Extrait de la publication… · des approches se sont développées indépendamment en physique de la matière condensée, en optique, en physique atomique et en acoustique. ... de

Extrait de la publication

ric Akkermans et Gilles Montambaux

Physique msoscopique des lectrons

et des photons

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS DITIONS


numilog numilog

Illustration de couverture : Intensit rflchie (albdo) par un chantillon de billes de polystyrne, obtenue en moyennant sur la position des billes. Elle est maximale au centre, cest--dire dans la direction de rtrodiffusion. La courbe donne la dpendance angulaire de lintensit. Elle prsente le cne caractristique de la rtrodiffusion cohrente (Photo courtoisement fournie par Georg Maret).

@ 2004, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc dactivits de Courtabuf, 91944 Les Ulis Cedex A et C N R S EDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

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I S B N EDP Sciences 2-86883-712-3 I S B N CNRS DITIONS 2-271-06263-2

Avant-propos

tude de la propagation des ondes dans les milieux dsordonns a donn L lieu depuis plus de vingt ans une somme norme de travaux. Ceux-ci ont contribu dfinir un vaste domaine aux contours de plus en plus flous qui recouvre la fois les problmes de localisation (faible ou forte), de physique msoscopique, des effets de linteraction entre lectrons dans les mtaux, etc. De plus, certains effets ntant pas spcifiques un type particulier dondes, des approches se sont dveloppes indpendamment en physique de la matire condense, en optique, en physique atomique et en acoustique.

I1 existe dans la littrature de nombreuses monographies et articles de revue dexcellente qualit traitant en dtail tel ou tel de ces diffrents aspects. Notre but, dans cet ouvrage, nest pas de nous situer au mme niveau que ces contributions mais plutt de chercher, dune part, un dnominateur commun tous ces effets et, dautre part, de permettre au lecteur non spcialiste davoir en main les outils ncessaires ltude des travaux effectus dans ce domaine.

Notre premier souci a donc t de prsenter au moyen dun formalisme unique, une description des phnomnes physiques importants, cette description tant indpendante du type donde considr (lectrons, ondes lumineuses, etc.). cette fin, nous avons dabord repris en dtail dans le cadre du modle dit (< de dsordre gaussien B , le calcul des quantits moyennes une particule : densit dtats, temps moyen de collision lastique pour les deux classes les plus importantes dquation dondes, savoir lquation de Schro- dinger et lquation de Helmholtz scalaire. Nous avons, autant que possible, essay de prciser lide, centrale dans ce domaine, de diffusion multiple sur des diffuseurs effectifs indpendants dont la section efficace peut tre obtenue dans le cadre de la thorie de la diffusion une particule.

Les proprits physiques gnralement mesures dans les milieux diffu- sants dpendent pour la plupart de la probabilit quantique dcrivant la propagation dun paquet donde dun point un autre. Cette quantit est donc fondamentale et nous avons consacr tout le chapitre 4 son tude dtaille. On voit apparatre en particulier, les contributions classique (diffuson) et cohrente (cooperon) cette probabilit, qui sont la base des diffrents phnomnes physiques observs comme les corrections de localisation faible la conductance lectronique, la magntorsistance ngative en champ magntique, la rtrodiffusion cohrente des orides lumineuses, mais


iv Physique msoscopique des lectrons et des photons

aussi les fluctuations universelles de conductance et de speckle ainsi que les effets msoscopiques sur le magntisme orbital.

I1 apparat donc que tous ces effets dcoulent dun mme principe qui sex- prime essentiellement laide dune seule quantit : la probabilit de diffusion quantique et son analogue optique. Par contre, en dpit de ce dnominateur commun aux phnomnes optiques et lectroniques, chaque domaine a sa sp- cificit qui permet des approches et des mthodes dinvestigation complmen- taires. Ainsi, ltude des systmes lectroniques permet, grce lutilisation dun champ magntique ou dun potentiel vecteur, de modifier continment la phase relative des fonctions donde lectroniques, ce qui na pas dquivalent en optique. En revanche, en optique, il est possible de modifier langle des faisceaux incidents et mergents, et partir de cette spectroscopie angulaire, de remonter aux corrlations entre les diffrents canaux dinjection.

Nous avons autant que possible souhait garder cet ouvrage un caractre de manuel accessible au plus grand nombre partir dun niveau DEA. Nous avons d aussi choisir de mettre un certain nombre de problmes de ct. Citons par exemple ltude des

Avant- prop os V

Avertissements

0 Dans lessentiel de cet ouvrage on utilise le systme dunits internatio- nales (MKSA), sauf dans le chapitre 13. La constante de Planck Fi est prise gnralement gale 1 en particulier dans tout le chapitre 4. Dans les chapitres o nous pensons quil est important de la rtablir, nous lavons indiqu en tte de chapitre. Afin dallger les notations, elle nest parfois rtablie que de faon incomplte dans une mme formule, en particulier lorsque la correspondance entre chelles de frquence et dnergie est vidente.

0 Nous avons souvent t confronts au problme des notations, quil nest pas toujours vident de garder cohrentes dans un livre qui contient plusieurs domaines habituellement traits sparment.

O Nous avons choisi de ne pas faire une bibliographie exhaustive, mais de citer des articles, soit pour leur intert pdagogique, soit parce quils pr- sentent un aspect particulier dvelopp dans cet ouvrage (par exemple une question traite en exercice).


Table des matires

Avant-propos

1 Introduction : physique msoscopique 1.1 Interfrence et dsordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Leffet Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cohrence de phase et effet du dsordre . . . . . . . . . 1.4 Cohrence moyenne et diffusion multiple . . . . . . . . . 1.5 Cohrence de phase et auto-moyennage :

fluctuations universelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Corrlations spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Probabilit classique et croisements quantiques . . . . .

1.7.1 Croisements quantiques . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Les objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 quations donde dans les milieux alatoires 2.1 quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 lectrons dans un mtal dsordonn . . . . . . . . . . . 2.1.2 quation des ondes lectromagntiques ~

quation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Dautres quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Modles de dsordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Le modle gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Impurets localises : le modle dEdwards . . . . . . . 2.2.3 Le modle dAnderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Complments du chapitre 2

C2.1 Thorie des collisions lastiques et diffusion simple . . . . . . . C2.1.1 Forme asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . C2.1.2 Section efficace et flux diffus . . . . . . . . . . . . . . . C2.1.3 Thorme optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C2.1.4 Approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1 1 5 8

10

14 15 17 19 21

35 35 35

36 38 41 42 44 46

49 50 51 53 56


... V l l l Physique msoscopique des lectrons et des photons

C2.2 Thorme de rciprocit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 C2.3 Diffusion de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

C2.3.1 Diffusion Rayleigh classique . . . . . . . . . . . . . . . 64 C2.3.2 Diffusion de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 C2.3.3 Diffusion atome-photon lapproximation dipolaire . . 69

3 Thorie de perturbation 79 3.1 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.1 Fonction de Green de lquation de Schrodinger . . . . 81 3.1.2 Fonction de Green de lquation de Helmholtz . . . . . 87

3.2 Dveloppement de diffusion multiple . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.1 quation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.2 Self-nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Fonction de Green et densit dtats moyennes . . . . . . . . . 96

Complment du chapitre 3

C3.1 Corrlations courte porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Probabilit de diffusion quantique 103 4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 Propagation libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Approximation de Drude-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Propagation classique : approximation du diffuson . . . . . . . 108 4.5 Approximation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6 Propagation cohrente : le cooperon . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.7 Transfert radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Complments du chapitre 4 C4.1 Diffiison et cooperon dans lespace rciproque . . . . . . . . . . 126

C4.1.2 Le diffuson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 C4.1.3 Le cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

C4.2 Botes de Hikanii et croisement de diffusons . . . . . . . . . . . 133 C4.2.1 Les botcs de Hikariii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 C4.2.2 Norrrialisation et coefficient de diffusion . . . . . . . . . 138 C4.2.3 Croisement de deux diffusons . . . . . . . . . . . . . . . 141

C4.3 Collisions anisotropes et libre parcours moyen dc transport . . 146 C4.4 Corrlation des fonctions de Green diagonales . . . . . . . . . . 153 C4.5 Autres fonctions de corrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

C4.5.1 Corrlations de fonctions de Grccn retardes . . . . . . 158 C4.5.2 Uric identit dc Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 C4.5.3 Corrlations dc fonctions dondes . . . . . . . . . . . . 161

C4.1.1 Po(q,w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


Table des matires ix

5 Proprits de lquation de diffusion 163 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2 Quantits caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.2.1 165 5.2.2 Temps de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3 Diffusion libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.4 Diffusion dans une bote priodique . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5 Diffusion dans les systmes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.5.1 Temps de diffusion et nergie de Thouless . . . . . . . . 172 5.5.2 Conditions aux limites pour lquation de diffusion . . . 172 5.5.3 Volume fini et . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.5.4 Diffusion dans un domaine anisotrope . . . . . . . . . . 174

5.6 Diffusion unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.6.1 Lanneau - conditions aux limites priodiques . . . . . . 176 5.6.2 Bords absorbants : fil connect . . . . . . . . . . . . . . 177 5.6.3 Bords rflchissants : fil isol . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.6.4 Fil semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.7 La mthode des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Noyau de la chaleur - Probabilit de retour lorigine


C5.1 Validit de lapproximation de diffusion pour un milieu infini 183 C5.2 quation de transfert radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

C5.2.1 Intensit totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 C5.2.2 Intensit diffuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 C5.2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 C5.2.4 Tranche claire par une source tendue . . . . . . . . . 193 C5.2.5 Milieu semi-infini clair par un faisceau collimat . . . 194

C5.3 Diffusion multiple dans un milieu fini . . . . . . . . . . . . . . . 196 C5.3.1 Diffusion multiple dans un demi-espace :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 C5.3.2 Diffusion dans un milieu fini . . . . . . . . . . . . . . . 200

C5.4 Dterminant spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Dveloppement de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

C5.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

le problme de Milne

C5.5 Diffusion dans un domaine de forme quelconque -

C5.6 Diffusion sur des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 C5.6.1 Dterminant spectral sur un graphe . . . . . . . . . . . 208

C5.6.3 Thermodynamique, transport et dterminant spectral 214

6 Dphasages 215 Dphasage et diffusion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.2 Mcanismes de dphasage : introduction . . . . . . . . 216 6.1.3 Le mode de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Champ magntique et cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.1

6.2


X Physique msoscopique des lectrons et des photons

6.3 Champ magntique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Probabilit de retour lorigine pour un flux Aharonov-Bohm 227 6.4.1 Lanneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.4.2 Le cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.5 Couplage spin-orbite et impurets magntiques . . . . . . . . . 231 6.5.1 Potentiel dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.5.2 Temps de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.5.3 Facteur de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.5.4 Le diffuson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.5.5 Le cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.5.6 La probabilit de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.5.7 Le cooperon X , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.5.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.6 Polarisation des ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . 247 6.6.1 Libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.6.2 Facteur de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.6.3 Intensit classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.6.4 Rtrodiffusion cohrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Dphasage associ au mouvement des diffuseurs . . . . . . . . . 254 6.7.1 Expression du dphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.7.2 Dphasage associ un mouvement brownien

des diffuseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Dphasage ou dcohrence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.4

6.7

6.8


(26.1 Effet Aharonov-Bohm dans un plan infini . . . . . . . . . . . . 262 C6.2 Reprsentation fonctionnelle de lquation de diffusion . . . . . 265

C6.2.1 Reprsentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 265 C6.2.2 Lois contraintes pour le mouvement brownien

et champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 C6.3 Le cooperon dans un champ dpendant du temps . . . . . . . . 270 C6.4 Couplage spin-orbite et impurets magntiques :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 un point de vue heuristique C6.4.1 Couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 C6.4.2 Impurets magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

C6.5 Collisions photons-atomes froids . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 C6.5.1 Potentiel dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 C6.5.2 Diffuson et cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7 Transport lectronique 289 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.2 Contribution incohrente la conductivit . . . . . . . . . . . . 292

7.2.1 Lapproximation de Drude-Boltzmann . . . . . . . . . . 292 7.2.2 Le rgime de collisions multiples : le diffuson . . . . . . 295 7.2.3 Temps dt: transport et renormalisation de vertex . . . . 297


Table des matires xi

7.3 Contribution du cooperon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 7.4 Le rgime de localisation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

7.4.1 Rle de la dimensionalit . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.4.2 Conducteurs de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . 304 7.4.3 Dpendance en temprature . . . . . . . . . . . . . . . 305

7.5 Correction de localisation faible en champ magntique . . . . . 306 7.5.1 Magntorsistance ngative . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.5.2 Couplage spin-orbite et impurets magntiques . . . . . 310

7.6 Magntorsistance associe un flux Aharonov-Bohm . . . . . 312 7.6.1 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.6.2 Long cylindre : leffet Sharvin-Sharvin . . . . . . . . . . 314 7.6.3 Remarque sur les expriences de Webb

et de Sharvin-Sharvin : 40 vs . 40/2 . . . . . . . . . . . 315 7.6.4 Leffet Aharonov-Bohm dans un plan infini . . . . . . . 316


C7.1 Formules de Kubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 C7.1.1 Conductivit et dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . 318 C7.1.2 Fonction de rponse densit-densit . . . . . . . . . . . 323

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 C7.2.1 Introduction - Formule de Landauer . . . . . . . . . . . 325 C7.2.2 De Kubo Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 C7.2.3 Transmission et conductance moyennes . . . . . . . . . 330 C7.2.4 Conditions aux limites et adaptation dimpdance . . . 333 C7.2.5 Correction de localisation faible dans le formalisme

de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 C7.2.6 Formalisme de Landauer pour les ondes . . . . . . . . . 336

C7.3 Conductivit dans lespace rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 C7.4 Correction de localisation faible et collisions anisotropes . . . . 340

C7.2 Conductance et transmission

8 Rtrodiffusion cohrente de la lumire 343 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 8.2 La gomtrie de lalbdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

8.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 8.2.2 Albdo dun milieu diffusant . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.3 Valeur moyenne de lalbdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 8.3.1 Albdo incohrent : contribution du diffuson . . . . . . 347 8.3.2 Albdo cohrent : contribution du cooperon . . . . . . 350 Dpendance temporelle de lalbdo et analyse de la singularit 8.4 triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

8.5 Effet de labsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Coefficients de dpolarisation . . . . . . . . . . . . . . . 360 8.7.2 Albdo cohrent dune onde polarise . . . . . . . . . . 362

8.6 Cas des collisions anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 8.7 Rle de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

8.7.1


xii Physique msoscopique des lectrons et des photons

8.8 tude exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 8.8.1 Singularit triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 8.8.2 Rduction de la hauteur du cne . . . . . . . . . . . . . 366 8.8.3 La rtrodiffusion cohrente dans dautres situations . . . . . . . 371 8.9.1 Rtrodiffusion cohrente et {< gloire )) . . . . . . . . . . 371 8.9.2 Rtrodiffusion cohrente et effet dopposition

en astrophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 8.9.3 Rtrodiffusion cohrente par un gaz datomes froids . . 375 8.9.4 Rtrodiffusion cohrente en acoustique . . . . . . . . . 377

Effet de labsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 8.9

9 Spectroscopie des ondes diffuses 3 79 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 9.2 Corrlations dynamiques de lintensit . . . . . . . . . . . . . . 381 9.3 Diffusion simple : QELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 9.4 Diffusion multiple : spectroscopie des ondes diffuses . . . . . . 383 9.5 Effet de la gomtrie sur la fonction de corrlation dynamique 384

9.5.1 Rflexion par un milieu semi-infini . . . . . . . . . . . . 385 9.5.2 Comparaison de Gf(T) et de ac() . . . . . . . . . . . 386 9.5.3 Rflexion par une tranche de largeur finie . . . . . . . . 389 9.5.4 Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391


C9.1 Mouvement collectif des diffuseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 393

10 Proprits spectrales des mtaux dsordonns 397 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

10.1.1 RCpulsion de niveaux et intgrabilit . . . . . . . . . . 398 Spectre dun mtal dsordonn . . . . . . . . . . . . . . 401

10.2 Caractrisation des corrlations spectrales . . . . . . . . . . . . 402 10.3 Squence poissonnienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 10.4 Tliorie des matrices alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

10.4.1 Rpulsion de niveaux et matrices 2 x 2 . . . . . . . . . 405 10.4.2 Distribution des valeurs propres de matrices N x N . . 408 10.4.3 Proprits spectrales des inatrices alatoires . . . . . . 410

10.5 Corrlations spectrales en rgime diffusif . . . . . . . . . . . . . 414 10.5.1 Fonction de corrlation deux points . . . . . . . . . . 415 10.5.2 La liniite ergodiquc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 10.5.3 La liniitc de diffusion libre . . . . . . . . . . . . . . . . 420

10.1.2


C1O.l La transition GOE-GUE . . . . . . 423

... ?Cible des matires Xll l

11 Fluctuations universelles de conductance 425 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 11.2 Fluctuations de conductivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

11.2.1 Fluctuations relies la densit dtats . . . . . . . . . 431 11.2.2 Fluctuations relies au coefficient de diffusion . . . . . . 434

11.3 Fluctuations universelles de conductance . . . . . . . . . . . . . 435 11.4 Effet dun paramtre extrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

11.4.1 Dpendance en nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 11.4.2 Dpendance en temprature . . . . . . . . . . . . . . . 439 11.4.3 Cohrence de phase et rgime msoscopique . . . . . . 441 11.4.4 Dpendance en champ magntique . . . . . . . . . . . . 444 11.4.5 Couplage spin-orbite et impurets magntiques . . . . . 448


C11.1 Fluctuations universelles de conductance

C11.2 Fluctuations de conductance dans le formalisme et collisions anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

12 Corrlation des figures de speckle 457 12.1 Quest-ce quune figure de speckle ? . . . . . . . . . . . . . . . . 457 12.2 Comment analyser une figure de speckle? . . . . . . . . . . . . 458 12.3 Coefficient de transmission moyen . . . . . . . . . . . . . . . . 463 12.4 Corrlations angulaires en transmission . . . . . . . . . . . . . 465

12.4.1 Corrlation dl) courte porte . . . . . . . . . . . . . 465 12.4.2 Corrlation C() longue porte . . . . . . . . . . . . . 469 12.4.3 Corrlation d3) associe deux croisements

de diffusons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.4.4 Lien avec les fluctuations universelles de conductance 475

12.5 Corrlation temporelle des figures de speckle . . . . . . . . . . . 476 12.5.1 Corrlations temporelles C()(t) et C()(t) . . . . . . . 477 12.5.2 Corrlation temporelle d3) ( t ) . . . . . . . . . . . . . . 480

12.6 Corrlation spectrale des figures de speckle . . . . . . . . . . . 482 12.7 Distribution des coefficients de transmission . . . . . . . . . . . 484

12.7.1 Loi de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 12.7.2 Distribution gaussienne du coefficient

12.7.3 Distribution gaussienne de la conductance . . . . . . . 487 de transmission I, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485


C12.1 Corrlation spatiale de lintensit . . . . . . . . . . . . . . . . 489 C12.1.1 Corrlations courte porte . . . . . . . . . . . . . . 490 C12.1.2 Corrlations longue porte . . . . . . . . . . . . . . 492


xiv Physique msoscopique des lectrons et des photons

13 Interactions et diffusion 497 13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 13.2 Potentiel de Coulomb crant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 13.3 Approximation de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 13.4 Correction la densit dtats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

13.4.1 Interaction statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 13.4.2 Conductance tunnel et anomalie de densit dtats . . . 507 13.4.3 Interaction dynamiquement crante . . . . . . . . . . . 510 13.4.4 Effets capacitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

13.5 Correction la conductivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 13.6 Temps de vie dun tat lectronique . . . . . . . . . . . . . . . 519

13.6.1 Introduction : thorie de Landau et dsordre . . . . . . 519 13.6.2 Temps de vie temprature nulle . . . . . . . . . . . . 520 13.6.3 Temps de vie temprature finie . . . . . . . . . . . . 527 13.6.4 Temps de vie dune quasi-particule au niveau de Fermi 528

13.7 Cohrence de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 13.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 13.7.2 Cohrence de phase dans un champ lectrique

fluctuant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 13.7.3 Temps de cohrence de phase en dimension d = 1 . . . 535 13.7.4 Cohrence de phase et relaxation des quasi-particules 539 13.7.5 Temps de cohrence de phase en dimensions d = 2

e t d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 13.7.6 Mesures du temps de cohrence de phase rZe . . . . . . 542

C o m p l m e n t s du chapitre 13

C13.1 Potentiel coulombien crant en gomtrie confine . . . . . . 545 C13.2 Temps de vie en labsence de dsordre . . . . . . . . . . . . . 548

14 Magntisme orbital et courants permanents 551 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

. . . . . . . . . 553 14.2.1 Rappel : le cas sans dsordre . . . . . . . . . . . . . . . 553 14.2.2 Aimantation moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 14.2.3 Fluctuations de laimantation . . . . . . . . . . . . . . 557

14.3 Effet des interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 14.3.1 Approximation de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . 560 14.3.2 Renormalisation de Cooper . . . . . . . . . . . . . . . . 562 14.3.3 Temprature finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

14.4 Courant permanent dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . 564 14.4.1 Anneau unidimensionnel sans dsordre :

priodicit et effet de parit . . . . . . . . . . . . . . . 564 14.4.2 Courant moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

14.2 Gaz dlectrons libres dans un champ uniforme


Table des matires xv

14.5 Diffusion et courant permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 Courant typique dun anneau dsordonn . . . . . . . . 572

14.5.2 Effet des interactions sur le courant moyen . . . . . . . 575 Courant permanent et. couplage spin-orbite . . . . . . . 577 Bref panorama exprimental . . . . . . . . . . . . . . . 579

14.5.1

14.5.3 14.5.4


C14.1 Courant moyen dans lensemble canonique . . . . . . . . . . . 581

15 Formulaire 583 15.1 Densit dtats et conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 15.2 Transformes de Fourier - Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . 584 15.3 Probabilit P ( T , T , w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 15.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 15.5 Formules de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 15.6 Dpendances en temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

Bibliographie 595

Index 619

Sujets dvelopps. Les lignes reprsentent les liens logiques entre les chapitres.

13 - Diffusion et interactions

2 - quations d'onde 'i

14 - Magntisme orbital

I 3 - Fonctions de Green I

7 - Transport lectronique - - - - - 8 - Rtrodiffusion cohrente

10 - Fluctuations spectrales 9 - Spectroscopie des ondes

12 - Corrlations de speckle


Chapitre 1

Introduction : physique msoscopique

1.1 Interfrence et dsordre

La propagation des ondes en milieu alatoire est un phnomne commun de nombreux domaines de la physique. Son tude a connu rcemment un regain dintrt aprs la dcouverte, en optique et en mcanique quantique, deffets cohrents inattendus dans un rgime o lon pensait que le dsordre soit suffisamment fort pour liminer a priori tout effet dinterfrence.

Afin de comprendre lorigine de ces effets cohrents, il peut tre utile de rappeler quelques gnralits sur les interfrences. Bien que trs spectacu- laires en mCcanique quantique, leur traduction dans le langage de loptique physique permet den avoir une intuition plus directe. Commenons donc par une discussion des effets dinterfrence en optique.

Considrons la propagation dune onde monochromatique dans le vide et sa diffraction par un obstacle gomtrique, par excmple une ouverturc circulaire. La figure de diffraction 1.1 fait apparatre, sur un cran plact & linfini une succession de cerclcs alterriativenient brillants et sonibres qui rsulte de lintcrftrence constructive ou destruct,ive des ondes provenant dc lobstacle. Dapres le principe de Huygens, il est possible dc ckri re lclaircmerit cri tin point de lcran en remplaant, louverture par un cnscrnble de sources ponctuelles colitrcrites et en tudiant la diffrence de longueur des chciniils optiques associs . ces diffkrerites sources. On peut alors associcr . cliaquc arincaii dinterftrencc un riornhre ent,ier (lqiiivalent dun nomlire quantique en mcanique quantique).

c figure de diffraction. Si on kclaire lobstacle par iiiie source de linriibe incolikreritc; pour laquelle la longueur des trains donde mis est, siiffisanirnent courte, de nianich ii dphaser entre elles les diffrentes sources virtuelles, alors la figure dirkerfrerice dispa- rat et lcran est clair uniforrriirient. Par ailleurs, si on utilise line source

Se pose alors la question de la stabilit de ct


2 Chap. 1 : Introduction

FIG. 1.1 - Figure de iiiflraction linfini par une ouverture circulaire.

de lumire cohrente et si on dplace dans son plan, de faon alatoire et suffisamment rapide, lobstacle diffractant, on constate que les franges dinterfrence disparaissent nouveau pour ne laisser quun clairage uniforme sur lcran. Dans ce cas, cest la persistance rtinienne qui permet lil de percevoir lclairement moyen de plusieurs figures dinterfrences dcales. Cet exemple met en vidence deux situations possibles qui conduisent une disparition de la figure dinterfrence. Dans le premier cas, elle est associe une distribution alatoire de la longueur des trains donde niis par la source. Dans le second cas, elle rsulte dune moyenne densenible sur la rpartition spatiale des sources virtuelles. On conoit donc sur cet exemple que des effets de cohrence de phase peuvent disparatre en moyenne.

tudions maintenant la diffraction dune source cohrente par un obstacle de forme alatoire. Supposons par exemple que louverture circulaire soit constitue dun milieu dilectrique transparent dont lindice fluctue spa- tialement sur des chelles comparables la longueur donde. I1 en rsulte, pour lintensit diffracte linfini, une figure constitue dune rpartition alatoire de zones sombres et brillantes du type de celle reprsente sur la figure 1.2, et appeles (( tavelures >> (ou speckle en anglais ). Ces tavelures associes la diffraction par un objet alatoire en reprsentent une > qui lui est spcifique. Mais, contrairement au cas de la diffraction par une ouverture circulaire ou par un objet suffisamment symtrique, il devient impossible didentifier un > dans la figure dinterfrence et donc de la dcrire au moyen dune suite dtermine de nombres donde. Cest cette impossibilit qui constitue une des caractristiques des milieux dits >.

Ces tavelures ressemblent celles observes sur la lumire mise par un laser faiblement cohrent, mais elles sont de nature diffrente. I1 sagit ici de fluctuations spatiales statiques dues linhomognit du milieu diffusant.

1.1 Interfrence et dsordre 3

FIG. 1.2 - Figures de tavelures (speckle) dues la diffusion travers un milieu inhomogne. Ici le milieu est optiquement pais, cest--dire que le rayonnement incident subit plusieurs collisions avant de sortir de 1 chantillon. Chaque image correspond une ralisation diffrente du milieu alatoire (M. Kaveh et al., Nature 326, 778 (2 987)).

Dans cette dernire exprience, londe provenant de la source ninteragit quune seule fois avec le milieu alatoire avant de se projeter sur lcran linfini (fig. 1.3.a). Cest le rgime dit de dzflusion simple. Considrons maintenant lautre limite des milieux optiquement pais (appels aussi milieux turbides), pour laquelle londe subit un grand nombre de collisions avec le milieu alatoire avant den sortir (fig. 1.3.b). On parle alors de dzffusion multzple. Lintensit mergente en un point de lcran est obtenue partir de la somme des amplitudes complexes des ondes arrivant en ce point. La phase associe chaque amplitude est proportionnelle la longueur du chemin de diffusion multiple correspondant divise par la longueur donde A. Les longueurs de chemin sont distribues alatoirement et on peut donc penser a priori que les phases associes fluctuent et se moyennent zro. Lintensit totale se rduit alors la somme des intensits associes chacun des chemins.

On peut se reprsenter cette situation comme tant quivalente une srie dobstacles du type de ceux discuts dans le cas de la diffusion simple de telle faon que chaque lment de cette srie corresponde une ralisation diffrente et indpendante de la distribution du milieu alatoire. On pourrait donc

626 Physique msoscopique des lectrons et des photons

totale de diffusion P ( T , w = 0)

totale de diffusion quantique, 129 d = 3, 184

Pseudo-potentiel, 60

Q QELS (diffusion quasi-lastique), 383 Quantum

de conductance e2 /h , 15 de conductance e2 /h , 294 de conductance e2 /h , 20 de flux 40 = h /e , 6 de flux 40 = h /e , 225, 313

Quasi-cristal, 105 Quasiparticule, 519

Potentiel coulombien crant, 545 temps de vie dune, 520, 521, 548

Quaternions, 410

R

Raman (diffusion), 75 Rayleigh

diffusion, 42, 71, 247, 360 loi de, 484, 485 loi de (pour le coefficient de

transmission), 24, 462, 484 loi de (pour lintensit), 381, 491

Rayleigh-Gans (diffusion de), 67, 254,

Rciprocit, 61, 113, 220, 279 360

impurets magntiques, 233 polarisation, 248 spin-orbite, 233

Rflexion (coefficient de), 344 Rflexion (coefficient de), 194,334, 469 Rgle de somme f, 320 Renormalisat ion

de vertex, 297, 340, 428 Rponse impulsionnelle, 83 Rpulsion (des niveaux dnergie), 16,

Rseaux diffusifs, 208 Rsolvante, 55 Rtrodiffusion cohiirente, 10, 14, 344,

398, 405, 406

351 diffusion Rayleigh, 254, 362

Rigidit spectrale, 30, 411, 412, 421, 427

S

Sagnac (effet), 6 Schwartzshild, 13 Section efficace, 80

de diffusion rsonnante, 77 de transport, 53, 151 diffrentielle, 52, 58, 345 diffrentielle de diffusion Rayleigh,

66, 72 diffrentielle de diffusion Rayleigh

(rsonnante), 75 diffrentielle pour le modle

dEdwards, 57, 146 dune barrire sphrique, 58 totale, 53, 54 totale (rsonnante), 76

Self-nergie, 91, 502 Self-nergie

Self-nergie diffusion Rayleigh, 249

spin-orbite et impurets magntiques, 234

Semi-groupe (loi de pour lquation de diffusion), 166

Semiconducteurs, 41, 580 Sharvin-Sharvin (effet), 10, 27, 314,

Siegert (loi de), 382 e-non linaire (modle), 401 Singularit triangulaire de lalbdo,

352, 364 Singulet (tat), 242, 277, 279, 578 Sismiques (ondes), 41 Son (quation du), 40 Speckle, 2, 10, 26, 28, 346, 457, 458,

Spectre des noyaux lourds, 398 Spectroscopie

des ondes diffuses, 28,29, 383,476 Spin (dgnrescence), 290 Spin-orbite, 92, 231, 275, 295, 300, 306,

Spitzer (loi de) pour les enroulements,

Sunada (thorme de), 205 Supersymtrie, 401 Susceptibilit magntique, 552

315

467, 469, 476

310, 448, 577

266


Index 627

T

Tavelures, 2 Temps

brownien des diffuseurs T b , 255, 258

brownien des diffuseurs r b , 383, 387

de cohrence de phase, 260, 301, 498, 531, 535, 538, 541, 542, 544

de cohrence de phase (dpendance en temprature), 305

de collision lastique (Helmholtz), 255

de collision lastique (modle dAnderson), 81

de collision lastique moyen (Schrodinger), 146

de collision lastique (Schrodin-

de collision spin-orbite r,,, 92, 234,

de diffusion atomique rsonnante,

de diffusion magntique TB, 225,

de rcurrence TR, 166, 167, 301 de rcurrence TR (anneau), 313 de rcurrence TR (anneau), 177 de rcurrence TR (diffusion libre),

de rcurrence TR (fil connect), 178 de rcurrence TR (fil isol), 180 de relaxation de lnergie, 528 de retournement de spin T ~ , 311,

de retournement de spin rm, 92,

de transport, 80, 146, 151, 297, 340 de vie dun tat, 79, 92 de vie lectronique, 32, 502, 519 de vie lectronique dans le rgime

diffusif, 524, 526, 527 de vol de la lumire, 255

de polarisabilit statique, 71

ger), 92

276, 310

287

307

170

578

234, 278

Tenseur

Thorme optique, 53, 54, 56

Thermodynamique (grand potentiel),

Thomas-Fermi 552, 555

approximation de, 499, 507, 548 vecteur donde de ( K ) , 499, 507

nergie de, 19, 163, 172 temps de, 19, 172, 174

conjugues, 117 conjugues (impurets

magntiques), 279 conjugues (polarisation

des ondes), 247 conjugues (spin-orbite), 276 de diffusion multiple, 12, 108, 346,

Thouless

Trajectoires

428 Transfert radiatif, 122, 343

Transition GOE-GUE, 423 Transmission

458

quation de, 186, 188, 358

coefficient de, 23, 194, 326, 336,

coefficient de (distribution), 484 coefficient de (fluctuations), 454 coefficient de (moyen), 327, 331,

333, 463 coefficient de (moyen)

en dimension d , 332 fonction de corrlation angulaire

du, 459, 465, 476 matrice de, 329

Triplet (tat), 242, 277, 279, 578

V

Variance de la conductance lectrique, 425,

Variance C 2 ( E ) , 403, 404, 412, 415, 428

525 dans la limite diffusive, 420 dans la limite ergodique, 419

Variance C 2 ( E ) , 427 Variance C 2 ( E ) , 30 Vertex lmentaire

spin-orbite et impurets magntiques, 237


Avant-proposTable des matires1 Introduction : physique msoscopique1.1 Interfrence et dsordreTemps de cohrence de phase en dimensions d =

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Extrait de la publication… · des approches se sont développées indépendamment en physique de la matière condensée, en optique, en physique atomique et en acoustique. ... de