8/18/2019 Exo Bilan Etude Complète Dune Fonction
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Exercice BILAN « Etude complète d’une fonction rationnelle »
Considérons la fonction f définie par2 1
( )1
x x f x
x
− +=
− et f C sa courbe dans un repère (
), ,O i j
.
1) Ensemble de définition
Déterminer son ensemble de définition que l’on notera
f D
2) Limites
Déterminer les limites au bord de l’ensemble de f D
.
3)
Asymptotes et leurs positions par rapport à la courbea)
Asymptotes verticales ou horizontales
Que peut-on déduire de la question 2) en termes d’asymptotes
?
b) Asymptote obliquei) Montrer que la droite
d’équation y x= est une asymptote oblique à la courbe en +∞
et −∞ .
ii) Etudier les positions relatives de la courbe et de
l’’asymptote oblique :
4) Variations de la fonction
Etudier les variations de f sur f D
.
5) Equation d’une tangente : Déterminer l’équation de
la tangente en 3.
6) Graphe :
a) Tracer en rouge les deux asymptotes, en bleu la
tangente.
b) Tracer la courbe de la fonction f .
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8/18/2019 Exo Bilan Etude Complète Dune Fonction
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Considérons la fonction f définie par2 1
( )1
x x f x
x
− +=
− et f C sa courbe dans un repère (
), ,O i j
.
1) Ensemble de définition
Il ne faut pas que 1 0, c'est à dire que 1. Donc
\{1}. f x x− = = = D 2)
Limites
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1Quotient
1 11 1 1
1
1lim lim lim lim . De même, lim lim .
1
lim 1 1
lim . De même, limlim 1 0
x x x x x x
x
x x x x x x
x x x f x x f x x
x x
x x
f x f x x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞
→
+→ →
→ > <>
− += = = = +∞ = = −∞
−
− + = − → = −∞ = +∞
− =
3) Asymptotes et leurs positions par rapport à la
courbec) Asymptotes verticales ou horizontales
Comme les limites en 1 sont infinies, la courbe admet une
asymptote verticale : la droite d’équation x =
1. d) Asymptote oblique
i) Montrer que la droite d’équation y x= est une
asymptote oblique à la courbe en +∞ et −∞ .
( )
( ) ( )
( )
22 2 21 11 1 1( )
1 1 1 1
1Comme lim 1 = , en inversant on obtient lim lim 0.
1
De même, lim 0.
La droite d'équation est donc bien une as
x x x
x
x x x x x x x x x x f x x x
x x x x
x f x x x
f x x
y x
→+∞ →+∞ →+∞
→−∞
− + − −− + − + − +− = − = = =
− − − −
− + ∞ − = = −
− =
= ymptote oblique à la courbe en et en .+ ∞ − ∞
ii) Etudier les positions relatives de la courbe et de
l’’asymptote oblique :
1La différence ( ) est du signe de 1.
1
1
1 0
Positions La courbe est au La courbe est au||
relatives dessous de l'asymptote dessus de l'asymptote
f x x x x
x
x
− = −−
−∞ +∞
− − +
4) Variations de la fonction
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
22 2
2 2
2
2 2
2
2 1 1 1 1 2 2 1 1'
1 1
22
1 1
La dérivée est du signe du trinôme 2
qui a pour racines évidentes 0 et 2.
0 1 2
' 0 || 0
1 ||
||
|| 3
x x x x x x x x x f x
x x
x x x x
x x
x x
x
f x
f x
− × − − − + × − − + − + −= =
− −
−−= =
− −
−
−∞ +∞
+ − +
− +∞ +∞
−∞ −∞
5) Equation d’une tangente :
( ) ( )
( )
( )
2
2
3 3 2 3 3 3 1 7On calcule ' 3 et (3)
4 3 1 23 1
3 7 3 5L'équation de la tangente au point d'abscisse 3 est donc
3
4 2 4 4
f f
y x y x
− − += = = =
−−
= − + ⇔ = +
6) Graphe
