Université Pierre et Marie Curie L2-MIME groupe 5LM201 Compléments d'analyse et d'algèbre.

2013-2014

Polynômes

Exercice 1. Division euclidienne de polynômes.Mener la division euclidienne de :

i) X3 − 1 par X − 1.ii) X5 + 1 par X4 − 2X3 +X2.

Exercice 2. Un résultat fondamental .Soit P ∈ C[X] ou R[X]. Prouver que :

i) a est racine de P si et seulement si (X − a) divise P .ii) a est racine multiple de multiplicité k de P si et seulement si P (a) = P ′(a) = · · · =P (k−1)(a) = 0.

Application : Prouver que (X − 2)2n + (X − 1)n − 1 est divisible par X2 − 3X + 2.

Exercice 3. Factorisation de polynômes.Factoriser en produit de polynômes irréductibles sur R et sur C les polynômes :

i) X4 − 1ii) X4 + 6X3 + 11X2 + 6X + 1

Exercice 4. Décomposition en éléments simples.Décomposer en éléments simples dans R et C les fractions rationnelles suivantes :

i)1

X2 − 2X + 3ii)

2X + 1

(X − 3)(X + 1)

X3

(X − 1)2(X + 2)

iv)X5 + 1

X2(X − 1)2v)

1

(X2 +X + 1)3

Exercice 5. Deux techniques pour traiter des équations fonctionnelles de polynômes.

i) Déterminer les polynômes P à coe�cients complexes véri�ant P (X2) = P (X).ii) Caractériser les polynômes de C[X] qui véri�ent P (X + 1) = P (X).

Exercice 6.

Trouver tous les polynômes P ∈ C[X] tels que : (X2 + 1)P ′′ − 6P = 0.

Exercice 7.

Déterminer les n de N (n ≥ 3) tels que le polynôme Pn = (X − 1)n−Xn +1 de C[X] ait au moinsun zéro qui soit au moins double.

Exercice 8.

Soit P ∈ C[X] tel que deg(P ) ≥ 2. Montrer que les zéros de P ′ sont dans l'enveloppe convexe deszéros de P . (L'enveloppe convexe des zéros de P est, par dé�nition, l'ensemble des barycentres deszéros de P a�ectés de coe�cients ≥ 0).