÉn soit une famille libre.

8 . Algebrist’s corner ♪On note f la fonction sin :R→R. Prouver que la famille ( f , f ◦ f , f ◦ f ◦ f ) est libre dans E =RR.

9 . Etude d’une famille de fonctions ♪On note E =RR+ . Prouver que, pour tout n ∈N, la famille ( fk )0ÉkÉn est libre dans les cas suivants :

a. fk : x 7→ ekx ; b. fk : x 7→ xk ekx ; c. fk : x 7→ |x −n| ; d. fk : x 7→ 1

xk +1.

10 . Dépendance linéaire ? ♪Soient v1, v2, v3, . . . , vn des vecteurs linéairement indépendants d’unK-espace vectoriel E.



a. Les vecteurs v1 − v2, v2 − v3, v3 − v4, . . . , vn − v1 sont-ils linéairement indépendants ?

b. Même question avec : v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, . . . , vn + v1.

11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012 ♪Soient α1, . . . , αn des nombres complexes distincts et, pour k ∈ �1,n�, fk : x 7→ e iαk x . Montrer que la famille( f1, . . . , fn) est libre dansCR.

12 . Le retour de Tchebychev ♪♪Soit E =RR. Pour tout n ∈N, on pose fn : x 7→ cosn(x) et gn : x 7→ cos(nx). Montrer que pour tout n positif,

Vect( f0, . . . , fn) = Vect(g0, . . . , gn)

13 . Un lemme général sur les ensembles ♪♪♪Soit n ∈N∗ et A1, . . ., An+1 des parties de �1,n�.

a. Déterminer la dimension duR-evR�1,n� muni des opérations usuelles.

b. En déduire l’existence de deux parties distinctes I et J de �1,n� telles que⋃i∈I

Ai =⋃j∈J

A j .

III. Thérie de la dimension

14 . B.A.BA

Soient x1, . . ., xn , y1, . . ., yn des vecteurs d’unK-ev E. On suppose que la famille (x1+y1, . . . , xn+yn) est libre.Démontrer que le rang de la famille (x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) est au moins égal à n.

15 . Calculs dansR4

Soient F = Vect(a,b,c) et G = Vect(u, v) avec

a = (0,1,−1,2), b = (1,3,0,−2), c = (2,1,−3,4), u = (0,0,2,1), v = (−1,1,0,3)

Calculer les dimensions des sous-espaces vectoriels F,G,F+G et F∩G.

16 . Extraire une base d’une famille génératrice

DansR4, on considère la famille de vecteurs suivante :

u1 = (1,2,−1,3), u2 = (2,3,−3,2,), u3 = (0,1,1,4), u4 = (1,0,−3,−5)

Déterminer le rang de cette famille, préciser les relations de liaison entre ces vecteurs et donner une basede Vect(u1,u2,u3,u4).

17 . Trigo

Déterminer le rang dansRR de la famille ( fi )1ÉiÉ5 définie par :



f1 : x → 1, f2 :→ sin(x), f3 : x → sin2(x), f4 : x → cos2(x), f5 : x → cos(2x)

18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial ♪Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n Ê 2. On considère un sous-espace vectoriel F de dimen-sion p, avec 0 < p < n et G un supplémentaire de F.

1) Soit a ∈ F et (ei )i∈�1,r � une base de G.

a) Montrer que la famille (a +ei )i∈�1,r � est libre.

b) Montrer que le sous-espace Ga engendré par (a +ei )i∈�1,r � est un supplémentaire de F dans E.

2) En déduire que F admet une infinité de supplémentaires dans E.

19 . Tricotage de rangs ♪Soient E unK-ev et S un système de n vecteurs de rang s. On extrait de S un système S ′ de r vecteurs derang s′. Établir que s′ Ê r + s −n.

20 . Dimension d’une intersection ♪Soit E unK-espace vectoriel de dimension n.

a. Soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives p et q . Montrer que

p +q −n É dim(F∩G) É inf(p, q)

b. Plus généralement, si (Fi )1ÉiÉp sont p sous-espaces vectoriels de E de dimensions ni , établir que

p∑i=1

ni −n(p −1) É dim

(p⋂

i=1Fi

)É inf

1ÉiÉp(ni )

21 . Sweet ♥ trigo ♪Soient E =RR et ( f1, f2, . . . , fn) la famille de vecteurs de E définie par ∀i ∈ �1,n� et fi : x → sin(i +x).

a. Calculer le rang de la famille ( f1, f2, f3).

b. Calculer le rang de la famille ( f1, f2, . . . , fn).

22 . D’après X PC-2015 ♪Soient U , V et W trois sous-espaces vectoriels deRn .

a. On suppose que dim(U )+dim(V ) > n. Montrer que U ∩V ne se réduit pas à {0}.

b. On suppose que dim U +dim V +dim W > 2n. Montrer que U ∩V ∩W ne se réduit pas à {0}.

23 . Supplémentaire commun ♪♪Soient E unK-ev, F et G deux sev de E. Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun dans Esi et seulement si dim(F) = dim(G).

24 . X-PC 2012 ♪♪Soient E unK-espace vectoriel de dimension n ∈N∗, (e1, . . . ,en) une base de E, F unK-espace vectoriel dedimension p ∈N∗, ( f1, . . . , fp ) une base de F .



a. Donner sans démonstration une base de E×F ainsi que sa dimension.

b. Montrer que la famille (e2 −e1, . . . ,en −e1) est libre.

c. Soit G le sous-espace de E×F engendré par les (ei , f j ) pour (i , j ) ∈ �1,n�×�1, p�. Déterminer la dimensionde G.

IV. Calculs dans L (E)

25 . Un endomorphisme deR4

On considère E =R4 muni de sa base canonique B = (e1,e2,e3,e4) et

f : (x, y, z, t ) 7→ (2x + y −3z,−4x +3y +24z −57t , x +2y +5z −19t , y +4z −12t )

a. Calculer f 2(e1) et f 2(e2).

b. Montrer que les familles(e1, f (e1), f 2(e1)

)et

(e2, f (e2), f 2(e2)

)sont liées.

c. On note F1 = Vect(e1, f (e1)) et F2 = Vect(e2, f (e2)). Prouver que les sous-espaces F1 et F2 sont supplé-mentaires dans E.

d. Montrer que la famille B′ = (e1, f (e1),e2, f (e2)

)est une base de E.

e. En déduire l’existence de deux réels α et β tels que α f 2 +β f + idE = 0.

f. Montrer que f ∈ GL(E) et que f −1 ∈ Vect(idE, f ).

26 . Le commutant ♪Soit f , une application linéaire de E dans E. On note C ( f ), l’ensemble des applications linéaires g de E dansE qui commutent avec f :

C ( f ) = {g ∈L (E) ; g ◦ f = f ◦ g

}a. Démontrer que C ( f ) est un sous-espace vectoriel de L (E).

b. Vérifier que C ( f ) est stable par composition.

27 . Caractérisation des homothéties ♪♪Soient E un espace vectoriel surK et u un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille(x,u(x)) soit liée. Montrer que u est une homothétie de E.

V. Image et noyau

28 . Premières armes

Soit Φ :R3 →R4, (x, y, z) 7→ (x + z, y − z, x + y + z, x − y − z).

a. Montrer que Φ est linéaire.

b. Φ est-elle injective ?



c. Étudier la surjectivité de Φ. Donner une base de Im(Φ).

29 . B.A.BA

On considère l’application f :R3 →R3, (x, y, z) 7→ (−x + z,−y + z, x −2y + z).

a. Démontrer que f est linéaire.

b. Déterminer une base du noyau de f .

c. Déterminer une famille génératrice de Im( f ). En déduire une base de Im( f ).

d. Vérifier que Ker( f ) ⊂ Im( f ).

e. Calculer ( f ◦ f )(x, y, z) et en déduire que f ◦ f est un projecteur.

30 . Introduction au lemme des noyaux ♪Soient E unK-ev et f ∈L (E) tels que f 2 +2 f −3idE = 0. Prouver que E = Ker( f − idE)⊕Ker( f +3idE).

31 . Liberté, liberté chérie ♪Soient E, un espace vectoriel surK et u1, . . ., un des vecteurs de E.

a. Démontrer que l’application φ :Kn → E, (λ1, . . . ,λn) 7→n∑

k=1λk uk est linéaire.

b. Démontrer que φ est injective si, et seulement si, la famille (u1, . . . ,un) est libre.

c. Démontrer que φ est surjective si, et seulement si, la famille (u1, . . . ,un) est génératrice de E.

32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann ♪Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

a. Montrer que l’application s : F×G → E, (x, y) 7→ x + y est linéaire.

b. Déterminer l’image et le noyau de s. Vérifier que Ker(s) est isomorphe à F∩G.

c. Montrer ensuite que :

i. s est injective si et seulement si F∩G = {0} ;

ii. s est surjective si et seulement si F+G = E ;

iii. s est un isomorphisme si et seulement si F⊕G = E.

d. Que retrouve-t-on en appliquant le théorème du rang dans le cas où E est de dimension finie ?

33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires ♪Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E). Montrer que les propositions suivantes sontéquivalentes :

(i) E = Im( f )⊕Ker( f ) ;

(ii) E = Im( f )+Ker( f ) ;

(iii) Im( f ) = Im(

f 2)

;

(iv) Ker( f ) = Ker(

f 2).

34 . Quelques résultats classiques ♪Soit E unK-espace vectoriel et f , g des endomorphismes de E.



a. Montrer que, si idE − f ◦ g est injectif, alors idE − g ◦ f est injectif. Montrer que, si idE − f ◦ g est surjectif,alors idE − g ◦ f est surjectif.

b. Montrer que Ker( f ◦ g ) = Ker(g ) si et seulement si Ker( f )∩ Im(g ) = {0}.

c. Établir que Im( f ◦ g ) = Im( f ) si et seulement si Ker( f )+ Im(g ) = E.

d. En déduire que f ◦ g est bijectif si et seulement si Im( f ) = E, Ker(g ) = {0} et Ker( f )⊕ Im(g ) = E.

35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R) ♪♪

Pour f ∈C ([0,1],R) et x ∈ [0,1], on pose Φ( f )(x) =∫ 1

0min(x, t ) f (t )dt .

a. Prouver que Φ est un endomorphisme de C ([0,1],R).

b. Montrer que Φ( f ) est de classe C 2 et exprimer Φ( f )′′ en fonction de f .

c. En déduire Ker(Φ) et Im(Φ).

36 . Mines PSI-2016 ♪♪Soient n ∈N∗, F et G deux sous-espaces vectoriels deRn .

a. Montrer que ∃u ∈L (Rn), Im u = F et Ker u = G ⇐⇒ dim F+dim G = n.

b. Dans cette question n = 3, F est le plan d’équation x + y + z = 0 et G = Vect ((1,−1,0)). Déterminer unendomorphisme u dont l’image est F et le noyau est G.

VI. Théorème du rang

37 . Inversibilité à droite au à gauche

Soient 0 < p É n, f ∈L (Rn ,Rp ) et g ∈L (Rp ,Rn) tels que f ◦ g = idRp .

a. Calculer rg( f ) et rg(g ).

b. Quelle est la nature de l’endomorphisme g ◦ f deRn ?

38 . Rang d’une composée ♪Soient E, F et G troisK-ev de dimension finie, f dans L (E,F) et g dans L (F,G). Montrer que

rg( f ◦ g ) = rg(g )−dim(Im(g )∩Ker( f )

)

39 . Inégalités de Sylvester ♪Soient E unK-ev de dimension n, F un espace vectoriel surK et u, v ∈L (E,F).

a. Montrer que |rg(u)− rg(v)| É rg(u + v) É rg(u)+ rg(v).

b. Prouver que rg(u+v) = rg(u)+rg(v) si et seulement si Im(u)∩Im(v) = {0} et Ker(u)+Ker(v) = E. Montrerque dans ce cas Ker(u + v) = Ker(u)∩Ker(v).



40 . Posé à Centrale ♪Soient E un R-ev de dimension finie n, f et g dans L (E) tels que f + g ∈ GL(E) et f ◦ g = 0. Montrer querg( f )+ rg(g ) = n.

41 . Classique à l’oral ♪Soient E unK-ev de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E.

a. Établir que dim(Ker( f ◦ g )

)É dim(Ker( f )

)+dim(Ker(g )

).

b. Montrer que l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si Ker( f ) ⊂ Im(g ).

42 . Inégalité de Frobenius ♪Soient f ∈L (E,F), g ∈L (F,G) et h ∈L (G,H) où E, F, G et H sont des espaces vectoriels de dimension finie.Montrer que

rg(g ◦ f )+ rg(h ◦ g ) É rg(h ◦ g ◦ f )+ rg(g )

43 . X PC-2016 ♪♪♪Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈L (E). Montrer que f ◦ f = 0 si et seulement s’il existeg et h dans L (E) tels que g ◦h = f et h ◦ g = 0.

VII. Endomorphismes nilpotents

44 . Endomorphismes de carré nul

Soient E K-ev de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que les deuxassertions qui suivent sont équivalentes :

a. Ker( f ) = Im( f ) ; b. f 2 = 0, n = 2rg( f ).

45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents ♪Soit E unR-ev. Si u ∈L (E), on dit que u est nilpotent si et seulement si existe q ∈N tel que uq = 0. On posep = min{ q ∈N ; uq = 0} ; cet entier est appelé indice de nilpotence de u.

a. Montrer que, si u est nilpotent, alors u n’est ni injectif ni surjectif.

b. Soient u et v nilpotents tels que u ◦ v = v ◦u. Montrer que u + v et u ◦ v sont nilpotents.

c. Supposons u nilpotent et soit p son indice de nilpotence.

i. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que(x,u(x), . . . ,up−1(x)

)soit libre.

ii. En déduire que rg(u) Ê p −1.

iii. Montrer que, si k Ê dim(E), alors uk = 0.

d. Montrer que si u est nilpotent, alors idE −u est inversible.



e. Pour tout u ∈L (E) nilpotent d’indice p +1, on pose

exp(u) :=p∑

k=0

uk

k !

Vérifier que, si u et v sont deux endomorphismes nilpotents de E qui commutent, on a

exp(u + v) = exp(u)exp(v)

46 . Nilpotent en dimension finie ♪Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E tel que

∀x∈E ∃m ∈N , f m(x) = 0

Montrer que f est nilpotent. Exhiber un contre-exemple en dimension infinie.

47 . Retour des nilpotents ♪Soient E unK-ev de dimension 3 et f appartenant à L (E).

a. On suppose dans cette question que f 2 = 0 et f 6= 0. Calculer le rang de f .

b. On suppose dans cette question que f 3 = 0 et f 2 6= 0. Calculer le rang de f .

48 . Mines ♪♪Soit E unK-ev de dimension finie et f un endomorphisme de E nilpotent d’indice n. On pose

Φ : L (E) −→ L (E)

g 7−→ f ◦ g − g ◦ f

a. Établir que Φ est un endomorphisme nilpotent.

b. Soit a ∈L (E). Montrer que ∃b ∈L (E) tel que a ◦b ◦a = a. En déduire l’indice de Φ.

VIII. Projections et symétries

49 . Inversibilité à droite

Soient E unK-ev, f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = idE.

a. Établir que f est surjective et g injective.

b. Montrer que p = g ◦ f est un projecteur de E.

c. Établir que Im(p) = Im(g ) et Ker(p) = Ker( f ).

d. Montrer que Ker( f )⊕ Im(g ) = E.

50 . Sous les projecteurs ♪Soient E unK-ev, p1 et p2 deux projecteurs de E tels que p1 ◦p2 = 0. On pose q = p1 +p2 −p2 ◦p1.



a. Montrer que q est un projecteur de E.

b. Prouver que Ker(q) = Ker(p1)∩Ker(p2) et Im(q) = Im(p1)⊕ Im(p2).

51 . X PC-2019 ♪♪Soit E un K-ev de dimension finie, p et q deux projecteurs de E de même rang. Démontrer l’existence de(u, v) ∈L (E)2 tel que p = u ◦ v et q = v ◦u.



IX. Indications


F et G sont des plans, F∩G une droite.


C’est une routine dès que l’on réussit à écrire A∩B sous forme paramétrique.

3 . À propos de +&∩Raisonner par double inclusion au a). Rechercher un contre-exemple dans le plan au b).

4 . Quizz

Seuls b), c), f) et i) ne sont pas des sev.

5 . Un petit pas vers Lagrange

Procéder à une Analyse-Synthèse.


Se ramener à discuter le rang d’un système linéaire.

7 . Une famille à paramètre

La CNS recherchée estn∑

k=1αk 6= −1.

8 . Algebrist’s corner

Vérifier que la famille est libre en écrivant des DL(0) afin d’obtenir un système linéaire sur les coefficients.

9 . Etude d’une famille de fonctions

Utiliser les croissances comparées.

10 . Dépendance linéaire ?

Revenir à la définition.

11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012

Raisonner par récurrence.

12 . Le retour de Tchebychev



Utiliser la linéarisation, les nombres complexes. . .

13 . Un lemme général sur les ensembles

Au b., justifier que la famille (1A1 , . . . ,1An+1 ) est liée.

14 . B.A.BA

Le sous-espace vectoriel Vect(x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) contient une famille de rang n.

15 . Calculs dansR4

F est de dimension trois et G de dimension deux.


Le rang vaut 2.

17 . Trigo

Réviser votre formulaire préféré.

18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial

Il suffit de vérifier que (ei )i∈�1,r � est libre.

19 . Tricotage de rangs

Compléter les r vecteurs de S′ par les n−r autres vecteurs de S. Que dire du rang de la famille ainsi obtenue ?

20 . Dimension d’une intersection

Le a) découle des inclusions F∩G ⊂ F, F∩G ⊂ G et F+G ⊂ E. Raisonner par récurrence au b).

21 . Sweet ♥ trigo

Le rang vaut deux pour tout n Ê 2.

22 . D’après X PC-2015

On peut par exemple raisonner par l’absurde.

23 . Supplémentaire commun

Raisonner par récurrence (descendante) sur la dimension commune de F et G.

24 . X-PC 2012



On trouve dim G = n +p −1.


On trouve f 2 + f + idE = 0.

26 . Le commutant

On pourra vérifier au a) que C ( f ) est le noyau d’une application linéaire de L (E) dans L (E).

27 . Caractérisation des homothéties

Pour tout vecteur x non nul, il existe un unique λx tel que u(x) = λx x. Il faut montrer que λx ne dépend pasde x. Considérer pour cela une famille de vecteurs (x, y). Examiner les cas d’une famille liée puus libre.


L’application est injective mais pas surjective.

29 . B.A.BA

Pour le c) : en cherchant les relations de liaison entre les vecteurs d’une famille génératrice, on peut dimi-nuer cette famille jusqu’à obtenir une base.

30 . Introduction au lemme des noyaux

Analyse-Synthèse, please.

31 . Liberté, liberté chérie

Appliquer simplement la définition d’une famille libre.

32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann

L’isomorphisme de F∩G sur Ker(s) est donné par x 7→ (x,−x).

33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires

Utiliser le théorème du rang pour démontrer (i v) ⇒ (i ).

34 . Quelques résultats classiques

Au a), remarquer que ( f ◦ g )(x) = x implique (g ◦ f )( f (x)) = f (x).

35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R)

En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de Φ( f )(x) pour établir que Φ( f ) est declasse C 2.



36 . Mines PSI-2016

Pour l’implication non triviale, considérer un supplémentaire S de G dans E puis s’aider d’une base adaptéeà la décomposition E = G⊕S pour définir u.


Les deux rangs valent p. L’endomorphisme g ◦ f est une projection deRn .

38 . Rang d’une composée

Appliquer le théorème du rang à la restriction de f à Im(g ).

39 . Inégalités de Sylvester

Remarquer que Im(u + v) ⊂ Im(u)+ Im(v) et appliquer la formule de Grassmann.

40 . Posé à Centrale

Appliquer le théorème du rang.

41 . Classique à l’oral

Appliquer le théorème du rang à h = f∣∣Im(g ) .

42 . Inégalité de Frobenius

On pourra remarquer que Im(v ◦u) = Im v| Im(u).

43 . X PC-2016

Pour l’implication non triviale, définir g et h sur une base de E bien choisie.


On pourra utiliser la formule du rang.

45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents

Utiliser la formule de la série géométrique au d).

46 . Nilpotent en dimension finie

Travailler avec une famille génératrice finie.

47 . Retour des nilpotents

Le rang de f est 1 au a) et 2 au b).

48 . Mines



a. Trouver p tel que k Ê n ou p −k Ê n pour tout 0 É k É p.

b. Souvenez-vous que a induit un isomorphisme d’un supplémentaire de Ker(a) sur Im(a).


Penser au noyau pour l’injectivité.

50 . Sous les projecteurs

Exploiter sans relâche la relation p2 = p et se souvenir que, si f est un projecteur, y ∈ Im( f ) si et seulementsi f (y) = y .

51 . X PC-2019

Utiliser des bases adaptées aux décompositions E = Im p ⊕Ker p et E = Im q ⊕Ker q .



X. Indications


F et G sont des plans, F∩G une droite.


C’est une routine dès que l’on réussit à écrire A∩B sous forme paramétrique.

3 . À propos de +&∩Raisonner par double inclusion au a). Rechercher un contre-exemple dans le plan au b).

4 . Quizz

Seuls b), c), f) et i) ne sont pas des sev.

5 . Un petit pas vers Lagrange

Procéder à une Analyse-Synthèse.


Se ramener à discuter le rang d’un système linéaire.

7 . Une famille à paramètre

La CNS recherchée estn∑

k=1αk 6= −1.

8 . Algebrist’s corner

Vérifier que la famille est libre en écrivant des DL(0) afin d’obtenir un système linéaire sur les coefficients.

9 . Etude d’une famille de fonctions

Utiliser les croissances comparées.

10 . Dépendance linéaire ?

Revenir à la définition.

11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012

Raisonner par récurrence.

12 . Le retour de Tchebychev



Utiliser la linéarisation, les nombres complexes. . .

13 . Un lemme général sur les ensembles

Au b., justifier que la famille (1A1 , . . . ,1An+1 ) est liée.

14 . B.A.BA

Le sous-espace vectoriel Vect(x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) contient une famille de rang n.

15 . Calculs dansR4

F est de dimension trois et G de dimension deux.


Le rang vaut 2.

17 . Trigo

Réviser votre formulaire préféré.

18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial

Il suffit de vérifier que (ei )i∈�1,r � est libre.

19 . Tricotage de rangs

Compléter les r vecteurs de S′ par les n−r autres vecteurs de S. Que dire du rang de la famille ainsi obtenue ?

20 . Dimension d’une intersection

Le a) découle des inclusions F∩G ⊂ F, F∩G ⊂ G et F+G ⊂ E. Raisonner par récurrence au b).

21 . Sweet ♥ trigo

Le rang vaut deux pour tout n Ê 2.

22 . D’après X PC-2015

On peut par exemple raisonner par l’absurde.

23 . Supplémentaire commun

Raisonner par récurrence (descendante) sur la dimension commune de F et G.

24 . X-PC 2012



On trouve dim G = n +p −1.


On trouve f 2 + f + idE = 0.

26 . Le commutant

On pourra vérifier au a) que C ( f ) est le noyau d’une application linéaire de L (E) dans L (E).

27 . Caractérisation des homothéties

Pour tout vecteur x non nul, il existe un unique λx tel que u(x) = λx x. Il faut montrer que λx ne dépend pasde x. Considérer pour cela une famille de vecteurs (x, y). Examiner les cas d’une famille liée puus libre.


L’application est injective mais pas surjective.

29 . B.A.BA

Pour le c) : en cherchant les relations de liaison entre les vecteurs d’une famille génératrice, on peut dimi-nuer cette famille jusqu’à obtenir une base.

30 . Introduction au lemme des noyaux

Analyse-Synthèse, please.

31 . Liberté, liberté chérie

Appliquer simplement la définition d’une famille libre.

32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann

L’isomorphisme de F∩G sur Ker(s) est donné par x 7→ (x,−x).

33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires

Utiliser le théorème du rang pour démontrer (i v) ⇒ (i ).

34 . Quelques résultats classiques

Au a), remarquer que ( f ◦ g )(x) = x implique (g ◦ f )( f (x)) = f (x).

35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R)

En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de Φ( f )(x) pour établir que Φ( f ) est declasse C 2.



36 . Mines PSI-2016

Pour l’implication non triviale, considérer un supplémentaire S de G dans E puis s’aider d’une base adaptéeà la décomposition E = G⊕S pour définir u.


Les deux rangs valent p. L’endomorphisme g ◦ f est une projection deRn .

38 . Rang d’une composée

Appliquer le théorème du rang à la restriction de f à Im(g ).

39 . Inégalités de Sylvester

Remarquer que Im(u + v) ⊂ Im(u)+ Im(v) et appliquer la formule de Grassmann.

40 . Posé à Centrale

Appliquer le théorème du rang.

41 . Classique à l’oral

Appliquer le théorème du rang à h = f∣∣Im(g ) .

42 . Inégalité de Frobenius

On pourra remarquer que Im(v ◦u) = Im v| Im(u).

43 . X PC-2016

Pour l’implication non triviale, définir g et h sur une base de E bien choisie.


On pourra utiliser la formule du rang.

45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents

Utiliser la formule de la série géométrique au d).

46 . Nilpotent en dimension finie

Travailler avec une famille génératrice finie.

47 . Retour des nilpotents

Le rang de f est 1 au a) et 2 au b).

48 . Mines



a. Trouver p tel que k Ê n ou p −k Ê n pour tout 0 É k É p.

b. Souvenez-vous que a induit un isomorphisme d’un supplémentaire de Ker(a) sur Im(a).


Penser au noyau pour l’injectivité.

50 . Sous les projecteurs

Exploiter sans relâche la relation p2 = p et se souvenir que, si f est un projecteur, y ∈ Im( f ) si et seulementsi f (y) = y .

51 . X PC-2019

Utiliser des bases adaptées aux décompositions E = Im p ⊕Ker p et E = Im q ⊕Ker q .


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Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires · (x,y,z,t); 2x ¡y ¯3z ¡4t ˘0 “ a. Prouver que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace E. b. Montrer