FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C suites collegelespigeons.e- math du collège privé laic « les pigeons

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  • Terminale S 1 F. Laroche Suites numriques exercices corrigs

    FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES

    C,D,E

    STRUCTURE : suites

    EXERCICES CORRIGES

    Par Hugues SILA (http://sila.e-monsite.com)

    mail : silhu06@yahoo.fr

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    TLES S suites exercices corrigs Hugues SILA Page 2

    1. 1. QCM

    Rpondez par VRAI ou FAUX en JUSTIFIANT (sauf la question f. o il suffit de prouver).

    Soit (un) une suite gomtrique de premier terme u0 = 1 et de raison q ]0 ; + [.

    On note Sn = u0 + u1 + ... + un.

    Alors

    a. S'il existe n tel que un > 2000, alors q > 1.

    b. Si q < 1, alors il existe n tel que 0 < un < 2.

    c. Si q > 1, alors lim nSn= +

    +.

    d. Si lim 2nSn=

    +, alors

    1

    2q = .

    e. Si q = 2, alors S4 = 15.

    f. Dmontrer par rcurrence que 3 3 3 21 2 ... (1 2 3 ... )n n+ + + = + + + + .

    Correction

    a. Vrai, b. Vrai, c. Vrai, d. Vrai, e. Faux.

    1. 2.

    On considre la suite ( )n nu dfinie par 0 0u = , 1 1u = et, pour tout n ,

    2 11 2

    3 3n n nu u u+ += + .

    On dfinit les suites ( )n nv et ( )n nw par 1n n nv u u+= et 12

    3n n nw u u+= + .

    a. La suite ( )n nv est arithmtique.

    b. La suite ( )n nw est constante.

    c. Pour tout n , on a : ( )35n n n

    u w v= .

    d. La suite ( ) *n nu na pas de limite finie.

    Correction

    a. Faux : Si la suite nv est arithmtique, 1n nv v+ est constante :

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    TLES S suites exercices corrigs Hugues SILA Page 3

    1 2 1 1 1 1 11 2 5 5 5

    ( ) ( ) 23 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n n

    v v u u u u u u u u u u v+ + + + + + + = = + + = + = ;

    cest donc faux, mais nous gagnons une information intressante : 15 2

    3 3n n n nv v v v+ = + = ; nv est gomtrique de

    raison 2

    3 et de premier terme 0 1 0 1v = = do

    2

    3

    n

    nv =

    .

    b. Vrai : Recommenons :

    1 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2

    03 3 3 3 3 3n n n n n n n n n n n

    w w u u u u u u u u u+ + + + + + + = + = + + = donc cest vrai. En plus on a

    0 1 02

    13n

    w w u u= = + = .

    c. Vrai : ( ) 1 13 3 2 3 5

    5 5 3 5 3n n n n n n n nw v u u u u u u+ +

    = + + = =

    . Ok !

    d. Faux : Remplaons pour calculer nu : 3 2

    15 3

    n

    nu =

    dont la limite est 3

    5.

    1. 3.

    Soient l un rel et ( )n nu une suite relle termes tous strictement positifs. Pour les questions a., b., c. on suppose que

    un converge vers l.

    a. l est strictement positif.

    b. Il existe n entier naturel tel que l soit une valeur approche de un 103 prs.

    c. La suite (ln )n nu converge vers ln(l).

    d. On suppose dans cette question que la suite ( )n nu vrifie pour tout entier naturel n, 1 lnn nu u+ = et que 0 1u u> . On

    ne suppose pas que la suite ( )n nu converge.

    La suite ( )n nu est dcroissante.

    Correction

    Question a b c d

    Rponse F V F V

    a. Si l pouvait tre ngative, il existerait des termes de un ngatifs partir dun certain rang ce qui est impossible.

    Par contre l peut tre nulle : par exemple les suites qn avec 0 < q < 1 convergent vers 0.

    b. La traduction de cette phrase est : il existe n tel que 310nu l ; cest la dfinition mme dune suite convergente :

    il existe N tel que pour tout n > N, n nu l kv o vn converge vers 0.

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    TLES S suites exercices corrigs Hugues SILA Page 4

    c. Supposons que un converge vers 0 alors la suite (ln )n nu convergerait vers . En fait cette suite divergerait.

    d. La fonction ln est croissante donc si 0 1u u> alors 0 1 1 2ln lnu u u u> > , etc. Par rcurrence on a 1n nu u +> donc bien

    dcroissante. Remarquez que si on avait 0 1u u< alors la suite aurait t croissante. En fait dans le cas dune suite

    1 ( )n nu f u+ = avec f croissante tout dpend de lordre des deux premiers termes.

    1. 4.

    On considre la suite complexe ( )n nz dfinie par 0 1z = et, pour tout entier n, 11

    2n ni

    z z++= . Pour n entier naturel, on

    appelle nM le point daffixe zn.

    a. La suite ( )n nz est une suite gomtrique de raison 1

    2.

    b. Quel que soit n entier naturel, les triangles 1n nOM M + sont rectangles.

    c. nM appartient laxe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.

    d. Pour tout n entier naturel, ( )

    4

    2

    ni

    n n

    ez

    = .

    Correction

    Question a b c d

    Rponse F V V V

    a. On a 1 1 1 2

    2 4 4 2

    i+ = + = donc ( )n nz est une suite gomtrique de raison 2

    2.

    b. Il nous faut calculer 11

    11 12( , ) arg( ) arg arg

    0 1 2 4n n

    n n nn

    iz z i

    M O M Mz

    ++

    + = = = =

    , ainsi que

    11

    1( , ) arg( ) arg

    2 4n

    nnn

    z iOM OM

    z

    ++

    += = =

    . Le dernier angle vaut donc bien 2

    (on aurait pu calculer un seul angle mais

    aurait t moins amusant).

    c. On a videmment 4 401 2 2

    2 2 2

    n n nn i i

    ni

    z z e e + = = =

    donc nM appartient laxe des abscisses si

    44

    4

    kn k n k

    = = = .

    d. Avec la rponse au c. et en remarquant que 2 1

    2 2= , on retrouve bien

    ( )4

    2

    ni

    n n

    ez

    = .

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    TLES S suites exercices corrigs Hugues SILA Page 5

    1. 5.

    Le plan est rapport un repre orthonorm ( ; , )O i j

    . On considre dans ce repre les points A(1 ; 1), B(5 ; 3) et I le

    milieu de [AB]. Soit (G )n n la suite de points dfinie par :

    * G0 = O,

    * Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}.

    On appelle (xn ; yn) les coordonnes de Gn.

    a. G1, G2 et G3 sont aligns.

    b. Quel que soit n, Gn+1 est limage de Gn par lhomothtie de centre I et de rapport 2.

    c. La suite ( )n nu dfinie par 3n nu x= est une suite gomtrique de premier terme 3 et de raison 1

    2.

    d. Pour tout n, 1

    3 12

    n nx =

    .

    Correction

    Question a b c d

    Rponse V F V V

    a. En utilisant le barycentre partiel on a Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (I ; 2)}, soit le milieu de [GnI], tous les Gn sont donc

    aligns.

    b. Lhomothtie est bien de centre I mais de rapport 1/2. Les coordonnes de I sont (3 ; 2).

    c. En utilisant la dfinition dune homothtie : 'IM kIM=

    , on a 1

    1

    13 ( 3)

    21

    2 ( 2)2

    n n

    n n

    x x

    y y

    +

    +

    = =

    do 3n nu x= est gomtrique de

    raison 1/2, de premier terme 0 0 3 3u x= = .

    d. Avec ce quon a fait, 1 1

    ( 3) 3 3 12 2

    n

    n n nx x = =

    . On peut complter avec le calcul de yn :

    1 12 2 2 1

    2 2

    n

    n n ny y = =

    . Quand n tend vers linfini xn et yn tendent respectivement vers 3 et 2, soit Gn tend

    vers I (ce qui tait prvisible puisqu chaque itration on prend le milieu de [GnI]).

    1. 6.

    On considre une droite gradue dorigine O. On considre les suites de points (G )n n et (H )n n dfinies ainsi :

    * G0 = O,

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    TLES S suites exercices corrigs Hugues SILA Page 6

    * Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)},

    * H0 a pour abscisse 1,

    * Pour n entier naturel, Hn+1 est le barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)}.

    On appelle gn et hn les abscisses respectives de Gn et Hn.

    a. La suite ( )n ng h est une suite gomtrique de raison 1

    5 .

    b. La suite ( )n ng h+ est une suite constante.

    c. Les deux suites gn et hn convergent vers la mme limite.

    d. Les suites gn et hn sont adjacentes.

    Correction

    Question a b c d

    Rponse V V V F

    a. Il faut videmment trouver les relations entre gn et hn.

    Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)} nous donne

    1 1 1 12 3

    2( ) 3( ) 0 5 2 35 5n n n n n n n n n n

    g g g h g g h g g h+ + + + + = = + = + ;

    Hn+1 barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)} nous donne

    1 1 1 13 2

    3( ) 2( ) 0 5 3 25 5n n n n n n n n n n

    h g h h h g h h g h+ + + + + = = + = + ;

    do 1 12 3 3 2 1

    ( )5 5 5