Fluctuations de Frequences

Fluctuations d’une fréquence - Probabilités

FLUCTUATIONS D’UNE FREQUENCE

Objectifs : - Expérimenter la prise d’échantillons aléatoires.- Déterminer l’étendue des fréquences.

I. POPULATION ET ECHANTILLON ALEATOIRE DE TAILLE n.

Un sac contient 30 jetons : de jaunes et de bleus.On effectue des tirages au hasard (c’est-à-dire que chaque jeton a les mêmes chance d’être prélevé) avec remise : on tire un jeton, on note sa couleur et on le remet dans le sac. On effectue ainsi 10 tirages.

Les 30 jetons du sac constituent ………………………………..

Les 10 jetons tirés constituent ……………………………………

Cet ………………………….. est de …………………… 10.

1. Calculer la fréquence p du caractère « le jeton est jaune » dans le sac : p = ……………..

2. Prélever un échantillon aléatoire de taille 10. 3. Noter dans le tableau la couleur du jeton tiré : J pour jaune et B

pour bleu.4. Calculer le nombre de jetons jaunes de l’échantillon et la

fréquence f des jetons jaunes de l’échantillon.

Echantillon 1

Echantillon 2

Echantillon 3

Echantillon 4

Echantillon 5

Tirage 1Tirage 2Tirage 3Tirage 4Tirage 5Tirage 6Tirage 7Tirage 8Tirage 9Tirage 10

Nombre de jetons jaunes de

l’échantillonFréquence f des jetons jaunes de

l’échantillon

5. Comparer les résultats.

…………………………………………………………………………………………………

1


…………………………………………………………………………………………………

On dit que la fréquence ………………………..

Pour mesurer cette …………………, on peut calculer

l’……………………………………en effectuant la soustraction de la plus

grande fréquence et de la plus petite.

6. Comparer la fréquence p des jetons jaunes dans le sac et la fréquence f des jetons jaunes dans l’échantillon.

…………………………………………………………………………………………………...

Il faut distinguer fréquence dans la population et fréquence dans l’échantillon.Exemple : Dans un lycée il y a 65% de demi-pensionnaires.En interrogeant au hasard 60 élèves du lycée, on trouve 42 demi-pensionnaires.

D’après l’énoncé, la fréquence p dans la population est p = ………………La fréquence f dans l’échantillon est f = ……………………………..

II. EXPERIMENTER AVEC LA CALCULATRICE

Une urne contient 40% de boules noires et 60% de boules blanches.On prélève au hasard une boule.Pour simuler le tirage d’une boule dans cette urne, il suffit avec la calculatrice d’utiliser la fonction « random » (notée rand, NbrAléat ou Ran#).

1. Taper sur votre calculatrice Casio : puis Puis la touche EXE.

2. Effectuer cette opération 5 fois et noter les résultats obtenus.

…………………………………………………………………………………………………...

3. Que constate-t-on ? ……………………………………………………………………...

4. Taper sur votre calculatrice Casio : Ran#+0,4. Puis la touche EXE.

5. Effectuer cette opération 10 fois et noter les résultats obtenus.

…………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………...

2

http://fr.ekopedia.org/images/thumb/f/f7/Nuvola_apps_important.svg/600px-Nuvola_apps_important.svg.png%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


6. Que constate-t-on ? ……………………………………………………………………...

7. Quelle est la longueur de l’intervalle [……… ; ……….[ ? ………………………….

8. Quelle est la longueur de l’intervalle [……… ; ……….[ ? A quel pourcentage de la longueur de la question 7. cela correspond-il ?

……………………………………………………………………………………………….

9. Quelle est la longueur de l’intervalle [……… ; ……….[ ? A quel pourcentage de la longueur de la question 7. cela correspond-il ?

……………………………………………………………………………………………….

10. Si l’instruction Ran#+0,4 fournit un nombre dans

l’intervalle :

- [ ………., ………..[ on considère que la boule tirée est …………………

- [ ………., ………..[ on considère que la boule tirée est …………………

Exercice Déterminer l’intervalle de valeurs possibles obtenues à la calculatrice en entrant les instructions suivantes.

2 Ran# : ………………………….4 Ran# : ………………………….5 Ran# + 1: ………………………….4 Ran# + 3 : ………………………….3 Ran# + 0,6 : ………………………….

ProblèmeThéo et Julien jouent à un jeu de société où, à chaque tour, le joueur doit lancer un dé équilibré.La règle du jeu permet à celui qui obtient « six » de rejouer.Julien certifie que cet avantage est dû au fait qu’il est plus difficile d’obtenir le « six » que les autres faces du dé.

Qu’en pensez-vous ? Il a : raison tort.

1. Réaliser 5 séries de 10 lancers de dés en entrant sur la calculatrice les instructions suivantes :

6 Ran# + 1 (résultats possibles des parties entières : ........................................................)

3


2. Relever les résultats et compléter le tableau suivant.

Série 1 Série 2 Série 3 Série 4 Série 5Lancer 1Lancer 2Lancer 3Lancer 4Lancer 5Lancer 6Lancer 7Lancer 8Lancer 9

Lancer 10

Nombre de « 1 » sur 50 lancers

Fréquence (en %) d’obtention de « 1 »











Que peut-on conclure ? ………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………...

III. EXPERIMENTER AVEC LE TABLEUR

En 1976, dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida, condamné à huit de prison, attaque le jugement au motif que la constitution des jurys est discriminante par rapport aux américains d’origine mexicaine.Il fournit les statistiques suivantes : alors qu’environ 80% de la population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 convoquées dans des jurys les années précédentes seulement 339 sont d’origine mexicaine.

1. La fréquence p dans la population du caractère « la personne est d’origine mexicaine » est p = ……..

2. Calculer la fréquence f dans l’échantillon du caractère « la personne est d’origine mexicaine ». f = ……………………..

4


On simule sur une feuille de tableur le prélèvement au hasard d’échantillons de taille 870 dans une population où 80 est d’origine mexicaine.

De la même manière qu’avec la calculatrice, la fonction ALEA( ) du tableur fournit un nombre « au hasard » entre 0 et 1.

3. Entrer dans la cellule A1 la formule :=ALEA( )+0,8

Effectuer plusieurs fois F9.Entre quelles valeurs cette formule fournit-elle un nombre au hasard ? ……………………...

4. La fonction ENT ne conserve que la partie entière d’un nombre positif.

Si le nombre appartient à l’intervalle [0,8 ; 1[ la fonction ENT fournit le chiffre …….Si le nombre appartient à l’intervalle [1 ; 1,8[ la fonction ENT fournit le chiffre …….

Il y a ……….% de chances que le nombre appartienne à l’intervalle [0,8 ; 1[ .Il y a ……….% de chances que le nombre appartienne à l’intervalle [1 ; 1,8[ .

Entrer dans la cellule A1 la formule :=ENT(ALEA( )+0,8)

Que peut symboliser le résultat « 1 » dans notre problème ?

……………………………………………………………………………………………….

5. Pour constituer un échantillon de taille 870, effectuer les manipulations suivantes :

- recopier (pointeur de souris en forme de croix noire) vers le bas le contenu de la cellule A1 jusqu’à la ligne 870.

- En cellule A872, entrer la formule := SOMME(A1 :A870)/870

A quoi correspond le résultat affiché en cellule A872 ?

……………………………………………………………………………………………….

6. On souhaite représenter les résultats de 100 échantillons de taille 870.

- Sélectionner les cellules de A1 à A872 puis recopier vers la droite jusqu’à la colonne CV.

5


- Sélectionner la ligne A872 puis effectuer une représentation graphique en choisissant « nuage de points ».

Fréquence des américains d'origine mexicaine sur un échantillon de taille 870

0,760,770,780,790,80,810,820,830,840,85

0 20 40 60 80 100 120

Numéro de l'échantillon

Fré

qu

ence

des

am

éric

ain

s d

'ori

gin

e m

exic

ain

e

Série1

- Appuyer sur F9 pour effectuer d’autres simulations.

Entre quelles valeurs fluctue l’immense majorité des fréquences d’américains d’origine mexicaine obtenues dans les échantillons aléatoires ?

…………………………………………………………………………………………………...

7. Pourquoi Partida a-t-il obtenu gain de cause ?

…………………………………………………………………………………………………...

La « discrimination » observée ici s’explique en partie par le fait qu’un juré doit maîtriser parfaitement l’anglais écrit et oral.

Problème : Le lancer de dé Lors du problème de Théo et Julien de la page 3, on a simulé à l’aide de la calculatrice 50 lancers de dé.Réécrire les résultats obtenus dans le tableau suivant.

Fréquence (en %) d’obtention de « 1 »Fréquence (en %)

d’obtention de « 2 »Fréquence (en %)




d’obtention de « 6 »

6


Intuitivement, on devine qu'à chaque lancer de dé on a …………….chance sur ………….. d'avoir chacune des six faces du dé. La fréquence d'apparition de chacune des faces du dé doit donc être de soit environ …..%Les fréquences obtenues sont-elles proches de 17% ?

………………………………..

Faut-il en déduire que notre hypothèse de départ était fausse ?

………………………

Quand on compare des échantillons de même taille, plus ils fluctuent, moins ils sont fiables et donc moins on peut généraliser les résultats de l'un des échantillons à l'ensemble de la population. Il n'est donc pas très étonnant que les fréquences obtenues par chacun d'entre nous n'aient pas été très proches des 17% théoriques !

Comme il est probable qu'un plus gros échantillon soit plus fiable, nous allons utiliser la puissance de calcul de l'ordinateur pour simuler les lancers de dés.

1. Ouvrir une feuille de calcul.2. Compléter le tableau ci-dessous.

Formule écrite Le résultat est alors :ALEA( ) compris entre :

6 * ALEA ( ) compris entre :

6 * ALEA ( ) + 1 compris entre :

ENT (6 * ALEA ( ) + 1) soit

3. Simuler 1500 lancers de dé.- Entrer dans la cellule A1 la formule :

=ENT(6*ALEA( )+1)- Recopier (pointeur de souris en forme de croix noire) vers le bas le

contenu de la cellule A1 jusqu’à la ligne 1500.- Remplir les cellules C1 à E1 puis C2 à C7 comme ci-dessous.

Pour compter le nombre de 1 qu'il y a dans la colonne A, nous allons utiliser la fonction appelée NB.SI(plage ; critère). Cette fonction

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compte le nombre de cellules qui répondent à un critère donné à l'intérieur d'une plage de cellules. Ici la plage de cellules correspond aux 1500 lancers de dés et le critère est d'être égal à 1.

- En D2, entrer la formule : =NB.SI(A$1:A$1500;C2)- Recopier (pointeur de souris en forme de croix noire) vers le bas le

contenu de la cellule D2 jusqu’à la cellule D7.- Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 pour vérifier que les

effectifs oscillent bien autour de 1500/6 = 250.- En E2, entrer la formule : =D2/1500.- Recopier (pointeur de souris en forme de croix noire) vers le bas le

contenu de la cellule E2 jusqu’à la cellule E7.- Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 pour vérifier que les

fréquences oscillent bien autour de =0,17.

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