-
FATIGUE et MECANIQUE de la RUPTURE
Objet : Dimensionner les pices en tenant compte des dfauts
MECANIQUE DE LA RUPTURE CHAPITRE I : GENERALITES ET PRINCIPES DE
BASE DE LA MECANIQUE DE LA RUPTURE I.- Introduction II.-
Comportement d'une structure comportant une fissure III.-
Contrainte la pointe d'une fissure IV.- Le facteur d'intensit de
contrainte, paramtre caractristique V.- Conclusion CHAPITRE II :
MECANISMES DE RUPTURE ET DE CROISSANCE DE FISSURE I.- Introduction
II.- Rupture par clivage III.- Rupture ductile IV.- Fissuration par
fatigue V.- Conclusion CHAPITRE III : CHAMP DE CONTRAINTE ELASTIQUE
A LA POINTE D'UNE FISSURE I.- Rappels dlasticit II.- Rsolution des
problmes plans par les fonctions analytiques III.- Expressions
gnrales IV.- Autres exemples CHAPITRE IV : ZONE PLASTIFIEE A LA
POINTE DE FISSURE I.- Correction d'Irwin II.- Approche de Dugdale
III.- Forme de la zone plastifie IV.- Influence de l'tat de
contrainte CHAPITRE V : DETERMINATION DE LA TENACITE D'UN MATERIAU
I.- Influence de l'paisseur de la plaque II.- Dtermination de la
tenacit en dformation plane III.- Norme NF A03-180 : dtermination
du facteur d'intensit de contrainte critique des aciers
-
CHAPITRE VI : PRINCIPES ENERGETIQUES I.- Contrainte de rupture
idale II.- Fissure de Griffith III.- Compliance IV.- Relation avec
le F.I.C.
FATIGUE CHAPITRE VII : FATIGUE ENDURANCE I.- Quelques dfinitions
II.- Estimation des caractristiques de rsistance et d'endurance en
fatigue III. - Reprsentations mathmatiques et mthodes de trac de la
courbe de Whler IV. - Influence des paramtres mcaniques sur
l'endurance V. - Relation entre l'endurance et les caractristiques
mcaniques : estimation de D CHAPITRE VIII : FATIGUE PLASTIQUE
OLIGOCYCLIQUE I. - Introduction II. - Mthodes d'essais III. -
Description phnomnologique de la fatigue plastique oligocyclique
CHAPITRE IX : FISSURATION PAR FATIGUE I. - Introduction II. -
Description de la loi de Paris III. - Paramtres ayant une influence
sur la vitesse de fissuration IV. - Mcanismes de la fissuration par
fatigue V. - Modlisation : prdiction de la dure de vie
-
1/5
FATIGUE et MECANIQUE de la RUPTURE
Objet : Dimensionner les pices en tenant compte des dfauts
MECANIQUE DE LA RUPTURE CHAPITRE I : GENERALITES ET PRINCIPES DE
BASE DE LA MECANIQUE DE LA RUPTURE I.- Introduction II.-
Comportement d'une structure comportant une fissure III.-
Contrainte la pointe d'une fissure IV.- Le facteur d'intensit de
contrainte, paramtre caractristique V.- Conclusion I.- INTRODUCTION
- Rappel de quelques incidents spectaculaires qui ont conduit au
dveloppement de la mcanique de la rupture. - Remarques prliminaires
: * Importance de la transition fragile / ductile. * Importance de
la limite lastique (peu de dformation plastique si Re est leve). *
Les aciers haute Re ont une rsistance la fissuration faible. II.-
COMPORTEMENT D'UNE STRUCTURE CONTENANT DES FISSURES A cause de
l'existence de fissures ou de dfauts, les pices ont une dure de vie
limite. Un des objets de la mcanique de la rupture est de calculer
la dure de vie des pices en fonction du nombre de cycles de
contraintes endurs.
-
2/5
Une fissure engendre une concentration de contrainte la pointe
du dfaut, ce qui entrane une baisse de la rsistance mcanique de la
pice. Il y a alors risque de rupture, et la pice voit sa dure de
vie limite. Le cours tudiera d'abord la thorie de la M.L.E.R.
(Mcanique Linaire Elastique de la Rupture). Cette thorie permet de
rpondre aux questions : * Quelle est la rsistance rsiduelle en
fonction de la taille des dfauts ? * Quelle est la taille critique
du dfaut, compte tenu des conditions de chargement ? * Quel temps
faut-il une fissure pour passer de la taille initiale la taille
critique ? * Comment dterminer les intervalles d'inspection ? III.-
LES CONTRAINTES A LA POINTE D'UNE FISSURE III.1- Les trois modes de
rupture c Mode I (mode d'ouverture) : chargement perpendiculaire au
plan de la fissure d Mode II : chargement dans le plan de la
fissure : mode de cisaillement plan e Mode III : chargement de
cisaillement, toujours dans le plan de la fissure : mode de
cisaillement anti-plan
Le mode I est le plus "courant" et le plus catastrophique.
III.2- Champs de contrainte lastique en mode I
-
3/5
Cas d'une fissure traversante de longueur a dans un solide de
forme quelconque, sollicit par une charge arbitraire.
Le champ de contrainte est donn par : ijI
ijK
rf=
2 .( ).
* fij est fonction de la gomtrie * KI est le facteur d'intensit
de contrainte (F.I.C.). Il dcrit le champ de contrainte la pointe
de la fissure.
Exemple : Cas d'une plaque infinie soumise une traction uniforme
et contenant une fissure centrale de longueur 2 a.
Dans ce cas : K a
MPa mI g=
unit : .
En rgle gnrale, KI est de la forme : K aI g= . o est un facteur
de forme qui dpend de la gomtrie. La solution complte de l'exemple
(plaque infinie) est :
23cos
2cos
2sin
2
23sin
2sin1
2cos
2
23sin
2sin1
2cos
2
ra
ra
ra
gxy
gyy
gxx
=
+=
=
Cette solution n'est valable que pour les points proches de la
pointe de fissure, car tous les termes de contrainte ne sont pas
pris en compte. La solution complte est :
ijI
ijme meK
rf terme= + + +
22 3
.( ) ...
A proximit de la pointe de fissure, pour r petit, seul le
premier terme est prpondrant car sa valeur tend --> quand r
--> 0. Les autres termes restent finis. Loin de la pointe de
fissure, o le premier terme a alors une valeur finie, les autres
termes doivent galement tre pris en compte dans le calcul.
-
4/5
IV.- LE FACTEUR D'INTENSITE DE CONTRAINTE, CONSIDERE COMME
PARAMETRE CARACTERISTIQUE (F.I.C.) IV.1- Dfinition de la tnacit :
KIC KIC est la valeur critique du F.I.C. qui mne une rupture
brutale. C'est une caractristique du matriau dans un tat donn.
Remarque : Il existe des normes qui fixent les conditions d'essais
pour dterminer le KIC . IV.2- Notion de zone plastifie Reprenons
l'exemple de la plaque fissure et regardons l'volution de la
contrainte yy pour = 0.
Constatation : pour r 0, yy + , ce qui est impossible dans un
tat lastique. Donc la pointe de la fissure, l'tat de contrainte
sera fini, d un comportement plastique du mtal sous sollicitations.
Une estimation de la zone plastifie peut tre obtenue en calculant
la distance r* pour laquelle la contrainte est gale (ou devient
plus grande que) la limite d'lasticit.
YI
eI
e
Kr
R r KR
= = =2 2
2
2. **
La taille de la zone plastifie dpend du F.I.C. et de la limite
d'lasticit du matriau. Remarque : on verra par la suite que la
taille de la zone plastique relle est suprieure r*.
-
5/5
La thorie expose n'est valable en toute rigueur que pour les
matriaux fragiles. Elle restera valable pour les matriaux prsentant
de faibles possibilits de plasticit. Dans ce cas, alors, KIC
restera une caractristique du matriau. IV.3- Influence de la
plasticit
A la pointe de la fissure, dans la zone plastifie, les
contraintes sont localement trs hautes, il existe une dformation
transverse suivant z. * Dans le cas d'une plaque paisse, existence
de matriaux juste devant la pointe de fissure et dans la zone
lastique qui va empcher la dformation suivant z --> z = 0 : tat
plan de dformation, il y a alors existence d'une contrainte zz xx
yy= +( ) . * Dans le cas d'une plaque mince ou en surface, la
dformation suivant z peut se produire z z =0 0 : tat plan de
contrainte.
-
1/4
CHAPITRE II : MECANISMES DE RUPTURE ET DE CROISSANCE DE FISSURE
I.- Introduction II.- Rupture par clivage III.- Rupture ductile
IV.- Fissuration par fatigue V.- Conclusion I.- INTRODUCTION Il ne
suffit pas de connatre le champ des contraintes, il faut savoir
aussi comment se produit la fissuration. L'tude des mcanismes de
rupture a pour but de comprendre les processus de rupture et de
fournir un critre de rupture. II.- RUPTURE PAR CLIVAGE Rupture
suivant plan cristallographique bien prcis (exemple : ardoise).
Rupture fragile pas de dformation plastique. Rupture
transgranulaire (exemple : bateau rupture au niveau soudure) Le
clivage se produit par sparation directe le long de plans
cristallographiques due une simple rupture de liaisons atomiques.
rupture lie un plan cristallographique ex. Fer : (100) hexagonal
compact (001)
Temprature basse ) rupture par clivage favorise Vitesse de
dformation leve )
rsilience
-
2/4
Rupture "brillante" : - aspect brillant de la surface de rupture
- aspect plat dans un grain avant changement d'orientation d'un
grain l'autre - au microscope : apparition de marches
Les marches sont parallles la direction de la propagation des
fissures et perpendiculaires au plan de la fissure. Plusieurs
marches peuvent se rejoindre entrainant la formation de rivires
Formation de languettes de clivage dues la prsence de
macles.
Structures cubique centre et hexagonale compacte favorable la
rupture par clivage. Procd de dformation fragile contraintes
critiques de clivage. III.- RUPTURE DUCTILE Possibilt de dformation
plastique importante. Le type le plus courant de rupture ductile
est la rupture par traction avec apparition de striction. Dans les
matriaux trs purs, on peut observer des dformations plastiques
importantes. Dans les matriaux courants, il existe une grande
quantit de particules de seconde phase. - grandes particules (1 -
20 m) carbures etc ... composes de diffrents lments d'alliages,
elles sont souvent trs fragiles et ne peuvent donc accomoder la
dformation plastique de la matrice : elles cassent trs vite
formation de trous. - Particules de taille intermdiaire (500 5000
A) ) - Particules de prcipits visibles au Microscope ) rle
important lectronique (50 500 A) ) dans la rupture
-
3/4
Comme ces particules ne peuvent pas se dformer aussi facilement
que la matrice, elles perdent leur cohrence avec la matrice quand
une dformation plastique intense se produit dans leur voisinage
formation de minuscules trous qui croissent par glissement.
IV.- FISSURATION PAR FATIGUE IV.1- Du point de vue macroscopique
* zone d'amorage : pas toujours visible (il peut y en avoir
plusieurs, pas forcment dans le mme plan). Se produit souvent
partir d'un dfaut de surface. * zone de propagation de fissure par
fatigue assez plate, lisse, marque par des lignes d'arrt
correspondant un arrt momentan de la fissuration et par des lignes
radiales correspondant un changement de plan de fissuration. * zone
de rupture finale, plus tourmente
IV.2- Du point de vue microscopique * rupture transgranulaire. *
surface souvent marque par des microreliefs appeles stries de
fatigue (dpend du matriau - diffrent des lignes d'arrt). Une strie
de fatigue correspond un cycle de sollicitation. * la prsence de
stries (surtout pour les matriaux cubiques face centre alu ou inox)
est une preuve irrfutable qu'il y a eu phnomne de fatigue mais leur
absence ne signifie pas qu'il n'y a pas eu phnomne de fatigue.
-
4/4
modle d'amorage de fissure
modle de formation des stries
-
1/14
CHAPITRE III : CHAMP DE CONTRAINTE ELASTIQUE A LA POINTE D'UNE
FISSURE Plan : I. - Rappels dlasticit II. - Rsolution des problmes
plans par les fonctions analytiques III. - Expressions gnrales IV.
- Autres exemples I.- RAPPELS D'ELASTICITE
I.1-Tenseur des contraintes et des dformations x3
=
( )M
11 12 13
21 22 23
31 32 33
23 22 21 x2
x1 ij = contrainte parallle laxe j s'exerant sur une facette
perpendiculaire laxe i tenseur symtrique
=
( )M1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
( ) i j i j j iu u= +12 , , I.2-Rsolution dun problme dlasticit
Etant donn un solide soumis : - des forces ou des dplacements sur
sa surface extrieure - des forces de volume, on cherche connatre en
chaque point : - le tenseur des contraintes - le tenseur des
dformations - le vecteur dplacement Les quations expriment les
diffrentes relations entre : - les contraintes ij - les dformations
ij Systme d'quations aux drives - les dplacements ui partielles La
rsolution est obtenue par intgration du systme prcdent, compte tenu
des conditions aux limites exprimes en terme de forces ou de
dplacements sur la surface externe du solide.
-
2/14
I.3-Cas particulier des tats plans * Etat plan de contrainte
=
( )M11 12
21 22
* Etat plan de dformation
( )
=
M11 12
21 22
* Rsolution du systme dquations (exemple : tat plan de
contrainte)
Equations d'quilibre
11
1
12
21
21
1
22
22
x x
x x
+ + =
+ + =
X
Forces volumiques
Equations de compatibilit :
211
22
222
12
212
1 22
x x x x+ =
211
32
233
12 0x x
+ = ,
222
32
233
22 0x x
+ =
211
2 3
212
1 3x x x x=
222
3 1
212
2 3x x x x=
233
1 2
212
32x x x
= Loi de Hooke :
En contraintes planes : ( ) 11 11 221= 12 121= + ( ) 22 22
11
1=
( ) 33 11 22= +
En dformations planes : ( ) ( )[ ] 1 1 2 1 1 2 21 1 1= + ( ) (
)[ ] 2 2 2 2 2 1 11 1 1= + 12 121= +
-
3/14
Le systme dquation scrit : en termes de contraintes :
( ) ( ) + = +
211 22
1
1
2
21
x x
en contraintes planes
( ) + = + +
211 22
1
1
2
2
11
x x
en dformations planes
en termes de dplacements : Equations de Lam-Navier
+ + +
+ =
+ + +
+ =
21
1
1
1
2
21
22
2
1
1
2
22
11
11
ux
ux
ux
ux
ux
ux
en contraintes planes ( ) = +
E2 1
+ +
+ =
+ +
+ =
21
1
1
1
2
21
22
2
1
1
2
22
1 2
1 2
ux
ux
ux
ux
ux
ux
en dformations planes
Ces problmes peuvent tre rsolus par la fonction d'Airy. Dans le
cas de systmes lastiques plans, les quations d'quilibre sont
identiquement vrifies en posant :
112
22= +x V ;
22
2
12= +x V ;
12
2
1 2= +
x xV
Avec : fonction d'Airy V : potentiel dont drivent les forces
volumiques
= gradV
Les quations de compatibilit se rduisent :
= 1 21
vv
V en dformations planes
( ) = 1 v V en contraintes planes
-
4/14
Dans le cas o les forces volumiques sont ngligeables, on montre
que les quations d'quilibre sont automatiquement satisfaites si
:
112
22= x
22
2
12= x
12
2
1 2=
x x
en contraintes planes comme en dformations planes. Alors en
combinant la loi de Hooke, la dfinition des dformations, la
dfinition des contraintes on montre que :
( ) 4
14
4
24
4
12
22
2 22 0 0x x x x
+ + = = est une fonction dite biharmonique.
II.- RESOLUTION DES PROBLEMES PLANS PAR LES FONCTIONS
ANALYTIQUES: SOLUTION DE WESTERGAARD
II.1-Dfinition des fonctions analytiques Si f(z) = + i est une
fonction analytique de la variable complexe z = x + iy , alors la
diffrentielle de f(z) par rapport z scrit :
dfdz
ddx
i ddx
i ddy
ddy
= + = + condition que et vrifient les conditions de Cauchy
Riemann
x y
et
=
= =
2 2 0
y x=
les parties relles et imaginaires d'une fonction analytique sont
harmoniques. On dit que ce sont des fonctions harmoniques
conjugues. Dmonstration :
xf z
zf z z
xf z
yf z if z
( ) ( ) ' ( )
( ) ' ( )
= =
=
-
5/14
Si l'on crit f(z) sous la forme + i, on obtient :
xf z
xi
xf z
yf z
yi
yif z
( ) ' ( )
( ) ' ( )
= + =
= + =
x y
y x
=
=
( )
( )
1
2 Equations de Cauchy-Riemann
De plus, aprs drivation et combinaison des quations, on peut
crire : en drivant (1) par rapport x en drivant (2) par rapport
y
2
2
2
2
2
2
2 0x x y
y x y
=
=
=
De mme, en drivant (1) par rapport y et (2) par rapport x, on
dmontre que 2 = 0 Inversement une fonction harmonique peut toujours
tre considre comme la partie relle ou imaginaire d'une fonction
analytique. L'autre partie s'obtient partir des conditions de
Cauchy. On montre d'autre part que toute fonction biharmonique peut
se mettre sous la forme = 1 + x2 + y3 1 , 2 et 3 sont des fonctions
harmoniques 2 et 3 vrifient les conditions de Cauchy.
II.2-Applications aux fonctions de contraintes complexes Soit une
fonction complexe Z(z)=Re(Z)+i Im(Z) avec z=x+iy vrifiant les
conditions de Cauchy- Riemann
-
6/14
Westergaard dfinit une fonction analytique = telle que :
_ ==
ddz
= ddz
_
' = ddz
On montre que les quatre fonctions = , _ , , ' sont analytiques.
Westergaard montre de plus que la fonction d'Airy , pour des
problmes de fissures dans une plaque plane de dimensions infinies
peut tre dfinie par :
( ) ( , ) R e Im _x y y x y= + = 2 2 2 do lon tire :
xx
yy
xy
yy
xy
x yy
= = +
= = +
= =
2
2
2
2
2
Re Im
Re Im
Re
II.2.1-Expression des dformations et dplacements partir de la
solution de Westergaard Pour simplifier, supposons = (souvent vrai)
Aprs application de la loi de Hooke :
( )( )
( ) ( )[ ]
xx xx yy
xx
xx
ux
y y
y
= =
=
= +
1
1
1 1 1
Re Im Re Im
Re Im
( ) ( )[ ]u y= +1 1 1 R e Im
Rsultats obtenus en contraintes planes
-
7/14
[ ][ ]
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
yy yy xx
yy
yy
vy
y y
avecy y
soity
yy
yy y
yy
y
soit vy y y
y
y yy
= =
= + +
= =
= +
= =
= = +
= +
1
1
1 1 1
1 1 1
1 2 1
Re Im Re Im
Re Im Im Re
Im Re
Re Re Re Re Im
Im Re Im
Im Re
( )[ ]v = 1 2 1 Im R e + y
Rsultats obtenus en contraintes planes
Le calcul conduit : ( )[ ]u y= + 1 1 2 R e Im ( )[ ]v = + 1 2 1
Im R ey En dformations planes II.2.2-Champ de contrainte au
voisinage du fond de fissure Exemple : tle soumise l'infini 2
tractions gales : cas particulier du problme de Griffith Utilisons
la solution propose par Westergaard :
=
=
=
1
0
2 2 2az
z
z a
-
8/14
Les conditions aux limites sont vrifies car : xx = yy = et xy =
0 loin de la fissure quand z yy = xy = 0 dans le plan de la fissure
(-a z +a et z rel) Les champs singuliers de contraintes et de
dformations au voisinage du fond de fissure sont obtenus par
dveloppements limits au voisinage du fond de fissure :
z a avec rei= + = = r(cos + i sin) y = rsin =2rsin 2 2
cos
(z) ( ) ( )= = +
+ = + + =
+
+
z
z a
a
a a
aa
aa
aa
2 2 2 2 2
1
2 12
Z z a a
a
( ) = +
+
21
12
(z) = + +
aa a2
1 12
12
1 244 344
= +
aa a2
1 14
= +
aa a a2
14 4
2
2
termes ngligs par la suite
(z) = +
aa2
02
= +
= +
= +
ar
e ra
e ar
e
ar
i ra
i i i
2 2
2 2 20
2 2 2
cos sin
On dvelopperait de mme ( ) = +
z a ar
2 2
032
= +
( ) cos sinz r
ar
i ar
2 2
32
32
0
Dmonstration :
Do ( )( )
Z a
Z a
a rei
= +
= +
= +
2
212
1
2 2
1 2
3 2
3 2
-
9/14
d'o :
Re cos
Re cos
Im sin
= +
= +
= +
ar
ra
rar
ar
rar
ar
2 20
2 232
0
2 232
0
D'o les contraintes : xx y= Re Im xx ar
ra
= +
2 2 1 2
32
0cos sin sin
yy y= + Re Im
yy arra
= + +
2 2 1 2
32
0cos sin sin
xy y= Re
xy arra
= + 2 2 2
32
0sin cos cos
ij ij
i i
rf
u r g
=
=
22
( )
( )
III-EXPRESSIONS GENERALES
III.1-Contraintes en fond de fissure sollicite en mode I.
xx
yy
xy
r
r
r
=
= +
=
2 21
232
2 21
232
2 2 232
cos sin sin
cos sin sin
cos sin cos
III.2-Contraintes en fond de fissure sollicite en mode II.
xx
yy
xy
r
r
r
= +
=
=
2 22
232
2 2 232
2 21
232
sin cos cos
sin cos cos
cos sin sin
-
10/14
III.3-Contraintes en fond de fissure sollicite en mode III.
xx yy zz xy
xz
yz
r
r
= = = ==
=
0
2 2
2 2
sin
cos
IV - AUTRES EXEMPLES IV.1- Facteurs dintensit de contrainte pour
fissures elliptiques IV.1.1 Cas d'une fissure elliptique noye :
Zone plastique ngligeable
=
a ac
sin cos22
22
14
avec =
0
22 2
22
12
1 c ac
dsin
et = +38 8
2
2 a
c en premire approximation.
12
1min max/= = a c a
si a < c
-
11/14
IV.1.2 Cas d'une fissure elliptique dbouchante (semi-elliptique)
- Zone plastique ngligeable :
= +
112 2
2
22
14
, sin cos a ac
- Zone plastique non ngligeable :
( ) = + + 112 2 22 2
14
, sin cos*
a r a
c
p
et compte tenu que rp Ie
* = 2
24 2
on obtient = +
112 2 22
21
4, sin cos aQ
ac
avec ( )Q = 2 20 212, Re
-
12/14
3 - Correction de tenant compte de la proximit fond de
fissure-bord libre.
max ,= 112MaQ
Kobayashi correction ( ) for proximity of front free-surface
IV.2- Mthodes de calcul des facteurs dintensit de contrainte Il
s'agit de dfinir des facteurs d'intensit de contraintes dans le
domaine de l'lasticit plane. Un certain nombre de solutions
existent, en particulier pour des gomtries usuelles. 1. Utilisation
de solutions existantes - Principe de superposition Cette mthode
consiste dcomposer le problme pos en une somme de problmes simples
dont les solutions sont connues. Le problme tant un problme
d'lasticit linaire, on peut appliquer le principe de
superposition.
-
13/14
Exemple K1b) = 0 KI b) = KI d) + KI e) = 0 KI e) = -KI d) KI e)
= -KI d) = - 2 a
2 - Fonctions de Poids Une autre mthode consiste rechercher la
valeur ( )x du facteur d'intensit de contrainte en fond de fissure
produite par une force place une distance x de l'extrmit de la
fissure. Pour une distribution F(x) de forces appliques, on a alors
= fissureF x x dx( ) ( ) La fonction ( )x est appele fonction de
poids en mode I, ou fonction d'influence en mode I, connue pour
quelques cas bien particuliers.
dans ce cas particulier :
( )x a xa x=2
ou encore :
= +1a
a ta t
Fonction de poids pour une charge ponctuelle
-
14/14
3 - Mthodes exprimentales A partir de la mesure du taux de
relaxation d'nergie G (dfini plus loin dans le cours), compte tenu
de la relation : ( )G G= =
2 2 21
( ) ( )en contraintes planes en d formations planes
En utilisant la photolasticimtrie, ou un autre moyen prcis de
mesure des dformations en fond de fissure, susceptible de rendre
compte des forts gradients existants. 4 -Mthodes numriques Ce sont
ces mthodes qui sont le plus largement employes aujourd'hui. La
premire mthode consiste utiliser les fonctions complexes (voir
prcdemment). La seconde mthode consiste dvelopper des calculs par
lments finis, diffrentes techniques numriques pouvant alors tre
utilises : - extrapolation du champ des contraintes et des
dplacements - mthode nergtique - mthode de perturbation - mthode
faisant appel l'intgrale J.
-
1/8
CHAPITRE IV : ZONE PLASTIFIEE A LA POINTE DE FISSURE I. -
Correction d'Irwin II. - Approche de Dugdale III. - Forme de la
zone plastifie IV. - Influence de l'tat de contrainte I.-
CORRECTION D'IRWIN
* D'aprs les solutions lastiques, une singularit de contrainte
existe la pointe d'une fissure ( y impossible). En pratique les
matriaux prsentent une limite d'lasticit au dessus de laquelle ils
se dforment plastiquement d'o existence d'une zone plastifie.
Supposons : - que notre matriau ait pour limite lastique : Re -
qu'il soit lastique parfaitement plastique.
Re
Calcul de r* tel que :
yIKr
pour= =2
0( )
2
Re21*
*2Re
== II Kr
rK
Pour que les conditions d'quilibre soient respectes, l'tendue de
la zone plastifie doit tre suprieure r*. Supposons alors que la
courbe relle (CF) soit dduite de la courbe GE par translation d'une
quantit BC.
-
2/8
le profil de contrainte est tel que : - y ppour x r= 2 ( *) aire
sous-tendue par GBE = aire sous-tendue par ABCF (condition sur
l'nergie de dformation)
A B
G
E
AB C
F
aire OGBE= aire OACF
O O
or :A B
E
A B C
F
r* r
aire r* BE= aire rCF
donc :A B
G
E
O r*
A B C
O r* r
aire GBr*= aire AC r *
ou encore aire ABG = aire BC rp r*
*.Re2
Re.*)(*
0
rdxx
Krrr
Ip =
=K r rI p2 2 * Re .
or Re*
*. Re
= =Kr
r KI I2 2
Re . * . Re . * * . Rer r r rp = =2 2
2
Re21* *2
== Ip Kravecrr
-
3/8
IRWIN a fait l'hypothse que la zone plastifie est de forme
circulaire et que son diamtre est : 2 . r*. Il suppose qu'il y a
une fissure fictive de longueur a + r* et la zone plastifie est de
forme circulaire et de rayon r*
Remarques : - dfinition du C.O.D (Crack Opening Displacement)
dfinition du C.T.O.D. (Crack Tip Opening Displacement)
= valeur de l'ouverture (2 v) la pointe de la fissure relle. -
utilisation de la correction d'Irwin pour le calcul de K
en toute rigueur, on devrait calculer le F.I.C. en tenant compte
de la longueur de fissure fictive a + r*.
ex :
+=+= 2
2
Re2*)(
KaraK
en pratique, on le fait rarement. II.- L'APPROCHE DE DUGDALE Cas
d'une plaque contenant une fissure centrale de longueur 2 a et
soumise une contrainte de traction .
Re
Dugdale considre une fissure fictive de longueur 2(a + ), une
partie () de la fissure fictive supporte une contrainte gale Re. A
la pointe de la fissure fictive, en A et B, on a K = 0 (car pointe
de fissure fictive). On utilise le principe de superposition :
-
4/8
1er cas : Fissure de longueur 2(a + ) soumise une contrainte de
traction
( ) KaK =+=
B A
2(a+) 2me cas : Fissure de longueur 2(a + ) soumise une charge
concentre Re sur la distance Rappel :
Westergaard a montr que : K Pa
a xa xA
= +0
0
K Pa
a xa xB
= +0
0
Si on transpose ce rsultat au cas qui nous intresse :
+
++
+= a
a xaxa
xaxa
aK
0
0
0
0Re
++=
aaarcaK cos Re2 =Kp
K K aa
= + = +
cos Re2
-
5/8
Si l'on suppose que
Re Re
-
6/8
L'tendue de la zone plastifie sera alors :
- en DP :
++= )cos1()1(sin23
Re4)( 222
2
Krp
- en CP :
++= cossin231
Re4)( 22
2Krp
en DP, la zone plastifie est beaucoup plus petite qu'en CP
(pour = =0 13
, , facteur 9 entre les 2)
IV.- INFLUENCE DE L'ETAT DE CONTRAINTE Si l'tat de dformation
plane prvaut l'intrieur de la plaque, z va varier de 0 en surface
(CP) sa valeur de DP l'intrieur les ZP diminuent progressivement de
la taille de CP en surface celle de DP coeur.
Remarques : Si l'tat de contrainte a une influence sur la taille
de la ZP, la taille de la ZP elle-mme a une influence sur l'tat de
contrainte. De grandes ZP vont favoriser le dveloppement de l'tat
de CP
Le rapport "taille zone plastifique" est un facteur important
pour l'tat de contrainte (paisseur B de la pice) IV.1- Examen des
diffrents modes de dformation : cas de la contrainte plane
-
7/8
y
x
== >
=
1
2 1 2
3 0
La contrainte de cisaillement max est sur les plans faisant un
angle de 45 avec les directions 1 3et ( )si ety z 1 3= = ce sont
les plans passant par x et faisant un angle de 45 avec le plan
yz.
IV.2- Examen des diffrents modes de dformation : cas des
dformations planes
y
x
=== + = +
1
2
3 1 2 1 212
( ) ( )
max est situ sur des plans faisant un angle de 45 sur les axes 1
et 2. Ce sont des plans passant par z et 45 des axes x et y.
-
8/8
IV.3- Facteur de confinement (f.c.)
fc = maxRe
en DP, si on prend 2 1 3 1= =N M;
( ) ( ) ( ) Re
Re
1 1 2
1
2 2 212 2
1 2 21
2
+ + == = + + N N M M
fc N M N M MN
on trouve pour = 0 = = = =1 3 1 2 3, ,N M fc
Zone plastique de dformation plane (ZP de CP)= 13
-
1/5
CHAPITRE V : DETERMINATION DE LA TENACITE D'UN MATERIAU I.-
Influence de l'paisseur de la plaque II.- Dtermination de la tnacit
en dformation plane II.- Norme NF A03-180 : dtermination du facteur
d'intensit de contrainte critique des aciers I.- INFLUENCE DE
L'EPAISSEUR DE LA PLAQUE Soit une plaque de dimension : K aoritiq
F= = = F
IC ICKa
E Ga
en CP
o G KE
en CPI I=2
Rgion A :
-
2/5
Rgion B - Rgion C :
* Cas des plaques minces (partie A) : Les chantillons sont trs
minces et montrent une augmentation de GIC avec l'paisseur. La
courbe charge / dplacement est linaire et la rupture est 100 %
incline.
z
x
y Etat de contrainte plane
* Cas des plaques paisses (partie C) : On est en DP. La rupture
se produit pour une valeur constante de la tnacit. L'aspect de la
rupture est plan avec une proportion de lvres ductiles trs faible.
On a une triaxialit des contraintes. * Cas des plaques moyennes
(partie B) : L'paisseur est telle que la rgion centrale (rupture
plane) et les rgions latrales (rupture en biseau) sont de taille
comparable.
-
3/5
II.- DETERMINATION DE LA TENACITE EN DEFORMATION PLANE Obtenir
des valeurs reproductibles de la tnacit. - Etat de dformation plane
zone plastifie fond de fissure limite l'paisseur B doit tre
suffisante pour que la majeure partie soit en DP contrainte de
rupture < limite d'lasticit II.1.- Eprouvettes Eprouvettes
normalises
+
+
=
2/92/72/52/32/1
3,15466,15018,8742,1858,11Wa
Wa
Wa
Wa
Wa
WBPK
-
4/5
prouvette CT W = 2 B ; sa valeur peut cependant varier H = 1,2 B
D = 0,5 B W1 = 2,5 B H1 = 0,65 B
K PB W
aW
aW
aW
aW
aWI
=
+
+
29 6 185 5 655 7 1017 638 9
1 2 3 2 5 2 7 2 9 2, , , ,
/ / / / /
II.2.- Conditions de prfissuration
Kmin
Kmax
temps
On prolongera la prfissuration jusqu' 0 45 0 55, , aW
La contrainte maxi doit tre telle que :
K mm a mmK KaK K K
Emax/
max
max min max
, ,%
%
>< >
0 014 1 2760
90
II.3- Dispositif d'essai Sollicitations en traction ou en
flexion. Pendant l'essai, on enregistre la variation de charge
applique l'prouvette en fonction de l'cartement de 2 points de part
et d'autre de l'entaille.
-
5/5
II.4- Dtermination de KIC
II.5- Conditions de validit de la dtermination de KIC
2
2
2
1Re
=
ICIC
IC
KaKa
KaWa
P Pqmax / ,1 1
III.- NORME NF A03.180 "DETERMINATION DU FACTEUR D'INTENSITE DE
CONTRAINTE
CRITIQUE DES ACIERS
La norme NF A03.180 dfinit les conditions opratoires suivre pour
dterminer la valeur de 1c.
-
1/10
CHAPITRE VI : PRINCIPES ENERGETIQUES I. - Contrainte de rupture
idale II. - nergie de dformation lastique III. - Critre d'extension
de fissure : courbe R IV. - Compliance Dans les chapitres prcdents,
nous nous sommes intresss au champ de contrainte singulier
entourant la pointe de fissure, ce qui nous a permis de dduire un
critre de rupture. Une alternative cette approche est de considrer
le transfert d'nergie qui se produit durant la progression de
fissure. I. CONTRAINTE DE RUPTURE IDEALE Avant de considrer le
concept de taux de restitution d'nergie, examinons les premiers
travaux dus Griffith. Travaux datant des annes 20, donc antrieurs
la MLER tablis pour expliquer la disparit des rsultats concernant
la rsistance la rupture de barres de verre. I.1-Prsentation du
modle Voyons quelle est l'nergie d'interaction liant deux atomes
adjacents l'quilibre, distants de bo :
A A' A"
B B'
C C'. .... . .X
Xbo
Calcul de la contrainte requise pour produire la rupture le long
du plan XX. Hypothse : il n'y a pas d'interaction entre les atomes,
donc l'effort produire correspondra la force ncessaire pour sparer
une paire isole d'atomes. ex : C-C'
-
2/10
L'nergie pour sparer les 2 atomes est gale Uo, elle est aussi
gale 2 (nergie de surface) ou encore la tension de surface.
=F d Ud b
. puisque c'est la drive de l'nergie
SF
bF
bxxbbSi
oo
==== 20 plus, De Approximation de la courbe une
demi-sinusode
=
max sin 2
x
L'aire sous la courbe reprsente l'nergie requise pour sparer
deux atomes.
U x dx
Ux z
o
o
= =
= = = =
2 22
22
0
2
0
2
max
/
maxmax
max
sin
cos
Pour de petits dplacements : sin x x
= =max max. 2 2x E x
bEbo o
Soit en substituant ,
max max= Ebo2
2
max = Ebo max (voisin de valeur non raliste)E10
Exemple : acier = 1J/m , E = 2 10"N/m , bo = 2 10-10 m max =
3,16 10+10N/m E/6
-
3/10
I.2-Fissure de Griffith Griffith ayant observ que la rsistance
de barres de verre diminue quand leur diamtre augmente, il a propos
dexpliquer la diffrence par l'existence de petits dfauts qui
permettent la contrainte d'tre suffisamment concentre pour que la
contrainte idale de rupture soit atteinte. On considre un dfaut de
forme elliptique
Inglisd'solution21
+=
ay
C'est la contrainte la pointe de l'ellipse cause par une
contrainte extrieure applique loin du dfaut rayon la pointe de l'
ellipse. Pour une fissure on peut prendre, = bo
2 a
a
bo
1
y = 2 a
bo Si on considre que l'on aura rupture lorsque y = max
2 ab
Eo o
Fb= =la rupture sera obtenue pour telle que
F Ea= 4 II. ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE La contribution
majeure de Griffith a t de considrer qu'il est possible d'tablir un
critre thermodynamique de rupture, en dterminant le changement
total d'nergie d'un corps fissur lorsque la longueur de fissure
croit. Ainsi le modle montre que la propagation de fissure est
cause par un transfert d'nergie, travail extrieur ou transformation
en nergie de surface nergie de dformation Notations utilises U :
nergie lastique emmagasine F : travail des forces extrieures :
nergie potentielle W : nergie ncessaire la formation d'une fissure
u : dplacement
-
4/10
II.1-Critre nergtique : bases du critre La conservation de
l'nergie implique que : le travail F effectu par les forces
extrieures au solide ne soit pas perdu. Il est conserv sous forme
d'nergie de dformation U, donc : F-U=0 Le travail effectu par la
charge est F= Pdu P : charge u : dplacement Tant que le matriau est
lastique, le diagramme est linaire et F= Pu21
On peut galement dterminer l'nergie de dformation U d'une autre
manire. Si on considre un lment de matire de taille unitaire soumis
une contrainte uniaxiale , le
travail F est d 21 = E2
21
L'nergie de dformation totale du corps est alors
= dzdydxEU 2
Ce principe [ ]0=UF est toujours valable dans le cas d'un corps
fissur.
Si la plasticit est limite, le diagramme Pu est toujours
linaire. Dans le cas d'une fissure plus longue ( )[ ]daa +2 il
faudra une charge plus faible pour produire le mme dplacement
u
P
P
P
F= Pu21
P
u
u0
P
u
P0 P
P
2a
-
5/10
Supposons que la charge applique atteigne la valeur P1, le
dplacement de la valeur u1. Supposons de plus que la rupture se
produis pour cette charge P1 et que la fissure augmente de a a+da
Durant ce processus, il y a encore conservation de l'nergie mais on
doit galement tenir compte d'un troisime terme W reprsentant le
travail dpens pour faire avancer la fissure.
On va donc crire qu'il y a conservation de l'nergie sur les
variations. dF : travail effectu par la charge pendant le processus
dU : changement de l'nergie de dformation
( ) 0= WUFdad
L'galit doit tre vrifie pour avoir rupture sinon il n'y a pas
rupture et F-U=0 Autrement dit, il y aura rupture si suffisamment
d'nergie est libre pour produire l'nergie de rupture dW/da. Cette
libration d'nergie provient de d(F-U)/da II.2-Le taux de
restitution d'nergie -dplacement impos : u=u1=constante Replaons
nous dans les conditions prcdentes (P1, u1) et examinons le cas o
le dplacement ne change pas lorsqu'il y a croissance de fissure da.
Dans ce cas, la charge dcroit jusqu' la valeur P2 car il est plus
facile de maintenir le dplacement u1, avec une fissure plus longue.
Pour cela, on considre le cas dune plaque infinie fissure,
d'paisseur unit contenant une fissure centrale de longueur 2a
soumise une charge P.
dadWUF
dad = )(
u u1
B
A
P2
P1
P
-
6/10
Cependant, puisque le point d'application de la charge ne bouge
pas, dF=0. Le changement d'nergie de
dformation est de : 1211 21
21 uPuP le changement est donc 0
Ainsi, pour des conditions de dplacement impos, il y a une
diminution de l'nergie de dformation gale
( )12 1 1 2u P P alors que dans des conditions de charge impose
il y a une diminution de l'nergie potentielle
gale ( )12 1 2 1P u u .
charge applique
dplacement
a+da a
u2 u1
P1
P
-
7/10
Pour des accroissements infinitsimaux, posons : dP = P1 - P2 du
= u2 - u1 qd da 0, on aura :
d = 12
u dP sous dplacement impos
d = 12
P du sous charge impose.
Si on dfinit la compliance C (ou complaisance) par u = CP du = C
dP On aura dans les 2 cas d = 1
2 CP dP.
En rsum, quand la fissure s'accrot, il y a restitution de
l'nergie en excs. Pour des dplacements imposs, cette nergie est
restitue partir de l'nergie de dformation. Sous des conditions de
charge impose ; du travail des forces extrieures est produit, la
moiti est consomme en nergie de dformation, l'autre moiti est
restitue. Dans les 2 cas, l'nergie restitue est consomme pour
former de l'nergie de surface. On peut ainsi dfinir un critre de
propagation de fissure : d 2 da
La diffrence entre les 2 cts de l'ingalit = nergie cintique.
Taux de restitution d'nergie par unit d'extension de fissure =
nergie de surface
dda = 2
La rupture se produira si, grce l'extension de fissure da,
suffisamment d'nergie de dformation est restitue pour au moins
galer l'nergie ncessaire pour crer une nouvelle surface de fissure.
Autres notations :
Vous verrez souvent crit : G dda
R= = dadW
Taux de restitution d'nergie
strain energy release rate nergie de rupture ou rsistance la
rupture
En utilisant les solutions de Westergaard, on peut montrer que
:
EKG =
21 EE = en contrainte plane
21 vEE = en dformation plane
G aE
= 2
'
-
8/10
III. CRITERE D'EXTENSION DE FISSURE : COURBE R * Supposons dans
un premier temps que la valeur de R ne dpende pas de a.
L'nergie disponible dUda
est G = K/E
En prenant = 1, G = 2aE
Sa variation en fonction de a est reprsente par une ligne droite
dont la pente dpend de . - Pour une certaine contrainte 1 et pour
la longueur de fissure a, la valeur de G est G1 ; puisque G1 < R
il n'y a pas rupture. - Supposons que l'on augmente la contrainte
jusqu' 2 et que G G2 : puisque G2 = R, il y aura rupture. La
fissuration se poursuivra jusqu' rupture complte. On aura toujours
G > R dans ce cas.
* On peut en fait montrer que la valeur de R dpend de a. Si la
croissance de R est faible, on observera le mme phnomne que
prcdemment. C'est le cas quand la tnacit est faible ou quand on est
en dformation plane. Quand la tnacit est plus leve, la variation de
R est plus rapide.
Pour une longueur de fissure gale a, G atteint la premire fois
la valeur de R pour G = Gi( = i) ; la fissuration va dbuter mais
elle restera stable car G1 < R Il faudra augmenter jusqu' 2 pour
avoir nouveau fissuration. Finalement ce n'est que lorsque la
contrainte atteindra fr1 que la rupture deviendra instable.
Remarques : 1/ durant la phase de progression stable de la
fissure, celle-ci passe de la longueur a1 la longueur a2. Ceci ne
doit pas tre interprt comme signifiant qu'une fissure de longueur
a2 a une rsistance fr1. En effet, pour une fissure de longueur
initiale a2 il y aura dbut de progression stable par = K [< i ]
car pente plus faible et instabilit pour = fr2. En bref
l'instabilit se produira quand la ligne reprsentant G devient
tangente la courbe R soit :
-
9/10
G a R adGda
dRda
i i
a ai i
( ) ( )=
=
2/ consquences sur la dfinition de la tnacit : la rupture
instable peut se produire pour diverses valeurs de G, donc de K.
problme pour la dfinition de Kc si une rupture stable prcde la
rupture instable. la dmonstration prcdente a t faite pour = 1
(plaque ) si est diffrent de 1, l'volution de G en fonction
de a n'est plus linaire G KE
B aE
= =
2 2
les diffrentes valeurs de G rupture sont plus proche.
Courbe du haut = rupture instable C c ca K= Courbe du bas = dbut
de rupture i i ia K=
-
10/10
IV. COMPLAISANCE / COMPLIANCE
On a trouv prcdemment : dU = 12
P du
G B da = 12
P d (CP) = 12
P2 d C
da 0 G PB
dCda
=
12
2
-
INTRODUCTION A LA MECANIQUE DE LA RUPTURE ELASTO-PLASTIQUE
La grande majorit des aciers basse et moyenne limite d'lasticit
utiliss dans les grandes structures telles que navires, ponts,
rservoirs sous pression sont en paisseur trop faible pour utiliser
K1c (l'tat n'est pas en dformation plane) Bien qu'il soit possible
d'utiliser dans quelques cas des relations empiriques reliant K1c
Kc, l'approche la plus prometteuse rside dans le dveloppement d'une
analyse lasto-plastique comme extension de la MELR (Mcanique
Elastique Linaire de la Rupture).
I CRITERE D'OUVERTURE A LA POINTE DE FISSURE Les matriaux haute
rsistance ayant gnralement une faible tnacit, on peut leur
appliquer la mcanique linaire de la rupture. Ces procdures sont
utilisables si la taille de la zone plastifie est trs petite devant
la longueur de fissure (ZP
-
Si ReG
Re=
-
ij tenseur des dformations dfini en chaque point du plan tr
vecteur traction en un point du contour jijMt =r ur vecteur
dplacement en un point du contour dS : lment d'arc de M L'intgrale
J est indpendante du contour choisi. De plus, dans le cas d'un
comportement linaire lastique, elle est identique G
EKJ
21= en CP 21
21 KEvJ = en DP
Dans le cas d'une forte dformation plastique, J n'est plus tout
fait gal G1 qui ne contient pas l'accroissement d'nergie de
plastification lors de la propagation de la fissure. Cependant
l'intgrale J reste indpendante du contour choisi et de la gomtrie
de l'prouvette.
III COURBE R L'ide de base du concept de courbe R est que la
fissure ne se propage que si la force
d'extension G > R
La courbe K = f'(a) donne pour
diffrentes forces Pi la variation du
FIC avec la longueur de la fissure
a
La courbe Kr = f(a) est fonction de
ao.
Sous les charges P1, P2, P3 la fissure est stable, elle s'arrte
aux longueurs a1 a2 ou a3.
Au contraire, lorsque la charge atteint la valeur P4, la rupture
se produit de faon brutale aprs
que la fissure ait augmente de faon stable jusqu' la longueur
a4.
-
1/10
FATIGUE On tudiera diffrents cas : fatigue endurance ; fatigue
plastique oligocyclique, fissuration par fatigue, endommagement,
prvision de la dure de vie. CHAPITRE VII : FATIGUE ENDURANCE I.-
QUELQUES DEFINITIONS On appelle fatigue ou endommagement par
fatigue la modification des proprits du matriau, conscutive
l'application de cycles d'effort. La rptition de ces cycles peut
conduire la rupture des pices constitues de ces matriaux. Exemple
de type de chargement :
Les contraintes sont dfinies par :
- l'amplitude maxi a atteinte au cours d'un cycle - la valeur de
la contrainte moyenne m - le rapport de la contrainte min la
contrainte max : R =
min
max
-
2/10
Cela va nous permettre de dfinir diffrents types de chargement
:
Remarque : Dans les cas gnralement rencontrs, la pice ne prsente
pas de dformation plastique apparente. La dure de vie est mesure
par le nombre de cycles rupture N ou NR. L'excution de n cycles (n
< N) entrane un certain endommagement de la pice qu'il est
important de chiffrer car il dtermine la capacit de vie
rsiduelle.
L'endommagement s'crit D nN
= . Quand D = 1 il y a rupture de la pice. On verra qu'il existe
diffrents critres de variation de paramtres physiques qui donnent
une indication sur l'endommagement. On appelle endurance la capacit
de rsistance la fatigue des pices que l'on tudie. Diagramme
d'endurance :
f(kg/mm )2
Nombre de cycles
contrainte
Remarque : L'influence de la frquence des cycles de contrainte
varie selon la position sur la courbe. A faibles contraintes et
nombre de cycles levs, c'est un paramtre de second ordre. Comme
c'est la partie de la courbe que l'on tudie principalement, on
travaille la frquence plutt leve et son rle est mineur.
-
3/10
Par contre, faible nombre de cycles, comme le niveau de
contrainte est lev (prouvette plastifie gnralement), on travaille
faible frquence. La frquence a une importance s'il y a des phnomnes
de corrosion. Sur la courbe, on distingue 3 zones : - zone de
fatique oligocyclique : Sous forte contrainte, la rupture survient
aprs un petit nombre de cycles et est prcde d'une dformation
plastique notable. Gnralement > Re 1/4 < NR < 104 105
cycles. On cherche connatre le comportement dans cette zone dans
les cas o le matriau est soumis au moins temporairement des
contraintes trs leves. - zone d'endurance limite : C'est le cas le
plus frquent dans les problmes de fatigue. La rupture apparat aprs
un nombre limit de cycles sans tre accompagne de dformations
plastiques mesurables. - zone d'endurance illimite : C'est presque
une zone de scurit, la rupture se produit pour un nombre trs lev de
cycles, (108, 109 ...) gnralement suprieur la dure de vie envisage
de la pice. Dans de nombreux cas, on peut tracer une asymptote
cette partie de courbe. Elle correspond la limite d'endurance ou de
fatigue D, (gnralement vrai pour les aciers, rare pour les alu o il
n'y a pas d'asymptote). De toute faon, la limite d'endurance sera
toujours dtermine avec une certaine erreur. On parle de probabilit
d'atteindre D. On dfinit ainsi : La limite d'endurance thorique :
limite suprieure de la contrainte priodique pouvant tre applique
indfiniment sans amener de rupture. La limite conventionnelle :
valeur maxi de la contrainte qui n'entrane pas la rupture avant un
nombre de cycles donn. En pratique, les seules mthodes rigoureuses
de dtermination font appel des mthodes statistiques. II.-
ESTIMATION DES CARACTERISTIQUES DE RESISTANCE ET D'ENDURANCE EN
FATIGUE II.1- Nature et aspect de la dispersion des rsultats
d'essais de fatigue
dispersion importante, acceptecomme tant un fait d'exprienceet
un fait physique.
La dispersion semble plusgrande pour les nombres decycles
levs.
Si on veut faire une dtermination correcte, on va prendre un
grand nombre d'prouvettes (une vingtaine), pour un mme niveau de
contrainte. On pourra alors dterminer une probabilit de rupture et
concevoir un rseau de courbes d'endurance correspondant chacun une
probabilit de rupture donne.
-
4/10
II.2- Essai statistique d'endurance De nombreuses mthodes
existent, que lon peut classer en deux types : - les mthodes
destimation approche ncessitant peu dprouvettes * mthode de Locati
et Prot * mthode de reclassement des donnes * mthode des K
prouvettes - les mthodes qui conduisent une bonne approximation,
mais qui ncessitent aussi un plus grand nombre dprouvettes * mthode
ditration, * mthode des probits, * mthode de lescalier. La mthode
lescalier est celle qui est la plus utilise et qui conduit une
estimation la plus prcise de D. Dans la suite, nous examinerons
quelques unes de ces mthodes. II.2.1- Mthode de Locati Utilise
lorsquon ne dispose que dun nombre trs rduit de pices. En thorie,
elle ne ncessite quune seule pice, mais on en emploie gnralement
plusieurs ( 1 3). Principe : base sur lhypothse de Miner :
niNi
= 1 lprouvette est soumise des paliers de charge chelonns en
croissant. Nombre de cycles par palier = n = constante (105 ou
2.105) chelonnement constant. Le palier initial se situe lgrement
en dessous de la limite dendurance suppose
On reprsente sur le diagramme de Whler 3 courbes SN hypothtiques
dont les asymptotes sont dcales du mme pas que celui du programme
de chargement. Pour chacune des courbes on calcule ni/Ni.
-
5/10
Exemple :
n 8 12 16 20 24 28
100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 40 000
Cette mthode ne permet quune approximation grossire. II.2.2-
Mthode des K prouvettes non rompues Cette mthode consiste
rechercher par parliers de contraintes successifs dcroissants en
progression arithmtique un niveau auquel K prouvettes donnent K non
ruptures (exemple : K = 3). On choisit un niveau de dpart i situ
sensiblement au dessus de D prsum. Exemple :
Ordre de niveau Niveau de la Contrainte Rsultats 1 2 3 4 5
36 34 32 32 30 30 28
1 prouvette rompue 1 prouvette rompue 1 prouvette non rompue 1
prouvette rompue 1 prouvette non rompue 1 prouvette rompue 3
prouvettes non rompues
D = 28
Mthode de dgrossissage, pour laquelle le nombre de niveau et
dprouvettes peut tre important. II.2.3- Mthode de l'escalier Au
dpart, on dtermine une valeur priori (estimation) de D
(bibliographie, essai pralable, relations empiriques). On utilise
alors la mthode de l'escalier : on essaie des prouvettes diffrents
niveaux de contraintes pendant un nombre de cycles choisi priori,
chaque contrainte diffrant de la mme quantit de la contrainte
prcdente, en moins ou en plus selon que l'on a obtenu ou non la
rupture d'essais. Soit d : le pas de variation des contraintes,
Si : contrainte au ime essai,
on fera varier la contrainte de telle faon: Si + 1 = Si + d si
rupture Si + 1 = Si - d si non rupture
-
6/10
On dtermine le type d'vnement qui s'est produit le moins
frquemment. On compte le nombre Ni de ralisation de cet vnement
chaque niveau d'essai puis on numrote ces niveaux en attribuant la
valeur i = 0 au plus faible de ceux auxquels il a t observ au moins
une fois.
N Ni A Ni B i Nii ii
= = = 2
+=21*
NAdSoE
+ 1/2 si calcul sur prouvettes non rompues
- 1/2 si prouvettes rompues
Il existe d'autres mthodes : Locati, probits, k prouvettes non
rompues. On choisit la mthode selon la prcision que l'on souhaite
et le nombre d'chantillons dont on dispose. III.- REPRESENTATIONS
MATHEMATIQUES ET METHODES DE TRACE DE LA COURBE DE WOHLER Elles
sont multiples. III.1- Quelques exemples * Celle de Whler : log N =
a - bS o N = nombre de cycles rupture S : amplitude de la
contrainte applique a et b : 2 constantes On a une bonne
reprsentation de la partie moyenne de la courbe.
-
7/10
* Loi de Basquin : log N = a - b log S
ou en posant A = ea et c = 1b
S = c
NA
La partie suprieure de la courbe est bien reprsente. * Loi de
Stromeyer : log N = a - b log (S - E) avec E limite d'endurance.
Ces lois ont t tablies partir d'un grand nombre d'essais et sont
ajustes ceux-ci. Elles s'appliquent donc plutt des cas
particuliers. III.2- Mthode de Bastenaire Trac de la courbe de
Whler, estimation de la limite dendurance partir dune formule
analytique de la courbe de Whler. Principe : Trac de la courbe de
Whler complte en utilisant une formule analytique reprsentative de
lvolution de la contrainte applique en fonction de N. La mthode
consiste essayer des prouvettes diffrents niveaux de charge :
exemple : 5 prouvettes par niveau 5 niveaux de charge diffrents
rpartis de la zone des faibles dures de vie (105 cycles) la zone
dendurance (de 2.105 107 cycles). La courbe de Whler est lisse
laide dun modle 4 paramtres
N + B = A eS E
c S E
( )
A, B, C : constantes de lquation E : limite de fatigue S :
contrainte N : nombre de cycles rupture trac de la courbe de Whler
et des courbes disoprobabilit de rupture. Conditions dexcution de
la mthode - les niveaux dessais doivent tre rgulirement rpartis sur
tout le domaine de la courbe de Whler - avoir au minimum un niveau
dessai dans la zone dendurance comportant plusieurs prouvettes non
rompues. - avoir 5 10 prouvettes par niveau. Validit de la mthode -
inutilisable pour un nombre dprouvettes infrieur 30 - donne une
bonne estimation de la courbe de Whler, de D et de lcart-type sur
cette valeur - peut sutiliser en complment de la mthode de
lescalier.
-
8/10
IV.- INFLUENCE DES PARAMETRES MECANIQUES SUR L'ENDURANCE IV.1.-
Diagramme de Haigh On porte a, amplitude de contrainte, en fonction
de m contrainte moyenne.
A : endurance en sollicitations purement alternes (m = 0) B :
contrainte de rupture en essai statique Quand on peut faire des
essais on va dterminer la courbe. Sinon, exprimentalement on donne
une estimation partir de A et B seulement.
Quand le point de fonctionnement se situe sous la courbe on est
certain de ne pas avoir de rupture. Diffrentes reprsentations de la
courbe AB Elles permettront de tracer un diagramme d'endurance
approximatif partir de la connaissance des points A et B.
* droite de Goodmann :
=
m
mDa R
1
* droite de Soderberg :
=
e
mDa R
1
* parabole de Gerber :
=
2
1m
mDa R
-
9/10
IV.2.-Diagramme de Goodmann - Smith On reprsente l'volution de
max et min en fonction de m.
Utilisation du diagramme de Goodmann modifi lorsqu'on ne connait
que les points A et B.
Pour les aciers de faible et moyenne rsistance, les prouvettes
entailles, la droite de Goodmann est trop restrictive. Pour les
aciers haute rsistance, elle donne en revanche une bonne
approximation.
-
10/10
IV.3.-Influence de la nature des efforts La valeur de la limite
d'endurance diminue quand on passe de flexion rotative la flexion
plane puis la traction compression et enfin la torsion. V.-
RELATION ENTRE L'ENDURANCE ET LES CARACTERISTIQUES MECANIQUES :
ESTIMATION DE D Mailander a propos : D = (0,49 20 %) Rm D = (0,65
30 %) Re Selon Strinbeck : D = (0,285 20 %) Rm Rogers : D = 0,4 Re
+ 0,25 Rm Jnger : D = 0,2 (Re + Rm + z) Lequis : D = 0,175 (Re + Rm
- A % + 100) Brand : D = 0,32 Rm + 121 (Cetim) dtermin sur 500
rsultats en flexion rotative 107 cycles 300 < Rm < 2000
N/mm2
Irsid :
++++
=zR0,39A2R0,41
16R0,3877R0,37
m
m
m
m
D
Les meilleurs rsultats sont ceux exprims en fonction de Rm.
Estimation de l'cart type s = 0,02 Rm.
-
1/8
CHAPITRE VIII : FATIGUE PLASTIQUE OLIGOCYCLIQUE I.- INTRODUCTION
I.1- Historique Dformation plastique impose chaque cycle Fatigue
plastique oligocyclique : les matriaux ont une endurance finie ce
type de sollicitations. I.2- Intrt d'tudier la fatigue
oligocyclique * Permet de connatre les matriaux (caractristiques,
comportement).
* Permet de dimensionner des pices dans certains cas. II.-
METHODES D'ESSAIS Le principe gnral des essais consiste imposer une
sollicitation qui provoque une dformation plastique cyclique dans
la pice et dterminer le nombre de cycles que pourra supporter
l'prouvette. II.1.- Machines d'essais Traction - compression ou
torsion alterne
- Essais limits 105 cycles.
- Frquence faible (quelques Hz)
- Dformation impose vitesse de dformation constante (cycle
triangulaire )
- Machines servo-hydrauliques
-
2/8
II.2.- Eprouvettes - Eprouvettes profil torique - Eprouvettes
partie utile cylindrique
II.3.-Extensiomtrie 1/ * Fixs par couteaux * avec ou sans
contact (optique) * Eprouvettes collerettes
2/ Extensiomtrie diamtrale
-
3/8
III.- DESCRIPTION PHENOMENOLOGIQUE DE LA FATIGUE PLASTIQUE
OLIGOCYCLIQUE III.1- Ecrouissage cyclique Quand une prouvette est
soumise une dformation cyclique impose, on constate que les
contraintes maxi et mini ne restent que rarement constantes pendant
tout l'essai. - Stade transitoire o les contraintes varient trs
sensiblement - Stade de stabilisation - Chute des contraintes
souvent associe l'apparition de fissures
Exemple de consolidation : le matriau se durcit.
Exemple de dconsolidation : le matriau s'adoucit
-
4/8
III.2.- Courbe / On enregistre l'effort ou la contrainte en
fonction de la dformation. On obtient des boucles qui voluent et se
stabilisent dans le cas o un rgime stable existe.
Rappels : * Les prouvettes pour essais oligocycliques sont
lisses avec une partie rduite pour l'amorage de fissure et des ttes
massives pour ne pas avoir de dformations [cf II.2 : exemple
d'prouvettes] * On travaille amplitude de dformations imposes les
contraintes varient [cf exemples de courbes] * Courbes d'crouissage
cyclique
-
5/8
III.3.- Relation contrainte - dformation
Cette courbe permet de tracer la courbe d'crouissage cyclique.
On effectue n essais avec n prouvettes. Pour chaque prouvette, on
impose une dformation donne et on mesure la contrainte, une fois
stabilise, on obtient des courbes comme sur la figure suivante.
En pratique, on prend 1 ou 2 prouvettes : * partir d'essais T
constant (plusieurs prouvettes) * partir d'une prouvette en
commenant par une amplitude de dformation faible, en attendant la
stabilisation, puis en choisissant un niveau de dformation
suprieur
* par des sollicitations par blocs d'amplitudes de dformations
linairement croissants puis dcroissants. Dpouillement des rsultats
:
Utilisation d'une loi puissance '
2'
r
K
= (par analogie avec une loi de courbe de traction
classique = K r .
-
6/8
Sur un diagramme logarithmique, on reporte la contrainte
rationnelle ro
FS
e= +( )1 en fonction de la dformation vraie r re= +log( )1 .
-
7/8
III.4.-Courbes de rsistance la fatigue (courbes de
Manson-Coffin) Ce sont les courbes qui indiquent la dformation en
fonction du nombre de cycles rupture (comme les courbes de WHLER le
sont contrainte donne). Loi de Basquin :
l2
2= f R b
f
EN
b
( )
: exposant de rsistance la fatigue: coefficient de rsistance la
fatigue
Loi de Manson-Coffin :
2
2= ' ( )
'
f Rc
f
N
c : exposant de ductibilit la fatigue: coefficient de ductibilit
la fatigue
Loi totale : t e2 2 2= + =...
-
8/8
III.5.-Mthodes de prvision des courbes de Manson-Coffin : *
Mthode des 4 points :
ll
l
l
l
er
R
uR
fR
N
DN
EN
EN
91,10132,010
4110:plastiquedroite
9,010
5,241:lastiquedroite
4
75,0
5
=
==
==
==
Ces coefficients proviennent d'essais monotones. :D ductibilit
en traction : contrainte ultime
METHODE DES 4 POINTS DE CORRELATION
* Mthode des pentes universelles :
==
=
===
6,016,0
:plastique droite*
5,31
12,0:lastique droite*
DNc
EN
b
R
uR
l
METHODE DES PENTES UNIVERSELLES
-
1/7
CHAPITRE IX : FISSURATION PAR FATIGUE I - INTRODUCTION II -
DESCRIPTION DE LA LOI DE PARIS III - PARAMETRES AYANT UNE INFLUENCE
SUR LA VITESSE DE FISSURATION IV - MECANISMES DE LA FISSURATION PAR
FATIGUE V - MODELISATION I.- INTRODUCTION
- Pour les faibles dures de vie : Ni 0,5 % dure de vie totale Nf
- Pour les longues dures de vie : Ni 90 % Nf La limite d'endurance
est une indication insuffisante si l'on considre qu'une structure
relle contient dj des dfauts. -----------> dmarche adopte : on
considre qu'une structure contient des dfauts --------->
surveillance de la taille de dfaut admissible . mesure de la taille
du dfaut . dtermination de sa vitesse de progression .
connaissances des efforts ou contraintes agissant sur la structure
. calcul de la dure de vie
-
2/7
II - DESCRIPTION DE LA LOI DE PARIS Le matriau est lastique dans
son ensemble, la plasticit restant confine la pointe de la
fissure.
dadN
augmente quand a augmente
dadN
= f (, a)
Si on exprime dadN
en fonction de K = K max - K min
-
3/7
Si on tend le domaine de vitesse, on obtient :
- Stade 1 domaine des faibles vitesses de fissuration K.s :
seuil de non fissuration. Valeur de K en dessous de laquelle une
fissure existante ne se propage pas. - Stade 2 La loi de Paris
s'applique, stade linaire. - Stade 3 Fortes vitesses de propagation
jusqu' obtention de la rupture brutale. III.- PARAMETRES AYANT UNE
INFLUENCE SUR LA VITESSE DE FISSURATION III.1-Charge moyenne
RPP
KK
mim= =max
min
max
dadN
augmente quand R augmente
L'influence de R est plus marque dans les stades 1 et 3.
-
4/7
III.2- Environnement En prsence d'un environnement agressif, la
vitesse de fissuration augmente, le phnomne de corrosion se
superposant au phnomne de fatigue. ------> dfinition du
KIscc
Si l'on compare le comportement du matriau entre air et vide, la
vitesse de fissuration est de 10 100 fois plus faible sous vide,
surtout au niveau de Ks.
III.3- Cas d'un chargement rel : chargement amplitude variable
III.3.1- Cas des surcharges de traction Exemple : prouvette CT -
machine servohydraulique asservie en charge - essais conduits K
constants par une dcroissance progressive de la charge
applique.
-
5/7
- pour une longueur donne de fissure on applique une surcharge
et on reprend le chargement initial.
La loi de Paris n'est plus vrifie.
ad : longueur de fissure affect par la surcharge. Nd : Nombre de
cycles affects par la surcharge. Le retard est affect par :
- le rapport de surcharge : RKKpic
pic=max
- Le nombre de pics de surcharge - Le niveau du chargement de
base - La nature du matriau - L'paisseur de l'prouvette.
-
6/7
Le retard est d'autant plus important que le nombre de cycles de
surcharge est lev . Le retard est d'autant plus important que le
matriau est ductile. Plus le niveau de chargement initial K est
faible, plus de retard est important. Le retard est d'autant plus
fort que l'paisseur de l'prouvette est faible.
-
7/7
III.3.2- Surcharges de compression L'application d'une surcharge
en compression provoque une augmentation de la vitesse de
fissuration ou, si elle est couple une surcharge de traction, elle
minimise l'influence de cette surcharge en diminuant notablement le
retard.
-
1/3
IV.- MECANISMES DE LA FISSURATION PAR FATIGUE IV.1- Description
des zones plastifies En appliquant les concepts de la mcanique de
la rupture, on peut calculer le rayon de la zone plastifie.
r Ky =
12
2
Re en contrainte plane
r Ky =
16
2
Re en dformation plane En fatigue, il existe deux zones
plastifies : l'une cre au chargement, l'autre au dchargement.
Existence de contraintes rsiduelles de compression la pointe de
fissure.
Zone monotone ou priphrique La zone cyclique est quatre fois
plus petite que la zone monotone. - mthodes exprimentales de
dtermination : microduret, rugosit, attaque mtallographique. En
rsum, on trouve 3 zones : - Une premire zone, la plus loigne du
fond de fissure dans laquelle les dformations sont lastiques, - une
deuxime zone, plastifie lors de l'ouverture de la fissure, dans
laquelle les dformations sont faibles et uniformes,
-
2/3
- une troisime zone o l'amplitude de la contrainte est de
l'ordre de 2Re, la plastification se produit sous l'effet de la
fermeture de la fissure et les dformations sont importantes.
IV.2. - Concept de fermeture de fissure Lorsque la fissure se
propage, un sillage plastique se dveloppe le long du trajet de la
fissure, sige de contraintes rsiduelles de compression. Les
contraintes de compression s'opposent la contrainte extrieure
applique de traction, se traduisant par une fermeture de la fissure
faible charge (exprience de Elber).
-
3/3
Considrant qu'une fissure ne peut progresser que si elle est
ouverte, Elber a propos d'utiliser comme loi de fissuration une loi
de Paris modifie ne tenant compte que de la partie efficace du
chargement.
Phnomne de fermeture de fissure
Exemples . dispositif exprimental
-
1/3
Un tel concept permet de bien tenir compte de l'influence de la
charge moyenne.
L'application du surcharge s'accompagne d'un changement sensible
du point d'ouverture de fissure. Il est cependant difficile
d'expliquer en totalit le comportement d'une fissure de fatigue
sous chargement alatoire l'aide de ce paramtre.
-
2/3
V.- MODELISATION - PREDICTION DE LA DUREE DE VIE V.1- Modle de
Wheeler Application d'une surcharge
ao : Longueur de fissure l'application de la surcharge rpi :
Taille de zone plastifie due au chargement de base rpo : Taille de
zone plastifie due la surcharge dadN
aprs surchage =
dadN
amplitude constante
avec = +
ra
pi
o r apo i
m
tant que ai + rpi < ao + rpo
si ai + rpi ao + rpo, il n'y a plus de retard, = 1 Inconvnient :
ce modle prvoit un retard "immdiat" aprs surcharge. V.2- Modle de
Willenborg
-
3/3
Ce modle est galement bas sur la zone plastifie produite par la
surcharge (rpo).
Soit ap = ao + rpo = ao + KRo
e
2
2
On calcule le FIC qui serait ncessaire (Kmaxreq) pour produire
une zne plastifie (Rpreq) qui s'tendrait jusqu' la frontire de la
zne plastifie de surcharge, ceci pour une longueur de fissure ai
soit a + rpreq = ao + rpo
KR
a r areqe
o po imax.
= +
2
L'auteur propose de plus que, compte tenu des contraintes
rsiduelles provoques par la surcharge, la contrainte effective soit
gale la contrainte applique diminue de la contrainte rsiduelle
res reqi
i
i
K
aK
a= max. max.
Ce qui conduit : maxeff.i = Kmax.i - Kred = 2 kmax.i - Kmax.req
Kmineff.i = Kmin.i - Kred = Kmin.i + Kmax.i - Kmax.req Si l'une ou
l'autre des valeurs Kmax.eff ou Kmin..eff est ngative, elle est
alors prise gale O.
On en dduit : RK KK KeH
i red
i red=
min.
max.
et ( )dadN
CDKR K K
eHm
eH c eff= 1
en utilisant la loi de FORMAN. V.3- Modle de Matsuoka L'auteur
prend en compte les contraintes rsiduelles de compression
introduites par la surcharge pour crer un chargement fictif
quivalent qu'il utilise pour calculer la progression de la
fissure.
Schma du chargement quivalent dans le modle de MATSUOKA
-
CHAPITRE X : Prdiction de la dure de vie cas des chargements
rels Diffrentes mthodes pour reproduire un chargement (relev par
jauges). VI. 1 Mthodes d'analyse et de simulation en laboratoire
des sollicitations de service VI. 1.1 Conditionnement des signaux
relevs en service
aire positive = aire ngative Td 2 - valeur quadratique moyenne
s2 = 1 x (t) - m dt Td Td 2 = 1 x1 dt Td avec x1 (t) : valeur
centre telle que x1 (t) = x (t) - m. - rapport de crte : valeur
maxi (positive ou ngative) valeur quadratique moyenne - facteur
d'irrigularit : I = Nbre de passage 0 (No) du signal cem nbre
d'extremums. VI 1.2 Analyse des sollicitations en service - mthodes
de comptage On dtermine la rpartition par niveaux des
sollicitations releves en service. ---------> on va dfinir un
collectif de charge. Chaque vnement est reprsent par un point, on
obtient ainsi la courbe donnant le nombre Ni de points
correspondant la tranche A i.
-
---------> Somme de tous les points rencontrs avant A i. ( =
somme de tous les vnements). Pour chaque classe d'amplitude, on
peut dterminer le nombre de min et max qu'elle contient et relever
le nombre de fois un minimum de la classe i et immdiatement suivi
d'un maximum de la classe j et rciproquement. ---------> permet
de dterminer l'ordre du chargement -----------> test du
signal.
VI. 2 Les diffrents types de comptage 3 types possibles : - Le
comptage repre les maxi et les mini. - Le comptage consiste mesurer
chaque tendue comprise entre un maxi et un mini. - Le comptage est
dclench chaque fois que le signal franchit un niveau donn dans le
sens croissant ou dcroissant.
-
Exemples : * comptage des extrmums.
Variante : On ne compte que le pic au max obsolu ou min absolu
entre deux passages par la valeur moyenne m (1 - 8 - 13). -
Comptage du nombre de passages la valeur moyenne :
-
- Comptage du nombre de dpassements d'un niveau donn : On dfinit
au pralable des classes d'amplitudes.
Le comptage pour un niveau donn est dclench chaque fois que le
signal franchit ce niveau avec une pente positive (------>
limination des petites oscillations).
-
- Mthode de comptage des paires tendues moyennes :
Elle associe l'amplitude d'une 1/2 oscillation, la valeur
moyenne Ei = (Gi max - Gi min) mi = Gi max + Gi min 2 ----------
> fonction de 2 variables, le collectif rsultant est une surface
reprsente des l'espace. - Mthode des tendues apparies :
Pendant la monte du signal, le comptage ne retient que le front
de monte 1 - 8. Le comptage suivant sera dclench lorsque le signal
atteindra une amplitude gale ou infrieure 1 (pt 1').
-
- Mthode de comptage des tendues en cascade (rain flow). Cette
mthode constate que le signal descend plus bas que le pt 1. Dans
ces conditions, elle bloque le comptage de 1 - 8 comme 1/2 cycle et
inaugure un comptage d'tendue 8 - 13.
VI 1 - 3 Prsentation des rsultats
-
On reprsente le nombre d'vnements statistiques rencontrs et en
ordonne l'amplitude de la contrainte ou de la forme.
Une mthode de comptage a pour but de constituer un collectif de
charge. La forme du collectif se trouve modifie selon la mthode
utilise. ---------- > Les essais de simulation partir de
collectifs de forme =/= donnent pour une pice donne, des dures de
vie =/=. VI. 3 Estimation de la dure de vie en service VI 3.1
Mthode des blocs programms On part du Cumulatif de charge que l'on
dcoupe en escalier :
-
Par exemple : 8 tranches On propose pour l'application le schma
suivant : - au dbut du chargement liminer les niveaux trop lvs ou
trop faibles. - au cours du chargement liminer les surcharges
instantanes.
-
VI 3.2 Mthode des extrmums en squence alatoire Tirage au hasard
de maxi et mini. Soit une suite d'extremums, o p et q sont des
extrmums conscufis. L'axe des contraintes est divis en 2n classes
de largeur constante et on obtient une reprsentation matucielle des
probabilits de transition du niveau i au niveau j.
-
LES CRITERES DE FATIGUE Un critre de fatigue permet de savoir
si, en fonction des conditions de sollicitation imposes, il y aura
ou non amorage dune fissure dans la structure. Soit : M V : E(M)
< Ec pas damorage M V tel que : E(M) Ec amorage Ec reprsente
lendommagement critique E(M) caractrise ltat de lendommagement de
la structure en M On distingue deux grandes familles de critres
- Les critres locaux - Les critres globaux
I CRITERES BASES SUR LA DETERMINATION DUN PLAN CRITIQUE Ils sont
bass sur la dtermination, pour lensemble de la structure, de la
facette pour laquelle lendommagement est maximal. Cette facette
correspond au plan critique (not Pc) I.1 - Critre de Dang Van
(endurance illimite) Principe : Lamorage des fissures de fatigue
est un phnomne microscopique qui se produit lchelle du grain ou de
quelques grains. Ce critre fait donc intervenir dans sa formulation
les champs microscopiques. Ceux-ci sont ensuite exprims en fonction
des grandeurs macroscopiques accessibles lingnieur. Approche
microscopique : les champs macroscopiques de contraintes ((t)), de
dformations totales (E(t)) et de dformation plastique (Ep(t)) sont
considrs comme tant uniformes sur un petit volume V correspondant
un point matriel M de la structure. Ce volume est en fait constitu
par de nombreux grains. A lchelle du grain, les champs de
contraintes ((t)), de dformations totale ((t)) et de dformation
plastique (p(t)) sont qualifis de microscopiques. Dans le cas dun
chargement cyclique situ au voisinage de la limite dendurance, on
peut considrer que le grain tend vers un tat limite adapt. Dans ces
conditions et selon Dang-Van, les quantits microscopiques qui
gouvernent la tenue en fatigue des structures sont :
- Le cisaillement local (t) A ltat adapt du grain
- La pression hydrostatique p(t) Le critre de fatigue scrit
:
(t) + a. p(t) b a et b sont des caractristiques du matriau.
Si
-
Expression des quantits locales (t) et p(t) en fonction des
quantits globales : Dang Van montre quon a alors :
- )()((31))((
31)( tPttracettracetp ===
- Soit Pc le plan critique de normale nr , au point M de la
structure = > ),()( tMCt al=
O ),( tMCal reprsente la partie alterne de la contrainte
tangentielle macroscopique ),( tMCr
Lexpression de )(tr ltat adapt du grain a t tablie en supposant
connu, en M, le plan critique Pc de normale n
r . En pratique, il est ncessaire de balayer lensemble des
normales afin de dterminer le plan critique. Ceci impose une double
maximisation par rapport nr n et t
1=cE la limite dendurance
+=
btMPatMCME alt
tn
),(.),(maxmax)(
rrr
Ce calcul ncessite donc de dterminer en tout point M de la
structure, et pour chaque normale nr , le rayon R(M) du plus petit
cercle circonscrit au trajet de C
r(M,t)
Si :VM cEME
-
On doit avoir a >0 (cette condition traduit leffet bnfique
dune compression), donc
21>ft
Remarque : Le passage au domaine de lendurance limite ncessite
la connaissance des
coefficients a(N) et b(N) associs un nombre fini de cycles, par
exemple N=105. A laide de ces derniers, on trace une nouvelle
droite reprsentative de la dure de vie N. En rptant
lopration pour diffrentes valeurs de N, le plan ),( lp se
recouvre dune famille de droites seuil (Figure 4) dquation :
)()( iiili NbPNa = On peut procder une interpolation linaire si
le point reprsentatif du chargement se
situe entre deux droites du rseau. Si le chargement est
amplitude variable, on peut cumuler le dommage par la rgle de cumul
linaire de Miner par exemple.
Figure 4 : Extension du critre de Dang Van dans le cas de
lendurance limite.
-
II LES CRITERES BASES SUR UNE APPROCHE GLOBALE Ces critres ont
une formulation qui est qualifie de globale car elle prend en
compte les indicateurs dendommagement relatifs toutes les facettes
contenant le point o est effectue lanalyse. Par rapport aux critres
locaux, ils permettent une rduction importante des calculs car ils
ne ncessitent pas la recherche dun plan critique. Ils rendent
compte des cas de figure o plusieurs plans de glissement sont
activs au cours dun cycle (cas o les directions principales du
chargement sont mobiles). II.1 - Critre de SINES (endurance
illimite) Critre couramment utilis car simple. Sines dfinit une
contrainte quivalente, eq , sous la forme dune combinaison linaire
entre lamplitude de J2(t) et la valeur moyenne de la pression
hydrostatique (Pm) Rappels :
)((31)( ttrtP =
)( deinvariant 2)(2 tStJnd= ( ) ( ))(
31)()()( ttrttdevtS ==
eq(M) = Ca(M) + a. Pm(M)
Il lui reste alors comparer eq(M) une valeur critique b
:VM bMPmaMCa
-
II.2 - Critre de Crossland (endurance illimite) Crossland
propose : eq(M) = Ca(M) + a.Pmax(M) :VM Ca(M) + a. Pmax (M) < b
pas damorage VM tel que : Ca (M) + a. Pmax (M) b amorage
Avec ;33
= fVfta tb =
f = limite dendurance en flexion alterne t = limite dendurance
en torsion alterne a 0 (traduit leffet bnfique dune
compression)
3V
-
Les paramtres dendommagement les plus utiliss sont : - La
fonction de vie (Miner) - La surface effective (Lemaitre- Chaboche)
- La dformation plastique cumule (Papadopoulos) - Lnergie de
dformation (Ellyin)
II LES LOIS UNIAXIALES II.1 - Loi de Miner Paramtre
dendommagement :
Ni = nombre de cycles effectus avec un chargement donn pour
lequel le nombre de cycles rupture serait NRi
Loi de cumul du dommage : =i RiN
NiD
Condition de rupture D = 1 = 1Ri
i
NN
= > Cest une loi de cumul linaire du dommage La loi rend
compte du fait que les niveaux de contrainte infrieurs la limite
dendurance sont supposs non endommageants Problme : lendommagement
ne dpend pas de lordre dapplication des charges ; les premiers
cycles endommagent de la mme manire que les derniers.
-
II.2 - Loi de Miner modifie Il existe des variantes en ce qui
concerne le choix de la variable dendommagement Dommage de Miner
modifi :
x
Ri
ii N
nD
= avec x 1
Les derniers cycles sont plus endommageants que les premiers Pb
: x indpendant de (i) est rarement vrai
Dommage de Marci et Starkey
ix
Ri
ii N
nD
= avec xi 1
Plus la contrainte est faible et plus les cycles au dpart sont
non endommageants
Choix dune rgle de cumul : Linaire : D = Di ; rupture quand D =
1 Loi nombre de cycles quivalents On applique n1 cycles au niveau 1
gnrant un dommage D1 Pb : dterminer le nombre n2 de cycles quon
peut appliquer au niveau 2 II.3 - Loi de Lemaitre Chaboche
Cette loi repose sur les notions de fraction de vie Ni / NRi et
de contrainte effective
introduite par Rabotnov.
Par dfinition
S : aire d'une section d'un lment de volume endommag de normale
.n .
SD : aire totale des traces des dfauts (cavits, fissures).
Dn correspond la mesure mcanique de l'endommagement local
relatif la direction .n. Il
permet de caractriser l'tat d'endommagement.
La contrainte effective reprsente la contrainte rapporte la
section qui rside
effectivement aux efforts. Dans le cas d'un endommagement
isotrope (c'est--dire : D =Dn
2 1
1
D
1
n/NR
D
1
n/NR
1
-
pour tout .n), elle est dfinie par :
L'exprience montre que les courbes d'volution du dommage en
fonction du
paramtre d'endommagement Ni / NRi , peuvent dpendre du niveau de
sollicitation impos.
Il n'y a donc pas de cumul linaire du dommage.
Loi de cumul du dommage :
( )[ ] ( )( ) NDbMDD mx
.11
.110
1
= + Loi de cumul non linaire : D = dommage reprsentant ltat
actuel du matriau D = accroissement de dommage d N a = amplitude de
contrainte du cycle considr m = =contrainte moyenne du cycle
considr , Mo et b = constantes lies au matriau = paramtre dpendant
du chargement et du matriau Lvolution du dommage est fonction de
ltat de contrainte appliqu et de ltat dendommagement de la
structure.
-
BIBLIOGRAPHIE Donnes Technologiques sur la fatigue Publications
CETIM
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Comportement Mcanique des Matriaux D. FRANCOIS - E. PINEAU - A.
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