FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C suites collegelespigeons.e- math du collège privé laic « les pigeons

Terminale S 1 F. Laroche Suites numriques exercices corrigs

FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES

C,D,E

STRUCTURE : suites

EXERCICES CORRIGES

Par Hugues SILA (http://sila.e-monsite.com)

mail : silhu06@yahoo.fr

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1. 1. QCM

Rpondez par VRAI ou FAUX en JUSTIFIANT (sauf la question f. o il suffit de prouver).

Soit (un) une suite gomtrique de premier terme u0 = 1 et de raison q ]0 ; + [.

On note Sn = u0 + u1 + ... + un.

Alors

a. S'il existe n tel que un > 2000, alors q > 1.

b. Si q < 1, alors il existe n tel que 0 < un < 2.

c. Si q > 1, alors lim nSn= +

+.

d. Si lim 2nSn=

+, alors

1

2q = .

e. Si q = 2, alors S4 = 15.

f. Dmontrer par rcurrence que 3 3 3 21 2 ... (1 2 3 ... )n n+ + + = + + + + .

Correction

a. Vrai, b. Vrai, c. Vrai, d. Vrai, e. Faux.

1. 2.

On considre la suite ( )n nu dfinie par 0 0u = , 1 1u = et, pour tout n ,

2 11 2

3 3n n nu u u+ += + .

On dfinit les suites ( )n nv et ( )n nw par 1n n nv u u+= et 12

3n n nw u u+= + .

a. La suite ( )n nv est arithmtique.

b. La suite ( )n nw est constante.

c. Pour tout n , on a : ( )35n n n

u w v= .

d. La suite ( ) *n nu na pas de limite finie.

Correction

a. Faux : Si la suite nv est arithmtique, 1n nv v+ est constante :

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1 2 1 1 1 1 11 2 5 5 5

( ) ( ) 23 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n n

v v u u u u u u u u u u v+ + + + + + + = = + + = + = ;

cest donc faux, mais nous gagnons une information intressante : 15 2

3 3n n n nv v v v+ = + = ; nv est gomtrique de

raison 2

3 et de premier terme 0 1 0 1v = = do

2

3

n

nv =

.

b. Vrai : Recommenons :

1 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2

03 3 3 3 3 3n n n n n n n n n n n

w w u u u u u u u u u+ + + + + + + = + = + + = donc cest vrai. En plus on a

0 1 02

13n

w w u u= = + = .

c. Vrai : ( ) 1 13 3 2 3 5

5 5 3 5 3n n n n n n n nw v u u u u u u+ +

= + + = =

. Ok !

d. Faux : Remplaons pour calculer nu : 3 2

15 3

n

nu =

dont la limite est 3

5.

1. 3.

Soient l un rel et ( )n nu une suite relle termes tous strictement positifs. Pour les questions a., b., c. on suppose que

un converge vers l.

a. l est strictement positif.

b. Il existe n entier naturel tel que l soit une valeur approche de un 103 prs.

c. La suite (ln )n nu converge vers ln(l).

d. On suppose dans cette question que la suite ( )n nu vrifie pour tout entier naturel n, 1 lnn nu u+ = et que 0 1u u> . On

ne suppose pas que la suite ( )n nu converge.

La suite ( )n nu est dcroissante.

Correction

Question a b c d

Rponse F V F V

a. Si l pouvait tre ngative, il existerait des termes de un ngatifs partir dun certain rang ce qui est impossible.

Par contre l peut tre nulle : par exemple les suites qn avec 0 < q < 1 convergent vers 0.

b. La traduction de cette phrase est : il existe n tel que 310nu l ; cest la dfinition mme dune suite convergente :

il existe N tel que pour tout n > N, n nu l kv o vn converge vers 0.

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c. Supposons que un converge vers 0 alors la suite (ln )n nu convergerait vers . En fait cette suite divergerait.

d. La fonction ln est croissante donc si 0 1u u> alors 0 1 1 2ln lnu u u u> > , etc. Par rcurrence on a 1n nu u +> donc bien

dcroissante. Remarquez que si on avait 0 1u u< alors la suite aurait t croissante. En fait dans le cas dune suite

1 ( )n nu f u+ = avec f croissante tout dpend de lordre des deux premiers termes.

1. 4.

On considre la suite complexe ( )n nz dfinie par 0 1z = et, pour tout entier n, 11

2n ni

z z++= . Pour n entier naturel, on

appelle nM le point daffixe zn.

a. La suite ( )n nz est une suite gomtrique de raison 1

2.

b. Quel que soit n entier naturel, les triangles 1n nOM M + sont rectangles.

c. nM appartient laxe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.

d. Pour tout n entier naturel, ( )

4

2

ni

n n

ez

= .

Correction

Question a b c d

Rponse F V V V

a. On a 1 1 1 2

2 4 4 2

i+ = + = donc ( )n nz est une suite gomtrique de raison 2

2.

b. Il nous faut calculer 11

11 12( , ) arg( ) arg arg

0 1 2 4n n

n n nn

iz z i

M O M Mz

++

+ = = = =

, ainsi que

11

1( , ) arg( ) arg

2 4n

nnn

z iOM OM

z

++

+= = =

. Le dernier angle vaut donc bien 2

(on aurait pu calculer un seul angle mais

aurait t moins amusant).

c. On a videmment 4 401 2 2

2 2 2

n n nn i i

ni

z z e e + = = =

donc nM appartient laxe des abscisses si

44

4

kn k n k

= = = .

d. Avec la rponse au c. et en remarquant que 2 1

2 2= , on retrouve bien

( )4

2

ni

n n

ez

= .

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1. 5.

Le plan est rapport un repre orthonorm ( ; , )O i j

. On considre dans ce repre les points A(1 ; 1), B(5 ; 3) et I le

milieu de [AB]. Soit (G )n n la suite de points dfinie par :

* G0 = O,

* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}.

On appelle (xn ; yn) les coordonnes de Gn.

a. G1, G2 et G3 sont aligns.

b. Quel que soit n, Gn+1 est limage de Gn par lhomothtie de centre I et de rapport 2.

c. La suite ( )n nu dfinie par 3n nu x= est une suite gomtrique de premier terme 3 et de raison 1

2.

d. Pour tout n, 1

3 12

n nx =

.

Correction

Question a b c d

Rponse V F V V

a. En utilisant le barycentre partiel on a Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (I ; 2)}, soit le milieu de [GnI], tous les Gn sont donc

aligns.

b. Lhomothtie est bien de centre I mais de rapport 1/2. Les coordonnes de I sont (3 ; 2).

c. En utilisant la dfinition dune homothtie : 'IM kIM=

, on a 1

1

13 ( 3)

21

2 ( 2)2

n n

n n

x x

y y

+

+

= =

do 3n nu x= est gomtrique de

raison 1/2, de premier terme 0 0 3 3u x= = .

d. Avec ce quon a fait, 1 1

( 3) 3 3 12 2

n

n n nx x = =

. On peut complter avec le calcul de yn :

1 12 2 2 1

2 2

n

n n ny y = =

. Quand n tend vers linfini xn et yn tendent respectivement vers 3 et 2, soit Gn tend

vers I (ce qui tait prvisible puisqu chaque itration on prend le milieu de [GnI]).

1. 6.

On considre une droite gradue dorigine O. On considre les suites de points (G )n n et (H )n n dfinies ainsi :

* G0 = O,

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* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)},

* H0 a pour abscisse 1,

* Pour n entier naturel, Hn+1 est le barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)}.

On appelle gn et hn les abscisses respectives de Gn et Hn.

a. La suite ( )n ng h est une suite gomtrique de raison 1

5 .

b. La suite ( )n ng h+ est une suite constante.

c. Les deux suites gn et hn convergent vers la mme limite.

d. Les suites gn et hn sont adjacentes.

Correction

Question a b c d

Rponse V V V F

a. Il faut videmment trouver les relations entre gn et hn.

Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)} nous donne

1 1 1 12 3

2( ) 3( ) 0 5 2 35 5n n n n n n n n n n

g g g h g g h g g h+ + + + + = = + = + ;

Hn+1 barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)} nous donne

1 1 1 13 2

3( ) 2( ) 0 5 3 25 5n n n n n n n n n n

h g h h h g h h g h+ + + + + = = + = + ;

do 1 12 3 3 2 1

( )5 5 5