Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 1

On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction carrée. Rappeler l’expression algébrique de la fonction carrée. Rappeler le nom donné à la représentation graphique de la fonction carrée.

1. Placer A le point de la courbe

d’abscisse 1x .

2. Tracer la droite 1d passant par A et

par 0; 1B .

3. Tracer la droite

2d d’équation

2 3y x .

4. Tracer la droite 3d passant par A et

de coefficient directeur nul.

5. Tracer la droite 4d passant par A et

l’origine du repère.

6. Déterminer les équations des droites 1d , 3d et

4d .

7. Parmi les droites tracées, déterminer celle qui répond à l’idée intuitive de tangente ?

On a représenté ci-contre une portion de la courbe représentative de la fonction inverse. Rappeler l’expression algébrique de la fonction inverse. Rappeler le nom donné à la représentation graphique de la fonction inverse.

1. Placer A le point de la

courbe d’abscisse 2x .

2. Tracer la droite 1d passant

par le point 0;1B et le

point 4;0C . Déterminer

l’équation de cette droite.

3. La droite 1d correspond-elle

à l’idée intuitive de tangente ? Définition : le nombre dérivé d’une fonction en un point donné est le coefficient directeur de la tangente en ce point.

4. Déterminer le nombre dérivé de la fonction carré au point d’abscisse 1x .

5. Déterminer le nombre dérivé de la fonction inverse au point d’abscisse 2x .

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Activités Page 2

Le but de cette activité est de tracer à la règle la tangente à la courbe au point A, de proposer l’équation de cette droite puis de déterminer le nombre dérivé de la fonction tracée au point A.

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Activités Page 3

On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f tracée sur l’intervalle 3;3 .

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction.

2. Placer les points de la courbe A , B , C , D et E d’abscisses respectives 2x , 1x ,

0x , 1x , 2x .

3. Tracer les tangentes 1d ,

2d , 3d , 4d et 5d à la courbe aux points A , B , C , D et E .

4. Déterminer les nombres dérivés de cette fonction aux points A , B , C , D et E .

5. Déterminer l’intervalle sur lequel le nombre dérivé est positif.

6. Déterminer l’intervalle sur lequel le nombre dérivé est négatif.

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Activités Page 4

On considère une fonction f définie sur l’intervalle 4;14I . Sa représentation graphique

dans un repère orthonormé est la courbe C donnée ci-dessous. Elle passe par les points

7;2A 4;4D et 10;0E .

Les tangentes à la courbe aux points D et E sont parallèles à l’axe des abscisses. La tangente à la

courbe au point A est la droite qui passe par le point 10; 1B .

1. Déterminer algébriquement l’équation de la droite tangente à la courbe au point A .

2. Tracer la droite tangente à la courbe au point d’abscisse 13x .

Déterminer algébriquement l’équation de la droite .

3. Déterminer 4f , 7f , 10f et 13f .

4. Résoudre graphiquement les équations 4f x , 2f x , 0f x et 1f x .

5. Résoudre graphiquement les inéquations 2f x , 4f x .

6. Résoudre graphiquement l’inéquation 0f x .

7. Résoudre graphiquement l’inéquation 0f x .

8. Résoudre graphiquement l’inéquation 0f x .

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Activités Page 5

Définition : Le taux d’accroissement de la fonction f entre a et x est le nombre ( ) ( )f x f a

x a

.

Déterminer le taux d’accroissement de la consommation d’oxygène entre le moment où la personne entre dans le bain froid et le moment où elle en ressort. Sauriez-vous interpréter le résultat obtenu ? Déterminer le taux d’accroissement de la consommation d’oxygène entre le moment où la personne réintègre le bain chaud et le moment où elle retrouve sa consommation d’oxygène initiale. Sauriez-vous interpréter le résultat obtenu ?

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Activités Page 6

Nombre dérivé de la fonction carrée en un point

On considère la fonction carrée 2f x x . On a tracé ci-dessous sa représentation graphique

dans un repère orthonormé. Les points A, B, C, D et E sont les points de la courbe d’abscisses respectives –2, –1, 0, 1 et 2.

1. Calculer le taux d’accroissement de la fonction carrée en a .

2. Simplifier l’écriture de cette expression.

3. Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a .

4. En déduire le nombre dérivé de la fonction carré en a noté f a .

5. Placer sur le graphe les points A, B, C, D et E. 6. Déterminer les nombres dérivés de la fonction carrée en chacun de ces points.

7. Tracer de manière précise la tangente à la courbe en ces cinq points.

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Activités Page 7

Nombre dérivé de la fonction cube en un point

On considère la fonction cube définie

par 3f x x . On a tracé ci-contre

une partie de sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

Les points A , B , C et D sont les points de la courbe d’abscisses

respectives 1 , 0 , 1 et 2 .

Soit a un réel quelconque désignant l’abscisse d’un point quelconque situé sur la courbe.

1. Calculer le taux

d’accroissement de la fonction cube entre a et x .

2. Déterminer l’expression

simplifiée du taux d’accroissement. Tous les détails de calcul seront indiqués.

3. Déterminer la limite de cette

expression simplifiée lorsque x tend vers a .

4. En déduire le nombre dérivé

de la fonction cube en a noté

f a .

5. Placer sur le graphique les

quatre points A , B , C et D . Déterminer les nombres dérivés de la fonction cube en chacun de ces quatre points.

6. Tracer de manière précise les tangentes à la courbe en ces quatre points (vous utiliserez de la couleur et donnerez une longueur suffisante aux tangentes tracées pour que le correcteur sache évaluer la précision de vos tracés). Quelle remarque faites-vous sur le

couple des tangentes AT et CT à la courbe respectivement aux points A et C.

Travail algébrique nécessaire pour simplifier le taux d’accroissement

Démontrer que pour tout réel a et b on a l’égalité suivante : 3 3 2 2a b a b a ab b .

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Activités Page 8

Nombre dérivé de la fonction inverse en un point

On considère la fonction inverse 1

g xx

. On tracé ci-dessous sa représentation graphique

dans un repère orthonormé. Les points A, B, C sont les points de la courbe d’abscisses

respectives –1, 12 et 2.

On suppose que a est différent de 0

1. Calculer le taux d’accroissement de la fonction inverse en a . 2. Simplifier l’écriture de cette expression.

3. Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a .

4. En déduire le nombre dérivé de la fonction inverse en a noté g a .

5. Placer sur le graphe les points A, B, et C. 6. Déterminer les nombres dérivés de la fonction inverse en chacun de ces points.

7. Tracer de manière précise la tangente à la courbe en ces trois points.

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Activités Page 9

Nombre dérivé de la fonction racine en un point

On considère la fonction racine h x x . On tracé ci-dessous sa représentation graphique

dans un repère orthonormé. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe d’abscisses respectives 0, 1, 4 et 9.

On suppose que a est différent de 0 et positif

1. Calculer le taux d’accroissement de la fonction racine en a . 2. Simplifier l’écriture de cette expression.

Lorsqu’on manipule des racines, les simplifications d’expressions nécessitent le recours à la

quantité conjuguée. La quantité conjuguée de x a est x a . Le produit des deux

quantités : x a x a x a .

3. Déterminer la limite de cette expression lorsque x tend vers a .

4. En déduire le nombre dérivé de la fonction racine en a noté h a .

Travail supplémentaire – Nombre dérivé de la fonction puissance 4 en un point

1. Démontrer que pour tout réel a et b on a : 4 4 3 2 2 3a b a b a a b ab b .

2. Calculer le taux d’accroissement de la fonction 4h x x entre a et x .

3. Déterminer l’expression simplifiée du taux d’accroissement.

4. Déterminer la limite de cette expression simplifiée lorsque x tend vers a .

5. En déduire le nombre dérivé en a de la fonction puissance 4 noté h a .

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Activités Page 10

Fonctions usuelles

1. Rappeler la définition du nombre dérivé d’une fonction f au point d’abscisse a .

2. Que représente graphiquement ce nombre ? Comment se note-t-il ?

3. Quel est le nombre dérivé d’une fonction constante ? 4. Quel est le nombre dérivé de la fonction identité ?

5. Quel est le nombre dérivé de la fonction carré ?

6. Quel est le nombre dérivé de la fonction cube ?

Opérations usuelles

7. On considère la fonction f définie par 2 3f x x x . Déterminer le nombre dérivé de

la fonction f au point d’abscisse a . Quelle remarque peut-on faire ?

8. On considère la fonction h définie par 2g x x x . Déterminer le nombre dérivé de

la fonction g au point d’abscisse a . Quelle remarque peut-on faire ?

9. On considère la fonction g définie par 2h x k x où k est une constante

quelconque. Déterminer le nombre dérivé de la fonction h au point d’abscisse a . Quelle remarque peut-on faire ?

Tableau récapitulatif

Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les dérivées

f x k f u v

f x x f u v

nf x x f k u

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Activités Page 11

Situation 1 Calculer la dérivée et fresser le tableau de signe de la dérivée.

2 2 3f x x x

Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Situation 2 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée.

2 6f x x x

Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Situation 3 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée de la fonction.

3 3f x x x

Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Situation 4 Calculer la dérivée et dresser le tableau de signe de la dérivée de la fonction.

2 33f x x x

Dresser le tableau de variation de la fonction à partir de sa représentation graphique.

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 12

Etude d’une fonction (1)

La fonction f est définie sur l’intervalle 1;3I par la formule : 3 23f x x x .

On effectue dans cet exercice « l’étude de la fonction f sur l’intervalle I »

1. Calculer la dérivée f x . Montrer que 3 2f x x x .

2. Etudier, à l’aide d’un tableau, le signe de la dérivée.

3. En déduire les variations de la fonction

Vous ferez figurer les valeurs aux extrémités des flèches de variations.

x

f x

f x

Etude d’une fonction (2)

La fonction g est définie sur l’intervalle 2;2I par la formule : 31

3g x x x .

On effectue dans cet exercice « l’étude de la fonction g sur l’intervalle I ».

1. Calculer la dérivée g x . Montrer que 1 1g x x x .

2. Etudier, à l’aide d’un tableau, le signe de la dérivée.

3. En déduire les variations de la fonction

Vous ferez figurer les valeurs aux extrémités des flèches de variations.

x

g x

g x

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 13

Associer une fonction à sa dérivée

Les courbes 1, 2 et 3 sont les courbes représentatives de trois fonctions f , g et h et les courbes

A, B et C représentent leurs fonctions dérivées f , g et h . Dresser les tableaux de variations

des trois fonctions f , g et h . Dresser les tableaux de signe des trois courbes A, B et C.

Associer à chaque fonction sa dérivée.

Les trois fonctions

Les trois dérivées

Recette et coûts de production

Une entreprise fabrique x dizaines de machines chaque jour.

Le nombre x est compris entre 0 et 12 (inclus).

La recette, en euros, qu’elle réalise chaque jour, est donnée par 2 3180 15f x x x .

Le montant des frais de fonctionnement quotidiens est donnée par 180 1200g x x .

Etude de la recette

Calculer f x . Etudier dans un tableau le signe de f x sur ’intervalle 0;12 . En déduire les

variations de la fonction f sur l’intervalle 0;12 .

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 14

Etude des frais de fonctionnement

Soit D la droite représentant la fonction g . Tracer D sur le même graphique que la courbe

C . Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’entreprise réalise un bénéfice. Justifier

graphiquement votre réponse. Etude du bénéfice

On appelle h la fonction définie par h x f x g x .

Déterminer l’expression algébrique de la fonction h . Calculer h x . Résoudre algébriquement

l’équation 0h x . Les solutions seront arrondies au dixième près. Etudier les variations de la

fonction h sur l’intervalle 0;12 . Caractériser les extremums locaux de la fonction h sur 0;12

Combien de machines l’entreprise doit-elle produire et vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ? Matérialiser graphiquement le bénéfice maximal dans le repère.

Courbe représentative de la fonction f

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 15

Recette et coûts de production Une entreprise fabrique des jouets qu’elle vend par lots. La fabrication peur varier entre 0 et 18 lots. On appelle x le nombre de lots fabriqués et vendus par l’entreprise.

Le coût de fabrication en euros d’un nombre x de lots, est donné par la fonction f

définie par 3 24 96 576 100f x x x x , dont on a tracé ci-dessous la courbe

représentative C .

Chaque lot fabriqué est vendu 125 euros. La recette est donc donnée par la fonction g

définie par 125g x x .

Etude des coûts de fabrication

1. Calculer f x . Montrer que 12 4 12f x x x .

2. Etudier le signe de f x pour tout x de 0;18 et en déduire les variations de f .

Etude de la recette

1. Tracer la droite D d’équation 125y x dans le même repère que la courbe C .

2. Sachant que l’entreprise ne vend que des nombres entiers de lots de jouets, déterminer

graphiquement l’intervalle sur lequel l’entreprise réalise un bénéfice. Justifier la réponse.

Etude du bénéfice

On considère la fonction h définie par :

h x g x f x .

1. Déterminer h x .

2. Calculer h x .

3. Etudier les variations de la fonction h

sur l’intervalle 0;18 .

4. Caractériser les extremums locaux de la

fonction h .

5. Que représente la fonction h étudiée dans cette partie ?

6. Que nous apprend l’étude de cette

fonction ?

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 16

Recette et coûts de production – Suite Un fabricant de pièces de fonderies réalise une production mensuelle de x centaines de pièces

(avec 0 10x , c'est-à-dire qu’elle en produit entre 0 et 1000 par mois). Le coût total de

production, exprimé en milliers d’euros, est donné par : 3 212 60C x x x x .

Le prix du marché des pièces de fonderies soit égal à 28000 euros pour 100 pièces vendues. La

recette est donc donnée par : 28R x x . Le bénéfice est donné par B x R x C x .

1. Tracer sur le graphique la droite D d’équation 28y x . Déterminer graphiquement pour

quelles quantités de pièces produites et vendues l’entreprise réalise un bénéfice.

2. Calculer B x . Etudier les variations de la fonction B sur l’intervalle 0;10 . En déduire

à l’unité près, la quantité de pièces produites et vendues pour laquelle le bénéfice réalisé est maximal. Matérialisez graphiquement ce bénéfice maximal dans le repère.

Courbe représentative des coûts de production

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 17

Exercice 1 – Pour réviser…

Soit f une fonction définie et dérivable sur IR. On

note f la fonction dérivée de f . On donne ci-

dessous, en bas de la page, la courbe fC représentant

la fonction f .

La courbe fC coupe l'axe des abscisses au point

2;0A et lui est tangente au point B d'abscisse 6.

La tangente à la courbe au point A passe par le point

3;0M . La courbe fC

admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 0.

1. Lire 0f

et 6f

.

2. Déterminer par un calcul 2f

.

3. Sachant que

32

4f

, tracer la tangente à la courbe au point D.

4. Une des trois courbes représentées ci-contre est la représentation graphique de la fonction

dérivée f . Laquelle ? Justifier votre réponse.

Vdouine – Première ES – Chapitre 5 – Dérivation partie 1

Activités Page 18

Exercice 2 – Pour réviser…

Soit C la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle 0;15

par :

3 212 15 81

3C x x x x . La fonction C modélise le coût total de production, exprimé

en milliers d'euros, de x milliers d'articles fabriqués. La courbe TC représentative de la

fonction C est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.

On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 60 €. On note R x la recette

générée par la production et la vente de x milliers d'articles. Chaque article produit est vendu au

prix de 60 € d'où 60R x x .

1. Dans le repère précédent, tracer la courbe représentative de la fonction recette.

Déterminer graphiquement les valeurs arrondies au millier près des bornes de l'intervalle

dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.

Le bénéfice est la fonction B définie par B x R x C x .

2. Calculer B x . Étudier les variations de la fonction B : pour cela calculer B x

,

étudier son signe et en déduire les variations de B . En déduire la production pour

laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le montant en euro de ce bénéfice

maximal ? Matérialiser ce bénéfice maximal dans le repère proposé ci-dessus.