Géométrie analytique dans l’espace

Systèmes des coordonnées Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques et vice versa Script Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques et vice versa Distance entre deux points Coordonnées d’un point qui divise un segment selon un rapport déterminé Aire d’un triangle Volume d’un tétraèdre Plans Plans particuliers Équation segmentaire d’un plan Distance d’un plan de l’origine Distance d’un point à un plan Équation du plan par trois points Angle entre deux plans Condition de parallélisme entre les plans Condition d’orthogonalité entre les plans Droites dans l’espace Droites particulières Angle entre deux droites Condition de parallélisme entre les droites Condition d’orthogonalité entre deux droites Surfaces dans l’espace Distance à la surface d’une sphère

Systèmes de coordonnées

1. Coordonnées cartésiennes orthogonales : La position d’un point P dans l’espace est déterminé par trois coordonnées cartésiennes x, y, z : P(x, y, z).

2. Coordonnées cylindriques : La position du point P est déterminée par le rayon vecteur sur le plan Oxy, par l’angle formé par le rayon vecteur et le demi-axe positif des x et par la coordonnée z : P( , , z).

3. Coordonnées sphériques : La position du point P est déterminée par le rayon vecteur r dans l’espace, par l’angle formé par la projection du rayon vecteur sur le plan Oxy avec le demi axe positif des x et par l’angle formé par le rayon vecteur avec le demi axe positif des z : P(r, , ).

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques et vice versa

Si le point P a les coordonnées cartésiennes x, y, z alors ses coordonnées cylindriques

correspondantes sont :

= arctan y/x = arcsin y/ = arccos x/

z = z

Vice versa, si le point P a les coordonnées cylindriques , , z alors ses coordonnées cartésiennes correspondantes sont :

x = · cos y = · sin z = z

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques et vice versa

Si le point P a les coordonnées cartésiennes x, y, z alors ses coordonnées sphériques correspondantes sont :

Vice versa, si le point P a les coordonnées sphériques r, , alors ses coordonnées cartésiennes correspondantes sont :

x = r· sin · cos y = r· sin · sin z = r· cos

Transformation des coordonnées – Translation

X = x· a Y = y· b Z = z· c

Où a, b et c sont les coordonnées de l’origine du système (O’XYZ) par rapport au système (Oxyz).

Distance entre deux points

Étant données deux points P1(x1, y1, z1) et P2(x2, y2, z2), la distance P1P2 est exprimée par la formule :

Coordonnées du point qui divise un segment selon un rapport déterminé

Étant donnés les points P1(x1, y1, z1) et P2(x2, y2, z2), si M(x0, y0, z0) est un point de la droite P1P2 tel que :

alors les coordonnées de M sont :

si k > 0 alors M est un point interne à P1P2 si k < 0 alors M est un point externe à P1P2 si k = 1 alors M est le milieu de P1P2

Aire d’un triangle

Étant donnés les points P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) et P3(x3, y3, z3), l’aire du triangle déterminée par eux est exprimée par la formule :

Volume d’un tétraèdre

Si les points P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3) et P4(x4, y4, z4) sont les sommets d’un tétraèdre, son volume est exprimé par :

Plans

L’équation générale d’un plan dans l’espace est :

Ax + By +Cz +D = 0

où A, B, C et D sont le constantes et x, y, z les coordonnées cartésiennes variables.

Les intersections du plan avec les axes sont données par : intersection avec l’axe x : a = -D / A intersection avec l’axe y : b = -D / B intersection avec l’axe z : c = -D / C

Plans particuliers

Plan Valeur des coefficients

Équation

A l’origine D = 0 Ax + By + Cz = 0 au plan Oxy C = 0 Ax + By + D = 0 au plan Oxz B = 0 Ax + Cz + D = 0 au plan Oyz A = 0 By + Cz + D = 0

// au plan Oxy A = B = 0 Cz + D = 0 // au plan Oxz A = C = 0 By + D = 0 // au plan Oyz B = C = 0 Ax + D = 0 Contenant l’axe x A = D = 0 By + Cz = 0 Contenant l’axe y B = D = 0 Ax + Cz = 0 Contenant l’axe z C = D = 0 Ax + By = 0 Plan Oxy A = B = D = 0 z = 0 Plan Oxz A = C = D = 0 y = 0 Plan Oyz B = C = D = 0 x = 0

Équation segmentaire d’un plan

L’équation d’un plan qui ne passe pas par l’origine peut être exprimée sous la forme :

où a, b, c sont les coordonnées à l’origine des axes x, y, z.

Distance d’un plan à l’origine

Étant donné le plan Ax + By +Cz + D = 0, sa distance à l’origine des axes est exprimée par la formule :

Distance d’un point à un plan

Étant donné le plan Ax + By +Cz + D = 0 et le point P(x0, y0, z0), la distance de P au plan est exprimée par :

Équation du plan par trois points

L’équation du plan passant par les points P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3) est exprimée par :

Angle entre deux plans

L’angle formé entre les deux plans : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 et A2x + B2y + C2z + D2 = 0 est exprimé par :

/2 (90°)

Condition de parallélisme entre les plans

Les deux plans : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 et A2x + B2y + C2z + D2 = 0 sont parallèles si = 0, c’est à dire si cos = 1. Alors :

A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 ou bien A1 / B1 / C1 = A2 / B2 / C2

Condition d’orthogonalité entre les plans

Les deux plans : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 et A2x + B2y + C2z + D2 = 0 sont orthogonaux si = /2 (90°), c’est à dire si cos = 0. Alors :

A1· A2 + B1· B2 + C1· C2 = 0

Droites dans l’espace

Une droite dans l’espace est déterminée par l’intersection de deux plans non parallèles et l’équation se présente comme la solution du système formé par les équations des deux plans : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Une droite dans l’espace peut être aussi représentée par ses projections sur le plan Oxy et Oxz : y = mx + q z = nx + p

Droites particulières

Droite Equation

A l’origine y = mx z = nx

// à l’axe x y = q z = p

// à l’axe y x = h z = p

// à l’axe z x = h y = q

// au plan Oxy y = mx + q z = p

// au plan Oxz z = nx + p y = q

// au plan Oyz z = ky + t x = h

Axe x y = 0 z = 0

Axe y x = 0 z = 0

Axe z x = 0 y = 0

Angle entre deux droites

Étant données deux droites :

(1) y = m1x + q1 z = n1x + p1

(2) y = m2x + q2 z = n2x + p2

l’angle formé entre elles est exprimé par la formule :

0 2 (360°)

Condition de parallélisme entre les droites

Les deux droites (1) et (2) sont parallèles si : = 0, c’est à dire cos = 1 donc :

m1 = m2 n1 = n2

Condition d’orthogonalité entre deux droites

Les deux droites (1) et (2) sont orthogonales si : = /2 (90°), c’est à dire cos = 0 donc :

1 + m1m2 + n1n2 = 0

Surfaces dans l’espace

1. Sphère :

Centre en C(h, k, l) et rayon r :

(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2

2. Ellipsoïde :

Centre à l’origine O(0, 0, 0) et demi-axes a, b, c :

Centre en C(h, k, l) et demi-axes a, b, c :

3. Hyperboloïde :

à une nappe : a, b axes transverses, c axe non transverse

à deux nappes : a, b axes transverses, c axe non transverse

4. Paraboloïde :

elliptique :

hyperbolique :

Distance entre deux points à la surface d’une sphère

Comment obtenir la distance de deux points connus en longitude et en latitude sur une sphère ?

Si on considère deux points A et B sur la sphère, de latitudes respectives et A et B, et de longitudes respectives A et B, alors la distance angulaire s(AB) entre A et B est donnée par la formule :

s(AB) = arccos (sin( A)sin( B) + cos( A)cos( B)cos( B - A))

(s(AB) en radians) Pour info : AZA = arcsin ((cos( B)sin( B - A)) / sin(s)) AZB = arcsin ((cos( A)sin( B - A)) / sin(s)) (AZA et AZB en radians)

Pour connaître la distance S en mètres, il suffit de multiplier s(AB) par le rayon de la

sphère. (Si la sphère est la Terre, son rayon moyen vaut 6374892.5m)

Vecteurs

Définitions Le vecteur est un être géométrique défini en grandeur, direction et sens et il est représenté graphiquement par un segment orienté. La direction est définie par la droite à laquelle appartient le segment, le sens par une flèche qui indique le sens du parcours, la grandeur par la longueur du segment.

Vecteur : Norme (grandeur) : || || ou a

Deux vecteurs sont égaux quand leurs grandeurs sont égales, leurs directions et leurs sens identiques : =

Si m est un nombre réel alors m· est un vecteur de grandeur |m|· a, de direction et de sens coïncident avec si m > 0, ou opposé si m < 0. Si m = 0, m· est appelé vecteur nul.

Somme de vecteurs

La somme des vecteurs et est un vecteur = + obtenu en mettant le point initial de sur le point terminal de puis qui joint le point initial de avec le point terminal de .

Le procédé peut être étendu à la somme de plus de deux vecteurs.

Le vecteur - est défini comme la somme de avec l’opposé de . : - = + (- )

= + = - = - + -

Si m et n sont deux nombres réels, les propriétés suivantes sont valables : + = + (propriété commutative) + ( + ) = ( + ) + (propriété associative)

(m + n) = m + n (propriété distributive) m( + ) = m + m (propriété distributive)

Composantes d’un vecteur

Étant donné un système d’axes cartésiens orthogonaux Oxyz, et appelés , , les verseurs (vecteurs de norme égale à 1) dirigés dans le sens positif des axes, le vecteur peut être exprimé :

= ax + ay + az

où les nombres réels ax, ay, az sont appelés composantes du vecteur.

N.B : La norme du vecteur se calcule alors :

Produit scalaire

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre :

· = || ||· || ||· cos 0

où est l’angle formé par les directions des vecteurs et .

En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs, le produit scalaire prend la forme :

· = axbx + ayby + azbz

avec = ax + ay + az et = bx + by + bz

Pour le produit scalaire, les propriétés suivantes sont valables : · = · (propriété commutative) · ( + ) = · + · (propriété distributive)

NB : si deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le produit scalaire est nul.

Produit vectoriel

On appelle produit vectoriel de deux vecteurs le vecteur :

x = || ||· || ||· sin · 0

où est l’angle formé par les directions des vecteurs et . et est un verseur perpendiculaire au plan de et de façon que , , forment un système orienté.

En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs, le produit vectoriel prend la forme :

| ax | bx x = | ay x | by = (aybz - azby) - (axbz - azbx) + (axby - aybx)

| az | bz

Pour le produit vectoriel, les propriétés suivantes sont valables : x = - x x ( + ) = x + x (propriété distributive)

NB : si deux vecteurs sont parallèles entre eux, le produit vectoriel est nul.