ex_ra

HEIG-VD Régulation automatique (REG)

Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)

Département des TechnologiesIndustrielles (TIN)

Filière Microtechniques (MI)Filière Systèmes industriels (SI)

Filière Génie électrique (GE)Filière Energie et Techniques

Environnementales (ETE)

Régulation automatique (REG)Exercices

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, février 2013,Yverdon-les-Bains

Exercices 1 MEE \ex_ra.tex23 juin 2013

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Table des matières

1 Régulateur de vitesse 4

2 Gain statique 4

3 Moteur DC en régime permanent constant 7

4 Système vicieux 8

5 Robustesse 9

6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’amplificateur opération-nel en montage non-inverseur 9

7 Fonction de transfert 10

8 Caractéristiques dynamiques d’un système 10

9 Modélisation 11

10 Modélisation 13

11 Modélisation et schéma fonctionnel d’un amplificateur opéra-tionnel avec charge capacitive 13

12 Modélisation et schémas fonctionnels d’un capteur de courantde type LEM 15

13 Modélisation et schéma fonctionnel d’un entraînement avec trans-mission flexible 17

14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode 20

15 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 21

16 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 21

17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de systèmes possédantun retard pur 22

18 Diagramme de Nyquist 23

19 Précision 24

20 Asservissement de vitesse 24






21 Asservissement de position angulaire par régulateurs P et PD 25

22 Asservissement de courant 26

23 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ? 28

24 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction 29

25 Précision et rapidité 29

26 Loi de commande d’un régulateur PID avec filtre 31

27 Choix du gain de boucle par la méthode de Bode 32

28 Critère de Nyquist et méthode de Bode 33

29 Identification de la réponse fréquentielle d’un système à régler 35

30 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 36




34 Synthèse d’un régulateur P 38

35 Tracé manuel du lieu des pôles 39

36 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateur 39






1 Régulateur de vitesse

1.1

Dessiner le schéma fonctionnel de principe du tempomat, système de régulationautomatique bien connu ayant pour but de maintenir la vitesse d’un véhicule àune valeur spécifiée par le conducteur sans que celui-ci n’ait à agir sur la pédaledes gaz. Nommer tous les signaux importants (consigne, erreur, commande, etc)

1.2

De quel mode de régulation s’agit-il essentiellement ?

1.3

Proposer un type de régulateur et discuter les performances d’un tel systèmelorsque le véhicule est en montée.

2 Gain statique

Les figures ci-dessous montrent les réponses indicielles expérimentales de 4systèmes dynamiques linéaires. Donner le gain statique de chaque système.

2.1

– Signal d’entrée : u(t)– Signal de sortie : Tm(t)

0 5 10 15−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t [s]

u(t)

, Tm

(t)

Tm

(t)

u(t)

Température mesurée Tm

(t)

Commande corps de chauffe u(t)

f_arx_exemple_02_3.eps






2.2

– Signal d’entrée : u(t)– Signal de sortie : y(t)

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t[s]

γ a(t)

Réponse indicielle de Ga(s)

u(t)y(t)

f_te_ra_39_1_1.eps

2.3

– Signal d’entrée : u(t)– Signal de sortie : y(t)

0 5 10 15−1

0

1

2

3

4

5

6

t [s]

y(t)

u(t)

u(t)y(t)

f_syst_B_01_1.eps






2.4

– Signal d’entrée : Tem(t)– Signal de sortie : ωm(t)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−3

y(t)

=ω

m(t

)

Vitesse angulaire

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.5

1

1.5

2Couple

u(t)

=T

em(t

)

t [s]

f_arx_exemple_04_3.eps

2.5

– Signal d’entrée : Tc(t)– Signal de sortie : Tm(t)

0 5 10 1524

25

26

27

28

29

30

31

Tc(t

), T

m(t

) [−

]

t [s]

Régulation manuelle de la température d’une douche

T

c(t)

Tm

(t)

f_cal_demo_04_2.eps






3 Moteur DC en régime permanent constant

On considère un moteur DC à excitation séparée constante, ayant pour chargeune inertie totale Jt et sur les paliers duquel agit du frottement visqueux decoefficient Rf . Le circuit d’induit a une résistance Ra, une inductance La et laconstante de couple du moteur est KT . Le moteur est commandé en tension, i.e.c’est la tension ua aux bornes de l’induit qui est imposée.

i a

u a

L aR a

J t

u ( t )w ( t )

M

R f

a mpl if ic at eur

de pui ss anc e

pa li er s

Figure 1 –

3.1

Calculer le gain statique

Ka =limt→∞ ω(t)

limt→∞ ua(t)

∣∣∣∣ua(t)=const.

3.2

On réalise l’asservissement de vitesse de ce moteur à l’aide d’un régulateur àaction proportionnelle de gain Kp et d’un capteur de vitesse de gain Kmω. Donnerle schéma fonctionnel de l’installation en nommant tous les signaux importantset calculer le gain statique .

Kyw =limt→∞ y(t)

limt→∞w(t)

∣∣∣∣w(t)=const.

En déduire l’erreur statique E∞w = w(∞)−y(∞)w(∞)

∣∣∣w(t)=const.

.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/f_02_01.pdf



3.3

Comparer les variations des deux gains statiques précédemment calculés enfonction du coefficient de frottement visqueux Rf . Conclusions ?

4 Système vicieuxLa figure ci-dessous montre la réponse indicielle d’un circuit électrique à com-

portement dit "vicieux" :

t [ s ]0

u s ( t )u e ( t )

f _ 0 2 _ 2 6 _ 2 . e p s

Le circuit concerné est donné sur la figure ci-dessous :

R

CR

C

u e ( t ) u s ( t )

f _ 0 2 _ 2 5 . e p s

On demande :1. de justifier la valeur du gain statique

K =limt→∞ us(t)

limt→∞ ue(t)

∣∣∣∣ue(t)=const.

= 1.0

2. d’expliquer pourquoi la valeur initiale de la réponse indicielle est d’unepolarité inversée par rapport à celle de l’entrée

limt→0+

us(t)

∣∣∣∣ue(t)=saut unité

= − limt→0+

ue(t)






5 RobustesseSoit le schéma fonctionnel de la figure ci-dessous, représentant par exemple

un amplificateur de puissance "push-pull" contre-réactionné par un élément degain KA. Tracer, sur un même graphique, les caractéristiques u2 = f(u0) = u3

0 et

S

-

K Au 2

0u 1 u 2u 0

u 0

f _ 0 3 _ 1 . e p s

Figure 2 –

u2 = g(u1), pourKA suffisamment grand et en tirer les conclusions qui s’imposent.

Indication : plutôt que d’extraire la caractéristique u2 = g(u1), calculer plutôtu1 = g−1(u2).

6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’ampli-ficateur opérationnel en montage non-inverseur

Soit le montage à amplificateur opérationnel suivant, où l’amplificateur estsupposé idéal, exception faite de son gain différentiel qui est fini et vaut KA.

6.1

Donner le schéma fonctionnel détaillé. La contre-réaction est-elle unitaire ?Quelle est sa valeur ?

6.2

Transformer le schéma fonctionnel précédemment obtenu de façon à le présen-ter sous forme canonique (canonique signifie que la contre-réaction est unitaire).

6.3

Dans le cas où R1 = 0 [Ω] et R2 = ∞, calculer le gain statique en bouclefermée (i.e. le gain us

ue) et la précision statique du montage :

E∞w =w(∞)− y(∞)

w(∞)







+

-

R 1

K A

R 2

u s ( t )u e ( t )

Figure 3 –

7 Fonction de transfertDonner la fonction de transfert, sous forme de Bode factorisée, du système

décrit par l’équation différentielle :

J · d2θ

dt2= Tem(t)−Rf ·

dθ

dt

où :– le signal d’entrée est le couple électromagnétique Tem(t)– le signal de sortie est la position angulaire θ(t)

8 Caractéristiques dynamiques d’un systèmeLa fonction de transfert d’un système à régler étant

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

2.5 · (1 + s)

(20 · s+ 5) · (s2 + 20 · s+ 10 · 103)

donner– le gain statique de Ga(s)– les pôles et zéros de Ga(s)– s’il y a lieu, selon les pôles :– les constantes de temps de Ga(s)– le taux d’amortissement de Ga(s)– la pulsation propre non-amortie de Ga(s)







9 Modélisation

On considère le système mécanique moteur-arbre de transmission-charge re-présenté sur la figure ci-dessous :

Moteur :inertie J1

Position ϑ1(t)

Charge :inertie J2

Position ϑ2(t)

Arbre detransmission :

rigiditék → ∞

[N·mrad

]

Palier :frottement

visqueux Rf1

Palier :frottement

visqueux Rf2

Coupleélectroma-gnétique du

moteur :Tem(t)

La grandeur d’entrée est le couple électromagnétique Tem(t) fourni par le moteur,celle de sortie est la position angulaire ϑ2(t) de la charge J2.

On suppose que la rigidité en torsion k de l’arbre de transmission est infinie("transmission infiniment rigide").

9.1 Modèle mathématique

Donner :

1. le modèle mathématique (équations différentielles) du système, sous formecanonique ;

2. le schéma fonctionnel détaillé (construit avec des blocs de type sommateur,gain, intégrateur, etc) ;

3. les fonctions de transfert liant le couple électromagnétique Tem(t) à la po-






sition angulaire ϑ2(t) ainsi qu’à la vitesse angulaire ω2(t) :

GθT (s) =Θ2(s)

Tem(s)

GωT (s) =Ω2(s)

Tem(s)

Ces fonctions de transfert sont à présenter sous forme de Bode ;4. Montrer que l’unité physique de la constante de temps de GωT (s) est bel et

bien des [s] ;5. Esquisser l’allure des réponses indicielles de GωT (s) et GθT (s). Donner l’ex-

pression analytique de la valeur finale de ω2(t) lorsque le saut de Tem(t) estd’amplitude 1 [N ·m].

9.2 Esquisse de la réponse indicielle

En admettant que le frottement visqueux soit nul (Rf = 0[

N·mrads

]), esquisser

les allures1. de la vitesse angulaire de la charge ω2(t),2. de la position angulaire de la charge ϑ2(t),

lorsque le couple électromagnétique Tem(t) est un saut de 1 [N ·m].

9.3 Esquisse de la réponse indicielle

En admettant que le frottement visqueux soit nul (Rf = 0[

N·mrads

]), esquisser

l’allure du courant d’induit ia(t) lorsque le couple électromagnétique Tem(t) est unsaut de 1 [N ·m]. Le moteur électrique est de type "courant continu à excitationséparée constante".






10 ModélisationOn considère le schéma technologique suivant :

k

m~F (t)

Rf

x(t)

La masse m subit la force externe F (t) (signal d’entrée) et sa position instan-tanée est donnée par x(t) (signal de sortie). Du frottement visqueux linéaire decoefficient Rf

[Nms

]agit sur m de même qu’une force de rappel provoquée par le

ressort de constante de rigidité k[Nm

].

10.1

Donner l’équation différentielle régissant le système représenté ainsi que safonction de transfert.

10.2

Donner les expressions analytiques des paramètres K, ζ et ωn : quelle hypo-thèses doit-elle être respectée pour que ces paramètres existent ?

Application numérique– m = 500 [kg]– k = 20′000

[Nm

]

– Rf = 3200[Nms

]

11 Modélisation et schéma fonctionnel d’un am-plificateur opérationnel avec charge capacitive

Soit le montage suiveur à amplificateur opérationnel : L’amplificateur est sup-






+

-u e ( t )u s ( t )

K A ( w )

R S

C L

f _ 0 5 _ 1 . e p s

Figure 4 –

posé idéal, exception faite de son gain différentiel KA qui varie en fonction de lafréquence : KA = KA(ω). Sa résistance de sortie est Rs et l’amplificateur estchargé par la capacité CL représentant par exemple la capacité d’entrée du cir-cuit suivant.

11.1

Modéliser l’amplificateur opérationnel de manière approximative, en admet-tant que son gain différentiel vautKA en régime statique et que le gain dynamiquediminue à partir de la pulsation ωA à raison de 20

[ dBdéc

].

11.2

Donner le schéma fonctionnel détaillé.

11.3

Calculer les fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) et en boucle ferméeGyw(s) = Us(s)

Ue(s). Donner les résultats sous forme de Bode.

11.4

Calculer les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée Gyw(s) ainsique le taux d’amortissement ζ, la pulsation propre non-amortie ωn et la pulsationpropre du régime libre ω0 lorsque Rs = 100 [Ω], CL = 10 [µF], KA = 100 [dB],ωA = 2 · π · 10′000

[ rads

].

11.5

A l’aide de MATLAB, tracer la réponse indicielle et le diagramme de Bode dela réponse harmonique de la fonction de transfert en boucle fermée Gyw(s).







Commandes MATLAB utiles (Control System Toolbox )– G = tf(numG,denG) ;– step(G)– bode(G)– damp(G)

12 Modélisation et schémas fonctionnels d’un cap-teur de courant de type LEM

On donne ci-dessous un schéma illustrant le principe du fonctionnement d’uncapteur de courant de la marque LEM (Genève). Le courant primaire, à mesurer,

Figure 5 –

crée dans le noyau magnétique un champ d’induction B mesuré par une sondede Hall. Le signal électrique (une tension) délivré par celle-ci est amplifié parun amplificateur différentiel de gain KA et alimente le secondaire, parcouru alorspar un courant tendant à compenser l’effet du primaire, donc à annuler le champd’induction dans le noyau.

12.1

Donner les modèles mathématiques en t et en s, sans omettre de formuler leshypothèses simplificatrices nécessaires.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/lem_01.pdf



12.2

Donner le schéma fonctionnel détaillé. Du point de vue de l’utilisateur, quelssont les signaux d’entrée et de sortie ?

Indication Garder dans l’équation de la tension induite u2(t) = R2 · i2(t) + dΨ2

dt

le flux totalisé Ψ2(t) tel quel et n’introduire qu’ultérieurement sa dépendanceenvers les courants primaire et secondaire Ψ2(t) = L12 · i1(t) + L22 · i2(t). i.e. nepas traduire graphiquement u2(t) = R2 · i2(t) + L12 · di1dt + L22 · i2dt .

12.3

De quel mode de régulation s’agit-il ? Présenter le schéma fonctionnel du sys-tème complet de façon à mettre en évidence ce mode de régulation.

12.4

Calculer les fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) et en boucle ferméeGyw(s) = B(s)

Bc(s). Donner les résultats sous forme de Bode.

12.5

Calculer la fonction de transfert Gwi(s) = I2(s)I1(s)

. Donner le résultat sous formede Bode. Que vaut le gain statique de Gwi(s) ? En déduire la précision statiquedu capteur. Reporter dans le plan de s les pôles et zéros de Gwi(s).

12.6

Calculer la réponse à un saut de courant primaire. Comment se comporte lecourant secondaire lorsque la résistance secondaire R2 est nulle ?






13 Modélisation et schéma fonctionnel d’un en-traînement avec transmission flexible

Soit le système mécanique suivant, constitué de deux inerties accouplées parun arbre flexible (i.e. non-infiniment rigide, élastique...). Il s’agit par exemple durotor d’un moteur électrique et de sa charge (figure 6).

R f

q 1 ( t )T e m ( t ) q 2 ( t )

i n e r t i e d u r o t o r :

J 1

i n e r t i e d e l a c h a r g e :

J 2

r i g i d i t é d e l ' a r b r e

d e t r a n s m i s s i o n :

k [ N m / r a d ]

c o e f f i c i e n t d e

f r o t t e m e n t v i s q u e u x :

d e s p a l i e r s

R f [ N m s / r a d ]

R f

f _ 0 7 _ 0 1 . e p s

Figure 6 –

Les paliers créent un couple de frottement visqueux total Rf

[N·mrads

], et l’arbre

liant les masses en rotation est de rigidité k[N·m

rad

].





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13.1

Modéliser ce système par ses équations différentielles. Donner son modèled’état, i.e. ses n équations différentielles d’ordre 1.

13.2

Calculer les fonctions de transfert :

G1(s) =Lposition angulaire de J1

L couple moteur =Θ1(s)

Tem(s)

G2(s) =Lposition angulaire de J2

L couple moteur =Θ2(s)

Tem(s)

G3(s) =Lposition angulaire de J2L position angulaire de J1

=Θ2(s)

Θ1(s)

Indication Afin d’alléger les calculs, trouver d’abord les fonctions de transfert

G1α(s) =Laccélération angulaire de J1

L couple moteur =α1(s)

Tem(s)

G2α(s) =Laccélération angulaire de J2

L couple moteur =α2(s)

Tem(s)

G3α(s) =Laccélération angulaire de J2L accélération angulaire de J1

=α2(s)

α1(s)

et commencer par le calcul de G3α(s).

13.3

Calculer les pôles et les zéros des fonctions de transfert obtenues au pointprécédent lorsque Rf = 0

[N·mrads

].

13.4

Donner le schéma fonctionnel détaillé du système en se basant sur le modèled’état, i.e. le modèle donné par les n équations différentielles d’ordre 1 obtenu au§13.1. Les seuls éléments dynamiques y apparaissant doivent être des intégrateurs.

13.5

A l’aide de MATLAB, tracer les réponses impulsionnelles des fonctions detransfert calculées, leurs diagrammes de Bode ainsi que leur configuration pôle-zéro.






Paramètres :

J1 = 0.45 · 10−3 [kg ·m2]

J2 = 25 · 10−3 [kg ·m2]

Rf = 20 · 10−3

[N ·m

rads

]

k = 1740

[N ·mrad

]

Commandes MATLAB (Control System Toolbox )Fonction de transfert

– G = tf(numG,denG) ;– impulse(G)– bode(G)

Modèle d’état– sys = ss(A,B,C,D) ;– impulse(sys)– bode(sys)






14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode

14.1

Tracer le diagramme de Bode asymptotique et esquisser le lieu de Nyquist de

G (s) =Y (s)

U(s)=

K

s · (1 + s · τ)

pour K = 10 et τ = 1 [s].

14.2

Tracer le diagramme de Bode asymptotique et esquisser le lieu de Nyquistde :

G (s) =Y (s)

U(s)=

(1 + 10 · s)(1 + s) · (1 + 3 · s)

14.3

Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert d’unrégulateur PI, pour Kp = 10, Ti = 10 [s].

14.4

Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert d’unrégulateur PD idéal, pour Kp = 10, Td = 1 [s].

14.5

Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de

N1 (s) = (1− s · τ)

etN2 (s) = (1 + s · τ)

pour τ = 1 [s].

14.6

Tracer le diagramme de Bode asymptotique de

G (s) =Y (s)

U(s)=

100

s2· (1 + s · 0.3333)

(1 + s · 0.01) · (1 + s · 0.003333)






15 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi

Soit le système asservi de la figure ci-dessous :

Σ

-

10100

s+10w(t) y(t)

Régulateur

Gc(s)Système à

régler Ga(s)

e(t) u(t)

15.1

Tracer sur un même graphique les diagrammes de Bode asymptotiques desfonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) et en boucle fermée, régulation decorrespondance, Gw(s).

15.2

Faire de même en traçant leur lieu de Nyquist.

15.3

Justifier la forme des lieux et diagrammes obtenus.

16 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi

Soit le schéma fonctionnel du système asservi (régulation de position angu-laire) de la figure ci-dessous.

Σ

-

Kp · (1 + s · Td) ΣKa2

1+s·τKe

s

v(t)

w(t) y(t)e(t) u(t)

Valeurs numériques :– Td = 1 [s] ;– τ = 10 [s] ;– Ke = 1

[ Vrad

];

– Ka2 = 10[ rad

sN·m

].




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/ex_ra_4.pdf

http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/ex_ra_5.pdf



16.1

Calculer Kp de façon à ce que le taux d’amortissement ζ des pôles dominantsen boucle fermée soit optimal (ζ = ζopt = 0.5) et que le système en boucle ferméesoit le plus rapide possible. Vérifier le résultat à l’aide de MATLAB.

Fonction MATLAB utile :– damp (Control toolbox)

16.2

Tracer les diagrammes de Bode exact et asymptotique et esquisser les lieux deNyquist des fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) et en boucle fermée,régulation de correspondance Gw(s) et régulation de maintien Gyv(s).

Vérifier les résultats à l’aide de MATLAB.Fonctions MATLAB utiles :– bode (Control toolbox)– bode_me (MEE)

17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de sys-tèmes possédant un retard pur

17.1

Tracer le lieu de Bode asymptotique et esquisser le lieu de Nyquist de lafonction de transfert d’un retard pur de 2 [s].

Pour cet élément, tracer également l’allure de la phase en fonction de la pul-sation, celle-ci étant représentée sur un axe gradué linéairement.

17.2

Esquisser le lieu de Nyquist de :

G (s) =Y (s)

U(s)=

e−s·2[s]

1 + s · τ






18 Diagramme de NyquistEsquisser le diagramme de Nyquist correspondant au diagramme de Bode

suivant :

0.1 1 3.1842 10 100 1000 10000−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80Diagramme de Bode

gain

[dB

]

0.1 1 3.1842 10 100 1000 10000−180

−135

−90

−45

0

ω [rad/s]

phas

e [d

egré

]

f_ra_19_1.eps




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19 PrécisionOn considère le système de régulation automatique de vitesse suivant :

Σ-

Kp · (1 + s · Td) Kcm Σ1

s·

1

Rf+s·J

Kmω

w(t)

y(t)

Tem(t)

Trés(t)

ω(t)u(t)e(t)

Calculer les erreurs statiques en régulation de correspondance et de maintien.

20 Asservissement de vitesseUne charge mécanique constituée d’une inertie pure J est entraînée par un

moteur à courant continu à excitation séparée constante. Sa vitesse, mesurée aumoyen d’une dynamo tachymétrique, est asservie au moyen d’un simple régulateurP de gain Kp. Celui-ci forme un signal de commande représentant le couple Temcque l’on souhaite voir produit par le moteur afin de corriger l’erreur de vitesse.

i a

M T

y

w +

-T e m c

L aR a

J

K m w

K pv ( t ) = T r é s w

f _ 1 2 _ 0 1 . d s f

Le moteur est commandé en courant, i.e. il est alimenté par une source de courantcommandée. L’arbre moteur subit des perturbations de couple v(t) = Tres(t).

20.1

Déterminer les modèles en t et en s puis donner le schéma fonctionnel détailléde l’installation. Quelle est l’unité physique du gain du régulateur ?

20.2

Calculer les fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) et en boucle ferméeGyw(s) (régulation de correspondance), Gyv(s) (régulation de maintien).

Donner les résultats sous forme de Bode.




http://php.iai.heig-vd.ch/~mee//cours/cours_ra/ex_ra///Figures/../../te_ra/figures/te_ra_55_0.pdf




20.3

Comment faire pour garantir que le couple moteur corresponde effectivementà celui Temc "souhaité" par le régulateur ? Présenter le schéma fonctionnel de lasolution proposée.

20.4

Calculer les erreurs statique E∞ et en vitesse Ev dans les deux modes derégulation.

21 Asservissement de position angulaire par ré-gulateurs P et PD

Partant du schéma fonctionnel de la régulation de vitesse de l’exercice précé-dent, on se propose maintenant d’asservir la charge (l’inertie J) en position. Ladynamo tachymétrique devient alors a priori inutile et elle est remplacée par uncapteur de position de gain Kmθ . Il en est de même du régulateur de vitesse quiest remplacé par un régulateur de position. Dans un premier temps, un simplerégulateur proportionnel de gain Kp est adopté.

i a

M

y

w +

-T e m c

L aR a

J

K m q

K pv ( t ) = T r é s q

E

f _ 1 3 _ 0 1 . e p s

21.1

Donner le schéma fonctionnel de l’installation. Quelle est l’unité physique dugain du régulateur ?

21.2

Montrer que l’installation est inutilisable en boucle fermée.

21.3

Indiquer dans le plan complexe la position des pôles en boucle fermée. Esquis-ser la réponse impulsionnelle en boucle fermée.







21.4

Utiliser un régulateur de type PD, dont la fonction de transfert est

Gc(s) =U(s)

E(s)= Kp · (1 + s · Td)

et donner :– la fonction de transfert en boucle fermée (régulation de correspondance),

sous forme de Bode ;– la limite supérieure du gain du régulateur ;– les pôles et les zéros en boucle ouverte, en indiquant leur position dans le

plan complexe (par des x pour les pôles et par des o pour les zéros) ;– les pôles et les zéros en boucle fermée, lorsque le gain Kp varie de 0 à

l’infini. Pour cela s’aider de MATLAB et des fonctions series, cloop, tf2zpet/ou roots ;

– le schéma électronique de principe du régulateur PD ;– la réponse indicielle du régulateur PD réalisable.

21.5

Avec un régulateur de type PD, calculer la valeur de Kp et Td pour que letaux d’amortissement du système en boucle fermée soit optimal.

21.6

Comparer l’effet de l’action D obtenu au point 21.5 avec celui obtenu aupoint 21.2 page précédente lorsque l’arbre subit du frottement visqueux linéairede coefficient Rf .

22 Asservissement de courantOn considère le schéma fonctionnel d’un asservissement de courant :

Σ

-

KA Σiac(t)uA(t) ua(t)

upert(t)

u(t)e(t)

Amplificateurde puissance

Kmi

Capteur de courantiam(t)

ia(t)

Chargeélectrique(Ra, La)

RégulateurPI






22.1 Fonctions de transfert

Le régulateur est de type PI et la charge électrique est ohmique-inductive,représentable par le circuit (Ra = résistance, La = inductance) :

La

Raua(t)

ia(t)

On demande de donner les fonctions de transfert suivantes, présentées sousforme de Bode :

– Régulateur Gc(s)– Système à régler Ga(s)– Boucle ouverte Go(s)

– Boucle fermée, régulation de correspondance Gyw(s) = Iam(s)Iac(s)

– Boucle fermée, régulation de maintien Gyv(s) = Iam(s)Upert(s)

22.2 Caractéristiques dynamiques en boucle fermée (1.25 points)

En admettant que la fonction de transfert en boucle boucle fermée, régulationde correspondance, soit

Gyw(s) =Iam(s)

Iac(s)=

355305.7584

s2 + 888.6 · s+ 3.948 · 105

donner– le gain statique de Gyw(s)– le taux d’amortissement de Gyw(s)– la pulsation propre non-amortie de Gyw(s)

22.3 Réponse indicielle en boucle fermée

En admettant que la fonction de transfert en boucle boucle fermée, régulationde correspondance, soit

Gyw(s) =Iam(s)

Iac(s)=

Kw

1 + 2·ζωn· s+ 1

ω2n· s2

avec

ζ = 0.5

Kw = 0.75

ωn = indifférent (pas d’échelle de temps requise)






esquisser, sans calcul, l’allure de la réponse indicielle de Gw(s) sur la figure ci-dessous :

iac(t)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0

0.5

1

1.5

t [s]

iac(t), iam(t)

23 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ?

Soit un système asservi dont la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s)est de type α = 1. On a donc :

Go(s) ∝1

s

23.1

Par une démarche intuitive, montrer que l’erreur statique en régulation demaintien n’est non-nulle que si l’intégration est située après l’introduction desperturbations.

23.2

Montrer, par une démarche intuitive que l’erreur statique en régulation decorrespondance n’est nulle que lorsqu’il y a une intégration (au moins) dans laboucle. Répéter le raisonnement pour montrer que de l’erreur en vitesse n’estnulle que lorsqu’il y a deux intégrations (au moins) dans la boucle.






24 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction

Soit le système à régler défini par la fonction de transfert :

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

Ka

1 + s · τaCe système est asservi au moyen d’un simple régulateur proportionnel de gainKp.

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée (régulation de correspon-dance), sous forme de Bode, ainsi que la durée de réglage Treg. De l’expression deTreg, déduire un atout majeur de la contre-réaction.

Que valent les erreurs statique E∞ et en vitesse Ev ? (on admet que les per-turbations sont introduites directement en amont du système à régler Ga(s)).

25 Précision et rapiditéOn considère une boucle de régulation automatique. Les fonctions de transfert

en mode de correspondance Gyw(s) et en mode de maintien Gyv(s) sont donnéespar

Gyw(s) =Y (s)

W (s)=

4′000

(s+ 100) · (s2 + 22 · s+ 40)

Gyv(s) =Y (s)

V (s)=

1′000

(s+ 100) · (s2 + 22 · s+ 40)

25.1

Calculer l’erreur statique e∞v en présence d’un saut unité de la consigne w(t),en supposant que la perturbation v(t) reste à zéro.

25.2

Calculer l’erreur statique e∞v en présence d’un saut unité de la perturbationv(t), en supposant que la consigne w(t) reste à zéro.

25.3

Calculer approximativement la durée de réglage Treg en mode de correspon-dance.





HEIG

-VD

Rég

ulatio

nau

tomatiq

ue(R

EG

)

25.4

On considère les allures de la consigne w(t) et de la perturbation v(t) selon la figure ci-dessous. Rajouter avec soinl’allure de la grandeur réglée y(t).

w(t)

v(t)

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

t [s]

w(t), v(t)

Exercices

30M

EE

\ex_

ra.tex23

juin

2013





25.5

On considère un système d’ordre 1 ayant Treg = 100 [ms] comme durée deréglage par rapport à une fourchette de 5% autour de la valeur finale. Calculer letemps nécessaire Treg2% pour entrer dans une fourchette de 2%.

26 Loi de commande d’un régulateur PID avecfiltre

Le schéma fonctionnel d’un régulateur PID avec filtrage de l’action dérivéeest donné ci-dessous :

Σ 1Ti·∫ t

−∞

Σ Td · ddt

a−

Σ Kpw(t)

y(t)

u(t)e(t)

−

On demande :– la fonction de transfert du régulateur, sous forme de Bode ;– la loi de commande u(t) = f(e(t), . . .) du régulateur.






27 Choix du gain de boucle par la méthode deBode

Déterminer la valeur optimale Kp du gain du régulateur P pour les systèmesasservis ayant les fonctions de transfert données ci-dessous. Dans chaque cas :

– travailler dans le plan de Bode (on se contentera d’une esquisse rapide desdiagrammes asymptotiques) ;

– tracer le diagramme de Bode exact de Go(jω) à l’aide du logiciel MATLAB,mesurer les marges de phase ϕm et de gain Am ;

– du diagramme de Bode précédent, déduire le gain de boucle optimal Ko

puis le gain Kpop ;– donner la durée de réglage approximative en boucle fermée Treg pour Ko ;– pour Ko = Koop, tracer la réponse indicielle en boucle fermée à l’aide de

MATLAB et donner le taux d’amortissement ζ des pôles dominants.Fonctions MATLAB utiles :– bode (Control toolbox) ou bode_me (MEE)– margin (Control toolbox)– step (Control toolbox) ou step_me (MEE)– damp (Control toolbox)

Rappel : le gain de boucle Ko est dit optimal s’il permet d’obtenir un compor-tement optimal en boucle fermée, ce qui pour la plupart des systèmes correspondà une marge de phase ϕm de 45 [] et une marge de gain Am supérieure ou égaleà 8− 15 [dB].

27.1

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

0.1

s · (1 + s · 1)

27.2

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

1

s · (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)

où τ1 = 1 [s] et τ2 = 10 [s].

27.3

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

10

1 + s · 2·ζωn

+ s2 · 1ω2n






où ζ = 0.01 et ωn = 1[ rad

s

].

27.4

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

10 · e−s·Tr(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)

où τ1 = 1 [s], τ2 = 10 [s] et Tr = 1 [s].

27.5

Ga (s) =Y (s)

U(s)= 100 · (1− s · 10)

(1 + s) · (1 + s · 100)

28 Critère de Nyquist et méthode de Bode

On considère le système à régler Ga(s) = Y (s)U(s)

= 10s2·(s+10)

.

28.1

On souhaite faire le choix du régulateur (P, PI, PD, PID) pour satisfaire lecahier des charges suivants :

1. l’erreur permanente (erreur statique) en régulation de correspondance doits’annuler ;

2. la structure du régulateur doit être la plus simple possible.

Justifier votre réponse en argumentant pour chaque type de régulateur (P, PI,PD, PID) les raisons pourquoi il satisfait ou pas le cahier des charges ci-dessus.

28.2

Déterminer si le système est stable en boucle fermée pour le cas de figuremontré ci-dessous.






10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−50−40−30−20−10

0102030405060708090

100110120130140

|Go(j · ω)|

ω[

rad

s

]

A(ω)[dB]

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

−270−260−250−240−230−220−210−200−190−180−170−160−150−140−130−120−110−100−90−80

arg Go(j · ω)

ω[

rad

s

]

ϕ(ω)[]

28.3

En se référant à la figure du §28.2, déterminer la marge de phase ϕm pourKp = 3.16 · 10−3.

28.4

En se référant à la figure du §28.2, déterminer la valeur de Kp permettantd’imposer une marge de phase ϕm = 45 [] et d’obtenir le système le plus rapideen boucle fermée. Donner la durée de réglage Treg approximative correspondante.





HEIG

-VD

Rég

ulatio

nau

tomatiq

ue(R

EG

)

29 Identification de la réponse fréquentielle d’un système à réglerLa réponse fréquentielle expérimentale d’un système à régler analogique Ga(s) est donnée ci-dessous. Donner Ga(s).

10−1

100

101

102

−40

−20

0

20

40

ω [rad/s

A(ω

) [d

B]

Diagramme de Bode de la réponse fréquentielle expérimentale de Ga(s)

10−1

100

101

102

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

ω [rad/s

φ(ω

) [d

eg]

f_te_ra_46_3_8.eps

Exercices

35M

EE

\ex_

ra.tex23

juin

2013





30 Synthèse fréquentielle d’un régulateurUn système à régler a pour fonction de transfert

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

Ka

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2), avec

τ1 = 10 [s]τ2 = 1 [s]Ka = 10

30.1

Choisir et faire la synthèse d’un régulateur permettant de satisfaire les exi-gences suivantes (papier linlog à disposition) :

– la réponse indicielle en boucle fermée doit être oscillatoire optimale ;– l’erreur statique doit être nulle.

(de te_ra_11.doc)

30.2

Quelle est la durée de réglage Treg approximative ?

30.3

Vérifier les performances du système asservi dans les deux modes de régulationà l’aide de MATLAB, en supposant que Ga1(s) = 1.

Fonction MATLAB utile– feedback (Control System Toolbox)

31 Synthèse fréquentielle d’un régulateurUn système à régler a pour fonction de transfert

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

Ka

s · (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2), avec

τ1 = 10 [s]τ2 = 1 [s]Ka = 10

31.1

Faire la synthèse d’un régulateur PD tel que la réponse indicielle en bouclefermée soit oscillatoire optimale (papier linlog à disposition).

(de te_ra_12.doc)

31.2







31.3



32 Synthèse fréquentielle d’un régulateur

Soit la fonction de transfert Ga(s) d’un système à régler :

Ga (s) =Y (s)

U(s)=

Ka

(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2) · (1 + s · τ3)

On l’asservit au moyen d’un régulateur PID idéal (a = 0) dont les coefficients Tiet Td sont choisis de manière à éliminer de la boucle les constantes de temps τ1

et τ2.

32.1

Calculer le gain proportionnel Kp du régulateur de façon à ce que la margede phase soit de 45 [].

Valeurs numériques : τ1 = 10 [s], τ2 = 10 [s], τ3 = 1 [s], Ka = 0.01.(de te_ra_05.doc)

32.2


32.3



33 Synthèse fréquentielle d’un régulateur

On considère la fonction de transfert d’un système à régler

Ga (s) =Y (s)

U(s)=Ka

s· 1

(1 + s · τp)avec

Ka = 1τp = 0.01 [s]






On souhaite que l’erreur statique en régulation de correspondance comme demaintien soit nulle, et l’on admet que les perturbations interviennent directemententre le régulateur Gc(s) et le système à régler Ga(s).

33.1

Déterminer le type du régulateur à utiliser.

33.2

Ajuster les paramètres du régulateur de façon que la pulsation de coupure à0 [dB] en boucle ouverte ωco soit de 1

[ rads

]et que la marge de phase ϕm soit de

45 [].

33.3

Que vaut la marge de gain Am ?

Remarque : on se contentera, pour le diagramme de Bode, de diagrammesasymptotiques !

33.4


33.5

Vérifier les performances du système asservi dans les deux modes de régulationà l’aide de MATLAB.


34 Synthèse d’un régulateur PDonner le gain du régulateur P d’un système asservi dont la fonction de

transfert du système à régler est

Ga(s) =Y (s)

U(s)=

0.1

s· e−s·Tr

avec Tr = 1 [s]. On souhaite que la marge de phase soit de 45 [].






35 Tracé manuel du lieu des pôlesEn appliquant les propriétés 1 à 9 du tracé du lieu des pôles (lieu d’Evans),

esquisser les lieux correspondant aux fonctions de transfert en boucle ouverte :

35.1

Go (s) =(s+ 50)

s · (s+ 10) · (s+ 20)

35.2

Go (s) =1

s · (s+ 2)2

36 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateurA l’aide du logiciel MATLAB, tracer les lieux d’Evans de l’exercice 35.Relever le gain limite kolim ainsi que le gain optimal koop tel que le taux

d’amortissement des pôles dominants en boucle fermée soit ζ = 0.5 (en déduirel’angle optimal Ψopt !).

Calculer la durée de réglage Treg correspondant aux pôles dominants et tracerdans les deux cas la réponse indicielle en boucle fermée.

Que valent les gains permanents de la forme de Bode Kolim et Koop ?Fonctions MATLAB utiles :– rlocus (Control system toolbox)– sgrid (Control system toolbox)– step (Control system toolbox) ou step_me (MEE)– dcgain (Control system toolbox)– axis(‘square’) (Matlab toolbox)





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