Transitions de phase en dimensions fractales

* Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Université Paris 7 - Denis Diderot. Pôle Matière et Systèmes Complexes FR2438 CNRS

* Université d’Evry-Val d’Essonne

Irradiation d’un multicouche Ni-W par des ions Xe+

Irradiation d’une surface de fer par un faisceau d’Argon

1) Description des fractals de Sierpinski et modèles

2) Simulation Monte-Carlo et analyse en tailles finies

3) Renormalisation Monte-Carlo

4) Ralentissement critique et amas de Wolff

5) Modèle de Potts

6) Percolation

Fractals de Sierpinski (et Menger)

• Invariance d’échelle : Processus itératif et dilatations

• Cellule génératrice SPg(ld,Noc, 1)

Noc sites occupés dans un carré ou un cube de côté l

SPb(33,18,1)

• k étapes d’itération Réseau SPg(ld,Noc, k)

Taille L=lk

Nombre de sites Nock=LDf

Dimension de Hausdorff

• Paramètres topologiques additionnels

Degré de ramification, connectivité, lacunarité

)ln(

ln l

ND ocf

)2,12,4( 2aSP )2,12,4( 2

bSP

792.1fD

Modèles

),(,

jji

iPottsPotts JH

jji

igIgI JH ,

sinsin

Echange ferromagnétique limité aux premiers voisins

• Spins d’Ising ou de Potts à q états placés aux sites de fractals de Sierpinski déterministes

• Fractals de degré de ramification infini Le modèle d’Ising présente une transition du second ordre para-ferro magnétique à Tc 0

Renormalisation dans l’espace direct

Symétrie d’échelle discrète Tailles simulées : L=lk

Structure de la cellule génératrice présente à tous les ordres de grandeur

Fluctuations géométriques multi-échelles fonctions de corrélation à deux points spin-spin dépendantes de la position

Construction de la structure fractale

Propriétés topologiques dépendantes de l’étape d’itération k de la structure

0

0.04

0.08

0.12

0.16

1 2 3 4

SPB(3^3,18)

SPa(5^2,16)

SPa(4^2,12)

SPa(3^2,8)

SPa(4^3,56)

SPa(3^3,26)

SPa(5^2,24)

k

24,5

26,356,48,312,416,518,3

2

3

3

2

2

2

3

a

a

a

a

a

a

b

SPSPSPSP

SPSPSP

Ecart relatif du nombre moyen de premiers voisins zg(ld,Noc, k)

par rapport à sa limite thermodynamique zg(ld,Noc,)

k

Simulation Monte-Carlo en situation canonique

• Réduction du ralentissement critique

• Traitement des données des simulations

ALGORITHMES DE “CLUSTER’’ (Wolff, Swendsen-Wang)

METHODE DES HISTOGRAMMES

Analyse en tailles finies• Comportement asymptotique de la longueur de corrélation ~|t|- où t =(T- TC )/TC

Relation d’homogénéité L

Aimantation par spin )(),(

1

tLFLtLm m

0 , ~ ttm

Susceptibilité en

champ nul )(),(1

tLFLtL

t~

Chaleur spécifique )()(),(

1

tLFLtctLC C

tC~

• Hypothèse d’homogénéité f(t,h)=b-Df f(tbyt,hbyh )

/1

2)(maxln1),( LLnT

M

TkTLn

Tn

B~

Calcul de Pics des dérivées logarithmiques

/1.)( LnbTLnT CC

Calcul de TC Position des pics nmax

CTTTUMMTLU à 31),( *2

24

Calcul de TC sans Point fixe du cumulant :

Calcul de () et () // ~)0,(et ~)0,( LLLLm

Autre calcul de () Pic de susceptibilité : /max ~)( LL

0.6

0.61

0.62

0.63

0.64

0.65

0.66

2.064 2.065 2.066 2.067 2.068

T

U(L,T)

k=4k=5

k=3

k=2

10

100

1000

104

10 100 1000

phi1max

phi2max

phi3max

phi4max

L

imax 1

max

2max

3max

4max

2.06660

2.066162.06604

2.06602

SPSPaa((5522,24,24)) D Df f ~~ 1.975 1.975

003.0083.1

SPSPaa((5522,16,16)) D Dff ~~ 1.723 1.723

0.6661

0.6662

0.6663

0.6664

0.6665

0.6666

0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85

U(L,T)

T

k=3

k=4

k=5

1

10

100

10 100 1000

phi1max

phi2max

L

imax 1

max

2max

0.8188 0.8372

06.4

SPSPaa((3322,8,8)) D Df f ~~ 1.893 1.893

)10(075.0/

1.46

1.5

1.54

1.58

1.62

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

tc(khi)

tc(fi1)

tc(fi2)

tc(fi3)

tc(fi4)

L 1

T LC ( )

T LC1( )

T LC3( )

T LC2 ( )

T LC4 ( )

T LC ( )

0015.048195.1 cT

0.5

0.6

0.7

0.8

10 100 1000 104

T=1.4780

T=1.4795

T=1.48012

T=1.4815

T=1.4820

m

L

10

100

1000

104

105

10 100 1000 104

max

L

)16,5(

)12,4(

)8,3(

)8,3(

)56,4(

)26,3(

)18,3(

2

2

2

2

3

3

3

SP

SP

SP

PottsSP

SP

SP

SP

b

a

a

a

a

a

a

Maximas de susceptibilité du paramètre d’ordre max(L)

Pente /

jji

ivoisins

premiers,

jji

ivoisins

quatrièmes,

i

ikj

diagkji

i ,,

Renormalisation du Hamiltonien d’Ising : Couplages

)()1( nn RHH

)()()( nnn SK

H

Renormalisation Monte-Carlo )()1( nn KRK

)(*

)( nn KKK )(

)()1( n

nn KTK

)(

)1()(

n

nn

KKT

• Flot

• Linéarisation du Flot

)(

)(

)(

)1()(

n

n

n

nn

KS

SKT

)()()()()(

)(mnmn

m

n

SSSSKS

• Calcul de la matrice [T (n)]

• Calcul des deux plus grandes valeurs propres t(n)

et h(n) de [T (n)] dans chaque sous espace

ytt=3 yt

Nombre de couplages

yt=1/ <0.525

n

SPa(3,8)

Nombre de couplages

yhh=3 yh

n

yh=1.82(1)

2yh=Df+/

Analyse en tailles finies : /=1.732(2)

Corrections d’échelle Ecarts aux lois de puissances Lx(1+aL+…)

Dépendantes de la grandeur physique et de Df

Dépendantes de la topologie du fractal Importantes lorsque Df décroît de 2 vers 1 Peu importantes pour 2.5 < Df < 3 Sans effet sur max(L) Valeur précise de Liées à la convergence à la limite thermodynamique

Relation d’hyperscaling Satisfaite avec la dimension de Hausdorff

2fD

0

1

2

3

4

5

6

7

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Df

expansions from expansions from

Carlo Monte from

Carlo Monte from

Développements en Exposants et en désaccord : Brisure de la symétrie de translation

FRACTALS UNIVERSALITE FAIBLE

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

fD

Ralentissement critique Fonction d’autocorrélation de la grandeur A

22

2)()0(

)(AA

AnAAnCA

A2

22

21 1 AAN

AS

Erreur statistique sur <A>

: Temps d’autocorrélation intégré

0A )( dcA

à TC LzA~

Lois d’échelles dynamiques = LzF(tL )

Algorithme de Wolff• 1) Tirage d’un site i du réseau au hasard • 2) Addition de sites j, premiers voisins de i, à l’amas

avec la probabilité :

• 3) Répétition de l’étape 2) pour chacun des sites

venant de rejoindre l’amas

si 0),(

si 2exp1),(

jijiadd

jiB

jijiadd

ssssP

ssTksJsssP

• 4) Répétition de l’étape 3) jusqu'à « épuisement »

• 5) Retournement en bloc de tous les sites de l’amas

• 6) Retour en 1)

nième pas Monte-Carlo (n+1)ième pas Monte-Carlo

« Tension de surface » de l’amas

2|En+1 -En |

« Nombre de sites » de l’amas

2|Mn+1 -Mn |

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 4 8 12 16 20

k=5

k=4

k=3

k=2

TC=2.0660

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

B

B

B

B

k=7

k=6

k=5

k=4

TC=1.4795

SPSPaa((5522,24,24))

DDf f ~~ 1.975 1.975SPSPaa((3322,8,8))

DDf f ~~ 1.893 1.893

Fonctions d’autocorrélation de l’aimantation à TC

CM(n) CM(n)

n n

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 500 1000 1500 2000

nCE

n

k=5

ip

iiE nanC /exp)(

1

Plusieurs temps caractéristiques Calcul de E à partir d’un fit de <CE(n)> sur une base restreinte :

Calcul de temps d’autocorrélation

0.01

0.1

1

0 20 40 60 80 100 120

n

nCE

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

n

nCE

Exposants dynamiques

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

ZWMZWEZSWMZSWE

fD-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

ZWMZWEZSWMZSWE

fD

Distributions de probabilité des tailles des amas de Wolff à TC

10-7

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 104 105 106 107

k=2

k=3

k=4

s10-7

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 104 105 106 107

k=3k=4k=5

kP

s

SPa(52,24), Df 1.975SPa(52,24), Df 1.975 SPa(43,56), Df 2.904SPa(43,56), Df 2.904

Invariance d’échelle des distributions de probabilité des tailles des amas

Pk(s)= Pk-1(s l -yh )=Pk-1(s / l) Pk(s)= Pk-1(s l -yh )=Pk-1(s / l)

10-7

10-6

10-5

0.0001

0.001

0.01

0.1

1000 104 105

k=3k=4k=5k=5k=6k=7

*s

kP

),1,3( kSC ),1,5( kSC

10-7

10-5

0.001

0.1

0 4 104 8 104 1.2 105

k=3k=4k=5k=3k=4k=5

),26,3( 3 kSP

),18,3( 3 kSP

*s

kP

Loi d’échelle de la “tension de surface’’ moyenne des amas à TC

Pour L ‘‘assez grand’’ : E~LSw

Pour L ‘‘assez grand’’ : E~LSw

Invariance d’échelle des densités de probabilité de “tension de surface”

De l’étape k à l’étape k-1: P SEl -dS P S(E l -ys )

De l’étape k à l’étape k-1: P SEl -dS P S(E l -ys )

ZMWSFDf ZM

WSFDf

P sb -Df P (sb -yh )

s~L

P sb -Df P (sb -yh )

s~L

P SEb -dS P S(E l -ys )

E~LSw

P SEb -dS P S(E l -ys )

E~LSw

2yh= Df2yh= Df

2yS= dSSw2yS= dSSw

Tailles

Tensions de surface

dS

Df

dS

DfConjecture

WSFEZ

EE LCC ~)1()0(Tempsde fluctuations statistiques

E=2(E E)(1-CE(1))

Sw +2ZEWSF Sw +2ZE

WSF

Modèle de Potts ferromagnétique à q états de spin

Réseaux invariants par translation Ordre de la transition dépendant de q et d Valeur critique qc(d)

Désordre : champ pertinent dans certaines conditions

Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre

(Meyer-Ortmanns et Reisz)

Critère de monotonie avec L de la susceptibilité du paramètre d’ordre

(Meyer-Ortmanns et Reisz)

Distribution de probabilité de l’énergie à la transition

Distribution de probabilité de l’énergie à la transition

Ordre de la transition

SPa(3,8)

Modèle de Potts à 3 états sur SCa(3,8)

Transition du second ordre Corrections d’échelle plus fortes que pour Ising Pas de corrections sur max(L)

Valeur précise de Bornes pour les autres exposants

Df compatible avec la relation d’hyperscaling

On peut différencier les deux ‘‘classes’’ d’Ising et de Potts

Transition de percolation

• Distribution de taille

des amas ns(L,p)

• Moments de ns(L,p)

),(),( pLnspLM s

s

kk

Recherche des pics des moments (2 k) et calcul de leur largeur Algorithme de Newmann-Ziff s

• Maxima des moments Mkmax(L)~L - yk/

• yk/Df - kDfp) Dfp=1.828 pour SCa(32,8)

Dfp=1.766 pour SCa(42,12)

SCa(32,8)

M2max

Mk(L,p)=l -yk/ Mk(L/l,p*)

p -pck(L)= l -1/ (p*- pc

k(L/l))

Mk(L,p)=l -yk/ Mk(L/l,p*)

p -pck(L)= l -1/ (p*- pc

k(L/l))

Largeurs des pics pk(L) ~L-1/

2

Perspectives

• Diagramme de phase du modèle de Potts

• Transport anormal et systèmes non linéaires

• Vieillissement d’une particule Brownienne