EXTRAITS DE ERMEL

LES GRANDEURS ET LEURS MESURES AU CYCLE 3

Si l'on convient avec N. Rouche (1992) que « c'est d'abord du projet et de la difficulté de mesurer les grandeurs

que les nombres (autres que naturels) sont nés à travers une longue histoire», il faut préciser ce que l'on

entend par grandeurs et préciser les problèmes soulevés par leur mesure.

1. Grandeurs Sur différents objets de notre espace, proche ou lointain, nous pouvons identifier différentes grandeurs qui servent à décrire ces objets. Pour un objet aussi simple qu'une table, diverses grandeurs sont identifiables: hauteur, longueur, largeur, masse, couleur, vitesse (heureusement, généralement proche de zéro!), surface, volume, etc. Les trois premières grandeurs citées sont de même nature, on peut les comparer et constater, par

exemple, que la largeur de la table est inférieure à sa hauteur (l<h), elle même inférieure à sa longueur (h <L) d'où l'on peut conclure que l<h<L.

La comparaison entre les trois dimensions de la table est relativement facile à l'aide d'une simple ficelle sur laquelle «on marque» les longueurs correspondantes. On constate alors « l'ordre» des trois points. Pour d'autres grandeurs, les problèmes de comparaison sont plus complexes: des deux figures suivantes laquelle occupe le plus de place? Technique :par «superposition » des deux figures, il est facile de

répondre: Encore faut-il que cette superposition soit possible! Par ailleurs cette technique, en se limitant aux cas de figures simples, ne permet pas toujours de

conclure: des deux figures C et D laquelle occupe le plus de place? On pourrait multiplier les exemples de grandeurs et de problèmes posés par leur comparaison pour finalement aboutir à l'idée que certaines grandeurs sont comparables, selon un procédé à définir, mais que d'autres ne le sont pas; la couleur par exemple: on ne peut pas dire qu'un objet «jaune» est plus « coloré »qu'un objet « bleu » : grandeurs mesurables «Si on appelle grandeur tout caractère d'un objet... susceptible de variations chez cet objet, ou d'un objet à un autre» (APMEP, 1982), celles pour lesquelles on pourra définir:

r.

- une relation d'équivalence (comme « ...aussi long que... » pour les longueurs); une relation d'ordre (comme « ...plus long que...» pour les longueurs); - une opération interne (sommation); une opération externe (multiplication par un nombre: on peut parler d'une «tige» 2 fois plus longue qu'une autre); seront qualifiées de grandeurs mesurables.

Les relations et opérations sur les grandeurs doivent faire l'objet d'une définition pour chaque grandeur considérée. Longueurs On dira que deux «tiges» sont de même longueur si l'on peut mettre en correspondance leurs deux

extrémités respectives. À une «tige » symbolisée par t, on associe une longueur notée L: c'est la classe de toutes les «tiges» qui sont de même longueur que t. On notera: L= long(t). Une «tige» correspond abstraitement, dans le plan géométrique, à un segment [AB]. On définit également la longueur des segments. Le problème de la comparaison des segments peut être posé dans le plan. Pratiquement, quand c'est possible, le compas est un bon instrument pour cela. Sur le plan théorique, on dira que deux segments ont même longueur s'ils s ont isométriques, c'est-à-dire si l'on peut passer de l'un à l'autre par une isométrie (une translation, ou une symétrie, ou une rotation, etc.). On notera AB la longueur du segment [AB]: long([AB]) =AB. On remarque que ce concept est indépendant du nombre, la longueur n'est pas un nombre, ni une tige, ni un segment.

On met en place une relation d'ordre entre les longueurs : longueur plus petite plus grande, par comparaison ou superposition directe ou indirecte. Cette comparaison, évidemment, se fera à partir d'un représentant de chaque classe: si t et t' désignent deux «tiges », si on fait coïncider deux extrémités et si celle de t est « en deçà» de celle de t', on pourra dire que la longueur de t est plus petite que la longueur de t' et noter selon la convention d'écriture : long(t) < long(t'). Et l'on peut faire de même pour les segments...

On peut définir la somme des longueurs des segments AB et CD comme la «mise bout à bout» de ces segments (ou de segments égaux à chacun d'eux): les points A, B, C et D sont alignés et les points B et C confondus. L étant une longueur, nous pouvons par sommations successives obtenir une longueur L' égale à a fois L (produit le L par a) où a est un nombre naturel correspondant au nombre de fois où la longueur L a été reportée.

Aires Soit S une surface : si on peut la découper en un nombre fini de morceaux, que l'on pourra recoller, sans

trou ni recouvrement, la surface S' obtenue aura la même aire que S. Soient S et S' deux surfaces distinctes, on dira que S a même aire que S', si après découpage et recollement de S', comme ci-dessus, on obtient une surface exactement superposable à S. L'aire de S, notée A(S), sera la classe d'équivalence de toutes les surfaces qui auront la même aire que S, selon les définitions ci-dessus. Cette définition paraît convenable, pour les surfaces usuelles... De plus, la grandeur « aire» précise l'idée intuitive d'étendue des surfaces: c'est une caractéristique, indépendante de la forme, c'est un invariant d'un certain ensemble de surfaces. Comme le nombre est une caractéristique des collections, indépendante des propriétés qualitatives de ces collections, l'aire est une propriété des surfaces : c'est la même pour toutes les surfaces qui ont même aire.

On peut définir une relation d'ordre entre les aires : l'aire de S est plus petite que l'aire de S', si en modifiant la forme de S, sans retrait ni ajout, on obtient l'inclusion de S dans S'.

On conçoit également facilement que la somme de deux aires est l'aire de la surface obtenue en considérant la juxtaposition de deux surfaces. A(S) étant l'aire de S, on peut «construire» une aire s'égale à a fois l'aire de S

Masses : Pour définir la notion de masse, on utilise le principe de la balance Roberval. Deux objets ont

même masse si, mis chacun sur un des plateaux d'une balance Roberval, ils font équilibre. On peut également

définir une relation d'ordre entre les masses : m(A) > m (B) si la balance Roberval penche du côté de l'objet A.

L'objet C a pour masse la somme des masses des objets A et B si, mis dans un des plateaux de la balance, il

fait équilibre avec les objets A et B mis ensemble dans l'autre plateau. Enfin, a objets équivalents ont pour masse

globale a fois la masse de l'objet pris isolément.

2. Mesurer des grandeurs On vient de voir que l'on peut étudier des grandeurs sans faire intervenir ni unités ni nombres. Cependant chacun conviendra que les manipulations évoquées sont peu commodes et ne permettent pas de résoudre tous les problèmes que l'on peut se poser à propos des grandeurs. En particulier, celui du rapport entre des grandeurs de même espèce. Précisons cela à partir des problèmes de l'introduction de l'unité de longueur et de la définition de la mesure de l'aire. Le problème de l'introduction de l'unité de longueur

L'introduction d'une unité de mesure s'impose dès lors que la comparaison directe ne peut se faire (éloignement dans l'espace) et/ou que les longueurs sont importantes.

o Soit t' et t" les deux « tiges » à comparer, correspondant à des segments [AB] et [CD], et t une «tige » intermédiaire. Si on peut écrire: long(t')< 12 x long(t) et long(t")> 14 x long(t) alors : long(t') < long(t"), 12 x long(t) voulant dire que l'on a reporté 12 fois la «tige» » désignée par t le long de la «tige» t'. On écrit 12 x long (t), afin de mettre en évidence que c'est une propriété indépendante de la tige prise dans la classe des tiges de même longueur que t. Le problème de la comparaison des tiges t' et t" est ainsi résolu. Cette tige t est appelée un étalon. Soit u = long(t). u est la longueur correspondant à l'étalon t; u est appelé une longueur unité, ou simplement une unité. Ceci exprime le fait que divers étalons de même longueur peuvent être utilisés. Le mètre, qui est l'unité conventionnelle, a de nombreux représentants: d'abord l'étalon officiel déposé au pavillon de Breteuil, puis les mètres pliants, les mètres à ruban, les mètres rigides des tailleurs, etc. qui sont tous ses dignes représentants.

o Évidemment, il y a énormément de cas où le problème de la comparaison ne pas être résolu aussi facilement, par exemple si : 17x long(t)< long(t-')< 18xIong(t) et 17 x long(t)< long(t")< 18x long(t) On met ainsi en évidence les cas où il est nécessaire de choisir un sous-étalon, c'est-à-dire de recourir au report d'un étalon plus petit, par exemple t1, afin d'essayer de résoudre le problème qui était insoluble avec le seul étalon t.

o À ce niveau, on a le choix entre: - recommencer l'opération au début, c'est-à-dire reporter entièrement l'étal donc, en fait,

remesurer avec t1, - ou bien combler seulement avec t1 ce qui manque, après avoir reporté t un certain nombre

de fois. o La longueur va s'exprimer sous forme d'une écriture complexe (A t ; B t1) où A est le nombre de

fois où l'on a reporté t et B le nombre de fois où l'on a reporté t1. Éventuellement on devra, pour avoir plus de précision, recouvrir à un deuxième sous-étalon, par exemple t2.

Le problème de la définition de la mesure de l'aire o L'idée de recourir à un étalon comme pour les longueurs paraît évidente.

Mais quelle forme donner à cet étalon ? Rectangulaire pour les rectangles, triangulaire pour les triangles, circulaire pour les disques ? Dans certains cas, l'utilisation d'un étalon de forme carrée que l'on peut découper ou subdiviser permet un pavage effectif. Une autre solution consiste à construire une surface de même aire, par découpage et recollement, qui sera pavable plus simplement (beaucoup de figures simples peuvent ainsi se ramener à des rectangles). Cette dernière méthode permet d'établir les formules de calcul d'aire des figures les plus courantes.

o Le cas des figures à bords non-rectilignes est évidemment plus complexe

Le thème de la mesure met en présence au moins deux domaines assez clairement séparés, même si ce qui les distingue peut sembler relativement flou (à cause sans doute de leur trop grande familiarité):

o le domaine des objets concrets et des grandeurs avec leur environnement de propriétés et de manipulations;

o le domaine des nombres et son environnement de calcul, pour exprimer quantitativement les grandeurs et anticiper le résultat de certaines actions.

Quelles grandeurs mesurer au cycle 3 ?

Ce sont essentiellement : les Coûts, les longueurs, les durées, les masses, les aires, les volumes, les capacités. Au CM, on approfondit le champ déjà abordé dans la scolarité antérieure, en relation avec l'étude des décimaux et des fractions. Les mesures abordées dans la scolarité obligatoire sont de deux types.

o Les mesures simples ou à une dimension : les longueurs et les masses se classent dans cette catégorie. On peut aussi y situer les aires lorsque l'unité de mesure est donnée (un petit carré par exemple) et qu'il s'agit de dénombrer le nombre de petits carrés recouvrant une surface donnée. Elles ont pour caractéristique de pouvoir être mesurées directement. Les opérations que l'on peut effectuer sur elles (somme, différence, produit par un scalaire,

partage,...) ne définissent pas de nouvelle mesure. o Les mesures composées ou à deux ou trois dimensions : ce sont des mesures obtenues à partir

d'autres mesures ; ainsi des produits de mesures pour les aires ou les volumes. Il est alors nécessaire d'établir le lien entre les mesures initiales(m, cm, ...) et les mesures « produites » (

, , .). Ainsi également les quotients de mesures pour, par exemple, les valeurs

unitaires (F/kg), la vitesse, la densité... Contrairement aux mesures simples, les mesures-produits ou les mesures-quotients sont mesurées de façon indirecte à partir des dimensions simples qui les composent et par la mise en œuvre d'opérations qui définissent de nouvelles mesures.

3. À quelles difficultés se heurtent généralement les élèves ?

On peut penser que le travail réalisé au CE1 et au CE2 sur la mesure des longueurs et la mesure des masses nous assure que, dans ce domaine des mesures simples, les élèves ne doivent plus rencontrer de difficultés majeures, ce qui l'empêche pas de continuer à entraîner les compétences acquises dans ce domaine. Pour ce qui concerne le CM, au moins trois difficultés vont se présenter:

o au moment de la mise en place du concept d'aire et de sa différenciation d'avec le concept de périmètre;

o le problème de la mesure des aires, des volumes que l'on ne peut effectuer directement ; o le lien entre les systèmes de mesures et les décimaux.

la différenciation insuffisante des concepts d'aire et de périmètre conduit certains élèves à considérer que:

quand le périmètre d'une surface augmente, l'aire augmente aussi et inversement ; si deux surfaces ont le même périmètre, elles ont aussi la même aire.

Plus précisément, les mesures de longueurs étant les seules directement accessibles (grâce au décimètre), les élèves considèrent (à juste titre!) que les mesures d'aires s'en déduisent. Bien qu'ayant, après des situations judicieusement choisies et bien menées, conclu tous en chœur qu'aire et périmètre «n'étaient pas la même chose», ils recourent trop rapidement à des formules souvent erronées lorsqu'on évoque les aires. Un travail important est nécessaire pour commencer à régler ce problème pour des figures simples. Mais très vite on se trouve confronté à un nouveau problème, celui de l'application de formules incorrectes pour calculer l'aire de certaines figures. Par généralisation abusive de la formule du calcul de l'aire d'un rectangle, les élèves peuvent l'étendre à des situations où elle n'est pas valable: l'aire d'un parallélogramme est calculée en faisant le produit des dimensions de ses côtés ; celle d'un triangle en faisant le produit de ses trois côtés ! À propos du mesurage Comme le soulignent G. et N. Brousseau (1990), les activités sur les mesures proposées traditionnellement aux élèves: ne sont pas effectivement réalisées dans des situations d'action (sauf peut-être pour les longueurs).

L'élève doit « raisonner» sur des situations représentées. Par exemple, des dessins de balances de Roberval : selon qu'elles sont présentées en équilibre ou non, l'élève doit en déduire une égalité ou une inégalité entre la masse des objets...

débouchent très (trop) rapidement sur des problèmes d'opération sur les nombres... Quelques lignes directrices pour la progression choisie pour le CM1

Nous proposons de mettre en place dans les classes des activités effectives de mesurage au cours desquelles l'élève pourra donner du sens au concept de mesure: les mesures interviendront comme outil, c'est-à-dire comme moyen de résoudre des problèmes ; par exemple, pour comparer des surfaces par découpage-recollement et en utilisant la conservation des aires pour justifier ses réponses... Plus tard, les mesures apparaissent dans des problèmes où elles servent de support aux calculs. a) Comparer, mesurer, estimer des grandeurs Au CE2, les élèves ont été mis en situation de comparer des objets selon leur masse. ils ont été amenés au cours des activités proposées à différencier aspect des objets, volume des objets et masse de ceux-ci. Ils ont pu constater que: deux objets de même matériau mais de formes différentes peuvent avoir la même masse; deux objets de volumes différents peuvent avoir la même masse; les objets les plus volumineux ne sont pas toujours les plus lourds... Ils ont également été

mis en situation de mesurer les masses d'objets à l'aide d'une balance de Roberval et de masses marquées, de résoudre des problèmes de pesées.

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Un travail similaire est repris au CM1, auquel on ajoute une situation d'estima- tion de masse c'est-à-dire une situation dans laquelle l'élève apprend à situer la masse d'un objet par rapport à des repères :10 g, 50 g,100 g, 200 g, 500 g,1 kg... b) Une première mise en place du concept d'aire Dans la situation CES RECTANGLES NE MANQUENT PAS D'AIRE, les élèves vont approcher une première fois la notion d'aire. Ils vont devoir développer des procédures correctes de comparaison d'aire de rectangles (inclusion directe ou indirecte) sans faire intervenir la mesure et en rejetant d'autres critères tels que la longueur ou le périmètre. c) Une première mise en place du concept de périmètre Au CE2, les élèves ont eu à calculer la longueur de lignes brisées en vue de leur comparaison : la difficulté principale était d'effectuer des mesures intermédiaires (de chacun des segments) suffisamment précises pour empêcher que l'addition des imprécisions rendent la comparaison incorrecte. Au CM1, l'activité est reprise et prolongée par un travail sur la comparaison des périmètres de polygones (AUTOUR DES PÉRIMÈTRES). d) Différenciation des notions d'aire et de périmètre Il s'agit, d'une part, d'étendre à des figures quelconques le critère de comparaison des aires déjà appliqué aux rectangles et, d'autre part, de faire faire la distinction entre aire et périmètre en faisant comprendre que deux figures peuvent avoir la même aire sans avoir le même périmètre ou avoir le même périmètre sans avoir la même aire (LES DEUX FONT LA P'AIRE). e) Une première approche de la mesure d'aire Dans la situation SURFACES À RANGER, les figures à comparer ont des formes très différentes. Procéder par découpage et recollement n'est plus une méthode efficace pour les comparer du point de vue de leur aire. En revanche, le fait de les avoir représentées sur un fond quadrillé fournit une méthode pour évaluer l'aire d'une figure, lui associer un nombre de carreaux: sa mesure. Mais le simple comptage des carreaux entiers n'est pas suffisant pour avoir une évaluation de l'aire des figures ; leur surface occupe aussi des «fractions » de carreaux dont il faut tenir compte. f) La notion d'unité d'aire Dans la situation décrite ci-dessus, on donnait implicitement une première approche de la notion d'unité de mesure d'une aire : le carreau. Avec la situation CHERCHER L'UNITÉ, on se propose d'approfondir cette notion. Plusieurs unités d'aire sont disponibles. Les élèves doivent, pour chaque figure présentée, dont on leur donne la mesure de l'aire, déterminer à partir de quelle unité a été effectuée la mesure

4. Connaissances des élèves sur les grandeurs La plupart des observations qui suivent résultent de l'analyse des évaluations institutionnelles organisées à l'entrée en sixième. Mesures et mesurages des longueurs

Les exemples ci-dessous sont tirés des évaluations de 1996 :

% de réussites

En utilisant ta règle graduée, trace un segment de 9 cm. 93,3 Sur la droite (AB), trace un segment [AM] de longueur 5,5 cm. 34,1

Sur la droite représentée en pointillés, place un point B à 5 cm de A. 77,9

Sur la droite représentée en pointillés, trace un segment [MN] de longueur 4 cm. 64

Complète la phrase : le segment [CD] mesure cm 92,2

Par rapport aux évaluations CE2 (1989, voir Apprentissages numériques, ERMEL CE2, page 271), un certain nombre d'évolutions apparaissent. Il semble que les performances des élèves pour tracer un segment de longueur donnée et la maîtrise du double-décimètre se sont améliorées. Les items 1 et 5 sont très bien réussis, ils portent sur le tracé ou la mesure d'un segment de longueur entière. Les autres questions sont moins bien réussies, mais elles mettent en jeu les notions de droite et de segment, nécessitant la connaissance des notations usuelles (droite (AB), segment [MN]) et exigent la prise en compte de plusieurs contraintes. Aucun item n'est proposé sur le mesurage des distances, alors qu'il en existe un dans les évaluations CE2, en particulier dans celles de 1996. Or les élèves ont souvent des difficultés à y parvenir, ce qui peut être lié au fait que la distance est une propriété d'un espace non matérialisé entre des objets. Enfin, l'usage du double-décimètre semble maîtrisé en fin de CM2, mais rien n'est proposé pour évaluer l'utilisation d'autres instruments (le mètre-ruban parexemple). Sur les aires et leurs mesures

Examinons les résultats de deux items des évaluations 1996. Pour le premier item, les figures suivantes sont présentées à l'élève :

Il s'agit de comparer deux aires et deux périmètres. Pour le premier couple : - la réponse exacte « les figures sont de même aire » et « le périmètre de la figure 2 plus grand que le périmètre de la figure 1 »), est trouvée par 13 % des élèves ; - 41 % des élèves trouvent que les figures ont même aire, mais font une erreur pour les périmètres ; - il y a 45,5 % d'autres réponses. Pour le second couple : la réponse exacte ( « l'aire de la figure 1 est plus grande » et « les figures ont même périmètre ») est trouvée par 31,5 % des élèves ; - 46 % des élèves trouvent que « l'aire de la figure 1 est plus grande » mais font erreur sur les périmètres ; il y a 20,4 % d'autres réponses. Seulement 54 % des élèves affirment que les aires sont identiques pour le premier couple, alors que, pour le second couple, 77,5 % d'entre eux trouvent que l'aire de la figure 1 est la plus grande (la figure 2 étant obtenue en « coupant » deux parties de la figure 1). Les taux de réussite sont encore bien plus faibles concernant les comparaisons des périmètres respectifs. Ces résultats montrent bien que les difficultés sur les longueurs et les aires ne sont pas toutes surmontées, surtout quand plusieurs grandeurs apparaissent dans un même problème. Certains élèves estiment que aire et périmètre varient toujours dans le même sens. Pour le second item, les figures suivantes sont présentées à l'élève : Les triangles A, B, C et D sont identiques et l'aire commune est de 6 cm2. On demande de déterminer les

mesures des périmètres et des aires des figures 1 et 2. Pour les mesures des périmètres, le pourcentage de bonnes réponses varie entre 41 % et 53 %. Pour les aires, le pourcentage ne dépasse pas 47 % (39 % pour la figure 2). On remarque que 8,7 % des élèves perçoivent que les aires des deux figures sont égales (les valeurs numériques sont fausses mais identiques dans les deux cas). Les connaissances de base relatives aux aires et aux périmètres ne sont pas maîtrisées en

fin de cycle 3 par une majorité d'élèves, que ce soit dans le cas des problèmes de comparaison ou dans celui des problèmes de détermination explicite de mesures. On retrouve ainsi, chez les élèves, les difficultés décrites dans la partie théorique de ERMEL CM1 (page 303). 3. Mesures des durées Dans l'évaluation 1996, un tableau présente les heures de lever et de coucher du soleil pour quatre jours différents de l'année. Deux items permettent d'évaluer les calculs sur les nombres sexagésimaux : deux pour la différence (calculs de durées), un pour la somme (calcul d'une heure de la journée, à partir d'un horaire et d'une durée). Pour « 19h 56 - 3h 49 », 47,6 % des réponses sont exactes. On remarque qu'aucune conversion d'heures en minutes n'est, ici, nécessaire. Pour « 18h 02 - 5h 55 » 15 % des réponses sont exactes. Environ 30 % des élèves traitent le calcul comme 18,02 - 5,55 (en opérant sur des décimaux). Même la somme « 5h 39 + 12h 08 » ne donne que 41 % de réponses exactes. Les procédures de calculs sur les durées ne sont donc pas maîtrisées, beaucoup d'élèves faisant une lecture d'une écriture sexagésimale, correspondant à celle d'une écriture décimale (l'écriture 1h 32 min est lue comme 1,32 h). Pour certains calculs de durées, les élèves ne disposent pas toujours de procédures simples et rapides. Par exemple, pour un problème comme « Combien de temps entre 5h 55 et 6h 02 ? », ils n'ont pas toujours la

A D

C

maîtrise de la procédure qui consiste à dire « pour aller de 5h 55 à 6h il y a 5 minutes, et pour aller de 6h à 6h 02, il y a 2 minutes... » Par ailleurs, il n'est pas sûr que la maîtrise de la lecture de l'heure soit effective. Aucun item sur cette question, à partir d'une montre analogique, n'est proposé. Or, les évaluations CE2 (voir ERMEL CE2, page 272), rendaient compte de fortes difficultés à ce sujet (entre 52 % et 78 % de réussites, seulement).

5. Types de problèmes sur les grandeurs et leur mesure Limitation de l'ensemble des problèmes considérés

Nous nous limitons aux problèmes de l'école élémentaire et du début du collège. Nous considérons seulement les problèmes dans lesquels il n'y a qu'une seule grandeur et ne mettant en jeu qu'une seule comparaison. Nous ne nous intéressons pas aux problèmes composés de sous-problèmes, par exemple : « Déterminer un segment ayant même longueur que le périmètre de ce carré » pour lequel il faut déterminer le périmètre du carré, puis produire un segment ayant pour mesure ce périmètre. Eléments mathématiques d'analyse des problèmes : les variables didactiques

À propos de grandeurs, nous serons appelés à parler d'objets, de relations et de mesures.

Les « objets » peuvent être matériels (bord d'une table, dessin d'un rectangle en papier ou d'une cour d'école, liquide contenu dans un récipient...) ou théoriques (seulement évoqués) : « c'est un rectangle de dimensions 3,5 et 4,2 » ou « c'est un cercle de rayon 3 »... Ce peuvent être, pour une grandeur donnée, des objets élémentaires (segments pour la longueur, rectangles ou carrés pour l'aire...) ou bien des objets composés (ligne polygonale pour la longueur, polygone plan pour l'aire...). Cela engendre quatre types d'objets : objet élémentaire, matériel ou théorique ou objet composé, matériel ou théorique.

Pour une grandeur donnée, il existe entre ces objets des relations de deux types : relation d'équivalence (de même grandeur) ou relation d'ordre (plus petit, plus grand).

Un dernier élément mathématique est évidemment la mesure qui est attachée à cette grandeur. Etant donné un objet O, sa mesure relativement à une grandeur est un nombre réel positif M(0). Dans la pratique, le nombre réel M(0) est déterminé à partir du choix d'une unité de mesure.

La condition suivante doit être vérifiée : la mesure d'une réunion disjointe de deux objets O et O' est la somme des mesures de chacun des objets : M (O U O') = M(0) + M(O'). ce qui constitue la propriété d'additivité. Critère de classification des problèmes

Les problèmes de l'école élémentaire mettent en jeu une grandeur (et éventuellement la mesure de la grandeur), deux objets, et nécessitent la comparaison de ces objets relativement à cette grandeur. Si l'on compare deux objets variables, le problème est un problème de comparaison relative. Si par exemple on déforme un rectangle en faisant glisser un côté sur son support comme ci-dessous

le problème « Comparer les aires des deux quadrilatères » est un problème de comparaison relative. C'est la première classe de problèmes. Si l'on compare un objet variable à un objet référence (l'unité), le problème est un problème de comparaison absolue... c'est alors typiquement un problème de mesure : l'objet variable est comparé à la référence. C'est la seconde classe de problèmes.

Les problèmes de comparaison relative Il faut examiner d'abord si l'énoncé place l'élève dans le domaine des objets matériels ou dans le domaine des objets théoriques, puis si les objets en jeu sont élémentaires ou composés. La relation peut être d'équivalence... alors les objets sont « aussi » grands « l'un que l'autre » ; la relation peut être d'ordre... alors « l'un des objets est plus « grand » que l'autre », le terme « grand » étant le terme générique pour l'une quelconque des grandeurs. Les variables sont alors les deux objets et la relation, et les problèmes se distinguent suivant : - le nombre d'inconnues (0, 1, ou 2), - la nature de la (ou des inconnues) : une relation ou un objet. Il y a donc, suivant le nombre d'inconnues, trois types de problèmes.

Aucune variable n'est inconnue Les objets et la relation sont donnés. Le problème consiste à trouver la valeur de vérité d'un énoncé comme

: « ces deux objets sont aussi grands l'un que l'autre » : vrai/faux ? « cet objet est plus grand que cet autre » : vrai/faux ?

Une variable est inconnue Cas 1 : la relation est inconnue Le problème est du type « que peut-on dire des objets ? » c'est à dire implicitement « sont-ils de même grandeur ? » ou « l'un des deux est-il plus grand ? » Cas 2 : l'un des deux objets est inconnu Le problème est du type « trouver un objet en relation (d'ordre ou d'équivalence) avec l'objet donné ».

Deux variables sont inconnues Ces problèmes ne sont pas abordés souvent à l'école élémentaire. Mais nous pouvons citer : « Partage ce segment en deux segments de même longueur » où , les deux objets sont inconnus, alors que la relation (avoir même mesure) est donnée.

Les problèmes de comparaison absolue On rappelle que ces problèmes mettent en jeu un objet quelconque O et une référence (l'unité). La comparaison de l'objet O à la référence ne se limite pas en général à un résultat du type . « l'objet est plus grand que la référence » ou « l'objet est de même grandeur que la référence »... qui constituent, pour chaque objet pris en compte, un problème de comparaison relative. Le problème va plus loin ; il consiste à dire par exemple • « combien de fois la référence est-elle contenue dans l'objet ? Il met alors en jeu la mesure M(0) de l'objet. Trois types de problèmes sont possibles.

L'inconnue est la mesure M(0) Un objet quelconque est donné ; une unité est donnée. Il faut déterminer la mesure de l'objet initial. C'est un problème fréquemment posé.

L'inconnue est l'objet O Un nombre réel positif « a » est donné, ainsi que l'unité. Il faut déterminer un objet dont la mesure est « a ». Notons en passant que cette détermination peut être une construction effective (on réalise un objet matériel à la mesure donnée) ou une caractérisation théorique (c'est un rectangle de dimensions 4 et 5, pour le problème « déterminer un objet d'aire 20 »).

L'inconnue est l'unité Ici, c'est donc l'application M -à travers l'unité- qui est inconnue. Le problème peut s'énoncer ainsi • « Pour cet objet, on a trouvé 12 pour mesure. Avec quelle unité a-t-il été mesuré ? » On note que les objets, tant l'objet quelconque que la référence peuvent être matériels ou théoriques ; la référence, par exemple, peut être une unité matérielle donnée effectivement à l'élève ou une unité théorique, communiquée cette fois à l'élève : le centimètre-carré. Traitement des problèmes par l'élève Les problèmes de comparaison relative, comme par exemple : - montrer que ces deux objets ont même longueur, - montrer que cet objet est plus lourd que celui-ci, peuvent se traiter par une comparaison directe des objets (mise côte à côte des segments, comparaison des poids des objets avec la balance Roberval) ou indirecte (à l'aide d'un intermédiaire si les segments ou les solides sont éloignés), c'est-à-dire sans recours aux mesures. Les problèmes peuvent aussi se résoudre sans le recours à la mesure, en s'appuyant sur des propriétés, par exemple : si une surface S est incluse dans une autre S', l'aire de S est inférieure à celle de S' : l'aire est constante, par isométrie. Mais les problèmes de comparaison peuvent aussi se traiter en déterminant la mesure (ou une valeur approchée de celle-ci) de chacun des objets, et en comparant ces mesures.

En conclusion donc, pour les procédures de résolution de ces problèmes, se dégagent deux familles de procédures : sans recours aux mesures - par comparaison uniquement perceptive, - par comparaison « assistée » (superposition directe, décomposition-recomposition pour les aires, utilisation d'un intermédiaire pour les longueurs ou les capacités....) - par des propriétés théoriques (les côtés opposés d'un rectangle sont égaux, les segments restent égaux dans une translation, ce polygone est plus grand parce qu'il est inclus dans le précédent...) avec recours aux mesures - par mesurage seulement (pavage du polygone avec une unité d'aire, remplissage d'un récipient avec un récipient-unité...) - à l'aide de propriétés théoriques (appui sur des formules de calcul des longueurs, des aires....) Les problèmes de comparaison absolue font intervenir, de fait, les mesures. La procédure de résolution dépend en premier lieu de la nature des objets, selon qu'ils sont matériels ou « théoriques », élémentaires ou composés.

6. exemples de choix de problèmes au CM2 Nous proposons deux grands types de problèmes aux élèves. Les uns (les plus nombreux) sont des problèmes « spatiaux » dans le sens où les objets qui sont en jeu sont des objets matériels. Les autres sont des problèmes « géométriques », c'est-à-dire des problèmes dans lesquels les objets qui sont en jeu sont des objets « théoriques ». 1. À propos des longueurs Pour la longueur, nous examinons trois problèmes (dans AIRE ET PÉRIMETRE). Dans le premier sont donnés deux dessins de rectangles. La question est « Quel est celui qui a le plus grand périmètre ? »Il met en jeu des objets matériels et composés ; il ne met pas en jeu explicite. ment la mesure. La relation d'ordre et les objets, sont donnés, il n'y a aucune inconnue ; c'est un problème de comparaison relative sans inconnue. L'énoncé à établir est « les deux rectangles ont même périmètre » (relation d'équivalence) Ce problème est résolu sans action sur les objets, mais par anticipation ; il l'est ensuite par mesurage... pour une vérification. Le second problème porte sur des parallélogrammes obtenus par « déformation d'un rectangle » dont les dimensions des côtés sont invariantes : le périmètre est constant, l'aire varie. La question est la même : « Quel est celui qui a le plus grand périmètre ? » Il met en jeu des objets matériels et composés. C'est aussi un problème de comparaison relative sans inconnue. Les élèves ne peuvent agir sur les objets, et doivent produire la réponse en s'appuyant sur une connaissance théorique : la déformation effectuée (que l'élève peut observer), conserve les périmètres. Le mesurage est interdit... il n'est prévu que pour la vérification. Le troisième problème porte sur des parallélogrammes obtenus par un autre type de déformation d'un rectangle, une translation d'un côté sur son support ; dans

cette déformation, la hauteur des parallélogrammes et leur aire reste constante :

La question est encore : « Quel est celui qui a le plus grand périmètre ? » donc le problème est encore un problème de comparaison relative sans inconnue. Le mesurage est toujours interdit, sauf pour la vérification. Ces trois problèmes posés concernent à la fois l'aire et le périmètre de manière à montrer que ce sont deux grandeurs distinctes, l'une pouvant varier, alors que l'autre reste constante. Il est attendu que les élèves résolvent le premier problème en s'appuyant sur le mesurage (sans incertitude car la mesure est entière). La réponse au deuxième et au troisième problèmes doit s'établir sans mesurer, mais à partir des caractéristiques de la transformation, en s'appuyant sur des connaissances théoriques : comme « la translation conserve les longueurs » ou « un segment oblique est plus long que le segment ». D'autres problèmes d'estimation de longueurs sont proposés'; la réponse aux questions posées s'établit par des mesurages et/ou l'utilisation de formules, comme celle du périmètre ou de l'aire d'un rectangle. 2. À propos des aires pour les trois séries d'objets précédents, le même problème est posé : « Quel est celui des objets qui a la plus grande aire ? » La comparaison des aires se fait sur des objets matériels, mais sans que les élèves puissent agir sur ces objets : ils doivent encore anticiper la réponse... puis les objets leurs sont donnés et il est attendu qu'ils produisent la réponse soit par décomposition-recomposition en sous figures comparables, soit en s'appuyant sur les caractéristiques de la déformation, du moins partiellement, et sur des propriétés comme - la comparaison des aires déterminées par la formule (problème 1), - l'égalité des aires puisqu'elles sont invariantes par les isométries (ici, les translations, voire les symétries, sont possibles) >>> Ce sont ainsi trois problèmes de comparaison relative sans inconnue. Dans une autre situation (AIRE DU RECTANGLE), il s'agit de faire établir la formule de l'aire du rectangle. Le premier problème proposé dans cette situation, consiste à comparer les aires de deux rectangles dessinés sur quadrillage. C'est un problème de comparaison relative sans inconnue ; la différence avec les problèmes précédents réside dans le fait que la situation incite l'élève à comparer les aires en s'appuyant

sur les mesures. Alors que sont donnés aux élèves un dessin de rectangle et un quadrillage, le second problème est « quelle est l'aire de ce rectangle ? ». C'est donc un problème de comparaison absolue, où l'inconnue est l'aire. Ce problème est repris avec un rectangle auquel les élèves n'ont pas accès ; ils doivent chercher quelles sont les informations nécessaires à la résolution du problème... avant de pouvoir prendre effectivement ces informations sur les objets. Le problème est donc du même type, mais le recours au mesurage n'est pas directement possible. Dans un troisième problème, l'énoncé est le suivant : « Produire un rectangle d'aire donnée (en CM2) ». C'est un problème de type comparaison absolue, l'inconnue est un objet. Il est résolu selon deux modalités. Dans le premier cas : il faut dessiner le rectangle. Dans le second cas, l'inconnue est un objet théorique puisqu'on demande aux élèves de déterminer les dimensions du rectangle. Des activités semblables sont reprises pour le triangle rectangle. Les élèves reçoivent le dessin d'un tel triangle : les dimensions des côtés de l'angle droit sont inscrites en cm mais ne correspondent pas aux dimensions du dessin (l'élève n'a qu'une représentation du triangle). Ne disposant ni d'instrument de mesure, ni de quadrillage, ils doivent résoudre le problème « Quelle est l'aire du triangle ? » Le problème est donc encore un problème de type comparaison absolue avec recherche d'une mesure. Dans une autre situation (AIRE DE SURFACES COMPLEXES), on demande de déterminer l'aire d'un objet composé qui n'est donné aux élèves que par une représentation accompagnée des mesures des côtés. Dans une activité d'accompagnement de ces situations (LE CM2 EST-IL CARRÉ ?), le problème est de produire différentes surfaces d'aire 1 cm2, puis d'aire 1/2 et 1/4 (en cm2). Ce sont des problèmes de comparaison absolue avec recherche d'un objet. La mesure est cette fois fractionnaire. La situation suivante (ÇA N'A PAS L'AIRE JUSTE) se décompose en deux activités. La première activité doit mener à un partage de rectangle en parties d'aire égale (2 parties puis 4 parties). C'est un problème de comparaison relative à deux variables inconnues qui est résolu dans le domaine des objets matériels. La deuxième activité repose sur le problème : un rectangle étant décomposé en polygones (quadrilatères ou triangles), ces parties sont-elles d'aire égale ? C'est donc un problème de comparaison relative, où l'inconnue est la relation. Plusieurs démarches sont attendues : - la détermination des dimensions pour le calcul des aires, - la détermination des aires en fraction, l'unité étant le rectangle initial, - la comparaison des aires par décompositions des objets en objets comparables pour l'aire... La situation COMBIEN DE ... DANS ? comporte deux problèmes. Le premier est l'estimation de la mesure en cm2 de l'aire d'un carré dont la dimension du côté est n'est pas donnée à l'élève (1 mètre). C'est un problème de comparaison absolue avec recherche d'une mesure. D'autres problèmes d'estimation d'aires sont posés, l'unité étant le mètre carré : estimer l'aire de la salle de classe, de la cour de l'école, du terrain de football. Puis l'égalité 1 hectare =10 000 m2 étant communiquée aux élèves, ils doivent . - produire (par leurs dimensions) des rectangles d'aire 10 000 m2 (problème de comparaison absolue), - déterminer en hectare les aires de la salle de classe, de la cour de l'école et du stade de football (problème de comparaison absolue), - déterminer combien il est possible de placer de salles de classe dans un hectare (problème de comparaison relative). D'autres problèmes d'estimation d'aires sont proposés ; la réponse aux questions posées s'établit par utilisation de formules pour les aires. 3. À propos des capacités Le lien entre la masse et la capacité pour l'eau est établi (1 litre pèse 1 kg), en comparaison evec le lien entre ces grandeurs pour d'autres liquides. Plusieurs problèmes sont donnés comme « chercher le poids d'une capacité d'eau » ; ils mettent en jeu simultanément deux grandeurs pour les mêmes objets. Puis les relations entre les unités usuelles de capacité sont établies à travers des problèmes de type « combien de centilitres dans un litre ? qui sont des problèmes de comparaison absolue.

Deux problèmes de détermination de capacités de récipients sont encore proposés, à l'occasion desquels différentes procédures de détermination des capacités sont visées. 4. Conclusion Le tableau suivant situe les problèmes proposés dans les différentes classes

Les problèmes de comparaison

Aire et périmètre

Aire du rectangle

Aire juste

Surfaces complexes

Estimer Combien de? c

o tn o cE o 0

Aucune variable inconnue

Longueur

Aire Capacité

Une variable inconnue

Longueur

++++ Aire ++++ ++ + Capacité

Deux variables inconnues

Longueur

Aire ++ Capacité

,. ci) o 13

0 da co c o .en cs 03 ÉL 8

l'inconnue est la mesure

Longueur

+++ Aire ++ +++ +++ +++ Capacité

+++ l'inconnu est l'objet

Longueur

Aire ++ ++ + Capacité

l'inconnue est l'unité (la fonction)

Longueur

Aire Capacité

. Chaque aire représente un problème * Comparaison relative : comparerdeux objets selon une grandeur sans recours à la mesure. ** Comparaison absolue : comparer en mesurant. Il fait apparaître aussi les grandeurs en jeu ainsi que les intitulés des situations. On peut constater que l'accent est mis sur les aires à travers presque tous les types de problèmes possibles ; un seul type de problème est absent, celui où il faut chercher l'unité.

7. Quelles connaissances à la fin du cycle 3 ? 1. Articulation entre les programmes de cycle 3 et du collège Comme cela est demandé dans le programme de cycle 3, la distinction aire-périmètre est travaillée au CM2 en prolongement des activités déjà proposées au CM1. L'étude du système métrique est conduite dans les activités proposées. Pour une grandeur, l'ensemble des unités légales et leurs désignations, les relations qu'elles entretiennent, sont étudiées. Les unités-référence sont mises en avant (m et cm pour la longueur, m2 et cm2 pour les aires, I et cl pour les capacités), et les autres unités sont mises en relation avec ces unités-référence pour permettre les conversions. Les questions d'ordre de grandeur sont largement abordées. Aucune activité sur les volumes à proprement parler n'est en revanche proposée (le volume est travaillé seulement à travers quelques problèmes sur les capacités).L'aire du disque n'est pas non plus abordée. Ces notions sont reprises au collège, ce qui justifie le fait que les objectifs d'apprentissage du cycle 3 soient modestes. 2. Les principales connaissances visées Les problèmes sur les grandeurs peuvent se traiter indépendamment des mesures, ou par utilisation des mesures, que ces mesures résultent d'un mesurage effectif ou d'un calcul. Trois procédés de détermination des mesures sont mis en avant. D'abord, le mesurage ... c'est une opération matérielle sur des objets matériels ; il a ses spécificités comme celle en particulier de conduire à des mesures approchées, voire imprécises. Ensuite l'estimation, opération qui consiste à fournir une prévision sur la mesure d'un objet, à partir d'informations incomplètes sur cet objet : - la vision seule de l'objet (sans les mesures effectives nécessaires par exemple) pour la longueur et l'aire, - le soupesage pour les masses, - l'appréciation de l'espace occupé pour les capacités... Enfin, l'utilisation de connaissances mathématiques ; par exemple : - l'invariance des mesures suite à des déplacements ou des décompositions- recompositions des objets, - les formules donnent les mesures. Ces connaissances permettent de traiter certains problèmes complexes, la détermination de l'aire d'un trapèze par exemple. Nous cherchons, comme au CM1 à propos d'activités telles que CES RECTANGLES NE MANQUENT PAS D'AIRE ! à amener progressivement l'élève à s'aider de la théorie pour résoudre des problèmes « spatiaux » (c'est-à-dire portant sur des objets matériels), voire même à résoudre certains problèmes portant sur des objets que nous avons qualifiés de « théoriques », parce que ces problèmes portent sur des objets seulement évoqués par la situation concrète, C'est un moyen de faire évoluer les connaissances des élèves3. Donnons deux exemples simples. Pour les deux problèmes ci-dessous,

dans le premier, la réponse peut être obtenue avec le mesurage des quatre côtés, qui sont donc des objets matériels. Dans le second, la mesure de deux côtés ne peut être obtenue par mesurage ; il faut s'appuyer sur la connaissance géométrique qui veut que les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur...

La résolution de problèmes dans la théorie permet donc d'anticiper des résultats de problèmes spatiaux. Le mesurage effectif sert ensuite éventuellement à vérifier. Les mesures sont abordées à la fois comme résultats provenant du mesurage et comme résultats d'opérations théoriques, de calculs en particulier : - le périmètre de ligne polygonale dont on donne la longueur des segments, en faisant la somme des longueurs, - l'aire de figures planes à partir de dimensions de côtés, et le calcul de l'aire de sous-parties, - les masses d'objets à partir de double pesée... La question de l'adéquation entre la mesure d'un objet obtenue par mesurage et la mesure obtenue par la théorie n'est qu'effleurée, mais toutes les occasions d'évoquer les questions d'approximation ou de précision posées par l'interprétation de résultats différents, doivent être saisies. Le système métrique, en accord avec les programmes, est introduit. Les unités usuelles (mètre, mètre-carré, litre, kilogramme) sont les références par rapport auxquelles s'articulent les autres unités, dont certaines sont davantage étudiées (celles de préfixe « kilo » ou « centi »). Il est attendu que les élèves fassent des conversions par des procédures de calcul réfléchi, et non par des automatismes, de façon àf aire fonctionner leurs connaissances sur les nombres et donner du sens aux différentes unités concernées. Un certain nombre de connaissances sont institutionnalisées dans le processus. Certaines des situations proposées se concluent en effet par la formulation écrite dans le cahier-mémoire de l'élève du « résultat » significatif qui a été mis à jour à travers la résolution des problèmes de la situation. Les principaux « résultats » écrits sont les suivants - des formules de calcul : « Un rectangle dont les côtés mesurent a cm et b cm a pour aire a x b centimètres-carrés. » - des équivalences formulées « 1litre, c'est 100 centilitres. » « Un hectare, c'est 10000 mètres-carrés » - des références données sous forme d'images mentales : « Un stade de football a une aire de un hectare environ. » - des « énoncés » qui traduisent des propriétés d'objets : « L'aire de quadrilatères peut changer sans que les dimensions de côté changent. » Le périmètre de quadrilatères peut changer sans que leur aire change. » Ce sont les seules connaissances formulées. D'autres connaissances peuvent être mobilisées par les élèves sans avoir été encore explicitées sous forme de conclusion.