Géométrie Espace 2nde

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Géométrie dans l’espace

I. Rappels de collège

A. Formumaire

1. Hauteurs

Définition

Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle.

Le point d'intersection d'une hauteur et d'un côté s'appelle le pied de la hauteur.

Propriété

Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle.

O est l’orthocentre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Aire (ABC) = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟

2 =

𝐵𝐶 × 𝐴𝐻

2

2. Médianes

TP 2 p 250

Définition

Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Propriété

Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle le centre de gravité du

triangle. Le centre de gravité est situé au tiers de chaque médiane. GA = 2 GA’ GA’ = 1

3 AA’

Exercice n°121 p 264

3. Médiatrices des côtés

Définition

La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce

segment.

Propriété

La médiatrice est l’axe de symétrie du segment.

Théorème

Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB

Si MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB]

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Propriété

Les 3 médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Le point de concours

s’appelle le centre du cercle circonscrit au triangle.

4. Bissectrices des angles

Définition

La bissectrice d’un angle 𝑥𝑂�̂� est l’axe de symétrie de l’angle 𝑥𝑂�̂�.

Propriété

La bissectrice de l’angle 𝑥𝑂�̂� partage cet angle en deux angles de même mesure.

Tout point de la bissectrice de 𝑥𝑂�̂� est équidistant des côtés [Ox) et [Oy).

Propriété

Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes. Le point de

concours s’appelle le centre du cercle inscrit dans le triangle.

B. Triangle rectangle

1. Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en A alors on a BC² = AB² + AC²

Théorème de Pythagore (réciproque)

Si BC² = AB² + AC² alors ABC est un triangle rectangle en A.

Activité 2 p 241

2. Cercle circonscrit

Propriété

Si le triangle ABC est rectangle en A alors le centre du cercle circonscrit au

triangle ABC est le milieu du segment [BC].

CK = 1

2 AB

Propriété réciproque

Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alors ABC est

rectangle en A.

3. Trigonométrie

Propriété

Si le triangle ABC est rectangle en A alors

cos �̂� = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 =

𝐴𝐵

𝐵𝐶 sin �̂� =

𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 =

𝐴𝐶

𝐵𝐶 tan �̂� =

𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 =

𝐴𝐶

𝐴𝐵

C. Théorème de Thalès

1. Enoncé

Théorème de Thalès

Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A.

Si (BC) et (MN) sont parallèles, alors AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels

𝐴𝑀

𝐴𝐵=

𝐴𝑁

𝐴𝐶=

𝑀𝑁

𝐵𝐶

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2. Réciproque

Théorème de Thalès (réciproque)

Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A.

Si 𝐴𝑀

𝐴𝐵=

𝐴𝑁

𝐴𝐶 et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre alors (BC) et (MN)

sont parallèles.

3. Théorème des milieux

Théorème

Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux de [AB] et [AC], alors (IJ) //

(BC) et IJ = 1

2 BC

Théorème

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB], alors la parallèle à (BC)

passant par I coupe [AC] en son milieu.

Exercices n°20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 26 – 27 – 28 – 30 p 253 à 255

Exercice n°122 p 264

D. Angles

1. Angles de même mesure

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

Propriété

Soient deux droites d et d’ sécantes en A.

Deux angles au sommet ont même mesure.

Propriété

Soient deux droites d et d’ parallèles et (AB) une droite sécantes aux droites d et d’.

Les angles alternes-internes déterminés par deux droites parallèles et une droite

sécante ont la même mesure.

2. Angle et cercle

Propriété

Soit O le centre du cercle passant par A et B. soit M un point de ce cercle.

Dans le cercle, l’angle au centre mesure le double de chaque angle inscrit qui

intercepte le même arc.

Propriété

Soient M et N deux points d’un cercle passant par A et B.

Dans le cercle, les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même

mesure.

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II. Représentations planes de solides

Pour reprendre contact : n°1 à 4 p 266

A. Patrons

B. Perspective cavalière

C. Rappels sur les périmètres et volumes

Activités n°1 – 2 p 267

Exercices : n°15 – 17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22 – 23 p 279 – 280

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III. Droites et plans de l’espace

Une droite peut être déterminée dans l’espace par deux points distincts.

Un plan peut être déterminé par trois points non alignés A, B et C. On note (ABC) le plan

qu’ils déterminent.

Si deux points A et B appartiennent à un plan, tout point de la droite (AB) appartient au plan

: on dit que la droite (AB) est incluse (ou) contenue dans le plan et on note (AB)

Dans un plan de l’espace, on peut appliquer les propriétés de géométrie plane.

A. Position relative de deux droites (admise)

B. Position relative de deux plans (admise)

Notation : (ABC) ∩ (EFC) = (DC) signifie que les plans (ABC) et (EFC) ont pour intersection la droite

(DC). ∩ se lit « inter ».

C. Position relative d’une droite et d’un plan (admise)

Notation : (AC) (ABC) signifie que la droite (AC) est incluse (contenue) dans le plan (ABC)

Exercices : n°37 – 38 – 39 – 40 p 282

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IV. Détermination d’un plan

Un plan peut être déterminé par :

une droite 𝑑 et un point A n’appartenant pas à 𝑑 ;

deux droites sécantes ;

deux droites parallèles non confondues.

Exemple

Le plan (ACG) représenté ci-contre peut être aussi défini comme le plan :

passant par A et contenant (CG)

contenant les droites sécantes (EG) et (GC)

contenant les droites parallèles (et distinctes) (EA) et (GC)

V. Parallélisme et propriétés

Exercices : n°42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 50 p 282 – 283

Exercices : n°54 – 57 p 283