Fiabilitis_20051 FIABILITIS Le logiciel destimation statistique en fiabilité FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Tuteur : M. GOUNO Licence

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FIABILITIS

Le logiciel d’estimation statistique en fiabilité

FERNANDEZ Violaine

FERRAFIAT Nicolas

PONCET Antoine

Tuteur : M. GOUNO

Licence 3 GIS 2004/2005

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Introduction

Le projet 2005 : Produire un outil fiable et efficace Mise en ligne en 2005

Collaboration entre un groupe d’étudiants en informatique et un groupe d’étudiants en statistique


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Fiabilitis

I- La fiabilité

a) Introduction à la fiabilité

b) Présentation de Fiabilitis

II- Les objectifs en 2005

a) Validation des résultats

b) Ajout de la loi log-normale

c) Création d’une aide statistique


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Introduction à la fiabilité

I- La fiabilité








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Généralités

Variable aléatoire continue X de type « durée », donc positive

Général : X = temps qui s’écoule avant qu’un événement se réalise

En fiabilité : X = « durée de bon fonctionnement »

Modèle de durée : La loi de X

I- La fiabilité








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Durée de vie

Densité de proba de X :

D’où :

Et :

MTTF = durée de vie moyenne ou durée moyenne de bon fonctionnement

)(xf

x

dxxfxXPxF0

)()()(

0

)(. dxxfxMTTF

I- La fiabilité








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Fiabilité et taux de défaillance

Fonction fiabilité :

Taux de défaillance :

NB :

x

dxxfxXPxR )()()(

dxxXdxxXPx

dx

)/(lim)(0

)()()(xRxfx

I- La fiabilité








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Précision sur le taux de défaillance

Probabilité instantanée de défaillance avec le temps :

A : mortalité infantile (jeunesse, rodage)

B : durée de vie utile (maturité)

C : vieillissement ou usure


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Modèles de durée

Exponentielle : modélise les périodes de maturité

Weibull et log-normale : spécifie la jeunesse et le vieillissement en plus de la maturité

Autres : loi gamma, mélange de loi exponentielles…

I- La fiabilité








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Censure à droite, à gauche ou à droite et à gauche :

Nature des données : censure

temps

T(début) : début des tests

L : début de l’observation

C : fin de l’observation

T(fin) : fin des tests

Censure à droite : Type 1 : arrêt des observations en t = C Type 2 : arrêt des observation quand k

défaillances sont observés


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Nature des données : intervalle d’observation

Données groupées : si les valeurs de la variable d’intérêt appartiennent à un intervalle d’observation :

On prend comme valeur :

Nb : on revient à des données continues et toutes les observations du même intervalle ont la même valeur

iii ttx ,~ 1

21 ii

ittx

I- La fiabilité








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Adéquation du modèle de durée

Ajustement graphique : Pertinence du choix du modèle Estimation des paramètres peu précise

Analyses paramétriques : Approche fréquentielle : estimation par

maximum de vraisemblance (MLE) Approche Bayésienne : tient compte du

passé

I- La fiabilité








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Présentation de FiabilitisI- La fiabilité








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Généralités

Fiabilitis : Outil de calculs statistiques relatif à

la fiabilité

À qui s’adresse le logiciel ? Alcatel, Thomson, Thalès,

Schlumberg…

I- La fiabilité








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Les types de données (1)

La censure Sans censure Censure type 1 Censure type 2

La nature des données Les données complètes Les données groupées

I- La fiabilité








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Les types de données (2)


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Saisie des données

I- La fiabilité








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Les modèles de durée proposées

Version 2004: Loi Exponentielle Loi de Weibull

Version 2005: Loi Log-normale

I- La fiabilité








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Point de vue statistique

Pour chaque modèle de durée (loi), Fiabilitis propose :

Une estimation graphique Une estimation MLE Une estimation bayésienne

I- La fiabilité








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Estimation graphique

I- La fiabilité








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Estimation MLE et Bayésienne

Estimations MLE et Bayésiennes sont plus précises que l’estimation graphique

I- La fiabilité








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Fiabilitis

I- La fiabilité







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Validation des résultatsI- La fiabilité








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Général


But : Mise en ligne du logiciel Comprendre les calculs de Fiabilitis

Validation : à l’aide d’Excel, Scilab et R

I- La fiabilité







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Principe des vérifications


Estimation des paramètres des lois supposées sur un échantillon de durées de vie

Types d’estimations à vérifier : Estimation graphique Estimation du maximum de

vraisemblance Estimation bayésienne

I- La fiabilité







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•f


Estimation graphique (1)

Exemple d’estimation du paramètre lambda de la loi exponentielle : Tracé des points [xi ; log (1-1/F(xi))] Tracé de la droite des moindres carrés

Même principe pour la loi de Weibull, et ce pour chaque type de données et chaque censure

I- La fiabilité







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•f


Estimation graphique (2) On cherche la droite d’équation de type

Y=a.X :

I- La fiabilité







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Estimation MLE (1)

I- La fiabilité







Principe de vraisemblance : Toute l’information sur le(s) paramètre(s)

tirée de x (vecteur échantillon) est contenue dans la vraisemblance.

Fonction de vraisemblance :

Maximiser la quantité :

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Résolution des équations :

On obtient l’estimateur maximum de vraisemblance (emv)

L’emv converge presque sûrement vers le(s) paramètre(s)

Création d’un algorithme itératif afin d’obtenir les paramètres


Estimation MLE (2)

I- La fiabilité







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Connaissance à priori : On considère que le(s) paramètre(s)

suit(vent) une loi à priori

On rectifie cet à priori à l’aide des observations effectuées

Distribution à posteriori (formule de Bayes) :


Estimation bayésienne

I- La fiabilité







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Implémentation de la loi Log-normale

I- La fiabilité








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Généralités

Elle s’ajoute aux deux modèles déjà développés et comprend :

Estimation graphique Estimation MLE

I- La fiabilité








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Lien avec la loi normale

On considère les logarithmes des xi

et on obtient une nouvelle variable Y

tel que : Y~N(μ,σ²)

Si X~LN(μ,σ²), alors log(X)~N(μ,σ²)

Avec X=(x1,x2,…..xn)I- La fiabilité








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Estimation graphique On a alors P(Y≤y) = P( U ≤ (x-μ) / σ )

où U~N(0,1) On cherche alors les quantiles

théoriques ui de Fn(x).

Si l’hypothèse d’une loi normale estexacte alors les points (yi, ui) vérifient :

yi = σ*ui + μ

μ et σ sont estimés par la méthode des moindres carrées

I- La fiabilité








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Estimation MLE

Nécessite un algorithme itératif : L’algorithme initialise les paramètres

de la loi par la moyenne et l’écart-type observés

L’algorithme calcule les coefficients de la matrice d’information de Fisher

Rectifie la valeur des paramètres à chaque itération

I- La fiabilité








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Aide statistique

Logiciel utilisé par des techniciens professionnels

Concurrence avec les logiciels payant

I- La fiabilité








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Contenu de l’aide Rédaction en anglais :

Rester cohérent (logiciel en anglais) À la portée d’un maximum de personne

Notions générales en fiabilité

Présentation rapide des modèles de durée utilisés par Fiabilitis

Intégralité des formules utilisées pour chaque méthode de calcul

I- La fiabilité








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Présentation de l’aide

Fichier de type « .pdf » Téléchargeable sur le site de Fiabilitis Format universel Facilement imprimable

Utilisation de Latex Bonne stabilité (formules) Mise en page typique Liens et signets dans le « .pdf »

I- La fiabilité








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Structure de l’aide

Beaucoup de répétions de formules (ex…) Types de censure Nature des données (continues/groupées)

Création d’une partie généralité

Type de censure dépend de TTT Explication données groupées (milieu de

l’intervalle)

I- La fiabilité








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FERNANDEZ Violaine

FERRAFIAT Nicolas

PONCET Antoine


Les difficultés rencontrées

Temps d’adaptation : long et difficile

Objectif non abouti : une vérification non effectuée

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FERNANDEZ Violaine

FERRAFIAT Nicolas

PONCET Antoine


Bilan

Connaissances en statistique Domaine : la fiabilité Méthode : bayésienne

Utilisation du logiciel Latex

Travail en groupe

Participation à l’élaboration d’un logiciel

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MERCI DE VOTRE

ATTENTION !!


Documents

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