FONCTION D'UNE VARIABLE COMPLEXE - …trabelsi/CHAP2.pdf · dimensions à savoir le plan complexe R2. ... C’est la généralisation aux complexes de la formule sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa,

FONCTION D’UNE VARIABLE COMPLEXE

Chapitre # 2

MATHEMATIQUES DE L’INGENIEUR

AERO 3 – ING 1

Karim Trabelsi (IPSA) Inst. Polytech. des Sciences Avancees Ivry, le 29.9.09 1 / 10

Introduction

Soit la fonction f : D ⊂ C→ C, z 7→ f (z).

Nouveaute

Tous les nombres impliques sont a deux variables!

Le nombre original z , ainsi que son image f (z) se deplacent dans un espace a deux

dimensions a savoir le plan complexe R2.

L’ensemble D est appele domaine definition de la fonction f : C’est l’ensemble despoints z pour lesquels l’on sait effectuer les operations permettant de calculer f (z).

Le cas le plus important est celui ou D est un domaine. Nous ne considererons que desdomaines dont la frontiere est une suite finie d’arcs de courbes continument

differentiables par morceaux.

Quelques exemples

z 7→ f (z) = z , z 7→ f (z) = |z | , z 7→ f (z) = z−1, z 7→ f (z) = sin z.

sin z =1

2ι(eι(x+ιy) − e−ι(x+ιy)) = 1

2ι(e−yeιx − eye−ιx) = sin x cosh y + ι sinh y cos x.

C’est la generalisation aux complexes de la formule sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a,

en remarquant que sin ιa = ι sinh a et cos ιb = cosh b.


Introduction


Nouveaute







Quelques exemples


sin z =1

2ι(eι(x+ιy) − e−ι(x+ιy)) = 1





Introduction


Nouveaute







Quelques exemples


sin z =1

2ι(eι(x+ιy) − e−ι(x+ιy)) = 1





Introduction


Nouveaute







Quelques exemples


sin z =1

2ι(eι(x+ιy) − e−ι(x+ιy)) = 1





Introduction


Nouveaute







Quelques exemples


sin z =1

2ι(eι(x+ιy) − e−ι(x+ιy)) = 1





Representation de f : D ⊂ C→ C, z 7→ f (z)

Algebriquement

La donnee de f est clairement equivalente a la donnee de 2 fonctions u et v a valeurs

reelles:

∀z ∈ D, f (z) = u(x, y) + ιv(x, y), z = x + ιy .

Graphiquement

On ne peut representer le graph de f car cela requiert 4 dimensions.

En revanche, on peut tracer dans le plan des lignes relatives a certains attributs de f :

I Les lignes iso-module.

I Les lignes iso-< et iso-=: u(x, y) = Cste et v(x, y) = Cste .

I On peut eventuellement representer les surfaces obtenues en portant

verticalement suivant Oz les valeurs des parties reelles et imaginaires:

z = u(x, y) et z = v(x, y), z ∈ R.

Les lignes iso-< et iso-= sont les intersections de ses surfaces avecdes plans paralleles a au plan xOy .



Algebriquement


reelles:


Graphiquement







z = u(x, y) et z = v(x, y), z ∈ R.




Algebriquement


reelles:


Graphiquement







z = u(x, y) et z = v(x, y), z ∈ R.




Algebriquement


reelles:


Graphiquement







z = u(x, y) et z = v(x, y), z ∈ R.




Algebriquement


reelles:


Graphiquement







z = u(x, y) et z = v(x, y), z ∈ R.



Limite, continuite et derivee

Definition

1 Limite: limz→z0f (z) = f0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0/∀ |z − z0| < δ : |f (z)− f0| < ε.

2 Continuite: f est continue en z0 si f0 = f (z0).

De facon equivalente, la limite de f en z0 existe si les limites suivantes existent:

limx→x0,y→y0

u(x, y) = u0, et limx→x0,y→y0

v(x, y) = v0

Dire que f est continue en z0, c’est dire que u0 = u(x0, y0) et v0 = v(x0, y0).

Exemple f (z) =z

z.

Definition

On definit la derivee f ′ d’une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle

existe!):

f ′(z0) = limz→z0

f (z)− f (z0)z − z0

.

Une fonction ayant cette propriete en z0 est dite derivable en z0.



Definition




limx→x0,y→y0


v(x, y) = v0


Exemple f (z) =z

z.

Definition


existe!):


f (z)− f (z0)z − z0

.




Definition




limx→x0,y→y0


v(x, y) = v0


Exemple f (z) =z

z.

Definition


existe!):


f (z)− f (z0)z − z0

.




Definition




limx→x0,y→y0


v(x, y) = v0


Exemple f (z) =z

z.

Definition


existe!):


f (z)− f (z0)z − z0

.




Definition




limx→x0,y→y0


v(x, y) = v0


Exemple f (z) =z

z.

Definition


existe!):


f (z)− f (z0)z − z0

.



Fonction holomorphe

Definition

Une fonction derivable en tout point d’un domaine est dite holomorphe dans ce

domaine.

La somme et le produit de deux fonctions holomorphes est une fonction holomorphe; il

en va de meme pour le rapportf

gpartout ou g(z) 6= 0.

Conditions de Cauchy

Les conditions de derivabilite -donc l’exigence d’independance vis-a-vis du chemin suivi

pour arriver en z0- s’expriment par le theoreme suivant, appele conditions de Cauchy:

Theoreme Soit une fonction definie par f (z) = u(x, y) + ιv(x, y) ou u et v sont

differentiables en z0. Alors, f est derivable en z0 si, et seulement si,

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) et

∂u

∂y(x0, y0) = −

∂v

∂x(x0, y0).

Geometriquement, cela traduit le fait que lignes iso-< et iso-= sont orthogonales.


Fonction holomorphe

Definition


domaine.









∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) et

∂u

∂y(x0, y0) = −

∂v

∂x(x0, y0).



Fonction holomorphe

Definition


domaine.









∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) et

∂u

∂y(x0, y0) = −

∂v

∂x(x0, y0).



Remarques

1 Les relations de Cauchy en coordonnees polaires: si U(r, θ) = u(x, y) et

V (r, θ) = v(x, y) alors

∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)

2 Les conditions de Cauchy nous permettent d’ecrire la derivee de 4 manieres

differentes.

3 Une fonction holomorphe est infiniment derivable.

4 Si <f (z) = Cste ou =f (z) = Cste , alors f (z) = Cste .5 Si f (x, y) = f (z = x + ιy) = u(x, y) + ιv(x, y), alors les conditions de Cauchy

s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)

6 Les conditions de Cauchy assurent que f est une fonction de z seul, pas de z .

Notamment si∂f

∂z6= 0, alors f n’est pas holomorphe.

I Attention!!!∂f

∂z= 0 n’implique pas f = Cste .

7 Les regles de calcul des derivees de fonctions de R→ R restent valables.8 Les parties reelle et imaginaire d’une fonction holomorphe verifient l’equation de

Laplace. On dit qu’elles sont harmoniques.


Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Remarques



∂U

∂r(r0, θ0) =

1

r

∂V

∂θ(r0, θ0) et

1

r

∂U

∂θ(r0, θ0) = −

∂V

∂r(r0, θ0)


differentes.



s’ecrivent: ∂f

∂x(x0, y0) = −ι

∂f

∂y(x0, y0)


Notamment si∂f


I Attention!!!∂f





Exemples

1 f : z 7→ zn, n ∈ N est holomorphe.

2 f : z 7→ 1zest holomorphe dans C∗.

3 f : z 7→ |z | n’est pas holomorphe. Elle n’est derivable nulle part.I Il en va de meme pour les fonctions z 7→ <z et z 7→ =z .

De facon generale une fonction f : C→ R cad. une fonction a valeurs reelles n’est pasderivable!

I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque

On peut montrer que toute fonction holomorphe est analytique et reciproquement.

I Une fonction holomorphe satisfait les conditions de Cauchy.

I Une fonction analytique admet localement un developpement en serie de

puissances entieres positives.


Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Exemples





I |z | =√zz , <z = 1

2(z + z), =z = 1

2ι(z − z), etc.

Remarque






Fonctions elementaires

Il s’agit de generaliser les fonctions elementaires de l’analyse reelle au cas ou

l’argument est un nombre complexe. Nous allons, le cas echeant utiliser ces notations:

z = x + ιy = reιθ et Z = X + ιY = ρeιϕ.

La fonction puissance entiere z 7→ Z = zn, n ∈ N∗

I Geometriquement, cela revient a une rotation d’angle (n − 1)θ et une dilatationde rapport r n−1.

I Elle est holomorphe: (zn)′ = nzn−1.

I On remarque que les images de deux complexes de meme module et d’argument

differant de2π

nsont confondues puisque

(eιk2πn )n = eιk2π = 1, ∀k ∈ Z.

Ainsi, la fonction inverse n’est pas clairement definie:

z = Z1n ⇔ r = ρ

1n , θ =

ϕ

n+k2π

n⇔ z ∈

˘zk = ρ

1n eι

ϕn eιk

2πn , k = 1, . . . , n

¯.

La notation Z1n ne designe pas un seul et unique nombre mais n nombres

distincts. Pour cette raison la fonction Z1n est dite multiforme.










differant de2π


(eιk2πn )n = eιk2π = 1, ∀k ∈ Z.


z = Z1n ⇔ r = ρ

1n , θ =

ϕ

n+k2π

n⇔ z ∈

˘zk = ρ

1n eι

ϕn eιk

2πn , k = 1, . . . , n

¯.












differant de2π


(eιk2πn )n = eιk2π = 1, ∀k ∈ Z.


z = Z1n ⇔ r = ρ

1n , θ =

ϕ

n+k2π

n⇔ z ∈

˘zk = ρ

1n eι

ϕn eιk

2πn , k = 1, . . . , n

¯.












differant de2π


(eιk2πn )n = eιk2π = 1, ∀k ∈ Z.


z = Z1n ⇔ r = ρ

1n , θ =

ϕ

n+k2π

n⇔ z ∈

˘zk = ρ

1n eι

ϕn eιk

2πn , k = 1, . . . , n

¯.












differant de2π


(eιk2πn )n = eιk2π = 1, ∀k ∈ Z.


z = Z1n ⇔ r = ρ

1n , θ =

ϕ

n+k2π

n⇔ z ∈

˘zk = ρ

1n eι

ϕn eιk

2πn , k = 1, . . . , n

¯.




La fonction exponentielle z 7→ Z = ez

Ici, Z = ex+ιy = exeιy = ex(cos y + ι sin y).

I L’exponentielle est holomorphe: (ez)′ = ez .

I La fonction exponentielle est periodique: ez+ι2nπ = ez , ∀n ∈ N.I Elle permet de generaliser les fonctions trigonometriques:

sin z =1

2ι(eιz − e−ιz) et cos z =

1

2(eιz + e−ιz).

Les relations trigo ordinaires se generalisent (ex. la fonction tan, la periodicite,

etc.), mais pas toutes (ex. |sin x | ≤ 1, x ∈ R)!I On definit les fonctions hyperboliques:

sinh z =1

2(ez − e−z) et cosh z =

1

2(ez + e−z).

I en passant de z a ιz , on transite des fonctions circulaires aux hyperboliques:

sin ιz = ι sinh z, cosh ιz = cosh z, tan ιz = ι tan z.






sin z =1


1

2(eιz + e−ιz).



sinh z =1


1

2(ez + e−z).








sin z =1


1

2(eιz + e−ιz).



sinh z =1


1

2(ez + e−z).








sin z =1


1

2(eιz + e−ιz).



sinh z =1


1

2(ez + e−z).








sin z =1


1

2(eιz + e−ιz).



sinh z =1


1

2(ez + e−z).




La fonction logarithme z 7→ Z = ln z, z 6= 0Par definition ∀Z ∈ C, z = eZ ∈ C ⇔ ∀z ∈ C, Z = ln z ∈ C.I La fonction logarithme est multiforme.

ln z = ln(reιθ) = ln r + ln eιθ = ln r + ιθ, r 6= 0,

tout comme pour la fonction racine caree (par ex.):

I O est un point de branchement, et il faut choisir une coupure.I Determination principale:

Ln z = Ln |z |+ ιArg z, −π < Arg z ≤ π.

I Le logarithme est holomorphe sur C\R− (par ex.) et (ln z)′ =1

z.

La fonction puissance generalisee z 7→ Z = zα, α ∈ CPar definition Z = zα = eα ln z .

I Cette fonction est multiforme: zα = rαeιαθeι2αkπ, k ∈ Z.I Une fois la determination fixee (cf. la coupure), cette fonction est holomorphe

dans C prive de cette coupure, et (zα)′ = αzα−1.








z.











z.











z.











z.











z.











z.





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