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GEOMETRIE ET PARADIGMES GEOMETRIQUES · PDF fileGEOMETRIE ET PARADIGMES GEOMETRIQUES Catherine HüUDEMENT et Alain KUZNIAK, IUFM de Haute-Normandie, IREM de Rouen, DIDIREM de l'Université

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GEOMETRIE ET PARADIGMES GEOMETRIQUES

Catherine HUDEMENT et Alain KUZNIAK, IUFM de Haute-Normandie, IREM de Rouen,

DIDIREM de l'Universit Paris 7

Rsmn. Le propos de cet article est de rflchir sur l'enseignement de la gomtrie lmentaire et ceci deux niveaux. Le premier prend en compte la formation des matres, qui nous semble essentielle dans le dveloppement d'une conception cohrente de l'enseignement de la gomtrie. Le deuxime niveau, moins trait ici, s'intresse la liaison entre la gomtrie de l'cole lmentaire et celle du collge.

1. Un exemple introductif : la cloche de Rouen

Ce problme a t donn au concours de recrutement des Professeurs d'Ecole de Rouen en 1998. Nous l'analysons pour dgager quelques malentendus autour de la gomtrie et introduire notre approche de cet enseignement partir de champs paradigmatiques diffrents.

Enonc. La cloche On souhaite agrandir la figure ci-dessous (ABCD) en (A'B'C'D') telle que A'H' mesure le double de AB.

/

li / G ! /

1 /

l.~i1/ y../i 1/

'

Effectuez cet agrandissement la rgle non gradue et au compas, en laissant apparents les traits de construction.

petit x n 51, pp. 5 21,1998 - 1999

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Des lves affinnent que l'aire de la figure obtenue est 4 fois plus grande que celle de la figure initiale. Ont-ils raison? Justifiez votre rponse. S'ils ont tort, trouvez le rapport exact entre les deux aires.

Le dessin fourni aux tudiants a t ralis avec Cabri-Gomtre et les candidats doivent en raliser un agrandissement la rgle non gradue et au compas.

Sur l'analyse de la figure

L'nonc demande une analyse du dessin de type perceptif. Cette analyse fait appel l'intuition dans son sens premier (apprhension d'un objet avec la vue). Cette intuition est mise en relation avec une premire typologie des objets gomtriques dpendante des connaissances de la personne qui analyse la figure.

Il faut noter qu'il n'y a, dans ce sujet de concours, aucune hypothse explicitement fournie, c'est au candidat de dgager celles qui lui seront utiles pour une reproduction une autre chelle.

Essayons de formuler un certain nombre d'hypothses. Nous dsignons par J, J, K et L les points suivants, non inscrits sur la figure originale.

~----+:H;;-----7C.

i i

HIA est sur la droite (BI) et sur la droite (CJ). H2 H est le milieu de [Be]. H3 Les angles IBC et JCB sont gaux 60. H4 Les angles BIC et CJB sont des angles droits. H5 L'arc Il est un arc du cercle de centre K et de rayon KI H6 Le cercle de diamtre AL est tangent en L l'arc Il H7 BC est un arc de cercle de centre A et de rayon AB.

Sur la validation des hypothses

Une fois ces hypothses dgages, se pose la question de leur validation. Celle-ci va dpendre du matriel autoris et des connaissances mobilises par l'observateur. Nous pouvons distinguer deux niveaux qui vont renvoyer des conceptions de la gomtrie diffrentes :

- le premier relve d'un champ d'exprience li au monde sensible avec des outils de mesurage; - le second renvoie au monde plus abstrait des figures gomtriques avec leurs proprits mathmatiques.

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Dans le premier monde, celui de l'espace sensible, les outils privilgis vont tre la rgle qui valide en particulier les alignements, l'querre (avec ses angles de 90, ventuellement de 30 et 60) qui permet de confIrmer les assertions relatives aux mesures des angles et enfIn le compas pour vrifIer les affIrmations sur les arcs de cercle et les galits de longueurs. L'utilisation du compas permet de constater que A n'est pas le centre de l'arc BC : en effet l'arc BC est centr sur le milieu du segment [AL].

Dans le monde des fIgures, certaines confIgurations apparaissent, comme le triangle quilatral ABC. Le rle jou par la rgle non gradue et le compas est fondamental. En effet, l'cole, le nombre de fIgures constructibles reste limit. Dans le cas de la fIgure donne au concours, l'indication des outils utiliss (et une apprciation de la grandeur) conduit penser que les angles mesurent 90 et 60 et qu'il s'agit bien d'arcs de cercle.

Sur la construction de la figure

Cette construction dpend des outils utiliss. On peut conserver la trousse outil qui a servi vrifier les hypothses

d'alignement et d'cart angulaire. Dans ce cas, le rle jou par l'angle de 60 de l'querre est fondamental. Il suffIt en effet de tracer (AH), puis la droite perpendiculaire en H (AH). EnfIn par glissement de l'angle 60 de cette querre, on obtient le triangle quilatral.

Si toutes les oprations se sont effectues dans le cadre de l'observation du dessin, puis de sa validation avec des instruments qui servent ensuite la construction, le problme est rsolu dans un paradigme gomtrique homogne, o l'espace mis en jeu et les outils utiliss participent du monde sensible des objets matriels. Ce premier cadre, o jouent le raisonnement, l'exprience et l'intuition, constituera la gomtrie lmentaire naturelle (gomtrie 1).

Mais l'nonc demande une construction uniquement la rgle non gradue et au compas. Dans ce cas, le raisonnement sur le dessin ne suffIt plus et il est ncessaire de prlever des proprits de la fIgure. Il faut ensuite relier ces proprits avec des constructions standards d'objets gomtriques particuliers. Suivant les constructions choisies, il peut tre ncessaire d'appliquer le thorme de Thals ou les proprits des mdianes d'un triangle quilatral.

Cette fois, le champ paradigmatique mis en jeu change et une nouvelle gomtrie apparat qui privilgie d'autres modes de raisonnement, d'explience et d'intuition. Il s'agit de ce que nous appellerons la gomtrie lmentaire axiomatique (gomtrie II).

Dans le cadre du sujet prsent, le changement de paradigme n'est pas explicite et est source de malentendu. Le sujet est donn dans la gomtrie l, mais les attentes des correcteurs se situent dans la gomtrie II. Il nous semble qu'il y a l une source permanente de problmes lis une non-explicitation du cadre gomtrique dans lequel se placer.

Avant de tirer les consquences de cette affIrmation, nous allons prsenter plus en dtail les diffrentes gomtries que nous distinguons et le cadre thorique qui est la base de notre rflexion.

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2. Un exemple de cadre conceptuel

Dans la scolarit, de la maternelle l'enseignement suprieur, force est de constater que le mot gomtrie ne recouvre pas le mme type d'activits, ni de raisonnement. Les figures n'ont pas un statut identique, puisqu'elles peuvent disparatre dans certaines conceptions de la gomtrie. Le lien avec l'espace physique s'amenuise pour faire la place une gomtrie plus abstraite.

Il nous semble qu'une grande pmiie de la confusion qui rgne dans l'enseignement autour de la gomtrie rsulte de la diversit de points de vue qui renvoient finalement des conceptions et des approches mthodologiques diffrentes. Or, dans une perspective de formation d'enseignants, il est ncessaire de s'interroger : pourquoi faire de la gomtrie? et pourquoi faire faire de la gomtrie? . Cela suppose un dtour pistmologique, mais ce dtour peut envisager de multiples chemins. Dans le cadre de notre tude, qui concerne des enseignants apprenant les mathmatiques pour les enseigner ensuite des lves, il nous semble important de privilgier les approches pistmologiques qui valorisent la relation entre le sujet et l'objet de connaissances.

2.1 Intuition, exprience et dduction l

Nous avons choisi comme premire approche des problmes poss prcdemment d'utiliser les travaux de Ferdinand Gonseth en les interprtant en fonction de notre position de formateur d'enseignants2 .

Ferdinand Gonseth est n en 1890 dans le Jura bernois et est mort en 1974 Lausanne. C'est un mathmaticien, contemporain de Piaget (1896-1980). Il a t professeur l'Ecole Polytechnique de Zurich; il a aussi form des enseignants, ce qui a donn naissance son ouvrage Les fondements des mathmatiques (1926, ditions Blanchard)3.

Gonseth intgre ses travaux sur la gomtrie dans le cadre plus vaste d'une rflexion sur la dmarche scientifique. Son approche est dialectique; elle vise mieux comprendre l'effort qui constmit la gomtrie dans son rapport l'espace et au monde sensible. Pour cela, il dgage diffrentes synthses dialectiques de la gomtrie qui s'organisent prcisment autour de trois piliers essentiels: intuition, exprience et dduction.

Dans la perspective pdagogique qui est la ntre, il importe de bien comprendre l'volution et les rapports existants entre gomtrie et ralit. Pour un sujet confront l'apprentissage de la gomtrie, cette articulation passe par une meilleure dfinition des trois modes de connaissances de l'espace que constituent l'intuition, l'exprience et la dduction.

Nous allons maintenant prciser le sens que nous attribuons ces trois telmes en revisitant ces expressions. Puis nous dvelopperons notre propre synthse qui rsulte d'une adaptation notre sujet d'tude des travaux de Gonseth.

1 Le sens particulier que nous attribuons ces termes sera prcis par la suite. 2 rencontrant sur ce point l'quipe genevoise de F.Conne et F.Ruhal. 3 Autres crits: Les mathmatiques et la ralit (1936, ditions Blanchard). La gomtrie et le problme de l'espace (1945-55), Editions du Griffon, Lausanne)

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2.1.1. L'intuition

Prendre en compte l'intuition nous semble fondamental dans l'approche de la gomtrie. Mais le premier embarras que l'on prouve en mettant l'accent sur l'intuition provient de la difficult dfinir prcisment ce qu'englobe ce terme. A moins d'admettre que tout le monde a une intuition de ce qu'est l'intuition. Mais il nous importe ici d'tre opratoire.

L'approche de l'intuition relve, sans doute, de diffrents champs de connaissance comme la logique ou la psychologie. Nous suivrons Gonseth lorsqu'il

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