STATISTIQUES ET PROBABILITÉSPartie 2 (Probabilités)

Chapitre I

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

EXERCICES DE RÉVISIONS: PROBABILITÉS-CHAPITRE I

Probabilités

En probabilité on étudie les chances qu�un événement aléatoire se produise.Cette chance est quanti�ée par un nombre compris entre 0 et 1 : appelée probabilité, notée P .Deux événements A et B sont dit disjoints ou incompatibles s�ils ne peuvent se réaliser ensemble:

Un ensemble complet d�événements est la réunion de tous les événements possibles Ai tels que Ai \Aj=?:

La probabilité d�avoir A s�il est certain est P (A) � 1; s�il est impossible P (A) � 0:Si tous les événements sont équiprobables, la probabilité d�avoir A est P (A) = Nombres de possibilités pour A

Nombres total de possibilités .La probabilité de ne pas avoir A est P (A) � 1� P (A).La probabilité d�avoir A ou B s�ils sont disjoints est P (A [B) = P (A) + P (B). [P ([

iAi) =

Pi

P (Ai)]

La probabilité d�avoir A et B s�ils sont indépendants est P (A \B) = P (A)P (B). [P (\iAi) = �

iP (Ai)]

La probabilité d�avoir A ou B s�ils ne sont pas disjoints est P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B):La probabilité d�avoir A sans B s�ils ne sont pas disjoints est P (AnB) = P (A)� P (A \B).La probabilité d�avoir A sachant B est P (A j B) = P (A\B)

P (B) .La probabilité de ne pas avoir A sachant B est P (A j B) = 1� P (A j B).La probabilité d�avoir A ou B sachant C est P (A [B j C) = P (A j C) + P (B j C)� P (A \B j C).La probabilité d�avoir A ou B (disjoints) sachant C est P (A [B j C) = P (A j C) + P (B j C).La probabilité d�avoir A sans B sachant C est P (AnB j C) = P (A j C)� P (A \B j C).La probabilité d�avoir A si un ensemble complet d�événements disjoints Bi existe est P (A)=

Pi

P (A \Bi)

La probabilité d�avoir l�un des Bi de l�ensemble complet sachant A est P (Bi j A)= P (Bi)P (AjBi)PjP (Bj)P (AjBj)

.

Variable Aléatoire Discrète à Valeurs Réelles

La probabilité d�une variable aléatoire X discrète (à valeurs réelles xi dénombrables) est notée pX(xi):Avec

Pi

pX(xi) = 1:

L�Espérance Mathématique d�une variable aléatoire est: E(X) � �(X) =Pi

xipX(xi):

L�Espérance Mathématique d�une fonction est: E(g(X)) =Pi

g(xi)pX(xi):

Le Moment Simple d�ordre r d�une variable aléatoire est: �r(X) = E(Xr) =

Pi

xri pX(xi):

Le Moment Centré d�ordre r d�une variable aléatoire est: mr(X) = E [(X �E(X))r] = E [(X � �)r] :La Variance d�une variable aléatoire est: �2(X) � Var(X) = E

�(X � �)2

�= E(X2)�E2(X):

L�Écart-type d�une variable aléatoire est: �(X) =pVar(X):

La Variable Centrée Réduite est: X� = X��(X)�(X) :

Le Coe¢ cient d�Asymétrie est: E[(X��)3]

�3 : Le Coe¢ cient d�Aplatissement est: E[(X��)4]

�4 � 3:La Fonction Génératrice d�une variable aléatoire est: GX(t) =

1Pk=0

tkpX(k):

La Fonction Génératrice des Moments d�une variable aléatoire est: GX(t) =1Px=0etxpX(x):

Une variable aléatoire X admet une espérance si la sériePxipX(xi) est absolument convergente:

Une variable aléatoire X admet une variance si la sériePx2i pX(xi) est aussi absolument convergente:

Une variable aléatoire X est dite centrée si E(X) = 0: Elle est dite réduite si Var(X) = 1:

Lois de Probabilités ParticulièresIl arrive parfois qu�une probabilité suive une loi bien déterminée. Ci-dessous sont quelques unes.

Loi de Bernoulli (de paramètre 0 6 p 6 1): P (1) = p; P (0) = 1� p: (E(X) = p: Var(X) = p(1� p))Loi Binomiale (de paramètres n et 0 6 p 6 1): P (k) = n!

k!(n�p)!pk(1� p)n�k:

(E(X) = np: Var(X) = np(1� p))Loi de Poisson (de paramètre � > 0): P (k) = �k

k! e��: (E(X) = Var(X) = �)

F . H AM M AD http://sites.google.com/site/exerev