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Terminale S 1 F. Laroche Suites numriques exercices corrigs
FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES
C,D,E
STRUCTURE : suites
EXERCICES CORRIGES
Par Hugues SILA (http://sila.e-monsite.com)
mail : silhu06@yahoo.fr
Club math du collge priv laic les pigeons sur http://collegelespigeons.e-monsite.com
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1. 1. QCM
Rpondez par VRAI ou FAUX en JUSTIFIANT (sauf la question f. o il suffit de prouver).
Soit (un) une suite gomtrique de premier terme u0 = 1 et de raison q ]0 ; + [.
On note Sn = u0 + u1 + ... + un.
Alors
a. S'il existe n tel que un > 2000, alors q > 1.
b. Si q < 1, alors il existe n tel que 0 < un < 2.
c. Si q > 1, alors lim nSn= +
+.
d. Si lim 2nSn=
+, alors
1
2q = .
e. Si q = 2, alors S4 = 15.
f. Dmontrer par rcurrence que 3 3 3 21 2 ... (1 2 3 ... )n n+ + + = + + + + .
Correction
a. Vrai, b. Vrai, c. Vrai, d. Vrai, e. Faux.
1. 2.
On considre la suite ( )n nu dfinie par 0 0u = , 1 1u = et, pour tout n ,
2 11 2
3 3n n nu u u+ += + .
On dfinit les suites ( )n nv et ( )n nw par 1n n nv u u+= et 12
3n n nw u u+= + .
a. La suite ( )n nv est arithmtique.
b. La suite ( )n nw est constante.
c. Pour tout n , on a : ( )35n n n
u w v= .
d. La suite ( ) *n nu na pas de limite finie.
Correction
a. Faux : Si la suite nv est arithmtique, 1n nv v+ est constante :
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1 2 1 1 1 1 11 2 5 5 5
( ) ( ) 23 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n n
v v u u u u u u u u u u v+ + + + + + + = = + + = + = ;
cest donc faux, mais nous gagnons une information intressante : 15 2
3 3n n n nv v v v+ = + = ; nv est gomtrique de
raison 2
3 et de premier terme 0 1 0 1v = = do
2
3
n
nv =
.
b. Vrai : Recommenons :
1 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2
03 3 3 3 3 3n n n n n n n n n n n
w w u u u u u u u u u+ + + + + + + = + = + + = donc cest vrai. En plus on a
0 1 02
13n
w w u u= = + = .
c. Vrai : ( ) 1 13 3 2 3 5
5 5 3 5 3n n n n n n n nw v u u u u u u+ +
= + + = =
. Ok !
d. Faux : Remplaons pour calculer nu : 3 2
15 3
n
nu =
dont la limite est 3
5.
1. 3.
Soient l un rel et ( )n nu une suite relle termes tous strictement positifs. Pour les questions a., b., c. on suppose que
un converge vers l.
a. l est strictement positif.
b. Il existe n entier naturel tel que l soit une valeur approche de un 103 prs.
c. La suite (ln )n nu converge vers ln(l).
d. On suppose dans cette question que la suite ( )n nu vrifie pour tout entier naturel n, 1 lnn nu u+ = et que 0 1u u> . On
ne suppose pas que la suite ( )n nu converge.
La suite ( )n nu est dcroissante.
Correction
Question a b c d
Rponse F V F V
a. Si l pouvait tre ngative, il existerait des termes de un ngatifs partir dun certain rang ce qui est impossible.
Par contre l peut tre nulle : par exemple les suites qn avec 0 < q < 1 convergent vers 0.
b. La traduction de cette phrase est : il existe n tel que 310nu l ; cest la dfinition mme dune suite convergente :
il existe N tel que pour tout n > N, n nu l kv o vn converge vers 0.
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c. Supposons que un converge vers 0 alors la suite (ln )n nu convergerait vers . En fait cette suite divergerait.
d. La fonction ln est croissante donc si 0 1u u> alors 0 1 1 2ln lnu u u u> > , etc. Par rcurrence on a 1n nu u +> donc bien
dcroissante. Remarquez que si on avait 0 1u u< alors la suite aurait t croissante. En fait dans le cas dune suite
1 ( )n nu f u+ = avec f croissante tout dpend de lordre des deux premiers termes.
1. 4.
On considre la suite complexe ( )n nz dfinie par 0 1z = et, pour tout entier n, 11
2n ni
z z++= . Pour n entier naturel, on
appelle nM le point daffixe zn.
a. La suite ( )n nz est une suite gomtrique de raison 1
2.
b. Quel que soit n entier naturel, les triangles 1n nOM M + sont rectangles.
c. nM appartient laxe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.
d. Pour tout n entier naturel, ( )
4
2
ni
n n
ez
= .
Correction
Question a b c d
Rponse F V V V
a. On a 1 1 1 2
2 4 4 2
i+ = + = donc ( )n nz est une suite gomtrique de raison 2
2.
b. Il nous faut calculer 11
11 12( , ) arg( ) arg arg
0 1 2 4n n
n n nn
iz z i
M O M Mz
++
+ = = = =
, ainsi que
11
1( , ) arg( ) arg
2 4n
nnn
z iOM OM
z
++
+= = =
. Le dernier angle vaut donc bien 2
(on aurait pu calculer un seul angle mais
aurait t moins amusant).
c. On a videmment 4 401 2 2
2 2 2
n n nn i i
ni
z z e e + = = =
donc nM appartient laxe des abscisses si
44
4
kn k n k
= = = .
d. Avec la rponse au c. et en remarquant que 2 1
2 2= , on retrouve bien
( )4
2
ni
n n
ez
= .
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1. 5.
Le plan est rapport un repre orthonorm ( ; , )O i j
. On considre dans ce repre les points A(1 ; 1), B(5 ; 3) et I le
milieu de [AB]. Soit (G )n n la suite de points dfinie par :
* G0 = O,
* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}.
On appelle (xn ; yn) les coordonnes de Gn.
a. G1, G2 et G3 sont aligns.
b. Quel que soit n, Gn+1 est limage de Gn par lhomothtie de centre I et de rapport 2.
c. La suite ( )n nu dfinie par 3n nu x= est une suite gomtrique de premier terme 3 et de raison 1
2.
d. Pour tout n, 1
3 12
n nx =
.
Correction
Question a b c d
Rponse V F V V
a. En utilisant le barycentre partiel on a Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (I ; 2)}, soit le milieu de [GnI], tous les Gn sont donc
aligns.
b. Lhomothtie est bien de centre I mais de rapport 1/2. Les coordonnes de I sont (3 ; 2).
c. En utilisant la dfinition dune homothtie : 'IM kIM=
, on a 1
1
13 ( 3)
21
2 ( 2)2
n n
n n
x x
y y
+
+
= =
do 3n nu x= est gomtrique de
raison 1/2, de premier terme 0 0 3 3u x= = .
d. Avec ce quon a fait, 1 1
( 3) 3 3 12 2
n
n n nx x = =
. On peut complter avec le calcul de yn :
1 12 2 2 1
2 2
n
n n ny y = =
. Quand n tend vers linfini xn et yn tendent respectivement vers 3 et 2, soit Gn tend
vers I (ce qui tait prvisible puisqu chaque itration on prend le milieu de [GnI]).
1. 6.
On considre une droite gradue dorigine O. On considre les suites de points (G )n n et (H )n n dfinies ainsi :
* G0 = O,
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* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)},
* H0 a pour abscisse 1,
* Pour n entier naturel, Hn+1 est le barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)}.
On appelle gn et hn les abscisses respectives de Gn et Hn.
a. La suite ( )n ng h est une suite gomtrique de raison 1
5 .
b. La suite ( )n ng h+ est une suite constante.
c. Les deux suites gn et hn convergent vers la mme limite.
d. Les suites gn et hn sont adjacentes.
Correction
Question a b c d
Rponse V V V F
a. Il faut videmment trouver les relations entre gn et hn.
Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)} nous donne
1 1 1 12 3
2( ) 3( ) 0 5 2 35 5n n n n n n n n n n
g g g h g g h g g h+ + + + + = = + = + ;
Hn+1 barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)} nous donne
1 1 1 13 2
3( ) 2( ) 0 5 3 25 5n n n n n n n n n n
h g h h h g h h g h+ + + + + = = + = + ;
do 1 12 3 3 2 1
( )5 5 5