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T ES/L EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE
Rappel
Soit X une variable alatoire.
X suit la loi normale N( ;) lorsque =
suit la loi centre rduite N(0;1).
La courbe de est symtrique par rapport la droite d'quation =
Exercice 1
Une assurance s'intresse aux cots des sinistres susceptibles de
survenir en 2013. On note X la variable alatoire qui chaque
sinistre associe son cot. L'tude des annes prcdentes montre que X
suit la loi normale de moyenne 1130 et d'cart type 180. Quelle est
la probabilit qu'en 2013 un sinistre pris au hasard cote entre 850
et 1700 euros ?
Exercice 2
Une usine fabrique des puzzles de 512 pices. Pour tester la
conformit des puzzles, le service qualit de l'entreprise prlve au
hasard un puzzle de 512 pices. On appelle X la variable alatoire
qui un puzzle donn associe le nombre de pices non conforme. On
estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'cart type 3.
1) Dterminer la probabilit qu'il y ait au plus 12 pices non
conformes dans le puzzle.
2) Dterminer le rel 0 tel que ( > 0) = 0,01.
En dduire le plus petit entier k tel que la probabilit que le
puzzle comporte plus de k pices non conformes soit infrieure
0,01.
Exercice 3
On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par
la socit Toutdeloi sont distribues normalement avec une moyenne de
250g et d'un cart type de 10g. On considre qu'un bloc n'est pas
rentable si sa masse est plus grande ou gale 265g. Calculer le
pourcentage de blocs non rentables fabriqus par cette socit.
Exercice 4 La slection chez les vaches laitires de race Franaise
Frisonne Pis Noir (*)
La production laitire annuelle en litres des vaches laitires de
la race Franaise Frisonne Pis Noir
peut tre modlise par une variable alatoire densit X, de loi
normale de moyenne =6000 et
d'cart type =400. La fonction dsigne la fonction de densit de
cette loi normale.
1) Afin de grer au mieux son quota laitier, en dterminant la
taille optimale de son troupeau, un leveur faisant natre des vaches
de cette race souhaite disposer de certaines probabilits.
a) Calculer la probabilit qu'une vache quelconque de cette race
produise moins de 5800 litres de lait par an.
b) Calculer la probabilit qu'une vache quelconque de cette race
produise entre 5900 et 6100 litres de lait par an.
c) Calculer la probabilit qu'une vache quelconque de cette race
produise plus de 6250 litres de lait par an.
2) Dans son futur troupeau, l'leveur souhaite connatre :
a) La production maximale prvisible des 30% de vaches les moins
productives du troupeau.
b) La production minimale prvisible des 20% de vaches les plus
productives du troupeau.
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Exercice 5 Rglage d'une machine d'embouteillage dans une
cooprative (*)
Sur une chane d'embouteillage dans une brasserie, la quantit X
(en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque
bouteille de contenance 110 cL peut tre modlise par une
variable
alatoire de loi normale de moyenne et dcart-type = 2. La
lgislation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant
moins d'un litre.
1) a) quelle valeur de la moyenne doit-on rgler la machine pour
respecter cette lgislation?
b) La contenance des bouteilles tant de 110 cL, quelle est
alors, dans ces conditions, la probabilit qu'une bouteille dborde
lors du remplissage?
2) Le directeur de la cooprative veut qu'il y ait moins de 1% de
bouteilles qui dbordent au risque de ne plus suivre la
lgislation.
a) Quelle est alors la valeur de ?
b) Quelle est dans les conditions de la question a) la
probabilit que la bouteille contienne moins d'un litre?
3) Dterminer et afin quil y ait moins de 0,1% de bouteilles de
moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui dbordent.
Exercice 6 Dure de vie dun appareil (*)
La dure de vie d'un certain type dappareil est modlise par une
variable alatoire suivant une loi normale de moyenne et dcart-type
inconnus. Les spcifications impliquent que 80 % de la production
des appareils ait une dure de vie entre 120 et 200 jours et que 5%
de la production ait une dure de vie infrieure 120 jours.
1) Quelles sont les valeurs de et ?
2) Quelle est la probabilit davoir un appareil dont la dure de
vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours ? Exercice 7
Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la
variable alatoire gale au poids
dune plaquette de 125 g suit une loi normale desprance = 125 et
dcart type = 0,5. La plaquette est juge conforme lorsque son poids
est compris entre 3 et + 3.
1) Calculer la probabilit quune plaquette prleve alatoirement au
hasard en fin de chane soit non conforme.
2) Pour contrler le rglage de la machine, on dtermine des poids
dalerte et + tels que ( + ) = 0,99.
Ces poids dalerte sont inscrits sur une carte de contrle et
correspondent une marge de scurit en lien avec des normes de
conformit.
Dterminer ces poids dalerte. (*) Tir des documents ressources de
Terminale
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Exercice 8 Pondichery 2013 (S)
Cette entreprise emploie 220 salaris. Pour la suite on admet que
la probabilit pour qu'un salari soit malade une semaine donne
durant cette priode d'pidmie est gale p=0,05. On suppose que l'tat
de sant d'un salari ne dpend pas de l'tat de sant de ses collgues.
On dsigne par X la variable alatoire qui donne le nombre de salaris
malades une semaine donne. 1. Justifier que la variable alatoire X
suit une loi binomiale dont on donnera les paramtres. Calculer
l'esprance mathmatique et l'cart type de la variable alatoire
X.
2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable
alatoire
par la loi normale centre
rduite c'est--dire de paramtres 0 et 1. On note Z une variable
alatoire suivant la loi normale centre rduite. Le tableau suivant
donne les probabilits de l'vnement Z
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T ES/L CORRECTION EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE
Rappel
Soit X une variable alatoire.
X suit la loi normale N( ;) lorsque =
suit la loi centre rduite N(0;1).
La courbe de est symtrique par rapport la droite d'quation =
Exercice 1
Une assurance s'intresse aux cots des sinistres susceptibles de
survenir en 2013. On note X la variable alatoire qui chaque
sinistre associe son cot. L'tude des annes prcdentes montre que X
suit la loi normale de moyenne 1130 et d'cart type 180. Quelle est
la probabilit qu'en 2013 un sinistre pris au hasard cote entre 850
et 1700 euros ?
Mthode 1 : Directe avec la calculatrice et la modification de et
. On intresse p (850 X 1700) 0,939
Mthode 2 : Avec la calculatrice et la loi centre rduite
N(0;1)
X suit la loi N(1130,180) =1130
180 suit la loi centre rduite N(0;1)
Alors (850 1700) = (8501130
180
17001130
180) = (
280
180
570
180)
Exercice 2
Une usine fabrique des puzzles de 512 pices. Pour tester la
conformit des puzzles, le service qualit de l'entreprise prlve au
hasard un puzzle de 512 pices. On appelle X la variable alatoire
qui un puzzle donn associe le nombre de pices non conforme. On
estime que X suit le loi normale de moyenne 9 et d'cart type 3. 1)
Dterminer la probabilit qu'il y ait au plus 12 pices non conformes
dans le puzzle.
( 12) 0,8413 , on utilise la calculatrice avec = 9 et = 3 .
On peut aussi retrouver ce rsultat avec : 12 9
3
123
3 1
( 12) ( 1) et en utilisant la loi centre rduite N(0;1)
2) Dterminer le rel 0 tel que ( > 0) = 0,01. 0 15, 97
Utilisation de la calculatrice et InvNorm.
En dduire le plus petit entier k tel que la probabilit que le
puzzle comporte plus de k pices non conformes soit infrieure
0,01.
= 16 pices.
Exercice 3
On suppose que les masses des blocs de foie gras produites par
la socit Toutdeloi sont distribues normalement avec une moyenne de
250g et d'un cart type de 10g. On considre qu'un bloc n'est pas
rentable si sa masse est plus grande ou gale 265g. Calculer le
pourcentage de blocs non rentables fabriqus par cette socit.
( 265) 0,06 Soit 6%.
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Exercice 4 La slection chez les vaches laitires de race Franaise
Frisonne Pis Noir (*)
La production laitire annuelle en litres des vaches laitires de
la race Franaise Frisonne Pis Noir
peut tre modlise par une variable alatoire densit X, de loi
normale de moyenne =6000 et
d'cart type =400. La fonction dsigne la fonction de densit de
cette loi normale. 1) Afin de grer au mieux son quota laitier, en
dterminant la taille optimale de son troupeau, un leveur faisant
natre des vaches de cette race souhaite disposer de certaines
probabilits.
a) Calculer la probabilit qu'une vache quelconque de cette race
produise moins de 5800 litres de lait par an.
( 5800) 0,308 b) Calculer la probabilit qu'une vache quelconque
de cette race produise entre 5900 et 6100 litres de lait par
an.
(5900 6100) 0,197 c) Calculer la probabilit qu'une vache
quelconque de cette race produise plus de 6250 litres de lait par
an.
(6250 ) 0,2659 2) Dans son futur troupeau, l'leveur souhaite
connatre :
a) La production maximale prvisible des 30% de vaches les moins
productives du troupeau. ( 0) 0,3 Soit 0 5790 Les 30% des vaches
les moins productives produiront un maximum de 5790 litres.
b) La production maximale prvisible des 20% de vaches les plus
productives du troupeau. ( 1 ) 0,2 Les 20% des vaches les plus
productives produiront un minimum de 6336 litres.
Exercice 5 Rglage d'une machine d'embouteillage dans une
cooprative (*)
Sur une chane d'embouteillage dans une brasserie, la quantit X
(en cL) de liquide fournie par la machine pour remplir chaque
bouteille de contenance 110 cL peut tre modlise par une
variable
alatoire de loi normale de moyenne et dcart-type = 2. La
lgislation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant
moins d'un litre. 1) a) quelle valeur de la moyenne doit-on rgler
la machine pour respecter cette lgislation?
Il sagit dterminer la valeur de telle que ( < 100) <
0,001. On dtermine d'abord la valeur (on dit aussi quantile) de la
loi normale centre rduite, telle que ( < ) = 0,001. On trouve,
la calculatrice laide de FracNormale() ou InvN, 3,09.
Comme =
2 , on obtient 3,09
100
2 soit 100 + 2 3,09
On trouve 106,18 .
b) La contenance des bouteilles tant de 110 cL, quelle est
alors, dans ces conditions, la probabilit qu'une bouteille dborde
lors du remplissage?
Avec 106,18, on obtient ( > 110) 0,028.
2) Le directeur de la cooprative veut qu'il y ait moins de 1% de
bouteilles qui dbordent au risque de ne plus suivre la
lgislation.
a) Quelle est alors la valeur de ? Il sagit cette fois de
dterminer tel que ( > 110) < 0,01. On dtermine d'abord la
valeur de la loi normale centre rduite,
telle que ( > ) = 0,01 ou ( < ) = 0,99.
On trouve, la calculatrice laide de FracNormale() ou InvN,
2,33.
Comme =
2 , on obtient 2,33 =
110
2
On trouve 105,34 .
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b) Quelle est dans les conditions de la question a) la
probabilit que la bouteille contienne moins d'un litre?
Avec cette valeur de , on obtient ( < 100) 0,0038, ce qui est
plus lev que dans le cas prcdent.
3) Dterminer et afin quil y ait moins de 0,1% de bouteilles de
moins d'un litre ET moins de 1% de bouteilles qui dbordent.
On cherche donc dterminer les valeurs de et de de sorte que : (
< 100) < 0,001 et ( > 110) < 0,01.
Les deux contraintes sur les probabilits fournissent les deux
conditions suivantes. On dtermine d'abord la valeur sup de la loi
normale centre rduite
telle que ( > ) = 0,01 c'est--dire que ( < ) = 0,99
On trouve avec la calculatrice 2,33. On dtermine ensuite la
valeur telle que ( < ) = 0,001.
On trouve 3,09.
Les deux contraintes se traduisent donc par les deux ingalits
suivantes : 110
2,33 et
100
3,09
On obtient donc un domaine de solutions et une discussion pourra
tre mene quant aux choix pertinents que le directeur de cooprative
pourrait faire.
Exercice 5 Dure de vie dun appareil (*)
La dure de vie d'un certain type dappareil est modlise par une
variable alatoire suivant une loi normale de moyenne et dcart-type
inconnus. Les spcifications impliquent que 80 % de la production
des appareils ait une dure de vie entre 120 et 200 jours et que 5%
de la production ait une dure de vie infrieure 120 jours.
1) Quelles sont les valeurs de et ? On note X la variable dure
de vie. Les spcifications se traduisent par :
(120 200) = 0,8 et ( < 120) = 0,05 Alors ( 200) = 0,8 + 0,05
et ( < 120) = 0,05
Donc ( 200) = 0,85 et ( < 120) = 0,05
En notant toujours =
la variable centre rduite, on obtient :
( 200
) = 0,85 et (
120
) = 0,05
On trouve, la calculatrice laide de FracNormale() ou InvN,
1,04. et 1,65.
=
2 et =
2
1,04 =200
et 1,65 =
120
= 200 1,04 et = 120 + 1,65
Par la rsolution du systme, { = 200 1,04 = 120 + 1,65
Alors { = 200 1,040 = 80 2,69
{ = 200 1,04
=80
2,69
-
{ = 200 1,04
8000
269
=8000
269
{ = 169,07 29,74
On obtient donc = et , 2) Quelle est la probabilit davoir un
appareil dont la dure de vie soit comprise entre 200 jours et 230
jours ?
En utilisant la calculatrice, on obtient : (200 230) 0,13
Exercice 7
Une confiserie produit des plaques de chocolat. On admet que la
variable alatoire gale au poids
dune plaquette de 125 g suit une loi normale desprance = 125 et
dcart type = 0,5. La plaquette est juge conforme lorsque son poids
est compris entre 3 et + 3.
1) Calculer la probabilit quune plaquette prleve alatoirement au
hasard en fin de chane soit non conforme.
La probabilit quune plaque soit conforme est gale ( 3 + 3) 0,997
Donc la probabilit quune plaquette ne soit pas conforme vaut
environ 0,003.
2) Pour contrler le rglage de la machine, on dtermine des poids
dalerte et + tels que ( + ) = 0,99.
Ces poids dalerte sont inscrits sur une carte de contrle et
correspondent une marge de scurit en lien avec des normes de
conformit.
Dterminer ces poids dalerte.
Afin de pouvoir utiliser la calculatrice, il faut dterminer ( +
). On a ( + ) = ( ) + ( + )
Or ( ) = 0,5 (Rappel la courbe de la fonction densit est
symtrique par rapport la droite dquation = )
Et ( + ) =1
2 ( + ) =
0,99
2= 0,495
Alors ( + ) = 0,5 + 0,495 = 0,995
Avec la calculatrice, comme suit la loi normale N(125 ;0,5), on
trouve + = 126,29
Alors = 126,29 = 126,29 125 = 1,29 Donc + = 125 1,29 =
123,71
Do les poids dalerte sont 123,71 et 126,29
Grce des chantillons prlevs en fin de chane, ces poids dalerte
permettent de dceler lexistence danomalies de fonctionnement avant
le dpassement des normes 3 et +3
(*) Tir des documents ressources de Terminale
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Exercice 8 Pondichery 2013 (S)
Cette entreprise emploie 220 salaris. Pour la suite on admet que
la probabilit pour qu'un salari soit malade une semaine donne
durant cette priode d'pidmie est gale p=0,05. On suppose que l'tat
de sant d'un salari ne dpend pas de l'tat de sant de ses collgues.
On dsigne par X la variable alatoire qui donne le nombre de salaris
malades une semaine donne. 1. Justifier que la variable alatoire X
suit une loi binomiale dont on donnera les paramtres. Calculer
l'esprance mathmatique et l'cart type de la variable alatoire
X.
La situation revient rpter 220 fois de faon indpendante une
exprience de Bernoulli dont la probabilit du succs (le salari est
malade) vaut 0,05. Donc la variable alatoire X qui compte le nombre
de salaris malades suit une loi binomiale
B(220 ;0,05) (n=220 et p=0,05).
En utilisant les formules du cours on a :
= = 220 0,05 = 11
= (1 ) = 11(1 0,05) 3,23
2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable
alatoire
par la loi normale centre
rduite c'est--dire de paramtres 0 et 1. On note Z une variable
alatoire suivant la loi normale centre rduite. Le tableau suivant
donne les probabilits de l'vnement Z
