[GéométriX] Exercices de Brevet

GomtriX

Exercices de dmonstrationsExtraits de lexamen du Brevet des Collges

Adaptation des exercices au format GomtriX : Rgis Deleuze

Irem de Reims

Adresse Web : http ://reims.univ-irem.fr/docgeometrix/index.htm

C O M M O N S D E E D S

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propos

GomtriX est un logiciel gratuitement tlchargeable 1 ladresse :

http ://geometrix.free.fr/site/logiciels.php

GomtriX est actuellement le seul logiciel capable daccompagner un lve dans la rsolution compltedun exercice de gomtrie, de la construction de la figure la rdaction de la dmonstration. chaque tape de laconstruction ou de la mise en place des diffrents pas de raisonnement, le logiciel se montre capable dintercepterles erreurs des lves et de proposer, le cas chant, une aide approprie.

Diffrents usages de ce formidable outil peuvent senvisager : travail en autonomie la maison ou au seinde ltablissement scolaire, travail en salle informatique sous la direction de lenseignant, travail en classe envidoprojection pour conjecturer ou illustrer des proprits de cours ou encore pour corriger une dmonstrationprpare lavance.

Les fichiers proposs dans le cadre de ce document ont pour vocation premire dtre utiliss en autonomiepar les lves. Ces fichiers ont t conus dans loptique de permettre aux lves de pratiquer, laide du logiciel,les quelques proprits gomtriques les plus souvent mises en uvre lors de lexamen final du Diplme Nationalde Brevet. Cest pourquoi, parfois, les consignes des exercices ont t lgrement modifies de telle sorte quellve nait pas construire la figure avec le logiciel (ce sont les pas de raisonnement qui nous intressent ici).Cette approche prsente galement lavantage dautoriser lenseignant proposer ces exercices des lvesnayant jamais utilis un logiciel de construction gomtrique. En effet, seule la prise en main du module dedmonstration se rvle ncessaire. Lexprience prouve que les lves sapproprient en gnral trs rapidementlinterface de ce module, condition de consacrer quelques minutes, en pralable toute activit, pour en expliquerle fonctionnement. Lanimation 2 de la page suivante prsente les principales fonctionnalits du module dedmonstration.

Chaque exercice est fourni avec sa correction brute au format GomtriX. Lenseignant peut ainsi visualiserrapidement le nombre dtapes ncessaires la rsolution du problme et jauger la difficult de lexercice avant dechoisir de le proposer ses lves. Cette correction peut ensuite tre imprime afin de garder une trace de lactiviteffectue sur le logiciel. On peut galement envisager un travail de rcriture de la dmonstration afin daboutir une forme plus usuelle de la rdaction. La correction fournie, permet galement un lve travaillant en autonomiesur les exercices de ce document, de ne pas rester bloqu sur une dmonstration ; il faut bien videmment fairepreuve dhonntet et ne pas se prcipiter sur la correction avant mme davoir pass du temps rflchir auproblme pos !

Mme si GomtriX dispose dun module permettant dautomatiser la gnration dexercices de dmons-

1. GomtriX tant un logiciel en constante volution, il est vivement recommand de le mettre rgulirement jour sur votre systme.2. Cette animation est galement disponible en ligne : http ://geometrix.free.fr/gmx_videos/exo_dem_eleve_01.htm

Cliquez dans ce cadre pour lancer lanimation.

Vous devez disposer dun lecteur PDF rcent pour bnficier ducontenu multimdia insr ici :

Adobe Reader 9

Foxit Reader 3

Si toutefois vous navez pas la possibilit dinstaller un tel lecteur,vous pouvez cliquer sur limage ci-dessous qui lancera lanimationdans votre navigateur Internet :

Animation n 1 : prise en main du module de dmonstration

tration, le concepteur nen reste pas moins libre dans la personnalisation de lexercice. Les exercices proposs travers ce document obissent certains choix pdagogiques (critiquables !), en particulier :

Lorsque plusieurs cheminements sont possibles, seul le chemin le plus direct (et souvent le plus vident) at conserv. de rares exceptions cependant, les lves ont la possibilit dutiliser la mthode de leur choix(par exemple, choix de la formule trigonomtrique employer pour dterminer la mesure dun angle, lorsqueles longueurs des trois cts du triangle rectangle sont connues).

Les diffrentes transformations algbriques appliquer une expression dans le but daboutir un rsultatnumrique doivent tre explicites par llve (par exemple, partir de lexpression AB = AM +MB llvedevra mener un pas de raisonnement pour dduire AM = AB MB).

Il nest pas ncessaire de prciser les droites concourantes prises en compte lors de lutilisation du thormede THALS ou de sa rciproque.

Les rciproques des thormes de THALS et PYTHAGORE ncessitent quatre pas de raisonnement : calculde la premire expression, calcul de la seconde expression, identification des expressions gales et enfinapplication de la proprit.

La commande Expliquer du module lve est dsactive dans tous les exercices (cette commande permetnormalement llve de se voir montrer par le logiciel toutes les possibilits dutilisation, en contexte, de largle slectionne).

demo-eleve.swfMedia File (application/x-shockwave-flash)

Ce document recourt aux fonctionnalits offertes par le formatPDF (Portable Document Format) afin de permettre au lecteur deretrouver rapidement un exercice et de le lancer avec GomtriX. Laplupart des liens sont actifs et, si vous cliquez en particulier sur lenom dun fichier GomtriX, celui-ci souvrira automatiquement dansle logiciel 3. Pour cela, il est cependant ncessaire dautoriser votrelecteur PDF accder des liens externes au document. En gnral,une fentre comparable la capture dcran ci-contre apparat quandvous essayez douvrir un lien externe.

Il vous suffit alors de cocher la case Ne plus afficher ce message puis de cliquer sur le bouton Ouvrir .Pour que votre lecteur PDF trouve les fichiers lis ce document, il est ncessaire de respecter larborescence desdossiers fournie dans larchive au format zip que vous avez tlcharge. Si vous avez utilis la commande Extrairede votre logiciel darchivage 4, les fichiers ont d tre correctement copis, dans une structure semblable celle-ci :

En particulier, les fichiers dexercices au format GomtriX doivent tre situs dans le mme dossier que cedocument au format PDF, et les corrections doivent appartenir un sous-dossier intitul Corrections .

Avertissement : Malgr tout le soin apport la conception des exercices, des erreurs peuvent subsister. Cesexercices nont, pour le moment, pas t tests de faon intensive, et il ne faut pas hsiter contacter lauteur([email protected]) pour lui signaler toute incohrence ou dysfonctionnement ou encore lui faire part de vosremarques.

3. condition, bien sr, que GomtriX soit correctement install sur votre systme.4. 7-zip est un logiciel libre et gratuit convenant parfaitement : http ://www.7-zip.org/.

Modifier un exercice

Lorsquon dsapprouve les choix pdagogiques effectus par le concepteur dun exercice, il vaut souventmieux repartir de zro, et crer un nouvel exercice que lon faonnera alors sa manire. Toutefois, il est possible, peu de frais, de modifier certains lments dun exercice dj existant. Nous naborderons, ici, que quelquesmodifications simples et portant uniquement sur la partie dmonstration.

Avant toute chose, il convient de charger lexercice en mode professeur. Il faut donc lancer GomtriX dansce mode afin davoir accs aux commandes spcifiques la cration et la modification dun fichier dexercice. Silinstallation du logiciel sest correctement droule, une commande de lancement GomtriX35 (professeur) doit tre prsente dans le menu Tous les programmes 5.

Une fois GomtriX lanc en mode professeur, on charge lexercice laide de la commande Fichier Professeur Charger un exercice (ou, touche). Puis, pour accder au module de dmonstration, on utilise lacommande Fichier Professeur Module de raisonnement automatique (ou, touche).

Dans le module de dmonstration, on distingue quatre onglets :

Dans longlet Hypothses , il est possible, par exemple, de supprimer une hypothse ou de la cacher ; moins de savoir exactement ce que lon fait, il est dconseill de modifier quoi que ce soit ici.

Longlet Buts affiche les diffrents chemins trouvs par GomtriX pour accder aux buts dmontrables.La seule modification simple permise ici, consiste autoriser ou non le logiciel montrer les emplois possiblesdes diffrentes rgles en mode lve.

Si la case Ne pas expliquer avant la fin de la dmonstration est coche, llve ne pourra utiliser lacommande Expliquer lorsquil slectionne une rgle.

5. On peut crer un raccourci en ajoutant le paramtre prof au chemin menant vers lexcutable. La cible du raccourci aura ainsi laforme : "C:\Program Files\Geometrix35\geometrix.exe" prof

Cest dans longlet Rsolution Gomtrix que rside le cur de la dmonstration et cest dans cettepartie quil est possible de modifier a posteriori de nombreux lments 6. On y dcouvre lensemble des rglesutilises par GomtriX dans la rsolution du problme, chaque rgle tant instancie.

Chacune des rgles se prsente sous la forme :

( # Numro [ Nom de la rgle ] nonc de la rgle . )

SI hypothse n 1ET hypothse n 2ALORS but !

Le numro de la rgle instancie doit tre unique. Il est normalement gnr automatiquement par Gom-triX, mais si on ajoute manuellement une rgle, il faut prendre garde utiliser un numro qui na pas encoreservi.

Le nom et lnonc de la rgle sont librement modifiables ; mais, si lon modifie lun de ces lments, il estalors ncessaire de modifier toutes les rgles utilisant le mme nom et le mme nonc, sans quoi le logicielconsidrera quil a faire des rgles diffrentes.

Il est impratif que la partie prcdemment dcrite soit encadre par ( # et . ) .

Derrire les mots-cls SI et ET doivent figurer des hypothses, tandis que le but dmontrer se situe entre lesmots-cls ALORS et !.

Longlet Base de thormes liste toutes les rgles utilisables par GomtriX. Un clic-droit sur un thormepermet de le copier dans le presse-papier afin de le coller simplement dans une rgle de longlet prcdent.

Les modifications qui suivent sont effectuer dans longlet Rsolution Gomtrix .

. Modifier la syntaxe dun thorme : on a dj vu quil est simple de modifier lnonc dun thorme : lasyntaxe est libre, il est seulement ncessaire de modifier toutes les occurrences du thorme de la mme faon

(en utilisant la technique du copier-coller on modifie rapidement toutes les occurrences ; le bouton permetaussi de remplacer du texte).Pour noter un angle, on utilise : ^ AMB qui produit AMB .On utilise le caractre tilde ~ pour noter une puissance : AB~2 produit AB2.

. Ajouter une rgle inerte : il arrive parfois que lon dsire ajouter des rgles inutiles la rsolution du problme

afin de compliquer la tche de llve. On utilise pour cela le bouton qui dclenche lapparition dune

fentre dans laquelle il reste choisir la rgle supplmentaire. On peut galement utiliser le bouton etrdiger soi-mme lnonc de la rgle :

( # 1000 tapez ici la rgle ou le thorme . )

SIALORS INERTE !

On remplacera tapez ici la rgle ou le thorme par quelque chose de la forme[ Nom de la rgle ] nonc de la rgle.

. Dclencher automatiquement une rgle : on peut viter llve de devoir dmontrer certaines vidences .Par exemple, lorsque le but (RS) est perpendiculaire (RT ) est dmontr, il peut paratre inutile davoir mener un pas de raisonnement supplmentaire pour justifier que RST est un triangle rectangle en R . Pourcela, on cherchera donc la rgle :

6. Il est potentiellement possible de rcrire entirement la dmonstration dans cette partie. Le contenu des onglets Hypothses et

Buts nest pas ncessairement actualis suite aux modifications effectues ici.

( # 1000 [ triangle rectangle ] Si les droites ( AB ) et ( AC ) sont perpendiculaires , alors letriangle ABC est rectangle en A. )

SI (RS) est perpendiculaire (RT)ALORS RST est un triangle rectangle en R !

Et on ajoutera simplement le mot-cl CACHE juste aprs le mot-cl ALORS. La rgle devient :

( # 1000 [ triangle rectangle ] Si les droites ( AB ) et ( AC ) sont perpendiculaires , alors letriangle ABC est rectangle en A. )

SI (RS) est perpendiculaire (RT)ALORS CACHE RST est un triangle rectangle en R !

De cette faon, lorsque llve aura dmontr que les droites (RS) et (RT ) sont perpendiculaires, le but RSTest un triangle rectangle en R viendra automatiquement sajouter la liste des hypothses.

. Modifier laffichage dune proposition : pour une raison ou pour une autre, on peut vouloir modifier la faon

dont une proposition est affiche. Bien sr, il est possible dutiliser le bouton pour remplacer du texte danslonglet Rsolution Gomtrix , mais cela naffectera pas la rdaction des hypothses. Il vaut mieux alors

profiter du bouton qui permet dagir de faon globale.

Son utilisation dclenche louverture dune bote de dialogue qui permet de slectionner la proposition dont onsouhaite modifier lcriture. On modifie directement la syntaxe partir de la proposition rdige, puis on clique

sur le bouton pour que les changements soient pris en compte. La nouvelle forme de la propositionapparat alors dans la liste, prcde dune flche.

Cette fonctionnalit se rvle utile lorsque, par exemple, on a construit une figure en utilisant le centimtre pourunit, alors que lnonc de lexercice spcifie des longueurs en mtres. On peut galement vouloir modifier la

faon dont les quotients sont affichs par GomtriX (RA

RBau lieu de

AR

BRdans le cadre du thorme de THALS),

etc.

. Ajouter une hypothse supplmentaire : bien quil ne nagisse pas dune manipulation trs courante, il estpossible dajouter des hypothses inutiles la rsolution dun problme. Par dfaut, GomtriX ne conserveque les hypothses indispensables au bon fonctionnement de lexercice. Si on dsire ajouter, par exemple,lhypothse ABCD est un trapze , on rdigera une rgle inerte de la forme 7 :

SI ABCD est un trapzeALORS INERTE !

Avec le curseur, on slectionnera ensuite le texte ABCD est un trapze et laide du bouton droit de la souris,on fera apparatre le menu contextuel. Dans ce menu, le choix de la commande Dsigner comme hypothseajoutera la proposition slectionne la liste des hypothses.

7. Notez labsence du nom et de lnonc de la rgle. Cest normal, on ne veut pas ajouter ici une rgle, mais seulement une hypothse.

. Ajouter un but dmontrer : il peut arriver que le concepteur dun exercice oublie un but dans la liste des buts dmontrer. Rien de grave, cela empche simplement llve dobtenir la correction pour ce but particulier,mais, cela ne lempche pas, en fin dexercice, dobtenir la rdaction complte de la dmonstration. Si laproposition oublie appartient la liste des buts dmontrables dans longlet Buts , il suffit de cocher cetteproposition, puis, avec le clic-droit de slectionner la commande dmontrer dans le menu contextuel.

En revanche, si le but dmontrer ne figure pas dans le contenu de longlet Buts (ce qui arrive parfois sile concepteur a manuellement ajout ou modifi des pas des raisonnement), il faut retourner dans longlet

Rsolution Gomtrix , trouver une rgle contenant ce but (on pourra utiliser le bouton pour rechercherdu texte), slectionner uniquement lnonc du but dans la rgle et choisir la commande Dsigner comme butdans le menu contextuel (clic-droit avec la souris).

. Ajouter des pas de raisonnement : imaginons un exercice, dj au format GomtriX, dont lnonc serait lesuivant :

ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 4 cm et AB = 3 cm.1) Calculer la longueur BC .

2) On appelle M et N les milieux respectifs de [BC ] et de [AC ].Dmontrer que la droite (MN ) est parallle la droite (AB).

A NC

M

B

Si lenvie nous prend dajouter une troisime question cet exercice, de la forme En dduire que les droites(MN ) et (AC ) sont perpendiculaires , il serait bien videmment possible de repartir de la figure dj construiteet de concevoir un nouvel exercice dans GomtriX (ce qui ne serait ni trs difficile, ni trs long dans lexemplechoisi). Mais ici, il serait certainement plus rapide dajouter manuellement les pas de raisonnement manquants.

Dans cet exemple, longlet Rsolution Gomtrix contient les trois rgles suivantes :

( # 500 [ Calcul de a ] a ~ 2 = b ~ 2 + c ~ 2 ( avec b et c connus ) . )

SI BC~2 = AB~2+AC~2ET AB = 3 cmET AC = 4 cmALORS BC = 5 cm !

( # 438 [ Parallle ] Si une droite passe par les milieux de deux cts dun triangle alors elleest parallle au troisime ct . )

SI ABC est un triangleET N est le milieu du segment [AC]ET M est le milieu du segment [BC]ALORS (AB) est parallle (MN) !

( # 441 [ Proprit de Pythagore ] Si un triangle est rectangle alors le carr de la longueur deson hypotnuse est gal la somme des carrs des longueurs des cts de langle droit . )

SI ABC est un triangle rectangle en AALORS BC~2 = AB~2+AC~2 !

Cliquons sur le bouton qui permet dinsrer le corps dune rgle. On voit alors apparatre :

% ---------- REGLES SUPPLEMENTAIRES ----------%

( # 1000 tapez ici la rgle ou le thorme . )SI "tapez ici une proposition"ET "tapez ventuellement ici une deuxime proposition etc..."ALORS "tapez ici une conclusion" !

% ---------- FIN REGLES SUPPLEMENTAIRES ----------%

Nous navons alors plus qu diter la rgle et remplacer le texte par dfaut 8 :

( # 1000 [ Perpendiculaire ] Si deux droites sont parallles et une troisime droite estperpendiculaire lune alors elle est aussi perpendiculaire lautre . )

SI (AB) est parallle (MN)ET (AB) est perpendiculaire (AC)ALORS (AC) est perpendiculaire (MN) !

Mais, en ltat, lexercice ne peut tre compil. En effet, la proposition (AB) est perpendiculaire (AC ) est inconnue de GomtriX. On peut alors dcider dajouter cette proposition la liste des hypothses en laslectionnant et en choisissant la commande Dsigner comme hypothse dans le menu contextuel. Ou bien,au contraire, on peut vouloir des lves la dmonstration de ce pas de raisonnement. Dans ce cas, on ajouteraune nouvelle rgle en suivant la mthode prcdemment dcrite :

( # 1001 [ Perpendiculaire ] Si ABC est un triangle rectangle en A, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires . )

SI ABC est un triangle rectangle en AALORS (AB) est perpendiculaire (AC) !

Il ne faut pas oublier de dsigner la proposition (AC ) est perpendiculaire (MN ) comme but dmontrer.

Il ne faudra pas non plus oublier de modifier lnonc de lexercice au moment de la compilation.

8. Comme il a t vu prcdemment, il est possible de copier-coller le nom et lnonc de la rgle partir de longlet Base de thormes .

Une fois les modifications sur un exercice effectues, il ne reste qu compiler lexercice. On utilise pour cela

le menu Moteur dinfrences Crer et sauvegarder un exercice (ou, touche).

Dans la fentre de sauvegarde de lexercice, on peut modifier lnonc de lexercice ainsi que le nom dufichier 9.

9. Attention : si, partir de lExplorateur Windows, vous tentez de renommer un exercice, celui-ci ne sera plus fonctionnel. GomtriXutilise un format trs particulier pour ses fichiers. Le seul moyen de renommer un exercice est de le charger en mode professeur et de lecompiler pour accder la bote de dialogue prsente ici.

Liste des exercices

2002

Afrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Afrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Aix Marseille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Antilles-Guyanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Asie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Asie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Centres trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Groupe Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Groupe Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Groupe Sud Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Groupe Sud Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2003

Afrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Asie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7La Runion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2004

Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Groupe Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Groupe Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2005

Amrique du Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Centres trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Groupe Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Groupe Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Moyen Orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Moyen Orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2006

Afrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Afrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Asie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Centres trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Groupe Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Groupe Ouest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Groupe Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2007

Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Amrique du Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Amrique du Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2008

Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Asie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Groupement Nord tranger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Groupement Nord tranger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28le Maurice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Nouvelle Caldonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2009

Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Amrique du Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Amrique du Sud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Centres trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Centres trangers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34le Maurice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34La Runion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Liban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Nouvelle Caldonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Nouvelle Caldonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Nouvelle Caldonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Portugal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2010

Amrique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Polynsie franaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Pondichry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Index ThmatiqueT

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Th

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Au

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Exercice n 1

Exercice n 2

Exercice n 3

Exercice n 4

Exercice n 5

Exercice n 6

Exercice n 7

Exercice n 8

Exercice n 9

Exercice n 10

Exercice n 11

Exercice n 12

Exercice n 13

Exercice n 14

Exercice n 15

Exercice n 16

Exercice n 17

Exercice n 18

Exercice n 19

Exercice n 20

Exercice n 21

Le tableau se poursuit page suivante

Th

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Pyt

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Au

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Exercice n 22

Exercice n 23

Exercice n 24

Exercice n 25

Exercice n 26

Exercice n 27

Exercice n 28

Exercice n 29

Exercice n 30

Exercice n 31

Exercice n 32

Exercice n 33

Exercice n 34

Exercice n 35

Exercice n 36

Exercice n 37

Exercice n 38

Exercice n 39

Exercice n 40

Exercice n 41

Exercice n 42

Exercice n 43

Exercice n 44

Exercice n 45

Exercice n 46

Exercice n 47

Exercice n 48

Exercice n 49

Exercice n 50

Exercice n 51

Exercice n 52


Th

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Pyt

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Th

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Au

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Exercice n 53

Exercice n 54

Exercice n 55

Exercice n 56

Exercice n 57

Exercice n 58

Exercice n 59

Exercice n 60

Exercice n 61

Exercice n 62

Exercice n 63

Exercice n 64

Exercice n 65

Exercice n 66

Exercice n 67

Exercice n 68

Exercice n 69

Exercice n 70

Exercice n 71

Exercice n 72

Exercice n 73

Exercice n 74

Exercice n 75

Exercice n 76

Exercice n 77

Exercice n 78

Exercice n 79

Exercice n 80

Exercice n 81

Exercice n 82

Exercice n 83


Th

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de

Pyt

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yth

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Th

or

me

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Th

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Au

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Exercice n 84

Exercice n 85

Exercice n 86

Exercice n 87

Exercice n 88

Exercice n 89

Exercice n 90

Exercice n 91

Exercice n 92

Exercice n 93

Exercice n 94

Exercice n 95

Exercice n 96

Exercice n 97

Exercice n 98

Exercice n 99

Exercice n 100

Exercice n 101

Exercice n 102

Exercice n 103

Exercice n 104

Exercice n 105

GomtriXExercices extraits du Brevet des Collges

1 2002_Afrique_01.prwexo Afrique 2002

On considre la figure ci-contre.

1) Les droites (IG) et (JH) se coupent en un point A.Le point E est sur (JH) et le point F est sur (IG).Les droites (EF ) et (GH) sont parallles.On a : AE = 3 cm ; AF = 4 cm ; AH = 7 cm ; EF = 6 cm.Calculer les longueurs AG et GH en justifiant la dmarcheutilise.Donner les rsultats sous la forme dun nombre entier oudune fraction irrductible.

2) On a : AI = 6 cm et AJ = 4,5 cm.Les droites (I J) et (EF ) sont-elles parallles ? Justifier la d-marche utilise.

G

H

E

F

A

I

J

[Correction]


Un triangle ABD rectangle enB est tel que AB = 9 cm et BAD = 40.On appelle (C1) le cercle circonscrit au triangle ABD et I son centre.La bissectrice de langle BAD coupe le cercle (C1) en S.

1) Calculer la longueur BD en justifiant la dmarche utilise ;on en donnera une valeur arrondie au millimtre.

2) Prciser la position du centre I du cercle (C1).

3) Dterminer la mesure exacte de langle B IS en justifiant ladmarche utilise.

A

I

D

S

B

(C1)

40

[Correction]

3 2002_Aix_Marseille_01.prwexo Aix Marseille 2002

On considre la figure ci-contre.Cette figure nest pas en vraie grandeur et nest pas reproduire.Elle est fournie pour prciser la position des points. Lunit est lecentimtre.

1) Le triangle ABC est rectangle en A et AB = 5, BC = 13.Dmontrer que AC = 12.

2) Les points A, C , M sont aligns. Les points B , C , N sont ali-gns.CM = 2,4 etCN = 2,6.Dmontrer que les droites (AB) et (MN ) sont parallles.Calculer la longueur MN .

3) Prciser la nature du triangleCMN ; justifier la rponse sanseffectuer de calcul.

M

NC

B

A

[Correction]

1


4 2002_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyanes 2002

Le quadrilatre EORU est un losange de centre I.Langle IEU vaut 25 et la diagonale [ER] mesure 10 cm.

1) Prouver que le triangle EIU est rectangle en I .

2) Calculer la valeur arrondie au centime de cm de la longueurIU .

I

U

E

O

R25

[Correction]

5 2002_Asie_01.prwexo Asie 2002

Pour consolider un btiment, on a construit un contrefort en bois(dessin ci-contre).On donne : BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5 m.

1) En considrant que le montant [BS] est perpendiculaire ausol, calculer la longueur AS.

2) Calculer les longueurs SM et SN .

3) Dmontrer que la traverse [MN ] est bien parallle au sol.A B

M N

S

[Correction]


On considre le cercle (C1) de centre O.La demi-droite [AT ) est tangente (C1) en T .On donne AT = 9 cm et OAT = 29.

1) Calculer une valeur approche au millimtre prs du rayondu cercle (C1).

2) quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT ] pourque langle OBT mesure 30 (donner une valeur approchearrondie au millimtre) ?

A

O

(C1)

TB

29

[Correction]

2


7 2002_Centres_trangers_01.prwexo Centres trangers 2002

On considre un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 cm etAC = 9 cm.I est un point du segment [AC ] tel queCI = 5 cm.

1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC , puis sa valeurarrondie au millimtre prs.

2) La droite qui passe par I et qui est parallle la droite (AB)coupe la droite (BC ) en E .En prcisant la mthode utilise, calculer la valeur exacte dela longueur EI .

3) Calculer la valeur exacte de la tangente de langle ACB , puisen dduire la valeur arrondie au degr prs de la mesure delangle ACB .

B

A

I

E

C

[Correction]

8 2002_Groupe_Nord_01.prwexo Groupe Nord 2002

On donne : CE = 5 cm, CD = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 7,5 cm etAB = 19,5 cm.

1) Montrer que les droites (ED) et (AB) sont parallles.

2) Montrer que DE = 13 cm.3) Montrer que le triangleCDE est rectangle.

4) Calculer tan CED puis en dduire la valeur arrondie au degrprs de la mesure de langle CED . A B

C

DE

[Correction]


O est le centre du cercle (C1) passant par les points A, B ,C .Dterminer la mesure des angles du triangle ABC sachant queAOB = 50 et BOC = 150, en justifiant chacune de vos rponses.

A

B

C

O

(C1)

50

150

[Correction]

3


10 2002_Groupe_Sud_Ouest_01.prwexo Groupe Sud Ouest 2002

Le dessin ci-contre reprsente la coupe dune maison.Le triangle AIM est isocle de sommet principal M .La droite perpendiculaire la droite (AI ), passant par M , coupe(AI ) en S.On sait que : MS = 2,5 m et AI = 11 m.

1) a) Calculer AS (justifier)

b) Calculer la valeur arrondie 0,1 degrs prs de la me-sure de langleAMS.

2) Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait un tache en O, sur leplafond.La droite (NO) est perpendiculaire la droite (AI ).On donne AO = 4,5 m et pour effectuer les calculs, on pren-dra :NAO = 24.Calculer AN . On donnera la valeur arrondie 0,1 prs.

AO S

MN

I

[Correction]

11 2002_Groupe_Sud_Ouest_02.prwexo Groupe Sud Ouest 2002

Les droites (SF ) et (TE) sont parallles.Les points R, S et T sont aligns dans cet ordre.Les points R, F , E etG sont aligns dans cet ordre.On a : RS = 2 cm, ST = 4 cm, RF = 1,5 cm et EG = 9 cm.

1) Dmontrer que ER = 4,5 cm.2) Les droites (ES) et (TG) sont-elles parallles ? Justifier. G

T

S

F RE

[Correction]

12 2002_Polynsie_01.prwexo Polynsie franaise 2002

Soit un cercle (C1) de centre O et de diamtre [AB ].On donne AB = 5 cm.E est un point de ce cercle tel que AE = 3 cm.

1) Quelle est la nature du triangle ABE ? Justifier.

2) Calculer la longueur BE .

3) a) Calculer le cosinus de langle BAE .b) En dduire la mesure de langle BAE arrondie au degr.

A O B

E

(C1)

[Correction]

4



Les droites (AB) et (CD) sont parallles.On donne : OA = 8 cm, OB = 10 cm, OC = 6,4 cm, OE = 2 cm etOF = 2,5 cm.

1) Calculer la longueur OD .

2) Dmontrer que les droites (AB) et (EF ) sont parallles.

B

D

CAO E

F

[Correction]

14 2002_Pondichry_01.prwexo Pondichry 2002

On considre le cercle (C1) de centre O, de diamtre [AB ] tel queAB = 6 cm. Le point M appartient (C1) et BM = 3,6 cm.

1) Justifier la nature du triangle AMB puis calculer AM .

2) Calculer sinMBA puis en dduire la mesure de MBA arron-die au degr.

3) P est le point de [AB ] tel que PA = 4,5 cm.La parallle (MB) passant par P coupe [AM ] en R.Calculer AR et RP .

4) K est le point de [BM ] tel que BK = 0,9 cm.Montrer que les droites (PK ) et (AM) sont parallles.

AO

(C1)

B

K

M

P

R

[Correction]


On considre ABC un triangle rectangle en A tel que : AB = 6 cm etBC = 10 cm.Le point I est le milieu du segment [BC ] et (AI ) est la mdiane issuede A dans le triangle ABC .Le point M est un point du segment [AI ] tel que IM = 2 cm.La parallle (AB) passant par M coupe [BC ] en P .Le point N est un point du segment [CI ] tel que IN = 2 cm.

1) Calculer AC .

2) Montrer que I A = 5 cm.3) Calculer IP .

4) Dmontrer que (MN ) et (AC ) sont parallles.

B

A

M

P I NC

[Correction]

5


16 2003_Amrique_du_Nord_01.prwexo Amrique du Nord 2003

On considre la figure ci-contre.On donne : AI = 8 cm, BC = 12 cm,AIB = 90 et I milieu de [BC ].

1) a) Calculer AB .

b) Calculer sinABI .2) O est le point de [BC ] tel que BO = 5 cm.

(C1) est le cercle de centre O passant par B .Il recoupe [BC ] en E et [AI ] en F .Quelle est la nature du triangle BEF ? Justifier.

BO I

A

F

E C

(C1)

[Correction]


ABC est un triangle tel que AC = 7,5 cm, BC = 10 cm et AB = 6 cm.Le point E appartient au segment [AC ] et AE = 4,5 cm. Le point Fappartient au segment [BC ] et BF = 6 cm.

1) Les droites (AB) et (EF ) sont-elles parallles ? Justifier.

2) La parallle (AB) passant parC coupe (BE) en L.DterminerCL.

B

A

F

E

C

L

[Correction]

18 2003_Antilles_Guyane_01.prwexo Antilles-Guyane 2003

Soit un triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm, AC = 4,5 cm,BC = 6 cm.1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2) E est un point du segment [AB ] tel que BE = 5 cm.Le cercle (C1) de diamtre [BE ] coupe le ct [BC ] en F .Montrer que le triangle BFE est rectangle.

3) a) Montrer que les droites (FE) et (AC ) sont parallles.

b) Calculer BF et EF .

4) a) Calculer sinABC .b) Donner une valeur approche au degr prs de ABC .

A

C

F

E

B

(C1)

[Correction]

6



On considre un triangle ABC rectangle en B et tel que AB = 5 cmet BAC = 60.La mdiatrice de [AC ] coupe [AC ] en I et [BC ] en J .

1) Calculer AC .

2) Calculer langle B J I .

A

B

J

C

I

60

[Correction]

20 2003_Groupe_Est_01.prwexo Groupe Est 2003

Les droites (AB) et (CD) sont parallles.Les droites (AD) et (BC ) se coupent en E.On donne : DE = 6 cm, AE = 10 cm, AB = 20 cm et BE = 16 cm.

1) Calculer la distanceCD .

2) Les points F et G appartiennent respectivement aux seg-ments [BC ] et [AB ].Ils vrifient : BF = 12,8 cm et BG = 16 cm.Montrer que les droites (AE) et (FG) sont parallles.

CD

E

F

BGA

[Correction]

21 2003_Groupe_Sud_01.prwexo Groupe Sud 2003

Les droites (BC ) et (MN ) sont parallles.On donne : AB = 2,4 cm, AC = 5,2 cm, AN = 7,8 cm etMN = 4,5 cm.

1) Calculer les longueurs AM et BC .

2) Sachant que AP = 2,6 cm et AR = 1,2 cm, montrer que lesdroites (PR) et (BC ) sont parallles.

M BA

P

R

C

N

[Correction]

7


22 2003_La_Runion_01.prwexo La Runion 2003

On considre un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7,5 cm etBC = 7 cm.On place les points E et F respectivement sur les segments [AB ] et[AC ] de telle sorte que AE = 2 cm et AF = 3 cm.

1) Dmontrer que les droites (BC ) et (EF ) sont parallles.

2) Calculer EF .

A

E

B

F

C

[Correction]


ABC est un triangle tel que AB = 7,5 cm, BC = 10 cm etAC = 12,5 cm.

1) Montrer que le triangle ABC est rectangle.

2) M est un point du segment [BC ] tel que BM = 4 cm.La parallle la droite (AC ) passant par le point M coupe ladroite (AB) en N .Calculer BN et MN .

B M C

A

N

[Correction]


ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 5 cm et BC = 13 cm.M est le point de [AC ] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB ] telque AN = 7,2 cm.

1) Dmontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2) Calculer la tangente de langle ACB et dterminer la valeurde cet angle au degr prs.

3) a) Dmontrer que les droites (MN ) et (BC ) sont parallles.

b) Calculer la distance MN .

A

N

B C

M

[Correction]

8



Les segment [OA] et [IU ] se coupent en M .On a : MO = 2,1 cm, MA = 2,7 cm, MU = 2,8 cm, MI = 3,6 cm etAI = 4,5 cm.

1) Prouver que les droites (OU ) et (AI ) sont parallles.

2) Calculer la longueur OU .

3) Prouver que le triangle I AM est un triangle rectangle.

4) Dterminer, un degr prs, la mesure de langle AIM .5) Montrer que les angles I AM et MOU ont la mme mesure.

U

O

M

I

A

[Correction]


[EF ] est un segment de longueur 7 cm et de milieu le point O.Le cercle (C1) a pour diamtre [EF ] et G est un point de ce cercletel que FEG = 26.

1) Dmontrer que le triangle EFG est un triangle rectangle enG .

2) Calculer une valeur approche de la longueur FG , arrondieau millimtre.

3) Dterminer la mesure de langle FOG (justifier la rponse).

E

G

F

O

(C1)

26

[Correction]

9


27 2004_Groupe_Ouest_01.prwexo Groupe Ouest 2004

EFG est un triangle tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm.Le point B appartient au segment [EF ] et EB = 7 cm.La parallle au ct [FG] passant par B coupe le ct [EG] en M .

1) Prouver que le triangle EFG est rectangle en E .

2) Calculer la mesure de langle EFG . Le rsultat sera arrondiau degr prs.

3) Calculer la valeur exacte de BM , puis en donner larrondi aumm prs.

E

B

M

F

G

[Correction]


Dans le triangleCDE :

A est un point du segment [CE ] ;

B est un point du segment [CD].

On a : AC = 8 cm, CE = 20 cm, BC = 6 cm, CD = 15 cm etDE = 25 cm.

1) Montrer que les droites (AB) et (DE) sont parallles.

2) Le triangleCDE est-il rectangle ? Justifier.

3) Calculer AB .

4) Calculer la valeur arrondie au degr de langle CDE . A

B

C

D

E

[Correction]


Dans le triangle ABC , [AH ] est la hauteur issue du sommet A.On a : AH = 5 cm, AB = 8 cm etCAH = 40.

1) Calculer la mesure de langleBAH . On donnera une valeurarrondie au degr prs.

2) Calculer la longueurCH . On donnera une valeur arrondie aumillimtre.

A

B CH

40

[Correction]

10



Deux droites (PB) et (RC ) sont scantes en un point A.On a : AR = 6 cm, AC = 28 cm, AB = 35 cm, AP = 7,5 cm et BC =21 cm.

1) Dmontrer que les droites (BC ) et (PR) sont parallles.

2) Calculer la longueur RP .

R A

CP

B

[Correction]


OAB est un triangle rectangle en A.D appartient la droite (OB) etC appartient la droite (OA).On donne : OC = 28 cm,CD = 21 cm, OD = 35 cm et OA = 42 cm.

1) Dmontrer que le triangle OCD est rectangle enC .

2) Dmontrer que les droites (CD) et (AB) sont parallles.

3) Calculer les longueurs OB et AB .

C O

A

B

D

[Correction]

32 2005_Amrique_du_Sud_01.prwexo Amrique du Sud 2005

Sur la figure ci-contre, les segments [KL] et [JM ] se coupent aupoint I .On a : IK = 4 cm, JK = 2,4 cm et LM = 4,2 cm.Le triangle I JK est rectangle en K .Le triangle LIM est rectangle en M .

1) Calculer la valeur exacte de la tangente de langle J IK .

2) Pourquoi les angles J IK et LIM sont-ils gaux ?3) Donner lexpression de la tangente de langle LIM en fonc-

tion de IM .

4) En saidant des rponses aux questions prcdentes, prouverque la longueur IM en centimtres est un nombre entier.

5) Dterminer larrondi au degr de langle J IK .

M

I

J

L

K

[Correction]

11



Le cercle (C1) est un cercle de centre O et de diamtre AB = 11 cm.Le pointC appartient au cercle (C1) et BC = 6,6 cm.

1) Montrer que ABC est un triangle rectangle enC .

2) Calculer la distance AC .

3) Dterminer la mesure arrondie au degr prs de langle BAC .A B

C

O

(C1)

[Correction]


Sur la figure ci-contre :

(C1) est un cercle de centre O et de diamtre BF = 40 mm. A est un point du cercle (C1) tel que AB = 14 mm. La perpendiculaire la droite (AF ) passant par O coupe le

segment [AF ] en E .

1) Quelle est la nature du triangle ABF ? Justifier votre rponse.

2) Calculer la valeur arrondie au dixime de degr prs de langleAFB .3) Calculer la valeur arrondie au millimtre prs de la longueur

EF .

B

A

E

O

F

(C1)

[Correction]

12



On donne : AM = 5 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm, AC = 12 cm etAH = 7,5 cm.Les droites (AH) et (MN ) sont perpendiculaires en D .

1) Dmontrer que les droites (MN ) et (BC ) sont parallles.

2) Calculer AD . Justifier.

3) Pourquoi peut-on dire que les angles ABC et AMN sontgaux ?

4) Montrer que le triangle ABH est rectangle en H .

5) Montrer que laire du triangle ABC est gale 9 fois laire dutriangle AMN .

A

M N

D

B H C

[Correction]


(C1) est un cercle de diamtre [EF ] et EF = 10 cm.Le pointG appartient (C1) et EG = 9 cm.

1) Dmontrer que EFG est rectangle.

2) Calculer la longueur FG arrondie au mm.

3) Le point M appartient au segment [EG] et EM = 5,4 cm.4) Le point P appartient au segment [EF ] et EP = 6 cm.

Dmontrer que les droites (FG) et (MP ) sont parallles.

E P F

G

M

(C1)

[Correction]


ABC est un triangle tel que BC = 7 cm, ACB = 37 et ABC = 53.1) Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.

2) Calculer la longueur AC arrondie au mm.

A

B C

53 377 cm

[Correction]

13



On considre la figure ci-contre.Les droites (AB) et (CD) sont parallles.Les points O, B et D sont aligns, ainsi que les points O, A etC .On donne : OA = 8 cm, OB = 6 cm et OC = 10 cm.

1) Calculer la longueur BD .

2) On suppose que langle ABO est droit.a) Calculer cos(AOB), puis en dduire une valeur appro-

che arrondie au degr prs de la mesure de langleAOB .b) Justifier que le triangleCDO est rectangle.

c) En utilisant le thorme de PYTHAGORE, donner unevaleur approche, en cm, arrondie au dixime de la lon-gueurCD .

O

A C

B

D

[Correction]


Les droites (AB) et (CD) sont parallles.Les points A,C , O et E sont aligns ainsi que les points B , D, O etF .On a : CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, BO = 4,9 cm, CD = 1,8 cm,FO = 2,8 cm et EO = 2 cm.

1) Calculer en justifiant DO et AB .

2) Prouver que les droites (AB) et (EF ) sont parallles.

A

B D

C

O

E

F

[Correction]


ABC est un triangle tel que : AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm etAC = 7 cm.

1) Prouver que ABC est rectangle en B .

2) Calculer le primtre et laire de ABC .

A

B

C

[Correction]

14


41 2005_Moyen_Orient_01.prwexo Moyen Orient 2005

ACH est un triangle rectangle en H . La droite passant par A etperpendiculaire la droite (AC ) coupe la droite (HC ) en B .On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm.

1) a) Justifier lgalit :ACH = 90HAC .b) Justifier lgalit :BAH = 90HAC .c) Que peut-on en dduire pour les anglesACH etBAH ?

2) a) Montrer que tanACH = 34

.

b) En utilisant le triangle BAH , exprimer tanBAH en fonc-tion de BH .

3) Dduire des questions 1) et 2) que BH = 3,6 cm.4) Calculer la mesure en degr arrondie au degr de langleACH .

B

A

C

H

[Correction]

42 2005_Moyen_Orient_02.prwexo Moyen Orient 2005

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 6,4 cm et BC =4,9 cm.Le point E appartient la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.Le point F appartient la demi-droite [AC ) et AF = 9,6 cm.

1) Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la r-ponse.

2) Les droites (BC ) et (EF ) sont-elles parallles ? Justifier la r-ponse.

A

C

F

EB

[Correction]

15



Le triangle OAI est tel que OA = 5 cm, OI = 7,5 cm et AI = 6 cm.Sur la demi-droite [OA), B est tel que OB = 7 cm.Sur la demi-droite [OI ], J est tel que OJ = 10,5 cm.

1) Montrer que les droites (AI ) et (B J ) sont parallles.

2) Calculer la longueur B J .

O

A

I

B

J

[Correction]


MNP est un triangle rectangle en P tel que : MP = 5 cm et MN =7 cm.

1) Calculer la mesure, arrondie au degr, de langle MNP .2) Calculer la valeur, arrondie au mm, de NP .

3) Soit I le point du segment [MP ] tel que PI = 2 cm.La parallle (MN ) passant par I coupe [PN ] en J .Calculer I J .

M

I

P

J

N

[Correction]

16



[EF ] est un segment qui mesure 8 cm et on appelle (C1) le cerclede diamtre [EF ].G est un point de ce cercle tel que EG = 6 cm.Les points K et L sont les symtriques respectifs des points E et Fpar rapport au pointG .

1) Quelle est la nature du triangle EFG ? Justifier la rponse.

2) Quelle est la nature du quadrilatre EFKL ? Justifier la r-ponse.

E

F

(C1)

G

LK

[Correction]


Le triangle ABC est rectangle enC et AC = 6,3 cm et AB = 6,5 cm.Le point D est tel que AD = 5,6 cm et BD = 3,3 cm.

1) Calculer BC .

2) Dmontrer que ABD est rectangle en D .

3) O est le milieu de [AB ]. Montrer queCO =DO.

A

C

B

D

O

[Correction]

17



Les points O, A et A sont aligns.Les points O, B et B sont aligns.Les points O,C etC sont aligns.

Les droites (AB) et (AB ) sont parallles.Les droites (BC ) et (B C ) sont parallles.

OB = 4 cm, OB = 5 cm, OA = 3 cm, OC = 6 cm.1) Calculer OC .

2) Calculer OA.

3) Dmontrer que les droites (AC ) et (AC ) sont parallles.

O

A

A'

BB'

C

C'

[Correction]


On sait que :

EO = 5 cm, OC = 3 cm et OA = 6 cm ; Les points E , O etC sont aligns ;

Les triangles ENO et ACO sont respectivement rectangles enE etC ;

La droite (AO) coupe la droite (NE) en S.

1) Montrer que, en cm, la mesure de [AC ] est 3p

3.

2) a) Montrer que les droites (ES) et (AC ) sont parallles.

b) Calculer les valeurs exactes de OS et de ES.

3) Calculer NO sachant queEON = 30. Arrondir au millimtre.4) a) Calculer langle AOC .

b) Dmontrer que le triangle NOS est rectangle.

N

E

S

O C

A

30

[Correction]

18



On considre la figure ci-contre o :

OM = 3,9 cm, AM = 2,1 cm ; OP = 5,2 cm, BP = 2,8 cm et MP = 6,5 cm.

1) Montrer que les droites (MP ) et (AB) sont parallles.

2) Calculer la longueur AB .

3) Montrer que le triangle OAB est rectangle en O. A

M

O

P

B

[Correction]


On considre un cercle (C1) de diamtre AH = 9 cm.Soit M un point du cercle (C1) tel que AM = 5,3 cm et T un autrepoint du cercle (C1).

1) Justifier que AHM est un triangle rectangle.

2) Calculer la mesure de langle AHM arrondie lunit.3) Dterminer la mesure de langle HTM arrondie lunit.

H

T

A

M

(C1)

[Correction]


Soit un triangle ADE tel que : AD = 6,6 cm, DE = 8,8 cm etAE = 11 cm. B est le point du segment [AD] tel que AB = 3 cm,etC est le point du segment [AE ] tel que (BC ) soit parallle (DE ).

1) Calculer la longueur BC .

2) Montrer que le triangle ADE est rectangle.

3) Calculer la valeur, arrondie au degr, de langle AED .

B

A

C

ED

[Correction]

19



Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D .Charlne et Betty en ont fait de mme entre les points B etC .Les deux cordes se coupent en E . On sait que : AE = 7 cm,BE = 13 cm,CE = 10 cm et DE = 9,1 cm.

Les droites (AC ) et (BD) sont-elles parallles ?

A

C

E

B

D

[Correction]


Les points S, P , E et B sont aligns, ainsi que les points N , P ,C etM .Les droites (MB) et (NS) sont parallles.On donne : PM = 12 cm, MB = 6,4 cm, PB = 13,6 cm et PN = 9 cm.

1) Dmontrer que le triangle PBM est rectangle.

2) En dduire la mesure de langle MBP arrondie au degr prs.3) Calculer la longueur NS.

4) On considre le point E du segment [PB ] tel que PE = 3,4 cmet le pointC du segment [PM ] tel que PC = 3 cm.Les droites (CE) et (BM) sont-elles parallles ?

N

S

PE

C

B

M

[Correction]


Soit un cercle (C1) de centre O et de diamtre [ST ] tel queST = 7 cm.SoitU un point de ce cercle tel que SU = 3 cm.

1) Dmontrer que STU est un triangle rectangle enU .

2) Donner la valeur arrondie au dixime de langle STU .3) En dduire une valeur approche au dixime de SOU .

S T

U

O

(C1)

[Correction]

20



Les points A,C , et E sont aligns ainsi que les points B ,C et D .Le triangle ABC est rectangle en B .On a : BC = 12 cm,CD = 9,6 cm, DE = 4 cm etCE = 10,4 cm.

1) Montrer que le triangleCDE est rectangle en D .

2) En dduire que les droites (AB) et (DE) sont parallles.

3) Calculer la longueur AB .

A

B

C

D

E

[Correction]


Les points A,C et F sont aligns ainsi que les points B ,C etG .Les droites (AB) et (FG) sont parallles.AB = 3 cm, FC = 8,4 cm et FG = 11,2 cm.

1) Calculer la longueur AC .

2) Soit D le point du segment [CF ] et E le point du segment[FG] tels que : DF = 6,3 cm et EF = 8,4 cm.Montrer que les droites (CG) et (DE) sont parallles. G

E

A B

C

D

F

[Correction]


ABC est un triangle rectangle enC tel que AC = 5 cm et BAC = 40.(C1) est le cercle circonscrit au triangle ABC et O est le centre de(C1).

1) Calculer la longueur BC (on donnera une valeur arrondie aumillimtre).

2) O se trouve le point O ?

3) En dduire la mesure de langle BOC .A

(C1)

C

B

O

[Correction]

21



BDN est un triangle tel queDN = 5 cm, BN = 12 cm et BD = 13 cm.1) Dmontrer que le triangle DNB est un triangle rectangle

en N.

2) a) Calculer le sinus de langle DBN . Arrondir le rsultat aumillime.

b) En dduire la mesure de langle DBN arrondie au degrprs.

B D

N

[Correction]


ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC = 3 cm et BC = 6 cm.1) Calculer la valeur exacte de AB .

2) Calculer cos(ACB) ; en dduire la mesure en degrs de langleACB .3) La mdiatrice du segment [BC ] coupe la droite (AC ) en E et

la droite (AB) en O.

a) Dmontrer que le triangle BEC est isocle, puis, quilest quilatral.

b) Dmontrer que la droite (AB) est la mdiatrice du seg-ment [CE ].

B

A

CE

O

[Correction]


(C1) est un cercle de centreO et de diamtre [AB ] tel que AB = 6 cm.M est un point du cercle (C1) tel que BM = 4,8 cm.

1) Dmontrer que le triangle ABM est rectangle en M .

2) Calculer la mesure de langle ABM arrondie au degr.3) En dduire la mesure de langle AOM arrondie au degr.

A OB

M

(C1)

[Correction]

22



On sait que les points Y , S, B et E sont aligns dans cet ordre et queles points X , S, A etD sont aligns dans cet ordre. On sait galementque :

(XY ) est parallle (AB) ;

SA = 3 cm, SB = 5 cm, SX = 5 cm et AB = 4 cm.1) Calculer XY en justifiant. Donner la valeur exacte puis lar-

rondir au millimtre.

2) On sait de plus que : SD = 4,5 cm et SE = 7,5 cm.Dmontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallles.

Y

X

S

A

D

B E

[Correction]


On considre le triangle ABS tel que AB = 13 cm, AS = 5 cm etBS = 12 cm.

1) Dmontrer que le triangle ABS est rectangle en S.

2) Dterminer la mesure de langle BAS (arrondie au degr).3) Le point R est tel que ARBS soit un paralllogramme.

Dmontrer que le quadrilatre ARBS est un rectangle.

A

S

B

R

[Correction]

63 2007_France_01.prwexo France 2007

ABC est un triangle tel que AB = 9 cm, AC = 15 cm et BC = 12 cm.1) Dmontrer que ABC est rectangle en B .

2) E est le point de [AB ] tel que AE = 3 cm.F est le point de [AC ] tel que AF = 5 cm.

a) Dmontrer que la droite (EF ) est parallle la droite(BC ).

b) Calculer laire du triangle AEF .A

B

C

E

F

[Correction]

23



ABC est un triangle quilatral.Le point O est le centre du cercle (C1) circonscrit au triangle ABC .Le point D est le point diamtralement oppos au point B sur lecercle (C1).

1) Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.

2) Quelle est la mesure de langle ADB ? Justifier.3) On dsigne par E le point tel que CEDO soit un paralllo-

gramme.Dmontrer que les droites (CD) et (EO) sont perpendicu-laires.

E

C

O

D

A

B

(C1)

[Correction]


On considre le triangle ABC tel que AB = 7,8 cm, AC = 7,2 cm etBC = 3 cm.

1) Dmontrer que le triangle ABC est rectangle enC .

2) a) Calculer la tangente de langle BAC . On donnera le r-sultat au millime prs.

b) En dduire une valeur approche de langle CAB audegr prs.

3) On place sur le segment [BC ] un point N tel queCN = 2,25 cm et sur le segment [AC ] un point M tel queCM = 5,4 cm.Les droites (AB) et (MN ) sont-elles parallles ? Justifier votrerponse.

4) Calculer MN .

A

B

C

MN

[Correction]


OBC est un triangle rectangle enO tel queOB = 3 cm etOC = 6 cm.1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC . En donner la

valeur arrondie au millimtre.

2) Le point D est le symtrique du point B par rapport au pointO.Le point A est tel que ABCD est un paralllogramme.

a) Dmontrer que O est le milieu de [AC ].

b) Dmontrer que ABCD est un losange.

A

B

C

D

O

[Correction]

24



EFG est un triangle isocle en F tel que EF = 6 cm et EFG = 34.Le point H est le symtrique du pointG par rapport au point F .Le point K est tel que EFGK est un paralllogramme.

1) Quelle est la nature du quadrilatre EFGK ?

2) Montrer que les points E , G et H sont situs sur un mmecercle de centre F .

3) Dmontrer que le triangle EGH est rectangle en E .

4) a) Montrer que la mesure de langle EGF est gale 73.b) Dans le triangle rectangle EGH , calculer EG ; donner

larrondi au dixime.

HE

F

G

K

[Correction]


On considre un cercle (C1) de diamtre [AB ] etC un point appar-tenant ce cercle.

1) Dterminer la nature du triangle ABC .

2) On donne AC = 3,9 cm et BC = 5,2 cm.Montrer que AB = 6,5 cm.

3) Le point D est tel que AD = 2,5 cm et BD = 6 cm.Le triangle ABD est-il rectangle ?

A

C

B

D(C1)

[Correction]


AC = 3 cm, AE = 4,5 cm, AB = 4 cm.Les droites (BC ) et (DE) sont parallles.

1) Calculer les longueurs AD et BD .

2) On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm.Montrer que les droites (BC ) et (FG) sont parallles.

F

G

AC

B

D

E

[Correction]

25



On considre un cercle (C1) de centre O et de diamtre 8 cm.I et J sont deux points de (C1) diamtralement opposs.K est un point de (C1) tel que JK = 4 cm.

1) Prciser la nature du triangle I JK . Justifier.

2) Prciser la nature du triangle OJK . Justifier.

3) On appelle R le symtrique de K par rapport la droite (I J ).Dmontrer que le quadrilatre JKOR est un losange.

I

OJ

K

R

(C1)

[Correction]


Les droites (AM) et (BN ) sont scantes en O.On donne : OA = 3 cm, OB = 2,5 cm, OM = 5,4 cm et ON = 4,5 cm.

1) Montrer que les droites (AB) et (MN ) sont parallles.

2) On suppose que AB = 1,2 cm. Calculer la distance MN .3) Dmontrer que

Aire de MNO

Aire de AOB= 3,24.

A B

O

N M

[Correction]

26



Les droites (BC ) et (MN ) sont parallles.On donne : AB = 4,5 cm, AC = 3 cm, AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

1) Calculer AM et BC .

2) On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7,5 cm.Montrer que les droites (EF ) et (BC ) sont parallles.

M

B

A

F

NC

E

[Correction]


Sur la figure : OD = 4 cm, OC = 5 cm, AC = 3 cm, OE = 6 cm etOF = 7,5 cm.

1) Dmontrer que (AB) et (CD) sont parallles.

2) Calculer BO.

3) Dmontrer que (EF ) et (CD) sont parallles.

4) Quelle est la nature du triangle OEF ? Justifier.

5) Calculer au degr prs la mesure de langleDCO.6) Quelle est la mesure au degr prs de langle EFO ?

A

C

O

F

BD

E

[Correction]


Sur la figure :

Les points K , A, F etC sont aligns ;

Les pointsG , A, E et B sont aligns ;

(EF ) et (BC ) sont parallles ;

AB = 5 cm et AC = 6.5 cm ; AE = 3 cm et EF = 4,8 cm ; AK = 2,6 cm et AG = 2 cm.

1) Dmontrer que BC = 8 cm.2) Les droites (BC ) et (KG) sont-elles parallles ? Justifier.

3) Les droites (AB) et (AC ) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

K

G

A

E

F

B

C

[Correction]

27


75 2008_Groupement_Nord_tranger_01.prwexo Groupement Nord tranger 2008

On donne : AB = 8 cm, BC = 9 cm, AC = 6 cm et AE = 4 cm.1) Les droites (DE) et (BC ) sont parallles.

Calculer AD .On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie audixime de centimtre.

2) Soit F le point tel que C , B et F sont aligns dans cet ordre,avec BF = 6 cm.Dmonter que les droites (EF ) et (AB) sont parallles. F B

C

A

E D

[Correction]

76 2008_Groupement_Nord_tranger_02.prwexo Groupement Nord tranger 2008

On considre un triangle SK I rectangle en S tel que SK = 9,6 cm etK I = 10,4 cm.

1) Calculer SI .

2) Calculer la mesure de langleIK S. On donnera larrondi audegr.

3) En dduire au degr prs la mesure de langleK IS.4) O se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SK I ?

5) Calculer au degr prs la mesure de langle IOS.I

O

K

S

(C1)

[Correction]

28


77 2008_le_Maurice_01.prwexo le Maurice 2008

ABC est un triangle rectangle enC tel que :

Le segment [AC ] mesure 8 cm ;

Le segment [BC ] mesure 6 cm ;

Le milieu du segment [AC ] est not I .

1) Montrer que AB = 10 cm.2) Prciser la position du point O, centre du cercle (C1) circons-

crit au triangle ABC . Justifier.

3) Dmontrer que la droite (IO) est la mdiatrice du segment[AC ].

4) Que vaut la longueur du segment [IO] ?

5) Quel est larrondi lunit de la mesure de langle BAC ?6) Que vaut laire du quadrilatre BC IO ?

7) Dmontrer que le triangle BCO est isocle en O.

A

O

B

CI

[Correction]

78 2008_Nouvelle_Caldonie_01.prwexo Nouvelle Caldonie 2008

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm.Le point E appartient au segment [AB ] et BE = 1,5 cm.Le point F appartient au segment [BC ] et BF = 2,5 cm.Le point B est le symtrique du point B par rapport au point A.

1) Montrer que BC = 10 cm.2) Montrer que les droites (AC ) et (EF ) sont parallles.

3) Montrer que EF = 2 cm.4) Montrer que le triangle BB C est isocle enC .

A B

C

E

F

B'

[Correction]

29



On considre le cercle (C1) et de diamtre [BC ] et le cercle (C2) dediamtre [BD].A est un point de (C1) et la droite (AB) coupe le cercle (C2) au pointE .On donne : AB = 4 cm, BC = 5 cm et BD = 9 cm.

1) Dmontrer que les triangles ABC et BDE sont rectangles.

2) Calculer AC .

3) Montrer que les droites (AC ) et (DE) sont parallles.

4) Montrer que BE = 7,2 cm.

B C D

A

E

(C1)

(C2)

[Correction]


Voici le pentagone rgulier ABCDE . Le point I est le milieu de [AB ].OA =OB =OC =OD =OE = 5,7 cm.On admettra que I AO = 54 et que les points I , O et D sont aligns.

1) a) Quelle est la nature du triangle AOB ?

b) Montrer que la mesure de langle AOB est de 72.2) Quelle est limage du triangle BCO par la symtrie axiale

daxe (DI ) ?

3) Calculer la longueur AB (arrondie au millimtre).

A

I

B

C

D

E

O

54

[Correction]

30



(C1) est un cercle de diamtre [OS] tel que OS = 7 cm.R est un point du cercle tel que OR = 5,6 cm.A est le point de la demi-droite [SO) tel que OA = 10 cm.B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB = 8 cm.

1) Dmontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallles.

2) Dterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangleAOB .

3) En dduire la mesure de langle AOB , arrondie au degr.

O

R

SA

B

(C1)

[Correction]


On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallles.On donne : OB = 7,2 cm, OC = 10,8 cm, OD = 6 cm etCE = 5,1 cm.

1) Calculer EO puis BD .

2) On donne OG = 2,4 cm et OF = 2 cm.Dmontrer que (BD) et (FG) sont parallles.

F O

DEG

B

C

[Correction]


On donne : BD = 4 cm, AB = 6 cm et CBD = 60.1) Montrer que BC = 8 cm.2) CalculerCD . Donner la valeur arrondie au dixime.

3) Calculer AC .

4) Quelle est la valeur de tanBAC ?5) En dduire la valeur arrondie au degr de BAC .

D B

A

C

4 cm

6 cm60

[Correction]

31



Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage.La ficelle est droule au maximum et elle est tendue. Elle mesure50 m.(la figure ci-contre nest pas lchelle)

1) La ficelle fait avec lhorizontale un angle CSH qui mesure80.Calculer la hauteur laquelle vole le cerf-volant, cest--direCH (on donnera la rponse arrondie au mtre).

2) Lorsque la ficelle fait avec lhorizontale un angle de 40, ladistanceCH est-elle la moiti de celle calcule au 1) ?Justifier la rponse.

S

C

H

[Correction]


Les points M , O etQ sont aligns ainsi que les points N , O et P .Les segments [OM ] et [OQ] sont des diamtres des deux cerclestracs.On donne : OM = 7,5 cm et OQ = 4,5 cm.

1) Prouver que le triangle MNO est rectangle en N .

On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle enP .

2) Justifier que les droites (MN ) et (PQ) sont parallles.

3) Dans le cas o ON = 5 cm, calculer la distance OP . Justifier.

M

N

O

P

Q

(C1)

(C2)

[Correction]


Soit la figure suivante o :

ABC est un triangle rectangle en B ;

AC = 13 cm et BC = 12 cm.1) Calculer la mesure de langle BAO (on arrondira au degr).2) O dsigne le milieu de [AC ].

a) Dterminer la longueur OB .

b) Dterminer la mesure de langle BOA.

A

B C

O

[Correction]

32



On donne :

AI = 8 cm IB = 10 cmIC = 14 cm ID = 11,2 cm AB = 6 cm

1) Montrer que le triangle I AB est rectangle en A.

2) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallles.

3) Quelle est la nature du triangle IDC ? Justifier votre rponse.

AI

B

C

D

[Correction]


Sur la figure, le quadrilatre BREV est un rectangle, avecBR = 13 cm et BV = 7,2 cm.Le point T est sur le segment [EV ] tel que V T = 9,6 cm.N est le point dintersection des droites (BT ) et (ER).

1) Dmontrer que la longueur ET est gale 3,4 cm.

2) Calculer la longueur BT .

3) Calculer la longueur EN .

B R

EV T

N

13 cm7,

2 cm

9,6 cm

[Correction]


Dans la figure ci-dessous, on a :

B appartient [DR] ;

C appartient [RU ] ;

ER = 3 cm, ED = 1,5 cm,CR = 2 cm et RU = 3 cm.1) Dmontrer que les droites (CE) et (DU ) sont parallles.

2) Calculer le rapport dagrandissement permettant de passerdu triangleCER au triangle DRU .

3) Montrer que laire du triangle DRU est gale 2,25 fois lairedu triangleCER.

R

D

U

E

C

[Correction]

33



ABC est un triangle isocle tel que AB = AC = 4 cm.E est le symtrique de B par rapport A.ABC = 43.

1) Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.

2) Prouver que langle EAC mesure 86.A

B C

E

[Correction]

91 2009_le_Maurice_01.prwexo le Maurice 2009

Soient un cercle (C1) de centreO et de rayon 5 cm, [AB ] un diamtrede ce cercle et M un point de (C1) tel que BM = 4,2 cm.

1) Montrer que ABM est un triangle rectangle.

2) Quelles sont les mesures, arrondies au degr, des anglesABMet AOM ?

A

OB

M

(C1)

[Correction]

34


92 2009_La_Runion_01.prwexo La Runion 2009

CDE est un triangle rectangle enC ;

A appartient au segment [CD], B appartient au segment [CE ]et la droite (AB) est parallle la droite (DE) ;

Le point F est le milieu du segment [AC ] et le point O est lemilieu de [AB ] ;

Le pointG est le symtrique de F par rapport O.

DE = 12 cm ; AB = 4,5 cm et AC = 1,8 cm.1) Quelle est la nature du quadrilatre AFBG ?

2) Montrer que la droite (FO) est parallle la droite (CB).

3) Calculer la longueurCD .

4) Calculer une valeur approche au degr prs de langle BAC .

CF

A

D

E

B

G

O

[Correction]

93 2009_Liban_01.prwexo Liban 2009

ABCD est un carr tel que : AB = 4 cm.Le point M est situ dans le carr ABCD et vrifie : AM = 2,4 cm etDM = 3,2 cm.La droite (AM) coupe la demi-droite [DC ) au point I .

1) Montrer que le triangle AMD est rectangle en M .

2) Calculer au degr prs la mesure de langle DAM .3) Dans le triangle ADI rectangle en D , exprimer tanDAI .

En dduire une valeur approche au mm prs de la longueurDI .

A B

CD

M

I

[Correction]

35



Pour trouver la hauteur dune olienne, on a les renseignementssuivants :

Les points O, A etC sont aligns.

Les points O, B et D sont aligns.

Les angles OAB et ACD sont droits. OA = 11 m ; AC = 594 m ; AB = 1,5 m.

La figure nest pas trace en vraie grandeur. Le segment [CD] repr-sente lolienne.

1) Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallles.

2) Calculer la hauteurCD de lolienne. Justifier.

O A C

D

B

Ha

ute

ur

de

l'

oli

en

ne

[Correction]


Un parc de jeu une forme triangulaire.Il est reprsent sur la figure ci-contre o les dimensions ne sontpas respectes.Les dimensions relles de ce terrain sont : DE = 12 m, EF = 9 m,DF = 15 m.

1) On veut construire ce triangle lchelle1

200.

Par exemple, la longueur DE sur la reproduction mesurera6 cm.

Dterminer les longueurs DF et EF sur la reproduction.

2) Montrer que ce terrain possde un angle droit.

3) Calculer laire relle de ce parc.

D

E

F

[Correction]


On donne : ED = 9 cm ; EB = 5,4 cm ; EC = 12 cm ; EA = 7,2 cm ;CD = 15 cm.

1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallles.

2) Calculer la longueur du segment [AB ].

3) Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.

4) a) Calculer la valeur arrondie au degr prs de langleECD .b) En dduire, sans faire de calcul, celle de langle EAB .

Justifier.

E

B

D C

A

[Correction]

36


97 2009_Polynsie_franaise_01.prwexo Polynsie franaise 2009

ABCD est un trapze rectangle, le point H appartient au segment[CD].On donne : AB = 5 cm, AD = 4,8 cm et BC = 6 cm.

1) Montrer que la longueurCH est gale 3,6 cm.

2) Calculer le primtre du trapze ABCD .

3) Calculer laire du trapze ABCD .

A B

CD H

[Correction]


Dans un verre pied ayant la forme dun cne de rvolution danssa partie suprieure, on verse du sirop de menthe dans sa partiesuprieure jusqu la hauteur IR, puis de leau jusqu la hauteur IF.Ce verre est reprsent ci-contre en coupe.

Les points I , R et F sont aligns ainsi que les points I , S etG ;

On donne : RS = 3 cm, FG = 7,5 cm et IF = 8 cm.1) Dmontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallles.

2) Calculer IR.

F

R

I

S

GNiveau de l'eau

Niveau du sirop de menthe

[Correction]


Lunit de longueur est le centimtre.On donne :

Les pointsC , D et A sont aligns ;

Les points B , E et A sont aligns ;

(DE) est perpendiculaire (AD) ;

AB = 6,25 ; AC = 5 ; BC = 3,75 ; AD = 3,2 ; M [AC ] et N [AB ] tels que AM = 4 et AN = 5.

1) a) Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous prci-serez en quel point.

b) En dduire que les droites (BC ) et (DE) sont parallles.

2) Calculer DE .

3) Les droites (MN ) et (BC ) sont-elles parallles ? Justifier.

ADMC

E

N

B

[Correction]

37



On considre une bougie conique reprsente ci-contre.Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.La longueur du segment [AS] est 6,5 cm.

Le triangle OAS est reprsent ci-dessous en vraie grandeur. On

admet quil est rectangle en O.

1) Montrer que la hauteur OS de la bougie est 6 cm.

2) Calculer le volume de cire ncessaire la fabrication de cettebougie ; on donnera la valeur arrondie au dixime de cm3.

3) Calculer langle ASO ; on donnera la valeur arrondie au degr.

S

O A

S

O

A

[Correction]


On considre un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm etGE = 4,5 cm.

1) Montrer que le triangle EFG est rectangle et prciser en quelpoint.

2) Le point M est le milieu de [EF ] et la droit

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[GéométriX] Exercices de Brevet